Soluciones

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Tarea 3 Soluciones 1. Demuestra por inducci´on la f´ormula de Gauss. Extracto del libro Spivak: La propiedad m´as fundamental de los n´ umeros naturales es el principio de inducci´on matem´atica. Sup´ongase que P(x) sigifica que la propiedad P se cumple para el n´ umero x. Entonces el principio de inducci´on matem´atica afirma que P(x) es verdad para todos los n´ umeros naturales x siempre que: 1. P(1) sea verdad. 2. Si P(k) es verdad, tambi´en lo es P(k+1) N´otese que la condici´on (2) se limita a afirmar la verdad de P(k+1) bajo el supuesto de que P(k) es verdad. Esto basta para asegurar la verdad de P(x) para todo x si tambi´en se cumple la condici´on (1). En efecto, si P(1) es verdad, se sigue entonces que P(2) es verdad [aplicando (2) al caso particular k = 1]. Ahora, puesto que P(2) es verdad, se sigue que P(3) es verdad [aplicando (2) al caso particular k = 2]. Es evidente que todo n´ umero ser´a alcanzado alguna vez mediante una serie de etapas de esta clase, de manera que P(k) ser´a verdad para todos los n´ umeros k. Una ilustraci´on muy corriente del razonamiento que justifca la inducci´on matem´atica considera una fila infinita de personas, persona 1, persona 2, persona 3 . . . Si cada persona ha recibido instrucciones de contar cualquier secreto que oiga a la persona que le sigue (la que tiene el n´ umero siguiente) y se cuenta un secreto a la persona 1, es evidente entonces que cada persona se enterar´a irremisiblemente del secreto. Si P(x) es el acerto de que la persona n´ umero x se enterar´a del secreto, entonces las istrucciones dadas(contar todos los secretos que se oigan a la persona siguiente) significan que la condici´on (2) se cumple, mientras que contar el secreto a la persona 1 hace que se cumpla la condici´on (1). 1 Ahora si la soluci´on, La f´ormula de Gauss dice lo siguiente: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1) 2 Para demostrar esta f´ormula, Paso 1. N´otese primero que se cumple para n=1. 1= 1(2) 1(1 + 1) = =1 2 2 Paso 2. Sup´ongase ahora que para alg´ un entero k se tiene: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) 2 Entonces, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1) + 2k + 2 k(k + 1) +k+1= 2 2 k 2 + 3k + 2 (k + 1)(k + 2) = 2 2 de manera que la f´ormula es tambi´en verdad para k + 1. Por el principio de inducci´on, esto demuestra que la f´ormula es v´alida para todos los n´ umeros naturales n.  = 2. Escribe dos ejemplos de cada uno de los incisos. Funci´on. Una funci´on es una relaci´on entre un conjunto dado X (el Dominio) y otro conjunto Y (el Codominio), donde a cada elemento de x del dominio le corresponde un u ´ nico elemento del codominio f (x). Y se denota por f : A → B. Ejemplos: Sean A el conjunto de las mujeres y B el conjunto de los hombres. La relaci´on de las parejas (x, y) tales que, ”x tiene un s´olo hombre correspondiente a y”, es una funci´on f : A → B. Sea f : Z → N dada por f (n) = n2 + 1 para toda n ∈ N . Es una 2 funci´on pues cada entero que te tomes, le asignas un u ´nico natural. Otra manera de ver la funci´on: Usualmente X y Y son conjuntos de n´ umeros. Podemos comparar una funci´on con una m´aquina a la cual se le introduce el elemento x y cuya salida correspondiente es f (x). Funci´on Inyectiva. Una funci´on f : X → Y es inyectiva si para cuales quiera dos elementos distintos de X, le corresponden dos elementos distintos de Y , es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o m´as elementos que le correspondan el mismo elemento de Y . Por ejemplo, f (x) = x2 no es inyectiva pues a −2 y 2 les corresponde el mismo valor. Ejemplos: Sea X = {1, 2, 3} y Y = {a, b, c, d}, sea f : X → Y tal que f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c. Es una funci´on inyectiva. Notar que puede haber elementos en Y a los cuales no les pegue la funci´on. Sea f : Z → Z dada por f (n) = 2n, entonces f es inyectiva porque f (n) = f (m) ⇒ 2n = 2m ⇒ m = n. Funci´on Suprayectiva. Una funci´on f : X → Y es suprayectiva si cada elemento de Y es la imagen de al menos un elemento de X. Si para todo y ∈ Y ∃x ∈ X tal que f (x) = y. Ejemplos: Sea X = {1, 2, 3} y Y = {a, d}, sea f : X → Y tal que f (1) = a, f (2) = a, f (3) = d. Es una funci´on suprayectiva, pues para cada elemento de Y , existe un elemento en X que le pega. Y no es inyectiva pues f (1) = f (2) y 1 6= 2. Sea f : Z → N dada por f (n) = |n|, es una funci´on suprayectiva, pero no inyectiva. Funci´on Biyectiva. Una funci´on f : X → Y es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Notar que para que una funci´on pueda ser biyectiva, el conjunto X y el conjunto Y , deben de tener el mismo n´ umero de elementos. 3 Ejemplos: Sea f : Z → Z dada por f (n) = n, es una funci´on biyectiva, pues es claramente inyectiva y sobre. 3. Escribe con tus palabras una definici´on de n´ umero primo. Sol. Decimos que un entero p distinto de ±1 es primo si sus u ´nicos divisores son ±1 y ±p. 4. En el tri´angulo ABC sabemos que el ´angulo CBA es el doble del a´ngulo BCA, el lado CA es 2 unidades mayor que el lado AB y BC mide 5. ¿Cu´anto miden AB y CA? Definici´ on. Semejanza de tri´ angulos.Decimos que dos tri´angulos ABC y A1 B1 C1 son semejantes si sus a´ngulos respectivos son iguales y sus lados hom´ologos son proporcionales, es decir, ∠ABC = ∠A1 B1 C1 ∠ACB = ∠A1 C1 B1 ∠BAC = ∠B1 A1 C1 BC CA AB = = A1 B1 B1 C1 C1 A1 Sol. 1. Trazamos la bisectriz del ∠ABC, de tal forma que corte en el punto D al segmento AC. Entonces tenemos que ∠ABD = ∠DBC. 2. Notar que el tri´angulo DBC es is´osceles, pues ∠DBC = ∠BCD y DC = BD. 3. Observar que el tri´angulo ABC es semejante a el tri´angulo ADB. 4. A partir de lo anterior y lo que nos dice el problema,contamos con la siguiente informaci´on: por (3), AB AC BC = = AD AB DB 4 ahora sustituimos, x x+2 5 = = AD x DB sabemos que AD = x + 2 − DC y por (2) DB = DC, sustituimos, x x+2 5 = = x + 2 − DC x DC Usamos la u ´ltima parte de la igualdad, 5 x+2 5x = ⇒ DC = (∗) DC x x+2 por otro lado, x 5 = ⇒ x(DC) = 5(x + 2 − DC) x + 2 − DC DC ⇒ x(DC) = 5x + 10 − 5(DC) ⇒ x(DC) + 5(DC) = 5x + 10 ⇒ (DC)(x + 5) = 5(x + 2) ⇒ DC = 5(x + 2) (∗∗) x+5 Ahora igualando (*) y (**), 5(x + 2) 5(x + 2)2 5x = ⇒ x(x + 5) = x+2 x+5 5 ⇒ x2 + 5x = x2 + 4x + 4 ⇒ x2 − x2 + 5x − 4x = 4 ⇒ x = 4 Por lo tanto, AB = x = 4 y AC = x + 2 = 6. 5. Tres hombres con sus esposas quieren cruzar el r´ıo en un bote en el que s´olo caben dos personas al mismo tiempo. Como los maridos son muy celosos, ninguna mujer puede quedarse en compan´ıa de un hombre a menos que su esposo est´e presente. ¿Pueden cruzar el r´ıo en menos de 8 viajes? Sol. Independientemente de los celos, veamos si es posible que 6 personas vayan de un lado del r´ıo al otro en a lo m´as 8 viajes. Primer viaje van dos personas, se queda una y la otra hace un viaje de regreso. As´ı tienen que hacer otros 3 viajes (ida y regreso). Hasta este punto hay 4 personas del otro lado del rio. Y se necesita un u ´ltimo viaje para que las ultimas dos personas 5 crucen. En total fueron 9 viajes no importando quien iba con qui´en. Entonces no se puede cruzar el r´ıo en menos de 8 viajes. 6. Irune orden´o sus mu˜ necos: Kuro no est´a junto Pelu, ni Pelu junto a Teddy, y entre Luna y Pelu hay un mu˜ neco. Si Tigre es el segundo mu˜ neco de izquierda a derecha, ¿qu´e lugar ocupa Pelu? Sol. Supongamos que el orden, de izquierda a derecha, es Kuro, Tigre, Pelu, entonces ya no podemos colocar ni a Teddy, ni a Luna. An´alogamente, si el orden fuera Kuro, Tigre, Luna, no podr´ıamos colocar ni a Teddy, ni a Pelu. Si el orden fuera Pelu, Tigre, Luna, en el cuarto lugar puede ir Kuro y en el quinto Teddy, o viceversa. Si iniciamos con Luna Tigre, Pelu, tampoco podemos colocar a Teddy ni a Kuro. Por lo tanto, el primer mu˜ neco es Pelu. 7. Definimos la operaci´on ∗ como A∗B = A + 2B 3 ¿Cu´al es el valor de [(4 ∗ 7) ∗ 8] − [4 ∗ (7 ∗ 8)]? 4+2(7) = 18 = 6 y 3 3 4+2 23 23 3 4 ∗ 3 = 3 = 58 . 9 Sol. Haciendo las operaciones, obtenemos que: 4 ∗ 7 = = 23 . Similarmente, 6 ∗ 8 = 6+2(8) = 7 ∗ 8 = 7+2(8) 3 3 3 8 Por lo tanto, [(4 ∗ 7) ∗ 8] − [4 ∗ (7 ∗ 8)] = 9 . 22 3 y 8. Mario guarda estampas en una caja. Un d´ıa cuenta 15 estampas y a partir de ese d´ıa: cada d´ıa pone 10 estampas m´as en la caja, cada 4 d´ıas saca 3 estampas y se las regala a Pedro, cada 8 d´ıas saca, adem´as, 1 estampa y se la regala a Juan. ¿Despu´es de cu´antos d´ıas habr´a 2006 estampas en la caja? Sol. Despu´es de cuatro d´ıas, habr´a 37 estampas m´as en la caja y despu´es de cuatro d´ıas habr´a 36 estampas de m´as en la caja. Es decir, cada 8 d´ıas el n´ umero de estampas en la caja habr´a aumentado en 73. Lo que queremos es llegar a 2006 estampas, es decir, aumentar 1991 estampas a las 15 que tiene 6 Mario al inicio. Si dividimos 1991 entre 73, el resultado es 27 y deja residuo 20. Por lo que despu´es de 27×8+2 = 218 d´ıas habr´a 2006 estampas en la caja. 9. Luis, Carlos, Bruno y David se reparten 2011 dulces de la siguiente manera: el primero, Luis, toma 12 dulces, el segundo Carlos, 22 dulces, Bruno toma 32 , David 42 , Luis 52 , etc. Si no hay suficientes dulces para que la persona tome el cuadrado, entonces toma 12 y la secuencia se vuelve a repetir. ¿Qui´en toma el u ´ltimo dulce? Sol. Vamos a utilizar que la suma de los primeros n cuadrados es 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Luego, buscamos el mayor n´ umero n, tal que que para n = 17 obtenemos, n(n+1)(2n+1) 6 ≤ 2011. Observemos 12 + 22 + 32 + ... + 172 = 1785. Si aumentamos 182 = 324, tenemos que 1785 + 324 > 20011. Luego, despu´es de 17 turnos, empieza la sucesi´on nuevamente. Ahora vemos que 12 + 22 + ... + 82 = 204, por lo cual 1785 + 204 = 1989, por lo que nos faltan 17 dulces para 2006. Finalmente tenemos que 12 + 22 + 32 = 14, lo que nos da 1989 + 14 = 2003 y s´olo restan 8 dulces. Hasta este momento han pasado 17 + 8 + 3 = 28 turnos, luego el siguiente turno le corresponde a Luis que escoge 12 = 1, Carlos toma 22 = 4 dulces y, ahora solo quedan 3 dulces, le tocas a Bruno tomar 11 = 1, despu´es David toma 11 = 1, y finalmente, Luis toma el u ´ltimo dulce. 10. La esposa de Juan ronda los 40 a˜ nos. Si escribes tres veces seguidas la edad de Juan se obtiene un n´ umero que es producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus 4 hijos. ¿Qu´e edad tiene su hijo mayor? Sol. Denotemos la edad de Juan por ab. Entonces tenemos que: ababab = 1000ab + 100ab + ab = 10101ab 7 = (1 × 3 × 7 × 13 × 37)ab Por lo tanto, el hijo mayor de Juan tiene 13 a˜ nos. 8