Un Criterio óptimo Para Coordinar Estabilizadores

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Un criterio óptimo para coordinar estabilizadores enfocado mediante una técnica global heurística Tesis que presenta Rubén Tapia Olvera Para obtener el grado de Maestro en Ciencias En la especialidad de Ingeniería Eléctrica Guadalajara, Jalisco, Agosto de 2002 Un criterio óptimo para coordinar estabilizadores enfocado mediante una técnica global heurística Tesis de Maestría en Ciencias Ingeniería Eléctrica Por: Rubén Tapia Olvera Ingeniero Eléctrico Instituto Tecnológico de Pachuca, 1994-1999 Becario de CONACyT, expediente No. 157990 Director de Tesis: Dr. Juan Manuel Ramírez Arredondo CINVESTAV del IPN Unidad Guadalajara, Agosto de 2002 ÍNDICE LISTA DE FIGURAS VII CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN 1 1.1 Motivación del empleo de métodos de optimización.......................................................2 1.2 Aspectos generales de control en un sistema de potencia..............................................3 1.3 Sistemas Flexibles de Transmisión de CA.....................................................................4 1.4 Estructura del trabajo..................................................................................................5 1.5 Referencias…………………....…………………………………………………………………….......6 CAPÍTULO II COMPENSACIÓN DE POTENCIA REACTIVA 7 2.1 Introducción.................................................................................................................7 2.2 Conceptos básicos del flujo de potencia reactiva en SEP...............................................7 2.3 Compensación serie....................................................................................................11 2.4 Compensación en derivación.......................................................................................12 2.4.1 Reactores y capacitores operados con interruptores mecánicos........................12 2.4.2 Condensador Síncrono.....................................................................................12 2.4.3 Compensador Estático de Reactivos (SVC)........................................................13 2.4.4 Compensador Estático Síncrono (STATCOM)....................................................15 2.4.4.1 Característica de operación del STATCOM.........................................17 2.5 Ventajas y desventajas de la compensación serie y en derivación................................18 V 2.6 Interacción del SEP con dispositivos de compensación................................................19 2.7 Margen de reserva reactiva.........................................................................................20 2.8 Resumen....................................................................................................................20 2.9 Referencias.................................................................................................................21 CAPÍTULO III INTRODUCCIÓN AL ALGORITMO TEMPLADO SIMULADO 23 3.1 Introducción...............................................................................................................23 3.2 Conceptos Básicos......................................................................................................23 3.2.1 Algoritmos aleatorios.......................................................................................24 3.3 Cadenas de Markov....................................................................................................25 3.3.1 Cadenas de Markov de tiempo-homogéneo.......................................................26 3.4 Templado Simulado....................................................................................................28 3.4.1 Modelado de Templado Simulado.....................................................................32 3.4.2 Programa de enfriamiento................................................................................32 3.4.2.1 Programa de enfriamiento estático.....................................................33 3.4.2.2 Programas de enfriamiento dinámico.................................................33 3.4.2.3 Elementos básicos de SA...................................................................34 3.5 Ejemplos de aplicación...............................................................................................35 3.6 Resumen....................................................................................................................40 3.7 Referencias.................................................................................................................40 CAPÍTULO IV ANÁLISIS DEL COMPENSADOR ESTÁTICO SÍNCRONO (STATCOM) 43 4.1 Introducción...............................................................................................................43 4.2 Estado estacionario de un sistema de potencia máquina-barra infinita con un STATCOM..............................................................................................................44 4.2.1 Formulación del problema...............................................................................44 4.3 Estado estacionario de un sistema de potencia multimáquinas con un STATCOM...................................................................................................................54 4.3.1 Modelo del STATCOM......................................................................................54 4.3.2 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos....................................................................55 4.4 Análisis dinámico de un sistema de potencia máquina-barra infinita con un STATCOM..............................................................................................................58 4.4.1 Formulación del problema...............................................................................58 VI 4.4.2 Ejemplificación del modelo máquina-barra infinita con un STATCOM..............67 4.5 Análisis dinámico del sistema de potencia multimáquinas con un STATCOM.............68 4.6 Control del STATCOM para estudios de estabilidad.....................................................73 4.7 Resumen....................................................................................................................75 4.8 Referencias.................................................................................................................75 CAPÍTULO V SINTONIZACIÓN DE PSSs Y FDSs PARA EL AMORTIGUAMIENTO DE OSCILACIONES DE POTENCIA 77 5.1 Introducción...............................................................................................................77 5.2 Estabilizador de sistemas de potencia (PSS)................................................................77 5.3 Sintonización de PSSs y FDSs.....................................................................................78 5.3.1 Sensitividad de eigenvalores.............................................................................79 5.3.2 Función objetivo..............................................................................................80 5.4 Aplicación de la metodología propuesta para la coordinación de estabilizadores..........81 5.4.1 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos....................................................................81 5.4.1.1 Descripción y modificación de los parámetros del sistema..................82 5.4.1.1a Caso Base..........................................................................82 5.4.1.1b Robustez en la coordinación de estabilizadores..................82 5.4.1.2 Proceso de sintonización....................................................................83 5.4.1.3 Simulaciones en el tiempo.................................................................84 5.4.2 Sistema de 16 máquinas y 68 nodos................................................................86 5.4.2.1 Descripción y modificación de los parámetros del sistema..................87 5.4.2.1a Caso Base..........................................................................87 5.4.2.1b Robustez en la coordinación de estabilizadores..................87 5.4.2.2 Proceso de sintonización....................................................................88 5.4.2.3 Simulaciones en el tiempo.................................................................89 5.4.3 Sistema de 46 máquinas y 190 nodos..............................................................92 5.4.3.1 Modelo del Capacitor Serie Controlado por Tiristores (TCSC)..............93 5.4.3.2 Modelo del Controlador Unificado de Flujos de Potencia (UPFC).........94 5.4.3.3 Descripción y modificación de los parámetros del sistema..................96 5.4.3.3a Caso Base..........................................................................96 5.4.3.3b Robustez en la coordinación de estabilizadores..................96 5.4.3.4 Proceso de Sintonización...................................................................97 5.4.3.5 Simulaciones en el tiempo.................................................................98 VII 5.5 Resumen………………………………………………………………………………………………..101 5.6 Referencias…………………………………………………………………………………………….101 CONCLUSIONES 103 APORTACIONES 104 TRABAJOS FUTUROS 105 PUBLICACIONES 106 APÉNDICE A 109 APÉNDICE B 113 VIII LISTA DE FIGURAS Fig. 2.1 Modelo π de una línea de transmisión 8 Fig. 2.2 Diagrama fasorial con factor de potencia en atraso 8 Fig. 2.3 Flujo de reactivos en una línea de transmisión 8 Fig. 2.4 Sistema Eléctrico de Potencia de 2 máquinas 9 Fig. 2.5 Módulo básico de un TCSC 11 Fig. 2.6 Esquema de control de un SVC empleando retroalimentación de voltaje 13 Fig. 2.7 Característica de operación de un SVC 14 Fig. 2.8 Diagrama simplificado de un STATCOM 16 Fig. 2.9 Configuración de un STATCOM con almacenamiento de energía 16 Fig. 2.10 Característica típica V-I del (a) STATCOM y (b) SVC, en una base de por unidad 17 Fig. 2.11 Característica natural V-I del STATCOM 18 Fig. 2.12 Característica controlada V-I del STATCOM 18 Fig. 2.13 Característica de operación del SEP interacción con un SVC 20 Fig. 3.1 Diagrama representativo de una cadena de Markov 26 Fig. 3.2 Ejemplo de una cadena de Markov 27 Fig. 3.3 Distribución de Boltzmann 28 Fig. 3.4 Distribución de Boltzmann para diferentes temperaturas 29 Fig. 3.5 Ilustración de cómo trabaja SA 31 Fig. 3.6 Diagrama de flujo del algoritmo SA 31 Fig. 3.7 Mínimo de la función f (x ). 37 Fig. 3.8 Desempeño de SA en el proceso de solución del ejemplo 3.1, (a) Función objetivo y (b) Variable de la función Fig. 3.9 Fig. 3.10 37 Comportamiento del Algoritmo SA en el proceso de solución del ejemplo 3.1, (a) Longitud de la cadena y (b) Parámetro de temperatura 38 Función objetivo del ejemplo 3.2 38 IX Fig. 3.11 Desempeño de SA en el proceso de solución del ejemplo 3.2, (a) Función objetivo y (b) Variables de la función Fig. 3.12 39 Comportamiento del Algoritmo SA en el proceso de solución del ejemplo 3.2, (a) Longitud de la cadena y (b) Parámetro de temperatura 39 Fig. 4.1 Sistema de potencia máquina-barra infinita con un STATCOM 45 Fig. 4.2 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la magnitud de voltaje vinf 50 Fig. 4.3 Desempeño de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la magnitud de voltaje vg 50 Fig. 4.4 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la potencia activa de la carga PL Fig. 4.5 51 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la potencia reactiva de la carga QL Fig. 4.6 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la alteración de la reactancia de la línea 3-4 xL1 Fig. 4.7 Desempeño de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la reactancia de la línea 4-1 xL2 Fig. 4.8 52 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la reactancia del transformador Fig. 4.9 51 52 Desempeño de (a) vE y (b) θE ante la alteración de la reactancia de dispersión del transformador de acoplamiento del STATCOM xE 53 Fig. 4.10 Modelo en estado estacionario del STATCOM 54 Fig. 4.11 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos de la WSCC 56 Fig. 4.12 Un STATCOM instalado en un sistema de potencia máquina barra-infinita 58 Fig. 4.13 Diagrama de bloques del sistema de excitación 63 Fig. 4.14 Modelo del STATCOM 68 Fig. 4.15 Esquema de control del STATCOM 74 Fig. 4.16 Controlador del capacitor de CD 75 Fig. 5.1 Sistema de excitación estático 78 Fig. 5.2 Diagrama de bloques de un PSS con dos bloques de atraso-adelanto 80 Fig. 5.3 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos de la (WSCC) 81 Fig. 5.4 Evolución de la función objetivo por (a) templado simulado y (b) algoritmos Fig. 5.5 X genéticos 83 Parámetro de temperatura en el proceso de templado simulado 84 Fig. 5.6 (a) Posición angular relativa δ31 y (b) Velocidad ω2 después de una falla en el nodo 4 Fig. 5.7 (a) Potencia eléctrica Pe2 después de una falla en el nodo 4 y (b) Velocidad ω3 después de una falla en el nodo 7 Fig. 5.8 84 85 (a) Potencia eléctrica Pe1 y (b) Posición angular relativa δ21 después de una falla en el nodo 7 85 Fig. 5.9 (a) Potencia eléctrica Pe3 y (b) Velocidad ω1 después de una falla en el nodo 9 85 Fig. 5.10 Sistema de potencia de 16 máquinas y 68 nodos 86 Fig. 5.11 Evolución de la función objetivo por (a) templado simulado y (b) algoritmos genéticos 88 Fig. 5.12 Parámetro de temperatura en el proceso de templado simulado 89 Fig. 5.13 (a) Potencia eléctrica Pe12 y (b) Posición angular relativa δ101 después de una falla en el nodo 18 Fig. 5.14 (a) Velocidad ω7 después de una falla en el nodo 18 y (b) Posición angular relativa δ31 después de una falla en el nodo 24 Fig. 5.15 90 (a) Posición angular relativa δ91 después de una falla en el nodo 34 y (b) Velocidad ω11 después de una falla en el nodo 51 Fig. 5.18 90 (a) Velocidad ω12 y (b) Potencia eléctrica Pe7 después de una falla en el nodo 34 Fig. 5.17 90 (a) Potencia eléctrica Pe14 y (b) Velocidad ω6 después de una falla en el nodo 24 Fig. 5.16 89 91 (a) Velocidad ω12 y (b) Potencia eléctrica Pe7 después de una falla en el nodo 34 91 Fig. 5.19 Sistema de potencia de 46 máquinas y 190 nodos 92 Fig. 5.20 Circuito eléctrico equivalente de un TCSC 94 Fig. 5.21 Estructura del UPFC 94 Fig. 5.22 (a) Estabilizador que modula la reactancia XTCSC; (b) Estabilizador que modula la fase θE de Vderivación del UPFC Fig. 5.23 96 Evolución de la función objetivo por (a) templado simulado y (b) Algoritmos genéticos 97 Fig. 5.24 Parámetro de temperatura en el proceso de templado simulado 98 Fig. 5.25 Velocidades (a) ω2 y (b) ω18 después de una falla en el nodo 53 98 Fig. 5.26 (a) Potencia eléctrica Pe1 y (b) Posición angular relativa δ22 después de una Fig. 5.27 falla en el nodo 53 99 Posición angular relativa (a) δ11 y (b) δ19 después de una falla en el nodo 59 99 XI Fig. 5.28 (a) Potencia eléctrica Pe5 y (b) Velocidad ω7 después de una falla en el nodo 59 Fig. 5.29 (a) Posición angular relativa δ21 y (b) Velocidad ω43 después de una falla en el nodo 78 Fig. 5.30 100 (a) Potencia eléctrica Pe5 y (b) Velocidad ω5 después de una falla en el nodo 185 XII 99 100 RESUMEN En éste trabajo se presenta la aplicación de una técnica global heurística denominada Templado Simulado (SA) en el contexto de Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP). Se enfatiza el problema de control de voltaje, y el empleo del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) como una herramienta de ayuda para aliviar el problema. Se justifica el empleo de técnicas de optimización heurísticas, mostrando sus principales ventajas ante escenarios complejos como es el caso de los SEPs. Se incluye una descripción general del trabajo que realizan los controles dentro del sistema, recalcando la importancia de los dispositivos FACTS (Sistemas Flexibles de Transmisión de CA) para ayudar en esta tarea. Se exponen los principios básicos del flujo de potencia reactiva en las líneas de transmisión, explorando además el problema de control de voltaje. Asimismo, se presenta la utilización de dispositivos de compensación de potencia reactiva y se analizan en detalle dos elementos que son adecuados para llevar a cabo esta labor. Se explica la teoría básica detrás del algoritmo templado simulado analizando su implementación en problemas difíciles en el contexto de optimización. Se incluye igualmente una descripción de sus elementos principales junto con las posibles variantes en su inclusión en problemas particulares. Posteriormente, se ejemplifica la técnica por medio de la optimización de dos funciones, concluyendo en algunas características importantes del desempeño del algoritmo. Se analiza la inclusión del STATCOM en sistemas de potencia para estado estacionario y dinámico. Se desarrolla un modelo para un sistema máquina-barra infinita y otro para multimáquinas en los dos contextos. De igual forma, se ejemplifican los modelos obtenidos. Por último se tienen algunas conclusiones en el desempeño de éste dispositivo ante la modificación de sus parámetros y los del SEP. Se señala el problema de oscilaciones de potencia dentro de las redes eléctricas y se propone una metodología basada en la sintonización de estabilizadores de potencia (PSSs) que ayuda a contrarrestar tales oscilaciones. Éste procedimiento se basa en la proposición de una función objetivo dependiente de las sensitividades de los modos de interés. Esta función se minimiza por medio de templado simulado y los resultados se comparan con otro técnica de optimización. Para verificar la eficiencia de la metodología se lleva a cabo una serie de simulaciones en el tiempo para tres sistemas multimáquina que incluyen dispositivos FACTS. La robustez se confirma con la simulación de diferentes fallas y condiciones operativas de los sistemas. I CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN La ingeniería de potencia se puede considerar como una de las más antiguas y tradicionales de todas las áreas de la ingeniería eléctrica, y sí consideramos también aspectos tales como: i) el empleo de la tecnología moderna dentro de la operación y planeación de los sistemas de potencia; ii) la estructura actual de las instalaciones de la industria eléctrica, se puede concluir que es una parte esencial del desarrollo de la ingeniería eléctrica. La aplicación de métodos de optimización es una de las herramientas de mejoramiento técnico que más ha impactado a esta área en los últimos veinte años. Estos métodos son muy poderosos y prácticos ya que son capaces de garantizar la obtención de un mejor desempeño eléctrico y económico del sistema eléctrico de potencia (SEP). En la operación y planeación de estos sistemas, existen muchos problemas de optimización que requieren soluciones que puedan determinar los recursos óptimos requeridos a un costo mínimo, tomando en cuenta un conjunto de restricciones. Para analizar el problema de optimización, existen muchos parámetros controlables de interés. Es decir, se tienen muchas funciones objetivo y restricciones que deben ser satisfechas para una operación económica y confiable. Se puede considerar que la contribución de los métodos de optimización en los sistemas de potencia es de gran valor en términos económicos, debido a que anualmente se ahorran cientos de millones de dólares en su operación y planeación [1]; asimismo, se pueden considerar otros beneficios en términos de confiabilidad y seguridad de la red eléctrica. El control y monitoreo del equipo que opera en estos sistemas se diseña por medio de técnicas de optimización presentando un mejor desempeño relacionado con: [ El suministro de potencia y disponibilidad del equipo instalado. [ Un mejor comportamiento ante eventos inesperados como por ejemplo daños ocasionados por tormentas o una súbita falla en el equipo. A mediados de los sesentas los primeros conceptos y algoritmos de optimización se presentaron para despacho energético, asignación de recursos y planeación de sistemas de potencia, 1 Capítulo I 2 formalizando matemáticamente la toma de decisiones, considerando una gran variedad de objetivos del sistema sujetos a restricciones técnicas y no técnicas. El resultado fué un extraordinario incremento en las actividades de investigación dirigidas a una implementación óptima de estas experiencias (flujos de potencia óptimos). En consecuencia actualmente, existe un gran avance de las investigaciones en la aplicación de métodos de optimización dentro de la ingeniería de potencia, involucrando problemas relacionados con esos sistemas. El problema de despacho económico como función del tiempo incorporando restricciones del sistema se resuelve típicamente empleando técnicas matemáticas, como por ejemplo la programación lineal, técnicas de optimización sin restricciones (utilizando multiplicadores de Lagrange) y la programación no lineal para agregar las restricciones. Finalmente, en el mismo contexto se encuentran los flujos de potencia óptimos (OPF), que es una extensión de despacho económico donde se incluyen los ajustes óptimos de cambiadores de tap bajo carga, potencias de generación activa y reactiva, cambiadores de fase y algún otro dispositivo de control. Otras aplicaciones amplían el trabajo de optimización de la red incluyendo planeación de reactivos, expansión de la red y disponibilidad de la capacidad de transferencia. Existen técnicas de optimización matemáticas que abarcan desde la programación lineal hasta las nuevas técnicas de optimización evolutivas que se pueden emplear para obtener una distribución óptima del sistema. La selección de la técnica de optimización apropiada depende de cómo se define la red eléctrica por las funciones objetivo y las restricciones. Como se mencionó anteriormente las restricciones se dividen en dos clases generales: técnicas y no técnicas. La clase de restricciones técnicas incluye a la red, equipo y restricciones de los dispositivos. La clase de restricciones no técnicas incluye limitaciones sociales, ambientales y económicas. Es cierto que estos métodos de optimización proporcionan grandes beneficios en la industria eléctrica ya que tienen una gran aplicación práctica y son muy confiables. Es por esto, que en éste trabajo se presenta una de esas numerosas aplicaciones que se pueden realizar con los métodos de optimización. 1.1 Motivación del empleo de métodos de optimización Cuando los ingenieros se enfrentan a problemas de gran exigencia, es su responsabilidad proponer nuevas y mejores herramientas para resolverlo. Por otro lado, una vez que se tiene disponible una nueva herramienta, se debe usar para reexaminar el problema y encontrar aún mejores y más económicas soluciones. El control de sistemas de potencia es un típico ejemplo, que se refiere al comportamiento de las máquinas síncronas después de que han sido perturbadas. Las máquinas síncronas son los componentes principales de los sistemas eléctricos de potencia y su desempeño se relaciona directamente con su seguridad y estabilidad en la operación. Las máquinas síncronas interconectadas en una red eléctrica operan sobre un amplio rango de condiciones de operación. El empleo de esquemas de control más efectivos se justifica por las siguientes razones: [ El diseño de unidades de generación modernas. [ El incremento en la complejidad de la red. [ La demanda respecto a requerimientos económicos y de operación. Generalmente el SEP es un sistema muy complejo y no lineal con dinámicas y no linealidades que no se pueden modelar en términos matemáticos precisos. Para diseñar un controlador, es usual reducir el orden del modelo no lineal y linealizar las ecuaciones considerando pequeñas Introducción 3 desviaciones alrededor de una condición operativa. El diseño de los parámetros de los controladores permanece fijo. En términos generales, estos sistemas son altamente no lineales, y las condiciones de operación pueden variar sobre un amplio rango como resultado de cambios en la carga, salida de servicio de líneas de transmisión e impredecibles disturbios tales como un cortocircuito. Por lo tanto, el desempeño de los controladores se ve afectado cuando existen cambios en los puntos de operación. Recientemente, muchas técnicas de optimización modernas se han desarrollado tal como redes neuronales, sistemas de lógica difusa, algoritmos genéticos y el templado simulado. Las aplicaciones de estas técnicas para algunos problemas en SEP han entregado resultados promisorios. Sin embargo, la aplicación de ellas se encuentra aún en su etapa inicial y solo recientemente han comenzado a recibir gran atención por parte de los investigadores. Las motivaciones detrás del interés en usar técnicas de optimización modernas para problemas de control en redes eléctricas se pueden dividir en dos categorías principales: razones teóricas y prácticas. 1. Razones teóricas. Como una regla general, una buena técnica de ingeniería debe ser capaz de hacer uso efectivo de toda la información disponible. Si el modelo matemático de un sistema es difícil de obtener (esto es cierto para sistemas de potencia), entonces la información más importante proviene de dos fuentes: i) sensores que proporcionan medidas numéricas de las variables principales; ii) material humano experto que proporcione una descripción acerca del desempeño del sistema y del control. Las técnicas inteligentes, por diseño, proporcionan una manera sistemática y eficiente para tratar con estas fuentes de información. Mas aún, proporcionan un respaldo eficiente para incorporar información de gente experta. Las técnicas convencionales, no pueden incorporar información de este tipo dentro de sus diseños. Estas técnicas se basan en modelos libres; por ejemplo no requieren un modelo matemático del sistema en investigación. Los ingenieros se enfrentan ahora con sistemas más complejos que en el pasado, y los modelos matemáticos de estos cada vez son más difíciles de obtener. Así, las técnicas con modelos libres tienen una ventaja importante. 2. Razones prácticas. Las técnicas modernas son fácilmente entendibles. Debido a que emulan estrategias humanas, el principio esencial puede ser fácilmente entendible por las personas que no son especialistas en el tema. Durante las últimas dos décadas, la teoría de control convencional se ha usado incrementando el avance de las herramientas matemáticas. Esto se necesita para resolver problemas difíciles de una manera rigurosa. Sin embargo, resulta en una disminución del número de ingenieros prácticos que puedan entender la teoría. Por lo tanto, los ingenieros prácticos que se encuentran al frente del diseño de productos tienden a usar las técnicas que son simples y fáciles de entender. Las técnicas inteligentes son justamente esto. Las técnicas modernas tienen una relación alta en función de costo/desempeño [2]. Los aspectos descritos en los párrafos anteriores muestran que las razones teóricas enfatizan generalidad y precisión de las técnicas de optimización inteligentes, mientras que las razones prácticas enfatizan su aplicabilidad e implementación en problemas de la vida cotidiana. 1.2 Aspectos generales de control en un sistema de potencia El SEP generalmente esta diseñado para que ciertas variables se puedan modificar por medio de algún tipo de dispositivo. La acción del control se logra mediante la coordinación de todos los dispositivos de control que se encuentran instalados en el sistema. El objetivo general del sistema de control se puede resumir como sigue: Capítulo I 4 [ [ [ [ [ [ Protección de las partes importantes del equipo y la integridad del sistema. Continuidad del servicio con alta calidad. Operación segura del sistema. Operación económica y ambiental aceptable del sistema. Control en estado de emergencia. Restauración del control en el menor tiempo posible. Como una regla, la acción de control se basa en la información obtenida desde alguna medición directa y/o remota. Cada uno de los dispositivos de control requiere cierto tipo de información basada en las siguientes consideraciones. [ Requerimientos de velocidad de respuesta. [ Impacto de la acción del control (por ejemplo global vs local) [ Importancia relativa de las diferentes partes de la información (local vs remota). El mantener un perfil de voltaje satisfactorio en la red es un problema típico de control en sistemas de potencia. El voltaje programado en terminales del generador se alcanza por medio de un control con retroalimentación local para el excitador. Los puntos de ajuste en el lazo de retroalimentación son los valores del voltaje programado, y se establecen tomando en consideración una amplia gama de condiciones de operación del sistema. En la mayoría de los casos, el análisis fuera de línea conduce a los valores de voltaje programados. Los centros modernos de control de energía (ECC) tienen la capacidad de procesar información global en línea y actualizar los puntos de ajuste del perfil de voltaje. La función del control de la excitación es regular el voltaje del generador y la salida de potencia reactiva al sistema. Es decir, el propósito principal del control del sistema de generación es balancear la generación total del sistema contra la carga y las pérdidas, de tal forma que la frecuencia deseada y el intercambio de potencia con los sistemas vecinos se mantenga en los niveles establecidos. Los controles de las líneas de transmisión incluyen dispositivos de control de voltaje y potencia, como por ejemplo los Sistemas Flexibles de Transmisión de CA (dispositivos FACTS). Estos controles contribuyen a satisfacer los requerimientos de operación del SEP manteniendo los voltajes, frecuencia y otras variables de interés del sistema dentro de límites aceptables. También tienen un profundo efecto en el desempeño dinámico del sistema y tienen la habilidad para hacer frente a disturbios. El objetivo de control es operar tan eficientemente como sea posible con voltajes y frecuencia cercanos a los valores nominales. Cuando se desarrolla una condición anormal, se deben de satisfacer nuevos objetivos para regresar al sistema a su condición de operación normal. Por lo tanto, un diseño correcto y una operación satisfactoria del sistema de potencia debe incluir los siguientes requerimientos fundamentales. 1. El sistema debe ser capaz de satisfacer los continuos cambios en la demanda de potencia activa y reactiva. A diferencia de otros tipos de energía, la electricidad no puede ser almacenada convenientemente en cantidades apropiadas para la demanda. 2. El sistema debe suministrar energía al mínimo costo y con un mínimo de impacto ecológico. 3. La calidad del suministro de potencia debe cumplir ciertos estándares mínimos considerando: frecuencia constante, voltaje constante y nivel de confiabilidad elevado. 1.3 Sistemas Flexibles de Transmisión de CA Los dispositivos FACTS son una parte de la revolución de la electrónica de potencia que toma lugar en todas las áreas de la ingeniería eléctrica. Esta variedad de poderosos dispositivos Introducción 5 semiconductores no únicamente ofrecen ventajas de alta velocidad y confiabilidad en la conmutación sino, lo que es más importante, la posibilidad de trabajar en conjunto en un concepto de circuitos innovadores que mejoran las características de la energía eléctrica [3-4]. La tecnología de FACTS abre nuevas oportunidades para controlar la potencia y mejorar el aprovechamiento de la capacidad instalada en la red de transmisión. El uso de dispositivos FACTS permite el control correspondiente al flujo de potencia a través de ciertas líneas, para incrementar la capacidad de transmisión de potencia bajo condiciones de operación normal y de contingencia del sistema. Estas oportunidades se alcanzan por medio de la habilidad de los dispositivos FACTS para controlar los parámetros interrelacionados que rigen la operación de los sistemas de transmisión incluyendo la impedancia serie, la impedancia en derivación, la corriente, el voltaje, el ángulo de fase y el amortiguamiento de oscilaciones a diferentes frecuencias por debajo de la frecuencia nominal [3]. La tecnología FACTS no es únicamente un controlador de alta potencia, sino una colección de controladores, que se pueden aplicar individual o coordinadamente con otros controles instalados en la red permitiendo así un mejor aprovechamiento de sus características de control. El objetivo de los dispositivos FACTS de incrementar la capacidad de transmisión de potencia implica que una línea de transmisión dada pueda ser capaz de operar cerca de sus límites térmicos, permitiendo que circule una mayor cantidad de corriente a través de su impedancia serie. Al mismo tiempo, debe mantener la estabilidad del sistema por medio de un control apropiado en tiempo real del flujo de potencia durante y después de una falla en el sistema [4]. El segundo objetivo de los dispositivos FACTS implica que, al ser capaces de controlar la corriente en una línea (por ejemplo, cambiando la impedancia efectiva de una línea), el flujo de potencia puede ser restringido seleccionando corredores de transmisión. Se encuentra implícito en este objetivo que la trayectoria de flujo de potencia primaria debe ser rápidamente modificable a una trayectoria secundaria, disponible bajo condiciones de contingencia para mantener los requerimientos globales de potencia. La implementación de los dos objetivos anteriores requiere el desarrollo de compensadores y controles de alta potencia. La tecnología necesaria para esta tarea es la electrónica de potencia con su control operando en tiempo real. Sin embargo, una vez que un gran número de estos dispositivos se integran al sistema, la coordinación y control global para proporcionar máximos beneficios al sistema y prevenir interacciones indeseables con los diferentes objetivos y configuraciones del sistema, cubriendo condiciones de operación normal y de contingencia, presentan una nueva tecnología poco explorada. Esta tecnología debe desarrollar estrategias apropiadas de control y optimización del sistema, sistemas de comunicación adecuados y protocolos de seguridad convenientes. La realización de tal control optimizado del sistema se puede considerar como el tercer objetivo de los dispositivos FACTS. En éste trabajo se aplica una técnica moderna de optimización a la coordinación de estabilizadores de una red eléctrica que incluye dispositivos FACTS, enfatizando aquellos que proporcionan un control de voltaje nodal, con el propósito de lograr una mejora en el comportamiento dinámico. 1.4 Estructura del trabajo Este trabajo se encuentra estructurado por cuatro partes generales. En la primera parte, capítulo II, se presenta el problema de control de voltaje en un sistema de potencia, desarrollando algunos conceptos acerca de dispositivos de compensación de potencia reactiva, y se analiza en forma detenida la acción de dos dispositivos de control, el compensador estático de Capítulo I 6 reactivos (SVC) y el compensador estático síncrono (STATCOM), mostrando sus principios básicos de operación, ventajas y desventajas. En la segunda parte, capítulo III, se analiza un algoritmo para resolver problemas de optimización denominado templado simulado (SA), que es una herramienta poderosa para solucionar problemas que son difíciles de resolver y que se presentan frecuentemente en el contexto de sistemas de potencia. Para concluir este capítulo se presentan dos ejercicios que sirven como ejemplificación de la técnica. El capítulo IV comprende el análisis de un compensador estático síncrono en dos contextos diferentes: i) análisis en estado estacionario y ii) análisis dinámico. En ambos casos se obtiene un modelo para un sistema máquina-barra infinita, cuya formulación se extiende para un sistema multimáquinas. Para el caso máquina-barra infinita se obtienen algunas características importantes del STATCOM, quedando en evidencia su comportamiento ante la modificación de sus parámetros y los del SEP. En la última parte del trabajo, capítulo V, se propone la coordinación de controles de sistemas de potencia por medio de una función objetivo que se resuelve mediante el templado simulado y se comparan los resultados con otro método de optimización basado en algoritmos genéticos. Todos estos conceptos se ejemplifican en tres sistemas de potencia. En los dos primeros se incluyen estabilizadores de sistemas de potencia (PSS) y un STATCOM en un punto estratégico de la red, y en el tercer ejemplo se incluyen un controlador unificado de flujos de potencia (UPFC), y un compensador serie controlado por tiristores (TCSC). Los resultados obtenidos se confirman con simulaciones en el tiempo. 1.5 Referencias [1] [2] [3] [4] James A. Momoh, “Electric Power System Applications of Optimization”, Marcel Dekker, Inc., 2001. Mohamed A. Abido, “Intelligent Techniques Approach to Power Systems Identification and Control”, Ph. D. thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Dhahran, Saudi Arabia, 1997. Narain G. Hingorani, Laszlo Gyugyi, “Understanding FACTS”, IEEE Press Editorial Board, 2000. Yong H. Song, and Allan T. Johns, “Flexible ac Transmission Systems”, IEE Power and Energy Series, 1999. CAPÍTULO II COMPENSACIÓN DE POTENCIA REACTIVA 2.1 Introducción El control de voltaje y potencia reactiva constituye una de las áreas de mayor interés en la planeación y operación de un sistema eléctrico de potencia. La importancia del control V − Q proviene básicamente de la necesidad de satisfacer los requerimientos de calidad en el suministro de energía eléctrica. Adicionalmente, un control adecuado de voltaje y potencia reactiva permite obtener beneficios importantes en la operación del sistema de potencia como la reducción de los gradientes de voltaje, una utilización más eficiente de las capacidades de transmisión y el aumento en los márgenes de estabilidad [1-4]. El objetivo del control de voltaje es ajustar todos los voltajes nodales dentro de una banda operativa. Esto hace que la solución del problema sea más compleja, comparada con el control de frecuencia, ya que se tiene un problema multivariable. Es conveniente recordar que en estado estable se tiene un valor de frecuencia único en el sistema, en cambio todos los voltajes nodales pueden ser diferentes. Con el desarrollo de los grandes proyectos de generación alejados de los centros de consumo, así como el empleo de niveles de tensión más elevados, es necesario llevar a cabo un análisis detallado, de modo de balancear la potencia reactiva, y por lo tanto tener un control de voltaje adecuado. Para éste análisis es necesario tener en cuenta limitantes no únicamente técnicas sino además el impacto social, ambiental y económico que determina el uso de dispositivos de compensación de potencia reactiva o la construcción de nuevas líneas de transmisión. El balance de la potencia reactiva debe lograrse idealmente dentro de cada región de un sistema de potencia, en cada subsistema de transmisión y en cada zona de distribución. Sin embargo, en la práctica, esto no siempre se logra por una u otra razón. 2.2 Conceptos básicos del flujo de potencia reactiva en SEP Un aspecto fundamental de la compensación y control de potencia reactiva es su balance. Las líneas de transmisión producen y consumen potencia reactiva; y el valor neto debe ser absorbido o generado por el sistema en cada una de las terminales de la línea. La capacitancia en 7 Capítulo II 8 derivación de la línea de transmisión produce potencia reactiva proporcional al cuadrado del voltaje. Puesto que el voltaje debe mantenerse en el rango de ± 5% del voltaje nominal, la producción ó consumo de potencia reactiva es relativamente constante. La inductancia serie de la línea de transmisión consume potencia reactiva proporcional al cuadrado de la corriente. Puesto que la corriente varía desde los períodos de demanda máxima a los períodos de demanda mínima, se modifica también el consumo de potencia reactiva por la línea de transmisión. Por lo tanto, el flujo de potencia reactiva neta de la línea de transmisión cambia con el ciclo de carga. El modelo de la línea de transmisión se muestra en la Fig. 2.1, donde B es la susceptancia en derivación. vi ∠δ i v j ∠δ j xij B 2 I B 2 Producción de la línea de transmisión = v 2 B (relativamente constante) Consumo de la línea de transmisión = I 2 xij (variable) Fig. 2.1 Modelo π de una línea de transmisión. A medida que la relación x r aumenta (sistemas de transmisión en alta tensión donde r es la resistencia de la línea de transmisión y x su reactancia) y el factor de potencia se modifica, el efecto de la corriente reactiva es mayor en el cambio de voltaje. Esto se deduce de la ec. (2.1) al analizar el diagrama fasorial de la Fig. 2.2 [4], donde ∆v = vi − v j . ∆v ≅ P Q r+ x vj vj (2.1) vi Ix vj Ir I Fig. 2.2 Diagrama fasorial con factor de potencia en atraso. Para diferencias angulares pequeñas, la potencia reactiva tiende a circular del nodo de mayor voltaje al nodo de menor voltaje, esto está determinado por la ecuación de flujos de potencia reactiva (2.2), para la línea de transmisión mostrada en la Fig. 2.3. Qij = donde: vi (vi − v j cos δ ) xij (2.2) δ = δi −δ j vi ∠δ i xij Qij v j ∠δ j Q ji Fig. 2.3 Flujo de reactivos en una línea de transmisión. Compensación de potencia reactiva 9 Las pérdidas en la línea de transmisión se pueden calcular por medio de la expresión Q p = Qij + Q ji (2.3) Sustituyendo las ecuaciones de Qij y Q ji resulta Qp = 2 vi2 v j 2vi v j + − cos δ xij xij xij (2.4) Las pérdidas reactivas en (2.4) dependen en forma aproximada de la diferencia de voltajes al cuadrado. Del análisis de las ecuaciones de flujo de reactivos en una línea de transmisión se pueden resumir los siguientes puntos fundamentales: [ El flujo de reactivos produce una caída de tensión que depende de la reactancia del elemento de transmisión. [ La diferencia de voltajes incrementa el consumo de potencia reactiva en la reactancia del elemento. [ Las pérdidas reactivas tienen un comportamiento no-lineal, con cambios crecientes al tener una diferencia de voltaje mayor. [ La distribución de flujos reactivos en los extremos de la línea depende de la corriente de carga y del consumo de reactivos en la reactancia de la línea de transmisión. En un sistema de potencia los nodos de voltaje controlado actúan como compensadores de potencia reactiva suministrando los reactivos necesarios, de acuerdo a las variaciones de la demanda, de forma tal que se mantenga el voltaje especificado. El resultado de modificar el voltaje de generación es un cambio en el flujo de reactivos. Por lo tanto, se tiene un intercambio de potencia reactiva entre generadores, y como consecuencia se altera el perfil de voltaje del sistema. La efectividad del cambio (mejoramiento del perfil de voltaje) depende de que se reduzca el flujo de reactivos en las trayectorias de mayor impedancia. De acuerdo a los conceptos presentados se puede concluir que el problema básico para evitar la degradación del perfil de voltaje es, eliminar o reducir el flujo de potencia reactiva en el sistema a través de largas distancias. Debido a que esto involucra: mayores caídas de voltaje, complicación en el control del mismo y mayores pérdidas resultado de corrientes más elevadas. Por lo tanto, implica mayores costos de operación y utilización innecesaria de la capacidad térmica de los equipos principalmente transformadores y conductores. Es importante señalar que en estado estable los controles mantienen el voltaje del nodo controlado en un valor especificado. En cambio, ante perturbaciones, se tienen cambios en los voltajes y el regreso a los valores de referencia depende de la respuesta dinámica del sistema de excitación y de la respuesta de control del dispositivo utilizado. En forma natural se tiene la tendencia a suministrar la potencia reactiva requerida por la carga a través de las líneas con menor impedancia. La ecuación (2.5) muestra que la relación de flujos reactivos depende de las reactancias de las ramas, Fig. 2.4 [4]. Qij Qkj = x kj (2.5) xij donde se considera que los voltajes vi = v k ; i xij δ ij = δ kj . j xkj Qij k Qkj Carga Fig. 2.4 Sistema Eléctrico de Potencia de 2 máquinas. 10 Capítulo II La necesidad de fuentes controlables de potencia reactiva se puede resumir fundamentalmente en tres puntos esenciales. 1. Controlar el voltaje en valores cercanos al nominal. Al ocurrir cambios súbitos de carga o de topología puede requerirse corregir el voltaje en unos cuantos ciclos. Para otras variaciones de voltaje la corrección puede hacerse en segundos. Si no se corrigen las desviaciones de voltaje, aunque sean temporales, se puede ocasionar daño a los equipos de los usuarios. 2. Regular el perfil de voltaje en la red. De manera de evitar la circulación de potencia reactiva y con ello reducir pérdidas de energía aprovechando mejor la capacidad del equipo de transmisión y transformación. 3. Mantener el sincronismo de los generadores. El control de voltaje mediante fuentes controlables de potencia reactiva tiene efectos estabilizadores sobre el sistema de potencia, ante la ocurrencia de disturbios que provocan que los rotores cambien sus posiciones relativas. Las fuentes de reactivos pueden mejorar tanto la estabilidad transitoria como la estabilidad de pequeña señal. Esto es, la tarea del control de voltaje en niveles de transmisión es compartida por diferentes medios de control y técnicas de operación. El control puede realizarse en forma discreta mediante equipo de compensación pasiva en derivación, por ejemplo, reactores y capacitores equipados con interruptores mecánicos; cambios en las derivaciones de transformadores; con maniobras de operación, tales como apertura y cierre de líneas de transmisión. Otra alternativa es por medio de compensación capacitiva serie. Sin embargo en forma continua, el control de voltaje se puede efectuar básicamente por los Reguladores Automáticos de Voltaje (RAV) de las máquinas síncronas, Condensadores Síncronos (CS) y mediante la instalación de dispositivos basados en electrónica de potencia como pueden ser el Compensador Estático de Reactivos (SVC), el Compensador Estático Síncrono (STATCOM) y el Controlador Unificado de Flujos de Potencia (UPFC), que se instalan en puntos estratégicos de la red de transmisión [5-6]. En la planificación para incorporar dispositivos de compensación de potencia reactiva a un sistema eléctrico de potencia se deben considerar y analizar los siguientes puntos: aplicación principal del dispositivo, dimensionamiento, tipo y localización. Las respuestas a los aspectos anteriores no son obvias o generales. Es necesario enfocarlas al sistema de potencia particular mediante estudios completos considerando distintas condiciones de operación. Los análisis deben incluir: estudios de fallas, estudios de flujos de potencia, estudios de estabilidad transitoria y de pequeña señal, estudios de transitorios y estudios de armónicas. Es un trabajo difícil definir un programa apropiado de compensación reactiva para controlar los niveles de voltaje de un sistema con líneas de transmisión de gran longitud. Uno de los primeros problemas es decidir emplear compensación en derivación o serie, o en qué cantidad deben ser usadas cada una de ellas [7]. Existen algunas diferencias en el desempeño de los esquemas de compensación en derivación y serie que deben ser reconocidas y estudiadas, como por ejemplo el desempeño dinámico y de estabilidad transitoria que afecta la confiabilidad de estos sistemas compensadores. Otras diferencias incluyen la riesgosa resonancia subsíncrona con capacitores serie, y los problemas de armónicas asociados con los dispositivos basados en electrónica de potencia. Estos factores al igual que el desempeño del control de voltaje se toman en consideración en estudios de planeación y operación del SEP. Una forma de evaluar el lugar más adecuado para la instalación de dispositivos de control de voltaje es por medio de coeficientes de sensitividad [4, 8] ya que éstos son indicadores muy útiles en la operación del sistema de potencia. El tener un coeficiente grande o pequeño permite tener una idea cuantitativa del cambio esperado en las variables de interés. Los coeficientes de sensitividad se deben evaluar para diferentes condiciones operativas, de manera de tener siempre disponible índices que reflejen adecuadamente el comportamiento esperado [9, 10]. Entre las aplicaciones más importantes de estos coeficientes se pueden mencionar: [ Evaluar el cambio en el voltaje nodal al conectar un capacitor o reactor en el sistema. Compensación de potencia reactiva 11 [ Determinar los cambios en el margen de reactivos en generadores al tener la conexión o desconexión de un elemento reactivo. [ Cuantificar las áreas de influencia de generadores al modificar el voltaje de generación. [ Evaluar la efectividad de un cambio de tap para controlar el voltaje de un nodo de carga. [ Determinar la distribución de reactivos como resultado de un cambio de tap en un transformador. [ Calcular el cambio de pérdidas reactivas como resultado de un cambio en la inyección de reactivos. 2.3 Compensación serie Compensar una línea de transmisión significa modificar sus características eléctricas, teniendo como objetivo incrementar su capacidad de transmisión de potencia. En el caso particular de la compensación serie, la modificación consiste en cancelar parte de la reactancia inductiva de la línea utilizando capacitores serie. Es importante mencionar que un alto grado de compensación serie acentúa problemas en la calibración de relevadores de protección y el perfil de voltaje durante fallas. Otro problema detectado en la utilización de capacitores serie es la resonancia subsíncrona, que puede producir fallas severas en las flechas de generadores y turbinas [11]. La compensación con capacitores serie se ha relacionado tradicionalmente con la longitud de las líneas de transmisión y con el mejoramiento de la estabilidad transitoria. Sin embargo en los últimos años, los capacitores serie se aplican también a líneas más cortas para mejorar el perfil de voltaje, y pueden normalmente excluirse e insertarse rápidamente después de haber ocurrido un disturbio. Con el desarrollo de la electrónica de potencia, se ha logrado desarrollar dispositivos FACTS para compensación serie como por ejemplo el TCSC, con el cual se puede obtener una compensación variable, que ayuda a resolver problemas de estabilidad de voltaje, mejoramiento de la estabilidad transitoria, amortiguamiento de oscilaciones de potencia y el incremento del flujo de potencia a través de las líneas de transmisión [12, 13]. El TCSC es un dispositivo caracterizado por una rápida respuesta, un amplio rango de operación y una alta confiabilidad. Es un dispositivo basado en tiristores en conjunto con un banco de capacitores y reactores (inductores). La configuración más popular para este dispositivo es un capacitor fijo en paralelo con un reactor controlado por tiristores (TCR). Un modelo básico del TCSC se muestra en la Fig. 2.5 que puede operar básicamente en tres modos: [ Modo de bloqueo o de no-conducción. [ Modo de conducción. [ Modo vernier. L i t (t ) i l (t ) C + v c (t ) − Fig. 2.5 Módulo básico de un TCSC. Para el modo de bloqueo o no-conducción por los tiristores no circula corriente, y los tiristores se comportan como un interruptor abierto. Si los tiristores se encuentran conduciendo en todo momento se dice que el dispositivo está operando en modo de conducción; para este caso los tiristores se comportan como un interruptor cerrado. El modo de operación donde normalmente funciona el dispositivo se denomina modo vernier. En este caso los tiristores conducen de forma parcial formando un ciclo sucesivo de encendido/apagado. En resumen se puede decir que el TCSC es un dispositivo de compensación serie versátil ya que puede variar la impedancia de la línea de una forma continua según lo requiera el SEP para mejorar el perfil de voltaje, esto se puede lograr con el control adecuado del ángulo de disparo de los tiristores [12, 13]. 12 Capítulo II 2.4 Compensación en derivación La idea principal de la compensación en derivación es inyectar o absorber potencia reactiva al sistema según se requiera. Los dispositivos que se encargan de llevar a cabo ésta tarea se conectan en derivación en un nodo del sistema (adecuadamente seleccionado), que sirve de soporte para controlar el nivel de voltaje en nodos vecinos [14]. La compensación en derivación ha evolucionado rápidamente en los últimos años. Este tipo de compensación comenzó con la conexión y desconexión de bancos de capacitores y reactores por medio de interruptores mecánicos, esta conmutación tenía problemas con la rapidez del control de voltaje al existir variaciones de carga, que en algunos casos no era suficiente para un control adecuado del perfil de voltaje. En la década de los 70’s se comenzó a utilizar el SVC [14-16] cuyas características permiten un mejor control de los niveles de voltaje del sistema, ofreciendo un control rápido y continuo sobre la inyección o absorción de potencia reactiva al nodo compensado. En la actualidad, con el avance de la electrónica de potencia ha sido posible tener dispositivos de control de voltaje con mejores características que los empleados en décadas anteriores, este tipo de tecnología se puede ejemplificar con el STATCOM. Este dispositivo es capaz de proporcionar soporte de potencia reactiva al sistema sin la necesidad de emplear bancos de capacitores y reactores, empleando únicamente un inversor de voltaje (o corriente) que utiliza tiristores para su funcionamiento. Una gran ventaja que se tiene al utilizar la nueva tecnología es que se obtiene una alta eficiencia y versatilidad al emplearlo en el control de voltaje. Aún cuando la compensación en derivación constituye un medio efectivo y deseable de control V − Q, su aplicación en sistemas de potencia con propósitos de regulación de voltaje en estado estable ha sido restringida, principalmente debido a su alto costo. En sistemas débiles, en donde la rapidez y continuidad del control de voltaje son en ocasiones factores más importantes que el costo de compensación, la aplicación de éste tipo de dispositivos ha constituido una de las opciones más efectivas que permiten una mejor utilización de las capacidades de transmisión y una elevación de los márgenes de estabilidad. A continuación se presenta una breve descripción de algunos dispositivos que se emplean para la compensación en derivación. 2.4.1 Reactores y capacitores operados con interruptores mecánicos Este tipo de dispositivos están constituidos por bancos de reactores o capacitores que se pueden conectar o desconectar al sistema por medio de interruptores mecánicos. La característica de éstos, es que el suministro de potencia reactiva al SEP aumenta si el voltaje en el nodo del SEP disminuye por debajo del valor de referencia. De la misma forma si el voltaje en el nodo de la red tiene un valor por arriba del valor de referencia, el dispositivo absorbe potencia reactiva del sistema. Así, éstos elementos en derivación tienden a mantener el voltaje del sistema en un rango de operación específico. Por otro lado, un generador estático de reactivos (SVG) es una combinación de bancos de capacitores y reactores estáticos en derivación que se integran mediante interruptores y controles, que permiten soporte en estado estable y dinámico para el control de voltaje. Este generador puede tener características tan buenas o mejores que un generador rotatorio de reactivos cuando opera en su rango de control. Si se excede el rango de control el efecto depende de sí el sistema resultante es equivalente a un reactor o un capacitor estático en derivación [17]. 2.4.2 Condensador Síncrono Los condensadores síncronos han tenido un papel relevante en el control de voltaje y potencia reactiva por casi seis décadas. Se conectan a niveles de tensión tanto de subtransmisión como de transmisión para controlar los voltajes en los límites deseados ante condiciones variantes de carga, en situaciones de contingencia y para mejorar la estabilidad. Por razones económicas muchas aplicaciones en el área de subtransmisión se han reemplazado por capacitores en derivación. Los condensadores síncronos tienen una ventaja inherente (los CS tienen salida de potencia reactiva instantánea) sobre los capacitores para soportar el voltaje en emergencia y mantener o aumentar su salida a voltaje reducido. Esto ha motivado su instalación a niveles de Compensación de potencia reactiva 13 voltaje de transmisión, donde se pueden requerir grandes capacidades de reactivos (MVARs). Otra aplicación primaria para los condensadores síncronos es en la transmisión de corriente directa donde suministran una parte de los requerimientos de potencia reactiva de las estaciones convertidoras, y proveen el refuerzo necesario al sistema cuando la capacidad de cortocircuito es baja. Funcionalmente, un condensador síncrono es igual que un generador síncrono que se lleva a velocidad nominal y se sincroniza al sistema de potencia. Una vez que la unidad está sincronizada, el campo se controla ya sea para generar o absorber potencia reactiva, según lo requiera la red eléctrica. 2.4.3 Compensador Estático de Reactivos (SVC) Los compensadores estáticos de reactivos generalmente están integrados por bancos de capacitores y/o reactores, es decir elementos pasivos. Con el uso de la electrónica de potencia y estrategias de control adecuadas se logra una respuesta sumamente rápida (1 ciclo) para conectar elementos en derivación. La conexión/desconexión de capacitores se realiza en forma discreta mediante el control de tiristores en los períodos de conducción. La conexión de reactores se efectúa en forma controlada variando el ángulo de disparo de los tiristores, logrando de esta forma el control continuo de la corriente del reactor. En los sistemas de transmisión las características adecuadas de control de voltaje y potencia reactiva con SVCs son por lo general obtenidas en base a estrategias de control de lazo cerrado [1, 2, 14]. Haciendo la distinción de las diferentes jerarquías de operación, el esquema de control del SVC consiste de un lazo primario de regulación de voltaje y en algunos esquemas de compensación, un lazo secundario superpuesto de control de potencia reactiva [18, 19]. Del análisis del lazo de control se determinan las características casi-estáticas de operación o de estado estable del SEP, Fig. 2.6. Asimismo, del análisis de la función de transferencia de lazo cerrado se establecen las características de estabilidad del lazo de control y su dependencia respecto del estado de operación del SEP. La lógica de control queda determinada por un controlador de voltaje cuya forma más simple es de característica proporcional, que traduce la señal de error en una señal de cambio en la susceptancia del compensador [14], donde I SVC es la corriente que circula de las terminales del SVC al sistema, B SVC es la susceptancia equivalente del SVC, vt es el voltaje en terminales del SEP, Vv es la señal proporcional a la magnitud del voltaje en terminales, G m (s ) es la función de transferencia del dispositivo de medición, G r ( s ) es la función de transferencia del controlador de voltaje, y G y (s ) es la función de transferencia del esquema de control de disparo en tiristores. S EP G m (s ) vref + vt I SVC Vv ∑ ∆v Gr (s ) B G (s) y BSVC + va Fig. 2.6 Esquema de control de un SVC empleando retroalimentación de voltaje. Capítulo II 14 Desde el punto de vista de operación, la característica de interés es la relación entre el voltaje en terminales y la corriente aportada por el compensador, esto es I SVC = BSVC vt (2.6) La representación gráfica de la ec. (2.6) se conoce como la curva característica de control en estado estable de un compensador estático. Su determinación es importante ya que define la operación del SVC dentro del rango lineal de control. La curva característica de operación del compensador se muestra en la Fig. 2.7 y es función de los dos parámetros de control en estado estable: del voltaje de referencia vref , y de la pendiente ajustable de la curva de operación. k a es la ganancia del controlador; el voltaje se regula de acuerdo a ésta pendiente característica. La pendiente se relaciona con la ganancia en estado estable y es generalmente de 1-5% sobre el rango de control [20]. vt (b) k a > 0 vtmax vref (a) k a = ∞ vtmin vt = vref + − I SVC 0 1 I SVC ka + I SVC Fig. 2.7 Característica de operación de un SVC. Se pueden realizar dos formas de control de voltaje de acuerdo a la selección de la pendiente: 1. Control rígido (plano) de voltaje. En éste esquema se requiere una ganancia del regulador de voltaje infinita, implicando un voltaje constante en terminales del compensador para cualquier condición de operación. 2. Control polarizado de voltaje. En éste esquema la ganancia del regulador de voltaje tiene un valor finito positivo, permitiendo una cierta variación en la magnitud del voltaje alrededor del valor de referencia. Para ganancias grandes del controlador de voltaje se obtienen pendientes pequeñas de la curva característica, aumentando así la rapidez de respuesta del compensador. Un efecto similar se logra al disminuir el valor de las constantes de tiempo del controlador. El segundo factor que influye en la respuesta del SVC es la capacidad de cortocircuito del sistema de potencia. Es importante mencionar que para estudios de regulación de voltaje la característica de operación del SEP se define por su equivalente de Thevenin visto desde el nodo compensado, donde la impedancia del sistema se considera aproximadamente igual a la reactancia de cortocircuito [14]. La respuesta del compensador es muy rápida para las condiciones más débiles de operación. Es decir, para un sistema con menor capacidad de cortocircuito. Respectivamente un aumento en el nivel de cortocircuito se traduce en una respuesta más lenta del compensador. El valor de la pendiente se determina en base a estudios dinámicos y de estado estable del sistema de potencia. Por lo tanto, prácticamente los requerimientos de estabilidad y tiempo de respuesta del lazo de control, deben determinarse mediante una selección apropiada de la constante de tiempo del regulador de voltaje [18, 19]. La curva característica consta de tres zonas o rangos de control que son de interés [21]: 1. Una zona lineal de operación definida por el esquema de control del compensador. El voltaje en terminales del SVC es regulado entre sus límites mínimo y máximo de operación vtmin y vtmax , respectivamente. Compensación de potencia reactiva 15 2. Una zona de operación de bajo voltaje. En ésta el compensador opera en su límite mínimo de control, perdiendo así su capacidad como elemento de regulación de voltaje. Esta zona vista desde el sistema de potencia indica que la operación del SVC está determinada por la capacidad nominal de su rama capacitiva, con el voltaje en terminales variando entre cero y vt min , de acuerdo a los requerimientos del sistema eléctrico. 3. Una zona de operación de sobrevoltaje. En ésta el compensador opera en su valor máximo de control, surgiendo una característica de variación de voltaje en terminales del SVC, correspondiente al de un reactor fijo con una capacidad nominal igual a la rama inductiva del SVC. En forma analítica, la característica de regulación de voltaje del compensador en su rango nominal de operación se expresa mediante la relación, vt = v ref + mI SVC (2.7) siendo m la pendiente de la curva característica e I SVC satisface las restricciones I S min < I SVC < I S max donde I S min y I S max representan, respectivamente, las capacidades nominales de inyección de corriente en las ramas capacitiva e inductiva del compensador. De acuerdo al control del compensador la operación del SVC en la zona de bajo voltaje corresponde a un capacitor fijo, descrita por la relación I SVC = BSmin vt (2.8) donde BS min representa la capacidad nominal de la rama capacitiva del SVC. En el rango de sobrevoltaje la característica de operación del SVC corresponde por tanto al de un reactor fijo de capacidad BS max con I SVC = BSmax vt (2.9) En general, solamente la operación del compensador dentro de su rango nominal de control representa una característica deseable de regulación de voltaje, considerándose las otras dos como modos degradados de operación [18]. 2.4.4 Compensador Estático Síncrono (STATCOM) El STATCOM es un dispositivo conectado en derivación que no emplea bancos de capacitores o reactores para producir potencia reactiva como es el caso del SVC. En el STATCOM, el banco de capacitores se usa para mantener un voltaje constante de CD para la operación del inversor de voltaje. El STATCOM es un dispositivo muy adecuado para el control del voltaje puesto que rápidamente puede inyectar o absorber potencia reactiva para estabilizar las variaciones de voltaje. La habilidad del STATCOM para mantener un nivel de voltaje predeterminado por medio de compensación de potencia reactiva ha mostrado mejorar la estabilidad transitoria y el amortiguamiento de oscilaciones subsíncronas [6]. El STATCOM se basa en una fuente de voltaje síncrona de estado sólido que es análoga a una máquina síncrona ideal. Por lo tanto, los principios básicos de operación del STATCOM son fundamentalmente diferentes a los del SVC. Lo que conlleva a que el STATCOM tenga generalmente características funcionales superiores, mejor desempeño operacional y mayor flexibilidad de aplicación que los alcanzados con el SVC convencional. Un diagrama simplificado Capítulo II 16 del STATCOM conectado a un nodo del SEP se muestra en la Fig. 2.8, los elementos esenciales del STATCOM son: un transformador de acoplamiento que se encarga de servir de enlace entre el SEP y el inversor de voltaje (VSC), un inversor multi-pulsos que genera la forma de onda de voltaje que se compara con el voltaje del sistema para realizar el intercambio de potencia reactiva y un capacitor que sirve como una pequeña fuente de CD para poder generar la forma de onda de CA, donde vDC es el voltaje en el capacitor. Transformador de acoplamiento Circuito magnético para generar la forma de onda m ulti-pulsos Inversor 1 Inversor 2 ..... Inversor n Inversor m ulti-pulsos + vDC Fig. 2.8 Diagrama simplificado de un STATCOM. Si se asume que la diferencia angular es igual a cero, es decir ∆θ = 0 . La corriente reactiva que fluye hacia adentro o hacia fuera del compensador síncrono depende de la diferencia entre el voltaje del sistema de CA y el voltaje de salida en las terminales del STATCOM. Cuando la amplitud de voltaje en las terminales de salida del STATCOM es mayor que la amplitud del voltaje del sistema de CA, la corriente fluye del inversor del STATCOM hacia el sistema; esto es, el inversor genera potencia reactiva (capacitiva) para el sistema de CA. Por otro lado, si la amplitud de voltaje de salida del STATCOM disminuye por debajo del voltaje del sistema de CA, la corriente reactiva fluye del sistema de CA al inversor del STATCOM; esto es, el inversor absorbe potencia reactiva (inductiva). Si el voltaje de salida es igual al voltaje del sistema de CA, la potencia intercambiada es cero. A diferencia del SVC, el STATCOM puede tener un pequeño intercambio de potencia activa con el SEP. El intercambio de potencia activa entre el inversor y el sistema de CA se puede controlar ajustando el ángulo del voltaje de salida del inversor respecto al ángulo del voltaje del sistema de CA. Esto es, el inversor puede suministrar potencia activa al sistema de CA de su energía almacenada de CD si el voltaje de salida del inversor adelanta al voltaje del sistema de CA. Por otro lado, el inversor puede absorber potencia activa del sistema de CA si su voltaje atrasa al voltaje del sistema de CA. En la Fig. 2.9 se muestra una configuración simplificada de un STATCOM con una fuente de energía acoplada al lado de CD. La interfase de CD proporciona el acoplamiento entre el lado de CD del STATCOM y otras fuentes de energía, que pueden ser cualquier tipo de dispositivo de almacenamiento de energía o fuente de CD como por ejemplo: bancos de baterías, generadores de CD, sistemas fotovoltáicos o algún tipo de dispositivo de electrónica de potencia, donde PmCD representa la potencia activa de la fuente de CD. PmCD CD CD Interface VSI SEP Fig. 2.9 Configuración de un STATCOM con almacenamiento de energía. Compensación de potencia reactiva 17 Para el STATCOM con fuente de energía el capacitor se utiliza de diferente manera, en este contexto su función principal no es como una fuente de voltaje de CD, pero sí como un filtro pasabajos (absorción de armónicas) para reducir el rizo en la forma de onda generada por el inversor de voltaje. EL STATCOM tradicional tiene dos modos posibles de operación en estado estable. Ellos son modo inductivo (atraso) y modo capacitivo (adelanto). En cambio para el STATCOM con fuente de energía, los modos de operación en estado estable se pueden extender a cuatro. Los cuales son: modo inductivo con carga de CD; modo inductivo con descarga de CD; modo capacitivo con carga de CD; y modo capacitivo con descarga de CD [22]. Debido a la naturaleza de los sistemas de almacenamiento de energía, el STATCOM con fuente de energía no puede operar continuamente en alguno de los cuatro modos (por ejemplo la batería no se puede descargar continuamente). Por lo tanto, estos modos representan el estado de casi-equilibrio. Sin embargo, comparado con el STATCOM tradicional, el STATCOM con fuente de energía se puede operar en los estados de descarga y carga de CD mucho mayor tiempo. Típicamente, la capacidad en estado estable del STATCOM con fuente de almacenamiento de energía se limita por tres factores: la capacidad de la conexión del transformador (o máxima corriente del transformador), la capacidad del VSC y la capacidad de la fuente de CD. 2.4.4.1 Característica de operación del STATCOM El STATCOM es esencialmente una fuente de voltaje alterno detrás de una reactancia de acoplamiento con característica V-I como se muestra en la Fig. 2.10a. Se enfatiza que el STATCOM puede operar sobre el rango total de corriente de salida, aún a niveles de voltaje del sistema muy bajos, teóricamente cero. Es importante notar que la compensación para un voltaje cero del sistema se puede mantener únicamente si se tiene disponible una fuente de potencia externa para suministrar las pérdidas del STATCOM y así mantener cargado al capacitor de CD en el nivel de voltaje requerido. La corriente capacitiva o inductiva de salida máxima del STATCOM se puede mantener independientemente del voltaje del sistema de CA, y la máxima generación o absorción de reactivos cambia linealmente con el voltaje del sistema de CA. STATCOM V Rango transitorio Rango transitoriot < 1seg SVC V 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Rango transitorio t < 1seg 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 I I Cmax Capacitiva 0 I Lmax Inductiva I I Cmax Capacitiva 0 I Lmax Inductiva (a) (b) Fig. 2.10 Característica típica V-I del (a) STATCOM y (b) SVC, en una base de por unidad. En contraste al STATCOM, el SVC está constituído por capacitores conmutados por tiristores (TSCs) y reactores controlados por tiristores (TCRs), que aparenta ser una impedancia fija al rebasar el rango de control. Así, la corriente de compensación máxima alcanzable del SVC disminuye linealmente con el voltaje del sistema de CA y la potencia reactiva de salida máxima disminuye con el cuadrado de este voltaje, como se aprecia en la Fig. 2.10b. El STATCOM es, por lo tanto, superior al SVC al proporcionar soporte de voltaje, y los estudios indican que un STATCOM en una gran variedad de aplicaciones puede desempeñar el mismo control de voltaje y compensación dinámica como un SVC en un rango considerablemente mayor [23]. Capítulo II 18 La característica natural voltaje-corriente en las terminales del STATCOM, Fig. 2.11, es completamente dependiente de la fuente inversora de voltaje, v E , y de la reactancia de acoplamiento, x E (donde v E es el voltaje en las terminales del STATCOM). Límite para conm utación segura Voltaje del STATCOM Fuente de voltaje v E Límite para conm utación segura Característica natural v − vE I= xE Sobrecarga transitoria Sobrecarga transitoria Corriente nominal Adelanto Corriente nominal Corriente Atraso Fig. 2.11 Característica natural V-I del STATCOM. Las aplicaciones más prácticas en sistemas de potencia requieren algún tipo de SVC o STATCOM que operan con una pendiente de la característica que cae típicamente entre 2% y 5% [5-6]. Debido a que se fija la reactancia de acoplamiento, la fuente inversora de voltaje se debe cambiar como se muestra en la Fig. 2.12, aumentando a vE para obtener las condiciones de corriente de adelanto deseado (capacitivo), o reduciendo vE para obtener las condiciones de atraso (inductivo). Esto se puede hacer rápidamente cambiando el modelo de conmutación, y después modificando apropiadamente la magnitud de la fuente de voltaje de CD. Es así como se alcanzan las características de control deseadas cambiando en forma exacta la fuente de voltaje de la misma manera que un compensador síncrono, pero de una forma mucho mas rápida. Voltaje del STATCOM Característica natural vE (alto) vEx x x x Característica controlada x v E (bajo) Adelanto Corriente Atraso Fig. 2.12 Característica controlada V-I del STATCOM. Tanto el voltaje deseado como la caída en la reactancia se pueden ajustar con el control del STATCOM, y con ésto se tiene mayor capacidad de proporcionar soporte de corriente reactiva al sistema. 2.5 Ventajas y desventajas de la compensación serie y en derivación Ventajas de la compensación serie: [ Para un desempeño equivalente, los bancos de capacitores serie son a menudo de menor costo que la compensación en derivación; las pérdidas son muy bajas. Compensación de potencia reactiva 19 [ Para estabilidad de voltaje, los sistemas con capacitores serie tienen menor voltaje crítico o de colapso. [ Los capacitores serie tienen un buen soporte de capacidad de tiempo de sobrecarga. [ Los capacitores serie y capacitores serie conmutados pueden ser usados para controlar la carga de líneas paralelas minimizando las pérdidas activas y reactivas. Desventajas que se pueden encontrar con la compensación serie: [ Los capacitores serie son conectados en la línea; la compensación desaparece cuando ésa línea sale de operación; los capacitores que se encuentran en las líneas en paralelo se sobrecargan. [ La resonancia subsíncrona puede requerir equipos de medición y control muy costosos. Ventajas de la compensación en derivación con control: [ La compensación en derivación proporciona control directo del voltaje; esto es de gran valor cuando existe poco soporte de reactivos en el área de carga. [ Los reactores en derivación se pueden necesitar para la compensación de cargas ligeras. [ Los dispositivos de compensación en derivación proporcionan control rápido de sobrevoltajes temporales. Desventajas comunes que se pueden presentar al utilizar compensación en derivación con control: [ Los dispositivos de compensación en derivación tienen capacidad de sobrecarga limitada; por ejemplo, un SVC es un banco de capacitores con su límite incrementado. [ El voltaje crítico llega a ser el voltaje controlado del compensador; la inestabilidad usualmente ocurre una vez que el compensador alcanza sus límites. [ Los dispositivos de compensación en derivación con control son costosos. 2.6 Interacción del SEP con dispositivos de compensación La curva característica del SEP en un nodo representa una medida de la sensitividad del voltaje en el propio nodo ante cambios en la inyección o carga reactiva. La operación de los compensadores además de modificar el coeficiente propio de sensitividad del nodo compensado, modifica asimismo los coeficientes mutuos con otros nodos del sistema eléctrico en relación inversa a su distancia eléctrica. De ahí la importancia de la instalación de los compensadores en los nodos cercanos a las zonas con requerimientos de compensación de reactivos. El concepto de sensitividad de voltaje representa un medio efectivo de estimar los valores deseados de las pendientes de los compensadores, de acuerdo a su efecto máximo en las zonas de interés [9, 10, 21]. En estado estable el voltaje de referencia constituye el principal elemento de control del compensador. Un ajuste en su valor se puede utilizar para mejorar el perfil de voltaje local, o bien, para disminuir la carga o nivel de inyección de potencia reactiva del SVC o STATCOM. Considerando que el valor de la reactancia ( x svc para el caso del SVC) depende básicamente de la polarización de la curva característica y de su capacidad, se concluye que valores pequeños en la pendiente de operación provocan el mayor efecto de control de voltaje. En el caso de una regulación perfecta de voltaje, el nodo compensado es totalmente insensible a las variaciones externas de éste. Por el contrario, un aumento en la pendiente de la curva característica convierte al nodo compensado en un nodo más sensible a perturbaciones externas. El punto de operación queda definido por la intersección de las características del SEP, Fig. 2.13, y la característica del compensador. Aquí hay tres puntos que se deben identificar: 1. El cruce de la característica del SEP con el eje de voltaje, es el voltaje que se tiene en el nodo seleccionado si el compensador no está conectado. 2. El cruce entre la característica del compensador y el eje de voltaje, es el voltaje de referencia del compensador. 3. La intersección de las características es el punto de operación. Capítulo II 20 Así, un compensador es un medio efectivo de control dinámico de voltaje [1, 2, 18, 19] que permite aumentos sustanciales en la capacidad de transmisión, márgenes de estabilidad y calidad de operación. Sin embargo, la efectividad de un compensador como elemento dinámico de control es dependiente de su localización, capacidad, coordinación de sus parámetros de control y estrategia de operación [24]. Característica del SEP vt Característica del SVC Punto de operación vref − I SVC 0 + I SVC Fig. 2.13 Característica de operación del SEP interacción con un SVC. 2.7 Margen de reserva reactiva De los diferentes elementos que se utilizan para el control de voltaje, los generadores y los dispositivos basados en electrónica de potencia tienen una característica dinámica que resulta atractiva ante condiciones de contingencia. De esta manera se desea que en condiciones normales de operación estos elementos tengan un margen de reserva de potencia reactiva que se pueda utilizar en caso de contingencias. En lo que se refiere a los dispositivos de compensación se recomienda que en la etapa de planificación se considere un margen de potencia reactiva por encima del que se utiliza en condiciones normales. Esto es importante sobre todo en dispositivos de compensación que se encuentran localizados en sistemas de transmisión, ya que ante contingencias pueden ser la diferencia para evitar un problema de colapso de voltaje. Por lo tanto, en el periodo de planeación se debe considerar que la carga conectada al sistema se puede incrementar provocando que la topología de la red cambie y sea necesario tener un soporte de potencia reactiva mayor que el valor obtenido con las características actuales del sistema. 2.8 Resumen En este capítulo se expone el problema de control de voltaje en sistemas eléctricos de potencia y su solución por medio de la inyección de potencia reactiva en puntos estratégicos de la red. Se presenta una breve descripción del problema y las medidas más adecuadas para su solución así como algunos conceptos básicos acerca del flujo de potencia reactiva en líneas de transmisión. Se introduce el concepto de compensación serie y su forma de actuar en el SEP. Asimismo, se describe la compensación en derivación y el principio de funcionamiento y control de dispositivos que se utilizan frecuentemente para este fin, haciendo una comparación entre el desempeño y curvas características del SVC y STATCOM. Con el estudio realizado se ponen en evidencia algunas ventajas y desventajas al utilizar la compensación serie y en derivación. Se presenta además un panorama general sobre la interacción de dispositivos de compensación con el sistema de potencia, y se plantean algunas sugerencias para la planeación y utilización de dispositivos de compensación modernos. Compensación de potencia reactiva 21 2.9 Referencias [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] Robert H. Miller, James H. Malinowski. “Power System Operation”, McGraw-Hill, Inc. tercera edición, 1994. K. Reichert, “Controllable Reactive Compensation”, Electrical Power & Energy Systems, Vol. 4, No. 1, January 1982, pp. 51-61. Y. Cao, L. Jiang, S. Cheng, D. Chen, O.P. Malik, G.S. Hope, “A nonlinear variable structure for power system stability”, IEEE Trans. Energy Conversion 9 (3), (1994), 489495. Florencio Aboytes, “Control de Voltaje en Sistemas Eléctricos de Potencia”, CENACE, CFE, 1991. Narain G. Hingorani, Laszlo Gyugyi, “Understanding FACTS”, IEEE Press Editorial Board, 2000. Yong H. Song, and Allan T. Johns, “Flexible ac Transmission Systems”, IEE Power and Energy Series, 1999. H. K. Clark, “Considerations in the Evaluation of Series and Shunt Compensation Alternatives”, presentado en la T&D Expo, Chicago, IL, May 14-16, 1985. L. Wang, “Eingenvalue analysis of large power systems”, Ph D thesis, Toronto University, 1999. Jesús H. Hernández L. “Control descentralizado en Sistemas Eléctricos de Potencia para el amortiguamiento de oscilaciones interárea”. Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara. Agosto 2001. Moisés G. Ochoa M. “Aplicación de métodos de potencia y energía modal al análisis de oscilaciones interárea”. Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara. Junio 2001. P. M. Anderson, B. L. Agrawal, and J. E. Van Ness, “Resonance in Power Systems”, IEEE Press, 1990. Ricardo J. Dávalos Marín, “Modelado y análisis dinámico del TCSC y su aplicación para mejorar el comportamiento electromecánico en redes eléctricas”, Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara. Agosto, 2000. Pável Zúñiga Haro. “Diseño e implementación en laboratorio de un dispositivo TCSC”. Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara. Diciembre, 2001. Arturo R. Messina, “Control de voltaje y potencia reactiva mediante compensadores estáticos de vars en sistemas eléctricos de potencia”. Instituto Politécnico Nacional. Tesis de Maestría en Ciencias, México D.F. 1987. Reichert, R., Kauferle, J., and Glavitsch, H., “Controllable Reactor Compensator for more Extensive Utilization of High Voltage Transmission Systems”, CIGRE paper No. 31-04, 1974. Gyugyi, L., and Otto , R. A., “Static Shunt Compensation for Voltage Flicker Reduction and Power Factor Correction”, Proceedings of the American Power Conference, Vol. 38, Chicago, IL, April 1976, pp. 1271-1286. “Reactive Power: Basics, Problems and Solutions”, IEEE tutorial course, 1987. G. Romegialli, H., Beeler, “Problems and Concepts of Static Compensator Control”, IEE Proceedings, Vol. 128 Pt. C, No. 6, November 1981, pp. 382-388. IEEE Special Stability Controls Working Group, “Static VAR Compensator Models for Power Flow and Dynamic Performance Simulation”, IEEE Trans. Power Systems, vol. 9 No. 1, pp. 229-240, February 1994. Carson W. Taylor, “Power System Voltage Stability”. McGraw-Hill, Inc. 1994. R. T. Byerly, R. J. Bennon, E. R. Taylor, D. T. Poznaniak “A Study of Static Reactive Power Compensators for High Voltage Power Systems”, Westinghouse Electric Corporation, 1981. Z. Yang, “Integration of Battery Energy Storage with Flexible AC Transmission System Devices”, Ph D thesis, University of Missouri-Rolla, 2000. Working group 14.19, “Static Synchronous Compensator”, CIGRÉ, Agosto de 1999. Ixtláhuatl Coronado G. “Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva dinámica”. Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara, Octubre, 2001. CAPÍTULO III INTRODUCCIÓN AL ALGORITMO TEMPLADO SIMULADO 3.1 Introducción En muchos problemas de ciencia e ingeniería, es necesario calcular el mínimo o el máximo de una función con muchas variables, que se denomina función objetivo o de costo, donde los argumentos pueden estar sujetos a restricciones. Existen problemas muy estudiados para los que se han generado algoritmos muy eficientes para obtener soluciones óptimas como por ejemplo la programación lineal. Sin embargo, para muchos problemas de optimización combinatoria (CO), varios algoritmos aún están en desarrollo. Es por ello que en muchas ocasiones se emplean algoritmos heurísticos; que no son algoritmos exactos debido a las limitaciones computacionales, pero pueden ser suficientes para obtener una buena solución sub-óptima factible. Para estos problemas difíciles, una técnica heurística frecuentemente empleada es el Templado Simulado (SA). Esta técnica es viable para la mayoría de los problemas del tipo CO y es por ello que se le ha clasificado como un algoritmo de optimización combinatoria. Los algoritmos de optimización combinatoria utilizan una estructura de vecindad, que tiene como característica principal un mecanismo de generación que selecciona una solución j a partir de una solución vecina i. En este capítulo se expone una visión global del método adaptable para problemas de optimización combinatoria (SA) y su estructura básica para su implementación, se definen además algunos conceptos importantes en el análisis de SA y en la explicación de los problemas de optimización. 3.2 Conceptos Básicos Definición 3.2a (Problema algorítmico) Un problema algorítmico Π es un mapeo Π : I → 2 S , donde I es el conjunto de casos del problema y S es el conjunto de configuraciones del problema [1]. Dado un caso del problema p ∈ I , las configuraciones en Π ( p) se llaman soluciones de p o configuraciones válidas para p. Tanto I como S pueden ser conjuntos infinitos. Si S es un conjunto monoelemento, entonces Π se llama un problema de decisión. 23 Capítulo III 24 { } Si S es un conjunto monoelemento, por ejemplo {si}, entonces 2 S se puede identificar con 0, 1 . El conjunto {si} corresponde a un 1, y el conjunto vacío corresponde a un 0. El rango binario de Π es la base de la notación para problemas de decisión. Si Π es un problema de decisión, entonces un caso p ∈ I tal que Π ( p) = 0 se llama un caso-0. Cuando Π ( p ) = 1, se llama un caso1. Para propósitos de solución de problemas algorítmicos, se debe especificar apropiadamente cómo son los conjuntos I y S . 3.2.1 Algoritmos aleatorios Para superar el hecho de que algunos casos son inevitablemente difíciles para el algoritmo, podemos internamente introducir una búsqueda aleatoria. En este caso, se permite acceso aleatorio a la máquina para que realice un lanzamiento imparcial de una moneda (volado) y continúe de acuerdo al resultado. Se dice, que la máquina almacena un 0 o un 1 dentro de su registro, dependiendo de cómo cae la moneda. El ordenamiento aleatorio es interno al algoritmo, y si el algoritmo tiene suerte con los lanzamientos de la moneda, cada uno de los casos pueden tener una oportunidad de obtener una solución óptima. Formalmente, un algoritmo aleatorio A es un algoritmo que tiene dos entradas ( p, σ ), donde p es el caso del problema y σ es una cadena binaria infinita que contiene los resultados de todos los lanzamientos de la moneda. El algoritmo A debe resolver el caso p del problema para cada una de las cadenas generadas por los lanzamientos de la moneda σ . Definición 3.2b (Problema de optimización) Un problema de minimización es un problema algorítmico para el cual existe una función de costo c : S → Ν, donde Ν es el conjunto de los números naturales. Un algoritmo A minimiza a Π si para una entrada p ∈ I , calcula una configuración válida s tal que c( s) sea mínimo. A esta solución se le da el nombre de solución óptima. Una definición similar se hace para problemas de maximización. Esto es, para problemas que maximizen la función de costo. En general los problemas de optimización estan formados por los problemas de minimización y maximización. Definición 3.2c (Algoritmo no-determinístico) Sea Π un problema de decisión. Un algoritmo nodeterminístico A para un problema Π es un algoritmo que, en cada uno de los pasos, hace una suposición binaria respecto a cómo proceder. Se dice que el algoritmo es capaz de resolver el problema, si para cada entrada p ∈ I , se cumple lo siguiente: [ Si Π ( p) = 1, entonces existe una manera de que A suponga que se calcula el 1. En este caso, se define Tn det ( A, p ) como el tiempo de ejecución más corto para tal cálculo. [ Si Π ( p) = 0, entonces no existe manera de que A suponga que se calcula el 1. En este caso, se define Tn det ( A, p ) = 1. Definición 3.2d (NP) Todos los problemas de decisión que tienen algoritmos no-determinísticos factibles se catalogan como NP. Un algoritmo no-determinístico es similar a un algoritmo aleatorio que tiene una moneda cargada. Si por ejemplo se da un caso-1, siempre escoge el cálculo más fácil para producir el 1. Pero, a diferencia de un algoritmo aleatorio, un algoritmo no-determinístico no tiene que tratar con casos-0. Esto es, si por ejemplo se da un caso-0, lo rechaza inmediatamente, sin hacer ningún cálculo. Así que un algoritmo no-determinístico es intuitivo y parcial para casos-1 (un modelo de cálculo poco realista). La idea central detrás de un algoritmo no-determinístico es la siguiente: Dado un caso-1, un algoritmo no-determinístico produce (tiempo polinomial) una prueba corta de que el ejemplo es un caso-1. De hecho, si se prueba que el algoritmo no-determinístico A resuelve el problema Π , entonces cualquier cálculo de A lleva a 1 para el caso de que p pruebe que Π ( p) = 1. Introducción al algoritmo Templado Simulado 25 Así, si un problema es fácil no-determinísticamente, existen pruebas cortas para casos-1 del problema. Por supuesto, por diseño, los algoritmos no-determinísticos evitan realizar tal prueba (una pregunta que cualquier algoritmo realista tiene en su funcionamiento). Por lo tanto, se espera que la complejidad de algoritmos no-determinísticos sea menor que la complejidad de algoritmos determinísticos. Los métodos adaptables se llaman así debido a que se desempeñan robustamente ante diferentes problemas de optimización adaptándose por sí mismos al espacio de búsqueda. Muchos problemas combinatorios son difícil-NP (NP-hard) y se pueden ejemplificar por el problema del agente viajero (TSP), un problema que parece simple pero en realidad es muy difícil de resolver. Los métodos adaptables tal como técnicas evolutivas y SA han probado ser adecuadas para encontrar buenas o aún soluciones óptimas para estos problemas. Todos estos métodos se basan en diferentes mecanismos de la naturaleza que se transforman en términos computacionales. 3.3 Cadenas de Markov La cadena de Markov es un método que en su operación genera una secuencia de puntos aleatorios. Por ejemplo, una secuencia de puntos aleatorios con la propiedad que, dada la información de un punto p en la secuencia, el comportamiento de los puntos subsecuentes a p es independiente de la información de los puntos anteriores. La cadena de Markov es conocida por su simplicidad y además es capaz de describir comportamientos muy complejos. Es de interés que la cadena de Markov converja de una distribución a una distribución de probabilidades arbitraria en el espacio que se esté considerando. Una aplicación sobresaliente de éste método se denomina algoritmo de Metropolis. El algoritmo fue presentado por Metropolis [2] en 1953 en el estudio de interacciones moleculares de sustancias, y más tarde generalizado por Hastings en 1970 en un trabajo presentado para producir una cadena de Markov que converja a una distribución arbitraria en un espacio discreto [3]. El algoritmo de Metropolis se considera una generalización de la mayor parte de los métodos de Monte Carlo con Cadenas de Markov (MCMC) que se usan por ejemplo en el muestreo de Gibbs en cálculos Bayesianos [4], y SA para optimización global y combinatoria [5]. Los métodos de Monte Carlo (MC) consisten en obtener muestras de una distribución de probabilidades que pueden servir por ejemplo para obtener propiedades termodinámicas de un material, en encontrar estructuras con un mínimo de energía, o quizás como una parte de un algoritmo de búsqueda global. Los métodos de Monte Carlo son técnicas estocásticas que se basan en el uso de números aleatorios, probabilidad y estadística para la solución de problemas que se pueden encontrar en el ámbito científico y tecnológico. El uso de estos métodos se extiende desde la economía hasta la física nuclear y la regulación del flujo de tráfico. Estrictamente hablando, para llamar a algún método un experimento de Monte Carlo, es necesario hacer uso de números aleatorios para examinar el problema. El uso de métodos de MC para modelar problemas físicos permite examinar sistemas muy complejos que sería casi imposible de analizar con otros métodos. Los métodos de MC se aplican tanto a problemas sin contenido probabilístico como aquellos que tienen una estructura inherentemente probabilística. Entre todos los métodos numéricos que dependen en la evaluación de z puntos en un espacio de dimensión D para producir una solución aproximada, los métodos de MC tienen un error absoluto de cálculo que disminuye con la relación z −1 2 mientras que, sin una estructura conveniente los otros métodos tienen errores que disminuyen conforme z −1 D , en el mejor de los casos. En una búsqueda local aleatoria, un vecino de una configuración particular s se selecciona como el primer lugar al cual moverse, con una cierta probabilidad, en el paso de búsqueda siguiente. Más aún, se asume que todos los límites fuera de s son probabilísticamente Capítulo III 26 independientes. La estructura matemática correspondiente es una configuración de grafo que se obtiene etiquetando los bordes, cada uno con su probabilidad de transición respectiva, esta idea se ejemplifica en la Fig. 3.1 [1]. A tales configuraciones se les asigna el nombre de cadenas de Markov. 0.8 1 2 0.4 0.2 0.6 0.5 0.35 3 0.15 Fig. 3.1 Diagrama representativo de una cadena de Markov. 3.3.1 Cadenas de Markov de tiempo-homogéneo Definición 3.3a (Cadena de Markov) Sea G = (V , E ) un grafo dirigido con V = {s1 ,K , s n }. Sea c : V → Ζ una función de peso-vértice. Sea p : E → [0, 1] una función de peso-borde (notación: pij = p( si , s j ) ) tal que ∑p s j ∈Q ( si ) ij =1 para todo si ∈ V Para una configuración válida s ∈ S p , al conjunto Q ( s i ) se le denomina vecindad de (3.1) s, donde S p es el conjunto de configuraciones válidas de p. Se define a (G, p) como una cadena de Markov de tiempo-homogéneo (finita). En el contexto de cadenas de Markov a una configuración se le llama un estado. La restricción en los bordes etiquetados p aseguran que las probabilidades de transición de todos los bordes suman 1. En una cadena de Markov de tiempo-homogéneo, las probabilidades de transición son constantes; esto es, son las mismas en cada uno de los pasos. Puesto que las probabilidades de transición son independientes de la historia de la búsqueda, la cadena de Markov no tiene memoria; esto es, no tiene conocimiento de los pasos de búsqueda anteriores que pueden ser codificados en las probabilidades de transición para el paso de búsqueda actual. Sin perder generalidad, se asume que pij > 0 para todos los bordes ( si , s j ) ∈ E. Si pij = 0 para un borde, únicamente se borra el borde de G. Con esta previsión, se puede obtener la siguiente definición. Definición 3.3b (Cadena de Markov Irreducible) Una cadena de Markov (G, p) es irreducible si G se encuentra fuertemente conectada. Se pueden establecer muchas propiedades para una cadena de Markov en términos de su matriz de transición esto es, la matriz P = (( p ij )) (por convención, se ajusta pij = 0 si ( s i , s j ) ∉ E ), esta idea se puede ejemplificar con la matriz de probabilidades de transición para el diagrama de la Fig. 3.1 0  0.2 0.8  P = 0.4 0 0.6  0.5 0.35 0.15 Introducción al algoritmo Templado Simulado 27 Se asume por ejemplo, que la cadena de Markov que modela la búsqueda se encuentra en una n posición si ∈ V con probabilidad π i = π ( si ), 0 ≤ π i ≤ 1, i =1π i = 1. Se llama a la distribución de ∑ probabilidades π : {s1 , K , s n } → [0, 1] un estado de la distribución de probabilidades. Después de un paso de búsqueda aleatoria guiada por la cadena de Markov (G, p) el estado de la distribución de probabilidades es π ' = πP. De hecho, la probabilidad de estar en un estado si es n π i = ∑ π j p ji (3.2) j =1 si tomamos en consideración que las transiciones posibles son probabilísticamente independientes. Por lo tanto, podemos concluir que el objetivo es construir cadenas de Markov que converjan a ciertos estados más favorables de la distribución de probabilidades. Definición 3.3c (Distribución estacionaria) Una distribución de estado π de una cadena de Markov de tiempo homogéneo (G, p) se llama distribución estacionaria sí πP = π . Intuitivamente, una distribución estacionaria tiene la propiedad de que no cambia si se realiza una búsqueda local aleatoria guiada por la cadena de Markov. Formalmente, una distribución estacionaria es el eigenvector izquierdo de la matriz de transición P para el eigenvalor 1. Un ejemplo de una cadena de Markov con una configuración de grafo se muestra en la Fig. 3.2a, en la Fig. 3.2b se muestra la matriz de probabilidades de transición correspondiente, y por último en la Fig. 3.2c se tiene la distribución estacionaria. 12 12 1 12 18 14 5 14 14 18 18 12 18 3 2 12 14 18 18 14 14 12 14 14 14 6 4 14 (a) 1 2 1 2  0 P= 0 1 2   0 14 0 14 0 0 12 0 12 14 18 12 14 0 0 1 8 1 8  1 4 1 8 1 8  1 4 0 1 4 0 18 0   14 0 0  0 14 (b)  81 47 29 14 34 13  Π= , , , , ,   218 218 218 218 218 218  (c) Fig. 3.2 Ejemplo de una cadena de Markov. Capítulo III 28 3.4 Templado Simulado SA se asemeja al proceso físico de templado donde un líquido se enfría para obtener un sólido con un mínimo de energía en su estructura. Este algoritmo es una versión de un modelo estadístico exitoso de un proceso de termodinámica para formar cristales que se ha transformado a términos computacionales. Por experiencia, los investigadores han determinado que un sólido muy cercano a un cristal perfecto se puede obtener aplicando el proceso de templado. El material en estado sólido se calienta a muy altas temperaturas hasta que alcanza un estado líquido amorfo. Entonces, se enfría muy lentamente, de acuerdo a un programa especificado de disminución de temperatura. Si la temperatura inicial es lo suficientemente alta para asegurar un estado lo suficientemente arbitrario, y si el enfriamiento es lo suficientemente lento para asegurar que se alcance el equilibrio térmico en cada una de las temperaturas, entonces los átomos se arreglan por si mismos en un modelo que es muy cercano al mínimo global de energía como un cristal perfecto. Un modelo teórico de lo que sucede dentro del material durante el proceso de templado, muestra que los estados son continuamente perturbados por la introducción de pequeños cambios aleatorios en las posiciones de los átomos del material. La termodinámica muestra que el equilibrio térmico a temperatura T es una distribución de probabilidades en la cual un estado con energía E se alcanza con la probabilidad de Boltzmann [2], E 1 − k BT e Z (T ) (3.3) donde Z (T ) es un factor de normalización y k B es la constante de Boltzmann. Distribución de Boltzmann. Muchas veces en sistemas con un gran número de partículas se necesitan pronósticos estadísticos de ciertas propiedades del sistema. Especialmente en física, se tiene que las partículas de un sistema se encuentran distribuidas frecuentemente de acuerdo a la distribución de Boltzmann. Sabemos que la energía cinética de un átomo o molécula se calcula por la fórmula k e = 1 2 mv 2 (3.4) donde m es la masa de la partícula y v es su velocidad. Cuando se trata de describir la distribución de la energía cinética en una gran colección de átomos o moléculas, se debe recurrir a la estadística. Maxwell y Boltzmann descubrieron que ésta distribución puede describirse graficando la fracción de moléculas en un recipiente con una energía cinética dada, contra la energía cinética. Alternativamente, se puede graficar la probabilidad de que las moléculas (como por ejemplo de un gas) tengan una energía cinética dada contra la energía cinética. Esta gráfica se muestra en la Fig. 3.3 (forma de la distribución de Boltzmann). Probabilidad Energía Cinética con mayor pr obabilidad Energía Cinética pro medio Energía Cinética Fig. 3.3 Distribución de Boltzmann. Introducción al algoritmo Templado Simulado 29 De la Fig. 3.3 se puede observar que la gráfica no es simétrica y que la energía cinética con una mayor probabilidad no es la misma que la energía cinética promedio. Otro punto importante a observar es que la temperatura es directamente proporcional a la energía cinética promedio de las moléculas que esta dada por la ec. (3.5). k e = 3 2 nRT (3.5) donde n es el número de moléculas del gas, T es la temperatura en grados Kelvin y R es la constante del gas. Si T es proporcional a la energía cinética promedio, entonces se espera que este cambio en la energía cinética promedio se refleje en la forma de la distribución de Boltzmann. Puesto que en este ejemplo el eje vertical se utiliza para la probabilidad, el área bajo la curva debe ser exactamente igual a 1.0 en cada temperatura. Conforme se incrementa la temperatura, la curva se extiende hacia la derecha y el valor de la energía cinética con una mayor probabilidad disminuye. Esto se ilustra en la Fig. 3.4. 0o C 25o C Probabilidad 100o C Energía Cinética Fig. 3.4 Distribución de Boltzmann para diferentes temperaturas. Los requerimientos para que un sistema tenga una distribución de Boltzmann son muy fundamentales y no son dependientes de algún comportamiento físico especial, de tal forma que esta ley de distribución se puede encontrar en diferentes áreas de la ciencia. Los requerimientos para una distribución de Boltzmann son bastante simples y se pueden resumir como sigue: 1. El número de partículas en el sistema es constante. Es decir las partículas no pueden ser creadas ni eliminadas. 2. La energía total del sistema es constante. Sin embargo, se puede intercambiar energía entre partículas, por ejemplo golpeando unas con otras. Pero el sistema como un todo está energéticamente aislado. Generalmente, esta constante no necesita ser la energía total. En otros sistemas podría ser cualquier otro parámetro que sea constante en el tiempo. 3. Si tal sistema se encuentra en equilibrio, la energía (o el parámetro que se considere constante en el tiempo) se distribuye según Boltzmann. Es importante reconocer que no se puede predecir el comportamiento de alguna molécula con precisión, pero se puede predecir de una forma bastante exacta el comportamiento de una gran colección de moléculas. Esta es la misma lógica que se utiliza para predecir la incidencia de una enfermedad y las probabilidades de falla de las partes de una máquina. El algoritmo SA traslada estas ideas al contexto de problemas de optimización. Como tal, la idea es completamente heurística, y hasta ahora no ha sido sustentada con resultados teóricos relevantes y concretos. SA parece trabajar bien en la práctica, sin embargo, se debe proporcionar una cantidad suficiente de recursos computacionales. En la interpretación correspondiente, la energía se sustituye con la función de costo que deseamos minimizar o maximizar, y los estados de la materia se reemplazan con las configuraciones válidas del problema en turno (algunas veces se permiten configuraciones no-válidas las cuales son penalizadas con un alto costo). La Capítulo III 30 temperatura se simula por un parámetro de control T . Las perturbaciones que se presentan si la materia está a una alta temperatura corresponden a las variaciones que se pueden incluir en las configuraciones válidas en un grafo escogido adecuadamente. SA es una generalización de un algoritmo de búsqueda local. Un algoritmo de búsqueda local es aquel que sitúa un punto actual en el espacio de búsqueda y examina puntos cercanos hacia los cuales mover la búsqueda. El algoritmo es egoísta porque únicamente acepta movimientos que conduzcan a mejorar el costo de la solución. En otras palabras, si el punto es mejor, este se acepta como un nuevo punto en el espacio de búsqueda, si es peor, se acepta de acuerdo a una función probabilística de aceptación. En términos simples, para una minimización, una búsqueda siempre procura el descenso pero existe una posibilidad que se pueda mover en ascenso, esta posibilidad de moverse en ascenso se reduce conforme la búsqueda avanza. La búsqueda garantiza hallar un mínimo local1, pero si existe más de uno de estos, es posible no encontrar el mínimo global. La probabilidad de aceptar soluciones peores sirve en algunos casos para que la búsqueda salga de estos mínimos locales. La ecuación (3.6) muestra el criterio de Metropolis [2] h(k ), que es el criterio usual que se usa para decidir si se acepta un movimiento o no,  1 h(k ) =  − ∆E e Tk si ∆E < 0 si ∆E ≥ 0 (3.6) donde ∆E es el cambio en la función de costo definida como Et − E c , y Tk es el parámetro de control en la iteración k ( Et es el valor de la función de costo con los parámetros de prueba generados y Ec es el valor de la función de costo actual). Si se escoge una condición de equilibrio constante se puede decir que el procedimiento anterior se repite N T veces para proceder a disminuir la temperatura (donde N T se define como el número de pruebas por temperatura). En la práctica, generalmente se utiliza un programa de enfriamiento geométrico, T ← µT , para llegar a alguna solución i * en una cantidad de tiempo finita, donde µ es el parámetro de disminución de temperatura. En los últimos años han surgido diferentes técnicas de SA [6-8]. El principio básico de todos los métodos es el mismo, las diferencias principales son la selección de las funciones de probabilidad, resultando en diferentes relaciones de convergencia. Todas las técnicas consisten de dos funciones de probabilidad y un programa de enfriamiento. La Fig. 3.5 muestra el procedimiento de un algoritmo de SA para un ejemplo hipotético. Inicialmente la partícula (representa el punto actual en el espacio de búsqueda) contiene una gran cantidad de energía que corresponde a un valor alto del parámetro de control, T . Esta alta energía le permite escapar de mínimos locales. Conforme la búsqueda sigue avanzando se reduce la energía de la partícula (ya que T se reduce) y la búsqueda converge a un mínimo global. Un diagrama de flujo que ejemplifica en forma breve cada uno de los pasos del algoritmo SA se muestra en la Fig. 3.6. x actual es un vector con los valores actuales de los parámetros; x mejor es un vector con los mejores parámetros encontrados en cada iteración; xinicial es un vector con el valor inicial de los parámetros; Tinicial es el valor de la temperatura inicial; Tk es el valor de la temperatura en cada iteración; α es un parámetro de control para ajustar la temperatura lo suficientemente alta; E ( xinicial ), E ( x mejor ), E ( x actual ) es el valor correspondiente de la función de costo para los vectores de parámetros mencionados anteriormente; k se incrementa cada vez 1 Un mínimo local es uno que no puede ser mejorado haciendo un movimiento simple en el espacio de búsqueda. Introducción al algoritmo Templado Simulado 31 que se ajusta la temperatura; D es el número de parámetros del problema; ci es un parámetro de control para el programa de enfriamiento [9]. Fig. 3.5 Ilustración de cómo trabaja SA. Ajustar valores iniciales: xactual = xmejor = xinicial Tk = Tinicial E ( xactual ) = E ( xmejor ) = E ( xinicial) Generar soluciones de prueba en la vecindad de x actual Proceso para alcanzar una temperatura lo suficientemente alta no Generar nueva temperatura La relación de aceptación es cercana a 1 Tk +1 = αTk , α > 1 si Generar una solución de prueba considerando los valores del proceso de calentado Se satisface el criterio de aceptación no si Ajustar no xactual = x prueba Se satisface la condición de equilibrio si Ajustar xmejor , Emejor Se satisface el criterio de terminación si Terminar xmejor , Emejor no Generar nueva temperatura Tk +1 = Tk e(−cik 1D ) Fig. 3.6 Diagrama de flujo del algoritmo SA. Capítulo III 32 Para crear un algoritmo de SA para un problema particular se requieren tres cosas: 1. Un punto inicial. Una posición dentro del espacio de búsqueda desde el cual ésta comienza; usualmente se escoge aleatoriamente. 2. Un generador de movimiento. Debe estar disponible un mecanismo para generar los próximos estados. La diferencia de costo entre este nuevo estado y el estado actual debe ser computacionalmente accesible para poder llevar a cabo el cálculo. 3. Un programa de enfriamiento. Se deben definir los parámetros que determinan el programa de enfriamiento. Esto es, cómo reducir la temperatura, en qué cantidad y cuáles son las temperaturas inicial y final. 3.4.1 Modelado de Templado Simulado La similitud de SA al proceso físico es útil ya que existen buenos modelos disponibles del proceso físico de templado que se pueden usar para modelar el control y la convergencia del algoritmo. Las cadenas de Markov se usan para modelar la operación de SA [1, 10]. Estos modelos se componen de cadenas que representan una serie de transiciones probabilísticas. La probabilidad de que ocurra una transición particular depende del estado anterior. Para un valor dado del parámetro de control se puede construir una matriz que represente la probabilidad de llegar al estado j desde el estado i. Como se mencionó anteriormente se denomina matriz de transición y se define como [11]: ∀  g ij (k )hij (k ) S  Pij (k ) = 1 − g (k )h (k ) ∑ il il  l =1  l ≠i donde S j≠i (3.7) j =i es el conjunto de todas las configuraciones posibles (o estados); g ij (k ) es la probabilidad de generación del estado j desde el estado i; hij (k ) es la probabilidad de aceptar la transición al estado j a partir de un estado actual i. Usando este modelo se puede mostrar que el algoritmo SA tiene convergencia asintótica si cada una de las cadenas de Markov tienen longitud infinita, el parámetro de control tiende a cero y se sostienen ciertas propiedades de la cadena de Markov [5-6, 11-13]. Esto no se usa para propósitos prácticos, ya que los algoritmos que se obtengan se requiere que converjan en un tiempo finito. SA se puede modelar por una cadena de Markov no-homogénea que consiste de una secuencia de cadenas de Markov homogéneas de longitud finita, cada una especificada a una temperatura en un programa de enfriamiento. Consideremos la secuencia de temperaturas Tk , k = 0, 1, 2, L , donde Tk > Tk +1 y lim Tk = 0, y se escoge que N T sea el mínimo número de { } k →∞ pasos requeridos para alcanzar un iopt de cada j ∈ S . Por lo tanto, siempre existe un N T , puesto que la cadena de Markov es irreducible y el espacio de búsqueda S es finito [1]. 3.4.2 Programa de enfriamiento En la sección anterior se menciona que se asegura la convergencia de SA a una distribución óptima si el programa de enfriamiento y la generación de cadenas tienen ciertas propiedades. Los resultados de convergencia obtenidos únicamente indican ciertas características acerca de SA. Si queremos analizar la velocidad de convergencia, debe tomarse en consideración el comportamiento tiempo-finito de SA [1]. Esto es, se tiene que considerar el hecho de que se considera únicamente un número finito de temperaturas, y la cadena de Markov corresponde a cada una de las temperaturas aplicadas en únicamente un número finito de pasos. El comportamiento tiempo-finito de SA se determina por el programa de enfriamiento y por la generación de cadenas. Por lo tanto, el análisis del comportamiento tiempo-finito depende Introducción al algoritmo Templado Simulado 33 fuertemente de ambos componentes del algoritmo (programa de enfriamiento y generación de cadenas). Los programas de enfriamiento se clasifican en dos grupos, programas estáticos y programas dinámicos. En el primero, los parámetros del programa se determinan antes de iniciar el algoritmo. Un programa dinámico adapta los parámetros dependiendo del estado actual de búsqueda. El programa de enfriamiento se define por cuatro parámetros: la temperatura inicial Ti , el parámetro de disminución de temperatura ci , la longitud de la cadena de Markov Lk antes de que se disminuya la temperatura, y el valor de la temperatura en la cual se detenga el proceso de optimización. 3.4.2.1 Programa de enfriamiento estático Para programas de enfriamiento estático donde la temperatura se disminuye de acuerdo a la siguiente expresión: Tk +1 = µTk , un buen valor inicial de T se obtiene escogiendo un valor para el cual se acepte cualquier transición. Esto se puede alcanzar comenzando con un valor alto de T . El parámetro de control µ se escoge como un ajuste con la longitud de la cadena de Markov, Lk . Si µ es alto, entonces la longitud de la cadena de Markov, Lk , debe ser grande también para permitir que el algoritmo regrese a un casi-equilibrio. Si µ es pequeño, entonces la longitud de la cadena puede ser pequeña también ya que el algoritmo regresa rápidamente al equilibrio. Usualmente los valores de µ se escogen en el rango de 0.8 a 0.99 [5]. La longitud de las cadenas de Markov Lk se escoge ajustando el número de movimientos que pueden ocurrir. Usualmente éste límite se escoge en proporción al tamaño del problema. También es necesario ajustar un límite en la longitud de forma tal que el algoritmo llegue a su terminación. 3.4.2.2 Programas de enfriamiento dinámico Este programa de enfriamiento se basa en un análisis estadístico de SA que entrega los siguientes valores esperados, y la varianza de la función de costo f , para una T dada [11, 14]: ET ( f ) = E ∞ ( f ) − σ ∞2 ( f )  γT    T  γT + 1  (3.8) y  γT   σ ( f ) = σ ( f )  γT + 1  2 T 2 ∞ 2 (3.9) donde E∞ ( f ) − f * σ ∞2 ( f ) (3.10) ET ( f ) ≈ E ∞ ( f ) (3.11) γ= y f * es el valor óptimo de la función, σ ∞2 y E ∞ ( f ) son los valores esperados y la varianza del costo del espacio completo de soluciones del problema. Este modelo tiene una distribución normal para valores altos de T , y una distribución exponencial para valores bajos de T . Para determinar el valor inicial del parámetro de control debe ocurrir cualquier transición y es necesario que se cumpla lo siguiente: Usando la ecuación (3.8), si T es mucho mayor que σ ∞2 entonces éste término tiende a cero. Así, el valor inicial del parámetro de control se calcula por medio de la ecuación (3.12). Capítulo III 34 T0 = Kσ ∞2 ( f ) (3.12) donde K usualmente es una constante dentro del rango de 5-10. σ ∞2 puede ser aproximado aleatoriamente generando algunas soluciones del problema y calculando la varianza del costo de esta muestra. La disminución del parámetro de control se determina especificando una mejora para el valor esperado del costo. Derivando la ecuación para el valor esperado de costo, se obtiene la ecuación que especifica la disminución del parámetro de control. Entonces ∂ET ( f ) σ T2 = T ∂ ln T (3.13) el ln T se usa en lugar de T con lo que lleva a una disminución exponencial, resultando ETk +1 − ETk ln Tk +1 − ln Tk = σ T2 k Tk (3.14) dejando ε = ETk − ETk +1 , el cual es la disminución que se quiere en el costo esperado (es importante recordar que pequeñas disminuciones significan cadenas cortas de Markov). Esto hace que − Tk ε σ 2 Tk T  = ln k +1   Tk  (3.15) por lo tanto Tk +1 = Tk e T ε −  k2 σ  Tk     (3.16) Esta regla de disminución significa que el parámetro de control se reduce por mayores cantidades cuando es grande, y por cantidades menores conforme se hace más pequeño. La longitud de la cadena de Markov se escoge proporcional al tamaño del problema, de modo que los costos esperados regresen al casi-equilibrio. Esto se puede alcanzar ajustando un límite en el número de transiciones aceptadas dentro de cierto rango del costo esperado. El algoritmo termina cuando ' ' ' f max − f min = ∆f max (3.17) ' ' Donde f max y f min son los valores de costo máximo y mínimo aceptados en la generación de una ' es el cambio máximo en costo en la generación de un estado aceptado durante la cadena, y ∆f max generación de una cadena. Esta regla se basa en la observación de que si existe un solo paso entre la mejor y la peor solución en una cadena, entonces todas las soluciones en esa temperatura son de un costo similar. Así, aunque se reduzca más la temperatura no ayuda a encontrar una mejor solución. 3.4.2.3 Elementos básicos de SA Soluciones (mejor x mejor , actual x actual , de prueba x prueba ). Estas soluciones se ajustan en cada una de las iteraciones con los valores de los parámetros optimizados. Criterio de Aceptación. Este criterio como se mencionó anteriormente indica qué soluciones de prueba son aceptadas para poder llevar a cabo el proceso de actualización para la solución de referencia x actual . Introducción al algoritmo Templado Simulado 35 Generación de cadenas. Se asume que la distribución estacionaria de la generación de cadenas es razonablemente cercana a la uniforme. Algunas veces, es erróneo asumir que la distribución es exactamente uniforme; sin embargo, teniendo una distribución cercana a la uniforme permite alcanzar todos los estados con una probabilidad casi igual desde un estado inicial, mientras la temperatura sea alta. Es deseable tener esta característica para aprovechar otras propiedades de la generación de cadenas en el análisis del comportamiento tiempo-finito del algoritmo SA, para distinguir problemas en los cuales SA trabaja bien y en los cuales no. Temperatura inicial. El valor de la temperatura inicial se ajusta lo suficientemente alta para que virtualmente todas las transiciones se acepten, y la generación de cadenas domine el comportamiento de las primeras etapas del algoritmo. Sea d la relación de transiciones generadas que se aceptan. Comenzando con la función Metropolis, se puede calcular una temperatura inicial razonable usando la ecuación (3.18). T= ∆C − ln d (3.18) donde ∆C es el límite inferior del incremento del costo promedio para cualquier transición costoincremento, basado en la distribución estacionaria y en las probabilidades de transición de la generación de cadenas. Criterio de terminación. El procedimiento de congelado (T ) decide cuándo detener el enfriamiento. Aquí, se puede fijar el número de temperaturas aplicadas a un valor constante, por decir 50, o detener cuando el costo promedio sobre todos los estados alcanzados por la cadena de Markov es casi la misma para tres o cuatro temperaturas consecutivas. Otro criterio requiere que la relación de aceptación esté por debajo de un valor pre-especificado. Condición de equilibrio. Esto ocurre cuando la solución actual no cambia para un cierto número de pruebas para un valor dado del parámetro de temperatura T . Longitud de la cadena, L. La longitud de la cadena se determina por el procedimiento de equilibrio. Aquí, se requiere detener la cadena para una temperatura T si se puede asumir que la cadena es razonablemente cercana a la distribución estacionaria. En este caso, se dice que la cadena alcanza el casi-equilibrio. Intuitivamente, un movimiento hacia la distribución estacionaria se hace con cada una de las transiciones aceptadas. Por lo tanto, se puede aplicar algún número q de transiciones aceptadas de la cadena de Markov y terminar. Disminución de la temperatura. La regla para disminuir la temperatura se incorpora en el procedimiento de actualización (T ). Intuitivamente, la nueva temperatura se escoge de manera que la distribución estacionaria de la cadena de Markov para la temperatura actual no esté lejos de la distribución estacionaria de la cadena de Markov para la nueva temperatura. Solución inicial. La filosofía de SA sugiere que se debe escoger una solución inicial aleatoria para explotar las propiedades estadísticas del método. En contraste, varios investigadores han experimentado haciendo un comportamiento mejorado, seleccionando cuidadosamente una buena solución inicial [15]. Con la ausencia de un conocimiento teórico detallado de SA, el problema de escoger una solución inicial aleatoria o particular es muy controversial. 3.5 Ejemplos de aplicación Todos los conceptos expuestos en este capítulo se ejemplifican para su mayor entendimiento en un par de ejemplos que sirven de referencia, ya que en problemas de optimización de mayor dimensión no es fácil visualizar el mínimo o el máximo de una función con n variables. Capítulo III 36 Como se ha mencionado en este capítulo el programa de enfriamiento, las funciones de probabilidad tanto de generación como de aceptación no son únicas y dependiendo del problema en particular de que se trate se pueden seleccionar de diferente manera. El programa que se utiliza en este análisis tiene las siguientes características [16]. La probabilidad de generación g (k ), es D  1  g (k ) =  ∏ i i i  i =1 ( 2 y + T )(1 + 1 T )  k k   donde y i es una variable aleatoria en el rango de [-1, 1]; Tki es la temperatura actual en cada iteración; D es el número de parámetros de la función. La probabilidad de aceptación en este programa se define como exp[− ( E ( p k +1 ) − E ( p k )) Tcos t ] > U donde U ∈ [0, 1) ; Tcos t es el costo de la temperatura utilizada para esa prueba. El programa de enfriamiento para cada parámetro de temperatura, Tk +1 desde la temperatura inicial Tk es Tk +1 (k fi ) = Tk exp(−ci k 1fi D ) Tk +1 = Tk exp( − mi ) cuando k f i = exp ni ci = mi exp( − ni D ) donde k f i son los índices de generación; mi y ni son cantidades derivadas de una temperatura final esperada. Dado que Tk y k i son escaladas independientemente para cada parámetro, estas { } variables se simplifican a c, m, n para todo i. m = − log 1e −5 ; n = log 100. Otros ajustes son El máximo número de estados aceptados antes de salir es 1000. El máximo número de estados generados antes de salir es 99999. El parámetro de temperatura inicial para todos los cálculos es 1. Teniendo en consideración todos estos ajustes en la realización del programa se procede a ejemplificar las aplicaciones. Ejemplo 3.1. Se desea calcular el mínimo de una función f ( x) que es dependiente únicamente de un parámetro, es decir el problema se reduce a encontrar el valor de x tal que, la función sea mínima. A continuación se presenta la función a minimizar y los valores de x para los cuales f ( x) se encuentra definida: f ( x) = xsin(10πx) + 1 −1 ≤ x ≤ 2 La Tabla 3.1 muestra algunos de los datos obtenidos al ejecutar el algoritmo SA para resolver el problema del ejemplo 3.1, asimismo se puede apreciar el desempeño de SA para cuatro condiciones iniciales diferentes; la columna 2 indica el número de cadena en el cual se detuvo el algoritmo (iteración), mientras la columna 3 señala la longitud máxima que alcanza la cadena en el proceso de solución. En la Fig. 3.7 se grafica la función objetivo para este ejemplo, donde se puede observar de forma clara el valor mínimo. Introducción al algoritmo Templado Simulado 37 Tabla 3.1 Resultados obtenidos en base a SA para el ejemplo 3.1. Máximo No. de estados aceptados Valor final x Máximo No. de estados generados x f (x) f (x) -0.5 -1.0 0.0 1.8 362 362 362 362 195 199 195 185 1.950653 1.950570 1.950515 1.750565 2.108839 1.448052 0.908164 1.288604 -0.9502369 -0.9502523 -0.9502552 -0.7502852 Mejor costo inicial Mejor Costo final f (x) Condiciones iniciales Mínimo de la función x Fig. 3.7 Mínimo de la función f (x ). Variable x Función Objetivo En las Fig. 3.8-3.9 se muestran algunas características importantes del algoritmo SA al resolver el problema del ejemplo 3.1; la Fig. 3.8a muestra el mejor valor de la función de costo en cada una de las cadenas generadas remarcando que aproximadamente a partir de la cadena número 70 la función objetivo no encuentra un mejor valor. La Fig. 3.8b ilustra el comportamiento de la variable x para cada valor de la función objetivo descrita en 3.8a; La Fig. 3.9a señala la longitud de la cadena para cada estado generado, y en la Fig. 3.9b se puede observar el valor del parámetro de temperatura para cada cadena generada (parámetro de control). Es conveniente mencionar que las gráficas muestran únicamente valores hasta la cadena 150, esto se efectúo solamente para poder apreciar con mayor claridad la conducta de los parámetros en las primeras cadenas, tomando en cuenta que el valor de la función de costo para cadenas posteriores a ésta es el mismo. Número de cadena Número de cadena (a) (b) Fig. 3.8 Desempeño de SA en el proceso de solución del ejemplo 3.1, (a) Función objetivo y (b) Variable de la función. Capítulo III Longitud de la cadena Paráme tro de Temperatur a 38 Número de cadena Número de cadena (a) (b) Fig. 3.9 Comportamiento del Algoritmo SA en el proceso de solución del ejemplo 3.1, (a) Longitud de la cadena y (b) Parámetro de temperatura. Ejemplo 3.2. Se tiene una función que depende de dos variables x1 y x 2 . En este caso se desea calcular el máximo de la función f (x). De igual forma se muestra el rango de valores para las variables x1 y x2 respectivamente: f ( x) = 21.5 + x1 sin(4πx1 ) + x2 sin(20πx2 ) − 3 ≤ x1 ≤ 12.1 4.1 ≤ x 2 ≤ 5.8 Al utilizar el algoritmo de SA para resolver el problema del ejemplo 3.2 se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 3.2. En este ejemplo al igual que en el caso anterior se ejecuta el algoritmo para cuatro condiciones iniciales diferentes llegando a resultados muy semejantes. En la Fig. 3.10 se aprecia la forma de la función objetivo. Tabla 3.2 Resultados obtenidos al ejecutar SA para el ejemplo 3.2. Condiciones iniciales x1 x2 0 -3 11 -2.6 4.1 5.8 5.7 5.3 Máximo No. de estados generados Máximo No. de estados aceptados 1312 1309 1319 1316 440 448 435 437 Valor final Mejor costo inicial Mejor Costo final x1 x2 f (x) f (x) 11.62554 11.62555 11.62552 11.62554 5.725042 5.725045 5.525048 5.325047 30.02551 20.17591 15.10880 20.11995 38.85029 38.85029 38.65029 38.45030 f ( x1, x2 ) x2 x1 Fig. 3.10 Función objetivo del ejemplo 3.2. Introducción al algoritmo Templado Simulado 39 Variables Función Objetivo En las Fig. 3.11-3.12 se puede observar los resultados más relevantes que se obtienen al utilizar el algoritmo SA para calcular el máximo de la función del ejemplo 3.2. La Fig. 3.11a muestra el mejor valor de la función objetivo en cada cadena generada apreciándose que el mejor valor de la función se consigue aproximadamente en la cadena número 630. En la Fig. 3.11b se aprecia el comportamiento de las variables de la función, alcanzando primero la variable x1 el mejor valor para la función objetivo. Número de cadena Número de cadena (a) (b) Fig. 3.11 Desempeño de SA en el proceso de solución del ejemplo 3.2, (a) Función objetivo y (b) Variables de la función. Longitud de la cadena Paráme tro de Temperatur a En la Fig. 3.12a se manifiesta la longitud de las cadenas en cada estado quedando claro que a partir de la cadena 630 ya no es posible encontrar un mejor valor para la función de costo aunque la cadena tenga un mayor tamaño. Por último, la Fig. 3.12b señala el parámetro de control en cada estado recalcando que el parámetro de temperatura llegado a un cierto valor mínimo ya no ayuda a mejorar el valor de la función objetivo. Número de cadena Número de cadena (a) (b) Fig. 3.12 Comportamiento del Algoritmo SA en el proceso de solución del ejemplo 3.2, (a) Longitud de la cadena y (b) Parámetro de temperatura. Con estos ejemplos queda claro que el resultado que se obtiene en los problemas de optimización es satisfactorio y evidentemente conforme el problema tenga más variables resulta más difícil encontrar una solución óptima o cercana a la óptima. Las gráficas 3.8-3.9 y 3.11-3.12 dejan de manifiesto las características principales del algoritmo resaltando el impacto que tiene el 40 Capítulo III parámetro de temperatura en el algoritmo. Es evidente que el parámetro de temperatura se comporta exponencialmente lo que ayuda a asegurar la convergencia de la función objetivo [1] a un mínimo o máximo global. Se debe señalar que el parámetro de temperatura sigue disminuyendo en cada cadena generada sólo que conforme el proceso avanza ésta disminución es más lenta. 3.6 Resumen En este capítulo se presentan las definiciones mínimas necesarias para tener un conocimiento general sobre el enfoque de SA para resolver los problemas de optimización. La importancia de estas definiciones radica en el hecho de tener las bases formales para lograr una comprensión suficiente de los problemas que se pueden presentar en el ámbito científico y tecnológico, y por lo tanto tener una idea de cómo proceder a solucionar el problema de una forma efectiva. Se tiene una breve introducción a las cadenas de Markov ya que éstas son la base para el modelado del algoritmo SA; también se presentan algunas definiciones importantes. Se mencionan los fundamentos y origen del algoritmo SA, proporcionando comentarios de sus posibles variantes para aumentar su efectividad y rapidez para ciertos problemas en particular, y se señala el modelado con los elementos esenciales para su implementación. La ejemplificación del algoritmo se lleva a cabo por medio de dos ejemplos que se resuelven por medio del proceso de templado simulado en un programa computacional, llegando a observaciones y conclusiones importantes a cerca de la convergencia de la función objetivo tanto para problemas de maximización como para los problemas de minimización. Se muestra además el comportamiento de los parámetros del algoritmo de forma tal que se tenga una noción general del impacto de cada parámetro dentro del algoritmo. En éste trabajo se propone el empleo del algoritmo SA para la solución del problema de coordinación de estabilizadores en sistemas eléctricos de potencia. 3.7 Referencias [1] Thomas Lengauer, “Combinatorial Algorithms for Integrated Circuit Layout”, John Wiley and Sons. 1993. [2] N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth, A.H. Teller and E. Teller, “Equation of state calculations by fast computing machines”, Journal of Chem. Phys., 21, 1087-1092, (1953). [3] W. K. Hastings. “Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications. Biometrika”, 57:97-109, 1970. [4] Ming-Hui Chen, Qi-Man Shao, and Joseph G. Ibrahim. “Monte Carlo Methods in Bayesian Computation”. Springer-Verlag, New York, 2000. [5] E. Aarts and J. Korst. “Simulated Annealing and Boltzmann Machines”, J. Wiley and Sons. 1989. [6] B. W. Wah and T. Wang, “Constrained simulated annealing with applications in non-linear constrained global optimization”. In Proc. Int’l Conf. On Tools with Artificial Intelligence, pag. 381-388. IEEE, Noviembre de 1999. [7] Xin Yao, “Optimization by Genetic Annealing”, proceedings of the Second Australian Conference on Neural Networks, pag. 94-97, 1991. [8] H. Szu and R. Hartley, “Fast simulated annealing”, Phys. Lett A, 122, 157-162, (1987). [9] L. Ingber, “Very fast simulated re-annealing”, Mathematical and Computing Modelling, Vol 12, 967-973, (1989). [10] S. Kiatsupaibul, “Markov Chain Monte Carlo Methods for Global Optimization”, Ph D. thesis, University of Michigan 2000. Introducción al algoritmo Templado Simulado 41 [11] P.J.M. van Laarhoven and E.H.L. Aarts, “Simulated Annealing: Theory and Applications”, Kluwer Academic Publishers, (1983). [12] B. Hajek. “Cooling schedules for optimal annealing”, Mathematics of Operations Research, 13(2):311-329, 1988. [13] S. Kirkpatrick, Jr. C. D. Gelatt, and M. P. Vecchi, “Optimization by simulated annealing”, Science, 220(4598):671-680, 1983. [14] M. D. Huang, F. Romeo and A. Sangiovanni-Vincentelli (1986), “An Efficient General Cooling Schedule for Simulated Annealing”, IEEE International Conference on ComputerAided Design: ICCAD-86. 381-384. [15] D. S. Johnson, C. R. Aragon, L. A. McGeoch, and C. Schevon. “Optimization by Simulated Annealing”, An experimental evaluation (part I). Preprint, AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, NJ, 1985. [16] L. Ingber, “Adaptive Simulated Annealing”, disponible en http://www.ingber.com/. CAPÍTULO IV ANÁLISIS DEL COMPENSADOR ESTÁTICO SÍNCRONO (STATCOM) 4.1 Introducción En las últimas décadas ha sido una práctica establecida el empleo de compensación de potencia reactiva para incrementar la capacidad de transmisión en un sistema de potencia de CA. Además se ha demostrado que se puede mejorar la estabilidad transitoria y de pequeña señal del sistema de potencia, y el colapso de voltaje se puede prevenir si la compensación reactiva de las líneas de transmisión se hace rápidamente. The Electric Power Research Institute (EPRI) inició el desarrollo de dispositivos FACTS (Sistemas Flexibles de Transmisión de CA) en los cuales el flujo de potencia se controla dinámicamente por medio de dispositivos basados en electrónica de potencia. Los dos principales objetivos de los dispositivos FACTS son: i) incrementar la capacidad de transmisión de las líneas, y ii) controlar el flujo de potencia por rutas predeterminadas. El uso de dispositivos FACTS en un sistema de potencia permite superar las limitaciones impuestas a los sistemas de transmisión que son controlados mecánicamente, facilitando la transferencia neta de potencia. Estos dispositivos ayudan a minimizar la necesidad de ampliar la las plantas generadoras y líneas de transmisión, permitiendo a las industrias eléctricas o empresas vecinas intercambiar potencia aprovechando al máximo las instalaciones existentes. La mayoría de los controladores de flujos de potencia emplean tiristores convencionales dispuestos en circuitos magnéticos, que tienen el mismo principio de operación que los capacitores y reactores operados mecánicamente y transformadores con taps variantes bajo carga, solo que estos tienen una respuesta mucho más rápida y son operados por controles sofisticados con una alta velocidad de respuesta. En consecuencia, los compensadores convencionales controlados por tiristores presentan una admitancia variable a la red de transmisión y por lo tanto cambian la impedancia del sistema. Dentro de los dispositivos FACTS, el compensador estático síncrono (STATCOM) ha mostrado ser una herramienta muy versátil que puede suministrar potencia reactiva a la red para controlar el voltaje en los nodos críticos. Es importante mencionar que si se tiene disponible una fuente de energía en el lado de CD, éste dispositivo también puede llevar a cabo la tarea de compensación de potencia activa. 43 Capítulo IV 44 En el presente capítulo se analiza la inclusión de un dispositivo STATCOM en un sistema máquina-barra infinita en condiciones de estado estacionario además de su implementación dentro de un sistema multimáquinas. Asimismo, se desarrolla el modelo para análisis de pequeña señal para el mismo sistema máquina-barra infinita y su inclusión en un sistema multimáquinas. 4.2 Estado estacionario de un sistema de potencia máquina-barra infinita con un STATCOM 4.2.1 Formulación del problema En esta sección se desarrolla un modelo que describe el comportamiento del STATCOM conectado a un sistema de potencia máquina-barra infinita. El compensador estático síncrono, es un equipo de compensación reactiva que se conecta en derivación, capaz de generar y/o absorber potencia reactiva cuya salida puede variarse para mantener el control de los parámetros específicos del sistema eléctrico de potencia. El término estático se usa para indicar que se basa en dispositivos de conmutación de electrónica de potencia de estado sólido sin componentes de movimiento o rotación. Los términos síncrono y compensador indican que es análogo a una máquina síncrona ideal generando voltajes trifásicos senoidales balanceados a frecuencia fundamental (ver capítulo II). El inversor de voltaje del STATCOM genera un voltaje controlable de CA detrás de la reactancia de dispersión del transformador de acoplamiento. La diferencia de voltaje de CA a través de la reactancia de dispersión produce intercambio de potencia reactiva entre el STATCOM y el sistema de potencia, de tal forma que el voltaje de CA en el nodo sea regulado para mejorar el perfil de voltaje del sistema. Esta es la función primordial del STATCOM. Sin embargo, si es necesario, se puede añadir una función secundaria de amortiguamiento de oscilaciones en el SEP dentro del STATCOM [1]. Para estudios de estado estacionario y de flujos de potencia de un sistema multimáquinas que incluye un STATCOM, es de gran importancia tener un modelo que permita incorporar el dispositivo en un programa de flujos de carga convencional. Por lo tanto, el modelo que se desarrolla en esta sección sirve como base para tal implementación. En el análisis en estado estacionario se tiene un STATCOM que se conecta a un sistema de potencia máquina-barra infinita como se muestra en la Fig. 4.1. El STATCOM para este estudio se modela como una fuente de corriente, v E jx E , en paralelo con la reactancia de dispersión del transformador de acoplamiento xE. En el nodo 1 se tiene conectada una carga, PL + jQL . Se asume que no existen pérdidas de potencia activa en el sistema; es decir, R = 0. Por lo tanto, la potencia activa que entrega el generador conectado al nodo 2 es igual a la potencia activa requerida por la carga, Pg = PL . La formulación I = YV para el sistema de la Fig. 4.1 es,  − PL + jQL   1   jx  v1*   L2   Pg − jQg   0    v2* =    0     0   1  vE  −  jx E   jx L 2  0 1 jxtr 1 − jxtr 0 0 − 1 jxtr 1 1 + jxtr jx L1 1 − jx L1  v   1     v 2  0    v  1 −  3  jx L1   1 1 1  v 4  + + jx L1 jx L 2 jx E    − 1 jx L 2 (4.1) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 45 Donde I es el vector de inyecciones de corriente; V es el vector de voltajes nodales; Y es la matriz de admitancias de la red; Pg es la potencia activa generada; Q g es la potencia reactiva generada; v E es el voltaje en las terminales del STATCOM; x E es la reactancia del transformador de acoplamiento del STATCOM; x L1 y x L 2 son las reactancias de las líneas 3-4 y 4-1 respectivamente, y xtr es la reactancia del transformador conectado entre los nodos 2-3. 2 4 3 1 x L1 xL 2 xtr PL + jQL xE vE jx E Fig. 4.1 Sistema de potencia máquina-barra infinita con un STATCOM. Desarrollando la ecuación para la inyección de corriente para el nodo 1 resulta, − PL + jQL v1 − v4 = v1* jxL 2 (4.2) Se puede representar el voltaje en el nodo 1 en forma polar y rectangular mediante v1 = v1 ∠θ 1 = v1 (cosθ 1 + j sin θ 1 ) (4.3) Despejando el voltaje v4 de la ecuación (4.2) y tomando en consideración el voltaje de la barra infinita como v1 = 1∠0 o v4 = v1 + jx L 2 [PL − jQL ] (4.4) Se puede apreciar en la expresión (4.4) que el voltaje v1 , la potencia de la carga PL + jQL y la reactancia x L 2 son conocidos, por lo tanto se puede considerar que el voltaje v 4 también es conocido. El desarrollo de la inyección de corriente para el nodo 2 a partir de (4.1) se puede expresar mediante, Pg − jQg v2 * = v v2 − 3 jxtr jxtr (4.5) 2  v v  v2 v *v Pg − jQ g = v 2  2 − 3  = − 2 3 jx tr  jx tr jx tr  jx tr * (4.6) Por analogía con (4.3) v 2 = v 2 ∠θ 2 = v 2 (cosθ 2 + j sin θ 2 ) (4.7) Capítulo IV 46 v3 = v3 ∠θ 3 = v3 (cosθ 3 + j sin θ 3 ) (4.8) Sustituyendo (4.7) y (4.8) en (4.6) resulta Pg − jQ g = − j v2 2 xtr +j v 2 v3 xtr cos(θ 3 − θ 2 ) − v 2 v3 xtr sin (θ 3 − θ 2 ) (4.9) Separando en partes real e imaginaria la ec. (4.9) se reescribe Pg y Q g como Pg = − Qg = v 2 v3 xtr v2 xtr 2 − sin (θ 3 − θ 2 ) v 2 v3 xtr (4.10) cos(θ 3 − θ 2 ) (4.11) De manera análoga se desarrolla la ecuación para la inyección de corriente en el nodo 3 0= v3 v v v 1 (v3 x L1 − v 2 x L1 + v 3 xtr − v 4 x tr ) − 2 + 3 − 4 = jx tr jx tr jx L1 jx L1 jx tr x L1 = v3 ( x L1 + xtr ) − v 2 x L1 − v 4 xtr (4.12) (4.13) donde el voltaje v4 está dado por v 4 = v 4 ∠θ 4 = v 4 (cosθ 4 + j sin θ 4 ) (4.14) Ahora, si se sustituye (4.7), (4.8) y (4.14) en (4.13) se obtiene 0 = v3 (cos θ 3 + j sin θ 3 ) ( xL1 + xtr ) − v2 xL1 (cos θ 2 + j sin θ 2 ) − v4 xtr (cos θ 4 + j sin θ 4 ) (4.15) Separando en partes real e imaginaria la ec. (4.15) 0 = v3 cosθ 3 (x L1 + xtr ) − v2 x L1 cosθ 2 − v 4 xtr cosθ 4 0 = v3 sin θ 3 ( x L1 + xtr ) − v 2 x L1 sin θ 2 − v 4 xtr sin θ 4 (4.16) (4.17) Por último desarrollando la ecuación correspondiente a la inyección de corriente en el nodo donde se conecta el STATCOM v v vE v v v v v v v  1 v = 4 − 1 + 4 − 3 + 4 =  4 − 1 + 4 − 3 + 4  jx E jx L 2 jx L 2 jx L1 jx L1 jx E j  x L 2 x L 2 x L1 x L1 x E   1 v vE 1 1  v = v 4  + +  − 1 − 3 xE  x L 2 x L1 x E  x L 2 x L1 (4.18) (4.19) Reescribiendo la expresión (4.19), v vE v v = 4 − 1 − 3 x E xeq x L 2 x L1 donde se define que 1 1 1 1 = + + xeq x L 2 x L1 x E Reordenando (4.20) (4.20) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 47 v v E v4 v − + 1 + 3 =0 x E xeq x L 2 x L1 (4.21) donde el voltaje en terminales del STATCOM se representa por v E = v E ∠θ E = v E (cosθ E + j sin θ E ) (4.22) Sustituyendo (4.3), (4.8), (4.14) y (4.22) en (4.21) resulta vE xE (cosθ E + j sin θ E ) − v4 xeq (cosθ 4 + j sin θ 4 ) + v1 xL 2 (cosθ 1 + j sin θ 1 ) + v3 x L1 (cosθ 3 + j sin θ 3 ) = 0 (4.23) Separando la ec. (4.23) en partes real e imaginaria, vE v v v cosθ E − 4 cosθ 4 + 1 cosθ1 + 3 cosθ 3 = 0 xE xeq xL2 xL1 (4.24) vE v v v sin θ E − 4 sin θ 4 + 1 sin θ1 + 3 sin θ3 = 0 xE xeq xL2 xL1 (4.25) Como se puede observar en éste análisis se llega a la conclusión de que existen 5 variables desconocidas en el SEP que son: x1 = θ 2 x2 = v3 x3 = θ 3 x4 = vE x5 = θ E (4.26) Esto es, el vector de variables desconocidas viene dado por: ∆x = [x1 x2 x3 x5 ] x4 (4.27) De aquí que se pueden resumir las ecuaciones (4.10), (4.16), (4.17), (4.24) y (4.25) resultando el siguiente conjunto de ecuaciones, que describen el comportamiento en estado estacionario del sistema de potencia de la Fig. 4.1. f1 = Pg = v2 x2 sin (x1 − x3 ) xtr (4.28) f 2 = xtr v4 sin θ 4 = − x L1 v2 sin x1 + x2 ( xtr + x L1 )sin x3 (4.29) f 3 = xtr v4 cosθ 4 = − xL1 v2 cos x1 + x2 ( xtr + x L1 )cos x3 (4.30) f4 = f5 = v4 xeq v4 xeq cosθ 4 − sin θ 4 = v1 xL 2 = x4 x cos x5 + 2 cos x3 xE x L1 (4.31) x4 x sin x5 + 2 sin x3 xE x L1 (4.32) Para resolver este conjunto de ecuaciones no-lineales se emplea el método de Newton Raphson. Este método utiliza una matriz jacobiana, definida como se muestra en (4.33)-(4.37). ∂f 1 x 2 = v 2 cos( x1 − x 3 ) ∂x1 x tr ∂f 1 =0 ∂x4 Capítulo IV 48 v2 ∂f 1 = sin (x1 − x3 ) ∂x 2 xtr ∂f 1 x = − 2 v2 cos(x1 − x3 ) ∂x3 xtr ∂f 1 =0 ∂x5 ∂f 2 = − x L1 v 2 cos x1 ∂x1 ∂f 2 =0 ∂x 4 ∂f 2 =0 ∂x5 ∂f 2 = (xtr + x L1 )sin x3 ∂x 2 ∂f 2 = x 2 (xtr + x L1 )cos x3 ∂x3 ∂f 3 =0 ∂x4 ∂f 3 =0 ∂x5 ∂f 3 = x L1 v 2 sin x1 ∂x1 ∂f 3 = (xtr + x L1 )cos x3 ∂x2 ∂f 3 = − x 2 (xtr + x L1 )sin x3 ∂x3 ∂f 4 =0 ∂x1 ∂f 4 1 = cos x3 ∂x2 x L1 ∂f 4 x = − 2 sin x3 ∂x3 x L1 ∂f 4 1 = cos x5 ∂x4 x E ∂f 4 x = − 4 sin x 5 ∂x 5 xE ∂f 5 =0 ∂x1 ∂f 5 1 = sin x3 ∂x 2 x L1 ∂f 5 x = 2 cos x3 ∂x3 x L1 ∂f 5 1 = sin x5 ∂x 4 x E ∂f 5 x4 = cos x5 ∂x5 x E (4.33) (4.34) (4.35) (4.36) (4.37) Con las definiciones (4.33)-(4.37) se puede formar la matriz Jacobiana que tiene la siguiente apariencia,  ∂f 1  ∂x  1  ∂f 2  ∂x1  ∂f J = 3  ∂x1  ∂f 4   ∂x1  ∂f 5  ∂x  1 ∂f 1 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 2 ∂f 3 ∂x 2 ∂f 4 ∂x 2 ∂f 5 ∂x 2 ∂f 1 ∂x3 ∂f 2 ∂x3 ∂f 3 ∂x3 ∂f 4 ∂x3 ∂f 5 ∂x3 ∂f 1 ∂x 4 ∂f 2 ∂x 4 ∂f 3 ∂x 4 ∂f 4 ∂x 4 ∂f 5 ∂x 4 ∂f 1  ∂x5   ∂f 2  ∂x5  ∂f 3   ∂x5  ∂f 4   ∂x5  ∂f 5  ∂x5  (4.38) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 49 La solución para el sistema de ecuaciones no-lineales (4.28)-(4.32) empleando el método iterativo de Newton-Raphson está dado en forma compacta mediante x(i + 1) = x(i ) + J −1 (i ){y − f [x(i )]} (4.39) donde el error viene dado por la relación ε = x(i + 1) − x(i ) (4.40) Una vez que el error sea menor a la tolerancia especificada se considera que se tiene una solución factible. Para ejemplificar el análisis, en éste trabajo se consideran los parámetros de la Tabla 4.1. Tabla 4.1 Parámetros del SEP. Constantes Condiciones iniciales θg = 0 xtr = 0.15 x L1 = 0.1 x L 2 = 0.1 x E = 0.1 vinf = 1.0 v g = 1.05 v3 = 1.0 θ3 = 0 v E = 1.0 θE =0 PL = 0.35 QL = 0.125 Pg = PL 4.2.1 Comportamiento de las variables del STATCOM ante cambios en los parámetros del SEP En las Fig. 4.2-4.9 se aprecia cómo se ven afectados la magnitud de voltaje vE y el ángulo de fase θ E del STATCOM al modificar ciertos parámetros del SEP; estos resultados se obtienen al resolver la ecuación (4.39). La alteración de estos parámetros se describe en la Tabla 4.2. Tabla 4.2. Alteración de parámetros del SEP. Parámetro Modificación vg ±5% PL y QL xtr , x L1 , x L 2 ±50% vinf y y xE ±20% Si se altera la magnitud de voltaje en la barra 1, vinf , Fig. 4.2, la magnitud de voltaje en terminales del STATCOM, v E , tiene una variación muy importante. Para valores de vinf mayores a 1.03 pu el voltaje en terminales del STATCOM se encuentra fuera del rango de operación nominal (±5%). Por otro lado, el ángulo de fase θ E tiene una mínima desviación de su valor nominal con la alteración del voltaje vinf , por lo que se puede concluir que este parámetro no impacta de forma importante al ángulo θ E . Capítulo IV θE vE 50 vinf vinf (a) (b) Fig. 4.2 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la magnitud de voltaje vinf. Al variar el valor de la magnitud de voltaje en la barra 2, v g , el voltaje v E es la variable más afectada como se observa en la Fig. 4.3. A diferencia del caso anterior el voltaje v E solo tiene valores por arriba de 1.0 pu, además de que ahora para un voltaje menor de v g se presenta el vE θE mayor valor de vE , contrario de lo que sucede con vinf . En contraparte, el ángulo de fase θ E se conserva muy cerca de un mismo valor. vg vg (a) (b) Fig. 4.3. Desempeño de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la magnitud de voltaje vg. Como se puede apreciar en la Fig. 4.4 el cambio en el valor de la potencia activa de la carga afecta principalmente al ángulo de fase del STATCOM, θ E , mientras que el valor de v E permanece sin una modificación apreciable ante éste movimiento. Esto revela una concordancia con la teoría de flujos de potencia que indica que una modificación en la potencia activa del sistema afecta en mayor grado a los ángulos de fase, no olvidando que tiene un pequeño efecto en las magnitudes de voltaje de los nodos del sistema. Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) vE θE 51 PL PL (a) (b) Fig. 4.4 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la potencia activa de la carga PL. La Fig. 4.5 manifiesta que la alteración de la potencia reactiva de la carga, QL , repercute en vE θE mayor grado a la magnitud de voltaje en terminales del STATCOM que al ángulo de fase θ E. Esto se puede inferir considerando una vez más la teoría de flujos de potencia, donde la potencia reactiva tiene un mayor impacto en las magnitudes de voltaje del SEP que en los ángulos. Se aprecia además que la disminución o aumento de QL altera de la misma forma al voltaje v E , (los dos aumentan o disminuyen su valor en el mismo sentido) es decir se aprecia una completa dependencia entre la potencia reactiva y las magnitudes de voltaje nodales. QL QL (a) (b) Fig. 4.5 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la potencia reactiva de la carga QL. Con la alteración del valor de la reactancia de la línea 3-4, x L1 , Fig. 4.6, se presenta una conducta tanto de v E y θ E aproximadamente sin cambio alguno. Sin embargo, es conveniente mencionar que aunque la desviación es mínima en v E y θ E para este caso, puede en otro sistema ser un parámetro de importancia para las variables del STATCOM. Capítulo IV θE vE 52 xL1 xL1 (a) (b) Fig. 4.6 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la alteración de la reactancia de la línea 3-4 xL1. La Fig. 4.7 muestra que tanto la magnitud de voltaje v E como en el ángulo de fase θ E en terminales del STATCOM se ven alterados, con un mayor impacto en el ángulo de fase θ E . Esto se debe a que el voltaje en el nodo 4 es conocido y afecta directamente a las variables antes de resolver la ecuación (4.39). Este caso resalta que la modificación de la reactancia x L 2 afecta más θE vE a las variables del STATCOM que la modificación de la reactancia x L1 . xL2 xL2 (a) (b) Fig. 4.7 Desempeño de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la reactancia de la línea 4-1 xL2. Para el caso donde se modifica el valor de la reactancia del transformador, xtr , Fig. 4.8, colocado entre los nodos 2-3 se tiene únicamente una pequeña desviación de su valor base para vE ; por otro lado, el ángulo de fase θ E permanece muy cerca de su valor del caso base. Por lo tanto, se puede concluir que esta reactancia tiene muy poco impacto en las variables de interés del STATCOM. Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) vE θE 53 xtr xtr (a) (b) Fig. 4.8 Comportamiento de (a) vE y (b) θE ante la modificación de la reactancia del transformador xtr. La modificación de la reactancia xE como indica la Fig. 4.9, tiene muy poca influencia en el θE vE voltaje y ángulo de fase del STATCOM; esto se debe a que la reactancia xE impacta principalmente a los parámetros del sistema de potencia. Es decir, esta reactancia indica que tan cercano se encuentra el nodo de la fuente inversora al nodo compensado. xE xE (a) (b) Fig. 4.9 Desempeño de (a) vE y (b) θE ante la alteración de la reactancia de dispersión del transformador de acoplamiento del STATCOM xE. Como se puede apreciar en las Fig. 4.2-4.9 sólo en algunos casos se ven afectados apreciablemente v E y θ E . Por ejemplo, v E experimenta una desviación considerable del caso base ante la modificación de la magnitud de voltaje en la barra 1, vinf , la modificación de la magnitud de voltaje en la barra 2, v g , y el aumento o disminución de la potencia reactiva de la carga, QL. En los otros casos se perturba casi despreciablemente. Por otro lado, en el caso del ángulo de fase θE se ve afectado significativamente por la alteración de la potencia activa de la carga, PL , y la modificación de la reactancia de la línea 4-1, xL2; en los demás casos permanece sin un cambio considerable. Por lo tanto, se puede concluir que estos parámetros tienen una fuerte dependencia entre sí. Es importante mencionar que en general se aprecia un Capítulo IV 54 comportamiento no-lineal de las variables v E y θ E ante los cambios realizados en los parámetros del SEP. Con lo que se observa en estas figuras y en el análisis hecho previamente, es evidente que solo algunos de los parámetros del SEP impactan en mayor grado a las variables del STATCOM. Por lo tanto, dependiendo del problema que se tenga o estudio que se realice se tiene una idea de qué parámetro del SEP puede ser modificado, o en contra parte qué variable del STATCOM se tiene que manejar, para obtener el grado de compensación y/o control requerido. 4.3 Estado estacionario de un sistema de potencia multimáquinas con un STATCOM 4.3.1 Modelo del STATCOM El modelo básico en estado estacionario del STATCOM incluye la representación del mismo a través de una rama en derivación compuesta por una fuente ideal de voltaje. El STATCOM se trata típicamente como un controlador de potencia reactiva en derivación, asumiendo que puede ajustar su potencia reactiva para controlar la magnitud de voltaje en sus terminales. Por lo tanto, si se asume que no entrega ni absorbe potencia activa al sistema [2], se puede agregar al modelo un nodo ficticio de tipo PV , Fig. 4.10, en el que se asigne P = 0 y una magnitud de voltaje v fic = vdeseado; como salida de la solución de flujos de carga resulta la potencia reactiva requerida, y la magnitud de voltaje v k del nodo controlado. Es importante mencionar que la cercanía del nodo ficticio respecto al nodo de la red depende de la reactancia del transformador de acoplamiento, xE . Es decir, mientras menor sea el valor de la reactancia x E más cerca se encuentra el nodo ficticio al sistema. Este modelo desprecia las pérdidas en las conexiones del transformador y las pérdidas causadas por el inversor de voltaje. k iE xE + Nodo ficticio v fic = vdesead o vE Fig. 4.10 Modelo en estado estacionario del STATCOM. De la Fig. 4.10 se puede obtener la ecuación de la corriente que circula del k-ésimo nodo del sistema hacia el STATCOM (el k-ésimo nodo representa el nodo del sistema donde se encuentra conectado el STATCOM) que es, iE = vk − v E jxE (4.41) La potencia neta en el k-ésimo nodo se define como Sk = vk ik* Si se sustituye la ec. (4.41) en (4.42) se llega a (4.42) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 55 2 *  v * − v E*  v k − v k v E S k = vk  k =  − jx E  − jx E  (4.43) Desarrollando los voltajes de la ec. (4.43) en términos de magnitudes y ángulos, vk − vk v E [cos(δ k − δ E ) + j sin(δ k − δ E )] − jxE 2 Sk = (4.44) Agrupando en partes real e imaginaria la ec. (4.44) resulta, Sk = j vk 2 xE −j vk v E xE cos(δ k − δ E ) − vk v E xE sin (δ k − δ E ) (4.45) Separando la ec. (4.45) en términos de potencia activa y reactiva se obtiene Pk = − vk v E xE sin (δ k − δ E ) ⇒ Pk = 0 ⇒ δE = δk (4.46) 2 v v v Qk = k − k E cos(δ k−δ E ) xE xE (4.47) De la ec. (4.47) se puede saber cuál es el valor máximo o mínimo en el voltaje del nodo controlado ( v k max o v k min ) dependiendo de: la potencia reactiva que pueda suministrar el STATCOM ( Qk max o Qk min ); del voltaje en terminales del STATCOM, vE ; y de la reactancia de dispersión, x E . Por lo tanto, se puede concluir que en éste trabajo, para incluir un STATCOM en un estudio de flujos de carga para un sistema multimáquinas sólo es necesario agregar un nodo ficticio en el nodo de conexión y considerarlo como un nodo PV . 4.3.2 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos Como ejemplo de aplicación para el modelo desarrollado se reproducen los resultados del sistema de potencia de la Western System Coordinating Council (WSCC) [3] que consiste de 3 generadores y 9 nodos, Fig. 4.11. Los datos necesarios para resolver el problema de flujos de carga para el sistema son: la Tabla 4.3 muestra las condiciones iniciales para cada uno de los nodos del sistema, el nodo 1 se toma como referencia para todos los cálculos, y la Tabla 4.4 indica los parámetros de las líneas de transmisión. El voltaje de transmisión es de 230 KV y todos los datos en pu se calculan con una base de 100 MVA. Tabla 4.3 Datos iniciales de los nodos. Nodo No. Magnitud de voltaje pu Ángulo de fase Potencia activa generada MW Potencia reactiva generada MVAR Potencia activa de la carga MW Potencia reactiva de la carga MVAR Tipo de nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.04000 1.02533 1.02536 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 163 85 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 90 0.0 100 0.0 125 0.0 0.0 0.0 0.0 30 0.0 35 0.0 50 Ref PV PV PQ PQ PQ PQ PQ PQ Capítulo IV 56 2 8 7 6 3 2 3 Carga C 9 5 Carga A STATCOM Carga B 4 1 1 Fig. 4.11 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos de la WSCC. Tabla 4.4 Parámetros de las líneas de transmisión. Nodo de envío Nodo de recepción Resistencia (pu) Reactancia (pu) Susceptancia en derivación 1 4 5 3 6 7 8 8 9 4 5 6 6 7 8 2 9 4 0.0000 0.0170 0.0390 0.0000 0.0119 0.0085 0.0000 0.0320 0.0100 0.0576 0.0920 0.1700 0.0586 0.1008 0.0720 0.0625 0.1610 0.0850 0.000 0.158 0.358 0.000 0.209 0.149 0.000 0.306 0.176 Los valores finales para las variables de los nodos (magnitud de voltaje y ángulo de fase) al resolver el problema de flujos de carga se muestran en la Tabla 4.5 (respetando el suministro de potencia activa y reactiva de las cargas, así como la generación de potencia activa de los generadores 2 y 3). La Tabla 4.6 indica los flujos de potencia en cada una de las líneas de transmisión del sistema. En este estudio se tienen pérdidas de potencia activa de 4.63789 MW. Se debe considerar que estos resultados son los correspondientes al sistema sin la implementación del STATCOM Tabla 4.5 Voltajes nodales sin la inclusión del STATCOM. Nodo No. Magnitud de voltaje pu Ángulo de fase Potencia activa generada MW Potencia reactiva generada MVAR Potencia activa de la carga MW Potencia reactiva de la carga MVAR Tipo de nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0400 1.0253 1.0254 1.0259 1.0128 1.0327 1.0162 1.0261 0.9958 0 9.2715 4.6587 -2.2165 -3.6873 1.9625 0.7242 3.7147 -3.9885 71.64 163 85 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 26.85 6.69 -10.80 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 90 0.0 100 0.0 125 0.0 0.0 0.0 0.0 30 0.0 35 0.0 50 Ref PV PV PQ PQ PQ PQ PQ PQ Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 57 Tabla 4.6 Flujo de potencia en las líneas sin STATCOM. Nodo de envío Nodo de recepción Flujo de envío Flujo de retorno 1 4 5 3 6 7 8 8 9 4 5 6 6 7 8 2 9 4 71.64 + 26.85j 30.70 + 0.94j -59.47 - 13.54j 85.0 - 10.80j 24.18 + 3.12j -75.91 - 10.69j -163 + 9.14j 86.62 - 8.32j -40.68 - 38.60j -71.64 - 23.73j -30.53 - 16.46j 60.82 - 18.01j -85.0 + 14.89j -24.09 - 24.31j 76.38 - 0.82j 163 + 6.69j -84.32 - 11.40j 40.94 + 22.80j Teniendo en consideración los resultados obtenidos se lleva a cabo ahora un estudio de flujos de carga del mismo sistema incluyendo un STATCOM en el nodo 5. Para éste análisis el STATCOM se modela como se describe en la sección 4.3.1; es decir, se agrega un nodo ficticio conectado a la barra 5 y se denomina como un nodo tipo PV . Para este problema se asigna a este nodo ficticio el número 10. Los valores adicionales son: la reactancia del transformador de acoplamiento, x E = 0.01 pu; la magnitud de voltaje deseado, v E = 1.025 pu, (este voltaje es el que se tiene en el nodo ficticio, ver Fig. 4.10); y la potencia activa que aporta el STATCOM al sistema, P = 0. Los resultados que se obtienen al resolver el problema de flujos de carga se resumen en las Tablas 4.7 y 4.8, donde se pueden apreciar los resultados de las variables de los nodos del sistema y el flujo de potencia en las líneas de transmisión. Los valores sombreados en las Tablas corresponden a los resultados que se determinan para el nodo ficticio. Las pérdidas de potencia activa para este caso son de 4.61503 MW. Tabla 4.7 Voltajes nodales con la inclusión de un STATCOM en el nodo 5. Nodo No. Magnitud de voltaje pu Ángulo de fase Potencia activa Generada MW Potencia reactiva Generada MVAR Potencia activa de la carga MW Potencia reactiva de la carga MVAR Tipo de nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0400 1.0253 1.0254 1.0298 1.0238 1.0352 1.0180 1.0273 0.9990 1.0250 0 9.2729 4.6510 -2.2073 -3.7257 1.9613 0.7358 3.7229 -3.9632 -3.7257 71.62 163 85 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 19.77 4.61 -15.19 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 12.19 0.0 0.0 0.0 0.0 90 0.0 100 0.0 125 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 30 0.0 35 0.0 50 0.00 Ref PV PV PQ PQ PQ PQ PQ PQ PV Tabla 4.8 Flujo de potencia en las líneas con la inclusión del nodo ficticio de un STATCOM. Nodo de envío Nodo de recepción Flujo de envío Flujo de retorno 1 4 5 3 6 7 8 8 9 5 4 5 6 6 7 8 2 9 4 10 71.62 + 19.77j 30.64 - 6.91j -59.51 - 8.89j 85 - 15.19j 24.13 + 3.80j -75.96 - 9.93j -163 + 11.20j 86.57 - 9.55j -40.72 - 39.63j -0.0 - 12.18j -71.62 - 16.83j -30.49 - 8.93j 60.87 - 23.15j -85 + 19.35j -24.04 - 25.07j 76.43 - 1.64j 163 + 4.61j -84.28 - 10.37j 40.98 + 23.74j 0.0 + 12.19j De los resultados mostrados en las Tablas 4.5-4.8 se puede concluir que el perfil de voltaje del sistema se ve mejorado con la inclusión del STATCOM, en otras palabras el STATCOM Capítulo IV 58 proporciona la potencia reactiva necesaria de forma tal que el nodo ficticio tenga una magnitud de voltaje constante que hace posible mejorar los voltajes nodales del sistema. Es importante destacar que al utilizar el STATCOM se disminuyen las pérdidas de potencia activa en la red aproximadamente un 1% y además, como se aprecia en las Tablas 4.6 y 4.8, los flujos de potencia en las líneas de transmisión cercanas al nodo donde se encuentra instalado el STATCOM tienen una ligera reducción en el flujo de potencia reactiva. Se observa también que el flujo de potencia reactiva de los nodos 4-5 cambia de dirección al emplear el dispositivo de control. De la Tabla 4.7 se ve que el STATCOM se encuentra aportando 12.19 MVAR de potencia reactiva al sistema, respetando la restricción del modelo empleado dado por la ec. (4.46), que indica que éste dispositivo no tiene la capacidad de suministrar potencia activa al sistema. 4.4 Análisis dinámico de un sistema de potencia máquina-barra infinita con un STATCOM 4.4.1 Formulación del problema Un sistema de potencia máquina-barra infinita que incluye un STATCOM se muestra en la Fig. 4.12. vt itL vL vB iLB xtL xLB iL 0 SDT v0 VSC iDC m ψ v DC C DC STATCOM Fig. 4.12 Un STATCOM instalado en un sistema de potencia máquina barra-infinita. Donde vt es el voltaje en terminales del generador; v L es el voltaje en el nodo del sistema donde se conecta el STATCOM; v B es el voltaje en la barra infinita; v0 es el voltaje en terminales del inversor de voltaje; v DC es el voltaje en el capacitor del STATCOM; k es la relación de transformación del transformador del STATCOM; m es la relación modulación, y ψ es el ángulo de fase del voltaje del STATCOM. El STATCOM consiste de un transformador reductor (SDT) con una reactancia de dispersión x SDT , un convertidor de voltaje (VSC) basado en GTO’s trifásicos y un capacitor de CD [1]. El VSC genera un voltaje controlable de CA vO (t ) = vO sin (ωt − ψ ) detrás de la reactancia de dispersión del transformador. Para obtener la representación dinámica del sistema de potencia se utiliza un modelo de cuarto orden para describir al generador, así como un sistema de excitación estático. Debe hacerse notar que enseguida se desarrolla un modelo linealizado del sistema de potencia. Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 59 Las ecuaciones de estado para un modelo de cuarto orden de la máquina síncrona son (se desprecia la resistencia del estator): dδ =ω dt 1 dω (Pm − Pe − Dω ) = dt M (4.48) (4.49) dE ' d 1 [− E 'd +(xq − x'q )iq ] = dt T 'q 0 dE ' q dt dE fd dt (4.50) = 1 [E fd − E 'q −(xd − x'd )id ] T 'd 0 (4.51) = 1 [− E fd + k A (vref − vt )] TA (4.52) La ecuación que describe la dinámica del STATCOM es [1] dv DC mk (iLOd cosψ + iLOq sinψ ) = dt C DC (4.53) Para tener el modelo de estado se requiere expresar las corrientes en función de los estados; el siguiente desarrollo muestra esta representación. La ecuación de caída de voltaje en la reactancia xtL a partir de la Fig. 4.12 es, jxtL itL = vt − v L (4.54) de donde v L = vt − jxtL itL (4.55) El voltaje en terminales vt visto desde la red se puede escribir, vt = jxtL itL + jxLB [itL − iLO ] + vB Sustituyendo la expresión de la corriente iLO = (4.56) v L − vO en la ec. (4.56) resulta jxSDT  v − vO  vt = jxtl itL + jx LB itL − L  + vB jx SDT   (4.57) Si se sustituye la ec. (4.55) en (4.57) se obtiene la siguiente expresión para el voltaje vt  v − jxtL itL − vO  vt = jxtL itL + jxLB itL − t  + vB jxSDT   (4.58) Asumiendo que vB = v∞ ∠0 ° el voltaje en el marco de referencia síncrono d-q para este nodo es, v∞d = v∞ sin δ ; v∞q = v∞ cos δ (4.59) Tomando la ecuación de voltaje en terminales de la máquina síncrona vt en el marco de referencia síncrono d-q se tiene v q = E ' q − x ' d id ; v d = E ' d + x ' q iq (4.60) Capítulo IV 60 Donde se puede apreciar la siguiente relación id = itLd ; iq = itLq (4.61) La transformación que aquí se emplea para cambiar de marco de referencia se define mediante vd   sin δ v  =   q  cos δ − cos δ  vR  v  =T R    sin δ   vI   vI  (4.62) Donde  sin δ T = cos δ − cos δ   sin δ ; T −1 =   sin δ  − cos δ cos δ  sin δ  Desarrollando (4.58) vt = jxtL itL + jxLB itL − jxLB vt jx i v + jxLB tL tL + jxLB O + vB jxSDT jxSDT xSDT (4.63) Agrupando la ec. (4.63) respecto a las corrientes y voltajes resulta  x x j  xtL + xLB + tL LB xSDT    x itL = 1 + LB xSDT    x vt − LB vO − vB xSDT  (4.64) Descomponiendo en partes real (subíndice R) e imaginaria (subíndice I) las corrientes y voltajes de la ec. (4.64) jx1 (itLR + jitLI ) = x2 (vtR + jvtI ) − x3 (vOR + jvOI ) − (vBR + jvBI ) (4.65) Las constantes definidas se especifican en el Apéndice A. Escribiendo en forma matricial la expresión (4.65) − x1  itLR   x2 = 0   itLI   0 0 x  1 0  vtR   x3 − x2   vtI   0 0  vOR  vBR  − x3   vOI   vBI  (4.66) Transformando las ecuaciones al marco de referencia síncrono d-q se obtiene como resultado − x1  −1 [T ] 0  0 x  1 itLd   x 2 i  =   tLq   0 0  −1 [T ] x 2  v d   x 3 v  −   q 0 0  −1 [T ] x 3  v Od  −1  v  − [T ]  Oq  v Bd  v   Bq  (4.67) Premultiplicando por la matriz de transformación T se tiene [T ]  0  x1 − x1  −1 itLd  [T ] i  = [T ] 0   tLq   x2 0  0  −1 [T ] x2  vd  v  − [T ]  q  x3 0  v 0  −1 vOd  [T ] v  − [T ] [T −1 ] vBd   x3   Bq   Oq  (4.68) Realizando las operaciones indicadas, la expresión (4.68) se reduce a 0 x  1 − x1  itLd   x2  = 0  itLq   0 0  v d   x3  − x2  vq   0 0  vOd  v∞d   −  x3  vOq  v∞q  (4.69) Del modelo del STATCOM se puede obtener la siguiente expresión para el voltaje del inversor vO [1]: vO = mkvDC (cosψ + j sin ψ ) = mkvDC ∠ψ (4.70) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 61 Descomponiendo la ecuación (4.70) en partes real e imaginaria y expresándola en forma matricial vOR  mkvDC cosψ  cosψ   v  =  mkv sinψ  = mkvDC  sinψ  DC    OI    (4.71) Transformando la ecuación (4.71) al marco de referencia síncrono d-q por medio de la matriz de transformación definida en (4.62) v Od  v OR   sin δ v  = [T ]   =   v OI  cos δ  Oq  − cos δ  cosψ  mkv DC    sin δ   sinψ  (4.72) vOd   sin (δ − ψ ) sin δ cosψ − cos δ sin ψ  = mkvDC  v  = mkvDC    cos(δ − ψ ) cos δ cosψ + sin δ sin ψ   Oq  (4.73) Despejando el vector de corrientes de (4.69) y tomando en consideración que 0 x  1 −1 − x1  1  0 = 2  0  x1 − x1  0 itLd   i  =  1  tLq  −  x1 1 x1   x2  0  0   0 x1    = 0  − 1  x1 1 x1   0   0 0  v d    − x2  vq  − 1  x1 (4.74) 1 x1   x3  0  0   0 0  vOd    − x3  vOq  − 1  x1 1 x1  v∞d    v 0   ∞q   (4.75) Reduciendo la ecuación (4.75)  0 itLd   i  =  x  tLq   − 2  x1 x2   0 x1  vd     −  x v 0   q  − 3   x1 x3   0 x1  vOd     −  1 v 0   Oq   −   x1 1 x1  v∞d    v 0   ∞q   (4.76) Si se desarrolla la expresión para la componente de corriente en eje directo itLd de la ecuación (4.76), itLd = 1 x2 x vq − 3 vOq − v∞q x1 x1 x1 (4.77) Sustituyendo de (4.59), (4.60) y (4.73) en (4.77) se obtiene itLd = x2 (E 'q − x'd itLd ) − x3 mkvDC cos(δ − ψ ) − 1 v∞ cos δ x1 x1 x1 (4.78) itLd = 1 [E 'q x2 − x3 mkvDC cos(δ − ψ ) − v∞ cos δ ] x1 + x2 x'd (4.79) De manera similar desarrollando la componente de corriente en eje en cuadratura itLq de (4.76), itLq = − x2 x 1 vd + 3 vOd + v∞d x1 x1 x1 Sustituyendo de (4.59), (4.60) y (4.73) en (4.80) se puede escribir (4.80) Capítulo IV 62 x1itLq = − x2 (E 'd + x'q itLq ) + x3 mkvDC sin (δ − ψ ) + v∞ sin δ (4.81) x1itLq + x2 x'q itLq = − x2 E 'd + x3 mkvDC sin (δ − ψ ) + v∞ sin δ (4.82) itLq = 1 [− x2 E 'd + x3 mkvDC sin(δ − ψ ) + v∞ sin δ ] x1 + x2 x'q (4.83) Definiendo algunas constantes (Apéndice A) y reordenando (4.79) y (4.83) se reducen a itLd = k1 E 'q − k 2 mvDC cos(δ − ψ ) − k 3 cos δ (4.84) itLq = −k 4 E 'd + k 5 mvDC sin (δ − ψ ) + k 6 sin δ (4.85) Ahora considerando el desarrollo de la ecuación de par eléctrico dado por la siguiente expresión Pe = E ' d id + E ' q iq + (x' q − x' d ) id iq (4.86) Tomando en consideración la relación en (4.61), la ec. (4.86) se reescribe mediante Pe = E ' d itLd + E ' q itLq + (x' q − x' d ) itLd itLq (4.87) Sustituyendo (4.84) y (4.85) en (4.87) Pe = E 'd (k1 E 'q − k 2 mvDC cos(δ − ψ ) − k 3 cos δ ) + E 'q (− k 4 E 'd + k 5 mvDC sin (δ − ψ ) + k 6 sin δ ) + (x' q − x' d ) (k1 E ' q −k 2 mv DC cos(δ −ψ ) − k 3 cos δ ) (− k 4 E ' d + k 5 mv DC sin (δ −ψ ) + k 6 sin δ ) (4.88) Realizando las operaciones resulta [ ] [ ] ) − k ]E ' cos δ + [k k (x' − x' ) + k ] E ' Pe = k1 − k 4 − k1 k 4 (x' q − x' d ) E ' d E ' q + k 2 k 4 (x' q − x' d ) − k 2 E ' d mvDC cos(δ −ψ ) [ + k 3 k 4 (x' q − x' d 3 d 1 5 q d 5 q mv DC sin (δ − ψ ) 1 + [k1 k 6 (x'q − x'd ) + k 6 ]E 'q sin δ + [− k3 k 6 (x'q − x'd )] sin 2δ 2 [ ] [ ] [ ] 2 + − k 3 k 5 (x' q − x' d ) mv DC sin(δ − ψ ) cos δ + − k 2 k 5 (x' q − x' d ) m 2 v DC 1 sin 2(δ − ψ ) 2 + − k 2 k 6 (x' q − x' d ) mv DC sin δ cos(δ − ψ ) (4.89) Definiendo constantes (Apéndice A) y reagrupando da como resultado la siguiente expresión Pe = k 7 E 'd E 'q + k8 E 'd cos δ + k9 E 'd mvDC cos(δ − ψ ) + k10 E 'q sin δ + k11 E 'q mvDC sin (δ − ψ ) 2 + k12 m 2 v DC 1 1 sin 2(δ − ψ ) + k13 mvDC cos δ sin (δ − ψ ) + k14 mvDC sin δ cos(δ − ψ ) + k15 sin 2δ 2 2 (4.90) Linealizando el par eléctrico y definiendo constantes (Apéndice A) se llega a la relación lineal ∆Pe = k16 ∆E 'q + k17 ∆E 'd + k18 ∆δ + k19 ∆m + k 20 ∆ψ + k 21∆vDC (4.91) Ahora, del análisis lineal de las ecuaciones de los voltajes transitorios y de campo, de la ec. (4.51) se puede escribir dE 'q dt = 1 [E fd − E 'q −(xd − x'd )id ] T 'd 0 Tomando en consideración la relación (4.61) y sustituyendo (4.84) en (4.92) resulta (4.92) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) dE ' q dt = 63 [ ] 1 E fd − E ' q −(x d − x' d ) (k1 E ' q −k 2 mv DC cos(δ − ψ ) − k 3 cos δ ) T 'd 0 (4.93) dE 'q 1 1 1 [(xd − x'd )k1 E 'q ] + 1 [(xd − x'd )k2 mvDC cos(δ − ψ )] = E fd − E 'q − dt T 'd 0 T 'd 0 T 'd 0 T 'd 0 + 1 [(xd − x'd )k3 cos δ ] T 'd 0 (4.94) Definiendo constantes (Apéndice A) y reordenando se tiene dE 'q = k 22 E fd + k 23 E 'q + k 24 mvDC cos(δ − ψ ) + k 25 cos δ dt (4.95) Linealizando la ec. (4.95) y definiendo constantes se reduce a d∆E 'q = k 22 ∆E fd + k 23 ∆E 'q + k 26 ∆m + k 27 ∆vDC + k 28 ∆ψ + k 29 ∆δ dt (4.96) Ahora para la ecuación del voltaje transitorio en eje directo E' d dada en (4.50), se sigue un procedimiento similar dE 'd 1 [− E 'd +(xq − x'q )iq ] = dt T 'q 0 (4.97) Sustituyendo (4.85) en (4.97) según la relación (4.61) [ ] dE ' d 1 = − E ' d + (x q − x' q ) (− k 4 E ' d + k 5 mv DC sin (δ − ψ ) + k 6 sin δ ) dt T 'q 0 (4.98) Si se definen algunas constantes (Apéndice A) y se reagrupa (4.98), entonces dE 'd = k30 E 'd + k 31mvDC sin (δ − ψ ) + k32 sin δ dt (4.99) Linealizando la ecuación (4.99) y definiendo constantes (Apéndice A) resulta la expresión d∆E 'd = k 30 ∆E 'd + k33 ∆δ + k 34 ∆vDC + k35 ∆m + k36 ∆ψ dt (4.100) El sistema de excitación empleado para este modelo se muestra en la Fig. 4.13, donde la ecuación dinámica que lo describe es dE fd 1 = [− E fd + k A (vref − vt )] dt TA (4.101) vref + − kA 1 + sTA vt Fig. 4.13 Diagrama de bloques del sistema de excitación. E fd Capítulo IV 64 Además la magnitud del voltaje en terminales vt viene dado por la expresión vt = vd2 + vq2 (4.102) Linealizando el voltaje en terminales vt se tiene que ∆vt = v vd 0 ∆vd + q 0 ∆vq vt 0 vt 0 (4.103) Linealizando las expresiones en (4.60), ∆vd = ∆E 'd + x'q ∆iq (4.104) ∆vq = ∆E 'q − x'd ∆id (4.105) Asimismo, linealizando (4.84) y (4.85) (tomando en consideración (4.61)), sustituyéndolas en (4.104) y (4.105), reacomodando y definiendo constantes (Apéndice A), resulta ∆vd = k 37 ∆E 'd + k 38 ∆δ + k 39 ∆m + k 40 ∆ψ + k 41 ∆vDC (4.106) ∆vq = k 42 ∆E 'q + k 43 ∆δ + k 44 ∆vDC + k 45 ∆m + k 46 ∆ψ (4.107) Sustituyendo (4.106) y (4.107) en la ecuación (4.103) y definiendo nuevas constantes ∆vt = k 47 ∆E 'd + k 48 ∆E 'q + k 49 ∆δ + k 50 ∆m + k 51 ∆ψ + k 52 ∆vDC (4.108) Linealizando (4.101) y sustituyendo (4.108) se obtiene d∆E fd dt =− 1 k k k k ∆E fd + A ∆vref − A k 47 ∆E 'd − A k 48 ∆E 'q − A k 49 ∆δ TA TA TA TA TA − kA k k k 50 ∆m − A k 51 ∆ψ − A k 52 ∆vDC TA TA TA (4.109) La ecuación resultante para el sistema de excitación definiendo constantes (Apéndice A) y reagrupando (4.109) se reescribe como d∆E fd = k53 ∆E 'd + k 54 ∆E 'q + k55 ∆δ + k56 ∆E fd + k57 ∆m + k58 ∆ψ + k59 ∆vDC + k 60 ∆vref dt (4.110) Para la ecuación que describe la dinámica del capacitor del STATCOM que viene dada por (4.53) dvDC mk (iLOd cosψ + iLOq sin ψ ) = dt C DC (4.111) Donde la corriente iLO se expresa como iLO = vt − jxtL itL − vO jxSDT (4.112) Separando (4.112) en sus componentes real e imaginaria, se puede reescribir iLOR + jiLOI = 1 [vtR + jvtI − jxtL (itLR + jitLI ) − (vOR + jvOI )] jxSDT (4.113) iLOR + jiLOI = 1 [vtI − xtL itLR − vOI ] − j 1 [vtR + xtLitLI − vOR ] xSDT xSDT (4.114) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 65 Expresando en forma matricial la ecuación (4.114)  0 iLOR   i  =  1  LOI  −  xSDT 1   xtL − xSDT  vtR   xSDT   +  0   vtI   0     0  0 itLR    + x   1 − tL   itLI    xSDT xSDT  − 1  xSDT  vOR    0   vOI   (4.115) Transformando al marco de referencia síncrono d-q, por medio de la matriz de transformación T definida en (4.62) se tiene  0 iLOd   i  =  1  LOq   −  xSDT 1   xtL − xSDT  vd   xSDT   +  v 0  q   0     0  0 itLd    + 1 x i  − tL   tLq    xSDT xSDT  − 1  xSDT  vOd    v 0   Oq   (4.116) Desarrollando la ecuación para la corriente en eje directo i LOd iLOd = x 1 1 vq − tL itLd − vOq xSDT xSDT xSDT (4.117) Sustituyendo (4.60) y (4.73) en (4.117) y agrupando términos comunes i LOd = [ ] 1 E ' q −(x' d + xtL ) itLd − mkvDC cos(δ −ψ ) x SDT (4.118) De manera similar para la corriente en eje en cuadratura iLOq se escribe iLOq = − i LOq = 1 x 1 vd − tL itLq + vOd xSDT xSDT xSDT [ (4.119) ] 1 − E ' d −(x ' q + xtL ) itLq + mkv DC sin (δ − ψ ) x SDT (4.120) Linealizando la ecuación (4.118) se reescribe ∆iLOd = 1 [∆E 'q −(x'd + xtL )∆itLd − km0 cos(δ 0 − ψ 0 )∆vDC − kvDC 0 cos(δ 0 − ψ 0 )∆m xSDT + km0 vDC 0 sin(δ 0 − ψ 0 )∆δ − km0 vDC 0 sin(δ 0 − ψ 0 )∆ψ ] (4.121) Sustituyendo el incremento de corriente ∆itLd dada por la linealización de (4.84) y definiendo constantes (Apéndice A) resulta ∆iLOd = k 61∆E 'q + k 62 ∆δ + k 63 ∆m + k 64 ∆vDC + k 65 ∆ψ (4.122) Siguiendo un procedimiento similar para la corriente iLOq se llega a la siguiente expresión ∆iLOq = 1 [− ∆E 'd −(x'q + xtL )∆itLq + m0 k sin(δ 0 − ψ 0 )∆vDC + kvDC 0 sin (δ 0 − ψ 0 )∆m xSDT + km0 vDC 0 cos(δ 0 − ψ 0 )∆δ − km0 vDC 0 cos(δ 0 − ψ 0 )∆ψ ] ∆iLOq = k 66 ∆E 'd + k 67 ∆δ + k 68 ∆vDC + k 69 ∆m + k 70 ∆ψ Linealizando la ecuación (4.111) se obtiene (4.123) (4.124) Capítulo IV 66 d∆vDC k [m0 cosψ 0 ∆iLOd + iLOd 0 cosψ 0 ∆m − iLOd 0 m0 sin ψ 0 ∆ψ + m0 sin ψ 0 ∆iLOq + iLOq 0 sin ψ 0 ∆m = dt C DC + m 0 i LOq 0 cosψ 0 ∆ψ ] (4.125) Sustituyendo (4.122) y (4.124) en (4.125), y agrupando términos comunes d∆vDC k [m0 cosψ 0 (k61∆E 'q + k62 ∆δ + k63 ∆m + k64 ∆vDC + k65 ∆ψ ) + m0 sin ψ 0 (k66 ∆E 'd +k67 ∆δ = dt C DC + k 68 ∆v DC + k 69 ∆m + k 70 ∆ψ ) + (i LOd 0 cosψ 0 + i LOq 0 sin ψ 0 ) ∆m + (m0 iLOq 0 cosψ 0 − i LOd 0 m0 sinψ 0 ) ∆ψ ] (4.126) Definiendo nuevas constantes (Apéndice A) y reacomodando la ecuación (4.126) se reduce a d∆vDC = k 71∆E 'd + k 72 ∆E 'q + k73 ∆δ + k 74 ∆m + k75 ∆vDC + k 76 ∆ψ dt (4.127) Por lo tanto, el modelo linealizado para el STATCOM conectado a un sistema de potencia máquina-barra infinita puede representarse mediante el siguiente conjunto de ecuaciones linealizadas d∆δ = ∆ω dt (4.128) d∆ω 1 = (− ∆Pe − D∆ω ) dt M (4.129) d∆E 'd = k30 ∆E 'd + k 33 ∆δ + k34 ∆vDC + k35 ∆m + k 36 ∆ψ dt (4.130) d ∆E ' q = k 22 ∆E fd + k 23 ∆E 'q + k 26 ∆m + k 27 ∆vDC + k 28 ∆ψ + k 29 ∆δ dt (4.131) d∆E fd = k 53 ∆E 'd + k 54 ∆E 'q + k 55 ∆δ + k 56 ∆E fd + k 57 ∆m + k 58 ∆ψ + k 59 ∆v DC + k 60 ∆vref dt (4.132) d∆vDC = k 71∆E 'd + k 72 ∆E 'q + k 73 ∆δ + k 74 ∆m + k 75 ∆vDC + k 76 ∆ψ dt (4.133) Donde la ecuación de ∆Pe viene dada por la ecuación (4.91). En forma compacta podemos escribir el sistema de ecuaciones linealizadas (4.128-4.133) para el sistema máquina-barra infinita como • x = Ax + Bu Donde x es el vector de variables de estado [∆E'd (4.134) ∆E'q ∆δ ∆ω ∆E fd ∆vDC ] , A es la matriz de T estado, B es la matriz de control y u es el vector de entradas de control [∆m ∆ψ ∆vref ] . T Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 67 4.4.2 Ejemplificación del modelo máquina-barra infinita con un STATCOM Como ejemplo de aplicación del modelo desarrollado en la sección 4.4.1 para un sistema máquina-barra infinita que incluye un STATCOM, se construye la matriz de estado dada por la ec. (4.134). En la Tabla 4.9 se encuentra la información necesaria para calcular la matriz de estado y la matriz de entradas, esta información se refiere a constantes del SEP y condiciones iniciales para las variables de estado. Tabla 4.9 Parámetros y condiciones iniciales del SEP. Constantes Condiciones iniciales k = 1.0 xLB = 0.10 xSDT = 0.10 xtL = 0.25 xd' = 0.025 xq' = 0.020 δ 0 = 0.13422 ψ 0 = 0.034554 xd = 0.065 xq = 0.055 m0 = 1.0135 vDC 0 = 1.0 vt 0 = 1.05 vq 0 = 1.0498 vinf = 1.0 k A = 50 TA = 0.02 C DC = 1.0 H = 6.4 D=0 Ed' 0 = 0.011567 Eq' 0 = 1.0540 Td' 0 = 6.0 Tq'0 = 0.535 vd 0 = 0.018177 iLOd 0 = −4.314 x10 −3 iLOq 0 = 4.3453 x10 −4 Con los valores de la Tabla 4.9 se calculan los valores numéricos para cada una de las constantes, definidas en el Apéndice A, una vez obtenidas las constantes se puede reescribir el sistema de ecuaciones definido en (4.134) de la siguiente forma 0 .0 0.0002  − 0.0021  0 .0 0 . 0002 − − 0 .0  •  0 .0 0 .0 0 .0 x = 1 .0 e + 3 *   0.0920 − 0.0106 − 0.0970 − 0.0406 − 2.3073 − 0.5733  0.0001  − 0.0001 0.0016  0.0102 − 0.1031  0.0102 0.0010   0.0 0.0 + − 4 . 3754 48 .9219   − 95.793 − 8.3308   − 5.7988 − 0.7928 Donde     ∆m  0.0     ∆ψ  0.0   ∆v ref   2500    0.0  0.0 0.0 0.0010 0.0 0.0 0.0   ∆E d    ∆E '   q  0 .0 0.0   ∆δ    0 .0 − 0.0044  ∆ω  − 0.0500 − 0.0971  ∆E fd    0 − 0.0059 ∆v DC  0 .0 0.0002 0 .0 0 .0 ' 0.0 0.0 (4.135) Capítulo IV 68 0 .0 0.0002  − 0.0021  0 .0 − 0.0002 − 0 .0   0 .0 0 .0 0 .0 A = 1.0e + 3 *   0.0920 − 0.0106 − 0.0970 − 0.0406 − 2.3073 − 0.5733  0.0001  − 0.0001 0.0016  0.0102 − 0.1031  0.0102 0.0010   0 .0 0.0 B= − 4.3754 48.9219  − 95.793 − 8.3308   − 5.7988 − 0.7928 0.0 0.0 0.0 0.0 2500 0.0 0 .0  0.0002 0.0  0 .0 0 .0   0 .0 − 0.0044 − 0.0500 − 0.0971  0 − 0.0059 0 .0 0 .0 0.0010 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0          Como se puede apreciar en la expresión anterior se tienen tres entradas de control para el sistema, dos correspondientes al STATCOM y una más que pertenece al sistema de excitación. Los valores propios asociados con la matriz de estado del sistema resultan [-40.4911, -0.1769 ± j9.7892, -1.8799, -9.3720, -6.0366]T. Estos valores propios indican que el sistema es estable para esta condición de operación, y además muestran que en el sistema se tiene únicamente un modo electromecánico que tiene una frecuencia de oscilación de 1.5580 Hz. 4.5 Análisis dinámico del sistema de potencia multimáquinas con un STATCOM Para llevar a cabo el análisis dinámico de un sistema de potencia se necesita incorporar las ecuaciones de la red del sistema de potencia dada por la ec. (4.136) dentro del modelo de la máquina síncrona (4.48-4.52). I = YV (4.136) Además, para este estudio se debe tomar en cuenta la incorporación de la dinámica del STATCOM en el sistema, ec. (4.53). Como se aprecia en las Fig. 4.1 y 4.10 el STATCOM se puede modelar como una fuente de corriente, i sh , en paralelo con la reactancia de dispersión del transformador de acoplamiento, x E , o como una fuente de voltaje en serie con dicha reactancia. En ambos casos se considera que el STATCOM se conecta al k-ésimo nodo del sistema de potencia. Para el análisis se considera al STATCOM como se desarrolló en la sección 4.2.1, es decir para el k-ésimo nodo tenemos, Fig. 4.14. v (4.137) i E + i sh = k jx E k iE xE ish Fig. 4.14 Modelo del STATCOM. Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) despejando i E y tomando en consideración que i sh = iE = 69 vE se obtiene jx E vk − vE jx E (4.138) Cabe mencionar que en éste trabajo se consideran las cargas como impedancias constantes, por lo tanto estas impedancias ya están consideradas en la matriz de admitancias nodal. Si se incluye un STATCOM en el k-ésimo nodo del sistema la ec. (4.136) se puede reescribir de la siguiente forma:   Ig       0       M    vk  (k − ésimo renglón) − iE + jx  = [Y completa ] V E     0       M     0     (4.139) Donde Y completa incluye las impedancias de las cargas, las impedancias de las líneas de transmisión y la reactancia del STATCOM. Despejando el vector de corrientes de los generadores de la ec. (4.139) resulta       − I g  completa [ ] V + 0 = Y            0   M  0    vk   M   jx E  iE  (k − ésimo renglón) +    0  0  M   M   0    0   Reduciendo la expresión anterior sustituyendo la ec. (4.138) se obtiene (4.140) Capítulo IV 70       − I g  completa  [ ] Y V = + 0            0   M   vE   jx E  (k − ésimo renglón)  0   M    0   (4.141) Descomponiendo ish en partes real e imaginaria se escribe ish = − v + jvEy vE = − Ex = vEr + jvEi jxE jxE (4.142) vEy v y vEi = Ex xE xE (4.143) donde vEr = − Tomando en consideración el modelo desarrollado en [4] y la relación (4.142), la ec. (4.141) se puede expresar en partes real e imaginaria mediante, 0 M    v Er  renglón 2k − 1   renglón 2k I g  completa  v Ei  [ ] [ ] Y V = + 0 0     M  0    0  (4.144) Linealizando la ec. (4.144) resulta  ∆I g  completa ]  0  = [Y    0   M    ∆v Er  renglón 2k − 1   ∆Vg   ∆v Ei  renglón 2k  ∆V  +  0   L    M   0     0  La ecuación que describe el voltaje en terminales del STATCOM está dada por (4.145) Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) vEx = mEvDC cos δ E ; 2 vEy = 71 mEvDC sin δ E 2 (4.146) Sustituyendo la ec. (4.146) en (4.143) la parte real del voltaje en terminales del STATCOM es vEr = − mEvDC sin δ E 2xE (4.147) Linealizando esta expresión queda ∆vEr = − 1 [mE0vDC 0 cos δ E 0∆δ E + mE 0 sin δ E0∆vDC + vDC 0 sin δ E0∆mE ] 2 xE (4.148) Siguiendo un procedimiento similar llegamos a la ec. para la parte imaginaria del voltaje vE vEi = mE vDC cos δ E 2xE (4.149) Linealizando la ec. (4.149) resulta ∆vEi = 1 [− mE0vDC 0 sin δ E 0∆δ E + vDC 0 cos δ E0∆mE + mE 0 cos δ E 0∆vDC ] 2xE (4.150) Definiendo algunas constantes (Apéndice B) y reordenando las ec. (4.148) y (4.150) se reducen a ∆vEr = C1∆δ E + C2∆vDC + C3∆mE (4.151) ∆vEi = C4∆δ E + C5∆vDC + C6∆mE (4.152) Sustituyendo las ec. (4.151) y (4.152) en (4.145) se obtiene 0 0 ∆V ∆I g  completa  ]  g  +  stat ∆u stat +  stat  xstat  0  = [Y   ∆VL  Bd  Cd  (4.153) Donde el vector de entradas de control del STATCOM es ∆u stat = [∆mE ∆δ E ] , el vector de estados del STATCOM queda definido como xstat = ∆vDC y las matrices Bdstat y Cdstat están definidas como T Bdstat 0 0 M M   C3 C1    = C6 C4  ; 0 0   M M 0 0   Cdstat 0 M   C2    = C5  0   M 0   Si se considera la relación de las corrientes de los generadores con los estados de la máquina síncrona, ec. (4.154) [4]: ∆I g  Cd  0 =0    0  x  Yd + 0  x stat   0 0 ∆Vg  0 ∆VL  Donde la matriz de admitancias se puede representar mediante [4]  YG Y completa =  YLN YNL  YL  (4.154) Capítulo IV 72 Ahora si se sustituye la ec. (4.154) en (4.153) se llega a la siguiente expresión en términos de voltajes, de variables de estado y de entradas de control. Cd  0 0 ∆Vg   YG YNL  ∆Vg   0  stat  0  stat ∆u +  stat  x + = 0 ∆VL  YLN YL  ∆VL  Bdstat  Cd  2 n x1 0 g   x  Yd  stat + 02nl x1   x   0 (4.155) Donde ng es el número de generadores y nl el número de nodos de carga. Despejando el vector de voltajes de la ec. (4.155) se obtiene −1 ∆Vg  YG − Yd ∆V  =  Y  L   LN YNL  Cd  YL   0 0   x   0  stat  ∆u  − −C statd   x stat  Bdstat   (4.156) Definiendo I1  I 2nlx 2ng  3 2 ngx 2 ng I 22ngx 2nl  YG − Yd YNL  = YL  I 42nlx2nl   YLN −1 La ec. (4.156) se puede expresar de la siguiente forma ∆Vg   I1 ∆V  = I  L  3 I 2 Cd  I 4  0 0   x   0  stat  − ∆u  −C statd   xstat  Bdstat   (4.157) Realizando las operaciones indicadas la expresión anterior resulta ∆Vg   I1Cd ∆V  = I C  L  3 d − I 2Cdstat   x  I 2 Bdstat  stat − ∆u − I 4Cdstat   x stat  I 4 Bdstat  (4.158) La expresión que describe la dinámica del STATCOM en forma matricial se puede escribir como • v DC = 3mE [cos δ E 4C DC i Ed  sin δ E ]   i Eq  (4.159) Las componentes en el marco de referencia d-q para la corriente iE , se obtienen a partir de la ec. (4.138) como sigue iE = = vk − vE (vkx + jvky ) − (vEx + jvEy ) = jxE jxE vky − vEy v −v − j kx Ex = iEd + jiEq xE xE (4.160) Donde iEd = vky − vEy ; xE iEq = − vkx − vEx xE (4.161) Sustituyendo la ec. (4.147) en (4.161), conduce a las siguientes expresiones mEvDC sin δ E 2 xE (4.162) mEvDC cos δ E − vkx iEq = 2 xE (4.163) iEd = vky − Se desarrolla la ec. (4.159) y se sustituye (4.162) y (4.163) entonces Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) vky − 3 vDC = mE 4CDC • = 73 mEvDC mEvDC sin δ E cos δ E − vkx 3 2 cos δ E + sin δ E mE 2 4CDC xE xE 3 3 mEvky cos δ E − mEvkx sin δ E 4 xECDC 4 xECDC (4.164) (4.165) Linealizando, • ∆vDC = 3 [− mE0vky0 sin δ E0∆δ E + vky0 cos δ E0∆mE + mE 0 cos δ E 0∆vky ] 4 xECDC − 3 [mE 0vkx0 cos δ E0∆δ E + vkx0 sin δ E0∆mE + mE 0 sin δ E 0∆vkx ] 4xECDC (4.166) Definiendo constantes (Apéndice B) y reacomodando se tiene • ∆vDC = C7∆δ E + C8∆mE + C9∆vky + C10∆vkx (4.167) Las ecuaciones de la máquina síncrona con un STATCOM en forma matricial se pueden expresar como [4]  dx   dt   Ad  dx stat  =  0     dt  0   x  B 0  ∆Vg   0  stat + + ∆u Adstat   xstat   0 B stat  ∆VL  Bcstat  (4.168) Donde Adstat = 0, B stat ∈ ℜ1x2nl = [ 0 L C10 C9 0 L 0 ] y Bcstat = [C8 C7 ]. Sustituyendo la ec. (4.158) en la expresión (4.168) se obtiene una ecuación en términos de variables de estado y entradas de control como sigue:  x   Ad •  =  stat   x   0 • 0   x  B 0  I1Cd +  Adstat   xstat   0 B stat I3Cd − I 2Cdstat   x  I 2 Bdstat  stat   0  stat − ∆u  +  stat ∆u − I 4Cdstat   xstat  I 4 Bdstat   Bc  (4.169) Realizando las operaciones indicadas y agrupando términos comunes resulta  x   Ad + BI1Cd •  =   stat stat  x   B I3Cd • − BI2Cdstat   x   − BI 2 Bdstat  stat + ∆u Adstat − B stat I 4Cdstat   xstat  Bcstat − B stat I4 Bdstat  (4.170) La ec. (4.170) es la representación en variables de estado de un sistema de potencia multimáquinas que tiene incluido un STATCOM en el k-ésimo nodo. En base a este modelo se puede realizar un análisis dinámico de un sistema de potencia con ng generadores y nl nodos de carga. 4.6 Control del STATCOM para estudios de estabilidad El STATCOM como otros elementos del SEP, se diseñan con una capacidad nominal. No obstante, es posible llegar a operar tales elementos sobre un rango más o menos amplio, alrededor de esa condición nominal. Para explorar tal posibilidad se requiere, entre otras cosas, acciones de control sobre las principales variables pertenecientes al elemento. En la actualidad existe una variedad muy amplia de tipos de control que pudieran emplearse. Sin embargo, en éste trabajo se utilizan controles convencionales del tipo proporcional-integral (PI) y de atraso-adelanto. Capítulo IV 74 Para el dispositivo STATCOM, de acuerdo con [5], existe una relación estrecha entre la potencia reactiva y la amplitud mE , Fig. 4.15; así como entre el voltaje del capacitor de corriente directa y la fase δ E . Este control permite modificar la magnitud y la fase del voltaje del inversor, respecto al voltaje del nodo en el que se instala el STATCOM. Esto finalmente resulta en la posibilidad de intercambiar potencia reactiva y activa, entre el STATCOM y la red de transmisión. Hoy en día, prácticamente sólo se modifica el intercambio de potencia reactiva, aunque están en desarrollo dispositivos con elementos almacenadores de energía, capaces de intercambiar también potencia activa. Aquí, se asume que se tiene un dispositivo sin pérdidas y sin fuente almacenadora de energía, de modo que se intercambia únicamente potencia reactiva, mediante la variación de la magnitud del voltaje del inversor. vE t + . VSC . C DC mE QS Qref + PI + vDC δE + + PI + + Vs + vDC _ ref Fig. 4.15 Esquema de control del STATCOM. Además de ésta función primaria del control del voltaje del inversor, se sabe que los dispositivos FACTS pueden llevar a cabo funciones secundarias. Dentro de ésas, en éste trabajo nos interesa principalmente el incremento del amortiguamiento de las oscilaciones surgidas después de una perturbación en la red. Para éste propósito se propone la inyección de una señal adicional VS en el lazo de control del voltaje de corriente directa [4] Fig. 4.15. Esta señal se obtiene al procesar alguna variable de la red – frecuencia, flujo de potencia, voltaje – haciéndola pasar por una red de atraso-adelanto, que se denomina un estabilizador del dispositivo, FDS. Los parámetros de éste estabilizador – ganancias, constantes de tiempo – habrán de coordinarse con los parámetros de los estabilizadores del sistema de potencia, PSS, instalados en los generadores, con el fin de lograr los mejores niveles de amortiguamiento posibles, ante una variedad de condiciones operativas, aspecto que se analiza en el capítulo V. En resumen, el enfoque de control que se utiliza en éste trabajo se basa en la modulación de los dos parámetros del STATCOM, correspondientes al inversor de voltaje, la amplitud mE y el ángulo δ E . Con la modulación de éstos dos parámetros se puede controlar el flujo de potencia reactiva entre el dispositivo y el sistema de potencia, de acuerdo al principio de operación del STATCOM descrito en el capítulo II. La Fig. 4.15, muestra la estrategia de control empleando controladores del tipo proporcionalintegral PI. Es conveniente mencionar que existen otros esquemas de control que se pueden emplear en este caso. Como se aprecia en la Fig. 4.15 la amplitud mE sirve para modular el flujo de potencia reactiva al sistema controlando así el voltaje vEt ; y el ángulo de fase δ E se emplea para regular el voltaje del capacitor de corriente directa. Para ilustrar el tipo de controladores empleado en el esquema de la Fig. 4.15, la Fig. 4.16 representa un controlador de tipo PI, donde el voltaje de referencia vDC _ ref se utiliza para modular Análisis del Compensador Estático Síncrono (STATCOM) 75 el voltaje en el capacitor de CD y con esto se evita daños en los componentes del inversor y en él mismo. vDC _ ref vDC K + + - δE + K1 S Fig. 4.16 Controlador del capacitor de CD. 4.7 Resumen En este capítulo se desarrolla un modelo matemático para la inclusión de un compensador estático síncrono para estudios de sistemas de potencia en estado estacionario y dinámico. En la primera parte se realiza igualmente un análisis del impacto que tiene la modificación de parámetros del SEP sobre las variables del STATCOM en un sistema máquina-barra infinita. La implementación del STATCOM en un sistema multimáquinas se verifica con un pequeño sistema que resulta útil para mostrar algunas de las ventajas que se tienen al incluir este dispositivo en un sistema de potencia para estudios en estado estacionario. En la segunda parte se obtiene el modelo para el mismo sistema máquina-barra infinita con un STATCOM para estudios dinámicos. La importancia de este estudio radica en el hecho de tener un modelo confiable para su inclusión en un sistema multimáquinas, y para posibles estudios de estabilidad transitoria. Se muestra además un análisis de pequeña señal para este sistema. Por último, se muestra el modelo para el mismo dispositivo considerando un sistema de potencia multimáquinas. Este desarrollo es muy importante ya que permite observar el comportamiento de los modos de interés del sistema ante posibles modificaciones de parámetros, mostrando las ventajas que se consiguen al insertar un STATCOM en la red. Se expone una breve descripción del control empleado en éste trabajo para el STATCOM. Así como su relación con otros dispositivos de control, como es el caso de los PSS. 4.8 Referencias [1] [2] [3] [4] [5] H.F. Wang. “Applications of damping torque analysis to STATCOM control”, Electrical Power and Energy Systems, Elseiver 2000. Vol 22. pp. 197-204. Douglas J. Gotham, G. T. Heydt, “Power flow control and power flow studies for systems with FACTS devices”, IEEE Trans. On Power Systems, Vol. 13, No. 1, Feb 1998, pp. 60-65. P. M. Anderson and A. A. Fouad. “Power System Control and Stability”. IEEE Press, 1994. Ixtláhuatl Coronado G. “Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva dinámica”. Tesis de maestría en ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara, Octubre, 2001. Working group 14.19, “Static Synchronous Compensator”, CIGRÉ, Agosto de 1999. CAPÍTULO V SINTONIZACIÓN DE PSSs Y FDSs PARA EL AMORTIGUAMIENTO DE OSCILACIONES DE POTENCIA 5.1 Introducción Con el incremento de la demanda de la energía eléctrica y la ampliación de los sistemas eléctricos de potencia ha sido necesario implementar estrategias capaces de mejorar su operación. Estos cambios ponen a los operadores del sistema ante diferentes escenarios más problemáticos que en el pasado. Los problemas de oscilaciones de baja frecuencia se manifiestan particularmente cuando el sistema se encuentra operando en condiciones de estrés, que se relaciona con el incremento de la carga en líneas de transmisión de gran longitud y por los desbalances de los rotores de los generadores provocados por algún tipo de disturbio en la red. Se debe observar que las fluctuaciones de carga siempre están presentes y si la eliminación de estos desbalances no es adecuado puede ocasionarse una separación del sistema. Las oscilaciones del rotor se observan en las líneas de transmisión como oscilaciones de potencia que pueden limitar la transferencia de potencia y amenazar la seguridad del sistema. Es por ello que los encargados de la planeación y operación de las redes eléctricas investigan intensamente cómo disminuir estas oscilaciones de baja frecuencia. La frecuencia de estas oscilaciones generalmente se encuentra en el intervalo de 0.2 a 2.0 Hz. Es importante mencionar que al disminuir el valor de la frecuencia de las oscilaciones se presenta una mayor participación de generadores. En el límite inferior del intervalo de frecuencia (entre 0.2-0.8 Hz) los modos de oscilación se denominan modos inter-área. En el límite superior del intervalo (entre 1.5-3.0 Hz), se conocen como modos inter-planta y las oscilaciones se limitan a los generadores que se encuentran dentro de la planta. En el rango intermedio de frecuencias (entre 0.8-1.8 Hz) son modos de oscilación local que corresponden a las oscilaciones entre generadores que se encuentran dentro de un área de la red. Se asume que para los modos de oscilación local, los generadores dentro de la planta son coherentes y oscilan contra generadores de otra planta (en la misma área). 5.2 Estabilizador de sistemas de potencia (PSS) Uno de los controles más comúnmente empleado para amortiguar oscilaciones y evitar amortiguamiento negativo de los reguladores automáticos de voltaje son los estabilizadores de 77 Capítulo V 78 sistemas de potencia (PSSs) [1] que son controles suplementarios que actúan en el sistema de excitación. La Fig. 5.1 muestra el diagrama de bloques de un sistema de excitación estático, donde VS es la señal de modulación proveniente del estabilizador de potencia (PSS). El PSS tiene una señal de entrada u obtenida de la velocidad del rotor, de la frecuencia del nodo, de la potencia eléctrica o una combinación de estas variables. El objetivo principal del PSS es proporcionar un par de amortiguamiento adicional sin afectar el par de sincronismo en las frecuencias de oscilación críticas. Es decir, la función de los PSSs es colocar una señal de modulación en el SEP a través del sistema de excitación para aumentar el amortiguamiento de las oscilaciones del rotor. Sin embargo, durante algunas condiciones de operación este dispositivo puede ser insuficiente para proporcionar el nivel de amortiguamiento deseado, especialmente para modos de oscilación inter-área. Es por ello que en algunos casos es necesario emplear otras alternativas efectivas que puedan desempeñarse correctamente en combinación con los PSSs. Vref VR max max + VT - 1 + sTC 1 + sTB ∑ KA 1 + sTA E fd + VR min Vs Fig. 5.1 Sistema de excitación estático. En los últimos años ha surgido una nueva tecnología basada en electrónica de potencia denominada dispositivos FACTS [2-3], que son una alternativa interesante capaz de ayudar a superar varias dificultades que se presentan en la operación y planeación de los SEPs, tal como las mencionadas anteriormente. Estos dispositivos llevan a cabo la tarea de controlar los voltajes en los nodos críticos del sistema, al controlar los ángulos de fase entre los extremos de la línea de transmisión o modificando la reactancia serie de la línea. Puede agregarse amortiguamiento a los modos de oscilación a través de la implementación apropiada de una señal de modulación en una entrada del dispositivo FACTS; ésta es la función de un estabilizador de dispositivos FACTS (FDS). 5.3 Sintonización de PSSs y FDSs La interacción entre estabilizadores puede aumentar o disminuir el amortiguamiento de ciertos modos de oscilación del rotor. Para tener un mejor desempeño al respecto, es necesario tener una coordinación adecuada de todos los dispositivos de control empleados en la red, asegurando además la robustez ante diferentes condiciones de operación. Algunas técnicas de optimización se han aplicado extensamente para resolver dificultades relacionadas con la operación y control de los sistemas de potencia [4-5]. La optimización trata con problemas de minimización o maximización de una función con muchas variables que generalmente están sujetas a restricciones de igualdad y de desigualdad. Existe un gran número de técnicas que se han desarrollado para encontrar un diseño óptimo. Los métodos evolutivos se consideran una clase de estas técnicas que se utilizan para encontrar soluciones óptimas por medio de algún proceso de búsqueda aleatoria directa. Algunos artículos recientes presentan la aplicación del Templado Simulado (SA) y Algoritmos Genéticos (GA) para el diseño y sintonización de PSSs y FDSs [6-7], que son considerados métodos evolutivos. Una forma de llevar a cabo la coordinación de estabilizadores se basa en sensitividades de segundo orden de los eigenvalores de interés. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 79 5.3.1 Sensitividad de eigenvalores Debido al gran tamaño de los sistemas de potencia, a menudo es necesario construir modelos de orden reducido para estudios de estabilidad de pequeña señal conservando únicamente algunos modos. Por esto es importante definir y determinar apropiadamente qué variables de estado participan significativamente en un modo seleccionado. Verghese [8] propuso una relación de la participación de las variables de estado que se llaman factores de participación. Un factor de participación es una medida de la sensitividad de un eigenvalor para una entrada de la matriz de estado, A. El análisis de sensitividades de los eigenvalores se usa extensamente en estudios dinámicos de sistemas de potencia y además para el diseño de controles. Algunas investigaciones muestran que las trayectorias de los eigenvalores dominantes para ciertas perturbaciones en los parámetros del sistema son no lineales y las estimaciones de primer orden no son precisas [910]. En [10] se propone un método para el análisis de eigenvalores por medio de sensitividades de segundo orden de la matriz aumentada del sistema. En esta formulación, el análisis de sensitividades de un modo en particular se puede realizar empleando únicamente sus eigenvectores izquierdo y derecho, es decir no se necesita la información de otros eigenvalores del sistema. El modelo linealizado de un sistema eléctrico de potencia para el análisis de estabilidad considerando generadores, cargas y sistemas de excitación, se puede representar por la ec. 5.1.  •  A ∆ x =  G  0  − CG   . BG  ∆x U  ∆u + Y  ∆v  0  (5.1) o en forma compacta como • ~ ~ ∆~ x = A ∆~ x + U∆u~ (5.2) donde x es el vector de estado; v es el vector de voltajes nodales de la red; u es el vector de ~ variables de entrada de control; ∆ indica los valores perturbados; y A es la matriz de estado aumentada del sistema. El eigenvalor λ i , el eigenvector derecho vi y el eigenvector izquierdo wi de la matriz aumentada están definidos por la ec. 5.3. ~ v = λ Bv ; A i i i ~ T w = λ Bw A i i i (5.3) Donde la matriz B tiene valores de 1 en las primeras n posiciones de la diagonal y ceros en las otras posiciones, n es el número de variables de estado. Si se supone que debido a los cambios ~ en los parámetros del sistema, la matriz aumentada A se modifica por una nueva matriz ~ ~ ~ aumentada A' , la matriz de perturbación queda definida como E = A'− A. Las perturbaciones de primero y segundo orden del eigenvalor vienen dadas en la ecuación 5.4-5.5 [10]. ∆λ(i1) = wiT Evi (5.4) ∆λ(i 2 ) = wiT E∆vi (5.5) el vector ∆vi se calcula resolviendo simultáneamente la ec. 5.6: (A~ − λi B )∆vi = (∆λ(i1) B − E )vi wiT B∆vi = 0 (5.6) Capítulo V 80 Para formular el problema que mejore el comportamiento transitorio de los modos electromecánicos se propone el empleo de las perturbaciones del eigenvalor de primer y segundo orden, ∆λ(i1) y ∆λ(i2). 5.3.2 Función objetivo Para calcular los parámetros óptimos de los PSSs y FDSs que mejoren el amortiguamiento de las oscilaciones del sistema de potencia, en éste trabajo se aplican SA y GA para resolver el siguiente problema de optimización. min ∑∑ Re{∆λ j _ k } K (5.7) k =1 j∈Z Donde la perturbación de los eigenvalores en estudio se puede representar como una perturbación de segundo orden que se puede definir por ∆λ j _ k = ∆λ (j1)_ k + ∆λ (j2_) k , K ={conjunto de condiciones de operación}, y Z = {todos los eigenvalores λ j _ k en estudio en la k-ésima condición de operación}. La función objetivo propuesta en la ec. 5.7 requiere minimizar la parte real de las sensitividades del eigenvalor de ciertos modos de interés, que sirve para obtener los mejores parámetros de los estabilizadores capaces de cubrir los requerimientos anteriores considerando diferentes condiciones de operación. Para llevar a cabo la coordinación correspondiente, los PSSs y FDSs se modelan con la función de transferencia mostrada en la ec. 5.8, basado en el diagrama de bloques de la Fig. 5.2. Vs (s ) skT 1 + sT1 1 + sT3 = U (s ) 1 + sT 1 + sT2 1 + sT4 U (s ) (5.8) k sT 1 + sT 1 + sT1 1 + sT 2 1 + sT3 1 + sT4 Vs (s ) Fig. 5.2 Diagrama de bloques de un PSS con dos bloques de atraso-adelanto. El primer término se denomina washout, y sirve para filtrar las señales de baja frecuencia, y permitir que las señales relacionadas con las oscilaciones de la velocidad angular, ω, pasen sin cambio. Sin él, se tendría un error en estado estacionario que modificaría el voltaje en terminales. Este bloque permite que el PSS sólo actúe al ocurrir cambios en la señal de entrada. Los siguientes bloques se denominan de atraso-adelanto, y proporcionan la compensación de fase requerida en el intervalo de frecuencia de interés. Generalmente, la ganancia k del estabilizador se maximiza dentro de las restricciones impuestas por la estabilidad del lazo de control y la compensación de fase se realiza ajustando las funciones de atraso-adelanto ( T1 − T4 ) sobre el rango de frecuencia de interés. Para simplificar el procedimiento se considera T1 = T3 y T2 = T4 . Para cada uno de los estabilizadores, solo se estiman T1 y k , debido a que previamente se seleccionan los valores de T y T2 . El rango de T se fija entre 7.5-15 seg, y se escoge para asegurar un cambio de fase despreciable y que la ganancia contribuya al bloque de washout en el intervalo de frecuencia de oscilación de interés. El rango de T2 se encuentra entre 0.020-0.10 seg, y su valor se escoge a partir de una consideración física [11]. Tomando esto en cuenta, se puede concluir que en éste trabajo para N estabilizadores en el sistema es necesario calcular únicamente 2 N parámetros ( N constantes de tiempo T1 y N ganancias k ). La matriz de perturbación E de las ec. 5.4-5.5 Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 81 se crea modificando los parámetros de los estabilizadores a partir de un conjunto de parámetros típicos, la Tabla 5.1 muestra los valores típicos para los PSSs. Tabla 5.1. Parámetros típicos de los estabilizadores empleados en los casos de estudio. Parámetros PSSs T 7.5 k 0.1 T1=T3 0.045 T2=T4 0.015 5.4 Aplicación de la metodología propuesta para la coordinación de estabilizadores 5.4.1 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos La metodología que se propone en la sección anterior se aplica a un sistema de 3 generadores y 9 nodos de la WSCC, Fig. 5.3. En éste sistema se integra un STATCOM en el nodo 5 para controlar un voltaje de 1.025 pu (voltaje en terminales del STATCOM). En el estudio todos los generadores se modelan con un modelo transitorio incluyendo un sistema de excitación estático, ec. 5.9, despreciando la resistencia del estator. 2 8 7 6 3 2 3 Carga C 9 5 Carga A Carga B STATCOM 4 1 1 Fig. 5.3 Sistema de 3 máquinas y 9 nodos de la (WSCC). dδ = ω − ω0 dt dω 1 [T m − T e − D (ω − ω 0 )] = dt Tj dE q' dt = [ 1 − E q' − (x d − x d' T d' 0 [ )i d dE d' 1 = ' − E d' + (x q − x q' ) i q dt Tq 0 dE dt fd = + E fd ] ] 1 [− E fd + K A (V ref + V s − V t )] TA (5.9) Capítulo V 82 La Tabla 5.2 presenta los principales parámetros de las plantas de generación. Para identificar los modos de origen electromecánico y el patrón de oscilación del sistema, se obtienen primeramente los eigenvalores de la matriz de estado A considerando el modelo clásico, sin ningún tipo de control y dispositivos FACTS instalados, resultando dos modos electromecánicos {-0.1290±j9.5725, -0.0876±j13.4255}. Se propone mejorar el amortiguamiento del sistema a través de la acción coordinada de dos PSSs instalados en los generadores {2, 3}, y un estabilizador instalado en el STATCOM. De acuerdo al patrón de oscilación que se obtiene analizando los eigenvectores derechos, se observa que existe oscilación entre los generadores 3 y 1, es por ello la decisión de colocar al STATCOM en el nodo 5. Las señales de retroalimentación que se emplean son: la velocidad ωi (rad/seg) para los PSSs y el flujo de potencia activa en la línea 4-5 para el estabilizador del STATCOM. El modelo que se utiliza para el STATCOM se obtiene del desarrollo presentado en el capítulo IV. Tabla 5.2 Principales parámetros de los generadores. Generador xd x’d T’d0 xq x’q T’q0 H(s) 1 2 3 0.1460 0.8958 1.3125 0.0608 0.1198 0.1813 8.960 6.000 5.890 0.0969 0.8645 1.2578 0.0569 0.0969 0.1500 0.100 0.535 0.600 23.64 6.40 3.01 La matriz de perturbación E para éste sistema se crea a partir de los parámetros típicos de los PSSs mostrados en la Tabla 5.1, y los parámetros típicos para el estabilizador del STATCOM son: T = 7.5, T1 = 0.05, T2 = 0.04 y k = 0.1. 5.4.1.1 Descripción y modificación de los parámetros del sistema 5.4.1.1a Caso Base Para el STATCOM y generadores se consideran los siguientes parámetros y condiciones en estado estable. La reactancia del transformador de acoplamiento del STATCOM es xE = 0.01 pu, con un voltaje en terminales vE = 1.025∠ − 3.7257o pu, para el caso base. Todos los parámetros de los generadores son los mostrados en la Tabla 5.2 considerando un factor de amortiguamiento, D ≡ 0.0 pu. Los sistemas de excitación estáticos tienen una ganancia, k A = 35, y una constante de tiempo, TA = 0.015 seg. Para el STATCOM se diseña un controlador proporcional capaz de modular la fase θ E , definida como ∆θ E = kvDC _ S ∆vDC (4.10) donde la ganancia kvDC _ S = 0.01. La señal de salida de los estabilizadores VS se aplica a los sistemas de excitación de los generadores {2 y 3}. 5.4.1.1b Robustez en la coordinación de estabilizadores Para garantizar la robustez de los estabilizadores, se toman en consideración diferentes condiciones de operación. (a) El caso mencionado anteriormente, caso 1. (b) Se incrementa la generación de potencia activa en un 40%, se aumentan las potencias activa y reactiva de las cargas en un 35%, se agrega una carga adicional en el nodo 8 de 0.25+j0.075, se eleva el valor de la reactancia de las líneas 4-5, 3-6 y 9-4 en un 25%. El voltaje en terminales del STATCOM en estado estacionario es vE = 1.005∠ − 6.4032o pu, caso 2. (c) La potencia activa generada se encuentra a un 80% del caso base, con esta misma relación se encuentran las potencias activa y reactiva de las cargas, y la reactancia de las líneas 4-5 y 9-4 se disminuye a un 80%. En este caso el voltaje en estado estacionario en terminales del STATCOM es vE = 1.025∠ − 2.0643o pu, caso 3. Los límites inferior y superior de los parámetros de los estabilizadores que se utilizan en los algoritmos de optimización son: k pss ∈[0.1, 0.3], kstatcom ∈[0.01, 0.15], T1 _ pss ∈[0.02, 0.08] y Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 83 T1 _ statcom ∈[0.02, 0.08]. Debe enfatizarse que éstas condiciones pueden modificarse de acuerdo a la conveniencia, y aquí se utilizan para ejemplificar. La Tabla 5.3 muestra los modos de interés para las tres condiciones de operación descritas. El amortiguamiento de éstos modos se mejora a través de la acción coordinada de los estabilizadores. Tabla 5.3 Modos electromecánicos de interés sin estabilizadores Condición λ1 λ2 Caso 1 -0.2528±j9.1771 -0.1814±j5.9579 Caso 2 +0.0378±j8.7321 -0.1016±j5.6859 Caso 3 -0.4090±j9.3496 -0.2302±j6.1703 5.4.1.2 Proceso de sintonización Al resolver la ec. 5.7 por medio del templado simulado (SA) y algoritmos genéticos (GA), tomando en consideración los modos de la Tabla 5.3 se obtiene el conjunto de parámetros que se muestra en la Tabla 5.4. En la Fig. 5.4 se presenta la relación de convergencia de la función objetivo para templado simulado y algoritmos genéticos, respectivamente. Es evidente que la función objetivo en el caso de algoritmos genéticos alcanza un valor menor que el logrado por medio de templado simulado, además se aprecia que algunos valores obtenidos son muy similares, mientras que otros tienen un valor muy próximo al valor de los límites establecidos, Tabla 5.4. Sin embargo como se ve en las Fig. 5.6-5.9, el desempeño de las variables del sistema es muy semejante tanto para los parámetros obtenidos por medio de SA como para los calculados por GA. Tabla 5.4 Parámetros de los estabilizadores obtenidos por medio de templado simulado y algoritmos genéticos. Estabilizador T por GA 0.10002600 0.30000000 0.00501765 0.300 0.100 0.005 7.5 7.5 7.5 T1=T3 T2=T4 por SA por GA 0.0200000 0.0800000 0.0200486 0.069986 0.080000 0.020002 0.015 0.015 0.040 Función Objetivo Función Objetivo PSS2 PSS3 FDSstatcom k por SA Número de cadena Generación (a) (b) Fig. 5.4 Evolución de la función objetivo por (a) templado simulado y (b) algoritmos genéticos. La Fig. 5.5 muestra el comportamiento del parámetro de temperatura en la evolución de la función objetivo, para el caso de templado simulado. Es importante mencionar que la reducción más pronunciada de la función objetivo se tiene justamente cuando el parámetro de temperatura desciende rápidamente (primeras 50 cadenas) mientras que cuando el parámetro de temperatura Capítulo V 84 Paráme tro de te mperatura empieza a disminuir más lentamente, la función objetivo tiende a reducir su valor de una forma moderada, hasta alcanzar un valor en el cual prácticamente no existe cambio, aunque continúe disminuyendo el valor del parámetro de temperatura (parámetro de control). Número de cadena Fig. 5.5 Parámetro de temperatura en el proceso de templado simulado. 5.4.1.3 Simulaciones en el tiempo Velocidad ω2, pu. Posición angular relativa δ3- δ1, grados. En las Fig. 5.6-5.9 se muestra el desempeño de algunas variables de interés como por ejemplo: la potencia eléctrica Pei , las velocidades angulares ωi y posiciones angulares relativas δ ij , después de presentarse una falla en los nodos 4, 7 o 9 tomando en consideración las tres condiciones de operación mencionadas. Cabe señalar que el generador número 1 se toma como referencia para todos los cálculos realizados. Los parámetros de control utilizados para llevar a cabo las simulaciones son los mostrados en la Tabla 5.4. En cada una de las gráficas se observa el desempeño de alguna de las variables mencionadas con el sistema sin control (sin PSSs y STATCOM) y las otras dos gráficas corresponden al comportamiento de las variables con control (con estabilizadores y STATCOM), con la coordinación hecha por medio de templado simulado y algoritmos genéticos, respectivamente. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.6 (a) Posición angular relativa δ31 y (b) Velocidad ω2 después de una falla en el nodo 4. 85 Velocidad ω3, pu. Potencia eléctrica Pe 2, pu. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia Tiempo, seg. Tiempo, seg. Potencia eléctrica Pe1, pu. Posición angular relativa δ2- δ1, grados. (a) (b) Fig. 5.7 (a) Potencia eléctrica Pe2 después de una falla en el nodo 4 y (b) Velocidad ω3 después de una falla en el nodo 7. Tiempo, seg. Tiempo, seg. Velocidad ω1, pu. Potencia eléctrica Pe 3, pu. (a) (b) Fig. 5.8 (a) Potencia eléctrica Pe1 y (b) Posición angular relativa δ21 después de una falla en el nodo 7. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.9 (a) Potencia eléctrica Pe3 y (b) Velocidad ω1 después de una falla en el nodo 9. Capítulo V 86 De los resultados obtenidos se puede concluir que se tiene un comportamiento transitorio más amortiguado del sistema con la colocación de dispositivos de control (estabilizadores y STATCOM) que sin la inclusión de estos. Es evidente que ambas técnicas de optimización entregan resultados apropiados ya que se logra una mejora en el amortiguamiento de las oscilaciones para todos los casos operativos de estudio y ante todas las fallas simuladas. En el caso de algoritmos genéticos se observa en las Fig. 5.6-5.9 un amortiguamiento casi completo de las oscilaciones para todos los casos en aproximadamente 2 seg después de haber ocurrido una falla. Para el caso de templado simulado en algunas variables se aprecia una ligera oscilación después de 2 seg, aunque en algunas muestras se aprecia un desempeño muy similar al de algoritmos genéticos. Es decir, ambos métodos son una herramienta muy confiable en la sintonización de dispositivos de control proporcionando así al sistema de potencia la posibilidad de trabajar más cerca de sus límites de operación. 5.4.2 Sistema de 16 máquinas y 68 nodos Con objeto de mostrar que la técnica de sintonización propuesta en la sección 5.3 y el modelo del STATCOM desarrollado en el capítulo IV se pueden aplicar a sistemas de potencia de mayor dimensión, se estudia en esta sección el sistema de Nueva Inglaterra que consiste de 16 máquinas y 68 nodos, Fig. 5.10. El modelo transitorio que se emplea para los generadores es el mostrado en la ec. 5.9, incluyendo un sistema de excitación estático. Para éste sistema se incluye un STATCOM en el nodo 21. 14 8 1 N41 N40 N47 N48 N60 N26 N53 N28 N29 N25 N66 N1 N63 N62 9 N27 N30 11 N31 N61 N2 N3 N18 N17 10 N32 N46 N16 N24 N38 N15 N33 N34 N14 N4 N21 N49 N22 STATCOM N9 N19 N42 N36 N8 N35 N64 N67 N5 N12 N6 N58 N20 12 15 6 N57 N51 N45 N56 5 4 N23 N11 N7 N50 N44 N37 N54 N10 N59 N52 N65 N68 16 N13 N39 N43 13 2 N55 3 7 Fig. 5.10 Sistema de potencia de 16 máquinas y 68 nodos. La Tabla 5.5 muestra los principales parámetros de los generadores instalados en el sistema de potencia. En este sistema el generador de referencia es el que se encuentra conectado en el nodo 65 (generador 13). Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 87 En estudios de sistemas de potencia la capacidad de cortocircuito en un nodo se considera una medida de la robustez del nodo. Al conocer la capacidad de cortocircuito de los nodos del sistema se puede tener una idea de qué nodo es el más débil en caso de presentarse un disturbio en la red. Por lo tanto, en este estudio se adopto ésta como una medida conveniente para la localización del dispositivo FACTS. Al calcular la capacidad de cortocircuito de los nodos del sistema de la Fig. 5.10, se concluye que uno de los lugares más adecuados para colocar al STATCOM es en el nodo 21. Las señales de retroalimentación que se emplean son: las velocidades para los PSSs y el flujo de potencia activa de la línea 16-21 en el caso del estabilizador del STATCOM. Tabla 5.5 Principales parámetros de los generadores. Generador xd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.1000 0.2950 0.2495 0.2620 0.3300 0.2540 0.2950 0.2900 0.2106 0.1690 0.1280 0.1010 0.0296 0.0180 0.0180 0.0356 x’d T’d0 (s) 0.0310 10.2000 0.0697 6.5600 0.0531 5.7000 0.0436 5.6900 0.0660 5.4000 0.0500 7.3000 0.0490 5.6600 0.0570 6.7000 0.0570 4.7900 0.0457 9.3700 0.0180 4.1000 0.0310 7.4000 0.0055 5.9000 0.0029 4.1000 0.0029 4.1000 0.0071 7.8000 xq x’q T’q0 (s) H (s) 0.0690 0.2820 0.2370 0.2580 0.3100 0.2410 0.2920 0.2800 0.2050 0.1150 0.1230 0.0950 0.0286 0.0173 0.0173 0.0334 0.0280 0.0600 0.0500 0.0400 0.0600 0.0450 0.0450 0.0500 0.0500 0.0450 0.0150 0.0280 0.0050 0.0025 0.0025 0.0060 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 0.4400 0.4000 1.5000 0.4100 1.9600 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 42.00 30.20 35.80 28.60 26.00 34.80 26.40 24.30 34.50 31.00 28.20 92.30 248.0 300.0 300.0 225.0 La matriz de perturbación E definida en la sección 5.3.2 se crea en base a los parámetros típicos mostrados en la Tabla 5.1, para el caso de los PSSs. Por otra parte los parámetros típicos definidos para el caso del estabilizador del STATCOM son: T = 7.5, T1 = 0.04, T2 = 0.025 y k = 0.005 . 5.4.2.1 Descripción y modificación de los parámetros del sistema 5.4.2.1a Caso Base Los parámetros y condiciones en estado estacionario para el STATCOM y los generadores son: la reactancia del transformador de acoplamiento del STATCOM es xE = 0.01 pu, con un voltaje en terminales de vE = 1.035∠10.3030o pu. Los parámetros que se muestran en la Tabla 5.5 son los correspondientes para todos los generadores, donde el factor de amortiguamiento es D = 0.0928 pu. Para los sistemas de excitación estáticos las ganancias tienen un valor de kA = 50 y las constantes de tiempo de TA = 0.02 seg. Para el STATCOM se diseña un controlador proporcional ec. 4.10, que modula la fase θ E , con una ganancia kvDC _ S = 1.0. La señal de salida de los estabilizadores VS se aplica a los sistemas de excitación estáticos de los generadores que incluyen un PSS. 5.4.2.1b Robustez en la coordinación de estabilizadores Para garantizar la robustez en la coordinación de los estabilizadores, se consideran para este sistema de potencia cuatro condiciones de operación. (a) Se consideran los parámetros mencionados en la sección 5.4.2.1a, caso 1. (b) Se incrementan las potencias activa y reactiva de las cargas en un 30% y 15%, respectivamente. El voltaje en terminales del STATCOM en estado estacionario es vE = 1.025∠13.6976o pu, caso 2. (c) Salen de servicio dos líneas de transmisión a partir del caso base 3-18 y 25-26, el voltaje en terminales del STATCOM vE = 1.025∠9.2073o pu, caso 3. (d) Para la última condición de operación se considera que salen de servicio tres líneas de transmisión 16-17, 4-14 y 25-26, con un voltaje en terminales del STATCOM vE = 1.025∠23.9551o pu, caso 4. Para el proceso de sintonización los límites superior e inferior de los parámetros de Capítulo V 88 los estabilizadores son: k pss ∈[0.1, 0.3], kstatcom ∈[0.005, 0.0075], T1 _ pss ∈[0.02, 0.08] y T1 _ statcom ∈[0.02, 0.08]. Al llevar a cabo un análisis de pequeña señal considerando cada una de las condiciones de operación mencionadas, se identifican los modos de oscilación de interés Tabla 5.6. Se propone mejorar el amortiguamiento del sistema con la inclusión de 15 PSSs que se instalan en todos los generadores excepto en el de referencia y un estabilizador en el STATCOM. Nuevamente, se enfatiza que esto se realiza para ejemplificar, y no como una regla. Tabla 5.6 Modos electromecánicos de interés sin estabilizadores. Condición λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Caso 1 -1.1623±j9.7032 -1.1444±j9.4177 -1.0215±j8.7074 -0.6304±j3.4013 -- Caso 2 -1.1048±j9.6966 -1.1331±j9.4145 -0.9528±j8.7316 -0.5930±j3.4546 -- Caso 3 -1.2124±j9.7094 -1.3766±j9.0562 -0.9786±j8.7349 -1.2718±j5.1559 -0.6584±j3.3005 Caso 4 -1.2027±j9.7072 -0.9991±j8.7520 -1.3199±j8.9204 -1.2734±j5.1548 -0.7110±j3.3429 5.4.2.2 Proceso de sintonización Se resuelve la ec. 5.7 y se consideran los modos de interés mostrados en la Tabla 5.6, este proceso se lleva a cabo por medio de templado simulado y algoritmos genéticos. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 5.7. La Fig. 5.11 muestra la relación de convergencia de la función objetivo para templado simulado y algoritmos genéticos respectivamente. Tabla 5.7 Parámetros de los estabilizadores calculados por medio de templado simulado y algoritmos genéticos. Estabilizador T por SA por GA 0.292451 0.106273 0.299999 0.102776 0.104321 0.100585 0.289955 0.238325 0.199613 0.11263 0.299487 0.289211 0.298627 0.299967 0.212495 0.00725363 0.219808 0.100001 0.300000 0.101957 0.107534 0.100017 0.270393 0.269890 0.134938 0.111183 0.299783 0.289685 0.298526 0.299891 0.124486 0.007349 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 T1=T3 T2=T4 por SA por GA 0.0200347 0.0798985 0.0799956 0.0200918 0.0203222 0.0799832 0.0799634 0.0723095 0.0797469 0.0202593 0.079915 0.0795524 0.0799734 0.0799536 0.0782356 0.0784014 0.020072 0.079924 0.080000 0.020085 0.020059 0.079996 0.079827 0.075219 0.079986 0.021485 0.079889 0.079946 0.079954 0.079994 0.074780 0.076967 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.040 Función Objetivo Función Objetivo PSS1 PSS2 PSS3 PSS4 PSS5 PSS6 PSS7 PSS8 PSS9 PSS10 PSS11 PSS12 PSS13 PSS14 PSS15 FDSstatcom k Número de cadena Generación (a) (b) Fig. 5.11 Evolución de la función objetivo por (a) templado simulado y (b) algoritmos genéticos. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 89 Paráme tro de te mperatura Como se aprecia en la Fig. 5.11 el valor final para la función objetivo es muy similar en ambos algoritmos. De la Tabla 5.7 es conveniente señalar que los parámetros obtenidos con los algoritmos de optimización son muy semejantes en la mayoría de los casos, caso contrario a lo que sucedió en el ejemplo de la sección 5.4.1. Para el caso de templado simulado se puede apreciar que la función objetivo disminuye su valor muy rápido en las primeras cadenas y después solo decrece con pequeños valores, mientras que para algoritmos genéticos este proceso lo lleva a cabo con mayor lentitud. La Fig. 5.12 para el caso de SA muestra el comportamiento para el parámetro de control que es el encargado de controlar la temperatura en el proceso de solución. Cabe mencionar que la evolución de la función objetivo y el parámetro de temperatura tienen una conducta muy semejante como se aprecia en las Fig 5.11-5.12. Número de cadena Fig. 5.12 Parámetro de temperatura en el proceso de templado simulado. 5.4.2.3 Simulaciones en el tiempo Potencia eléctrica Pe12, pu. Posición angular relativa δ10- δ1, grados. En las Fig. 5.13-5.18 se muestra la evolución de algunas variables de interés del sistema de potencia, después de ocurrir una falla en los nodos 18, 24, 34 o 51 donde se toman en consideración las cuatro condiciones de operación descritas anteriormente. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.13 (a) Potencia eléctrica Pe12 y (b) Posición angular relativa δ101 después de una falla en el nodo 18. Capítulo V Velocidad ω7, pu. Posición angular relativa δ3- δ1, grados. 90 Tiempo, seg. Tiempo, seg. Velocidad ω6, pu Potencia eléctrica Pe 14, pu. (a) (b) Fig. 5.14 (a) Velocidad ω7 después de una falla en el nodo 18 y (b) Posición angular relativa δ31 después de una falla en el nodo 24. Tiempo, seg. Tiempo, seg. Velocidad ω12, pu. Potencia eléctrica Pe7, pu. (a) (b) Fig. 5.15 (a) Potencia eléctrica Pe14 y (b) Velocidad ω6 después de una falla en el nodo 24. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.16 (a) Velocidad ω12 y (b) Potencia eléctrica Pe7 después de una falla en el nodo 34. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 91 Velocidad ω11, pu. Posición angular relativa δ9- δ1, grados. Las simulaciones en el tiempo se realizan a partir de la formulación desarrollada en el capítulo IV considerando los parámetros calculados en la Tabla 5.7. Al igual que en el ejemplo de la sección 5.4.1 las gráficas muestran las variables sin dispositivos de control y con la coordinación de controles por medio de templado simulado y algoritmos genéticos. Tiempo, seg. Tiempo, seg. Potencia eléctrica Pe 13, pu. Posición angular relativa δ11- δ1, grados. (a) (b) Fig. 5.17 (a) Posición angular relativa δ91 después de una falla en el nodo 34 y (b) Velocidad ω11 después de una falla en el nodo 51. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.18 (a) Velocidad ω12 y (b) Potencia eléctrica Pe7 después de una falla en el nodo 34. Al observar las simulaciones en el tiempo Fig. 5.13-5.18, del sistema de potencia en estudio, es evidente que se obtiene un amortiguamiento de oscilaciones mejorado con controles respecto al sistema sin dispositivos de control. Se debe señalar que en la mayor parte de las simulaciones en el tiempo se consigue eliminar las oscilaciones en un tiempo menor a 2 seg, y en algunos casos hasta en menos de 1 seg. Es claro que estos resultados son un buen indicativo de que la coordinación realizada cumple con los requerimientos necesarios para una operación adecuada del sistema. Con la inclusión de diferentes condiciones operativas y simulación de diferentes fallas en la red se garantiza un buen desempeño del sistema con los dispositivos de control. Por otro lado, los algoritmos que se emplean para llevar a cabo la coordinación entregan resultados satisfactorios demostrando su flexibilidad y eficiencia para espacios de búsqueda de gran dimensión. Las Fig. 5.13-5.18 establecen resultados casi iguales para los dos algoritmos de optimización. Capítulo V 92 5.4.3 Sistema de 46 máquinas y 190 nodos La metodología que se presentó en la sección 5.3 se aplica a un equivalente del sistema eléctrico Mexicano, que consiste de 46 generadores y 190 nodos, Fig. 5.19. En este sistema se integran dos dispositivos FACTS: en la línea que se encuentra entre los nodos 174-181 se instala un TCSC y en la línea entre los nodos 75-84 se inserta un UPFC. En este estudio todos los generadores son modelados con un modelo transitorio incluyendo un sistema de excitación ec. 5.9. Fig. 5.19 Sistema de potencia de 46 máquinas. La Tabla 5.8 presenta los principales parámetros de las plantas de generación. Este sistema presenta dos modos electromecánicos relevantes {-0.358±j6.147, -0.924±j6.101} para la condición de operación nominal (caso base) [12], se propone mejorar el amortiguamiento del sistema a través de la acción coordinada de 13 PSSs instalados en los generadores {1, 2, 3, 6, 15, 19, 24, 32, 33, 35, 36, 38, 39}, un estabilizador instalado en el TCSC y un estabilizador en el UPFC. Estos modos incluyen interacciones entre generadores de las regiones Sur y Oriente del sistema. Las señales de retroalimentación que se emplean son las siguientes: la velocidad ωi (rad/seg) para los PSSs y el flujo de potencia activa en la línea para los estabilizadores de los dispositivos FACTS. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 93 Tabla 5.8 Principales parámetros de los generadores. Generador Capacidad (MVA) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 315.7 191.0 218.0 391.0 750.0 125.0 340.0 100.0 340.2 175.6 100.0 100.0 100.0 100.0 180.0 389.0 80.0 344.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 391.0 340.2 94.0 177.8 100.0 100.0 100.0 175.6 88.0 95.0 98.7 340.2 389.0 340.2 340.2 391.0 346.0 44.0 34.0 100.0 58.0 220.0 94.4 xd x’d T’d0 (s) xq x’q T’q0 (s) H (s) 0.1440 0.1500 0.1360 0.3690 1.5800 0.2450 0.8150 0.5430 0.5470 0.1300 1.6290 0.2000 0.7850 0.1190 0.8200 1.6300 0.8890 0.9460 0.9000 0.9000 0.5300 0.5660 0.4910 0.5430 0.8250 0.6250 0.6250 0.3690 1.6100 0.8500 0.1220 0.2880 0.5930 0.0500 0.0480 0.0416 0.0545 0.3210 0.0625 0.1300 0.0900 0.0866 0.0630 0.1830 0.1947 0.0800 0.3314 0.0410 0.2250 0.0700 0.1400 0.0191 0.1706 0.0350 0.0660 0.0900 0.1325 0.2600 0.1680 0.1175 0.1704 0.1704 0.0825 0.0645 0.0576 0.1000 0.0610 0.0866 0.1075 0.1030 0.1030 0.0545 0.2640 0.1275 0.2500 0.1800 0.0430 0.0756 0.0986 7.400 5.200 5.530 5.200 6.500 6.000 5.500 5.500 5.700 5.880 5.060 5.500 5.500 5.500 5.500 5.500 6.500 5.750 4.800 4.800 6.000 3.750 5.250 5.500 4.000 6.200 6.200 5.200 5.500 4.700 5.000 7.080 5.790 0.0800 0.0860 0.0760 0.3650 1.4900 0.1350 0.7750 0.5160 0.4960 0.0810 1.5600 0.1200 0.7750 0.1140 0.5050 1.5500 0.8680 0.7700 0.8750 0.8750 0.5000 0.5330 0.4640 0.5160 0.7950 0.5500 0.5500 0.3650 1.5800 0.6500 0.0920 0.1890 0.5780 0.0800 0.0860 0.0760 0.0950 0.8450 0.2250 0.1500 0.2330 0.6230 0.0330 0.2250 0.4500 0.3500 0.2200 0.2350 0.2350 0.1330 0.2000 0.1030 0.1500 0.2050 0.2000 0.2000 0.0950 0.4000 0.2330 0.400 0.400 0.400 0.470 0.700 0.400 0.600 0.600 0.700 0.400 0.600 0.400 0.400 0.600 0.470 0.600 0.960 0.460 0.500 0.500 0.500 0.400 0.442 0.600 0.520 0.500 0.500 0.470 1.000 0.400 0.400 0.400 0.960 23.150 21.500 24.300 13.800 5.870 12.920 6.200 12.600 9.300 9.480 6.300 4.800 7.500 3.200 20.100 3.240 14.680 6.320 42.180 4.140 4.170 11.060 12.600 7.340 3.100 13.520 6.320 1.170 6.210 5.600 7.040 12.000 15.690 26.320 9.300 6.480 6.200 6.200 13.800 3.530 8.000 2.980 6.300 16.200 13.050 20.280 5.4.3.1 Modelo del Capacitor Serie Controlado por Tiristores (TCSC) El modelo casi-estático representa al TCSC como una reactancia variable a frecuencia fundamental, dependiendo del ángulo de disparo α [13]. Este ángulo se obtiene a partir de los voltajes y corrientes en estado estable, asumiendo una corriente de línea senoidal. El circuito eléctrico equivalente de un TCSC conectado a un sistema de potencia se puede representar esquemáticamente como se muestra en la Fig. 5.20, donde il (t ) = I m sin (ωt ). La descripción matemática se desarrolla tomando en cuenta el equivalente de circuitos en condiciones de apagado (OFF) y encendido (ON). Durante el estado OFF, el circuito equivalente se simplifica a un capacitor y una fuente de voltaje que representa el voltaje a través del capacitor en el instante de la conmutación del tiristor. La reactancia del TCSC a frecuencia fundamental resulta [14],  A  π − 2α  0  = − jX C + j  X C X TCSC  + jX C I m  π  Im     π   4k tan  k  α −   sin 2 (α ) + k 2 + 1 sin (2α )  2  A     ⋅  π k 2 − 1       ( ( ) ) (5.11) Capítulo V 94 it (t) ic(t) t1 il(t) C L Fig. 5.20 Circuito eléctrico equivalente de un TCSC. 5.4.3.2 Modelo del Controlador Unificado de Flujos de Potencia (UPFC) En su forma general el UPFC puede proporcionar simultáneamente un control en tiempo real de los parámetros básicos del sistema de potencia (voltaje de transmisión, impedancia y ángulo de fase) y compensación dinámica del sistema de CA. El circuito que representa al UPFC se muestra en la Fig. 5.21. Se asume que el UPFC se encuentra instalado al final de la línea de transmisión. El circuito de un UPFC se compone de un transformador de excitación (ET), un transformador elevador (BT), dos inversores de voltaje (VSC) y un capacitor de acoplamiento de CD. Además se considera que m E , m B y θ E , θ B son las relaciones de amplitud y los ángulos de fase de las fuentes correspondientes y actúan como las señales de entrada del control del UPFC [5, 15]. vBta vEta vEtb vEtc RE lE vEa + iEcd iBcd vBa + icd iEa + + Ccd v cd lB RB iBa + + + Fig. 5.21 Estructura del UPFC. El UPFC utiliza un inversor conectado en serie con la línea de transmisión y otro inversor conectado a un nodo del sistema en derivación. Principalmente el inversor serie se utiliza para inyectar un voltaje controlado en serie con la línea y por lo tanto se obtiene el flujo de potencia deseado [2]. En general, cuando sea necesario el inversor serie puede intercambiar tanto potencia activa como potencia reactiva con la línea. Una fuente inversora de voltaje es capaz de generar electrónicamente la potencia reactiva demandada por las terminales de CA, pero es incapaz de tener intercambio de potencia activa a menos que exista una fuente de potencia apropiada que se conecte a las terminales del lado de CD. Es por ello que las terminales de CD del inversor serie se conectan a las terminales correspondientes del inversor en derivación. En consecuencia, la función primaria de este inversor es proporcionar la cantidad exacta de potencia activa requerida por el inversor serie. De ésta forma se deriva la potencia activa desde su conexión del sistema de CA. Si el inversor en derivación se diseña con un rango de corriente mayor, puede además desempeñar una función secundaria generando electrónicamente potencia reactiva para regular el voltaje del nodo de CA. Por lo tanto, se concluye que el UPFC ofrece una Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 95 capacidad exclusiva de regular independientemente los flujos de potencia activa y reactiva ( P y Q ) en la línea de transmisión, y también puede regular el voltaje del nodo. El modelo del UPFC en estado estable es [16]: − Z E  0   0   0  0   0 0 − ZE 0 0 0 0 0 0 0 − ZE 0 0 0 0 0 0 − ZB 0 0 − ZB 0 0 0 0 0   I Ea  V Eta − V Ea  0   I Eb  V Etb − V Eb  0   I Ec  V Etc − V Ec     =  0   I Ba  V Ba − V Bta  0   I Bb  V Bb − V Btb      − Z B   I Bc  V Bc − V Btc  (5.12) donde, ZE y ZB son las impedancias del transformador de excitación (ET) y del transformador elevador (BT), respectivamente y, Z E = rE + jx E Z B = rB + jx B M V VEi = E dc e j (θ E ) 2 2 M BVdc j (θ B ) VBi = e 2 2 (i = a, (5.13) 4π 2π , θc = 3 3 son los valores en estado estable de las variables m E , m B y v dc ; I Ei y I Bi son los b, c ), M E , M B , Vdc θ a = 0, θb = fasores de las corrientes de línea. El modelo dinámico del UPFC en el marco de referencia abc se puede escribir como en la ec. 5.14 [16]. dx = Ag x + B g v dt (5.14) donde x = [iEa , iEb , iEc , iBa , iBb , iBc , vdc ] y T v = [vEta , vEtb , vEtc , −vBta , −vBtb , −vBtc , 0] T La matriz de transformación de Park [ ] T = diag P P 1  2π   2π    cosθ + cosθ −    cos(θ ) 3   3     2π  2π  2   P = − sen(θ ) − senθ −  − senθ +  3  3  3     1 1 1   2 2 2   (5.15) se utiliza para desarrollar la representación invariante en el tiempo de la ec. 5.14 en el marco de referencia rotatorio dq0. Asumiendo que el sistema es simétrico y balanceado, las componentes de secuencia cero son cero y el modelo del UPFC se puede expresar mediante, dX dq 0 dt donde = Adq 0 X dq 0 + Bdq 0Vdq 0 (5.16) Capítulo V 96 X dq 0 = [I Ed , I Eq , I Bd , I Bq , Vdc ] y T Vdq 0 = [VEtd , VEtq , VBtd , VBtq , 0] T La potencia instantánea basada en la transformación resulta, Pt = v a ia + vb ib + vc ic = [ 3 v d id + v q iq + 2v0 i0 2 ] (5.17) Para mantener constante el voltaje de CD a través del capacitor de acoplamiento del UPFC v dc ,   dv dc = 0  se utiliza un controlador proporcional, G P (s ), (se desprecian las pérdidas internas del    dt UPFC). Los parámetros considerados para el controlador son k p = 10.0. La ecuación del controlador es δ E = G P (s ) [Vdc _ ref − Vdc ] . 5.4.3.3 Descripción y modificación de los parámetros del sistema 5.4.3.3a Caso Base Para los dispositivos FACTS y generadores se consideran los siguientes parámetros en estado estacionario. El TCSC tiene una inductancia L = 92 mH y una capacitancia C = 44 µF, que resulta en una reactancia capacitiva equivalente X TCSC = 0.15 pu, cuando se ajusta el ángulo de disparo α = 50.5o [14]. La reactancia de los transformadores del UPFC son X serie = X derivación = 0.01 pu, donde se regula el flujo de potencia S75−84 = 0.5 + j0.5 con las siguientes fuentes: Vderivación = 1.0385∠ − 0.5078 rad y Vserie = 0.0458∠ − 0.1788 rad. Los parámetros de todos los generadores se toman de la Tabla 5.2 considerando D = 0.05 pu; todos los sistemas de excitación tienen ganancias, kA = 75 y constantes de tiempo, TA = 0.015 seg. La señal de salida de los estabilizadores, VS , se alimenta a los sistemas de excitación de los generadores {1, 2, 3, 6, 15, 19, 24, 32, 33, 35, 36, 38, 39}. Para el TCSC se diseña un controlador que modula el ángulo de disparo y por lo tanto la reactancia X TCSC , Fig. 5.22. En el caso del UPFC, se diseña un controlador que modula la fase de la fuente en derivación θ E. α ref + f(•) G XTCSC + P 174-181 C TCSC (a) P 75-84_ref + C UPFC G ∆θ E - P 75-84 (b) Fig. 5.22 (a) Estabilizador que modula la reactancia XTCSC; (b) Estabilizador que modula la fase θE de Vderivación del UPFC. 5.4.3.3b Robustez en la coordinación de estabilizadores Para garantizar la robustez de los estabilizadores, se toman en consideración diferentes condiciones de operación. (a) El caso mencionado en el apartado 5.4.3.3a, caso 1. (b) Se Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 97 aumenta la potencia activa de las cargas en un 15%, caso 2. (c) Salen de servicio las líneas de transmisión 158-141 y 185-183, caso 3. (d) Salen de operación las líneas de transmisión 172174 y 75-89, caso 4. Para los PSSs, las señales de retroalimentación son las velocidades angulares ωi (rad/s). Los límites superior e inferior de los parámetros de los estabilizadores que se utilizan en los algoritmos de solución son. k pss ∈[0.02, 0.2], kupfc ∈[0.01, 0.14], kTCSC ∈[1e-3, 1e-4], T1 _ pss ∈[0.02, 0.075], T1 _ upfc ∈[0.02, 0.075], T1 _ TCSC ∈[0.02, 0.075]. 5.4.3.4 Proceso de Sintonización Al resolver la ec. 5.7 por medio de templado simulado y algoritmos genéticos se obtiene el conjunto de parámetros mostrado en la Tabla 5.9. Los valores finales de los parámetros en los dos algoritmos de optimización no son muy semejantes, más aún se puede considerar que son valores muy próximos a los límites opuestos. Solo algunos valores de los parámetros son similares. En la Fig. 5.23 se puede observar la evolución de función objetivo para los algoritmos de optimización. Se puede apreciar que la función objetivo alcanza un valor menor para el caso de templado simulado, no obstante, las Fig. 5.25-5.30 muestran un desempeño adecuado en la sintonización lograda. Tabla 5.9 Parámetros de los PSSs y FDSs por medio de Templado Simulado y Algoritmos Genéticos. Estabilizador T por GA 0.1524 0.0244 0.0210 0.0553 0.1647 0.0404 0.1388 0.1522 0.0283 0.0349 0.0259 0.1081 0.1247 0.1268 0.0009 0.077405 0.047769 0.027402 0.127127 0.080810 0.030692 0.171992 0.034948 0.054614 0.159305 0.129505 0.089906 0.100982 0.077266 0.000594 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 T1=T3 T2=T4 por SA por GA 0.0396 0.0210 0.0200 0.0215 0.0259 0.0289 0.0749 0.0518 0.0237 0.0205 0.0711 0.0749 0.0219 0.0363 0.0657 0.021781 0.021298 0.020000 0.027765 0.028804 0.020250 0.071712 0.052270 0.034987 0.021847 0.062312 0.074670 0.020981 0.039642 0.064887 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.040 0.040 Función Objetivo Función Objetivo PSS1 PSS2 PSS3 PSS6 PSS15 PSS19 PSS24 PSS32 PSS33 PSS35 PSS36 PSS38 PSS39 FDSupfc FDStcsc k por SA Número de cadena Generación (a) (b) Fig. 5.23 Evolución de la función objetivo por (a) templado simulado y (b) Algoritmos genéticos. Capítulo V 98 Paráme tro de te mperatura En la Fig. 5.24 se presenta el comportamiento del parámetro de control de temperatura para el caso de templado simulado. Como se puede apreciar en las Fig. 5.23-5.24 el parámetro de control de temperatura impacta fuertemente el desempeño del algoritmo, esto se deduce del hecho que la función objetivo (al igual que en los sistemas anteriores) tiene una conducta semejante al parámetro de temperatura. Los dos tienen su mayor descenso en las primeras cadenas del proceso, después de esto decrecen lentamente. Número de cadena Fig. 5.24 Parámetro de temperatura en el proceso de templado simulado. 5.4.3.5 Simulaciones en el tiempo Velocidad ω2, pu. Velocidad ω18, pu. Para demostrar la efectividad y desempeño de los estabilizadores diseñados se llevan a cabo estudios de estabilidad transitoria, sometiendo al sistema a diferentes fallas y puntos de operación. Las Fig. 5.25-5.30 muestran el comportamiento no lineal de la potencia eléctrica Pei velocidades angulares ωi y posiciones angulares relativas del rotor δij después de que se aplica una falla en los nodos 53, 59, 78 o 185, tomando en consideración las cuatro condiciones de operación. Se toma como referencia el generador número 1. Como se puede apreciar, se obtiene una estabilización robusta con la coordinación de los estabilizadores cuyos parámetros son estimados resolviendo la ec. 5.7. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.25 Velocidades (a) ω2 y (b) ω18 después de una falla en el nodo 53. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia Potencia eléctrica Pe 1, pu Posición angular relativa δ22- δ1, grados. 99 Tiempo, seg. Tiempo, seg. Posición angular relativa δ19- δ1, grados. Posición angular relativa δ11- δ1, grados. (a) (b) Fig. 5.26 (a) Potencia eléctrica Pe1 y (b) Posición angular relativa δ22 después de una falla en el nodo 53. Tiempo, seg. Tiempo, seg. Velocidad ω7, pu. Potencia eléctrica Pe 5, pu. (a) (b) Fig. 5.27 Posición angular relativa (a) δ11 y (b) δ19 después de una falla en el nodo 59. Tiempo, seg. Tiempo, seg. (a) (b) Fig. 5.28 (a) Potencia eléctrica Pe5 y (b) Velocidad ω7 después de una falla en el nodo 59. Capítulo V Velocidad ω43, pu. Posición angular relativa δ21- δ1, grados. 100 Tiempo, seg. Tiempo, seg. Velocidad ω5, pu. Potencia eléctrica Pe 5, pu. (a) (b) Fig. 5.29 (a) Posición angular relativa δ21 y (b) Velocidad ω43 después de una falla en el nodo 78. Tiempo, seg. Tiempo, seg (a) (b) Fig. 5.30 (a) Potencia eléctrica Pe5 y (b) Velocidad ω5 después de una falla en el nodo 185. En las Fig. 5.25-5.30 se observa el comportamiento de las variables en análisis incluyendo cada una de las condiciones de operación y fallas mencionadas. En general se aprecia un comportamiento transitorio mejorado de las variables cuando se incluyen los dispositivos de control justificando así su utilización en el sistema de potencia. Es importante mencionar que sin la sintonización adecuada de los estabilizadores no se asegura el correcto amortiguamiento de las oscilaciones. Es por esto que se emplea la estrategia propuesta en éste trabajo para su coordinación. En la mayoría de las Fig. 5.25-5.30 el amortiguamiento de las oscilaciones con los dispositivos de control se alcanza en 4 seg, mostrando un desempeño casi igual de las variables con la sintonización por medio de SA y GA. En algunas figuras se puede apreciar en mayor grado el incremento del amortiguamiento como por ejemplo la velocidad ω18 en el caso 1 con una falla trifásica en el nodo 53, Fig. 5.25b. Otro ejemplo importante se puede notar con la potencia eléctrica del generador 1 para el caso 2 al ocurrir una falla en el nodo 53, Fig. 5.26a. Por lo tanto, se puede concluir que la sintonización de los dispositivos de control por medio de la metodología descrita es adecuada para mejorar el comportamiento de las variables del sistema después de la aparición de una falla, mostrando además la gran similitud de los resultados obtenidos con los dos métodos de optimización SA y GA. Sintonización de PSSs y FDSs para el amortiguamiento de oscilaciones de potencia 101 5.5 Resumen En este capítulo se presenta una descripción de los estabilizadores de potencia así como el modelo empleado en éste trabajo. Se desarrolla un método para la coordinación de dispositivos de control usados frecuentemente para amortiguar oscilaciones de potencia. La sintonización se lleva a cabo en base a un análisis de sensitividades de segundo orden que se representa con la ayuda de una función objetivo. La ejemplificación de la metodología propuesta se realiza con tres sistemas de potencia multimáquinas. En donde la función objetivo se resuelve por medio de dos algoritmos de optimización templado simulado y algoritmos genéticos obteniéndose los mejores valores para los parámetros de los controles. Además en éste capítulo se muestra la implementación en la red eléctrica de dispositivos FACTS en especial del STATCOM. Con la obtención de los parámetros óptimos de los estabilizadores y dispositivos FACTS se procede a realizar simulaciones en el tiempo, para cada uno de los casos de estudio. Al analizar los resultados alcanzados se concluyen algunos aspectos importantes relacionados con la inclusión del STATCOM y otros dispositivos de control en el sistema, la robustez de los controles que se logra con la metodología propuesta y el desempeño de SA y GA ante diferentes escenarios en el contexto de SEPs. 5.6 Referencias [1] K. R. Padiyar, “Power System Dynamics: stability and control”, Edit. John Wiley & Sons, 1996. [2] Narain G. Hingorani, Laszlo Gyugyi, “Understanding FACTS”, IEEE Press Editorial Board, 2000. [3] Yong H. Song, and Allan T. Johns, “Flexible ac Transmission Systems”, IEE Power and Energy Series, 1999. [4] Ricardo J. Dávalos Marín, “Modelado y análisis dinámico del TCSC y su aplicación para mejorar el comportamiento electromecánico en redes eléctricas”, Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara. Agosto, 2000. [5] Abraham V. Valenzuela, “Análisis de estado estacionario y dinámico en SEP al incluir un dispositivo UPFC”, Tesis de Maestría en Ciencias, Cinvestav unidad Guadalajara. Noviembre, 2000. [6] M. A. Abido, “Simulated annealing based approach to PSS and FACTS based stabilizer tuning”. Electrical Power and Energy Systems, Elsevier 2000. Vol 22. pp. 247-258. [7] Isidro Castillo T., Juan M. Ramírez and R. Tapia, “A Genetic Algorithm Applied to Enhance the Damping of Multi-machine Power Systems”. North American Power Symposium, College Station, Texas, USA. October- 2001, Pp. 618-625. [8] G. C. Verghese, I. J. Perez-Arriaga and F. C. Scheweppe, “Selective Modal Analysis with Applications to Electric Power Systems, Part I and II”, IEEE Trans. Power Appar. Syst., PAS101, Sept. 1982, 3117-3134. [9] K.W. Wang, C. Y. Chung, C. T. Tse, and K.M. Tsang, “Multimachine eigenvalue sensitivities of power system parameters”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, No. 2, May 2000, pp. 741-747. [10] H.K. Nam, Y.K. Kim, K.S. Shim, and K. Y. Lee, “A new eigen-sensitivity theory of augmented matrix and its applications to power system stability analysis”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, No. 1, Feb 2000, pp. 363-369. [11] P. Kundur, M. Klein, G. J. Rogers and M. S. Zywno, “Application of Power System Stabilizers for Enhancement of Overall System Stability”. IEEE Transactions on Power Systems, 1989, 4, (2), pp. 614-626. 102 Capítulo V [12] A. Román Messina, J. M. Ramírez, J. M. Cañedo, “An investigation on the use of power system stabilizers for damping in interarea oscillations in longitudinal power systems”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 13, No. 2, May 1998, pp. 552-559. [13] S. G. Jalali, Ron A. Hedin, M. Pereira, and K. Sadek, “A stability model for the advanced series capacitor (ASC)”. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, No. 2, April 1996, pp. 1128-1137. [14] Dávalos Ricardo J. y Ramírez J. M., “A review of a quasi-static and a dynamic TCSC model”, IEEE Power Engineering Review, November 2000, vol. 20, number 11, pp. 63-65. [15] Ixtláhuatl Coronado G. “Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva dinámica”. Tesis de maestría en ciencias, Guadalajara, Jal. Octubre, 2001. [16] A. Nabavi-Niaki and M. R. Iravani, “Steady-state and Dynamic models of Unified power flow controller (UPFC) for power system studies”. IEEE Transactions on Power Systems, 1996, 11, (4), pp. 1937-1943. CONCLUSIONES El empleo de métodos heurísticos es uno de los principales avances en la investigación en general ya que estas técnicas son capaces de adaptarse por si mismas a problemas para los que es casi imposible obtener un modelo matemático adecuado. Por otro lado, a diferencia de los algoritmos tradicionales de optimización, estos métodos tienen la habilidad de incorporar información que se tiene por experiencia de un problema en particular. Sin embargo, su empleo en el contexto de sistemas de potencia aún se encuentra en su etapa inicial, y en éste trabajo se ha presentado una aplicación para la solución de un problema relacionado con el comportamiento dinámico de las redes eléctricas. Una manera efectiva de resolver el problema de control de voltaje en sistemas eléctricos de potencia es por medio de la inyección de potencia reactiva en puntos estratégicos de la red. Se presenta una breve descripción del problema y las medidas más adecuadas para su solución, así como algunos conceptos básicos acerca del flujo de potencia reactiva en líneas de transmisión. Se concluye que una forma efectiva de atacar el problema es por medio de dispositivos FACTS y particularmente con la inclusión del compensador estático síncrono (STATCOM). Debido a que éste dispositivo tiene características convenientes para el control de voltaje, además de que es flexible y permite incorporar tareas como el amortiguamiento de oscilaciones de potencia. Se presentan las definiciones mínimas necesarias de los métodos heurísticos y de SA para solucionar problemas de optimización. Esto ayuda a definir un procedimiento adecuado para atacar un problema de una forma alternativa, incorporando las experiencias que se tienen en el área de aplicación. La inclusión de un compensador estático síncrono para estudios de sistemas de potencia en estado estacionario y dinámico es de gran relevancia, debido a que permite realizar un análisis del impacto que tiene éste dispositivo en las diferentes tareas de control. La implementación del STATCOM en el problema máquina-barra infinita sirve como preámbulo para su extensión a un sistema multimáquinas. Asimismo, es de gran importancia definir el control del STATCOM para elaborar una estrategia adecuada para su implementación en sistemas reales. La ejemplificación de la formulación desarrollada demuestra su aplicabilidad La sintonización de estabilizadores se lleva a cabo en base a un análisis de sensitividades de segundo orden que se formula con la ayuda de una función objetivo. Esta función se minimiza por medio de SA para obtener un mejor amortiguamiento de las oscilaciones de potencia. Por otro lado, se propone una estrategia para garantizar robustez en los estabilizadores minimizando la función para diferentes condiciones operativas. Los resultados de simulación permiten concluir que la metodología propuesta es adecuada para esta labor. 103 APORTACIONES [ Para el sistema máquina-barra infinita en estado estacionario se muestra el desempeño del dispositivo STATCOM ante posibles modificaciones en los parámetros de la red eléctrica y del dispositivo. Se analiza el procedimiento para la inclusión del Compensador Estático Síncrono en un sistema eléctrico de potencia multimáquinas. Se realiza un análisis en estado estacionario y dinámico de éste modelo. [ El empleo del algoritmo Templado Simulado en el contexto de ingeniería eléctrica, específicamente para la sintonización de dispositivos de control. Se exhiben las principales características de su desempeño al momento de buscar una solución, verificando principalmente su relación de convergencia. Se comparan los resultados con otra técnica heurística poderosa. [ Se propone una metodología para la coordinación de estabilizadores de sistemas de potencia (PSSs) y estabilizadores de dispositivos FACTS (FDSs), con el objeto de amortiguar oscilaciones de potencia en redes. Esta labor se realiza empleando la minimización de una función objetivo basada en sensitividades. Se demuestra su efectividad a través de las simulaciones no lineales de algunos SEPs de gran dimensión incorporando dispositivos FACTS. [ La integración de trabajos desarrollados anteriormente y el propuesto en este trabajo de forma tal que se va configurando una herramienta más completa en el análisis de sistemas de potencia. Al mismo tiempo se propone un procedimiento para la integración de dispositivos de control evitando en forma adecuada las interacciones negativas entre ellos. 104 TRABAJOS FUTUROS Este trabajo forma parte de una serie de actividades encaminadas a implementar nuevas técnicas y dispositivos en el contexto del análisis de grandes redes eléctricas, de modo que presenten una interacción positiva entre todos los dispositivos instalados. Por esto se recomienda desarrollar los siguientes trabajos para extender la aplicación de estas técnicas: [ Coordinar el STATCOM con otros dispositivos FACTS para verificar su efectividad en las tareas de control. Agregando la tarea de amortiguamiento de oscilaciones de potencia. [ Los problemas de optimización generalmente se encuentran sujetos a restricciones de igualdad y de desigualdad y los SEPs no son una excepción. Es por ello que es importante poder incluir algunas de estas restricciones en la sintonización de dispositivos de control. [ Extender la aplicación de técnicas heurísticas en los problemas de redes eléctricas. Asimismo, perfeccionar el método del templado simulado para estos problemas particulares en términos de tiempo de cálculo. [ Llevar a cabo un análisis más detallado en la localización de los dispositivos FACTS y de los PSSs mejorando por consiguiente el amortiguamiento de oscilaciones de potencia. [ Implementar en laboratorio el dispositivo STATCOM. 105 PUBLICACIONES Durante la realización de este trabajo y hasta la fecha de su publicación se han presentado a diferentes congresos y revistas los siguientes artículos técnicos. [ Juan M. Ramírez, Rubén Tapia, Isidro Castillo, “Electromechanical Transient Behavior Improvement by Coordinated Stabilizers.”, publicado en IEEE Power Engineering Review, December 2001, vol. 21, number 12, pp.53-56. [ Isidro Castillo T., Juan M. Ramírez, Rubén Tapia, “A Genetic Algorithm Applied to Enhance the Damping of Multi-machine Power Systems.”, presentado en el North American Power Symposium, 2001 celebrado en Austin, Texas. Oct. 15-16. [ Juan M. Ramírez, Isidro Castillo T., Rubén Tapia O., “ A genetic algorithm approach to coordinate facts based stabilizers.” Paper No. 051-theme 7, presentado en el congreso IEEE Transmission and Distribution 2002, celebrado en Sao Paulo, Brasil, Marzo 2002. [ Ricardo Dávalos M., Juan M. Ramírez, Rubén Tapia O., “Multi-step static VAR compensator analysis”, aceptado para su presentación en el IEEE PES 2002 Summer Meeting, a celebrarse en Chicago, IL del 21-25 de Julio. [ Isidro Castillo T., Rubén Tapia O., Juan M. Ramírez, “Un algoritmo genético para la coordinación de estabilizadores en SEP.” Artículo presentado en el congreso RVP-AI 2001, organizado por el IEEE sección México. [ Juan M. Ramírez, Rubén Tapia, Isidro Castillo, “Power systems transient stability enhancement by the stabilizers coordinated action”, sometido para su publicación al IEEE Trans on Power Systems. [ Juan M. Ramírez, Rubén Tapia, Isidro Castillo, “Dynamic Security and the Stabilizers Coordination” sometido para su publicación al IEEE Power Engineering Review, Mayo 2002. [ Juan M. Ramírez, Rubén Tapia O., Isidro Castillo T., Ricardo Dávalos M. “Embedding security constraints into the stabilizers coordination problem”, sometido para su publicación en la revista International Journal of Electrical Power and Energy Systems, reference number E2170, Mayo 2002. [ Ricardo J. Dávalos M., Juan M. Ramírez A., Rubén Tapia O., “Three-phase multi-pulse converter StatCom analysis”, sometido para su publicación en la revista International Journal of Electrical Power and Energy Systems, reference number E, Feb 2002. 106 [ Rubén Tapia O., Juan M. Ramírez, I. Castillo, Ricardo Dávalos M., “Stabilizers coordination-Part 1: proposed methodology and solutions”, sometido para su presentación en el congreso IFAC 2002 a celebrarse en Guadalajara, Jal., México. [ Juan M. Ramírez, Isidro Castillo T., Rubén Tapia O., “Stabilizers coordination -Part 2: inclusion of transient stability constraints”, sometido para su presentación en el congreso IFAC 2002 a celebrarse en Guadalajara, Jal., México. [ Isidro Castillo T., Rubén Tapia O., Juan M. Ramírez A., “Soluciones para la sintonización de estabilizadores en SEP - Parte 1”, sometido para su presentación en el congreso CIE2002 organizado por el CINVESTAV. [ Isidro Castillo T., Juan M. Ramírez A., Rubén Tapia O., “Soluciones para la sintonización de estabilizadores en SEP - Parte 2”, sometido para su presentación en el congreso CIE2002 organizado por el CINVESTAV. 107 APÉNDICE A x1 = xtL + x LB + x2 = 1 + xtL x LB x SDT x LB x SDT x3 = x LB x SDT k1 = x2 x1 + x 2 x' d k2 = x3 k x1 + x 2 x' d k3 = v∞ x1 + x 2 x ' d k4 = x2 x1 + x 2 x' q k5 = x3 k x1 + x 2 x' q k6 = v∞ x1 + x 2 x' q k 7 = k1 − k 4 − k1 k 4 (x' q − x' d ) k 8 = k 3 k 4 (x ' q − x ' d ) − k 3 k 9 = k 2 k 4 (x ' q − x ' d ) − k 2 k10 = k1 k 6 (x' q − x' d ) + k 6 k11 = k1 k 5 (x ' q − x ' d ) + k 5 k12 = − k 2 k 5 (x' q − x' d ) k13 = − k 3 k 5 (x ' q − x ' d ) k14 = − k 2 k 6 (x ' q − x ' d ) k15 = − k 3 k 6 (x' q − x' d ) k16 = k 7 E ' d 0 + k10 sin δ 0 + k11 m0 v DC 0 sin (δ 0 −ψ 0 ) k 17 = k 7 E ' q 0 + k 8 cos δ 0 + k 9 m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) 109 Apéndice A 110 k18 = −k 8 E ' d 0 sinδ 0 − k 9 E ' d 0 m0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) + k10 E ' q 0 cos δ 0 + k11 E ' q 0 m0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) 2 + k12 m02 v DC 0 cos 2(δ 0 − ψ 0 ) − k13 m0 v DC 0 (sinδ 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) − cos δ 0 cos(δ 0 − ψ 0 )) + k14 m0 v DC 0 (cos δ 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) − sinδ 0 sin(δ 0 − ψ 0 )) + k15 cos 2δ 0 2 k19 = k 9 E ' d 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) + k11 E ' q 0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) + k12 m 0 v DC 0 sin 2(δ 0 − ψ 0 ) + k13 v DC 0 cos δ 0 sin(δ 0 −ψ 0 ) + k 14 v DC 0 sinδ 0 cos(δ 0 −ψ 0 ) 2 k 20 = k 9 E ' d 0 m 0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) − k11 E ' q 0 m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) − k12 m 02 v DC 0 cos 2(δ 0 − ψ 0 ) − k13 m 0 v DC 0 cos δ 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) + k14 m 0 v DC 0 sinδ 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) k 21 = k 9 E ' d 0 m 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) + k11 E ' q 0 m 0 sin(δ 0 −ψ 0 ) + k12 v DC 0 m 02 sin 2(δ 0 − ψ 0 ) + k13 m 0 cos δ 0 sin(δ 0 −ψ 0 ) + k14 m 0 sinδ 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 22 = 1 T 'd 0 k 23 = − 1 [1 + k1 (x d − x' d )] T 'd 0 k 24 = 1 [(xd − x' d )k 2 ] T 'd 0 k 25 = 1 [(x d − x' d )k 3 ] T 'd 0 k 26 = k 24 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 27 = k 24 m0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 28 = k 24 m 0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) k 29 = − k 24 m 0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) − k 25 sinδ 0 k 30 = − [ 1 1 (xq − x'q )k 4 − T 'q0 T 'q0 [ ] [ ] k 31 = 1 (xq − x'q )k5 T 'q0 k 32 = 1 (xq − x' q )k 6 T 'q0 ] k 33 = k 31 m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) + k 32 cos δ 0 k 34 = k 31 m0 sin(δ 0 − ψ 0 ) k 35 = k 31 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) k 36 = −k 31 m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 37 = 1 − k 4 x ' q k 38 = k 6 cos δ 0 + k 5 x ' q m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) Apéndice A 111 k 39 = k 5 x ' q v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) k 40 = − k 5 x ' q m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 41 = k 5 x ' q m0 sin (δ 0 − ψ 0 ) k 42 = 1 − k1 x' d k 43 = −k 2 x' d m 0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) + k 3 sinδ 0 k 44 = k 2 m0 x' d cos(δ 0 − ψ 0 ) k 45 = k 2 x' d v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 46 = k 2 m 0 x' d v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) k 47 = k 48 = vd 0 k 37 vt 0 vq0 vt 0 k 42 k 49 = vq0 vd 0 k 43 k 38 + vt 0 vt 0 k 50 = vq0 vd 0 k 39 + k 45 vt 0 vt 0 k 51 = vq0 vd 0 k 40 + k 46 vt 0 vt 0 k 52 = vq0 vd 0 k 41 + k 44 vt 0 vt 0 k 53 = − kA k 47 TA k 54 = − kA k 48 TA k 55 = − kA k 49 TA k 56 = − 1 TA k 57 = − kA k 50 TA k 58 = − kA k 51 TA k 59 = − kA k 52 TA Apéndice A 112 k 60 = kA TA k 61 = 1 [1 − k1 (x' d + xtL )] x SDT k 62 = 1 [− (x' d + xtL )(k 2 m0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) + k 3 sinδ 0 ) + km0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 )] x SDT k 63 = k 64 = k 65 = 1 x SDT 1 x SDT 1 x SDT [k 2 (x' d + xtL )v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) − kv DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 )] [k 2 (x' d + xtL )m0 cos(δ 0 − ψ 0 ) − km0 cos(δ 0 − ψ 0 )] [k 2 (x' d + xtL )m0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) − km0 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 )] [ ] k 66 = 1 − 1 + k 4 (x' q + xtL ) x SDT k 67 = 1 (x' q + xtL )(− k 5 v DC 0 m0 cos(δ 0 − ψ 0 ) − k 6 cos δ 0 ) + km0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) x SDT k 68 = k 69 = k 70 = [ 1 x SDT 1 x SDT 1 x SDT ] [− (x' q [− (x' q [k (x' 5 ] + xtL )k 5 m0 sin(δ 0 − ψ 0 ) + km0 sin(δ 0 − ψ 0 ) q ] + x tL )k 5 v DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) + kv DC 0 sin(δ 0 − ψ 0 ) ] + x tL )m 0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) − km0 v DC 0 cos(δ 0 − ψ 0 ) k 71 = k [k 66 m0 sinψ 0 ] C DC k 72 = k [k 61m0 cosψ 0 ] C DC k 73 = k [k 62 m0 cosψ 0 + k 67 m0 sinψ 0 ] C DC k 74 = k k 63 m 0 cosψ 0 + k 69 m 0 sinψ 0 + i LOd 0 cosψ 0 + i LOq 0 sinψ 0 C DC k 75 = k [k 64 m0 cosψ 0 + k 68 m0 sinψ 0 ] C DC k 76 = k k 65 m 0 cosψ 0 + k 70 m 0 sinψ 0 + i LOq 0 m 0 cosψ 0 − i LOd 0 m 0 sinψ 0 C DC [ [ ] ] APÉNDICE B C1 = − mE 0vDc0 cos δ E 0 2 xE C2 = − mE 0 sin δ E 0 2xE C3 = − vDc0 sin δ E 0 2xE C4 = − mE 0vDc0 sin δ E 0 2xE C5 = mE 0 cos δ E 0 2xE C6 = vDc0 cos δ E 0 2xE C7 = − 3mE 0 [vkx0 cos δ E0 + vky0 sin δ E0 ] 4xECDC C8 = 3 [vky0 cos δ E0 − vkx0 sin δ E0 ] 4xECDC C9 = 3mE 0 cos δ E 0 4xECDC C10 = − 3mE 0 sin δ E 0 4xECDC 113