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Universidad Nacional Agraria La Molina Facultad de Ingeniería Agrícola – DRAT IA-4026 Hidrología Aplicada Ing. Eduardo A. Chávarri Velarde
CLASE X ANÁLISIS PROBABILISTICO DE LAS VARIABLES PRECIPITACIÓN TOTAL ANUAL Y CAUDAL MEDIO ANUAL 1. Longitud necesaria de registro Diversos investigadores como Rubinstein et al, han estudiado el problema de encontrar el período más racional para obtener valores estables y mutuamente comparables de los diversos elementos meteorológicos y concluyen que para el caso de la precipitación, un periodo de 30 años es aún insuficiente para obtener un promedio estable de precipitación total mensual, pero son suficientes para un promedio de precipitación total anual. Cuantitativamente se puede utilizar el parámetro estadístico: Coeficiente de Variación (Cv), definido como:
Cv =
S x
, para indicar que valores menores a 0.20 indican para la mayoría de
los propósitos una aceptable longitud de la serie y una moderada variabilidad. Valores de Cv mayores a 0.25 puede indicar que la serie de datos de lluvia anual es muy corta para obtener de ella estimaciones confiables. Shuh Chai Lee (1956), utilizó la estadística de la media para estimar la longitud de registro necesario para determinar el valor medio de los datos dentro de ciertos límites seleccionados de la media poblacional (µ) , comúnmente el 5% o 10%, esto implicaría que 0.95
x
y 1.05
x
o 0.90
x
y 1.1
x estaría entre
x , respectivamente.
Para probar los anterior se puede utilizar la distribución t de Student, ν=n-2 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra o también el valor buscado y un nivel de significancia α. El estadístico t está definido por la siguiente ecuación:
t=
2
Despejando n se obtiene n =
S t x
2
µ 1 − x
x−µ S n
t 2 (Cv )2 2
ó
e2
Donde Cv es el coeficiente de variación y 'e' es el límite de exactitud deseado y por lo tanto
x (1-e) y x (1+e) son los llamados límites de confianza de µ. Como el valor de t es función de n, la ecuación anterior se resuelve por tanteos. Por otra parte el nivel de significancia α es función del nivel de confianza deseado, o la probabilidad adoptada para que la media del registro de tamaño 'n' este dentro del límite 'e'.
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Por ejemplo Se desea conocer la longitud de registro necesario para que con una probabilidad del 90%, la media de la estación climatológica X, esté dentro del 10% de la media verdadera, si se sabe que para un periodo de registro de 38 años se tiene una media de 745 mm con una desviación estándar típica de 283.5 mm.
t 2 (Cv )2 Reemplazando en la ecuación n =
, y sabiendo que Cv = (283.5/745)2 y e = 0.10,
e2
entonces n = 14.4808 t2
Por lo tanto se requiere un registro de 41 años para obtener una media en la estación X, que difiera de la verdadera en 10% con una probabilidad del 90%. n (años) media (mm) desviación estandar (mm) Alfa
n 38 39 40 41 42 43 44 45
38 745.00 283.50 0.10
t 1.688 1.687 1.686 1.685 1.684 1.683 1.682 1.681
n 41.28 41.22 41.16 41.11 41.06 41.01 40.97 40.92
Error (%) -8.62 -5.68 -2.90 -0.26 2.24 4.63 6.90 9.06
2. Funciones de distribución utilizadas en el análisis probabilístico de precipitaciones totales anuales y caudales medios anuales 2.1 Selección de la función de distribución más adecuada Aunque existe un número importante de distribuciones de probabilidad empleadas en hidrología, son sólo unas cuantas las comúnmente utilizadas, debido a que los datos hidrológicos de diversos tipos han sido probados en repetidas ocasiones ajustarse satisfactoriamente a ciertos modelos teóricos. Pauta: a. Las distribuciones de probabilidad más adecuadas para aproximar series anuales de precipitación o descargas son la normal y la log normal, según el siguiente criterio: Coeficiente de oblicuidad (g) -1.5 a -0.2 -0.2 a 0.5 Normal Log-normal Normal Si Cs<0.2 Weibull Si Cs>0.2
Cv 0.00 a 0.25 0.25 a 2.00
Siendo:
Coeficiente de oblicuidad (g),
Indice de variabilidad (Iv),
2
Iv =
g=
1 n −1
n
∑ (log x − log x )
3
i
(n − 1)(n − 2)(Iv )3
[∑ (log xi − log x) ]
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Cs =
Coeficiente de asimetría,
a3 =
n (n − 1)((n − 2) )
a3 S3
∑ (xi − x)
3
2.2 Utilidad Después de ajustar una cierta distribución de probabilidades a un registro de precipitación total anual o descarga media anual, ésta se utiliza para obtener la probabilidad de tener lluvias anuales o descargas medias anuales menores que un cierto valor previamente seleccionado y también valores mayores que otra determinada magnitud. Tales determinaciones son valiosas para el diseño de sistemas hidráulicos como por ejemplo en proyectos de irrigación. Si por ejemplo los límites inferior y superior de lluvia de acuerdo a la tolerancia de un cultivo son conocidos, entonces puede ser evaluada la probabilidad de falla de tal cultivo debido a la sequía o al exceso de lluvia. Los registros de precipitación de un determinado mes o época son bastante susceptibles de análisis probabilístico, semejante al descrito para las lluvias anuales, sin embargo, en este caso interesa por lo general construir gráficas que indiquen las lluvias mensuales para determinadas probabilidades de ocurrencia, por ejemplo para el 50%, 75% y 95%. Es así que para proyectos de irrigación se utilizan valores de precipitación con probabilidad de ocurrencia o persistencia correspondiente al 75% y para proyectos hidroenergéticos se utiliza 95%. Por ejemplo, para el río Santa, siendo evaluadas las descargas medias mensuales para diferentes niveles de probabilidad de ocurrencia o persistencia.
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Universidad Nacional Agraria La Molina Facultad de Ingeniería Agrícola – DRAT IA-4026 Hidrología Aplicada Ing. Eduardo A. Chávarri Velarde DESCARGAS MEDIAS AL 25%,50% y 75% DE PERSISTENCIA DEL RIO SANTA ESTACION CONDORCERRO 1978/2000 450
400
DESCARGAS (m3/s)
350
300
250
200
150
100
50
0
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
Q75%
122,104
ENE
158,507
173,923
140,745
77,821
47,963
38,808
38,355
41,212
53,213
70,605
87,796
Q50%
142,460
292,714
315,505
230,104
103,222
62,003
44,978
41,389
48,476
63,553
94,293
114,403
Q25%
219,999
350,225
391,206
312,688
124,017
64,729
51,588
45,040
53,962
96,195
114,259
176,884
Qmedio
183,297
295,233
313,978
231,253
104,270
59,422
45,641
42,178
48,379
72,191
101,835
139,925
TIEMPO (Meses)
3. Concepto y selección del periodo de retorno El objetivo primario del análisis estadístico de datos hidrológicos es la determinación del llamado periodo de retorno en un cierto evento hidrológico de una magnitud dada x. El periodo de retorno Tr se define como el lapso promedio entre la ocurrencia de un evento igual o mayor a una magnitud dada. Como en hidrología se utilizan muestras integradas por los eventos hidrológicos anuales, se podrá plantear la siguiente ecuación basándose en el concepto de probabilidad.
P( X ≥ x ) =
1 Tr
La ecuación anterior indica que si un evento hidrológico X igual o mayor que x, ocurre una vez en Tr años, su probabilidad de excedencia es 1/Tr, es decir que si una excedencia ocurre en promedio una vez cada 25 años, la probabilidad de que tal evento ocurra en cualquier año es 1/25. 4. Ecuación general del análisis hidrológico de frecuencias Ven Te Chow (1951) propuso que toda variable X de una serie hidrológica puede ser expresada de la siguiente manera:
X = x + K (S ) X = 1 + K (Cv) x Siendo : X : Variable aleatoria : Valor medio de la serie x S : Desviación típica de la serie Cv : Coeficiente de variación de la serie K : Factor de frecuencia
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La ecuación anterior es aplicable a casi todas las ecuaciones de probabilidad empleadas en hidrología. La incertidumbre debida al desconocimiento de la distribución de probabilidades de los datos es un tema de controversia, sin embargo existen test o pruebas estadísticas para resolver este problema como son las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y Chi-cuadrado. Asimismo el comparar gráficamente la distribución de probabilidades empíricas y la teórica propuesta, conjuntamente con el juicio ingenieril y la experiencia en hidrología, pueden conducir en forma más precisa y rápida a seleccionar la distribución teórica más adecuada a los datos. 5. Distribuciones de probabilidad adecuadas a lluvias y escurrimientos anuales 5.1 Distribución normal y Log-normal La distribución normal es simétrica, con forma de campana; su distribución representa los errores accidentales alrededor de la media y por eso se conoce como Ley de Errores o de Gauss. La distribución Log-normal es simétrica con sesgo hacia la derecha y equivale a una distribución normal en la cual la variable se reemplaza por su valor logarítmico. Al igual que la distribución normal, la log-normal es función de sólo dos parámetros estadísticos, la media y la desviación estándar. La función de distribución de probabilidad normal se define como:
F ( x) =
1 2Πσ
1 x−µ − e 2 σ
2
dx
Donde µ y σ son los parámetros de la distribución. Para el cálculo numérico de las distribuciones normal y log-normal se utilizan las siguientes ecuaciones: - Para la distribución normal
X = x + K (S )
- Para la distribución log-normal
log X = log x + K ( Iv)
El factor de frecuencia K es conocido también con el nombre de variable estandarizada para el caso de la distribución normal, está en función de la probabilidad P(X<=x) o del periodo de retorno Tr, mediante la siguiente tabla.
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P(X<=x) % 99.9 99.8 99.0 98.0 95.0 90.0 80.0 50.0 20.0 10.0 5.0 2.0 1.0 0.1
Tr (años) 1000.00 500.00 100.00 50.00 20.00 10.00 5.00 2.00 1.25 1.11 1.05 1.02 1.01 1.00
K=Z 3.0902 2.8782 2.3264 2.0538 1.6449 1.2816 0.8416 0 -0.8416 -1.2816 -1.6449 -2.0538 -2.3264 -3.0902
La metodología de aplicación consistirá en calcular x y S, cuando se quiere ajustar a una distribución normal y log x e Iv cuando se quiere ajustar a una distribución log-normal, respectivamente. A continuación se calculan los valores de la variable X (lluvia anual) para los periodos de retorno de los factores de frecuencia o variable estandarizada.
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Ejemplo: Consideremos la precipitación total anual registrada en la Estación Tacalaya, Cuenca del río Locumba, Departamento de Tacna.
Año 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 Media Desv.Est.
Estación : Tacalaya Cuenca : Locumba Departamento : Tacna Pp.Total Anual (mm) Log(Pp.Total Anual) 542.9 2.735 603.8 2.781 646.4 2.811 225.3 2.353 356.0 2.551 310.2 2.492 462.8 2.665 345.9 2.539 666.9 2.824 503.2 2.702 665.0 2.823 427.7 2.631 285.0 2.455 325.2 2.512 544.9 2.736 615.0 2.789 506.8 2.705 420.2 2.623 494.9 2.695 700.2 2.845 629.9 2.799 562.5 2.750 543.3 2.735 454.7 2.658 367.5 2.565 361.4 2.558 355.5 2.551 308.3 2.489 504.1 2.703 351.8 2.546 111.4 2.047 657.6 2.818 736.4 2.867 472.5 2.647 151.9 0.170
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Factor de Frecuencia P(X<=x) % Tr (años) K=Z 99.9 1000.00 3.0902 99.8 500.00 2.8782 99.0 100.00 2.3264 98.0 50.00 2.0538 95.0 20.00 1.6449 90.0 10.00 1.2816 80.0 5.00 0.8416 50.0 2.00 0 20.0 1.25 -0.8416 10.0 1.11 -1.2816 5.0 1.05 -1.6449 2.0 1.02 -2.0538 1.0 1.01 -2.3264 0.1 1.00 -3.0902
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Mediante Factor de Frecuencia Normal Log-Normal 941.8 23.831 909.6 22.990 825.8 20.936 784.4 19.991 722.3 18.652 667.2 17.537 600.3 16.277 472.5 14.112 344.7 12.236 277.9 11.356 222.7 10.678 160.6 9.962 119.2 9.512 3.2 8.357
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N°Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Prob.Empírica (%) Weibull 3 6 9 12 15 18 21 24 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 76 79 82 85 88 91 94 97
Prob.Emp.Excedencia P(X>=x) 97 94 91 88 85 82 79 76 74 71 68 65 62 59 56 53 50 47 44 41 38 35 32 29 26 24 21 18 15 12 9 6 3
Distribución Normal 759.5 710.2 677.8 652.8 631.8 613.6 597.2 582.1 568.0 554.7 542.0 529.8 518.0 506.4 495.0 483.7 472.5 461.3 450.0 438.6 427.0 415.2 403.0 390.3 377.0 362.9 347.8 331.4 313.2 292.3 267.2 234.9 185.5
Series ordenadas de mayor a menor Pp.Total Anual Log(Pp.Total Anual) 736.4 2.867 700.2 2.845 666.9 2.824 665.0 2.823 657.6 2.818 646.4 2.811 629.9 2.799 615.0 2.789 603.8 2.781 562.5 2.750 544.9 2.736 543.3 2.735 542.9 2.735 506.8 2.705 504.1 2.703 503.2 2.702 494.9 2.695 462.8 2.665 454.7 2.658 427.7 2.631 420.2 2.623 367.5 2.565 361.4 2.558 356.0 2.551 355.5 2.551 351.8 2.546 345.9 2.539 325.2 2.512 310.2 2.492 308.3 2.489 285.0 2.455 225.3 2.353 111.4 2.047
Distribución Log-normal 19.442 18.400 17.747 17.258 16.860 16.519 16.219 15.949 15.700 15.469 15.251 15.045 14.847 14.656 14.471 14.290 14.112 13.937 13.762 13.589 13.414 13.237 13.058 12.874 12.685 12.487 12.279 12.056 11.812 11.540 11.222 10.824 10.244
Ajuste de datos a Distribución normal y log-normal Distribución Normal
Distribución Log-normal
800 700 600 500 400 300 200 100 0
25 20 15 10 5
0
20
40 60 Probabilidad (X<=x)
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0 100
Pp.Ajuste Log.normal
Pp.Total Anual (mm)
Prob.Emp.No Excedencia P(X<=x)