Resumen (un Avance) - U

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´ Resumen y bit´acora. Algebra y Geometr´ıa I, Oto˜no 2011. Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Sergio Mu˜ noz Contenidos propuestos N´ umeros Enteros y estructuras algebraicas. Buen Orden en los naturales. Teorema de la divisi´ on. Divisibilidad. M´ aximo com´ un divisor. Algoritmo de la divisi´on. Introducci´on a las ecuaciones lineales con soluciones enteras (diof´antinas). Primos relativos. Inducci´on. Primos y Teorema Fundamental de la Aritm´etica. Congruencias y anillos de enteros bajo m´odulo. Conceptos algebraicos de grupo abeliano, anillo conmutativo y cuerpo. Sumatorias y sucesiones. Definici´on recursiva de sumatoria. Propiedades. Progresiones aritm´eticas y geom´etricas. Media aritm´etica y geom´etrica. Permutaciones, coeficiente binomial. Teorema del binomio. Trigonometr´ıa. Funciones trigonom´etricas. Periodicidad. Identidades b´asicas. Identidades de ´angulos compuestos. Prostaf´eresis. Relaciones en el tri´angulo. Teoremas del seno y del coseno. Funciones trigonom´etricas inversas. Ecuaciones trigonom´etricas. N´ umeros complejos y geometr´ıa plana. Cuerpo de los n´ umeros complejos. Conjugado y m´odulo. Plano complejos. Distancia y pendiente entre puntos. Rectas y ecuaciones afines. Caracterizaci´ on algebraica de ´ angulo entre rectas, paralelismo y perpendicularidad. Distancia de punto a recta. Ecuaciones param´etricas. Forma trigonom´etrica (polar) de los complejos. F´ormula de De Moivre. Ra´ıces de complejos. Rotaciones y traslaciones en el plano complejo. C´ onicas. Definici´ on de c´ onica v´ıa excentricidad en el plano complejo. Ecuaci´on general de segundo grado en dos variables. Circunferencia, elipse, par´abola e hip´erbola. Polinomios. Anillo de los polinomios sobre un cuerpo. Divisibilidad y Teorema de la divisi´ on. Ra´ıces, teoremas del Resto y del Factor. M´aximo Com´ un Divisor. Polinomios irreducibles. Fracciones parciales. 1 Sergio Mu˜ noz ´Indice 1. N´ umeros enteros y estructuras algebraicas 1.1. Principio del Buen Orden y divisibilidad . . . . 1.2. M´aximo Com´ un divisor . . . . . . . . . . . . . 1.3. Principios de Inducci´ on . . . . . . . . . . . . . 1.4. N´ umeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.5. Gu´ıa 1. Algebra y Geometr´ıa I MF. . . . . . . . 1.6. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Enteros residuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Relaciones de equivalencia y particiones. 1.7.2. Clases residuales. . . . . . . . . . . . . . 1.8. Cuerpo de cocientes . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.9. Gu´ıa 2. Algebra y Geometr´ıa I MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 7 8 9 11 12 12 13 15 16 2. Sumatorias, progresiones y binomio 2.1. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Progresiones . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Teorema del Binomio . . . . . . . . . ´ 2.4. Gu´ıa 3. Algebra y Geometr´ıa I MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 22 23 24 3. Trigonometr´ıa 3.1. Radianes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Funciones trigonom´etricas . . . . . . 3.3. Funciones trigonom´etricas inversas . 3.4. Ecuaciones trigonom´etricas . . . . . 3.5. Tri´angulos generales . . . . . . . . . ´ 3.6. Gu´ıa 4. Algebra y Geometr´ıa I MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 29 30 31 32 33 . . . . . . 38 38 39 39 40 41 43 4. N´ umeros complejos 4.1. Definici´ on y propiedades b´ asicas . . 4.2. Forma polar de un complejo . . . . . 4.2.1. Coordenadas polares . . . . . 4.2.2. Forma polar de los complejos. 4.3. Potencias y ra´ıces de complejos . . . ´ 4.4. Gu´ıa 5. Algebra y Geometr´ıa I MF. . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sergio Mu˜ noz 1. N´ umeros enteros y estructuras algebraicas En esta secci´ on trabajaremos con el conjunto Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .} de los n´ umeros enteros. Asumiremos provisoriamente conocidas las siguientes propiedades b´asicas de la suma, el producto y el orden entre n´ umeros enteros, y sus consecuencias m´as inmediatas: 1. La suma y el producto de enteros es un entero. 2. La suma y el producto de enteros es conmutativa. 3. La suma y el producto de eneteros es asociativa. 4. El entero 0 es el neutro de la suma. 5. El entero 1 es el neutro del producto. 6. Cada entero tiene un inverso aditivo, que sumado con ´el da 0. 7. Todo par de n´ umeros enteros distintos a y b cumple una, y s´olo una de las relaciones a < b o bien b < a. 8. Si a, b y c son enteros que cumplen a < b y b < c, entonces se cumple a < c. 9. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d 10. Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces 0 ≤ ac < cd. 11. La suma y el producto de enteros positivos es un entero positivo. 12. No hay divisores de cero (cero no es producto de enteros distintos de cero) El conjunto de los enteros positivos, Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, es llamado habitualmente conjunto de los n´ umeros naturales y denotado por N. El conjunto de los enteros no negativos es Z+ 0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . .}. 1.1. Principio del Buen Orden y divisibilidad El Principio del Buen Orden establece una caracter´ıstica fundamental de los n´ umeros enteros positivos, pero que en instancias elementales no es considerada. La raz´on de ello es que en instancias b´asicas rara vez se necesitan argumentaciones que justifiquen la validez de afirmaciones para conjuntos infinitos de n´ umeros enteros positivos, salvo las propiedades listadas anteriormente y sus consecuencias. Por ejemplo, considere qu´e se necesita para justificar que para todo n´ umero entero positivo n y todo n´ umero real α que sea mayor que −1 se cumple la desigualdad (1 + α)n ≥ 1 + nα. Esa desigualdad no se justifica verificando cada caso, ya que los n´ umeros enteros involucrados son infinitos. Tampoco es inmediata de justificar en base a las propiedades de suma, producto y orden, 3 Sergio Mu˜ noz sin mediar alguna t´ecnica argumental que la haga valedera para todo entero positivo. El PBO y sus consecuencias son algunas de tales piezas argumentales. Otro ejemplo es la afirmaci´ on de que para todo entero positivo n se cumple que (32n+2 − 2n+1 ) es m´ ultiplo entero de 7 (esto es, tal expresi´on es igual a 7 multiplicado por otro n´ umero entero) Necesitamos una noci´ on especial para enunciar el PBO: Definici´ on 1. Un subconjunto A no vac´ıo de Z tiene un menor elemento (o elemento minimal) m si m pertenece al conjunto A y todo otro elemento de A es mayor que m. Se puede decir que m es el menor elemento de un conjunto A de enteros positivos si se cumple ∀x ∈ A (m ≤ x). Principio del Buen Orden (PBO) Todo subconjunto no vac´ıo de enteros positivos tiene un menor elemento. Ejemplo 1. Demostrar que no existe ning´ un entero positivo m que cumpla 0 < m < 1. Dem: Supongamos que la afirmaci´ on no es cierta. Debiera existir un entero positivo m que cumpla 0 < 1 < m. Entonces el conjunto A := {x ∈ Z+ : 0 < x < 1} es no vac´ıo y es subconjunto de Z+ , por lo que PBO asegura la existencia de un menor elemento m0 en A. Pero entonces 0 < m0 < 1 y por propiedades de orden obtenemos 0 < (m0 )2 < m0 < 1, es decir, (m0 )2 ∈ A y es menor que el menor elemento de A, lo que es una contradicci´ on. Obtener una contradicci´ on al suponer que una afirmaci´ on es falsa obliga que es afirmaci´ on sea verdadera, lo que completa la argumentaci´ on. QED. Una consecuencia importante de PBO es que dados dos n´ umeros enteros positivos a y b se cumple que cualquiera de ellos se puede escribir como un m´ ultiplo del otro sumando un entero no negativo m´as peque˜ no que el segundo. Teorema 2 (Algoritmo de la Divisi´ on o Teorema de la Divisi´on). Sean a y b enteros positivos. Entonces existen enteros no negativos q y r tales que b = aq + r y 0 ≤ r < a El entero q es llamado cociente de la divisi´ on de b por a, y el entero r es llamado resto de la divisi´ on de b por a. Hasta aqu´ı la clase del: 11 marzo Tales cociente y resto son u ´nicos para cada par de enteros positivos, distinguiendo el orden entre ellos. Para justificar esa unicidad, usaremos uno de los conceptos centrales en el estudio de los n´ umeros enteros, el concepto de divisibilidad: Definici´ on 2 (Divisibilidad). Se dice que un entero a divide a un entero b cuando existe un entero k tal que b = ak. Se denota por a | b a la afirmaci´ on de que a divide (como enteros) a b. No confunda con el objeto ya que a | b es una afirmaci´ on, una proposici´on l´ogica que para a y b concretos es verdadera o falsa, mientras que ab denota un n´ umero, no una afirmaci´on. Tambi´en se dice que a | b es una relaci´on entre los n´ umeros enteros a y b. Note que divisibilidad es aplicable a todos los enteros, no s´olo a enteros positivos o no negativos. b a, 4 Sergio Mu˜ noz Cuando no es cierto que a | b, anotamos a - b. B´asicamente estamos diciendo que el resto de la divisi´on de b por a es cero, pero a´ un no extendemos el Algoritmo de la Divisi´ on a todos los enteros. Algunas propiedades de la divisibilidad: Propiedad 3. Para todos a, b y c enteros se cumplen: 1. a | a. 2. Si a | b y b | c, entonces a | c. 3. Si a | b y a | c, entonces para todos x e y enteros, se cumple a | (bx + cy) ((bx + cy) se llama “combinaci´ on lineal entera” de b y c). 4. Si a > 0 y b > 0 y a | b, entonces a ≤ b. 5. a | 0. 6. 0 | a s´ olo cuando a = 0. Corolario 4. Dados a y b enteros, cociente y resto de la divisi´ on de b por a son u ´nicos. Necesitaremos con cierta frecuencia trabajar con el valor absoluto de los n´ umeros enteros: Definici´ on 3 (Valor Absoluto). Para cada n´ umero entero a definimos su valor absoluto |a| como ( a si a ≥ 0 |a| := −a si a < 0 Podemos extender el Algoritmo de la Divisi´on a todo Z (salvo el divisor, que no debe ser cero) Corolario 5. Sean a y b en Z con a 6= 0. Entonces existen u ´nicos enteros q y r tales que b = aq + r y 0 ≤ r < |a| Hasta aqu´ı la clase del: 14 marzo 2011 1.2. M´ aximo Com´ un divisor Teorema 6. Para cada par de enteros positivos a y b, existe un u ´nico entero positivo D que cumple las dos afirmaciones siguientes: 1. D | a y D | b 2. Si c es un entero positivo que cumple c | a y c | b, entonces c | D (en particular c ≤ D) Definici´ on 4 (MCD). El m´ aximo com´ un divisor de dos enteros positivos a y b, denotado M CD(a, b), es el entero u ´nico D que cumple las afirmaciones 1 y 2 del Teorema 6. El Teorema 6 asegura que siempre existe y es u ´nico el M´aximo Com´ un Divisor de dos n´ umeros enteros positivos. Debe ser claro a partir de la definici´on que M CD(a, b) = M CD(b, a) donde a y b son enteros positivos. 5 Sergio Mu˜ noz Corolario 7. Para cada par de enteros positivos a y b, M CD(a, b) es el menor entero positivo que es combinaci´ on lineal entera de a y b Lema 8. Sean a, b, c, d enteros positivos. Si a = bc + d, entonces M CD(a, b) = M CD(b, d) El lema anterior permite encontrar el m´aximo com´ un divisor usando el Algoritmo de Euclides: Teorema 9 (Algoritmo de Euclides). Para cada par de enteros positivos se cumple una de las siguentes afirmaciones: 1. a | b y M CD(a, b) = a 2. b | a y M CD(a, b) = b 3. a - b, b - a y existen n ∈ N y dos secuencias de enteros: {q1 , q2 , . . . , qn , qn+1 } y {r1 , r2 , . . . , rn } tales que M CD(a, b) = rn y se cumplen: b = aq1 + r1 (0 < r1 < a) a = r1 q2 + r2 (0 < r2 < r1 ) r1 = r2 q3 + r3 .. . (0 < r3 < r2 ) rn−2 = rn−1 qn + rn (0 < rn < rn−1 ) rn−1 = rn qn+1 El Algoritmo de Euclides provee de un m´etodo para detemrminar el MCD entre dos n´ umeros, y tambi´en para escribir MCD de dos n´ umeros como combinaci´on lineal entera de ellos. Definici´ on 5 (Primos relativos). Se dice que dos enteros positivos a y b son primos relativos cuando su M´ aximo Com´ un Divisor es 1. Teorema 10 (Teorema de primos relativos). Sean a y b primos relativos (en particular deben ser enteros positivos). Entonces para cualquier entero c se cumple: 1. Si a | (b · c), entonces a | c. 2. Si a | c y b | c entonces (a · b) | c. Hasta aqu´ı la clase del: 21 marzo 2011 Note que podemos definir MCD para negativos del siguiente modo: si {a, b} ⊂ Z− , definimos M CD(a, b) := M CD(|a, |, |b|). De todos modos, MCD debe ser un entero positivo. Considere por qu´e no podemos definir MCD para todo par de enteros. . . Vamos a aplicar las materias vistas a ecuaciones diofantinas o diof´anticas (Diofanto, Alejandr´ıa, Egipto 250 d.c. aproximadamente) Definici´ on 6. Una ecuaci´ on diofantinas (lineal de primer grado en dos variables) es una ecuaci´ on del tipo ax + by = c donde {a, b, c} ⊂ Z − {0} y donde se busca determinar el conjunto de soluciones enteras {(x, y) ∈ Z2 / ax + by = c} 6 Sergio Mu˜ noz Primero caracterizamos la existencia de soluciones: Teorema 11. Si {a, b, c} ⊂ Z−{0}, entonces ax+by = c tiene soluciones enteras ssi M CD(a, b) | c Note que si ax + by = c con {a, b, c} ⊂ Z − {0} tiene soluci´on, entonces tiene las mismas soluciones que dx + ey = f , donde a = d · M CD(a, b), b = e · M CD(a, b) y c = f · M CD(a, b). Ello quiere decir que simplificamos la ecuaci´on diofantina antes de trabajar con ella. Podemos asumir que las ecuaciones diofantinas que tienen soluci´on siempre se pueden escribir como ax + by = c con {a, b, c} ⊂ Z − {0} y M CD(a, b) = 1, usando la simplificaci´on anterior.
Note adem´ as que si d = M CD(a, b), con {a, b} ⊂ Z, entonces { ad , db } ⊂ Z y M CD ad , db = 1. Ahora podemos caracterizar completamente las soluciones enteras de ecuaciones diofantinas que tienen solci´on y han sido simplificadas: Teorema 12. {a, b, c} ⊂ Z − {0}, M CD(a, b) = 1 y {p, q} ⊂ Z cumple ap + bq = c, entonces para todo {x, y} ⊂ Z se cumple: ax + by = c ⇔ ∃k ∈ Z(x = p + kb ∧ y = q − ka) 1.3. Principios de Inducci´ on Teorema 13 (Inducci´ on simple). Si A ⊆ N y se cumplen: 1. 1 ∈ A 2. ∀n ∈ N (n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A) Entonces A = N El teorema se reenuncia de manera habitual usando que si A = {n ∈ N / α(n)} entonces ∀n ∈ N (n ∈ A ⇔ α(n)), quedando del siguiente modo: “ Si α(1) y ∀n ∈ N (α(n) ⇒ α(n + 1)), entonces ∀n ∈ N (α(n))” Hasta aqu´ı la clase del: 23 marzo 2011 Teorema 14 (Inducci´ on general desde m). Si para m ∈ N fijo y A ⊆ {n ∈ N / n ≥ m} se cumplen: 1. m ∈ A 2. ∀n ∈ N n ≥ m ⇒ (n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A)
Entonces A = {n ∈ N / n ≥ m} Reformule por s´ı mismo para enunciar Inducci´on general en t´erminos de una proposici´on α(n) para n ∈ N y n ≥ m. Teorema 15 (Inducci´ on fuerte). Si para m ∈ N fijo y A ⊆ {n ∈ N / n ≥ m} se cumplen: 1. m ∈ A 2. ∀n ∈ N ∀k ∈ N(m ≤ k < n ⇒ k ∈ A) ⇒ n ∈ A
Entonces A = {n ∈ N / n ≥ m} Se reformula Inducci´ on fuerte diciendo que si m ∈ A y ∀n ≥ m ({m, . . . , n − 1} ⊆ A ⇒ n ∈ A). Reformule usted mismo en t´erminos de una proposici´on α(n) para n ∈ N y n ≥ m. Hasta aqu´ı la clase del: 25 marzo 2011 7 Sergio Mu˜ noz 1.4. N´ umeros Primos Definici´ on 7 (N´ umero primo). Diremos
que un entero positivo es un n´ umero primo si es mayor que 1 y ∀x ∈ Z+ x | p ⇒ (x = 1 ∨ x = p) . Los enteros distintos de 0 y de ±1 que no son primos son llamados compuestos. Teorema 16. Sea p un n´ umero primo. Si {a, b} ⊂ Z son tales que p | (a · b), entonces (p | a ∨ p | b). Corolario 17. Si p es un n´ umero primo y p | (a1 ·a2 · · · an ), donde n ∈ N y {a1 , a2 , . . . an } ⊂ Z−{0}, entonces existe j ∈ {i ∈ N / j ≤ n} tal que p | aj . (Es decir, si un primo divide a un producto de enteros no nulos, debe dividir a alguno de ellos) Teorema 18 (Teorema Fundamental de la Aritm´etica). Todo entero mayor que 1 se escribe de manera u ´nica como pα1 1 · pα2 2 · · · pαnn donde n ∈ N, p1 , p2 , . . . pn son n primos distintos entre s´ı y en orden creciente, y donde {α1 , α2 , . . . αn } ⊆ N. Teorema 19 (Infinitud de los primos). Existen infinitos n´ umeros primos. Hasta aqu´ı la clase del: 28 marzo 2011 8 Sergio Mu˜ noz 1.5. ´ Gu´ıa 1. Algebra y Geometr´ıa I MF. Principio del buen orden 1. Determine cuales de los siguientes conjuntos pueden ser “bien ordenados”: a) Los enteros pares mayores que −123 c) El conjunto vac´ıo ∅ b) Los enteros mayores que −3 d ) El conjunto Q 2. Sea A ⊆ Z+ donde Z+ es el conjunto de los enteros positivos. Un elemento m ∈ Z se denomina cota superior de A si todo elemento de A es menor o igual a m. Un elemento maximal o un m´ aximo de A es una cota superior de A que pertenece a A. Demuestre que todo subconjunto no vac´ıo de Z+ que tiene alguna cota superior, tiene tambi´en un elemento maximal. 3. De forma an´ aloga al ejercicio anterior, defina cota inferior y elemento minimal para subconjuntos de Z. Enuncie y demuestre el an´alogo de la afirmaci´on del ejercicio anterior. 4. Determine un subconjunto de Q que sea acotado superiormente pero que no tenga un elemento maximal (d´e las definiciones correspondientes para Q de las definiciones de los dos ejercicios previos) Divisibilidad de enteros y algoritmo de Euclides 5. Para los enteros a, b y c demuestre: a) b) c) d) e) Si a | b y a | c entonces para todos m y n enteros a | (bn + cm) a|a a | ab Si a | b y b | c, entonces a | c Si a | b y b | a entonces a = ±b f ) Si a | (b + c) y a | b entonces a | c 6. Determine si existen enteros a, b y c tales que a | bc pero a - b y a - c 7. Determine si existen enteros a, b y c tales que a | c, b | c pero ab - c 8. Determine cociente y resto de la divisi´on entera: a) 2345 por 12 b) 123456 por 23 c) 2335 por 22 d ) -2335 por -22 e) -2335 por 22 9. Demuestre para a y b son enteros positivos, que si d = M CD(a, b) entonces M CD a b d, d
=1 10. Defina M´ınimo Com´ un M´ ultiplo (MCM) y demuestre que para a y b enteros se cumple M CM (|a|, |b|) · M CD(|a|, |b|) = |a · b| 11. Sean a, b y c enteros positivos. Pruebe: 9 Sergio Mu˜ noz a) Si a y b son primos relativos, entonces b y (a + bc) son primos relativos. b) Si a y c son primos relativos, y b y c son primos relativos, entonces ab y c son primos relativos. 12. Encuentre todas las soluciones positivas de 6x + 15y = 51 13. Demuestre usando la definici´ on de MCD y las propiedades de divisibilidad, que para todo par de enteros positivos a y b se cumple: M CD(M CD(a, b), b) = M CD(a, b) 14. Demuestre que si a y b enteros y la ecuaci´on x2 + ax + b = 0 admite a un n´ umero entero n por soluci´ on, entonces n|b. (ni piense en resolver la cuadr´atica. . . ) 15. Determine c´ omo medir exactamente 8 litros de agua si dispone de dos recipientes que permiten medir 12 y 17 litros de agua cada uno, y una gran piscina donde deben quedar los 8 litros. 16. Si a, b y c son enteros con a y c primos relativos y existen x e y enteros con bx + cy = 1, demuestre que ab y c son primos relativos. 17. Demuestre que si n es compuesto entonces 2n − 1 es compuesto, pero que el rec´ıproco no es cierto. 10 Sergio Mu˜ noz 1.6. Congruencias. Definici´ on 8 (Congruencia). Sea m ∈ Z+ on ser congruente m´odulo m del 0 fijo. Definimos la relaci´ siguiente modo: Para cada {a, b} ⊆ Z diremos que “a es congruente con b m´ odulo m” ssi m | (a − b) En tal caso, la relaci´ on la denotamos por a ≡ b (m)
Note que si m = 0, entonces ∀a, b ∈ Z a ≡ b (0) ⇔ a = b , es decir, s´olo relaciona a cada entero consigo mismo.
Por otra parte, si m = 1 entonces ∀a, b ∈ Z a ≡ b (1) , es decir, relaciona cada entero con cualquier otro. En congruencias consideramos triviales (poco significativos) los casos de congruencia m´odulo m cuando m ∈ {0, 1} Propiedad 20. Sea m ∈ Z t.q. m > 1. Entonces la relaci´ on de congruencia m´ odulo m cumple, para todo {a, b, c, d} ⊆ Z: 1. (Refleja) a ≡ a (m) 2. (Sim´etrica) a ≡ b (m) ⇒ b ≡ a (m)
3. (Transitiva) a ≡ b (m) ∧ b ≡ c (m) ⇒ a ≡ c (m) 1 4. Si a ≡ b (m) y c ≡ d (m), entonces se cumplen: a) −a ≡ −b (m) b) a + c ≡ b + d (m) c) ac ≡ bd (m) 5. Si ab ≡ ac (m) con a 6= 0, entonces b ≡ c  m M CD(a,m)  Hasta aqu´ı la clase del: 30 marzo 2011 Corolario 21. Sean {a, b, m} ⊆ Z con m - a y m > 1 y sea n ∈ N. Si a ≡ b (m) entonces an ≡ bn (m). Teorema 22. Sean {a, b, m, x} ⊆ Z con m - a y m > 1. La ecuaci´ on ax ≡ b (m) tiene soluci´ on ssi M CD(a, m) | b. Teorema 23. Sean {a, b, m, x} ⊆ Z con m - a y m > 1. Si M CD(a, m) | b, entonces la ecuaci´ on ax ≡ b (m) tiene exactamente M CD(a, m) soluciones no congruentes entre s´ı, m´ odulo m. 1 Toda relaci´ on binaria que sea refleja, sim´etrica y transitiva se llama relaci´ on de equivalencia y diremos m´ as al respecto m´ as adelante 11 Sergio Mu˜ noz 1.7. 1.7.1. Enteros residuales. Relaciones de equivalencia y particiones. Una relaci´ on binaria entre elementos de un conjunto no vac´ıo A es un subconjunto de A × A. Los pares ordenados que pertenecen a la relaci´on indican cuales pares de elementos se relacionan. Para cada conjunto no vac´ıo A siempre hay tres relaciones binarias triviales: 1. ∅, donde no hay elementos relacionados, 2. A × A, donde cada elemento se relaciona con cada uno de los dem´as elementos de A, y 3. idA := {(x, x) ∈ A × A | x ∈ A} llamada diagonal de A o identidad en A, en que cada elemento se relaciona s´ olo consigo mismo. Definici´ on 9 (Relaci´ on de equivalencia). Sea A un conjunto no vac´ıo. Una relaci´ on binaria R entre elementos de A es una relaci´ on de equivalencia si cumple las siguientes condiciones:
1. (Refleja) ∀a ∈ A (a, a) ∈ R (es decir, idA ⊆ R)
2. (Sim´etrica) ∀a, b ∈ A (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R  
3. (Transitiva) ∀a, b, c ∈ A (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R Ejemplos de relaci´ on de equivalencia son las congruencias m´odulo m para cada m ∈ Z+ 0 , al definir para m la relaci´ on M odm := {(a, b) ∈ Z × Z | a ≡ b (m)}. Cuando m = 1, se tiene M od1 = Z × Z. Cuando m = 0, se tiene M od0 = idZ . Definici´ on 10 (Clases de equivalencia). Sea R una relaci´ on binaria entre elementos de un conjunto no vac´ıo A. Definimos para cada elemento a de A su clase de equivalencia bajo R, denotada [a]R , por: [a]R := {x ∈ A | (x, a) ∈ R} Por ejemplo, la clase de equivalencia de 0 bajo congruencia m´odulo 2 es el conjunto de los enteros pares. Definici´ on 11 (Partici´ on). Sea A un conjunto no vac´ıo. Una partici´on P de A es un subconjunto de P(A) que cumple las siguientes condiciones: 1. ∀x ∈ A ∃C ∈ P (x ∈ C) 2. ∀C, D ∈ P C ∩ D = ∅ ⇔ C 6= D
Una partici´ on, entonces, fragmenta al conjunto en partes disjuntas, sin perder elementos. Teorema 24. Sean A un conjunto no vac´ıo, R una relaci´ on de equivalencia en A, y P una partici´ on de A. Entonces: 1. El conjunto de clases de equivalencia de R determina una partici´ on de A: par(R) := {[x]R | x ∈ A} 12 Sergio Mu˜ noz 2. La partici´ on P determina una relaci´ on de equivalencia rel(P ) := {(a, b) ∈ A × A | ∃C ∈ P ({a, b} ⊆ C)} 3. R = rel par(R)
4. P = par rel(P )
Hasta aqu´ı la clase del: 4 abril 2011 En una clase de equivalencia [x]R , a x se le llama representante de clase. Entonces si (x, y) ∈ R, entonces x e y son representantes de la misma clase: [x]R = [y]R . 1.7.2. Clases residuales. Definici´ on 12 (Enteros residuales). Sean n ∈ Z+ 0 y R = {(x, y) ∈ Z × Z | x ≡ y (n)}. Definimos el conjunto de enteros residuales m´ odulo n, denotado Zn , por: Zn := {[x]R | x ∈ Z} En Zn definimos las operaciones suma y producto residuales por:
1. Suma residual m´ odulo n, denotada +n : ∀x, y ∈ Z [x]R +n [y]R := [x + y]R
2. Producto residual m´ odulo n, denotado ·n : ∀x, y ∈ Z [x]R ·n [y]R := [x · y]R Note que en [x]R +n [y]R := [x + y]R la suma “+” es la suma habitual en Z, y an´alogo en [x]R ·n [y]R := [x · y]R . Si no hay confusi´on, se usan + y · para suma y producto residuales. Un problema es que estamos haciendo operaciones sobre clases de equivalencia, haciendo referencia a operaciones con los representantes de clase para determinar el resultado de la operaci´ on en Zn . Un posible problema es que las operaciones est´en mal definidas, esto es, que el resultado sea distinto al usar representantes de clase distintos. Propiedad 25. Suma y producto en Zn est´ an bien definidos. Propiedad 26. Para todo entero n > 1 y todo entero a existe un u ´nico entero r t.q. 0 ≤ r < n y [a]R = [r]R donde R es la relaci´ on de congruencia m´ odulo n. Para cada entero n mayor que 1 y r un entero no negativo menor que n denotamos por r a [r]R , donde R es la relaci´ on de congruencia m´odulo n. Corolario 27. Si n es un entero mayor que 1, entonces Zn = {r ∈ Zn | r ∈ Z ∧ 0 ≤ r < n} y Zn tiene exactamente n elementos. El corolario anterior s´ olo traduce a enteros residuales que {[r]R ∈ Z | r ∈ Z ∧ 0 ≤ r < n} es un conjunto completo de representantes de clases de equivalencia de R, donde R es la relaci´ on de congruencia m´ odulo n. Los elementos mencionados en el corolario son los enteros residuales m´odulo n, y para distintos valores de n representan objetos distintos: 2 en Z3 es el objeto {3k + 2 | k ∈ Z} mientras que 2 en Z7 es el objeto {7k + 2 | k ∈ Z}. En particular, si {n, a, b} ⊆ Z con n > 1, y 0 ≤ a < n y 0 ≤ b < n, entonces a = b ssi a ≡ b (n). 13 Sergio Mu˜ noz Teorema 28. Sea n un entero mayor que 1. Entonces suma y producto en Zn cumplen las siguientes propiedades:
1. ∀ a, b ∈ Zn a + b ∈ Zn (Clausura de la suma)
2. ∀ a, b ∈ Zn a + b = b + a (Conmutatividad de la suma)
3. ∀ a, b, c ∈ Zn a + (b + c) = (a + b) + c (Asociatividad de la suma)
4. ∀ a ∈ Zn 0 + a = a (Neutro aditivo)
5. ∀ a ∈ Zn , ∃! b ∈ Zn , a + b = 0 (Inverso aditivo)
6. ∀ a, b ∈ Zn a · b ∈ Zn (Clausura del producto)
7. ∀ a, b ∈ Zn a · b = b · a (Conmutatividad del producto)
8. ∀ a, b, c ∈ Zn a · (b · c) = (a · b) · c (Asociatividad del producto)
9. ∀ a ∈ Zn 1 · a = a (Neutro del producto)
10. ∀ a, b, c ∈ Zn a · (b + c) = (b + c) · a = a · b + a · c (Distributividad y factorizaci´ on) 11. 0 6= 1 Un conjunto dotado de dos operaciones, “suma” y “producto”, es un anillo conmutativo con unidad si cumple con las propiedades listadas en el teorema anterior; la unidad es el neutro multiplicativo que habitualmente denotamos por 1, y con neutro aditivo que habitualmente denotamos por 0. Hasta aqu´ı la clase del: 6 abril 2011 Definici´ on 13. Sea (A, +, ·) un anillo conmutativo con unidad 1 y sea a ∈ A distinto del neutro aditivo. Entonces: 1. a es invertible ssi ∃b ∈ A (ab = 1)
2. a es divisor de cero ssi ∃b ∈ A b 6= 0 ∧ ab = 0 Se dice tambi´en que a “tiene inverso multiplicativo” para indicar que es invertible. Propiedad 29. Si n es un entero mayor que 1 y a ∈ Zn , entonces a es invertible ssi M V D(a, n) = 1 Corolario 30. Si n es primo, entonces todo elemento no nulo de Zn es invertible. Hasta aqu´ı la clase del: 8 abril 2011 Definici´ on 14. Un cuerpo (o campo) es un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento no nulo es invertible. Corolario 31. Si n es primo, entonces Zn es cuerpo. 14 Sergio Mu˜ noz Propiedad 32. En todo anillo conmutativo con unidad los elementos invertibles no son divisores de cero. Corolario 33. Si n es primo, entonces no hay divisores de cero en Zn . Propiedad 34. Si n es un entero mayor que 1 entonces para cada elemento no nulo a ∈ Zn se cumple: a es invertible ssi a no es divisor de cero. 1.8. Cuerpo de cocientes Sea (A, +, ·) un anillo conmutativo con unidad 1, neutro aditivo 0 y sin divisores de cero (un dominio de integridad ) 2 . Definimos la relaci´on R entre elementos de A × (A − {0}) del siguiente modo: (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc Note que (a, b) ∈ A × (A − {0}) ssi a ∈ A y b ∈ A con b 6= 0 Propiedad 35. La relaci´ on R definida arriba es relaci´ on de equivalencia. Definamos el cociente A/R como el conjunto de clases de equivalencia de la relaci´on R, esto es,  A/R := [(a, b)]R | {a, b} ⊆ A ∧ b 6= 0 En A/R definimos suma ⊕ y producto ⊗ por: 1. [(a, b)]R ⊗ [(c, d)]R := [(ac, bd)]R 2. [(a, b)]R ⊕ [(c, d)]R := [(ad + bc, bd)]R Se demuestra que suma y producto est´an bien definidos, esto es, las operaciones entre clases no dependen de los representantes de clase. Teorema 36. Si A es anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero, entonces A/R es un cuerpo. A/R es el cuerpo de cocientes de A, y en el caso de Z su cuerpo de cocientes es Q, notando que [(a, b)]R se escribe como ab en Q. Se pueden demostrar todas las propiedades de Q, como simplificaci´on de fracciones y dem´ as. 2 En Zn ello significar´ıa que todo elemento es invertible, pero no es as´ı en general: Z no tiene divisores de cero, pero sus u ´nicos invertibles son 1 y −1. 15 Sergio Mu˜ noz Hasta aqu´ı la clase del: 13 abril 2011 1.9. ´ Gu´ıa 2. Algebra y Geometr´ıa I MF. Inducci´ on matem´ atica 1. Pruebe por inducci´ on para todo entero positivo n: n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) b) 12 +22 +32 +· · ·+n2 = 6   n(n + 1) 2 3 3 3 3 c) 1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 a) 1 + 2 + 3 + · · · + n = d ) 5n3 + 7n es divisible por 6 e) n3 + 2n es divisible por 3 f ) 72n + 16n − 1 es divisible por 64 g) 52(n+1) − 24n − 25 es divisible por 576 h) Si h > −1, entonces (1 + h)n ≥ 1 + nh (desigualdad de Bernoulli) i ) 2n−1 < n! para n > 2 j ) 2n > n k ) 24 divide a n(n2 − 1) cuando n es impar 1 1 1 5 l) + + ··· + ≤ n+1 n+2 n + (n + 1) 6 m) (32n − 1) es divisible por 8 2. Suponga que tenemos infinitos n´ umeros a1 , a2 , a3 , . . ., uno por cada entero positivo (una sucesi´ on), definidos por las reglas: a1 = 7, a2 = 17 y para n ≥ 3 se tiene an = 5an−1 − 6an−2 Pruebe por inducci´ on que para todo entero positivo n se cumple an = 2n+1 + 3n . 3. Si se sabe que 4 = 3 3 3n+1 − 3 3 = a1 + = a2 + = · · · , pruebe que an = n+1 . a1 a2 a3 3 −1 4. Haga una demostraci´ on del Principio del Buen Orden usando como hip´otesis el Principio de Inducci´ on. Esto NO depende de que en clase se haya probado en la otra direcci´on; simplemente ocurre que ambos Principios son equivalentes, esto es, ambos son ciertos o ambos son falsos simult´ aneamente. 5. Dada la afirmaci´ on “para todo n ∈ N, 6 divide a (5n3 + 7n)”: a) Demu´estrela por Inducci´ on, demostrando primero que para todo n ∈ N : n(n + 1) es par. b) Independiente de lo anterior, dem´ uestrela directamente usando Principio del Buen Orden (Sugerencia: demuestre por contradicci´on y cree un conjunto adecuado para usar PBO) 6. Demuestre que la suma de los ´ angulos interiores de un pol´ıgono de n lados es 180(n − 2) 7. El plano est´ a dividido en regiones mediante l´ıneas rectas. Demuestre que siempre es posible colorear las regiones usando dos colores de manera que regiones adyacentes tengan colores distintos (como en un tablero de ajedrez). 8. Una triangulaci´ on de un pol´ıgono es una partici´on de ´este en tri´angulos cuyos v´ertices son todos v´ertices del pol´ıgono original. Diremos que dos v´ertices son adyacentes si est´an conectados por una arista de un tri´ angulo. Se desea colorear los v´ertices del pol´ıgono de manera 16 Sergio Mu˜ noz que v´ertices adyacentes tengan colores diferentes. Demuestre que el menor n´ umero de colores necesarios para lograrlo siempre es tres. 9. Demuestre usando inducci´ on que el producto de 3 enteros consecutivos es siempre divisible por 6. (Una demostraci´ on directa podr´ıa ser m´as sencilla pero no es lo que se pide aqu´ı) 10. Demuestre que      1 3 2n − 1 1 ... ≤√ 2 4 2n 3n + 1 11. Sea x un n´ umero real tal que x + x−1 es un n´ umero entero. Demuestre que xn + x−n es un entero para todo n entero positivo. 12. Demuestre que el n´ umero de subconjuntos de un conjunto con n elementos es 2n . Factorizaci´ on de enteros 1. Encuentre el entero positivo m´ as peque˜ no que sea divisible por 2 y 3 y que sea a la vez un cuadrado y una quinta potencia. 2. Demuestre que todo entero positivo mayor que 1 es divisible por al menos un n´ umero primo. 3. Demuestre que todo entero positivo compuesto n tiene entre sus divisores a un primo p tal que p2 ≤ n. 4. Descomponga 34560 en factores primos. 5. Pruebe que la descomposici´ on prima del cuadrado de un entero positivo tiene s´olo exponentes pares positivos. 6. Si p es primo y p|a7 , donde a es un entero, entonces p5 |a5 . Congruencias 1. Determine la veracidad o falsedad de las afirmaciones siguientes: a) 8 ≡ 48 (14) c) 32 ≡ 7 (5) e) 992 ≡ −7 (9) b) 3 ≡ −3 (2) d ) −8 ≡ 48 (14) f ) 73 ≡ 1 (7) 2. Analice a ≡ b (1) y a ≡ b (0). 3. Pruebe que todo primo mayor que 2 NO es congruente con 0 ni 2 m´odulo 4. 4. Pruebe que todo primo mayor que 3 NO es congruente con 0, 2, 3 ni 4 m´odulo 6. 5. Demuestre los siguientes “criterios de divisibilidad” donde n es un entero positivo: 17 Sergio Mu˜ noz a) 3|n cuando la suma de las cifras de n es divisible por 3 b) 9|n cuando la suma de las cifras de n es divisible por 9 c) 11|n cuando la suma de las cifras de n de posici´on impar, comenzando por las unidades, menos la suma de las cifras de n de posici´on par, es divisible por 11. 6. Deduzca un criterio de divisibilidad por 25. 7. Demuestre que para todo n ∈ N y todo entero a se cumple: a ≡ 0 (n) ocurre exactamente cuando n|a. 8. Demuestre que para cada n ∈ Z+ on a ∼ b dada por a ≡ b (n) es relaci´ on de 0 la relaci´ equivalencia, esto es, para todos a, b y c enteros: a) a ∼ a b) a ∼ b implica b ∼ a c) a ∼ b y b ∼ c implican a∼c 9. Demuestre que para todos a, b, c, d y g enteros y para n entero positivo, si se tienen a ≡ b (n) y c ≡ d (n), entonces tambi´en se cumplen: c) ag ≡ bg (n) a) (a + c) ≡ (b + d) (n) b) ac ≡ bd (n) 10. Pruebe que para todo n ∈ N (n + 7)2 ≡ 49 (n) 11. Determine todos los n ∈ N que cumplen 1848 ≡ 1914 (n). 12. Justifique que 1518342 ≡ 1 (7). 13. Determine el resto de la divisi´ on de 712 por 11. 14. Para las siguientes ecuaciones, determine TODAS las soluciones distintas bajo el m´ odulo indicado, justificando antes si existen o no: a) 3x ≡ 1 (4) c) 3(x − 8) ≡ 18 − x (10) b) 4x ≡ 2 (6) d ) 42x ≡ 50 (76) 15. Describa la clase de equivalencia m´odulo 5 de 3 y la de 43, es decir, para 3 determine una buena descripci´ on de los elementos del conjunto [3]5 := {x ∈ Z : x ≡ 3 (5)}, y lo mismo para [43]5 . Estas clases de equivalencia se denominan tambi´en clases residuales m´ odulo 5. 16. Para cada x ∈ Z determine [x]1 , y determine [x]0 . 17. Pruebe que no hay un n´ umero que sea el cuadrado de un entero que tenga como u ´ltimo d´ıgito a 2, 3 u 8 (piense en congruencias m´odulo 10) 18. Pruebe que la resta de los cubos de dos enteros consecutivos nunca es m´ ultiplo de 3. 19. Determine Z0 y Z1 y sus operaciones. 18 Sergio Mu˜ noz 20. Escriba las tablas de suma y producto de en Zn para n = 4 y para n = 5 21. Demuestre que para cada entero positivo n, y enteros a, b y c de Zn se cumplen: a) b) c) d) e) a ∗ b = b ∗ a a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a+0=a a+n−a=0 f ) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c g) a ∗ 1 = a 22. Determine si existen y cuales son, en tal caso, los inversos multiplicativos de 6 y 15 en Z20 23. Determine todos los divisores de cero y todos los invertibles en Z12 24. Resuelva, o indique que no tiene soluci´on en Z76 : 42 ∗ x = 50 25. Si a y b son enteros, demuestre que (a + b)3 ≡ (a3 + b3 ) (3). 26. Demuestre que si n es un n´ umero primo, entonces todo x ∈ Zn distinto de 0 tiene inverso multiplicativo. 27. Determine los divisores de cero en Z8 (es decir, aquellos x 6= 0 tales que xy = 0 para alg´ un y 6= 0) y los elementos invertibles en Z8 (es decir, aquellos que tienen inverso multiplicativo). Demuestre adem´ as que para todo n > 1 que no sea primo existen divisores de cero en Zn . 28. Demuestre que la ecuaci´ on ax ≡ 1 (n) tiene soluci´on x > 0 si y s´olo si n y a son relativamente primos. 19 Sergio Mu˜ noz 2. Sumatorias, progresiones y binomio 2.1. Sumatorias Definici´ on 15 (Sucesi´ on (simple)). Una sucesi´ on de elementos de un conjunto A es una funci´ on con dominio N y codominio A. Para cada n ∈ N la imagen de n se denota an y se denomina “t´ermino en´esimo de la sucesi´ on”, y la sucesi´ on se denota (usualmente) {an }n∈N . Inicialmente consideraremos que A = R. Definici´ on 16 (Sumatoria (simple)). Dada una sucesi´ on {an }n∈N y para cada q ∈ N, la sumatoria q X an donde n es el ´ındice de la sumatoria, y de los primeros q t´erminos de la sucesi´ on se denota n=1 se define recursivamente respecto de q por: 1 X y para cada q ∈ N se define an = a1 q+1 X an := n=1 n=1 X q  an + aq+1 n=1 Las definiciones recursivas son perfectamente adecuadas para demostraciones por Inducci´ on. En sumatorias consideramos las siguientes convenciones: 1. q X q X an · α significa n=1 2. q X an · α
n=1 an + α significa X q n=1  an + α . De ese modo, para indicar que la sucesi´on considerada es n=1 la suma de dos sucesiones, se usa q X (an + α) n=1 Propiedad 37. Sean {an }n∈N y {bn }n∈N dos sucesiones y sea α fijo. Entonces: 1. q X an + bn = n=1 2. q X n=1 3. 4. q X q X bn n=1 an n=1 an = n=1 q X an + n=1 α · an = α q X q X q X ap = p=1 q X ai = · · · (independencia del ´ındice) i=1 (an+1 − an ) = aq+1 − a1 n=1 5. q X n=1 n= n(n + 1) 2 20 Sergio Mu˜ noz 6. q X n2 = n=1 7. q X n=1 3 n = n(n + 1)(2n + 1) 6  n(n + 1) 2 8. Si r 6= 0 entonces 2 q X n=1 rn = r 1 − rq 1−r Hasta aqu´ı la clase del: 18 abril 2011 Definici´ on 17. Sea A un anillo y sea a : Z → A una sucesi´ on (extendida o bidireccional) X en que la imagen de n ∈ Z se anota an . Sea J conjunto finito tal que ∅ 6= J ⊆ Z. Definimos an por: n∈J X an := n∈J #J X aϕ(k) k=1 donde #J es la cardinalidad de J, y como J es finito y no vac´ıo, se tiene #J ∈ N y existe una biyecci´ on ϕ : I#J → J. Definici´ on 18. Un subconjunto no vac´ıo J de un conjunto A ordenado linealmente (o totalmente)
es conexo ssi ∀x, y ∈ J ∀z ∈ A x < z < y → z ∈ J . Un conjunto conexo en un oren lineal es, b´asicamente, lo que conocemos como intervalo. En el caso de los enteros, un conjunto conexo es un conjunto de eneteros consecutivos. Como todo subconjunto de Z es acotado exactamente cuando es finito, y todo subconjunto acotado en Z tiene m´ aximo y m´ınimo, entonces todo subconjunto J no vac´ıo, finito y conexo en Z es de la forma {x ∈ Z | p ≤ x ≤ q} para {p, q} ⊆ Z con p < q, p el menor elemento y q el mayor elemento. q X X En tal caso, an se escribe an . n∈J n=p Extienda todas las propiedades posibles de sumatoria a estos casos. Hasta aqu´ı la clase del: 20 abril 2011 Propiedad 38. Si A es un anillo y a : Z → A una sucesi´ on (bidireccional), y {p, q, l} ⊆ Z con p < q, entonces q q+l q−l X X X an = an−l = an+l n=p n=p+l n=p−l 21 Sergio Mu˜ noz 2.2. Progresiones Definici´ on 19. Sea A un anillo.
Una sucesi´ on a : N → A es una Progresi´on Aritm´etica (PA) ssi ∃d ∈ A ∀n ∈ N (an+1 − an ) = d . El valor d es la diferencia de la PA y es u ´nico para ella.
Propiedad 39. Sea a : N → A una PA. Entonces ∀n ∈ N an = a1 + (n − 1)d donde definimos recursivamente kd, para k ∈ N y d ∈ A, por: 1d := d y para cada k ∈ N definimos (k + 1)d := kd + d (con suma en el anillo) Corolario 40. Sea a : N → A una PA en un cuerpo A con diferencia d. X  q a1 + aq Entonces ∀q ∈ N an = q 2 n=1 Definici´ on 20. Sea A un cuerpo. Una sucesi´ on a : N →A es una Progresi´on Geom´etrica (PG)  an+1 = r . El valor r es la raz´on de la PG y es ssi ∀n ∈ N (an 6= 0) y ∃r ∈ A − {0} ∀n ∈ N an u ´nico para ella.
Propiedad 41. Sea a : N → A una PG. Entonces ∀n ∈ N an = a1 · rn−1 donde definimos recursivamente rk , para k ∈ N y r ∈ A − {0}, por: r1 := r y para cada k ∈ N definimos rk+1 := rk · r (con producto en el cuerpo) Corolario 42. Sea a : N → A una PG en un cuerpo con raz´ on r. X  q q 1−r Entonces ∀q ∈ N an = a1 1−r n=1 Definici´ on 21. Sean α y β elementos de un cuerpo ordenado A con α < β y sea n ∈ N. 1. Intercalar n medios aritm´eticos entre α y β es determinar un conjunto {a1 , . . . , an } ⊆ A tal que {α, a1 , . . . , an , β} sean t´erminos consecutivos de una PA (abreviado: est´en en PA) 2. Intercalar n medios geom´etricos entre α y β es determinar un conjunto {a1 , . . . , an } ⊆ A tal que {α, a1 , . . . , an , β} sean t´erminos consecutivos de una PG (abreviado: est´en en PG) Definici´ on 22. Sea A un cuerpo y sea a : N → A una sucesi´ on (simple). Definimos recursivamente la productoria o pitatoria de los primeros q t´ e rminos de la sucesi´ on, donde q ∈ N, por Π1n=1 an = a1   y para cada q ∈ N definimos Πq+1 n=1 an = Πqn=1 an · aq+1 La idea de Πqn=1 an es representar al producto a1 · a2 · . . . · aq . Determine las propiedades de la productoria de modo an´alogo a las de sumatoria. Si sabe de exponenciales y logaritmos, determine en R la relaci´on entre sumatoria y productoria usando tales funciones. Definici´ on 23. Sean q ∈ N y {a1 , . . . , aq } ⊆ A con A un cuerpo. Definimos: Pq an 1. La Media Aritm´etica (A) de {a1 , . . . , aq } como A = n=1 n q 2. La Media Geom´etrica (G) de {a1 , . . . , aq } como A = n Πqn=1 an 22 Sergio Mu˜ noz Hasta aqu´ı la clase del: 25 abril 2011 Teorema 43 (A > G). Para todo conjunto finito no vac´ıo de n´ umeros reales positivos no todos iguales entre ellos, su media aritm´etica es mayor que su media geom´etrica.   ! n+1 n Por ejemplo, usando A > G para {1, . . . , n} se obtiene ∀n ∈ N n! < . 2 Otro ejemplo, u ´til en l´ımite de sucesiones y n´ umero de Euler, usando A > G para       n+1 !   1 1 1 n 1 1, 1 + ,..., 1 + es ∀n ∈ N 1+ < 1+ n n n n+1 | {z } n t´ erminos Hasta aqu´ı la clase del: 29 abril 2011 2.3. Combinatoria y Teorema del Binomio de Newton Lema 44 (Permutaciones). Sea A conjunto de cardinalidad n ∈ N. Entonces hay n! formas distintas de ordenar los elementos de A sin repeticiones. Lema 45 (Arreglos). Sea A conjunto de cardinalidad n ∈ N y sea k ∈ N con k < n. Entonces hay n! formas distintas de formar listas ordenadas de k elementos distintos usando los elementos (n − k)! de A. Lema 46 (Combinaciones). Sea A conjunto de cardinalidad n ∈ N y sea k ∈ N con k < n. Entonces n! hay formas distintas de considerar subconjuntos de A de cardinalidad k. (n − k)! · k! Definici´ on 24. Sean {n, k} ⊆ Z+ 0 con
k ≤ n. Definimos el coeficiente binomial “n sobre k” o n (n´ umero combinatorio) y denotado k , por   n n! := k (n − k)! · k! En la definici´ on considere, 0! := 1, que se puede usar en casos como k = 0 y n = k. Teorema 47 (Teorema del Binomio). Sean {a, b} ⊆ (R − {0}), con a + b 6= 0. Entonces n (a + b) := n   X n k=0 Hasta aqu´ı la clase del: 4 mayo 2011 23 k an−k · bk Sergio Mu˜ noz 2.4. ´ Gu´ıa 3. Algebra y Geometr´ıa I MF. Sumatorias 1. Calcule y demuestre por Inducci´ on que: n X n(3n + 1) a) (3i − 1) = 2 i=1 n(n + 1)(n + 2)  3
 2 1 −1 n n+1 + · + (−1) = 3 1− 2 2n−1 b) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) = c) 1 − 1 2 + 1 4 − 1 8 d ) 2 · 5 + 5 · 8 + · · · + (3n − 1)(3n + 2) = 3n3 + 6n2 + n n X k+2 1 e) =1− k (n + 1)2n k(k + 1)2 k=1 2. Calcule mediante sumatorias: a) n X i3 + i2 + 1 i=1 i(i + 1) b) 3 + 4 · 4 + 9 · 5 + 16 · 6 + · · · hasta n t´erminos 1 1 1 + + + · · · hasta n t´erminos c) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) (n + 2)(n + 3) 3. Calcule la siguiente sumatoria mediante la propiedad telesc´opica: k X n!n n=1 (Sugerencia: considere an = n!) 4. Calcule n k X X k=1 5. Calcule y simplifique ! (i + 3) i=1  n  X 83 6 + 12i (2i − 1)(2i + 1) i=1 6. Calcule y simplifique n X k X k=1 j=1 24 (2j + 3) Sergio Mu˜ noz Progresiones aritm´ eticas y geom´ etricas 1. Determine a40 y la suma de los primeros 40 t´erminos de la P.A. con primeros t´erminos 55, 47, 39,. . . 2. ¿Qu´e posici´ on ocupa en la P.A. el n´ umero 239 si los tres primeros son 5, 14, 23? 3. ¿Cuantos enteros consecutivos partiendo de 10 se deben sumar para que el resultado de 2035? 4. Encuentre tres n´ umeros (no necesariamente enteros) que est´en en P.A. si la suma del primero con el tercero de ellos es 12, y si el producto del primero con el segundo de ellos es 27. 5. Un objeto avanza desde el reposo y durante el primer segundo recorre 16 cm, durante el segundo siguiente recorre 48 cm, durante el tercer segundo recorre 80 cm, y as´ı en adelante. Calcule la distancia total recorrida en 15 segundos desde que empez´o a moverse. 6. ¿Cu´antos n´ umeros se deben agregar entre el 1 y el 36 para que todos (incluyendo a 1 y 36) formen una P.A. y sumen 148? 7. Sea {an }n∈N una P.A. Demuestre que para p, q y r en N se cumple (q − r)ap + (r − p)aq + (p − q)ar = 0 8. Si en una P.A. la suma de los primeros m t´erminos es n, y la suma de los primeros n t´erminos es m, calcule la suma de los primeros n + m t´erminos. 9. Si a, b y c est´ an en P.A., demuestre que la ecuaci´on ax2 + 2bx + c = 0 tiene a −1 como ra´ız. 10. Determine el s´eptimo t´ermino, y la suma de los primeros 7 t´erminos de la P.G. cuyos primeros t´erminos son 9, −6, 4. . . 11. El primer t´ermino de una P.G. es 160 y la raz´on de la P.G. es 3/2. Determine cu´antos t´erminos se deben sumar para obtener 2110. 12. Encuentre 5 n´ umeros entre 9 y 576 de forma que est´en en P.G. 13. Determine tres n´ umeros a, b y c que est´en en P.G., que adem´as a, b + 8 y c formen una P.A. y que adem´ as a, b + 8 y c + 64 est´en en P.G. 14. Determine una P.A. tal que su primer t´ermino es 1, y que sus t´erminos segundo, d´ecimo y trig´esimo cuarto est´en en P.G. 15. Una sucesi´ on {an }n∈N est´ a en Progresi´ on Arm´ onica (P.H.) si sus rec´ıprocos est´an en P.A. 1 (es decir, { an }n∈N forman una P.A.) Un n´ umero H es el Medio Arm´ onico de dos n´ umeros no nulos a y b si a, H y b est´ an en P.H. Considere a, b y c no nulos. Entonces: 2ab a+b b) Pruebe que H ≤ G y que H = G ↔ a = b, cuando a y b positivos. a) Pruebe que H = c) Si a2 , b2 y c2 est´ an en P.A. demuestre que b + c, c + a y a + b est´an en P.H. d ) Determine x tal que x, x − 6 y x − 8 est´en en P.H. 25 Sergio Mu˜ noz 16. Use A > G para probar que: a) ∀ n ∈ N (nn > 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)) b) ∀ n ∈ N n > 1 → (n + 1)n+1 < 2n+1 nn
17. Si en una P.A. la suma de los primeros n t´erminos es m y la suma de los primeros m t´erminos es n, determine el valor de a1 , de la diferencia d y calcule la suma de los primeros n + m t´erminos. 18. Los n´ umeros a, b y c son t´erminos consecutivos de una P.A., y los n´ umeros a, b y (a + b + c) son t´erminos consecutivos de una P.G. que suman 26. Determine el valor de a, b y c. 19. Los t´erminos p-´esimo, q-´esimo y t-´esimo de una P.G. son x, y, z respectivamente. Demuestre que xq−t · y t−p · z p−q = 1 Coeficientes binomiales 1. Determine cu´ antos equipos de f´ utbol distintos pueden formarse en un grupo de 14 personas que juegan f´ utbol. 2. Determine cu´ antos n´ umeros distintos de 3 cifras son divisibles por 5. 3. Cu´antas claves distintas de 4 d´ıgitos hay. 4. Indique c´ omo obtener (a + b)n , a 6= 0, suponiendo que dispone de la expansi´on de (1 + x)n 5. Si p es un n´ umero primo y n es cualquier entero, demuestre que np ≡ n (p). 6. Sean Tk , k = 0, . . . , n los t´erminos del desarrollo de (a + b)n , donde Tk es el k-e´simo t´ermino. Encuentre: a) el quinto t´ermino de (a + 2x3 )17 ; b) el catorceavo t´ermino de (3 − a)15 ;  a x 10 c) el quinto t´ermino de + ; x a 9  a2 ¿Por qu´e hay dos t´erminos centrales?, ¿cuantos d ) los dos t´erminos centrales de 3a − 6 t´erminos centrales tendr´ıa si el exponente fuera 10? 26 Sergio Mu˜ noz 7. Determine     n n a) n ∈ N tal que = ; 10 7     25 25 b) k ∈ N tal que = . k k−5     2n n c) n ∈ N tal que 3 = 44 . 3 2 8. Determine el t´ermino independiente de x en el desarrollo de (6 + 5x)12 . 9. Determine, si existen, dos t´erminos consecutivos con igual coeficiente (salvo la potencia de x) en el desarrollo de (3x + 2)19 . 10. Determine el coeficiente que acompa˜ na a xn en el desarrollo de (1+x)2n . Considere (1+x)2n = n n (1 + x) (1 + x) . . .   2 15 −3 11. Encuentre el coeficiente que acompa˜ na a x en el desarrollo de (2x + 1) 1 + . x
15 12. Encuentre el coeficiente de x18 en el desarrollo de x2 − 3a x
41 13. Encuentre el coeficiente de x−13 en el desarrollo de x − x32 n   X k 1 (2 + ) = n(n − 1)(4n + 7) 14. Demuestre que 12 2 k k=2 15. Demuestre: 1 n n 1 1+ n n  a) ∀ n ∈ N 1+  b) ∀ n ∈ N ≥2 ≤ Pn k=0 1 k! c) ∀ n ∈ N si n > 2, entonces 2n−1 < n!   1 n d) ∀ n ∈ N 1 + <3 n e) Exprese en t´erminos de potencias y coeficientes binomiales el n´ umero que acompa˜ na a −119 x en el desarrollo de   3 58 2 2x − 3 x 16. Calcule   n X n k k k=0
(Sugerencia: Demuestre primero que k nk = n 27 n−1 k−1
si k ≥ 1) Sergio Mu˜ noz 3. Trigonometr´ıa El estudio de la trigonometr´ıa se har´a en este curso enfocado m´as hacia funciones trigonom´etricas que a su origen hist´ orico como razones entre lados de tri´angulos rect´angulos, lo cual es una forma abstracta de considerar semejanza de tri´angulos. Las funciones trigonom´etricas est´ an involucradas en geometr´ıa, por supuesto, pero a trav´es de la representaci´ on polar del plano su aporte va m´as all´a de los tri´angulos, influyendo asimismo en los n´ umeros complejos y la geometr´ıa que se apoya en ellos. Su car´acter de funciones peri´odicas (que repiten sus valores al sumar una valor fijo a la variable) les involucra tanto en aplicaciones en movimiento arm´ onico simple como en la ecuaci´on del calor, en sonido y campos electromagn´eticos, por nombrar los m´ as directos. Su expresi´on en series de potencias (lo ver´an en C´alculo II como sumas de “infinitos” t´erminos de tipo polinomial), es decir, su analiticidad, vinculan fuertemente a las funciones trigonom´etricas con funciones exponenciales en complejos, mientras que en ecuaciones diferenciales sencillas (integraci´ on indefinida o antiderivadas) se asocian funciones trigonom´etricas inversas con funciones que aparentemente no involucran trigonometr´ıa. En suma, la trigonometr´ıa, vista como funciones trigonom´etricas, abre amplios espacios en la matem´atica y la f´ısica y provee profundas interrelaciones entre aritm´etica, ´algebra, geometr´ıa y an´alisis matem´ atico. Sin embargo, se requiere un poco de geometr´ıa b´asica para definir las funciones trigonom´etricas. 3.1. Radianes En una circunferencia de centro O y radio r, la medida de un ´angulo central es proporcional a la medida del arco que sustenta. Definimos entonces la medida en radianes del ´angulo como el l cociente donde l es la medida del arco sustentado por el ´angulo. Ello permite que la medida r del ´angulo en radianes sea independiente del radio de la circunferencia. En particular, la medida en radianes de un ´ angulo central en una circunferencia de radio 1 coincide con la medida del arco sustentado. De ese modo, como un ´ angulo recto sustenta un arco que es la cuarta parte del per´ımetro de la 2πr π circunferencia, su medida en radianes ser´a 4 = . Asimismo, la medida en radianes de un ´angulo r 2 extendido es π, ya que sustenta un arco que es la mitad del per´ımetro. El valor 2π es el cociente entre el per´ımetro de la circunferencia y su radio (es lo que permite definir π) y mide en radianes al ´angulo m´ aximo visible, un giro completo. ´ Angulos en radianes de medida mayor que 2π representan una superposici´on de ´angulos, en que se realiza un giro completo (o m´ as de uno) y alg´ un ´angulo m´as. Desde el punto de vista de arco, se trata de un arco que mide la longitud de una trayectoria superior al per´ımetro de la circunferencia. Sea C la circunferencia {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}, de centro (0, 0) y radio 1, llamada en trigonometr´ıa circunferencia goniom´etrica. Definici´ on 25. Sea P : R → C la funci´ on definida por: 1. P (0) := (1, 0) (punto inicial) 2. Si α ∈ R+ , sea P (α) el punto de C obtenido al recorrer una longitud α desde P (0), como arco en C , y en sentido antihorario. 28 Sergio Mu˜ noz 3. Si α ∈ R− , sea P (α) el punto de C obtenido al recorrer una longitud |α| desde P (0), como arco en C , y en sentido horario. Se desprende de la definici´ on que P (0) = P (2π) = P (−2π) = P (4π) = . . . = P (2kπ) para k ∈ Z, ya que se produce superposici´ on en el punto inicial. Propiedad 48. Para todo α ∈ R se cumplen: 1. P (α) y P (−α) son sim´etricos respecto del eje X, es decir, tienen iguales primeras coordenadas y sus segundas coordenadas suman 0. 2. Para todo k ∈ Z se cumple P (α) = P (α + 2kπ) (periodicidad) 3.2. Funciones trigonom´ etricas Definici´ on 26 (Funciones trigonom´etricas). Definimos las funciones seno y coseno, denotadas sen y cos respectivamente, por: 1. cos : R → R dada por: para cada α ∈ R, cos(α) es la primera coordenada de P (α). 2. sen : R → R dada por: para cada α ∈ R, sen(α) es la segunda coordenada de P (α). Note que si considera las funciones proyecci´ on p1 : R2 → R dada por p1 (x, y) = x, y p2 : R2 → R dada por p2 (x, y) = y, entonces por composici´on de funciones cos = p1 ◦ P y sen = p2 ◦ P , lo que es una manera rigurosa de dar la definici´on de ambas funciones. las potencias de  las funciones trigonom´etricas del siguiente modo: senn (α) abrevia  Abreviaremos   n a sen(α) , y cosn (α) abrevia a cos(α) Propiedad 49. n   1. ∀α ∈ R cos2 (α) + sen2 (α) = 1   2. ∀α ∈ R cos(−α) = cos(α) ∧ sen(−α) = − sen(α)   3. ∀α ∈ R ∀k ∈ Z cos(α + 2kπ) = cos(α) ∧ sen(α + 2kπ) = sen(α)   4. ∀α ∈ R ∃β ∈ [0, 2π[ cos(α) = cos(β) ∧ sen(α) = sen(β) (es decir, P (α) = P (β), lo que es una reducci´ on a ´ angulos visibles) Hasta aqu´ı la clase del: 6 mayo 2011 Las funciones trigonom´etricas nacen de tri´angulos rect´angulos, y en cierto sentido lo siguen siendo: Propiedad 50 (Reducci´ on al primer cuadrante).   π  ∀α ∈ R ∃β ∈ 0, 2 | cos(α)| = cos(β) ∧ | sen(α)| = sen(β) Teorema 51. ∀x, y ∈ R cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen(x) sen(y) Corolario 52.

1. ∀x, y ∈ R cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen(x) sen(y) 29 Sergio Mu˜ noz  2. ∀x ∈ R cos π 2−
= sen(x) ∧ sen π 2−
 = cos(x)
3. ∀x, y ∈ R sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)
4. ∀x, y ∈ R sen(x − y) = sen(x) cos(y) − cos(x) sen(y) Hasta aqu´ı la clase del: 9 mayo 2011
1. ∀x ∈ R cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sen2 (x)
2. ∀x ∈ R sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) r r   1 + cos(x) 1 − cos(x) 3. ∀x ∈ R | cos(x/2)| = ∧ | sen(x/2)| = 2 2 Corolario 53. Definici´ on 27 (Tangente, cotangente, secante y cosecante). 1. Definimos la funci´ on tangente por o  n sen(x) π → R dada por tan(x) := tan : R − (2k + 1) | k ∈ Z 2 cos(x) 2. Definimos la funci´ on secante por o  n 1 π → R dada por sec(x) := tan : R − (2k + 1) | k ∈ Z 2 cos(x) 3. Definimos la funci´ on cosecante por  n o cosec : R − kπ | k ∈ Z → R dada por cosec(x) = 1 sen(x) 4. Definimos la funci´ on cotangente por  n o cos(x) cot : R − kπ | k ∈ Z → R dada por cot(x) = sen(x) Note que las definiciones son correctas, debido a que {x ∈ R | cos(x) = 0} = o n o k ∈ Z y a que {x ∈ R | sen(x) = 0} = kπ | k ∈ Z Propiedad 54. n (2k + 1) π2 | 4. Rec(sec) = R−] − 1, 1[ 1. Rec(cos) = [−1, 1] 2. Rec(sen) = [−1, 1] 5. Rec(cosec) = R−] − 1, 1[ 3. Rec(tan) = R Hasta aqu´ı la clase del: 11 mayo 2011 3.3. Funciones trigonom´ etricas inversas Con restricciones de dominio y codominio, obtenemos funciones biyectivas a partir de las funciones trigonom´etricas, con las que se definen funciones trigonom´etricas inversas: Lema 55. Las siguientes restricciones de funciones trigonom´etricas son biyecciones (la notaci´ on es interna a este curso y esta secci´ on): 30 Sergio Mu˜ noz   3. d tan : − π2 , π2 → R     4. sec c : 0, π2 ∪ π2 → (R−] − 1, 1[) 1. cos c : [0, π] → [−1, 1]   2. sen c : − π2 , π2 → [−1, 1] Definici´ on 28. Se definen: 1. Arcocoseno (arc cos) como la funci´ on inversa de la funci´ on cos c 2. Arcoseno (arc sen) como la funci´ on inversa de la funci´ on sen c 3. Arcotangente (arctan) como la funci´ on inversa de la funci´ on d tan 4. Arcosecante (Arccosec) como la funci´ on inversa de la funci´ on sec c Propiedad 56 (Forma operativa de trigonom´etricas inversas). Para todos a y b en R se tiene:
1. b = arc cos(a) ⇔ b ∈ [0, π] ∧ a ∈ [−1, 1] ∧ cos(b) = a     2. b = arc sen(a) ⇔ b ∈ − π2 , π2 ∧ a ∈ [−1, 1] ∧ cos(b) = a 3. b = arctan(a) ⇔  4. b = Arccosec(a) ⇔ i b ∈ − π2 ,  π 2  ∧ cos(b) = a       b ∈ 0, π2 ∪ π2 ∧ a ∈ (R−] − 1, 1[) ∧ cos(b) = a Hasta aqu´ı la clase del: 16 mayo 2011 3.4. Ecuaciones trigonom´ etricas Resolver una ecuaci´ on trigonom´etrica corresponde a determinar el conjunto de todos los n´ umeros reales que satisfacen la igualdad que define la ecuaci´on trigonom´etrica. Ello significa que la igualdad original (la afirmaci´ on de que un n´ umero real la cumple) debe ser equivalente a una afirmaci´on del tipo x ∈ A donde A es un subconjunto expl´ıcito de R, por lo cual ese conjunto A ser´a el conjunt0o soluci´on de la ecuaci´ on trigonom´etrica. La cadena de equivalencias involucrada debe considerar los dominios de los t´erminos que se igualan ya que al simplificar para resolver, se pueden perder restricciones de signo (si eleva al cuadrado o similar) o restricciones de numeradores distintos de cero (“pasar multiplicando” etc´etera). Por otra parte, dada periodicidad, la estrategia es determinar todos los valores diferentes dentro de un intervalo de longitud igual al periodo (por ejemplo [0, 2π]), de modo que toda soluci´ on es igual, salvo periodicidad, a alguno de ellos. De acuerdo a esa estrategia, las trigonom´etricas inversas entregar´  an un valor en un subconjunto de tal intervalo o de uno equivalente (por ejemplo, en [0, π] o en − π2 , π2 ), y siguiendo la estrategia usada para reducir al primer cuadradante junto a los signos de las trigonom´etricas en cada cuadrante, se obtiene el otro valor, si es que existe. Lo dem´ as ser´a periodicidad, tomando en cuenta que, por ejemplo, f : R → R dada por f (x) = cos(3x) tiene periodo 2π 3 . Puede ser de utilidad el siguiente lema: Lema 57. Sea a ∈] − 1, 1[. Entonces 31 Sergio Mu˜ noz  {x ∈ R | cos(x) = a} = ± Arccos(a) + 2kπ | k ∈ Z  {x ∈ R | sen(x) = a} = (−1)q Arcsen(a) + qπ | q ∈ Z Un ejemplo puede aclarar la estrategia b´asica: Ejemplo 58. Para resolver la on −1 − sen x = cos 2x, se busca hacer expl´ıcito al conjunto  ecuaci´ x ∈ R | − 1 − sen x = cos 2x . Para x ∈ R se tiene: −1 − sen x = cos 2x −1 − sen x = 1 − 2 sen2 x ⇔ 2 sen2 x − sen x − 2 = 0 √ √ √ 1 + 17 1 − 17 1 − 17 ⇔ sen x ∈ { , } ⇔ sen x = 4 4 4 ⇔ (debido a que Rec(sen) = [−1, 1])  ⇔x∈  √  (−1)k arcsen 1−4 17 + kπ  Luego, el conjunto soluci´ on es x ∈ R | −1−sen x = cos 2x = 3.5.   k ∈ Z  √  (−1)k arcsen 1−4 17 +kπ  k∈Z Tri´ angulos generales Asumimos las siguientes convenciones sobre un tri´angulo ABC: el tri´angulo tiene v´ertices A, B y C con ´angulos respectivos α, β y γ, los que son opuestos a lados de medidas respectivas a, b y c. Se cumple α + β + γ = π y se asume que α, β y γ son positivos. Teorema 59 (Teorema del Seno). Sea ABC tri´ angulo con medidas de ´ angulos y lados seg´ un convenci´ on. Si R es el radio de la circunferencia circunscrita al tri´ angulo, entonces 2R = a b c = = sen(α) sen(β) sen(γ) Teorema 60 (Teorema del Coseno). Sea ABC tri´ angulo con medidas de a ´ngulos y lados seg´ un convenci´ on. Entonces a2 =b2 + c2 − 2bc cos(α) b2 =a2 + c2 − 2ac cos(β) c2 =a2 + b2 − 2ab cos(γ) Combinando adecuadamente esos teoremas junto a α+β +γ = π se puede resolver un tri´ angulo, esto es, dadas algunas de las medidas de lados y ´angulos, determinar las dem´as, e incluso determinar si existe un tri´ angulo con tales caracter´ısticas. Hasta aqu´ı la clase del: 18 mayo 2011 32 Sergio Mu˜ noz 3.6. ´ Gu´ıa 4. Algebra y Geometr´ıa I MF. Trigonometr´ıa 1. Para los valores α siguientes, determine el cuadrante en que se sit´  ua P (α), determine el valor α0 ∈ [0, 2π[ tal que P (α) = P (α0 ), luego determine el valor α00 ∈ 0, π2 tal que el valor absoluto de cada coordenada de P (α) coincide con el valor absoluto de la respectiva coordenada de P (α00 ). Luego, calcule los valores de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, si existen, para α: 3π 4 13π b) α = 4 −21π c) α = 4 a) α = −35π 6 3π 2π h) α = + 4 3 −64π i) α = 3 2π 3 −32π e) α = 3 13π f) α = 6 d) α = g) α = 2. Determine:
cos 5π 2
R: 0 sen 7π R: −1 2 cos(4π) R: 1 cos(5π) R: −1 √
3 e) sen 8π R: 3 2 √
f ) sen −14π R: − 23 3
g) cos 47π R: 12 3
h) cos −56π R: − 12 3
i ) cos −126π R: −1 3 π j ) Si 0 < t < 2 y cos(t) = sen(t) R: sen(t) = 54 k ) Si π2 < t < π y sen(t) = cos(t) R: cos(t) = − 45 3 l ) Si π < t < 3π 2 y cos(t) = − 5 , encuentre sen(t) R: sen(t) = − 54 a) b) c) d) 3 m) Si 3π 2 < t < 2π y sen(t) = − 5 , encuentre cos(t) R: cos(t) = 54 n) Si 5π < t < tre sen(t) n ˜) Si 7π 2 encuentre 3 5, encuentre o) p) R: 5 y cos(t) = − 11 , encuen√ sen(t) = − 4116 5 < t < 4π y sen(t) = − 11 , encuen- √ 4 6 11 17π Si 2 < t < 9π y sen(t) = 12 , encuentre √ 17 145 cos(t) R: cos(t) = − 17 Si 15π − 5 , encuen2 < t < 8π y sen(t) = √ 7 tre cos(t) R: cos(t) = 2 7 6 tre cos(t) 3 5, 11π 2 R: cos(t) =       x x x , cos y tan dado que: 2 2 2 π 5 3π 3 a) ≤ x ≤ π y sen(x) = b) ≤ x ≤ 2π y cos(x) = 2 13 2 7 3. Encuentre sen 4. Demuestre que para todo x ∈ R y todo k ∈ Z se cumple:   si sen(x)      cos(x) si kπ sen x + =  2 − sen(x) si    − cos(x) si 33 k k k k ≡ 0 (4) ≡ 1 (4) ≡ 2 (4) ≡ 3 (4) Sergio Mu˜ noz 5. Demuestre las siguientes identidades: 1) cosec2 x − cot x cos x cosec x = 1 tan x tan x + = 2 cosec x 2) sec x − 1 sec x + 1 3) (1 − cot x + cosec x)(sec x − tan x + 1) = 2 4) (sen x + cosec x)2 + (cos x + sec x)2 = tan2 x + cot2 x + 7 2 sen x cos x − cos x 5) cot x = 2 2 1 − sen x +   sen x − cos  x  sec x − 1 sen x − 1 2 2 6) cot x + sec x =0 1 + sen x 1 + sec x sen x tan x − tan y tan x 7) − = cos x cos y cot y − cot x sec y + tan y 8) 1 + 2 sec2 x tan2 x − sec4 x − tan4 x = 0 9) (sen x + cos x)(tan x + cot x) = sec x + cosec x 10) (1 + tan x)2 + (1 + cot x)2 = (sec x + cosec x)2 11) cos x(2 sec x + tan x)(sec x − 2 tan x) = 2 cos x − 3 tan x 1 − tan8 x 12) 2 sec2 x − sec4 x − 2 cosec2 x + cosec4 = tan4 x 2 2 2 13) (sen x − cosec x) + (cos x − sec x) = cot x + tan2 x − 1 14) (1 + sec x + tan x)(1 + cosec x + cot x) = 2(1 + tan x + cot x + sec x + cosec x) tan x cot x 15) + = sen x cos x 2 2 (1 + tan x) (1 + cot2 x)2 (1 + tan x)2 − 2 tan2 x 16) = 2 sen x(cos x − sen x) + 1 1 + tan2 x 1 = (cosec x − sen x)(sec x − cos x) 17) tan x + cot x cot x cos x cot x − cos x 18) = cot x + cos x cot x cos x cos3 x + sen3 x sec x − sen x 19) = 2 1− x tan x − 1      2 cos  π π π − x = cot(x) y cot − x = tan(x) y sec − x = cosec(x) 20) tan 2  2 2  π y cosec − x = sec(x) 2       π π π 21) cos +x = − sen(x) y sen +x = cos(x) y tan +x = − cot(x) 2 2 2     π π π y cot +x = − tan(x) y sec +x = − cosec(x) y cosec +x = 2 2 2 sec(x) 22) cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x) 23) sen(3x) = 3 sen(x) − 4 sen3 (x) 3 − tan2 (x) 24) tan(3x) = tan(x) · 1 − 3 tan2 (x) 34 Sergio Mu˜ noz 25) ∀ n ∈ N sen(nx) = 2 cos(x) sen((n − 1)x) − sen((n − 2)x) 26) ∀ n ∈ N cos(nx) = 2 cos(x) cos((n − 1)x) − cos((n − 2)x)
2 tan x2
27) sen(x) = 1 + tan2 x2
1 − tan2 x2
28) cos(x) = 1 + tan2 x2 3 + cos(4x) 29) tan2 (x) + cot2 (x) = 2 1 − cos(4x)     x+y x−y 30) cos(x) + cos(y) = 2 cos cos 2 2     x+y x−y 31) cos(x) − cos(y) = −2 sen sen 2 2     x+y x−y 32) sen(x) + sen(y) = 2 sen cos 2 2     x−y x+y sen 33) sen(x) − sen(y) = 2 cos 2 2   1 34) cos(x) cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y) 2   1 cos(x − y) − cos(x + y) 35) sen(x) sen(y) = 2   1 36) sen(x) cos(y) = sen(x + y) + sen(x − y) 2 tan(x + y) sen(x + y) 37) = 1 + tan(x) tan(y) cos(x + y) sen(3x) + sen(x) 38) = tan(2x) cos(3x) + cos(x)   sen(x) 1 − cos(x) x = = 39) tan 2 1 + cos(x) sen(x) 6. Encuentre los siguientes valores:   √  1 2 b) Arccos a) Arcsen 2 2 c) Arctan(0) √ d ) Arctan(− 3) e) Arcsen(−1) 7. Determine los conjuntos siguientes: a) arcsen(0) b) arccos(−1) √ c) arctan( 3) d ) arctan(−1) 8. Eva´ ue las siguientes expresiones: 35 e) arcsen(−1) Sergio Mu˜ noz     3 a) cos Arcsen 5    −2 b) sen Arccos 3    −3 c) tan Arcsen 4     −2 4 d ) sen Arcsen + Arcsen 3 5      15 7 e) cos Arctan − Arcsen 8 25   f ) sen 2 Arctan(3) 9. Demuestre: a) b) c) d)     1 1 + Arctan = Arctan(1) Arctan 2 3       3 3 27 Arctan + Arcsec = Arctan 5 5 11       1 1 π 1 + Arctan + 2 Arctan = 2 Arctan 8 7 5 4 Para todo x ∈] − 1, 1[: π 2 2) cos(Arcsen(x)) = sen(Arccos(x)) = √ + 1 − x2 1) Arccos(x) + Arcsen(x) = x 3) tan(Arcsen(x)) = √ 1 − x2 √ 1 − x2 4) tan(Arccos(x)) = x e) Para todo x ∈ R 1) sen(Arctan(x)) = √ 2) cos(Arctan(x)) = √ x 1 + x2  
1 3) |x| ≥ 1 → Arcsec(x) = Arccos x  
1 4) |x| ≥ 1 → Arccosec(x) = Arcsen x 1 1 + x2 10. Resolver las siguientes ecuaciones trigonom´etricas b´asicas: 1 a) sen x = √ 2 1 b) cos2 x = 2√ c) sec x = − 2 1 d ) tan2 x = 3 e) tan x = cot f ) sen x + √ π 4 3 cos x = 1 con 0 ≤ x ≤ 2π. g) cot x + 3 tan x = 5 cosec x h) tan(2x + π4 ) · tan( π2 − x) = 1 11. Resolver las siguientes ecuaciones trigonom´etricas de ´angulos compuestos: √ a) cos 2x = cos x − sen x. d ) sen 5x − sen 3x = 2 cos 4x. b) sen x + cos 2x − cos 4x = 0 e) tan 2x = sen 4x. c) −1 − sen x = cos 2x 12. Resolver las siguientes ecuaciones con funciones trigonom´etricas inversas: 36 Sergio Mu˜ noz a) 2 Arctan(1/2) + Arccos(3/5) + Arcsen(1/x) = π b) Arctan(x + 1) − Arctan(x − 1) = Arctan(2) √
c) Arctan(x) + Arctan(1 − x) = 2 Arctan x − x2 13. Resuelva el tri´ angulo ABC si: a) a = 10, α = 15◦ , γ = 60◦ b) α = 105◦ , γ = 60◦ , b = 4 √ 3 1 c) a = 1, b = ,c= 2 2 √ d ) α = 75◦ , β = 30◦ , b = 8 √ e) γ = 120◦ , c = 2 3, a = 2 f) a = √ √ √ 6, b = 2 3, c = 3 + 2 √ √ √ 3 3+1 3−1 g) a = ,b= √ ,c= √ 2 2 2 2 2 h) a = √ 14. Demuestre que en todo tri´ anguo ABC se cumple:      γ α 2 2 a) 2 a sen + c sen =a−b+c 2 2 sen(α) + sen(β) π b) Si sen(γ) = entonces γ = cos(α) + cos(β) 2 cos(β) c − b cos(α) c) = cos(γ) b − c cos(α) d ) Si α = 30◦ y β = 50◦ entonces c2 = b(a + b) 37 1 1 √ ,b= √ √ , γ = 60◦ 6− 2 6+ 2 Sergio Mu˜ noz 4. C: el cuerpo de los u ´ meros complejos 4.1. Definici´ on y propiedades b´ asicas Definici´ on 29. Los n´ umeros complejos, denotados por C, son el conjunto R2 dotado de operaciones “suma” (denotada ⊕) y “producto” (denotado ⊗) definidos por: ⊕ : (R2 × R2 ) → R2 dada por 3 (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d) ⊗ : (R2 × R2 ) → R2 dada por 4 (a, b) ⊗ (c, d) := (ac − bd, ad + bc) Note que al definir los complejos como pares ordenados, para cada complejo z existen u ´nicos a y b en R tales que z = (a, b). Teorema 61. C es un cuerpo algebraico, pero no un cuerpo ordenado. El neutro de ⊕ es (0, 0) y el inverso “aditivo” de (a, b) es (−a, −b). El  neutro de ⊗ es (1, 0) y el inverso “multiplicativo” de (a, b) donde (a, b) 6= (0, 0) es a , −b a2 +b2 a2 +b2 Observaciones:  Si C1 := (a, 0) ∈ C | a ∈ R , y Ψ : R → C1 es la funci´on dada por Ψ(a) := (a, 0), entonces • Ψ es una biyecci´ on,   • ∀{a, c} ⊆ R Ψ(a + c) = Ψ(a) ⊕ Ψ(c) ,   • ∀{a, c} ⊆ R Ψ(a · c) = Ψ(a) ⊗ Ψ(c) , Tal biyecci´ on se llama isomorfismo de anillos (en particular de cuerpo) y significa que tengo una copia de R (y sus operaciones) en C, que es C1 . Denotamos por i al complejo (0, 1) y lo llamamos unidad imaginaria de C. Note que i2 = i ⊗ i = (0, 1) ⊗ (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 1 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) es decir, i2 corresponde al n´ umero real −1 (su copia en C) a Lema 62. Para todo complejo (a, b) con {a, b} ⊆ R, se cumple   (a, b) = (a, 0) ⊕ i ⊗ (b, 0) 3 4 Las sumas del lado derecho son las de R Las sumas y productos del lado derecho son las de R 38 Sergio Mu˜ noz Aprovechando el lema anterior, simplificamos notaci´on de complejos del siguiente modo: Identificamos cada complejo de C1 , a, con el n´ umero real “a”. Denotamos ⊕ como suma + y denotamos ⊕ como el producto ·. De ese modo, el lema previo se parafrasea como (a, b) = a + bi Note que con esa notaci´ on y el hecho de que i2 = −1, las propiedades de cuerpo son consistentes con las definiciones de suma y producto en C. Definici´ on 30. Sea z un complejo y sean a y b los reales que cumplen z = a + i. Definimos: 1. Parte real de z, denotada Re(z), por Re(z) := a. 5 2. Parte imaginaria de z, denotada Im(z), por Im(z) := b. 6 3. M´odulo de z, denotado |z|, como el n´ umero real no negativo √ a2 + b2 . 4. Conjugado de z, denotado z, como el complejo z := a − bi Corolario 63. Para todo complejo z se cumple: 1. Re(a + bi) = a e Im(a + bi) = b para {a, b} ⊆ R 2. z = Re(z) + i · Im(z) 3. z = Re(z) − i · Im(z) q
2
2 Re(z) + Im(z) 4. |z| = Note que m´ odulo es funci´ on de C en R+ 0 , y que partes real e imaginaria son funciones de C en R. 2 Note  adem´  as que si z 6= 0, entonces |z| 6= 0, y tambi´en se cumple z · z = |z| , por lo cual 1 = z · |z|z 2 , lo que permite justificar de otro modo la forma del inverso multiplicativo de z. Note finalmente que, por la identificaci´on de (a, 0) con a para a ∈ R, asumimos informalmente que R ⊆ C. Adem´ as, z ∈ R implica que m´odulo de z es simplemente valor absoluto de z. 4.2. 4.2.1. Forma polar de un complejo Coordenadas polares Para trabajar la forma polar de un complejo, necesitamos algunas nociones de coordenadas polares primero. Considere la funci´ on Ω : R2 → R2 dada por:
Ω(ρ, θ) := ρ cos(θ), ρ sen(θ) 5 6 Tambi´en se usa <(z) para denotar la parte real de z Tambi´en se usa =(z) para denotar la parte real de z 39 Sergio Mu˜ noz
Por lo que vimos en trigonometr´ıa, se cumple ∀θ ∈ R Ω(1, θ) = P (θ) , es decir, Ω(1, θ) pertence a la circunferencia unitaria con centro (0, 0), entonces podemos interpretar θ como el ´angulo que forma el punto Ω(ρ, θ) con el semieje real positivo {z ∈ C | Im(z) ≥ 0}, en sentido antihorario, y como q
2
2 |ρ| = ρ cos(θ) + ρ sen(θ) podemos interpretar el valor absoluto de ρ como la distancia al origen. Por lo anterior, tiene sentido considerar (ρ, θ) como coordenadas polares del punto de R2 de coordenadas cartesianas Ω(ρ, θ). Observaciones: 1. Note que Ω es sobreyectiva pero no inyectiva.
2. En particular, ∀θ ∈ R Ω(0, θ) = (0, 0)
3. Por periodicidad, se tiene que ∀{ρ, θ} ⊆ R ∀k ∈ Z Ω(ρ, θ + 2kπ) = Ω(ρ, θ) 4. Aprovechando las identidades cos(x ± π) = − cos(x) y sen(x ± π) = − sen(x) se tiene que para ρ < 0 y θ ∈ R se cumple Ω(ρ, θ) = Ω(|ρ|, θ ± π) es decir, ρ negativo corresponde a un punto que se refleja en (0, 0). 5. En muchos casos se pide graficar en polares una ecuaci´on del tipo ρ = 1 − 2 sen(θ). Ello significa graficar los puntos Ω(1 − 2 sen(θ), θ), y se tiene: a) cuando 1 − 2 sen(θ) > 0, es decir, ρ > 0, se usa 1 − 2 sen(θ) como la distancia al origen y θ como el ´ angulo; b) cuando 1 − 2 sen(θ) = 0 se trata de (0, 0); c) cuando 1 − 2 sen(θ) < 0, se usa |1 − 2 sen(θ)| como distancia al origen pero θ ± π como el ´ angulo (se cambia al cuadrante opuesto) d ) Una forma de sistem´ atica de asignar coordenadas polares a un par ordenado (x, y) distinto del origen (recuerde que Ω no es inyectiva) es la siguiente: p 1) ρ := x2 + y 2 
 Arctan xy si x > 0    π   si x = 0 ∧ y > 0 2 π 2) θ := − 2 si x = 0 ∧ y < 0   y
 π + Arctan x si x < 0 ∧ y ≥ 0     y
−π + Arctan x si x < 0 ∧ y < 0 De ese modo, ρ ≥ 0 y θ ∈] − π, π]. a 4.2.2. Forma polar de los complejos. Dado un complejo no nulo z, definimos su argumento Arg(z) como el ´angulo θ de ] − π, π] visto arriba. 40 Sergio Mu˜ noz 

 Lema 64. Todo complejo no nulo z cumple z = |z| cos Arg(z) + i sen Arg(z) Corolario 65. Todo complejo no nulo z cumple 
z = ρ cos(α) + i sen(α) ⇔ ∃k ∈ Z α = Arg(z) + kπ ∧ ρ = (−1)k |z|  Lema 66. Para todos α y β reales se cumple

cos(α) + i sen(α) cos(β) + i sen(β) = cos(α + β) + i sen(α + β)
Abreviamos 7 cos(α) + i sen(α) como eiα . El lema previo se reescribe entonces como eiα eiβ = ei(α+β) Corolario 67. Todo complejo no nulo z cumple z = |z|ei·Arg(z) 4.3. Potencias y ra´ıces de complejos Trabajar potencias enteras de complejos de modo algebraico es arduo en general, pero mediante la forma polar todo se vuelve manejable. Corolario 68 (De Moivre). Para todo n ∈ Z se cumple z n = |z|n ei n Arg(z) Corolario 69. Para todos n ∈ Z y z ∈ (C − {0}) se cumplen: 1. |z n | = |z|n 2. ∃k ∈ Z Arg(z n ) = n · Arg(z) + 2kπ
Hasta aqu´ı la clase del: 20 mayo 2011 (dos clases) As´ı como las potencias se vuelven simples al usar la forma polar, las ra´ıces tambi´en. Corolario 70. Para todo z ∈ (C − {0}) y todo n ∈ Z con n > 1, se tiene: np o Arg(z)+2kπ k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} n {w ∈ C | wn = z} = n |z| · ei donde tal conjunto es finito de cardinalidad n. Es decir, cada complejo no nulo tiene exactamente n ra´ıces n-´esimas, las p cuales forman los v´ertices de un pol´ıgono regular cuya circunferencia circunscrita tiene radio n |z| y uno de cuyos v´ertices forma un ´ angulo de Arg(z) con el semieje real positivo. Veremos m´as aspectos geom´etricos n en el cap´ıtulo de geometr´ıa anal´ıtica. Un caso especial son las ra´ıces complejas n-´esimas de la unidad: los n complejos que elevados a n son iguales a 1. Note que si w := e2π n, entonces w, w2 , w3 , . . . wn son todas las ra´ıces n-´esimas de 1, tomando en cuenta que wn = 1. 7 En realidad es matem´ aticamente correcto en an´ alisis complejo, no s´ olo es nomenclatura 41 Sergio Mu˜ noz Por u ´ltimo, dado z 6= 0 complejo, entonces sus n ra´ıces n-´esimas son p Arg(z) n |z|e n w p Arg(z) n |z|e n w2 p Arg(z) n |z|e n w3 .. . p Arg(z) n |z|e n wn donde w = e2π n. Hasta aqu´ı la clase del: 23 mayo 2011 42 Sergio Mu˜ noz 4.4. ´ Gu´ıa 5. Algebra y Geometr´ıa I MF. N´ umeros complejos 1. Calcule zw, z −1 w−1 , y z si z = 2 + 3i y w = 1 − i w 2. Demuestre las siguientes propiedades b´ asicas de las funciones conjugado (z), m´odulo (|z|), parte real (<(z)) y parte imaginaria (=(z)), para todos z y w complejos:   z a) z = <(z) + i=(z) h) z = |z| ⇔ z ∈ R+ 0 n) z 6= 0 ⇒ z · =1 |z|2 b) (z) = z i ) zz = |z|2 c) z + w = z + w z |z| j ) |z| ≥ 0 n ˜) = d ) zw = z · w w |w| k ) |z| = 0 ⇔ z = 0 e) z + z = 2<(z) o) |<(z)| ≤ |z| l ) | − z| = |iz| = |z| = |z| f ) z − z = 2i=(z) m) |zw| = |z| · |w| p) |=(z)| ≤ |z| g) z = z ⇔ z ∈ R 3. Demuestre que in = 1 ⇔ n ≡ 0 (4), in = −1 ⇔ n ≡ 2 (4), in = i ⇔ n ≡ 1 (4) y que in = −i ⇔ n ≡ 3 (4). Calcule i235 4. Sin usar la forma polar de un complejo, simplifique (1 + i)5 . 1 + i5 5. Resuelva en C las ecuaciones: z 2 + (1 − 3i)z − 8 + i = 0, iz 2 + 2z − 5i = 0 (complete cuadrados primero. . . ) (7 − i)z 2 + (1 + 2i)z + i = 0, 6. Demuestre que |2 + 3i|2000 = 131000 . 7. Exprese en forma polar los complejos √ 8. Calcule (1 + i 3)4 , (1 + √ 3)13 , √ 3 + i y −3 + 4i. √ ( 3 − i)5 , (1 − i)27 ,  cos 5π 4
+ i sen 5π 4
23 9. Demuestre que si z + z −1 = 2 cos(α), entonces z n + z −n = 2 cos(nα). 10. Use la forma polar, el Teorema del Binomio, y la parte real de un complejo, para demostrar la siguiente identidad trigonom´etrica: cos(6x) = 32 cos6 (x) − 48 cos4 (x) + 18 cos2 (x) − 1 De su desarrollo obtenga una identidad an´aloga para sen6 (x). 11. Determine las cinco ra´ıces quintas del complejo (1 − i). Construya con ellas las cinco ra´ıces quintas de (1 + i). 12. Determine las seis ra´ıces sextas de −1 y con ellas determine las ra´ces c´ ubicas de −1. 13. Determine todas las ra´ıces n-´esimas indicadas de los complejos siguientes:  


4π a) n = 2 para 5 cos 4π + i sen c) n = 4 para 16 cos 4π 6 6 3 + i sen  


b) n = 2 para 16 cos π3 + i sen π3 d ) n = 5 para 32 cos 5π 6 + i sen 43 4π 3
 5π 6
 Sergio Mu˜ noz e) n = 3 para √ −125 (1 + i 3) 2 14. Resuelva totalmente las siguientes ecuaciones: a) x4 + 1 = 0 b) x3 + 1 = 0 c) x5 +243 = 0 d ) x4 − 81 = 0 e) x3 +64i = 0   −1 √i 15. Encuentre todos los complejos que satisfacen la ecuaci´on (z + 2i)3 = √ + . 2 2 16. Dado los complejos 0, 1 + 2i y 1 − i, determine un complejo z tal que junto a los complejos mencionados, formen un paralel´ ogramo. ¿Es un rect´angulo?. 17. Determine la longitud de un pent´agono regular inscrito en una circunferencia de radio 4. 18. Sean w1 y w2 las ra´ıces c´ ubicas de la unidad distintas de 1. Demuestre que satisfacen: a) la ecuaci´ on z 2 + z + 1 = 0 b) w1 w2 = 1 c) w1 = w22 d ) la igualdad (a + bz + cz 2 )(a + cz + bz 2 ) = a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc para reales a, b, c e) la igualdad (1 + z 2 )4 = z f ) la igualdad (1 − z + z 2 )(1 + z − z 2 ) = 4 g) la igualdad (1 − z)(1 − z 2 )(1 − z 4 )(1 − z 5 ) = 9 19. Encuentre, si existe, un complejo z tal que |z| = 1 = |1 − z| |z| 1 ∈ R entonces =(z) = 0 o |z| = 1. z (   √ n √ n 2 si n ≡ 0 (3) −1+i 3 −1−i 3 21. Demuestre que + = 2 2 −1 si no.  x  x √ √ √ + 1−i = 2 22. Encuentre x tal que 1+i 2 2 20. Demuestre que si z +  23. Describa el lugar geom´etrico de los puntos z ∈ C que cumplen = z − z1 z2  = 0, si z1 y z2 son complejos no nulos. √ 24. Encuentre todas las ra´ıces complejas del polinomio z5 − 3+i =0 2 25. Demuestre que todo complejo z que cumpla |z| = |z + 1| = 1 es r´aiz c´ ubica no real de 1. 26. Demuestre que si z es un complejo tal que z + 1 es un real, entonces z es real o |z| = 1. z 27. Determine x ∈ R tal que Arctan(x + 1) − Arctan(x − 1) = Arctan(2) y calcule el m´odulo y el conjugado de z = x + i x1 . 44