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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Prof. Wilson Herrera. 1. Dada f (x, y) = 3x2 − 4xy + 5y 2 , hallar: a) f (0, 1); f (1, 0); f (−2, 1); f (1+h, 0); f (0, 1+k); f (x, x); f (−y, −y). b) La expresi´on m´as sencilla para el cociente
f (xo + h, yo ) − f (xo , yo ) , h
donde h 6= 0. c) Igual que en b), pero ahora con el cociente
f (xo , yo + k) − f (xo , yo ) , k
donde k 6= 0. 2. Sea f (x, y) =
x+y . x−y
a) Hallar el dominio m´as amplio correspondiente a dicha ley; representarlo en el plano XOY . b) Encontrar la expresi´on m´as simple para
f (2, 1 + k) − f (2, 1) , k
con k 6= 0 y k 6= 1. 3 x + xy si (x, y) 6= (0, 0), 3. Si f (x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0), hallar
f (0 + h, 0) − f (0, 0) , donde h 6= 0. h
4. En cada caso, hallar el dominio m´as amplio correspondiente a la ley dada y representar aqu´el en el plano XOY . a) f (x, y) = b) f (x, y) =
p p
x2 + y 2 . x2 + y 2 − 4.
c) f (x, y) = ln (x + y + 1). d ) f (x, y) = e) f (x, y) =
x2
p
1 . −y
25 − x2 − y 2 .
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f ) f (x, y) =
√
x − y.
√
64 − x2 + ln (y 2 − 25). p h) f (x, y) = arcsin x + arc cos y + y − x2 . g) f (x, y) =
i ) f (x, y) = ln (x2 − 6x + y 2 ). 1 . exy − 1 7 f (x, y) = . (x + 4)2 + y 4 y f (x, y) = arcsin . x r x+y f (x, y) = . x−y y f (x, y) = √ . x2 − x √ x − x2 f (x, y) = . y
j ) f (x, y) = k) l) m) n) n ˜)
o) f (x, y) = x · ln (xy − 1). 5. Graficar aproximadamente, las siguientes funciones (los dominios se supone que son los m´as amplios y el conjunto de llegada, los reales): a) z = f (x, y) = x2 + y 2 . b) z = f (x, y) = x2 . p c) z = f (x, y) = 4 − x2 − y 2 . p d ) z = f (x, y) = x2 + y 2 . e) z = f (x, y) = −x − y + 1. p f ) z = f (x, y) = x2 + y 2 − 1. 6. Igual que en el ejercicio 5, reconociendo que las superficies correspondientes se obtienen al girar una curva conocida, alrededor del eje OZ. p a) z = f (x, y) = cos x2 + y 2 . p b) z = f (x, y) = ln x2 + y 2 .
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√2 2 c) z = f (x, y) = e x +y . d ) z = f (x, y) = e−x
2 −y 2
.
7. En cada uno de los siguientes casos, concluir que el l´ımite indicado no existe: a)
l´ım
(x,y)→(0,0) x2
xy . + y2
f)
l´ım
(x,y)→(0,0) x4
xy . + y2
b)
x2 . (x,y)→(0,1) x2 + (y − 1)2
g)
x4 y 4 . (x,y)→(0,0) (x2 + y 4 )3
c)
x2 − y 2 . (x,y)→(0,0) x2 + y 2
h)
sin (x + y) . (x,y)→(0,0) sin x cos y
d)
x + y2 . (x,y)→(−1,1) x3 + y 2
i)
sin (x + y) . (x,y)→(0,0) xy
e)
x7 y 7 . (x,y)→(0,0) x14 + y 14
j)
xy 2 . (x,y)→(0,0) x2 + y
l´ım l´ım
l´ım
l´ım
l´ım l´ım l´ım l´ım
8. Utilizando la definici´on de l´ımite, demostrar que: a)
x2 y = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım
d) e)
b)
c)
l´ım
(x,y)→(1,2)
(x + 2y) = 5. f)
x3 y 3 = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım
g)
l´ım
(x,y)→(1,−1)
l´ım
(x2 − 3y) = 4.
(2x2 + y 2 + 1) = 3.
(x,y)→(1,0)
x = 0. (x,y)→(0,7) 1 + y 2 l´ım l´ım
(x,y)→(1,1)
xy = 1.
9. Calcular, usando las propiedades correspondientes: a)
l´ım
(x,y)→(−2,4)
y
p
r
x3 + 2y + 49.
d)
x2 . (x,y)→(0,8) ln [x2 + (y − 8)2 ] l´ım
1 e) l´ım ln (xy − 1). . (x,y)→(1,e+1) (x,y)→(−7,1) 4x + y √ 2 2 √ x +y − cos 2y x2 +y 2 . c) l´ım arctan . f) l´ım e (x,y)→(6,3) (x,y)→(0,0) x 2 xy si (x, y) 6= (0, 0), 10. Sea f (x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0), ¿Es f continua en (0,0)? b)
l´ım
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(p
1 − x2 − y 2 si x2 + y 2 ≤ 1, 0 si x2 + y 2 > 1, ¿Posee f alguna discontinuidad?
11. Sea f (x, y) =
x2 , notamos que el punto (0,10) no x2 + (y − 10)2 pertenece al dominio de aquella. As´ı que tal f no es continua en (0,10).
12. Dada la ley f (x, y) =
¿Es evitable dicha discontinuidad? 3 2 x − xy si x + y 6= 0, 13. Sea f (x, y) = x+y ? si x + y = 0, Demostrar que es posible sustituir el signo de interrogaci´on por una expresi´on que hace que f sea continua en todo el plano. sin x si x 6= 0, 14. Recordando que la funci´on f (x, y) = x 1 si x = 0, es continua en todo R, y que la composici´on de funciones continuas es una funci´on continua, concluir que los l´ımites siguientes existen e indicar su valor: sin (x + y) a) l´ım . (x,y)→(2,−2) x+y
p sin x2 + y 2 p b) l´ım . (x,y)→(0,0) x2 + y 2
15. Indicar el dominio de continuidad para la funci´on dada por: xy sin ( 1 ) si x 6= 0, f (x, y) = x 0 si x = 0.
16. Igual que en el ejercicio 13, pero ahora, con 1 sin (xy) si (x, y) 6= (0, y), f (x, y) = x ? si (x, y) = (0, y).