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FORMULARIO Matemáticas II
(2º de Bachillerato) ALGEBRA MATRICES. DEFINICION: Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales
dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:
a11 a12 a21 a22 A = a31 a32 ... ... am1 am2
... a1n ... a2 n ... a3n ... ... ... amn
a13 a23 a33 ... am3
TIPOS DE MATRICES: Matriz rectangular (matriz fila, matriz columna)
Matriz cuadrada ( Matriz triangular superior, Matriz triangular inferior, Matriz triangular, Matriz diagonal, Matriz escalar, Matriz identidad, Matriz nula) RANGO DE UNA MATRIZ : Número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor menor complementario distinto de cero. OPERACIONES CON MATRICES MATRIZ TRASPUESTA (At)
a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a a a 33 31 32 Propiedades:
a11 a21 a31 = a12 a22 a32 A a a a 23 33 13 t
1.-) (At)t = A 2.-) (A+B)t = At+Bt 3.-) (kA)t = kAt 4.-) (AB)t = BtAt 5.-) |At| = |A|
Matriz simétrica: A simétrica si At = A (aij=aji) Matriz antisimétrica: A antisimétrica (o hemisimétrica) si At = -A (aij =-aji)
MATRIZ OPUESTA (-A)
a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a a a 33 31 32
− a11 − a12 − a13 − A = − a 21 − a 22 − a 23 − a − − a a 32 33 31
PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (kA) = k(aij) = (kaij)
a11 a12 a13 A = a 21 a22 a 23 a 31 a32 a33 A ∈ Μ (m, n)
k a11 ka12 k a31 kA = k a21 ka22 ka23 ka 31 ka32 ka33 (kA) ∈ Μ (m, n)
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES (A±B) = (aij) ±(bij)
a11 a12 a13 A = a 21 a22 a 23 a a a 31 32 33 A ∈ Μ (m, n) a11 ± b11 A ± B = a 21 ± b21 a ± b 31 31
b11 b12 b13 B = b21 b22 b23 b b b 31 32 33 B ∈ Μ (m, n) a12 ± b12 a 22 ± b22 a32 ± b32
a13 ± b13 a 23 ± b23 a 33 ± b33
( A ± B ) ∈ Μ (m, n)
PRODUCTO DE MATRICES (AxB)
a11 a12 a13 A = a 21 a22 a 23 a a a 31 32 33 A ∈ Μ (m, n)
b11 b12 b13 B = b21 b22 b23 b b b 31 32 33 B ∈ Μ (n, p)
a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 AxB = a21 b11 + a 22 b21 + a23 b31 + + + + a 21 b12 a22 b22 a23 b32 a 21 b13 a22 b23 a23 b33 a b +a b +a b + + + + a b a b a b a b a b a b 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33 ( AxB) ∈ Μ (m, p) El producto de matrices no es conmutativo
DETERMINANTES REGLA DE SARRUS (Resolución de determinantes de 2º y 3er orden).
a11 a12
= a11 a22 - a12 a21
a21 a22 a11 a12 a13 a 21 a22 a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a 23 a32 - a12 a 21 a33 - a13 a22 a31 a31 a32 a33
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.-
det(A) = det(At) det(F1,F2,…,kFi,…,Fn) = k. det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) det(F1,F2,…,Fi+Fi’,…,Fn) = det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) + det(F1,F2,…,Fi’,…,Fn) det(A.B) = det(A).det(B) det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,Fn) = - det(F1,F2,…,Fj,…,Fi,…,Fn) det(F1,F2,…,Fi,…,Fi,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,kFi,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,0,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,αFi+βFj,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) = det(F1,F2,…,aF1+bF2+Fi,…,Fn) det(kA) = kn det(A)
Menor complementario (αij) : El menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada A, de orden n, es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j. i+j Adjunto (Aij) : Aij = (-1) .αij MATRIZ ADJUNTA (Ad)
a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a a a 31 32 33
d A =
a22 a 23
-
a21 a23
a32 a33
a31 a33
a12 a13
a11 a13
a32 a33
a31 a33
a12 a13 a22 a 23
-
a11 a13 a21 a23
a 21 a22 a31 a32 a11 a12 a31 a32 a11 a12 a 21 a22
MATRIZ INVERSA (A-1)
A·A-1=A-1·A=I A −1 =
(A )
d t
A
La condición necesaria y suficiente para que A sea inversible (matriz regular) es que: - A sea cuadrada - Rg(A) =Orden(A) ⇒ A ≠ 0 Matriz singular es una matriz no inversible. Propiedades:
1.-) (A-1)-1 = A 2.-) (At)-1 = (A-1)t 3.-) (kA)-1 = k-1A-1 4.-) (AB)-1 = B-1A-1 5.-) |A-1| = 1/|A|
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATRICES ASOCIADAS A UN SISTEMA DE ECUACIONES
A B C M = A′ B ′ C ′ A′′ B ′′ C ′′
A x+ B y+C z= D A′ x + B′ y + C ′z = D′ ; A′′x + B ′′y + C ′′z = D′′
A B C D M = A′ B′ C ′ D ′ A′′ B ′′ C ′′ D′′
M : Matriz de los coeficientes
∗
M* : Matriz ampliada
EXPRESION MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
A x+ B y+C z= D A′ x + B′ y + C ′z = D′ A′′x + B ′′y + C ′′z = D′′
A B C x D A′ B ′ C ′ ⋅ y = D ' A′′ B ′′ C ′′ z D' ' M X=B B: Matriz de los términos independientes
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible (tiene solución)
⇔ Rg(M)=Rg(M*)
Casos: Rg M = Rg M* = nº incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (solución única). Rg M = Rg M* < nº incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones). Rg M ≠ Rg M*: SISTEMA INCOMPATIBLE (no tiene solución).
SISTEMAS HOMOGENEOS
A B C M = A′ B ′ C ′ A′′ B ′′ C ′′
A x+ B y +C z=0 A′x + B′y + C ′z = 0 A′′x + B′′y + C ′′z = 0
Rg M = nº incógnitas: SOLUCION TRIVIAL (x = y = z = 0). Rg M < nº incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO.
METODOS DE RESOLUCIÓN Método de Gauss: triangulación de la matriz ampliada. Método matricial o de la matriz inversa. ( M X = B → X = M-1 B ). Regla de Cramer.
ANALISIS LÍMITES Y CONTINUIDAD
INDETERMINACIONES. RESOLUCION.
k 0 ∞ 0 0 ∞
(0 ⋅ ∞ ) (∞ − ∞ )
(1 ) (∞ ) (0 ) ∞
0
0
k : Cálculo de límites laterales. 0 0 : En funciones racionales, descomponer en producto de factores el numerador y el denominador, y simplificar. 0 0 0
(∞-∞ ) : En funciones irracionales, multiplicar y dividir la función por la expresión radical conjugada.
∞ : Dividir numerador y denominador por la potencia máxima del denominador. ∞
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
f(x) es continua en x=x0 si:
1) ∃ f ( x0 ) 2) ∃ lim f ( x) ⇒ lim− f ( x) = lim+ f ( x) x → x0
x → x0
3) f ( x0 ) = lim f ( x) x → x0
x → x0
TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene máximo y mínimo en ese intervalo.
TEOREMA DE BOLZANO Sea una función que verifica: 1) f(x) continua en [a,b] 2) f(a)·f(b) < 0 entonces existe un c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0
TEOREMA DE DARBOUX Si una función es continua en el intervalo [a,b], la función toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo.
DERIVACION. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES Y OPTIMIZACIÓN
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA
f ′( x0 ) = lim h →0
f( x0 + h) - f( x0 ) h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
El valor de la función derivada en un punto de la función f(x) es la pendiente de la recta tangente a esa función en dicho punto
m = f ' ( x0 ) La ecuación de la recta tangente en el punto ( x0 , f(x0) ) es:
y − f ( x0 ) = f ' ( x0 ) ( x − x 0 ) DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
f(x) es derivable en x=x0 si:
lim
h →0 −
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = lim h → 0 h h +
⇒
f ' ( x0− ) = f ' ( x0+ )
Toda función derivable en un punto es continua en ese punto. Toda función no continua en un punto es no derivable en ese punto.
REGLA DE LA CADENA (Derivada de la función compuesta)
( g o f )′( x) = g ′( f ( x)) ⋅ f ′( x)
TABLA DE DERIVADAS TABLA u = f ( x)
DE
DERIVADAS v = g ( x)
y´=
n ⋅ u´
y=k
y´= 0
y = xm
y´= mx m −1
y = sen u
m u m−n y´= u´⋅ cos u
y´= kmx
y = cos u
y´= −u ⋅´sen u
y = kx
m
y = m un
m −1
m
y =u±v
y´= u´± v´
y = tg u
y´= u´⋅ sec 2 u
y = um
y´= mu m −1 ⋅ u´
y = cot g u
y´= −u´⋅ cos ec 2 u
y = ku m
y´= kmu m −1 ⋅ u´
y = sec u
y´= u´⋅ sec u ⋅ tg u
y = u⋅v
y´= u´v + v´u
y = cos ec u
y´= −u´⋅ cos ec u ⋅ cot g u
u v
y´=
u´v − v´u v2
y = arc sen u
y´=
y = loga u
y´=
u´ u ⋅ ln a
y = arc cos u
y´=
y = ln u
y´=
y = arc tg u
y = au
u´ u y´= a u ln a ⋅ u´
1− x 2 u´ y´= 1 + u2
y=e
y´= e ⋅ u´
y = arc cot g u
y´=
y = arc sec u
y´=
y=
u
u
y= u
y´=
y=mu
y´=
u´
2 u
y = arc cos ec u
u´ m
m u
m −1
y´=
TEOREMA DE ROLLE Sea una función que verifica: 1.-) f(x) es continua en [a,b] 2.-) f(x) es derivable en (a,b) 3.-) f(a) = f(b) entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que: f ´( c ) = 0 TEOREMA DE LAGRANGE Sea una función que verifica: 1.-) f(x) es continua en [a,b] 2.-) f(x) es derivable en (a,b) f (b) − f (a) entonces al menos existe un c ∈ (a,b) tal que: f ´(c) = b−a
u´ 1− x 2 −u´
−u´ 1 + u2 u´ u u 2 −1 −u´ u u 2 −1
TEOREMA DE CAUCHY Sean f(x) y g(x) funciones que verifican: 1.-) f(x) y g(x) continuas en [a,b] 2.-) f(x) y g(x) derivables en (a,b) 3.-) g(a) ≠ g(b) 4.-) f´(x) ≠ 0 y g´(x) ≠ 0 en x ∈ (a,b) entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que:
f ´(c) f (b) − f (a) = g´(c) g (b) − g (a)
REGLA DE L´HÔPITAL Sean f(x) y g(x) funciones derivables en el entorno de x0 sin que la derivada g´(x) sea cero. Si la fracción f ( x) 0 ∞ representa en el punto x = x0 una expresión indeterminada de la forma o tendremos que ∞ g ( x) 0
lim
x → x0
f ( x) f ´( x) = lim g ( x) x → x0 g´( x)
a condición de que exista el límite de esta fracción de las derivadas. Esta regla es aplicable también en el caso en que x0 = ∞. Se puede aplicar esta regla de forma sucesiva si se cumplen las condiciones indicadas. ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
Dominio Puntos de corte con los ejes Simetrías Asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (MONOTONÍA) Máximos y mínimos Intervalos de concavidad y convexidad (CURVATURA) Puntos de inflexión Periodicidad (sólo en trigonométricas) Regiones de la función. Representación
INTEGRACIÓN. INTEGRAL DEFINIDA
CONCEPTO DE FUNCIÓN PRIMITIVA
Sean f(x) y F(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F(x) es una función primitiva de f(x), si F(x) tiene por derivada a f(x).
∫ f ( x) dx = F ( x) + C
⇒
F '( x ) = f ( x)
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
∫ (u ± v) dx = ∫ u dx ± ∫ v dx ∫ ku dx = k ∫ u dx n ∫ u ′ ⋅ u dx =
u n +1 +C n +1
(n ≠ −1)
u′ dx = L u + C u u u ∫ u ′ ⋅ e dx = e + C
∫
au +C La ∫ u ′ ⋅ cos u dx = senu + C ∫ u ′ ⋅ senu dx = − cos u + C u ∫ u ′ ⋅ a dx =
∫ u ′ ⋅ tgu dx = − L cos u + C ∫ u ′ ⋅ cot g u dx = L senu + C u′ dx = tgu + C cos 2 u u′ 2 2 dx = − cot g u + C ∫ u ′ ⋅ cos ec u dx = ∫ u ′ ⋅ (1 + cot g u ) dx = ∫ sen 2 u u′ dx = arcsen u + C = − arccos u + C ∫ 1− u2 u′ u u dx = arcsen + C = − arccos + C ∫ a a a2 − u2 2 2 ∫ u ′ ⋅ sec u dx = ∫ u ′ ⋅ (1 + tg u ) dx = ∫
u′ dx = arc tg u + C = − arc cotg u + C 1+ u2 u′ 1 u 1 u dx = arc tg + C = − arc cotg + C ∫ 2 2 a a a a a +u
∫
INTEGRACIÓN POR PARTES
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du REGLA DE BARROW
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y F(x) es una función primitiva de f(x), entonces: b ∫a f ( x) dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a ) b
CÁLCULO DE ÁREAS A) Área limitada por una función y el eje de abscisas:
A=
∫
b
a
| f ( x )| dx =
∫
c
a
d
b
c
d
f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
B) Área limitada por dos funciones:
A=
∫ [ f ( x ) − g ( x )] dx b
a
;
f ( x ) ≥ g ( x ) ∀ x ∈ [a , b ]
GEOMETRIA ECUACIONES DE LA RECTA
(x, y, z )= (x1, y1, z1 )+ t (a, b, c ) Ecuación vectorial
x = x1 + at y = y1 + bt Ecuaciones Paramétricas z = z1 + ct x - x1 y - y 1 z - z 1 = = Ecuación Continua a b c
y - y1 z - z1 x - x1 = = Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos x 2 - x1 y 2 - y 1 z 2 - z 1
ECUACIONES DEL PLANO
(x, y, z )= (x1 , y1 , z1)+ t (a, b, c )+ s (a ′, b ′, c ′ ) Ecuación vectorial del plano
x = x1 + at + a ′s y = y1 + bt + b ′s Ecuaciones Paramétricas del plano z = z 1 + ct + c ′s x - x1
y - y1 z - z1
a
b
a′
b′
c ⇒ =0 A x+ B y+C z+ D=0 Ecuación general del plano c′
r n = ( A, B, C ) Vector normal o perpendicular del plano A (x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C (z − z 0 ) = 0 Ecuación normal del plano
cos α = cosenos directores de un plano cos β = cos γ =
A A + B2 +C2 B 2
A2 + B 2 + C 2 C A2 + B 2 + C 2
ECUACIONES DE LA RECTA COMO INTERSECCION DE DOS PLANOS
A x+ B y +C z+ D=0 r ≡ A′x + B′y + C ′z + D′ = 0
( Ax + By + Cz + D )+ t ( A′x + B ′y + C ′z + D )= 0 Ecuación del haz de planos PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
+ x +x y +y M = ( xM , y M , z M )= 1 2 , 1 2 , z1 z 2 2 2 2 BARICENTRO DE UN TRIANGULO
x + x + x y + y + y3 z1 + z 2 + z 3 G = ( xG , yG , z G )= 1 2 3 , 1 2 , 3 3 3
POSICIONES RELATIVAS
Recta y plano
π ≡ A x+ B y +C z= D A′ x + B ′ y + C ′z = D ′ r ≡ A′′x + B ′′y + C ′′z = D ′′
A B C M = A′ B ′ C ′ A′′ B ′′ C ′′
A B C D * M = A′ B′ C ′ D′ A′′ B′′ C ′′ D′′
1) Rg M = Rg M* = 3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto. 2) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado. La recta coincidente con el plano. 3) Rg M = 2 ; Rg M* = 3
Sistema incompatible. Recta y plano paralelos. Dos planos
π ≡ A x+ B y +C z= D π ′ ≡ A′ x + B ′ y + C ′z = D ′
A B C M = A′ B ′ C ′
1) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado.
Se cortan en una recta.
2) Rg M = Rg M* = 1 Sistema compatible indeterminado.
Planos coincidentes. 3) Rg M = 1 ; Rg M* = 2 Sistema incompatible.
Planos paralelos.
A B C D * M = A′ B ′ C ′ D ′
Dos rectas
A x+ B y+C z= D r ≡ A′ x + B′ y + C ′ z = D′ A′′ x + B′′ y + C ′′z = D′′ r′ ≡ A′′′x + B′′′y + C ′′′z = D′′′
M =
C A′ B′ C ′ A′′ B ′′ C ′′ A′′′ B ′′′ C ′′′ A
B
* M =
D A′ B′ C ′ D′ A′′ B ′′ C ′′ D ′′ A′′′ B′′′ C ′′′ D′′′ A
B
C
1) Rg M = Rg M* = 3 Sistema compatible determinado.
Se cortan en un punto. 2) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado.
Rectas coincidentes. 3) Rg M = 3 ; Rg M* = 4 Sistema incompatible.
Las rectas se cruzan.
4) Rg M = 2 ; Rg M* = 3 Sistema incompatible. Rectas paralelas.
Tres planos
π ≡ A x+ B y +C z= D π ′ ≡ A′ x + B′ y + C ′z = D′ π ′′ ≡ A′′x + B′′y + C ′′z = D′′
A B C M = A′ B ′ C ′ A′′ B ′′ C ′′
1) Rg M = Rg M* = 3 Sistema compatible determinado.
Se cortan en un punto.
A B C D M = A′ B′ C ′ D′ A′′ B′′ C ′′ D′′ *
2) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado.
Se cortan en una recta. 3) Rg M = Rg M* = 1 Sistema compatible indeterminado. Planos coincidentes. 4) Rg M = 1 ; Rg M* = 2 Sistema incompatible.
a) Planos paralelos y distintos.
b) Dos planos coincidentes y otro paralelo.
5) Rg M = 2 ; Rg M* = 3 Sistema incompatible.
a) Se cortan formando un prisma triangular.
b) Dos planos paralelos y el otro incidente con los anteriores.
PRODUCTO ESCALAR
r u = ( a ,b , c ) r v = ( a ′, b ′, c ′ )
rr u.v = ( a , b , c )(. a ′, b ′, c ′ )= a.a ′ + b.b ′ + c.c ′ rr r r Si u .v = 0 u y v son perpendiculares
PRODUCTO VECTORIAL
r u = ( a ,b , c ) r v = ( a ′, b ′, c ′ )
r i r r u xv=
r j
r k
a
b
c
a′
b′
c′
r r r r u x v es perpendicular a u y v PRODUCTO MIXTO
r u = ( a ,b ,c ) r v = ( a ′, b ′, c ′ ) r w = ( a ′′ , b ′′ , c ′′ )
a r r r u ⋅ (v x w)= a ′
b
c
b′
c′
a ′′ b ′′ c ′′
ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES
r u = ( a ,b , c ) r v = ( a ′, b ′, c ′ )
r r r r u ⋅v a ′a + b ′b + c ′c cos (u , v )= r r = 2 2 2 2 2 2 u v a + b + c a ′ + b′ + c ′
COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR
cos α = r u = ( a ,b ,c
)
cos β = cos γ =
a 2
2 2 a +b +c b 2 2 2 a +b +c c 2 2 2 a +b +c
ANGULO FORMADO POR DOS PLANOS
π ≡ A x+ B y+C z + D=0 π ′ ≡ A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0
A′A + B ′B + C ′C
cos (π , π ′)=
2 A + B +C 2
2
2 2 2 A′ + B′ + C ′
ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO
π ≡ A x+ B y +C z+ D=0 x - x1 y - y 1 z - z 1 r≡ = = a b c
sen (r , π ) =
aA+ bB + cC 2
2
a + b + c2
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO
π ≡ A x+ B y +C z+ D=0 x - x1 y - y 1 z - z 1 r≡ = = a b c
a b c = = A B C
π ⊥r
PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO
π ≡ A x+ B y+C z+ D=0 r≡
x - x1 y - y 1 z - z 1 = = a b c
aA + bB + cC = 0
A2 + B2 + C 2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
P ( x1 , y 1 , z 1 ) d ( P , Q )= Q ( x2 , y2 , z 2 ) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
(x2 - x1)2 + ( y2 - y1)2 + (z 2 - z1)2
π ≡ A x+ B y +C z+ D=0
d ( P, π ) =
P = ( x0 , y 0 , z 0 )
d (O , π ) =
Distancia del origen a un plano
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 D A2 + B 2 + C 2
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
r AP × u r d ( P, r ) = r ur
P = (x0 , y0 , z 0 ) r≡
x - x1 y - y 1 z - z 1 = = a b c
⇒
A = ( x1 , y1 , z1 ) r u r = (a , b, c )
DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN
x - x1 y - y 1 z - z 1 = = a b c x - x2 y - y2 z - z 2 r≡ = = a´ b´ c´ r≡
⇒ ⇒
A = ( x1 , y 1 , z 1 ) r u r = ( a , b, c )
d (r , s) =
A = (x2 , y 2 , z 2 ) r wr = (a´, b´, c´)
[
r r det u r , v s , AB r ur × vs
ÁREA DEL PARALELOGRAMO r i
r j
r k
a
b
c
a′
b′
c′
r r S = u xv =
ÁREA DEL TRIÁNGULO r i S =
1 r r u xv 2
=
1 2
r j
r k
a
b
c
a′
b′
c′
a
b
c
a′
b′
c′
VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO
r r r V = u ⋅ (v x w) =
a ′′ b ′′ c ′′
VOLUMENDELTETRADEDRO:V/6
]