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Universidad Nacional de Córdoba FACULTAD DE MATEMÁTICA ASTRONOMÍA Y FÍSICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Matemática, Astronomía y Física
PROGRAMA DE CURSO DE POSGRADO
TÍTULO: Teoría de Conjuntos AÑO: 2016
CUATRIMESTRE: Primero
CARGA HORARIA: 60hs
No. DE CRÉDITOS: 3
CARRERA/S: Doctorado en Matemática DOCENTE ENCARGADO: Pedro Sánchez Terraf
PROGRAMA Unidad I: Teoría de conjuntos básica Presentación axiomática de la Teoría de Conjuntos. Teoría de Zermelo-Fraenkel. Axioma de Elección (AC). Representación de construcciones matemáticas usando conjuntos. La categoría de los conjuntos parcialmente ordenados (posets). Ordinales y cardinales. Aritmética cardinal. Cofinalidad. Teorema de König. Equivalencias de AC: Teorema del buen orden y Lema de Zorn. Relaciones bien fundadas. Inducción generalizada. Construcciones recursivas sobre conjuntos bien fundados. La jerarquía acumulativa de conjuntos. (*) Teorema de los sistemas Δ. Unidad II: Repaso de lógica, absolutez y pruebas de consistencia. Lenguajes y modelos. Relación de satisfacción. Teorema de completitud de la lógica de primer orden. Teorema de Löwenheim-Skolem. Limitaciones de los sistemas axiomáticos: Teorema de Incompletitud de Gödel y de Indefinibilidad de Tarski. Teorema de Colapso de Mostowski. Relativización. Absolutez de fórmulas para modelos transitivos. Consistencia del axioma de Regularidad. Teorema de Reflexión. Unidad III: Cardinales característicos del continuo y el Axioma de Martin (MA). Dominancia de sucesiones enteras. Cardinal de familias no acotadas. Familias casi disjuntas maximales. Cardinales característicos � y �. Teorema de Solomon � ≥ �. Anticadenas y conjuntos densos en posets. Condición de cadenas contables (ccc). Filtros, Filtros genéricos. Axioma de Martin (MA). Aplicaciones de MA a los cardinales característicos.
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(*) MA implica que el cardinal del continuo es regular. Unidad IV: Cardinales grandes y ultrapotencias. Subconjuntos cerrados y no acotados (club) de ordinales. Cardinales inaccesibles y de Mahlo. Cardinales medibles. Ultrafiltros, u.filtros σ-completos. Ultraproductos. Ultrapotencias del universo. Incrustación elemental canónica, Teorema de Łoś. (*) Puntos críticos de incrustaciones elementales. Unidad V: Introducción al forzamiento. Modelos transitivos contables. Nombres. La extensión genérica M[G]. Construcción de nombres para operaciones conjuntísticas básicas. Definición de la relación de forzamiento. Consistencia de ZFC + ¬CH. BIBLIOGRAFÍA Bibliografía Principal: [1] F. Drake, “Set Theory: An Introduction to Large Cardinals”, North-Holland Publishing Company (1974). [2] T. Jech, “Set Theory”, Springer-Verlag (2006) edición del milenio (3ra). [3] W. Just, M. Weese, “Discovering Modern Set Theory. I”, Grad. Studies in Mathematics 8, American Mathematical Society (1996). [4] W. Just, M. Weese, “Discovering Modern Set Theory. II”, Grad. Studies in Mathematics 18, American Mathematical Society (1997). [5] K. Kunen, “Set Theory”, College Publications (2011). [6] J. Palumbo, Forcing and independence in set theory, Webpage (2009). UCLA Logic Center Summer School for Undergraduates. Bibliografía suplementaria: [1] A.A. Fraenkel, “Abstract Set Theory”, North-Holland, Amsterdam (1961), segunda edición. [2] P. Halmos, “Naive Set Theory”, Springer (1960). [3] A. Kanamori, “The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings”, Springer Berlin Heidelberg (2008). [4] K. Kunen, “Set theory: An Introduction to Independence Proofs”, Elsevier Science, Amsterdam, Lausanne, New York (1980).
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[5] Y. Moschovakis, “Notes on Set Theory”, Springer-Verlag (1994). [6] I. Neeman, Topics in set theory, forcing, Webpage (2011). Course lecture notes http://www.math.ucla.edu/~ineeman/223s.1.11s/223s-spring11-lecture-notes-6-5.pdf.
METODOLOGÍA DE TRABAJO El cursado como especialidad comprende las Unidades I a la III, mientras que los temas para la exposición de los alumnos (ver “EVALUACIÓN”) podrán estar ser elegidos de entre las unidades restantes. En este caso, los temas señalados con un asterisco serán opcionales. El formato de curso de posgrado involucra además el desarrollo completo de al menos una Unidades de la IV a la VI, tarea que será complementada con la resolución de guías especiales de ejercicios. Se desarrollarán clases teóricas y prácticas destacando los conceptos principales. También se prevé discutir los temas que sean propuestos por los alumnos, de manera que ello no signifique relegar ningún punto especificado en cada trayecto. Los alumnos trabajaran sobre guías prácticas y habrá horarios de consulta disponibles para evacuar dudas.
EVALUACIÓN FORMAS DE EVALUACIÓN Los alumnos deberán resolver una lista de aproximadamente diez ejercicios y exponer un tema en clase. CONDICIONES PARA OBTENER LA REGULARIDAD Y PROMOCIÓN Regularidad: Se requiere un 80% de asistencia a las clases teóricas. No se incluye régimen de promoción. CORRELATIVIDADES Para cursar: Tener aprobada Topología y Funciones Reales. Para rendir: Tener aprobadas Estructuras Algebraicas o bien Introducción a la Lógica (2do año computación) ó Lógica (optativa).