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CÁLCULO DIFERENCIAL TEMARIO
1. FUNCIONES 1.1 Función real de variable real Función. Variable independiente y variable dependiente. Dominio, recorrido y codominio. Imagen y preimagen. Existencia y unicidad. Prueba numérica de función. Prueba gráfica de la línea vertical. Formas de expresión de una función: Expresión matemática. Conjunto de pares ordenados. Forma tabular. Diagramas de Venn. Función real de variable real. Dominio y recorrido. Gráfica. Notación funcional de conjuntos. Clasificación de funciones por su tipo de correspondencia. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Prueba numérica de inyectividad y suprayectividad. Prueba gráfica de la línea horizontal. Estudio analítico de inyectividad y suprayectividad. 1.2 Funciones polinomiales Clasificación de las funciones por su estructura. Génesis de las funciones polinomiales. Función constante, características y ejemplos. Función identidad, características y ejemplos. Función algebraica. Función lineal, características y ejemplos. Proporcionalidad directa. Función afín, características y ejemplos. Diferencias entre función lineal y función afín. Función potencia de exponente natural, características y ejemplos. Paridad de funciones. Simetría. Funciones pares. Funciones impares. Propiedades de paridad. Monotonía de funciones. Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo. Funciones que crecen y decrecen. Funciones monótonas crecientes y decrecientes. Concavidad de funciones. Funciones cóncavas y convexas. Transformación de funciones. Traslación horizontal, vertical y oblicua. Dilatación horizontal y vertical. Reflexión vertical y horizontal. Reflexión y paridad. Función polinomial, características y ejemplos. Ceros de una función. Ceros de polinomios. Funciones acotadas superiormente. Funciones acotadas inferiormente. Funciones acotadas y no acotadas. Comportamiento extremo de polinomios. Dominio y recorrido de una función polinomial. Función definida por tramos. Función valor absoluto. Función parte entera. 1.3 Funciones racionales e irracionales División por cero. Función racional. Dominio y recorrido. Ceros de una función racional. Funciones racionales acotadas y no acotadas. Asíntotas de una función. Asíntotas verticales. Asíntotas verticales de una función racional. Asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas. Fracciones propias e impropias. Asíntota horizontal u oblicua de una función racional. Estudio del comportamiento de una función racional y ejemplos. Función potencia de exponente entero negativo, características y ejemplos. Proporcionalidad inversa. Raíz de índice par con radicando negativo. Función raíz de índice natural, características y ejemplos. Función potencia de exponente racional, características, casos y ejemplos. Función irracional, características y ejemplos. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas en funciones irracionales. Función irracional con cociente. Función cociente con denominador irracional. Función cociente con numerador irracional. 1.4 Álgebra de funciones Igualdad de funciones. Operaciones con funciones. Suma de funciones. Diferencia de funciones. Producto de funciones. Cociente de funciones. Composición de funciones. Propiedades de la función composición. Cálculo de funciones compuestas. Función inversa. Propiedades de la función inversa. Dominio restringido. Cálculo de funciones inversas. Funciones implícitas. Recorrido restringido. Rotación de ejes. Funciones paramétricas. Parámetro. Ecuaciones paramétricas. 1.5 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas. Notación. Circunferencia goniométrica. Ecuaciones paramétricas de la circunferencia unitaria. Funciones seno y coseno, gráficas y propiedades. Periodicidad de funciones. Periodicidad de las funciones seno y coseno. Funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, gráficas y propiedades. Composición de funciones trigonométricas. Transformación de funciones trigonométricas. Sinusoide. Onda sinusoidal. Cresta. Valle. Nodo. Longitud de onda. Amplitud de onda. Período. Frecuencia. Ejemplos. Expresiones trigonométricas equivalentes. Funciones trigonométricas inversas. Dominio restringido. Funciones inversas del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, gráficas y propiedades. Identidades de funciones trigonométricas inversas.
1.6 Funciones logarítmicas y exponenciales Funciones algebraicas y trascendentes. Crecimiento aritmético y crecimiento geométrico. Progresión creciente y decreciente. Función exponencial general, gráficas, propiedades y ejemplos. Función exponencial natural, gráfica y propiedades y ejemplos. Expresiones equivalentes para la función exponencial general. El exponente de la función exponencial general. Función logaritmo general, gráficas, propiedades y ejemplos. La función logaritmo base a, inversa de la función exponencial base a. Función logaritmo natural, gráfica, propiedades y ejemplos. La función exponencial natural, inversa de la función logaritmo natural. Cambio de base. La función exponencial general expresada en términos de e. La función logaritmo general expresada en términos de e. El logaritmo general expresada en términos de e. Logaritmo con argumento no positivo. Estudio del comportamiento de una función logarítmica.
2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.1 Noción intuitiva de límite Noción intuitiva de límite de una función en un punto. Posibilidades para el límite de una función en un punto. Límite finito de una función en un punto. Límites infinitos de una función en un punto. Límite de una función en un punto frontera. Límites laterales. Límite de una función definida por tramos. Límites de funciones construidas artificialmente. Inexistencia del límite de una función en un punto. Noción intuitiva de límite de una función en el infinito. Posibilidades para el límite de una función en el infinito. Límite finito de una función en el infinito. Límites infinitos de una función en el infinito. Inexistencia del límite de una función en el infinito. 2.2 Definición formal de límite Lenguaje topológico para límites. Cercanía. Lejanía. Definiciones formales de límite de una función en un punto por el criterio de entornos. Límite finito. Límite infinito. Límites laterales. Definiciones formales de límite de una función en el infinito por el criterio de entornos. Límite finito. Límite infinito. Comprobación de límites por definición. 2.3 Propiedades de los límites Propiedades fundamentales. Existencia del límite. Unicidad del límite. Acotación. Conservación del signo. Enclaustramiento. Límite de una función constante. Límite de la función identidad. Propiedades operativas de los límites finitos. Límite de una suma de funciones. Límite de una diferencia de funciones. Límite de un producto de funciones. Límite de una constante por una función. Límite de una función polinomial en un punto. Límite del inverso multiplicativo de una función. Límite de un cociente de funciones. Propiedades operativas del límite de una función composición. Propiedades operativas de los límites infinitos. Límite de una suma de funciones. Límite de un producto de funciones. Límite de un cociente de funciones. Casos especiales en los que el límite del numerador es finito o infinito y el límite del denominador es cero. 2.4 Cálculo de límites Cálculo de límites por sustitución, en puntos en los que la función está definida. Operaciones de suma, producto y cociente, que involucran límites infinitos. Cálculo de límites de cocientes en los que el límite del denominador se anula. Cálculo de límites mediante la regla del emparedado. Inexistencia del límite en funciones oscilantes. Cálculo de asíntotas verticales. Cálculo de asíntotas horizontales. Cálculo de asíntotas oblicuas. 2.5 Indeterminaciones matemáticas Indeterminaciones matemáticas. Forma indeterminada 0/0. Factorización. Racionalización. Límites trigonométricos especiales. Cocientes con funciones trigonométricas. Forma indeterminada / . Cocientes algebraicos. Cocientes de exponenciales. Límites trigonométricos especiales. Cocientes con funciones trigonométricas. Forma indeterminada 0 . Conversión a cociente. Conversión a radical único. Forma indeterminada - . Conversión a cociente. 2.6 Infinitésimos e infinitos Infinitésimos. Orden de infinitésimos. Infinitésimos equivalentes. Infinitos. Orden de infinitos. Infinitos equivalentes. Sustitución de infinitésimos para indeterminaciones de la forma 0/0. Sustitución de infinitésimos para indeterminaciones de la forma 0 .Comparación de infinitos en indeterminaciones de la forma / . Comparación de infinitos en indeterminaciones de la forma - . Limite del producto de un infinitésimo por una función acotada.
2.7 Continuidad de funciones Noción intuitiva de continuidad. Definición formal de continuidad de una función en un punto. Distinciones de la continuidad de una función en un punto. Propiedades operativas de las funciones continuas. Tipos de discontinuidades. Discontinuidades evitables. Conversión de una función discontinua en continua. Discontinuidades en infinito. Discontinuidades de primera especie. Discontinuidades de segunda especie. Continuidad de una función en un intervalo. Estudio de la continuidad de una función en un punto. Criterios de continuidad. Funciones absolutamente continuas. Funciones cociente. Funciones logarítmicas. Funciones cociente con logaritmos. Funciones raíz de índice par. Funciones raíz de índice par con cociente. Funciones logarítmicas con cociente. Funciones trigonométricas no oscilantes. Continuidad de funciones composición. Incremento de la variable independiente. Incremento de una función en un punto. Continuidad a través de los incrementos.
3. LA DERIVADA Y LA DIFERENCIAL 3.1 El problema de la tangente Noción intuitiva de derivabilidad. La dificultad para determinar la tangente. Semirrectas opuestas en un punto. Semirrectas tangentes a una curva en un punto. Recta tangente a una curva en un punto. La pendiente de la recta tangente. Relevancia de la recta tangente. Tasa de variación media. Interpretación geométrica de la tasa de variación media. Velocidad media y velocidad instantánea. Definición geométrica de derivada. La recta tangente y la derivada. La derivada y el mundo real. 3.2 Definición formal de derivada Definición formal de derivada de una función en un punto. Interpretación física y geométrica de la derivada de una función en un punto. Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. Ecuación de la recta normal a una curva en un punto. Cálculo de la derivada de una función en un punto, a través de la definición. Estudio de la continuidad y la derivabilidad de una función. Continuidad de las funciones derivables. Cálculo de la derivada de una función en un punto genérico. La función derivada. Notaciones para la derivada. La notación prima. La notación operador D. La notación de Leibniz del cociente de diferenciales. 3.3 Reglas de derivación Obtención de las reglas básicas de derivación aplicando la definición. Derivada de una constante, Derivada de la función identidad. Derivada del múltiplo constante de una función. Derivada de una función potencia con exponente natural. Regla de derivación de una suma de funciones. Derivada de un polinomio. Regla de derivación de un producto de funciones. Derivada de un polinomio factorizado. Regla de derivación de un cociente de funciones. Derivada de una función racional. Derivada de una función potencia con exponente entero. Derivada de la función exponencial natural. Derivada de la función exponencial general. Derivada de la función logaritmo natural. El número e como límite. Derivada de la función logaritmo general. Derivadas de las funciones trigonométricas. Regla de la cadena. Regla generalizada de las potencias. Reglas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas. Reglas de derivación de funciones trigonométricas. 3.4 Técnicas de derivación Derivada de una función expresada en forma paramétrica. Derivación implícita. Derivada de una función potencia con exponente racional. Regla de la función inversa. Reglas de derivación de funciones trigonométricas inversas. Derivación logarítmica. Derivada de una función potencia con exponente real. Derivada de una función elevada a otra función. 3.5 Derivadas de orden superior Derivadas de orden superior. Derivada segunda de una función en un punto. Función derivada segunda. Gráfica de la función derivada segunda. Notaciones para la derivada segunda. Cálculo de la función derivada segunda. Derivada segunda de funciones expresadas en forma paramétrica. Función derivada de orden n. Derivadas sucesivas de una función. Aplicación reiterada de las reglas de derivación. Suma de potencias de (x – x0) 3.6 Definición formal de diferencial Diferencial de una función en un punto e interpretación geométrica. Derivabilidad y diferenciabilidad. Definición formal de diferencial de una función e interpretación geométrica. La diferencial como función lineal. Distinciones de la diferencial. Contexto de la diferencial. Génesis de la diferencial. La diferencial de Leibniz. La diferencial de Cauchy. La diferencial de Fréchet. Distinciones entre incrementos y diferenciales. La notación de Leibniz como cociente de diferenciales. Reglas de diferenciación. Regla de la cadena en notación de diferenciales. Cálculo de diferenciales. Notas históricas sobre diferenciales.
4. VARIACIÓN DE FUNCIONES 4.1 Principales teoremas del cálculo diferencial Teorema de la conservación del signo. Teorema de la acotación. Teorema de los valores extremos de Weiestrass. Teorema de los ceros de Bolzano. Teorema de los valores intermedios de Darboux. Teorema de las tangentes horizontales de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. 4.2 Crecimiento, decrecimiento y valores extremos Crecimiento de una función en un punto. Decrecimiento de una función en un punto. Condición suficiente para crecimiento puntual. Condición suficiente para decrecimiento puntual. El signo de la primera derivada en un punto. Puntos críticos de una función. Punto estacionario. Punto singular. Extremos relativos. Condición necesaria para la existencia de extremo relativo. Criterio de la primera derivada. Extremos relativos en puntos singulares. Condición suficiente para la existencia de un máximo relativo. Condición suficiente para la existencia de un mínimo relativo. Funciones monótonas crecientes en un intervalo. Funciones monótonas decrecientes en un intervalo. Condición suficiente para el crecimiento en un intervalo. Condición suficiente para el decrecimiento en un intervalo. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determinación de extremos relativos. Extremos absolutos. Existencia de extremos absolutos. Posibles localizaciones de los extremos absolutos. Procedimiento para determinar extremos absolutos de una función. Distinciones relativas a extremos absolutos. Determinación del crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo. Determinación de extremos absolutos. 4.3 Concavidad y puntos de inflexión Concavidad hacia arriba en un punto. Concavidad hacia abajo en un punto. Condición suficiente para la concavidad hacia arriba en un punto. Condición suficiente para la concavidad hacia abajo en un punto. Criterio de la segunda derivada para concavidad. Criterio de la primera derivada para concavidad. Puntos de inflexión. Distinciones sobre puntos de inflexión. Condición suficiente para la existencia de punto de inflexión. Puntos de inflexión en puntos estacionarios. Criterio de la segunda derivada para puntos de inflexión. Criterio de la primera derivada para puntos de inflexión. Criterio de las derivadas sucesivas. Puntos de inflexión en puntos singulares. Concavidad hacia arriba en un intervalo. Concavidad hacia abajo en un intervalo. La monotonía de la primera derivada. El signo de la segunda derivada. Propiedades de la concavidad en un intervalo. 4.4 Análisis de variación de una función Geometría analítica y cálculo. Uso de la tecnología. Análisis de variación de funciones. Existencia y extensión de la gráfica. Intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados. Localización de algunos puntos de la gráfica. Simetrías de la gráfica. Discontinuidades. Comportamiento extremo. Asíntotas de una gráfica. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Concavidad y puntos de inflexión. Análisis de variación de una función polinomial. Análisis de variación de una función racional. Análisis de variación de una función irracional. Análisis de variación de una función trigonométrica.
5. APLICACIONES DE LA DERIVADA Y LA DIFERENCIAL 5.1 Razones de cambio relacionadas Derivada en un punto como razón de cambio instantáneo. La función derivada y las razones de cambio instantáneo. Razones de cambio relacionadas por la regla de la cadena. Problemas relativos a razones de cambio relacionadas. Analogía con un tren de engranajes. Estrategia para resolver problemas sobre tasas de cambio relacionadas. Áreas de triángulos y rectángulos. Velocidad de caída de una escalera deslizante. Ángulos de elevación y de depresión de un observador. Sombras en el suelo y en la pared. Área de una onda en un estanque. Radio de un globo esférico que se infla. Altura de un cono de arena. Distancias entre vehículos. Distancia entre partes de un puente levadizo. Tirantes de agua y volúmenes en el llenado y el vaciado de tanques. 5.2 Optimización Optimización. Formulación del problema. Modelado matemático. Obtención de la solución. Interpretación de resultados. Ingenio y creatividad. Problemas de optimización. Área máxima. Área mínima. Longitud mínima. Longitud máxima. Recorrido mínimo. Volumen máximo. Alcance máximo. Distancia mínima. Tiempo mínimo. Utilidad máxima. Costo mínimo.
5.3 Aproximaciones lineales Aproximaciones. Errores. Linealización. Aproximaciones mediante la recta tangente. Aproximación lineal. Estimación con diferenciales. Error en la aproximación diferencial. Sensibilidad al cambio.
6. SUCESIONES Y SERIES 6.1 Sucesiones Sucesión. Notaciones para sucesiones: enumerativa, explícita y recursiva. Identificación de sucesiones. Términos de una sucesión: término enésimo o término general. Gráficas de sucesiones. Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes. Propiedades del los límites de sucesiones. Sucesiones monótonas no crecientes y no decrecientes. Sucesiones acotadas, acotadas superiormente, acotadas inferiormente y no acotadas. Límite de una sucesión a través del límite de una función real. Cálculo del límite de una sucesión mediante la aplicación del teorema del emparedado. Convergencia de sucesiones monótonas y acotadas. 6.2 Series infinitas Notación Sigma. Sumas finitas e infinitas. Serie infinita. Series convergentes y divergentes. La paradoja de la dicotomía. Paradoja de Aquiles y la tortuga. Condición necesaria para convergencia. Condición suficiente para divergencia. Linealidad de las series convergentes. Cancelación y adición de términos en una serie. Agrupación de términos en una serie convergente. Agrupación de términos en una serie divergente. 6.3 Series telescópicas y geométricas Series telescópicas. Criterios de convergencia para una serie telescópica. Descomposición en fracciones parciales. Determinación del carácter de una serie telescópica. Suma de una serie telescópica convergente. Serie geométrica. Criterios de convergencia para una serie geométrica. Propiedades de las series geométricas. Ejemplos de series geométricas para números. Familia de círculos inscritos en un triángulo equilátero. Pelota rebotando. Decimal periódico. Filas de semicírculos. Triángulos inscritos en triángulos. Triángulos inscritos en triángulos. Copo de nieve de Koch. 6.4 Series de términos positivos Dificultad o imposibilidad de calcular el límite. Serie de términos positivos. Criterio de comparación de Gauss para series de términos positivos. La serie armónica. Divergencia de la serie armónica. Series p. Criterios de convergencia para series p. Serie 1/n! Criterio del cociente de D’Alembert para series de términos positivos. Criterio de Raabe. Series de términos negativos. 6.5 Series de términos positivos y negativos Serie alternada. Criterio de Leibniz para una serie alternada. Criterio del valor absoluto. Convergencia absoluta. Condición suficiente para convergencia absoluta. Series absolutamente convergentes. Convergencia condicional. Convergencia condicional. Series condicionalmente convergentes. 6.6 Series de potencias Serie de potencias. Carácter de una serie de potencias para determinados valores. Intervalo de convergencia y radio de convergencia. Criterio del cociente de la serie de valores absolutos. Convergencia en los extremos. Determinación del intervalo y el radio de convergencia. Series de potencias de x – a. Criterios de convergencia. Determinación del intervalo de convergencia de una serie x – a. 6.7 Desarrollo de funciones en series de potencias Desarrollo de funciones en series de potencias. La derivada de una serie de potencias. Expansión en serie de Taylor. Expansión de un polinomio en serie de Taylor. Expansión de funciones no polinómicas en serie de Taylor. Expansión en serie de Taylor para el seno. Expansión en serie de Taylor para el logaritmo. Expansión en serie de Maclaurin. Expansión en serie de Maclaurin para el coseno. Expansión en serie de Maclaurin para -1 la función exponencial. Expansión en serie de Maclaurin para tan x. Aproximación de .
ANEXOS A.1 Relaciones Producto cartesiano. Plano cartesiano. Par ordenado. Relación binaria. Preimagen e imagen. Dominio, rango y codominio. Correspondencia matemática. Correspondencia unívoca. Correspondencia biunívoca. Relación binaria interna. Posibles propiedades de una relación binaria interna: reflexividad, irreflexividad, simetría, antisimetría, transitividad, intransitividad y circularidad. Relación de equivalencia. Relación de orden. A.2 Trigonometría Razones trigonométricas. Funciones trigonométricas. Notación. Ángulos y su medición. Seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Ley de los senos. Ley de los cosenos. Identidades recíprocas. Identidades pitagóricas. Identidades de ángulos opuestos. Identidades de ángulos complementarios. Identidades de ángulos suplementarios. Identidades de la suma y diferencia de ángulos. Identidades del ángulo doble. Identidades del ángulo medio. Notas históricas sobre trigonometría. A.3 Criterio épsilon delta Definiciones formales de límite de una función en un punto. Límite finito. Límite infinito. Límites laterales. Definiciones formales de límite de una función en el infinito. Límite finito. Límite infinito. A.4 Demostraciones de teoremas Teorema de la conservación del signo. Teorema de la acotación. Teorema de los valores extremos de Weiestrass. Teorema de los ceros de Bolzano. Teorema de los valores intermedios de Darboux. Teorema de las tangentes horizontales de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Teorema del valor medio generalizado de Cauchy. Regla de L’Hôpital.