Unidad 2

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UNIDAD 2 Las cónicas. Propósito: Aplicarás los principales modelos matemáticos de las cónicas en la solución de problemas. 50 En la vida cotidiana nos encontramos rodeados de una serie de elementos geométricos tales como las circunferencias. Sin embargo, el hombre tardó mucho tiempo en inventar la rueda, la cual, como sabemos, tiene múltiples aplicaciones; sólo hay que observar las llantas y el volante de un coche o los diversos utensilios del hogar para apreciar su utilidad. La parábola es una curva cónica que tiene múltiples aplicaciones en la construcción de instrumentos de óptica como espejos y lentes; también en todos los aparatos que incluyen estos elementos: telescopios, cámaras fotográficas y de video, binoculares, entre otros. Tener conocimiento acerca de las cónicas es de gran importancia debido a su conexión con el mundo real. Durante mucho tiempo se creyó que el Sol y las estrellas giraban alrededor de la Tierra; sin embargo, a partir de los estudios efectuados por Kepler (1571-1630), sabemos que los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas elípticas, y que éste se encuentra en un foco de la elipse. El conocimiento de la hipérbola tiene gran importancia en el estudio de la trayectoria de los cometas; cuando entran del espacio exterior al espacio gravitacional solar siguen una trayectoria hiperbólica alrededor del Sol, el cual como ya se mencionó, se encuentra localizado en uno de los focos. 51 52 1. Usarás las ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas prácticos. 2.1. La circunferencia. 2.1.1. Elementos de la circunferencia. 2.1.2. Ecuación normal de la circunferencia. 2.1.3. Ecuación general de la circunferencia. 53 Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola. Se dice que la cónica está en posición centrada, si sus ejes principales, coinciden con los ejes coordenados; en tal caso, su ecuación cartesiana recibe el nombre de ecuación canónica: Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en x o y, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 En la cual los coeficientes A, B y C no son todos cero. 54 2.1. La circunferencia. De las cuatro curvas cónicas, la circunferencia es la más simple. Geométricamente la circunferencia se describe como la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono. DEFINICIÓN. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro. 2.1.1. Elementos de la circunferencia. = centro de la circunferencia. O OA = OB = OC = radio de la circunferencia. = diámetro de la circunferencia. AB = recta tangente a la circunferencia. L1 L2 = recta secante a la circunferencia. DE = cuerda de la circunferencia. Figura 9. Elementos de la Circunferencia 55 Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman: a) ángulo formado por dos radios. Relación entre el ángulo y el arco: α = AB b) Angulo formado por dos cuerdas Relación entre el ángulo y el arco: c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia Relación entre los ángulos: α = 2 β 56 d) Angulo formado por dos cuerdas Medida del ángulo α e) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco Relación entre los ángulos: α = β = δ f) Ángulo formado por dos secantes α = AC − BD 2 Medida del ángulo a 57 g) Ángulo formado por dos tangentes Medida del ángulo a: α= ACB − ADB 2 h) Ángulo formado por una cuerda y una tangente Medida del ángulo a: α = AB 2 i) Ángulos que forma una semicircunferencia Medida del ángulo α: α = 90° 58 j) Ángulo formado por una secante y una tangente Medida del ángulo α : α = AC − AB 2 k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan a una circunferencia. Relación entre arcos AB = CD l) Ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito: Relación entre ángulos: α + β = 180º 59 2.1.2. Ecuación normal de la circunferencia. Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son bien conocidas, supondremos que el centro es el punto C (h, k) y que el radio es una constante r, como se muestra en la Figura 3. Figura 10. Circunferencia de centro C y radio r. Sea M(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio igual a r. Por definición, el radio es una constante, por lo que la condición de movimiento de M es: suuur MC = Constante = r (1) Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos: suuur MC = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 Sustituimos en (1): ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, nos queda: ( x − h)2 + ( y − k )2 = r 2 Esta es la ecuación común de la circunferencia, correspondiente a una ecuación cartesiana, cuyos parámetros, además del radio r, son la abscisa h y la ordenada k del centro, cuyas coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la ecuación. 60 2.1.3. Ecuación general de la circunferencia. En muchos problemas se presenta desarrollada la ecuación de la circunferencia, en cuyo caso interesa saber conocerla y poder determinar su centro y su radio. Ahora veremos la ecuación común. x 2 − 2hx + h 2 + y 2 − 2 xy + k 2 − r 2 = 0 Esta ecuación no se altera si ambos miembros se multiplican por la constante A. Ax 2 − A2hx + Ah 2 + Ay 2 − A2 xy + Ak 2 − Ar 2 = 0 Dado que: -2Ah, -2Ak y ( Ah 2 + Ak 2 − Ar 2 ) son constantes, podemos escribir la ecuación como: Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 En donde: D = -2Ah E = -2Ak F = Ah 2 + Ak 2 − Ar 2 = A(h 2 + k 2 − r 2 ) Entonces conociendo los valores de D, E, y F, se pueden encontrar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia. 61 Análisis de la ecuación. Podemos hacer el siguiente análisis. 1. Una ecuación con dos variables de segundo grado representa una circunferencia si los coeficientes de x y y son iguales y del mismo signo. 2. Si la ecuación contiene términos de primer grado, el centro está fuera del origen. Si la ecuación carece de uno de los términos de primer grado, el centro está sobre el eje del sistema de nombre distinto al término faltante. 3. Si la ecuación no tiene término independiente, la circunferencia pasa por el origen. 4. Observamos que el término rectángulo Bxy no existe, por lo que establecemos que B = 0. 62 1. Los extremos de un diámetro de la circunferencia son los puntos (-2, 3) y (4, -5). Halla la ecuación de la circunferencia. Solución: C= Centro es el punto medio  (-2 + 4) (3 + -5)  C = ,  2 2   C = (1, − 1) r= radio = distancia entre dos puntos /2 dAB = (4 − (−2))2 + (−5 − (3))2 Por lo tanto: dAB = (4 + 2) 2 + (−5 − 3) 2 dAB = (6) 2 + (−8) 2 dAB = 362 + 64 dAB = 100 dAB = 10 La ecuación de la circunferencia es: ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 100 63 2. Determina la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P (1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 13 = 0 Solución La ecuación debe tener la forma dada por la fórmula ( x − h)2 + ( y − k ) 2 = r debiendo ser las coordenadas h y k del centro las mismas que la de la circunferencia dada y las calculamos llevando a la forma común la ecuación de la circunferencia conocida. Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos: ( x 2 − 2 x + 1 − 1) + ( y 2 − 8 y + 16 − 16) + 13 = 0 ( x − 1) 2 + ( y − 4)2 = 4 De la expresión anterior encontramos que el centro es C (1,4), es decir h = 1 y k = 4. Como a2=4, entonces a = 2. El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al centro C. a = PC = (1 − 1)2 + (0 − 4) 2 = 4 Por tanto, a2=16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r , encontramos la ecuación de la circunferencia pedida: ( x − 1) 2 + ( y − 4)2 = 4 64 3. Encuentra la gráfica y la ecuación ordinaria de la circunferencia, si el centro está en C ( −2, −1) y el radio es 4 . Solución: La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen es ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 , entonces sustituimos en ésta las coordenadas del centro y el valor del radio y obtenemos la ecuación: ( x − (−2))2 + ( y − (−1)) 2 = (4) 2 ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = 16 Para graficarla, identificamos el punto C ( −2, −1) , que es el centro de la circunferencia, enseguida trazamos la circunferencia de tal manera que cada punto de ésta tenga una distancia con respecto al centro de 4. 65 4. Obtén de la siguiente circunferencia su centro y el radio, así como su ecuación ordinaria. Solución: Centro: C (3,5) Radio: r = 2 2 2 Ecuación ordinaria: ( x − 3) + ( y − 5) = 4 66 5. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en C ( 1 , 3 ) y 2 5 r = 2 y grafícala. Solución: Aplicando la forma ordinaria ( x − h) + ( y − k ) = r 2 2 2 Obtenemos: 2 2 1  3  x−  + y−  =4 2  5  Gráfica: 67 6. Obtén los elementos de la circunferencia cuya ecuación es: 2 2 2  3 4  x+  + y+  = 5  4 9  Solución: Centro:  2 3 C  − ,−   5 4 Radio: r= 2 3 7. Ejercicio de Reflexión (YIN YANG) La circunferencia es una de las figuras más usadas en la geometría. Quizá alguna vez has oído hablar del Yin Yang, Esta figura está diseñada con circunferencias, hablemos un poco más de esto. Dentro de la mitad de cada color hay un círculo menor del color opuesto en posición central, indicativo de que cada uno de los dos aspectos, en el punto culminante de su despliegue, lleva en gérmen a su opuesto polar para operar su transmutación. La próxima vez que veas el símbolo mídelo y obtén la ecuación de la circunferencia. 68 1. Se desea construir un circunferencia con focos para simular un reloj. Por simplicidad se determinan las posiciones de los focos midiendo longitudes a partir de una referencia en el piso, ubicados desde ese punto. El centro se encuentra en la posición (2m, 3.5m) y un punto de la circunferencia elegido al azar, tiene la posición (2.5m, 4m). Escribe una ecuación que nos dé la posición en términos de la distancia horizontal. 2. Por cuestiones de diseño, un arquitecto necesita construir una circunferencia. Sobre su restirador tiene un cuadriculado para ubicar las posiciones geométricas y sabe que el origen del círculo debe estar en (-4, -2) y ser tangente a la recta que cumple con la siguiente expresión: 4 y = − x + 2 . Determina el radio de la 3 circunferencia. (Sugerencia: escribe la ecuación de la recta en forma general y calcula la distancia de una recta a un punto). 3. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(5, -3) y su radio 19 . 4. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(-2,1) y es tangente a la recta: 4 x − 3 y − 12 = 0 . Determina su ecuación en las formas ordinaria y general. 5. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A (-2, 2), B (4, 1) y C (1, -6). 6. Determina el centro y el radio de la circunferencia de ecuación x2 + 10y – 2x + 2 y –10= 0 7. Escribir la ecuación de la circunferencia que: a) b) c) d) e) tiene centro (-3; 5) y radio 3 tiene centro en el origen y radio igual a 2 tiene centro en el punto (7; -6) y que pasa por el punto A(2; 2) tiene centro en (-2;5) y es tangente a la recta x = 7 tiene centro en (-3; 5) y es tangente a la recta 12x + 5y – 4= 0 69 8. Dada la siguiente circunferencia x2 + y2 +2x – 3= 0, halla los puntos de intersección con los ejes x e y. 9. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-3, 4) y radio r = 5. 10. Encuentra el centro y radio de la circunferencias representadas por las siguientes ecuaciones: a) x2 + y2 – 16x + 2y + 65= 0 b) 36x2 + 36y2 + 24x + 72y + 41=0 11. Halla centro y radio de la circunferencia 3x2 + 3y2 + 6x − 12y − 12 = 0. 70 2. Usar las ecuaciones de la parábola en la solución de problemas prácticos. 2.2. Parábola. 2.2.1. Elementos de la parábola. 2.2.2. Parábola vertical. 2.2.2.1. Con vértice en el origen. 2.2.2.2. Con vértice fuera del origen. 2.2.3. Parábola horizontal. 2.2.3.1. Con vértice en el origen. 2.2.3.2. Con vértice fuera del origen. 2.2.4. Ecuación general. 2.3. Aplicaciones de las ecuaciones de la parábola. 71 2.2. Parábola. La parábola, se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Figura 11 Figura 11. Parábola DEFINICIÓN: La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa por el punto, llamada directriz. 2.2.1. Elementos de la parábola. F es el punto fijo llamado foco, a la recta fija llamada directriz la representaremos como D D'. La distancia entre el foco y la directriz es p, en donde p > 0. V es el vértice de la parábola y es el punto de la parábola que coincide con el eje focal. La línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice es el eje focal (EF). La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice (V), se llama eje de la parábola. La posición del eje determina la posición de la parábola. La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje. 72 De acuerdo a la definición de la parábola, el punto medio entre la directriz y el foco pertenece al lugar geométrico y se llama vértice. Directriz de la parábola es la recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco. Cuerda focal es la cuerda que pasa por el foco. El lado recto (LR) es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal. Para ejemplificar lo anterior observamos la figura 12. Figura 12. Parábola horizontal con vértice en el origen. 2.2.2. Parábola vertical. 2.2.2.1. Con vértice en el origen. A fin de obtener una ecuación sencilla para una parábola, consideremos F (0; p) como foco (p ≠ 0) y y = -p como directriz. Por la fórmula de la distancia, un punto P(x, y) está sobre la parábola si y sólo si d (P, F) = d (P, P´), esto es, si ( x − 0) 2 + ( y − p )2 = ( x − x) 2 + ( y + p) 2 73 Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando: x 2 + ( y − p ) 2 = ( y + p) 2 x 2 + y 2 − 2 yp + p 2 = y 2 + 2 yp + p 2 x 2 = 4 py Esta es la ecuación de la parábola vertical en su forma ordinaria o canónica. La ecuación de la directriz es: x = −p . Una ecuación equivalente es: y= 1 2 x 4p La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en la que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es paralelo al eje y. El signo del eje focal indicará hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda) 74 En resumen: La ecuación de la parábola es: Con vértice en el origen y eje de simetría sobre el eje y : x = 4 py 2 Coordenadas del vértice V (0,0) Coordenadas del foco F ( p,0) Ecuación del eje focal EF: x = 0 Ecuación de la directriz Cuando p es positivo, la parábola abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola abre hacia abajo. 75 D: y = −p 1. 1 2 Encuentra el foco de la parábola y = − 6 x . Para ello observa que tiene la forma y = ax 2 con a = -1/6. Como 1 vimos anteriormente a = p , entonces 4 p= 1 = 4a 1 1 4(− ) 6 = 1 3 =− 4 2 − 6 De esta forma, la parábola abre hacia abajo y tiene foco F (0, -3/2). La directriz es la recta horizontal y = 3/2. 76 2.2.2.2. Con vértice fuera del origen. La ecuación de la parábola es: Con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje y ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) Coordenadas del vértice V ( h, k ) Coordenadas del foco F (h, k + p) Ecuación del eje focal E.F.: x = h Ecuación de la directriz D: y = k − p Cuando p es positivo, la parábola abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola abre hacia abajo Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que carezca del término xy puede escribirse de la forma: Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 2 2 Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0 , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje x . Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0 la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje y . 77 2.2.3. Parábola horizontal. 2.2.3.1. Con vértice en el origen. La ecuación algebraica que describe la parábola se encuentra expresada en función de la posición geométrica de los elementos que la conforman, así como de la orientación propia de la misma, resultando en una ecuación característica de cada caso particular. Para simplificar la forma de obtener la ecuación antes mencionada trabajaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal coincidiendo con el eje de las x y cuyas ramas se abren hacia la derecha. De acuerdo a la definición de parábola, la distancia entre un punto “p” cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia existente entre la directriz (d) y dicho punto. Las coordenadas del foco son F (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = -p. Figura 13. Figura 13. Representación de un punto P(x, y) en una parábola horizontal. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: ( x − p)2 + y 2 = x + p 78 Elevando al cuadrado y desarrollando: ( ( x − p)2 + y 2 ) 2 = ( x + p)2 x 2 − 2 px + p 2 + y 2 = x 2 + 2 px + p 2 Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión tenemos que: y 2 = 4 px Esta es la ecuación de la parábola horizontal en su forma ordinaria o canónica. 79 Análisis de la ecuación. Considerando totalmente desconocida la forma de la curva, así como su posición y sus características principales debemos analizar la ecuación y 2 = 4 px . Para obtener ese conocimiento conviene despejar a cada una de las variables de la ecuación, por lo que: y = ± 4 px ecuación (a)  1  2 x= y  4p  ecuación (b) El análisis de la ecuación sería: 1. Saber si la curva es simétrica o asimétrica. La ecuación (a) demuestra que la curva es simétrica con relación al eje de las abscisas, porque para un valor de x se obtienen dos valores de y iguales y de signos contrarios. En cambio, la curva es asimétrica con relación al eje de las ordenadas, porque según la ecuación (b) para cada valor de y sólo se obtiene un valor de x. 2. Determinar los puntos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas. Si x=0, resulta y=0, lo cual significa que el único punto común de la curva con los ejes es el origen de coordenadas. 3. Determinar las zonas donde existe y donde deja de existir la curva. La ecuación (a) permite ver que cuando el parámetro p es positivo, la variable x sólo debe recibir valores positivos porque de otro modo los de y resultan imaginarios. Esto significa que, cuando p>0, la curva solamente existe a la derecha del origen del sistema y la región izquierda es zona imaginaria de la parábola. En cambio, si p<0, la ecuación solamente existe a la izquierda del origen del sistema. 4. Investigar si la curva es abierta o cerrada. La misma ecuación (a) justifica que la curva es abierta, porque si x aumenta indefinidamente, también y aumenta en la misma condición. En ambos casos la ecuación es de la forma y 2 = 4 px y se dice que la parábola es horizontal con vértice en el origen. 80 En resumen: La ecuación de la parábola es: Con vértice en el origen y eje de simetría sobre el eje x : y = 4 px 2 Coordenadas del vértice V (0,0) Coordenadas del foco F ( p,0) Ecuación del eje focal EF: y = 0 Ecuación de la directriz D: x = − p Cuando p es positivo, la parábola abre hacia la derecha. Cuando p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda. 81 2.2.3.2. Con vértice fuera del origen. La ecuación de la parábola es: Con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje x ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) Coordenadas del vértice V ( h, k ) Coordenadas del foco F ( h + p, k ) Ecuación del eje focal EF: y = k Ecuación de la directriz D: x = h − p Cuando p es positivo, la parábola abre hacia la derecha. Cuando p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda. 82 2.2.4. Ecuación general. Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) y 2 − 2ky + k 2 = 4 px − 4 ph En donde D= -4p E= -2k F= k2 + 4ph y 2 + Dx + Ey + F = 0 En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación principal es: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) De esta manera, el vértice pasa de (0,0) a (h, k) Elevando al cuadrado el lado izquierdo de la ecuación anterior y simplificando, nos lleva a una ecuación de la forma: x = ay 2 + by + c De la igual forma si tenemos: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) podemos escribir la ecuación de la forma: y = ax 2 + bx + c El signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola, abre a la derecha si p > 0, o la izquierda si p < 0. Longitud del lado recto. Procediendo de una manera similar a la empleada para la deducción de la ecuación anterior, podemos enseguida deducir una formula que nos permita calcular la longitud del lado recto Para ello partimos de la ecuación y 2 = −4 px 83 Y sustituyendo x por –p se obtiene: y 2 = −4 p(− p) y 2 = −4 p 2 Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros, y obtenemos: y = ±2 p Las coordenadas de los extremos del lado recto son entonces (-p, 2p) y (-p, -2p) como se observa en la figura 14 Figura 14. Lado recto de la parábola horizontal. Si calculamos la distancia entre los extremos del lado recto, resulta: LR = 2 p − (−2 p) LR = (2 p + 2 p ) entonces: LR = 4 p 84 1. Analicemos la gráfica de 2 x = y + 8 y + 22 . Observemos que el término al cuadrado es en y, por tanto, estamos en presencia de una parábola horizontal. Escribimos la ecuación dada de la forma: 2 y 2 + 8 y + __ = 2 x − 22 + __ 2 y luego completamos el cuadrado al sumar 8   = 16 a 2 ambos lados: y 2 + 8 y + 16 = 2 x − 6 ( y + 4) 2 = 2( x − 3) De esta manera, el vértice V (h, k) es V (4, -3) Observemos también que 4p = 2 o lo que es lo mismo p = ½. Esto da que el foco es F 1   7  (h + p, k ) = F  3 + , −4  = F  , 4  2   2  Finalmente la directriz es x = h – p = 3 – ½ = 5/2 85 Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas que veremos a continuación. Caso 1: Cuando la parábola se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas X Figura 15 En este caso la ecuación de la parábola es: y2 = 4px La ecuación de la directriz es x + p =0 86 Caso 2: Cuando la parábola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas y Figura 16 En este caso la ecuación de la parábola es: y2 = -4px La ecuación de la directriz es x - p =0 87 Caso 3: Cuando la parábola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas y Figura 17. Figura 17 En este caso la ecuación de la parábola es: x2 = -4py La ecuación de la directriz es y + p =0 88 Caso 4: Cuando la parábola se extiende en el sentido negativo del eje de las ordenadas Y. Figura 18. Figura 18 En este caso la ecuación de la parábola es: x2 = -4py La ecuación de la directriz es y - p =0 89 1. Halla la ecuación de la parábola que tiene su foco en F (2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2. Solución: Trazamos la gráfica de acuerdo a los elementos dados: De acuerdo a la definición, un punto: PF = FD Pero: PF = ( x − 2)2 + y 2 PD = ( x + 2)2 Luego, ( x − 2) 2 + y 2 = ( x + 2)2 Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos: ( x − 2) 2 + y 2 = ( x + 2) 2 x2 − 4 x + 4 + y2 = x2 + 4 x + 4 De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida. 90 1. Halla la ecuación de la parábola de vértice V = (3, 4) y foco F (6,4) Solución: Si V = (3, 4) y F (6,4) entonces, p es la distancia de V a F será: p = (6 − 3) 2 + (4 − 4) 2 = 32 + 02 p=3 La parábola está abierta hacia la derecha por tanto p = 3 > 0 Así la ecuación de la parábola es: ( y − 4) 2 = 4(3)( x − 3) y 2 − 8 y + 16 = 12 x − 36 y 2 − 12 x − 8 y + 52 = 0 3. Encuentra el foco y la ecuación de la directriz de la parábola 2 y Solución: 2 y 2 − 8 x − 24 y + 56 = 0 2 y 2 − 4 x − 12 y + 28 = 0 y 2 − 12 y = 4 x − 28 Completamos el cuadrado y entonces: ( y − 6)2 − 36 = 4 x − 28 ( y − 6) 2 = 4 x + 8 ( y − 6) 2 = 4( x + 2) Entonces el vértice es V (-2,6) Como 4p = 4, p = 1 > 0 91 2 − 8 x − 24 y + 56 = 0 . Foco: = (-2 + p, 6) = (-1,6) Las coordenadas del foco son F (-1,3) Directriz: x = -2 –p = -3. La ecuación de la directriz es x = -3 Con estos datos representamos la parábola 92 1. Halla la ecuación de la parábola con foco P = (2,-1) y directriz el eje y = 0. 2. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V (6, 4) y cuyo foco es el punto F (6, 2), determina también la ecuación de su directriz, y la longitud del lado recto. 3. Encuentra la ecuación de la parábola en su forma general, sabiendo que las coordenadas de su foco son F (4, .3) y la ecuación de su directriz es y =1. 4. Determina la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y y que pasa por los puntos (-2, 9), (0, 1) y (3, 4). 5. Calcula el foco y el vértice de la parábola de ecuación y2 = 6x 6. Calcula el foco y el vértice de la parábola de ecuación x2 = 6y 7. Dadas las siguientes ecuaciones de las parábolas, halla coordenadas de foco, vértice y directriz. a) y = 2x2 b) y = x2 – 4x + 7 c) y = x2 + 4 8. Halla la ecuación de la parábola que tiene: a) b) c) d) e) f) g) h) i) vértice en el origen y foco en el punto (4, 0) vértice en el origen y foco en el punto (0, 4) vértice en el origen y directriz de ecuación y – 2 =0 foco en el punto (0, -3) y directriz en la recta y = 3 vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x y pasa por el punto (2, 4) vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, y pasa por el punto (6;-3) vértice en el origen, se abre hacia arriba, y la longitud del lado recto es 3. vértice (1;3) y directriz x = 0 vértice (-3;5) y directriz y = 1 93 9. Dada la ecuación: x2 – 3x + 5y – 1 = 0, prueba que corresponde a una parábola. Halla vértice, foco, directriz y lado recto. 10. Determina la ecuación de la parábola en cada caso: a) El foco es el punto (5,0) y la directriz es x + 5 = 0 b) El vértice es (-2,2) y su directriz la recta y = -3 c) Vértice (2,1), extremos del lado recto (-1,-5) y (-1,7) d) Vértice (-2,3), Foco (-2,4) 2 11. Dada la parábola que tiene por ecuación x = -6y, encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz. 12. Encuentra los elementos de las parábolas: a) y2 – 12x = 0 b) x2 + 6y = 0 c) x2 – 12x + 4y + 12 = 0 d) 2y2 – 8x – 8y – 32 = 0 94 2.3. Aplicaciones de la ecuación de la parábola. Las parábolas se aplican en cálculo de trayectorias, lanzamiento de clavados, diseño de fuentes, puentes muy largos (como el Golden Gate), diseño de antenas parabólicas y también en construcciones arquitectónicas como los arcos de la base de la Torre Eiffel. 95 1. Una persona se encuentra en un edificio de 20 metros de altura. La persona lanza hacia arriba y hacia delante una piedra a una velocidad de 15 metros por segundo en el eje y. La piedra sigue una trayectoria representada en la 2 ecuación: y (t ) = −5t + 15t + 20 a) Determina el tipo de parábola que se produce y elabora la gráfica que represente el evento. b) Determina qué altura alcanza la piedra en 2.5 segundos. Solución: De la expresión inicial, veamos los siguientes dos términos; éstos son más sencillos. Para el segundo término el coeficiente es 15, la variable es t, y el grado es 1. El tercer y último término tiene coeficiente igual a 30. La variable es t, pero no se visualiza porque el exponente es 0. Para nuestro caso vemos que el mayor exponente es 2. Por lo tanto el grado del polinomio es 2 o sea una Parábola. a) Por el signo menos del término cuadrático de la ecuación, podemos determinar que es una parábola vertical que abre hacia abajo. Elaborando la gráfica obtenemos que: b) La altura que alcanza en 2.5 segundos es: Trayectoria= −5t + 15t + 20 2 Sustituyendo: Trayectoria= −5(2.5) + 15(2.5) + 20 2 Altura= 26.25 m 96 2. Clavadista. Una persona se lanza desde una altura de 10 m, y necesitamos saber en qué momento toca el agua. Solo conocemos que la expresión de su trayectoria es: −5t 2 + 5t + 10 Solución: Si observamos la trayectoria del clavadista, podemos decir que la persona toca el agua en t segundos y medirlo con un cronómetro. Pero ¿qué tal si no tenemos un cronómetro y tampoco tenemos la figura? La trayectoria es una parábola cóncava hacia abajo por el signo menos del primer término de la ecuación que es -5. Debemos buscar una forma para encontrar el valor de t que nos indique en qué momento el clavadista toca el agua. Utilizaremos la fórmula general. Esta es una ecuación de la 2 forma: ax + bx + c = 0 la cual representa una Parábola. De la ecuación que define la trayectoria del clavadista: −5t 2 + 5t + 10 tenemos que: a = −5 b=5 c = 10 97 Ahora los sustituiremos en la fórmula general y tenemos −b ± b 2 − 4ac x= 2a t= −5 ± 52 − 4(−5)(10) 2(−5) t= −5 ± 25 + 400 −10 t= −5 ± 625 −10 t= −5 ± 15 −10 Finalmente tenemos dos valores, cuando 15 es positivo y cuando 15 es negativo: t1 = −1 t2 = 2 Respuesta: Se usa sólo el valor positivo del tiempo y se tiene que el clavadista tarda 2 segundos en tocar el agua después de lanzarse. 98 3. Parabólicas. Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión tienen forma parabólica para así, concentrar las débiles señales que le llegan al foco (el foco, es el extremo de la línea que se encuentra en el vértice). La expresión matemática 2 para una de ellas es: y = 6 x − 2400 Determina el diámetro de la parábola. Solución: Podemos colocar la antena sobre un eje coordenado y establecer la ecuación cuadrática, para realizar operaciones. Colocamos la línea de la antena sobre el eje y, de manera que los extremos de la antena toquen el eje de la x. y = 6 x 2 − 2400 Como lo que buscamos conocer es el diámetro de la antena parabólica, necesitamos identificar la distancia entre los puntos que tocan el eje x. Para lograrlo, tenemos que encontrar esos puntos y medir la distancia entre ellos. Por lo tanto, debemos encontrar 2 para qué valores de la expresión anterior y es igual a 0, es decir 6 x − 2400 = 0 99 Despejamos x, obteniendo: 6 x 2 = 2400 . x2 = 2400 6 x 2 = 400 x = 400 x1 = 20 x2 = −20 Analizando: ¿Cuál es el diámetro de la antena parabólica? O sea, la distancia entre los puntos que tocan el eje de las x si consideramos la figura. Lo que hasta ahora hemos encontrado son los puntos donde la antena toca al eje de las x, de manera que el diámetro está dado por las unidades que hay entre esos dos puntos. Respuesta: El diámetro de la parábola es de 40 cm. 100 4. Un faro de automóvil tiene un reflector parabólico de 24 centímetros de diámetro y 8 centímetros de profundidad. ¿A qué distancia del vértice debe colocarse el bulbo luminoso? Solución: Colocamos los ejes cartesianos de manera que el vértice de la parábola esté en el origen y su eje coincida con el eje y. Entonces la ecuación de la parábola es: x 2 = 4 py Debemos determinar el valor de p , que es la distancia del foco al vértice. Como el diámetro del faro es de 24 centímetros y éste tiene una profundidad de 8, los puntos (12,8) y (-12,8) están en la parábola. Sustituimos (12,8) en la ecuación de la parábola y despejamos p . (12)2 = 4 p(8) 144 = 32 p 144 =p 32 p = 4.5 Por lo que las coordenadas del foco son F (0, 4.5) . Respuesta: Se debe colocar el bulbo a 4.5 centímetros del vértice. 101 5. Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de una parábola. Si las torres tienen una separación de 240 metros y los cables están atados a ellas 80 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente. Solución: La ecuación de la parábola es x = 4 py . Debemos encontrar p. Como los puntos (120, 80) y (-120, 80) están en la parábola, resolvemos 2 (120)2 = 4 p(80) 1440 = 320 p p = 45 obteniendo p = 5. Así que la ecuación de la parábola es x = 180 y 2 Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya primera coordenada es x = 70 (que es la diferencia de x = 120-50). Resolvemos: (70)2 = 180 y 4900 = 180 y y = 27.22 obteniendo: y = 27.22 . Respuesta: La altura del puntal que está a 50 m de la torre es de 27.22 m. 102 3. Usar las ecuaciones de la elipse en la solución de problemas prácticos. 2.4. Elipse. 2.4.1. Elementos de la elipse. 2.4.2. Elipse vertical. 2.4.2.1. Con centro en el origen. 2.4.2.2. Con centro fuera del origen. 2.4.3. Elipse horizontal. 2.4.3.1. Con centro en el origen. 2.4.3.2. Con centro fuera del origen. 2.4.4. Ecuación general. 2.5. Aplicaciones de las ecuaciones de la elipse. 103 2.4. La Elipse Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un plano: Si el plano está inclinado, no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sóla rama del cono, como se ve en la Figura 19. Figura 19. Elipse La generatriz de una superficie cónica es una recta fija en uno de sus puntos con uno de sus extremos describiendo una circunferencia plana. DEFINICIÓN: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (los focos) sea una constante positiva. Los dos puntos son conocidos como focos de la elipse, mientras que la constante será representada por 2a 104 2.4.1. Elementos de la elipse. La elipse es el lugar geométrico de los puntos, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante positiva. Los elementos de la elipse son los siguientes: F1 y F2 , representan los focos de la elipse. La recta que pasa por los focos: eje focal. Los puntos donde la curva interseca al eje focal, llamados vértices V1 y V2 de la elipse. El segmento de la recta cuyos extremos son los vértices de la elipse es el eje mayor. El punto medio del eje mayor, es el centro de la elipse. El segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro e intersecta a la elipse en los puntos B1 y B2 , se llama eje menor. Por lo tanto, B1 y B2 , son entonces los extremos dicho eje. Cada uno de los segmentos del eje mayor, cuyos extremos son el centro de la elipse y los vértices (mitad del eje mayor), son el semieje mayor. Cada segmento del eje menor, cuyos extremos son el centro de la elipse y los extremos del eje menor (mitad del eje menor), constituyen el semieje menor. 105 Podemos notar en la gráfica que siempre a > b . La manera de medir el alargamiento de una elipse es por medio de su excentricidad, la cual se define como el cociente de la distancia focal entre el eje mayor. e= c a Observa que como c < a , entonces 0 < e < 1 . De esta forma, cuanto más cerca esté la excentricidad a cero, la elipse se parecerá más a un círculo, y mientras más cerca esté de uno, más alargada será. A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, se debe escoger el eje x como la recta que pasa por los dos focos F y F´, con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene coordenadas (c, 0) con c > 0, entonces, como en la figura siguiente, F´ tiene coordenadas (-c, 0) La suma de las distancias de un punto P (x, y) desde F y F´ se denotará con 2a. Observando la figura anterior se tiene que: La condición de movimiento del punto P(x, y), dada por la definición es: suur suuur PF + PF ' = Cons tan te = 2a 106 Por la fórmula de la distancia entre dos puntos, lo anterior es equivalente a: ( x − c) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2a Despejamos el segundo radical y obtenemos: ( x − c ) 2 + y 2 = 2a − ( x + c ) 2 + y 2 Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tenemos: ( ( x − c)2 + y 2 ( x − c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4 a ) ( ( 2 = 2a − ( x + c ) 2 + y 2 ) 2 ) ( x + c) 2 + y 2 + x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 Desarrollando los términos al cuadrado y simplificando queda: 4a ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4 xc Dividiendo entre 4 obtenemos: a ( x + c) 2 + y 2 = a 2 + xc Volviendo a elevar al cuadrado ambos miembros obtenemos: a 2 ((x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2 a 2 cx + x 2 c2 (a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2 ) Desarrollando los términos al cuadrado y simplificando se tiene: ax 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + x 2c 2 La diferencia a2-c2, es constante y positiva, de tal manera que podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea: b2 x 2 + a 2 y2 = a 2 b2 Dividiendo por a2b2 donde b = a2 - c2, se obtiene la forma llamada simétrica o normal de una elipse. 107 x2 y 2 + =1 a2 b2 Graficando: Donde 2a es la longitud del eje mayor y 2b la longitud del eje menor. Figura 20. Representación gráfica de una elipse. 108 Análisis de la ecuación. Para hacer el análisis de la ecuación despejaremos x y y de la siguiente ecuación: x2 y 2 + =1 a2 b2 Por tanto: y= ± b 2 a - x 2 ecuación (a) a x =± a b 2 - y 2 ecuación (b) b 1. La ecuación (a) permite ver que la elipse es simétrica con relación al eje de las abscisas, porque para cada valor de x, se obtienen dos valores de y iguales y con signos contrarios. Análogamente, la ecuación (b) demuestra que también hay simetría con relación al eje de las ordenadas. Consecuentemente con esto el origen es centro de simetría. 2. Si en la ecuación (b) hacemos y = 0, resulta: x = ± a , de modo que los puntos de intersección de la curva con el eje de las abscisas son: A1 (-a, 0) y A2(a, 0) Si en la ecuación (a) hacemos x = 0, resulta: y = ± b , de tal manera que las intersecciones con el eje de las ordenadas son: B1 (0, -b) y B2 (0, b) 3. La ecuación (a) permite ver que x solamente puede variar desde –a hasta +a porque afuera de estos valores los de y resultan imaginarios. Del mismo modo, la ecuación (b) justifica que y únicamente pueda variar desde –b hasta +b. 4. La curva es cerrada, lo que se deduce no solamente como consecuencia de la simetría total existente. 109 Figura 21. Elipse horizontal con vértice en el origen. Elementos Y por tanto se dice que ésta es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos elementos principales son los siguientes: A1 y A2, vértices F´ y F, A1A2 = 2a focos eje focal C suuur B1 B2 = 2b suuur F ' F = 2c suuur QQ ' eje no focal distancia focal lado recto centro Lado recto. El llamado Ancho Focal o Lado recto de la elipse es la magnitud del segmento de recta Q'Q perpendicular al eje mayor que pasa por los focos. 2b 2 LR= Ancho focal = a Excentricidad de la elipse. Este es un concepto del cual depende la mayor o menor deformación que pueda experimentar una circunferencia para producir una elipse. La excentricidad que se representa con la letra e, se define como el cociente de la semidistancia focal c entre el semieje mayor a: 110 Entonces podemos expresarla como: Excentricidad ; e = c a Precisamente veremos que la excentricidad debe ser cualquier número mayor que cero pero menor que uno. Es decir: 1 > e > 0. En efecto, si e=0 forzosamente c = 0 y de la fórmula a2 – c2 = b2 se deduce que a = b, en cuyo caso la curva es una circunferencia, la que puede ser considerada como un caso particular de elipse con excentricidad nula. Ahora, si e = 1 es evidente que a = c y de la propia fórmula a2 – c2 = b2 resulta: b = 0, en cuyo caso la deformación ha sido total, de tal manera que la curva se ha convertido en línea recta. En consecuencia 1 > e > 0 2.4.2. Elipse vertical. 2.4.2.1. Con centro en el origen. Si el centro de la elipse coincide con el origen del sistema de ejes de coordenadas y los focos están en el eje y, con coordenadas F2 (0, c) y F1 (0,-c). Y aplicando los conocimientos anteriores tenemos que: Figura 22 111 Figura 22. Elipse vertical con centro en el origen. (x 2 + (c - y) 2 + (x 2 + (c + y) 2 = 2a Despejando el primer radical: (x 2 + (c - y) 2 = 2a - (x 2 + (c + y) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, desarrollando y simplificando obtenemos: 4a (x 2 + (c + y) 2 = 4a 2 + 4cy Dividiendo por 4 ambos miembros llegamos a: a (x 2 + (c + y) 2 = a 2 + cy Elevando al cuadrado, desarrollando y simplificando de nuevo: a 2 x 2 + (a 2 -c 2 )y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) Como vimos anteriormente simplificando: b = a 2 − c 2 . Sustituyendo, dividiendo por a − b y 2 x2 y 2 + =1 b2 a 2 Que es la ecuación común de la elipse vertical con centro en el origen. Figura 22. 112 2 En resumen: La ecuación de la elipse: Con centro en el origen y eje focal sobre el eje y : x2 y 2 + =1 b2 a 2 C (0,0) Coordenadas del centro Distancia del centro de la elipse a cada foco c = a 2 − b2 Coordenadas de los focos F1 (0, c) y F2 (0, −c) Coordenadas de los vértices V 1(0, a) y V2 (0, − a) Coordenadas de los extremos del eje B1 (b,0) y menor B2 (−b,0) y Longitud del eje mayor 2a Longitud del eje menor 2b e= Excentricidad 113 c a 1. Considera la elipse con ecuación 2x2 + 9y2 = 18 y obtengamos las coordenadas de los focos. Para ello, escribimos la ecuación en la forma estándar. x2 y 2 + =1 9 2 De aquí se deduce que a = 3 y b = 2 . Luego calculamos c a partir de la fórmula c2 = a2 – b2 obteniendo: c2 = 9 – 2 = 7 o c = ± 7 Por lo tanto los focos de la elipse son: 2. ( ) ( ) 7,0 y − 7,0 . Encuentra la ecuación de la elipse con vértices ( ±4,0 ) y focos ( ±2,0 ) . Para ello usamos nuevamente la forma estándar. x2 y 2 + =1 a2 b2 Donde a >0 Como los vértices son ( ±4,0 ) , concluimos que a = 4. Análogamente, como los focos son ( ±2,0 ) , concluimos que c = 2. Luego, la fórmula c2 = a2 - b2 nos da b2 = a2 - c2 = 16 - 4 = 12 De donde: b = ± 12 . De esta forma la ecuación de la elipse tiene la forma explícita x2 y 2 + =1 16 12 114 2.4.2.2. Con centro fuera del origen. Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y : ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2 C (h, k ) Coordenadas del centro Distancia del centro de la elipse a cada foco c = a 2 − b2 Coordenadas de los focos F1 (h, k + c) y F2 (h, k − c ) Coordenadas de los vértices V1 (h, k + a) y V2 (h, k − a ) Coordenadas de los extremos del eje B1 ( h − b, k ) y B2 (h + b, k ) menor Longitud del eje mayor 2a Longitud del eje menor 2b e= Excentricidad 115 c a 2.4.3. Elipse horizontal. 2.4.3.1. Con centro en el origen. La ecuación de la elipse es: Con centro en el origen y eje focal sobre el eje x : x2 y 2 + =1 a 2 b2 C (0,0) Coordenadas del centro Distancia del centro de la elipse a cada foco c = a 2 − b2 Coordenadas de los focos F1 (c,0) y F2 (−c,0) Coordenadas de los vértices V 1(a,0) y V2 (− a,0) Coordenadas de los extremos del eje menor B1 (0, b) y B2 (0, −b) Longitud del eje mayor 2a Longitud del eje menor 2b e= Excentricidad 116 c a 2.4.3.2. Con centro fuera del origen. Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x : ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 C (h, k ) Coordenadas del centro c = a 2 − b2 Distancia del centro de la elipse a cada foco Coordenadas de los focos F1 (h + c, k ) y F2 (h − c, k ) Coordenadas de los vértices V1 (h + a, k ) y V2 (h − a, k ) Coordenadas de los extremos del eje menor B1 = ( h, k + b) y B2 ( h, k − b) Longitud del eje mayor 2a Longitud del eje menor 2b e= Excentricidad 2.4.1. c a Ecuación general. La ecuación de la elipse también puede escribirse en su forma general de la 2 2 siguiente manera: Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 En donde A = b , C = a , D = −2b h, E = −2a k y F = b h + a k − a b . 2 2 2 2 Los coeficientes A y C deben ser del mismo signo. 117 2 2 2 2 2 2 2.5. Aplicaciones de la ecuación de la elipse. 1. La órbita de un planeta tiene forma de elipse, con un eje mayor de longitud 400 millones de km. Si la distancia entre focos es 300 millones de Km., obtén la ecuación de la órbita. Representemos el problema: Entonces, estamos hablando de una elipse con centro en el origen y eje focal sobre el x2 y 2 eje x, por lo tanto su ecuación es 2 + 2 = 1 . Encontremos los valores de a y b . a b Como F1 (c,0) = F1 (150,0) , entonces c = 150 , y como V 1( a,0) = V 1(200,0), a = 200 . Sólo hace falta el valor de b , obtengámoslo a partir de la ecuación c = tenemos lo siguiente: 150 = 2002 − b 2 b = 17500 b = 50 7 b 2 = 2002 − 1502 1502 = 2002 − b 2 118 a 2 − b2 , x2 y 2 Sustituimos el valor de a = 200 y b = 50 7 en 2 + 2 = 1 , entonces la ecuación a b que describe la órbita es: x2 y2 + =1 (200)2 (50 7) 2 x2 y2 + =1 40000 17500 2. Encontrar la diferencia entre el radio mayor y el radio menor de la órbita de la Júpiter, sabiendo que el radio mayor es aproximadamente de 5. 2 la de la Tierra que es de 149,600,000 Km. Solución Como la excentricidad de la órbita de Júpiter e= c = 0.048 a Despejando c=0.048; entonces c = 0.017 a y el radio menor es b = a2 − c2 b = a 2 − (0.048a) 2 b = a 2 (1 − (0.048)2 b = 0.97696a 2 b = 0.99884a b = 149427561 así que la diferencia entre el radio mayor y el radio menor es de 5.2(149600000) − 5.2(149427561) = 896682.8km 119 2.5.1. Reflexiones. a. Si un rayo emana de uno de sus focos y choca contra su superficie, debido a una propiedad conocida como tangente, éste se refleja hacia el otro foco. b. En el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, existe la "Galería de los suspiros"; una habitación con techo en forma de elipsoide. Si una persona se pone en uno de sus focos, otra persona colocada en el otro foco la oye perfectamente, no así cualquier otra persona que esté en la habitación. Esta construcción es común también en otros conventos y monasterios europeos. c. Tabla de referencia. En la tabla siguiente aparece la excentricidad de las órbitas planetarias, así como la distancia media del planeta al sol medida en unidades astronómicas (U.A.), una unidad astronómica es, por definición, la distancia media de la tierra al Sol. Planeta Excentricidad Distancia media (U.A.) Mercurio 0.206 0.387 Venus 0.007 0.723 Tierra 0.017 1 Marte 0.093 1.52 Júpiter 0.048 5.2 Saturno 0.056 9.54 Urano 0.047 19.18 Neptuno 0.009 30.06 Plutón 0.25 39.44 d. No nada más los planetas satisfacen las leyes de Kepler1, también todos los cuerpos que giran alrededor de otros como los cometas, los satélites girando alrededor de los planetas, y aún el sistema solar girando alrededor del centro de la Vía Láctea. 1 Establece que todos los planetas del sistema solar giran alrededor del Sol en órbitas elípticas. 120 1. Encuentra la ecuación de una elipse horizontal si su centro es (5, 1) y el diámetro mayor es igual a 10, y el diámetro menor es igual a 8. Solución: C = (h,k) = (5, 1) b=4 a=5 (x − 5)2 ( y − 1) 2 + = 1 25 16 121 2. Halla la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’ (-3, 0). El intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (figura) se tiene que b2 -52 – 32 -16, y por tanto b = ±4 . De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1 (5, 0), V2 (-5, 0), V3 (0, 4) y V4 (0, -4). Además, su ecuación viene dada por: x2 y 2 x2 y 2 + = 1 ⇔ + =1 52 4 2 25 16 122 3. Demuestra que la ecuación 9 x + 4 y + 36 x − 24 y + 36 = 0 representa una elipse y determinar todos sus elementos. 2 2 Solución: Es suficiente observar que los coeficientes de x2 y y2 son desiguales y del mismo signo y que no hay término rectangular, para asegurar que la ecuación sí representa una elipse, con ejes de simetría paralelos a los de coordenadas. Para mayor seguridad nos convendrá ver si se puede llevar esta ecuación a la forma tipo correspondiente, lo que además nos servirá para determinar los elementos de la curva. Completando a trinomios cuadrados perfectos en x y y en la ecuación dada: 9( x 2 + 4 x + 4 − 4) + 4( y 2 − 6 y + 9 − 9) + 36 = 0 Simplificando: 9( x + 2) 2 − 36 + 4( y − 3)2 − 36 + 36 = 0 9( x + 2) 2 + 4( y − 3) 2 = 36 Dividiendo entre 36 queda: ( x + 2)2 ( y − 3)2 + =1 4 9 De la ecuación encontramos que a2 = 9 y b2 = 4. Por tanto, a = 3 y b = 2. Las coordenadas del centro son C (-2,3). Los ejes mayor y menor están dados por: Eje mayor = 2a = 6 Eje menor = 2b = 4 Despejando a c de la expresión: a2 – c2 = b2 c = ± a 2 − b 2 = ± 5 = ±2.23 Distancia focal: 2c = 4.46 123 Excentricidad: e= c 2.33 = = 0.74 a 3 Ancho focal: 2b 2 8 = = 2.66 a 3 Vértices: Focos: A1 (-2,0) y A2 (-2,6) F1 (-2,0.74) y F2 (-2, 5.23) 124 1. Determina las coordenadas de los focos y los vértices de las siguientes elipses: a) x2/16 + y2/12 = 1 b) x2 + 4y2 = 16 c) 3x2 + 2y2 = 6 2. Determina las coordenadas de los focos y los vértices de las siguientes elipses: a) x2 + 2y2 – 2x + 8y + 5 = 0 b) 25x2 - 9y2 – 18y – 216 = 0 c) x2 + 3y2 – 6x + 6y = 0 d) 3x2 - y2 – 24x + 39 = 0 3. Calcula la ecuación de la elipse cuyos focos están en los puntos F (3,0) y F'(3,0) y cuyo eje mayor mide 10. 4. Halla la ecuación de la elipse de vértices A( -4, 0), B(4, 0) y pasa por el punto P(1, -2) 5. Halla las ecuaciones de las siguiente elipse: Centro (-1, 3); foco (-2, 3), y eje mayor = 6 6. Halla la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son las coordenadas de los puntos F (3, 0) y F’ (-3, 0), además la intersección de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). 7. Determina el centro, los focos y los vértices de la elipse que tiene por ecuación: 4 x 2 + y 2 − 16 x + 2 y + 13 = 0 8. Halla la ecuación reducida de la elipse x2 + 4y2 − 2x + 8y + 1 = 0. 9. Encuentra la ecuación de la elipse para cada inciso: a) Centro (5 , 1) , vértice (5 , 4) , extremo de un eje menor en (3, 1) b) Vértice en (6, 3), focos en (-4, 3) y (4, 3) c) Foco en (1, -1) y extremos del eje menor en (-1, 2) y (-1, -4) d) Vértices en (-1, 3) y (5, 3), longitud del eje menor igual a 4 e) Focos en (-4, 2) y (4, 2), longitud del eje mayor igual a 10 125 10. Halla los elementos de la elipse de cada inciso: a) 9x2 + 25y2 – 225 = 0 b) 49x2 + 25y2 – 1225 = 0 c) 16x2 + 25y2 + 160x + 200y + 400 = 0 d) 4x2 + 8y2 – 4x – 24y –13 = 0 11. Halla la ecuación de la elipse , conociendo los siguientes datos: a) V ( 0 , 3 ), V’ ( 0 , -3 ) y F ( 0 , 2 ) , F’ ( 0 , -2 ) b) V ( 5 , 0 ) , V’ ( -5 , 0 ) y F ( 3 , 0 ) , F’ ( -3 , 0 ) c) V ( -2 , 8 ) , V’ ( -2 , 0 ) y F ( -2 , 6 ) , F’(-2 , 2 ) d) F (2, -1), F’ (10, -1) y excentricidad: e = 2 / 3 e) F (2, 3), F’ (8, 3) y longitud de los lados rectos 7 / 2 126 4. Usarás las ecuaciones de la hipérbola en la solución de problemas prácticos. 2.6. Hipérbola. 2.6.1. Elementos de la hipérbola. 2.6.2. Hipérbola vertical. 2.6.2.1. Con centro en el origen. 2.6.2.2. Con centro fuera del origen. 2.6.3. Hipérbola horizontal. 2.6.3.1. Con centro en el origen. 2.6.3.2. Con centro fuera del origen. 2.6.4. Ecuación general. 2.7. Aplicaciones de la hipérbola. 127 2.6. La Hipérbola. Una hipérbola es la curva abierta de dos ramas que se obtiene intersectando un cono circular recto y un plano; si el plano está inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa por el vértice del mismo. DEFINICIÓN: Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano, tal que la diferencia de las distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos del plano (los focos) sea una constante (positiva) que representaremos como 2a. Figura 23. Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. 128 2.6.1. Elementos de la hipérbola. F1 y F2 son los focos de la hipérbola. La recta que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. Los puntos donde la curva intersecta al eje focal se llaman vértices V1 y V2 de la hipérbola. El segmento de la recta que tiene como extremos los vértices de la hipérbola se llama suur eje transverso VV 1 2 . El punto medio c del eje transverso es el centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola es el eje normal. suuur La distancia entre los focos F1 F2 se denomina distancia focal. suuur Los segmentos del eje normal B1B2 se denomina eje conjugado; B1 y B2 son los extremos del eje conjugado. Las rectas diagonales del rectángulo auxiliar son las asíntotas de la hipérbola. Cada uno de lo segmentos del eje transverso, cuyos extremos son el centro de la hipérbola, y cada uno de los vértices se llama semieje transverso. Cada segmento del eje conjugado, cuyos extremos son el centro de la hipérbola y cada uno de los extremos del eje conjugado, se llama semieje conjugado. 129 130 2.6.2. Hipérbola vertical. 2.6.2.1. Con centro en el origen. Cuando una hipérbola es de este tipo, sus focos son F´ (0, -c) y F (0, c) y están sobre el eje de las y. Obtendremos su ecuación procediendo igualmente que otros casos ya vistos. Sea P(x, y) un punto cualquiera su condición de movimiento es: suur suuur PF + PF ' = Cons tan te = 2a Entonces: suuur PF ' = x 2 + ( y + c) 2 y suuur PF ' = x 2 + ( y − c ) 2 Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que: x 2 + ( y + c)2 − x 2 + ( y − c)2 = 2a Despejando el primer radical: x 2 + ( y + c ) 2 = 2a + x 2 + ( y − c) 2 Elevando al cuadrado ambos miembros: ( x 2 + ( y + c)2 ) ( 2 = 2a + x 2 + ( y − c ) 2 ) 2 Desarrollando, reduciendo términos semejantes y dividiendo entre 4: cy − a 2 = a x 2 + ( y − c) 2 Elevando al cuadrado nuevamente, desarrollando y simplificando tenemos que: (c 2 − a 2 ) y 2 − a 2 x 2 = a 2 (c 2 − a 2 ) Según la figura anterior y aplicando el teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b2 131 y por tanto b2 = a 2 − c 2 Sustituyendo en la ecuación tendremos: b 2 y 2 − a 2 x 2 = a 2b 2 Dividimos entre a2 b2 se tiene la forma simétrica de la ecuación de la hipérbola de este caso: y 2 x2 − =1 a2 b2 En este caso el eje focal coincide con el eje y el eje no focal con el eje x. Figura 24 Figura 24. Parábola vertical en el origen. La ecuación de las asíntotas es: y = ± 132 a x b En resumen: La ecuación de la hipérbola es: y 2 x2 − =1 a2 b2 Con centro en el origen y eje focal sobre el eje y: C (0,0) Coordenadas del centro Semidistancia focal c = a 2 + b2 Coordenadas de los focos F1 (0, c) y F2 (0, −c ) Coordenadas de los vértices V 1(0, a) y V2 (0, − a ) Coordenadas de los extremos del eje conjugado B1 (b,0) y B2 ( −b,0) y Semieje transverso a Semieje conjugado b 133 2.6.2.2. Con centro fuera del origen. La ecuación de la hipérbola es: Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y: ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 a2 b2 C (h, k ) Coordenadas del centro Semidistancia focal c = a 2 + b2 Coordenadas de los focos F1 ( h, k + c ) y F2 ( h, k − c ) Coordenadas de los vértices V1 ( h, k + a ) y V2 ( h, k − a ) Coordenadas de los extremos del eje conjugado B1 ( h − b, k ) y B2 ( h + b, k ) Semieje transverso a Semieje conjugado b 134 2.6.3. Hipérbola horizontal. 2.6.3.1. Con centro en el origen. La hipérbola tiene la forma aproximada que se muestra en la Figura 25. Figura 25. Hipérbola horizontal con vértice en el origen. Elementos. Esta es una hipérbola horizontal con centro en el origen, cuyos elementos principales son: A1 y A2 F´ y F suur suur CDyDE suur suur PQyRS suuur A1 A2 = 2a suuur B1 B2 = 2b suuur F´F = 2c suuur QQ´ vértices focos lados asíntotas eje focal eje no focal distancia focal lado recto 135 La ecuación de la hipérbola es: Con centro en el origen y eje focal sobre el eje x : x2 y 2 − =1 a 2 b2 C (0,0) Coordenadas del centro c = a 2 + b2 Semidistancia focal Coordenadas de los focos F1 (c,0) y F2 (−c,0) Coordenadas de los vértices V 1(a,0) y V2 (− a,0) Coordenadas de los extremos del eje conjugado B1 (0, b) y B2 (0, −b) Semieje transverso a Semieje conjugado b 136 2.6.3.2. Con centro fuera del origen. La ecuación de la hipérbola es: Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x : ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 C (h, k ) Coordenadas del centro c = a 2 − b2 Semidistancia focal Coordenadas de los focos F1 ( h + c, k ) y F2 ( h − c, k ) Coordenadas de los vértices V1 (h + a, k ) y V2 (h − a, k ) Coordenadas de los extremos del eje conjugado B1 = (h, k + b) y B2 (h, k − b) Semieje transverso a Semieje conjugado b 137 Demostración de la Ecuación normal. Escojamos un sistema de coordenadas con focos F´ (-c, 0) y F(c, 0) y denotamos la distancia (constante) con 2a. Observando la figura siguiente tenemos que: La condición de movimiento del punto P(x, y), dada por la definición es: suuur suur PF ' − PF = Cons tan te = 2a Pero de acuerdo a la expresión para la distancia entre dos puntos tenemos: suuur PF ' = ( x + c) 2 + ( y + 0) 2 y suur PF = ( x − c ) 2 + ( y + 0)2 Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que: ( x + c ) 2 + ( y + 0) 2 − ( x − c ) 2 + ( y + 0) 2 = 2a Despejando el primer radical: ( x + c) 2 + y 2 = 2a + ( x − c ) 2 + y 2 Elevando al cuadrado ambos miembros: ( ( x + c) 2 + y 2 ) = ( 2a + 2 ( x − c) 2 + y 2 Desarrollando y reduciendo términos semejantes: 4cx − 4a 2 = 4a ( x − c) 2 + y 2 138 ) 2 Dividiendo entre 4 ambos miembros llegamos a: cx − a 2 = a ( x − c )2 + y 2 Elevando al cuadrado nuevamente, desarrollando y simplificando tenemos que: (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ) La diferencia c2 -a2, es constante y positiva, de tal manera que podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea: b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 (I) Que es la ecuación definitiva de la hipérbola, la que también, al dividir entre a2b2, puede expresarse en la siguiente forma dividiendo por a2b2 donde b = c2 - a2 x2 y 2 − =1 a 2 b2 Se obtiene entonces la forma llamada simétrica o normal de una hipérbola. Las funciones definidas mediante ecuaciones del tipo: K y= cx + d ó ax + b 2 y= cx + d Se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Análisis de la ecuación. Para hacer el análisis de la ecuación despejaremos las variables x, y de la ecuación (I) Por tanto: x=± a 2 b + y2 b ecuación (a) y=± b 2 x − a2 a ecuación (b) 139 A partir de aquí haremos las siguientes consideraciones: a) La simple observación de las ecuaciones (a) y (b), nos permite asegurar que la curva es simétrica con relación a los ejes del sistema y al origen. b) Cuando y = 0, en (a) resulta x = ± a . De acuerdo con esto vemos que la hipérbola corta al eje de las abscisas en los puntos A1 (− a,0) y A2 (a,0) Cuando x = 0, en (b) resulta y = ±b . Este resultado nos permite asegurar que la curva, no corta al eje de las ordenadas. c) La misma ecuación (b) nos hace comprender que la curva no existe entre x = -a y x = a, sino que solamente se extiende desde x = -a hacia la izquierda y desde x = a hacia la derecha, o sea que tiene dos ramas separadas, ambas controladas por la misma ecuación. Se trata pues de una curva discontinua. d) La curva es abierta porque a medida que x aumenta independientemente, también y hace lo propio. Lado recto y excentricidad. suuur El lado recto (LR) es el segmento de recta QQ´ , cuyos extremos son puntos de la curva, perpendicular al eje focal y que pasa por uno de los focos, cuya ecuación es. LR = 2b 2 a Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola son: b y = ±  x a La excentricidad se define también como: Excentricidad ; e = Pero como en la hipérbola c > a, entonces e > 1. 140 c a De los ejes mencionados, pueden ser indistintamente uno mayor que otro o hasta iguales, sin que la hipérbola deje de ser horizontal. De las magnitudes de ellos, solamente depende la mayor o menor abertura de las ramas de la curva. 2.7. Aplicaciones de la hipérbola. La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes. Fijamos un sistema rectangular, de manera que las dos estaciones estén sobre el eje x y el origen a la mitad de la distancia entre ellas. 141 1. Dos estaciones LORAN están a una distancia de 300 Km. entre sí a lo largo de un litoral recto. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00075 s entre las dos señales LORAN. ¿En qué lugar tocaría tierra si siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo? Solución: El barco se encuentra en una hipérbola cuyos focos están en la posición de las estaciones. Puesto que la diferencia de tiempo es de 0.00075 s. y la velocidad de la luz es 300,000 Km/s, la diferencia entre las distancias del barco a cada estación es distancia = velocidad × tiempo d = 300000 × 0.00075 d = 225 Km La diferencia entre las distancias del barco a cada estación es de 225 Km, de manera que a = 112.5 km y el vértice de la parábola está en (112.5, 0) . Como el foco está en (300,0); si el barco sigue la hipérbola, tocará tierra a 300-112.5= 178.5 Km de la estación maestra. El Sistema de Posicionamiento Global consiste en una serie de satélites de órbita baja que continuamente emiten señales indicando su posición y la hora que es. Si un receptor se encuentra en tierra y recibe la señal de tres o más satélites, puede calcular su posición como la intersección de hiperboloides y la superficie de la tierra. 2. Ejercicio de Reflexión de Astronomía y Trayectorias de cometas. Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas, así es que la próxima vez que sepas de un cometa averigua su trayectoria y su ecuación de la hipérbola. 142 3. Un balón se desliza sobre una de las ramas de la hipérbola x2 y2 − = 1. 25 9 Encuentra las posibles ordenadas de la posición del balón cuando la abscisa es 6. Sustituimos en la ecuación el valor de la abscisa x = 4 para encontrar el valor de las ordenadas. (6)2 y 2 − =1 25 9 36 y 2 − =1 25 9 y 2 36 = −1 9 25 y 2 11 = 9 25 9(11) y2 = 25 99 y2 = 25 y= 99 25 y=± 3 11 5 Respuesta: Las posibles ordenadas son: + 143 3 11 3 11 y − 5 5 4. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F (5, 0), F’ (-5, 0), V1 (4, 0) y V2 (-4, 0), respectivamente. Determina la ecuación de la hipérbola. Dibuja su gráfica e indica las asíntotas. Solución: Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: x2 y 2 − =1 a 2 b2 En este caso: a = 4, c = 5, de donde b = la ecuación de la hipérbola es: 25 − 16 = 3 (Ver figura) En consecuencia, x2 y2 − =1 16 9 Usando los binomios conjugados, tenemos: x2 y 2  x y  x y  − = 0 ⇔  −  +  = 0 16 9  4 3  4 3  x y − =0 4 3 144 x= 4 y 3 y x y + =0 4 3 3 y=− x 4 5. Determina las ecuaciones de las hipérbolas cuyo centro es el punto C (2,-1) y cuyos semiejes paralelos a 0x y 0y miden 1 y 4, respectivamente. Solución: La ecuación de la hipérbola horizontal es de la forma: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 Sustituyendo valores: ( x − 2) 2 ( y + 1)2 − =1 1 16 La ecuación de la hipérbola vertical es de la forma: ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 a2 b2 Sustituyendo valores: ( y + 1)2 ( x − 2)2 − =1 1 16 145 1. Escribe las siguientes hipérbolas en la forma simétrica. a) 9x2 – 25y2 – 225 = 0 b) 64x2 – 36y2 – 2304 = 0 c) 9x2 – 4y2 + 36x –16y – 16 = 0 d) x2 – 2y2 + 6x + 4y + 5 = 0 e) 4x2 – 49y2 + 48x – 98y + 291 = 0 2. Encuentra la ecuación de la hipérbola para cada inciso a) centro ( 2 , 0 ) , foco ( 10 , 0 ) un vértice en ( 6 , 0 ) b) centro ( 2 , 2 ) , foco ( 10 , 2 ) , un vértice en ( 5 , 2 ) 3. Halla la ecuación de la hipérbola, conociendo los siguientes datos: a) V ( 3 , 4 ) , V’ ( 3 , 0 ) y F ( 3 , 5 ) , F’ ( 3 , -1 ) b) V ( 3 , 4 ) , V’ (5 , 4 ) y F ( 2 , 4 ) , F’ (6 , 4 ) c) V (2, 4), V’ (6, 4) y excentricidad: e = 3 / 2 4. Para la siguiente ecuación que representa una hipérbola, determina los vértices y los focos, x2 – 9y2= 18 5. Halla la ecuación reducida de la hipérbola 9x2 − y2 − 18x + 8 = 0. 6. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérbolas, determina los focos y los vértices. a) b) c) d) e) f) 16x2 – 25y2 = 100 9x2 – 4y2 = 36 4x2 – y2 = 16 x2 – 9y2 = 18 4y2 – x2 = 8 4y2 – 9x2 = 36 146 7. En los siguientes ejercicios encuentra la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. a) b) c) d) e) f) Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). V1 (-3, 2), V2 (-3, -2); 2b = 6. F (-7, 3), F’ (-1, 3); 2a = 4. 8. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentra el centro, los focos y los a) b) c) d) e) f) g) h) vértices. (x + 5)2 – 4(y –4)2 =16 9(x - 3)2 – (y + 2)2 = 18 x2 + 4x – 4y2 – 8y + 4 = 0 3y2 – x2 – 12y + 9 = 0 9x2 + 18x – 4y2 – 8y – 23= 0 y2 – 4x2 – 8x – 6y = 9 x2 – 2x + 1 – 25y2 = 25 x2 – 9y2 + 16x – 18y = -9 147 Aplicación de las cónicas. Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, se han podido desarrollar diferentes aparatos y artefactos, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano. Las curvas cónicas son importantes en: 1. Astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la Ley universal de la gravitación describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están muy juntas describen elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicabilidad industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas. 2. Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas. 3. En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. 4. Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas. 5. La Ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre dos relaciones que son inversamente proporcionales entre sí. 6. Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo demostró considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuanta la fricción del aire. 7. Para diseño de puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente. 8. Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra. 148 9. Antenas para captar señales de comunicación e informática. 10. Para explicar el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. 149 1. Un parque de diversiones planea construir una rueda de la fortuna con un radio de 7m y con el centro a una altura de 8m, con respecto a la base. Determina la ecuación de la circunferencia que describe esta rueda colocando el origen en la base. 2. Colocando el origen de un sistema de coordenadas en el eje de una llanta de camión, se determina que un punto de la misma es: (5, 29.6). Encuentra la ecuación que describe la circunferencia de la rueda. 3. Sobre una pintura que tiene una carreta, se quiere dibujar una rueda que pase por el punto (-2, 3), con el origen sobre el punto (4, 3). ¿Cuál será el radio de la rueda? 4. Si la distancia de un lado al otro de una antena parabólica pasando por el foco es de 80 cm, ¿a qué distancia del vértice se encontrará el foco? 5. Se desea construir paraguas con forma parabólica; para ello, se utilizan tubos de 1.5 m de longitud como soporte. Si se considera que el foco de la parábola debe estar a la mitad del tubo, determina la distancia que habrá de lado a lado del paraguas, pasando por el foco. 6. Un arquitecto quiere levantar un arco de forma parabólica, abierto hacia arriba. Tomando como referencia una marca que se encuentra en el piso, el vértice de la parábola está 30 cm arriba de la misma. Si se considera que la posición del foco a partir de la marca del piso está en (0, 1.30m), escribe la ecuación de la parábola que le permitirá al arquitecto hacer el trazo de la misma. 7. En una unidad deportiva, se planea construir una pista de ciclismo de forma elíptica con una excentricidad de 0.2. Si el eje menor de la pista mide 40m, ¿cuál será la longitud del eje mayor? 8. Un juego mecánico giratorio es ligeramente excéntrico. Si su radio mayor es de 5.4m y su radio menor es de 5.2m, determina su excentricidad. 9. Se le pide a un artesano que manufacture un vitral de forma elíptica, que cumpla con la siguiente expresión matemática, considerando que está centrada 150 x2 y 2 + = 1 , determina: a) la longitud de su eje mayor, b) del eje 9 4 menor, c) la posición de los focos y d) excentricidad. en el origen: 10. A lo largo de un litoral recto, se encuentran dos estaciones de LORAN separadas por una distancia de 400Km. Un barco cercano, registra una diferencia de tiempo de 0.00062 s entre las dos señales de LORAN. ¿En qué lugar tocaría tierra si siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo? 11. Sobre una rampa de forma hiperbólica se desliza un ciclista. La pista x2 y 2 cumple con la siguiente expresión: − = 1 , con el vértice en (5, 0). 25 16 Determina a qué altura se encontrarán si sobre la horizontal se encuentran en: a) x = 6 y b) x = 10. 12. Una estructura volumétrica de gran estética y belleza, es la que se genera mediante la rotación sobre el eje no focal de una curva hiperbólica. Si la distancia del origen al vértice es 6 y el lado recto es 25, determina la ecuación de la parábola que describe esta curva. 151