Recuerda - Magister

Transcript

Tema 25 Educación Secundaria magister MATEMÁTICAS FUNCIONES DERIVABLES. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES 25.1 Funciones derivables. 25.2 Función derivada. 25.3 Derivadas sucesivas. 25.4 Integración numérica Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Regla de L’Hôpital. 25.5 Aplicaciones. Índice ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DEL TEMA 0. INTRODUCCIÓN. 1. FUNCIONES DERIVABLES. 1.1. Tasa de variación media e instantánea. Derivada de una función real de variable real en un punto. 1.2. Recta tangente de una función en un punto y la derivada de la función en el punto. 1.3. La Continuidad de funciones reales derivables. 2. FUNCIÓN DERIVADA. 2.1. Función derivada. 2.2. Propiedades de las funciones derivables. 2.3. Nuevas fórmulas de funciones derivadas a partir de las propiedades de las funciones derivables. 2.4. Derivación de composición de funciones reales. La regla de la cadena. 2.5. Algunas fórmulas de derivación a partir de la regla de la cadena. 2.6. Derivación de la función inversa. Teorema de la función inversa. 2.7. Algunas fórmulas de derivación a partir de la regla de derivación de la función inversa. 3. DERIVADAS SUCESIVAS. 3.1. La función derivada de clase n. 3.2. El nacimiento de la noción de derivada y de derivadas sucesivas: La dinámica y el estudio de las trayectorias. 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA TEOREMA DE ROLLE. TEOREMA DEL VALOR MEDIO. REGLA DE L’HÔPITAL. 4.1. El teorema de Rolle 4.2. El teorema del valor medio o de los incrementos finitos 4.3. El teorema de L´Hôpital ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. 5. APLICACIONES. 5.1. Aplicaciones a distintas ramas de la ciencia. 5.2. Derivabilidad y continuidad uniforme. 5.3. Crecimiento y decrecimiento globales 5.4. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. CONCLUSIÓN BASE NORMATIVA BIBLIOGRAFÍA COMENTADA WEBGRAFÍA Ω GLOSARIO ESQUEMA / RESUMEN CUESTIONES PARA EL REPASO ֠ PROPUESTAS DE SOLUCIÓN ORIENTACIONES PARA LA REDACCIÓN DEL TEMA ORIENTACIONES PARA LA LECTURA RESUMEN (Ejemplo para la Redacción del tema en la Oposición) 2 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO Relación con otros temas Es un tema relacionado con todos aquellos temas dedicados al análisis o cálculo y que engloban un grueso de temas que van desde el tema 21 hasta el 36. Este tema está muy relacionado con los siguientes en cuanto a que el concepto de derivada es clave para poder desarrollar tanto las propiedades y estudio de las características globales y locales de las funciones, desarrollos en series de potencias, la noción de diferencial, la de integral o la extensión de todos estos conceptos a varias dimensiones. 0 INTRODUCCIÓN El estudio e interpretación de los fenómenos funcionales ha sido una de las fuentes inagotables de la ciencia para la evolución de la sociedad en general y de las ramas tanto científicas como aplicadas en particular. En ese sentido, la derivada es uno de los elementos fundamentales de análisis funcional y fuente inagotable para el estudio de situaciones en las que se analizan relaciones funcionales. El concepto de derivada como análisis de la variación de una variable frente a otra de la que depende y sus distintas aplicaciones fue ya estudiado por los antiguos griegos en tratados sobre modelizaciones funcionales como por ejemplo las espirales de Arquímedes. Durante el siglo XVI ya se atisbaron las principales ideas sobre rectas tangentes y cálculo de extremos relativos de funciones en diversos trabajos de Fermat o Descartes. Sin embargo, son los trabajos de Newton y Leibniz (siglo XVII) sobre el cálculo diferencial, los que revolucionan el mundo de la mecánica y las matemáticas. Newton y Leibnitz, de manera independiente obtuvieron resultados muy similares acerca del estudio del movimiento a lo largo del tiempo o el cálculo de áreas mediante funciones. Newton llamó al nuevo concepto fluxión que, siglos después se denominará derivada. Newton y Leibtniz pugnaron por la autoría inicial del cálculo diferencial e integral mediante agrias disputas entre la corriente científica inglesa que apoyaba a Newton, y la corriente suizoalemana que apoyaba a Leibnitz. Lo cierto es que se puede considerar que ambos realizaron tal contribución de modo independiente y apoyándose en los trabajos anteriores de Fermat, Descartes, etc. La formalización y evolución de dichos conocimientos se van sucediendo a lo largo de los siguientes años y siglos de la mano de Brook Taylor, Colin McLaurin, etc., consecuencia directa de la propia formalización de las matemáticas en general junto con la gran importancia 3 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 y aplicación que tiene el cálculo diferencial e integral para el desarrollo de el resto de ramas matemáticas y científicas. En este tema nos proponemos presentar las nociones básicas modernas del concepto de derivada y función derivada junto con sus principales propiedades y cálculo de las llamadas derivadas elementales. El tema comienza con la definición de derivada de una función en un punto a través de la noción de tasa de variación media y el proceso de límite que determina la tasa de variación instantánea. Se proporciona la relación entre la derivada en un punto y la existencia de la recta tangente en dicho punto. También mostraremos la inequívoca relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto. En el punto siguiente se introduce el concepto de función derivada y analizaremos las propiedades de las funciones derivables y ejemplificaremos, demostrando algunas de las principales fórmulas de derivación a que dan lugar para terminar enunciando y demostrando dos resultados importantes del análisis funcional como son la regla de la cadena y el teorema de derivación de la función inversa. También se expondrán aplicaciones y algunos ejemplos concretos de reglas de derivación a que dan lugar estos resultados. En la sección siguiente se determina la noción de derivadas sucesivas y de función derivada de clase n y de clase infinito, mostrando la aplicación más evidente de tales conceptos a la dinámica, fundamento para el nacimiento de tales conocimientos. En el penúltimo punto se enuncian y demuestran tres de los más importantes teoremas para el estudio de las funciones mediante derivadas como son el toerema de Rolle, el teorema del valor medio y el teorema de L´Hôpital. En el último punto, se concretan algunas aplicaciones que tiene el concepto de derivada y se ofrecen ejemplos en este sentido. Algunos son los contenidos del tema que se trabajan aplicadamente durante la Enseñanza Secundaria como se puede observar en el Real Decreto de Mínimos y, sobre todo, en el boque 0 dedicado a los “contenidos comunes”. El concepto de tasa de variación media y el de derivada de una función en un punto como el límite del cociente incremental se trabajan como contenido mínimo en Matemáticas B de 4º ESO. En todos los cursos y ramas de Bachillerato (Matemáticas I, II y Matemáticas ap CC.SS.I y II), se trabaja el concepto de derivada en un punto, función derivada, las propiedades y fórmulas de derivación de las principales funciones elementales y se aplican al estudio y análisis de funciones. Los teoremas de Rolle, L´Hôpital o teorema del valor medio se trabajan en Bachillerato de Ciencias y Tecnología. 4 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES 1. FUNCIONES DERIVABLES 1.1. Tasa de variación media e instantánea. Derivada de una función real de variable real en un punto. ENLACE: Comenzamos aproximándonos al concepto de derivada de una función real del variable real en un punto mediante la tasa de variación media, las pendientes de rectas tangentes e infiriendo la definición de tasa de variación instantánea. El estudio de la monotonía de una función en un punto se debe comenzar estudiando las variaciones que presenta la función en intervalos o entornos del punto. En este sentido, se define el concepto tasa de variación media. Definición de tasa de variación media de una función en un intervalo: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I = [a, b] . Llamamos tasa de variación media de la función f en el intervalo I = [a, b] al valor finito f (b) − f (a ) b−a Este valor representa a la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). El concepto de tasa de variación media es indispensable para poder estudiar la variación que presenta una función en cada punto x = c ya que, si tomamos una función f: I ⊆ R → R con I un intervalo abierto y consideramos un valor cualquiera del intervalo c ∈ I, podemos estudiar la variación de la función a la derecha del punto c mediante la tasa de variación media que presenta f en el intervalo [c, c + h] con h > 0 de tal modo que el valor auxiliar c + h ∈ I. De ese modo, dado h > 0 con c + h ∈ I, la tasa de variación media que presenta la función f en el intervalo [c, c + h] será: f (c + h ) − f ( c ) f ( c + h ) − f (c ) = c+h−c h que es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (c, f(c)), y (c + h, f(c + h)) Ejemplo. Sea la función f(x) = x2 y calculamos la tasa de variación media en el intervalo [1, 2]. En tal caso, dicha tasa vendrá dada por el valor: f (2) − f (1) f (2) − f (1) = = 2 2 − 12 = 4 − 1 = 3 2 −1 1 Por lo tanto, TVM(1, 2) = 3 que es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, 4). 5 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. El estudio de la variación de la función(x) a la derecha del punto c ∈ I se completa, estudiando cómo se comporta la tasa de variación media cuando acercamos el valor auxiliar c + h hacia el valor c, esto es, cuando hacemos que h sea tan próximo a cero como queramos. Eso da píe a estudiar el siguiente límite que es llamado la tasa de variación instantánea o derivada de la función en el punto c ∈ I. Definición de tasa de variación instantánea o derivada de una función real de variable real en un punto: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. La tasa de variación instantánea de f(x) en x = c se define como, lim h →0 f (c + h ) − f (c ) h Se dice que f es derivable en x = c si existe y es finita la tasa de variación instantánea en c ∈ I. En tal caso, dicho límite se denota mediante f´(c) y se denomina derivada de f en x = c. f ´(c) = lim h →0 f ( c + h ) − f (c ) h La anterior definición es equivalente a que exista y sea finito el límite: lim x→0 f ( x ) − f (c ) x−c Para ver la equivalencia basta realizar el cambio de variable x = c + h. Ejemplo. Sea la función f(x) = x2 y calculamos la tasa de variación instantánea en x = 1. En tal caso, dicha tasa vendrá dada por el valor: f ´(1) = lim h→0 (1 + h) 2 − 1 1 + h 2 + 2h − 1 f (1 + h) − f (1) h 2 + 2h = lim = lim = lim = lim (h + 2) = 2 h→0 h→0 h→0 h→0 h h h h Por lo tanto, la tasa de variación instantánea de f(x) en x = 1, será TVI(1) = f´(1) = 2. La definición de la derivada en un punto como un proceso de límite invita a dar una definición alternativa los llamados límites laterales. Definición alternativa de derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Diremos que existe la derivada de la función f en x = c o la tasa de variación instantánea de f(x) en x = c si existen, son finitos y coinciden los límites, f ´(c +) = lim+ h →0 f ( c + h ) − f (c ) h f ´(c −) = lim− h →0 6 www.magister.es f (c + h ) − f (c ) h Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES En caso de existir, al primer límite se denomina derivada lateral por la derecha y al segundo derivada lateral por la izquierda. En el caso de que el intervalo en el que esta definida la función f(x) es de la forma I = [a, b] con a, b ∈ R entendemos que f es derivable en x = a cuando exista y sea finito f´(a+) mientras que f será derivable en b ∈ R, cuando exista y sea finito el valor f´(b–). 1.2. Recta tangente de una función en un punto y la derivada de la función en el punto. ENLACE: Las definiciones anteriores se sustentan geométricamente en el cálculo de la pendiente de la recta tangente a la función en el punto de abcisa valuado. En este sentido, definimos el concepto de recta tangente y hacemos ver su relación con el estudio de la variación de la función en un punto. Un resultado elemental de análisis diferencial vincula a la pendiente de la recta tangente a la función en un punto con la derivada o tasa de variación instantánea de la función en dicho punto, en caso de que éstas existan. Para comprobarlo, definimos primeramente lo que entendemos por recta tangente a una función en un punto. Definición de recta tangente a una función real de variable real en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Llamamos recta tangente a f(x) en el valor de abcisa c ∈ I, a aquella recta r tal que 1) Pasa por (c, f(c)) 2) Existe un entorno de c ∈ I donde la mejor aproximación lineal de f(x) se consigue mediante la recta r. Veamos ahora cómo la derivada de la función f(x) en un punto, de existir, coincide con la pendiente de la recta tangente. Relación de la recta tangente con la derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f(x) es derivable en c ∈ I, f´(c) es la pendiente de la recta tangente. Demostración. Consideramos una función cualquiera f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Supongamos que f(x) es derivable en c ∈ I. Trabajaremos a la derecha del valor de abcisa c ∈ I y el mismo procedimiento se aplicará a la izquierda de tal valor. Dado h > 0 tal que c + h ∈ I, la recta que pasa por los puntos (c, f(c)) y (c + h, f(c + h)) viene definida por la ecuación, y − f (c ) = f (c + h ) − f (c ) ⋅ ( x − c) h Para encontrar la recta que mejor aproxima a f(x) en un entorno del punto (c, f(c)) consideraremos las distintas rectas formadas por los puntos (c, f(c)) y (c + h, f(c + h)) cuando aproximamos el valor auxiliar c + h hacia c, esto es, hacemos tan próximo a cero el valor h como queramos. 7 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. En tal caso, dado un valor x ∈ I tal que c < x < c + h, el valor de la imagen f(x) correspondiente se podrá aproximar mejor con las rectas que pasan por (c, f(c)) y (c + h, f(c + h)) cuando aproximemos c + h hacia c, es decir, cuando hagamos tender al valor positivo h a cero. Por ello, tomaremos límites en la expresión de la recta que pasa por (c, f(c)) y ((c + h, f(c + h)) haciendo tender h a cero (por la derecha) del modo siguiente:  f (c + h ) − f ( c )  lim+ ( y − f (c) ) = lim+  ⋅ ( x − c) h →0 h →0  h  operando obtenemos una nueva recta, f (c + h ) − f (c )   y − f (c) =  lim+  ⋅ ( x − c) h  h →0 f ( c + h) − f ( c ) , es precisamente la h→0 h derivada de la función f(x) en c ∈ I, que por condiciones del enunciado, existe y es finita. que pasa por el punto (c, f(c)) y cuya pendiente m = lim+ Esta recta, por lo razonado anteriormente, es la recta que mejor aproxima a la función en un entorno del punto c ∈ I. Gracias a este resultado se puede observar gráficamente que la derivada de la función en un punto, f´(c), expresa la pendiente de la recta tangente a la gráfica en x = c. f´(c) = tgα Cuando la tangente a la gráfica no está definida de forma precisa en un punto, la función puede no ser derivable en ese punto. Veamos un ejemplo clásico de ello. Ejemplo. La función f(x) = |x|, que se puede describir como función a trozos según  x si f ( x) =| x |=  − x si y con representación gráfica, 8 www.magister.es x≥0 x<0 Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES es continua en x = 0 ya que lim f ( x) = lim+ x = 0 = f (0) h →0 + h →0 lim f ( x) = lim− − x = 0 = f (0) h →0 − h→ 0 Sin embargo esta función no presenta tangente precisa en el punto x = 0 ya que los siguientes límites no coinciden: lim h →0 + lim− h →0 0+h−0 f ( 0 + h ) − f ( 0) = lim+ =1 h → 0 h h f ( 0 + h ) − f ( 0) 0−h−0 = lim+ = −1 h →0 h h 1.3. La Continuidad de funciones reales derivables. ENLACE: Establecemos la relación que existe entre la continuidad de una función en un punto y la derivabilidad de la función en dicho punto. Para funciones reales de variable real las nociones de derivabilidad y continuidad están relacionadas de acuerdo al siguiente resultado que no puede generalizarse a funciones de más de una variable. Teorema sobre continuidad y derivabilidad de una función: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f es derivable en x = c entonces f es continua en x = c. Demostración. Supongamos que f es derivable en x = c. En ese caso, existirá y será finito el límite: f ´(c) = lim h →0 f ( c + h ) − f (c ) h En estas condiciones, para todo valor x ∈ I con x ≠ c es válida la siguiente identidad: f ( x ) = f (c ) + f ( x ) − f (c ) ⋅ ( x − c) x−c 9 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Tomando límite en la expresión anterior y haciendo tender x al valor c, tendremos que: f ( x ) − f (c )   ⋅ ( x − c) = lim f ( x) = lim  f (c) + x →c x →c x−c   = lim f (c) + lim x →c x →c f ( x ) − f (c ) ⋅ lim( x − c) = f (c) + f ´(c) ⋅ 0 = f (c) x →c x−c Por lo tato, f es continua en x = c. Observaciones. 1. Este resultado permite descartar la derivabilidad en valores donde previamente no haya continuidad. 2. La continuidad no implica la derivabilidad. Obsérvese el propio ejemplo de la función, antes mencionada, f(x) = |x| en x = 0. Dicha función es continua en x = 0 pero no es derivable en él. RECUERDA: Definición de tasa de variación media de una función en un intervalo: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I = [a, b] . Llamamos tasa de variación media de la función f en el intervalo I = [a, b] al valor finito f (b) − f (a ) . Este valor representa a la pendiente de la recta que pasa por los b−a puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definición de tasa de variación instantánea o derivada de una función real de variable real en un punto: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. La tasa de variación instantánea de f(x) en x = c se f (c + h ) − f (c ) . define como, lim h →0 h Se dice que f es derivable en x = c si existe y es finita la tasa de variación instantánea en c ∈ I. En tal caso, dicho límite se denota mediante f´(c) y se denomina derivada de f en x = c. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Diremos que existe la derivada de la función f en x = c o la tasa de variación instantánea de f(x) en x = c si existen, son finitos y coinciden los límites, f ´(c +) = lim+ h →0 f ( c + h ) − f (c ) h f ´(c −) = lim− h →0 f (c + h ) − f (c ) h En caso de existir, al primer límite se denomina derivada lateral por la derecha y al segundo derivada lateral por la izquierda. 10 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES RECUERDA: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Llamamos recta tangente a f(x) en el valor de abcisa c ∈ I, a aquella recta r tal que pasa por (c, f(c)) y existe un entorno de c ∈ I donde la mejor aproximación lineal de f(x) se consigue mediante la recta r. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f(x) es derivable en c ∈ I, f´(c) es la pendiente de la recta tangente. Teorema sobre continuidad-derivabilidad: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f es derivable en x = c entonces f es continua en x = c. La continuidad no implica la derivabilidad. Obsérvese el propio ejemplo de la función, antes mencionada, f(x) = |x| en x = 0. Dicha función es continua en x = 0 pero no es derivable en él. 2. FUNCIÓN DERIVADA. Mediante la operación de derivación pueden generarse nuevas funciones a partir de una función dada. Estas funciones obtenidas por derivación sucesiva proporcionan una información básica sobre la función primitiva. 2.1. Función derivada. ENLACE: Iniciamos el punto extendiendo el concepto de derivada en un punto al de derivada de una función. Definición de función derivada asociada a una función real de variable real: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I donde admite derivada para cada valor x ∈ I. Llamamos función derivada de f y lo representamos mediante f´ = f´(x) a la función real de variable real f´: I ⊆ R → R que a cada valor x le hace corresponder la derivada de la función f en tal punto. Calcularemos ahora algunos ejemplos básicos de función derivada mediante el proceso de límite: a) Derivada de la función constante: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = k con k ∈ R, se verifica que su función derivada es es f´(c) = 0. 11 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Sin más que tomar la definición: 0 f ( x + h) − f ( x) k −k = lim+ = lim+ = 0 h →0 h →0 h h h f ´(x) = lim h→0 b) Derivada de la función potencia natural de la identidad: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = xn con n ∈ N – {0}, se verifica que la función derivada es f´(x) = n · xn–1. Sin más que tomar la definición: n f ´(x) = lim h →0 = lim n ∑  k  ⋅ x (x + h ) − x = lim k =0   f ( x + h) − f ( x ) = lim h→0 h 0 → h h n n −1 n k =0   ∑  k  ⋅ x h →0 k ⋅ h n−k h n k ⋅ h n−k − x n = h n −1 n    n  n −1  ⋅ x = n ⋅ x n −1 = lim ∑   ⋅ x k ⋅ h n −k −1 =  h →0 k =0  k   n − 1 c) Derivada de la función logaritmo neperiano: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = lnx con x > 0, se verifica que la función derivada es f´(x) = 1/x. Sin más que tomar la definición: f ´(x) = lim h→0 f ( x + h) − f ( x) ln ( x + h ) − ln x = lim = lim h → 0 h →0 h h  ln 1 + = lim  h →0 h h x   = lim ln 1 + h →0  ln x+h x = h 1/ h h x  Al ser la función logaritmo neperiano continua en todo su dominio entonces,  lim ln 1 + h →0  h x  1/ h   = ln lim 1 +  h →0   h x  1/ h 1/ h     = ln lim 1 + 1   = ln e1 / x = 1     h →0  x / h   x    ( ) d) Derivada de la función trigonométrica seno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = senx, se verifica que la función derivada es f´(x) = cosx. Sin más que tomar la definición: f ´(x) = lim h →0 f ( x + h) − f ( x ) sen( x + h ) − senx = lim = h →0 h h 12 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Por la fórmula de la adición trigonométrica para el seno de la suma, = lim h→0 senx ⋅ cosh + cos x ⋅ senh − senx senx ⋅ (cosh − 1) + cos x ⋅ senh = lim = h→0 h h senh cosh − 1 + cos x ⋅ lim h →0 h →0 h h = senx ⋅ lim Multiplicando el primer límite por (cosh+1) en numerador y denominador y teniendo en cuenta para ambos límite que lim h →0 senh =1 h tendremos que, (cosh − 1) ⋅ (cosh + 1) cos 2 h − 1 + cos x ⋅ 1 = senx ⋅ lim + cos x = h→0 h → 0 h ⋅ (cosh + 1) h ⋅ (cosh + 1) f ´( x ) = senx ⋅ lim sen 2 h senh ⋅ senh = − senx ⋅ lim + cos x = − senx ⋅ lim + cos x = h → 0 h ⋅ (cosh + 1) h → 0 h ⋅ (cosh + 1) = − senx ⋅ lim h→0 senh senh ⋅ lim + cos x = − senx ⋅ 1 ⋅ 0 + cos x = 0 + cos x = cos x h h → 0 cosh + 1 2.2. Propiedades de las funciones derivables. ENLACE: Destacamos ahora algunas propiedades y proposiciones importantes para la derivación de funciones. Podemos distinguir varios tipos de propiedades de las funciones derivables. Teorema de las fórmulas básicas de derivación: Sean f: I ⊆ R → R y g: I ⊆ R → R derivables entonces, a) ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) b) (c · f)´ = c · f´(x) c) (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) d)   ( x) = , si g(x) ≠ 0 [g ( x)]2 g Demostración. Consideramos las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I ⊆ R → R derivables entonces, 13 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. a) ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) Tomando la definición de límite en cualquier valor de dominio x ∈ I, tendremos que: ( f + g )( x + h) − ( f + g )( x) f ( x + h) + g ( x + h) − f ( x) − g ( x) = lim = h →0 h →0 h h ( f + g )´( x) = lim = lim h →0 f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + lim = f ´(x) + g´( x) h →0 h h Por lo tanto, ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) b) (c · f)´ = c · f´(x) Sea x ∈ I cualquier valor de dominio entonces tendremos que, (c ⋅ f )´(x) = lim h →0 (c ⋅ f )( x + h) − (c ⋅ f )( x) c ⋅ f ( x + h) − c ⋅ f ( x ) = lim = h → 0 h h = c ⋅ lim h →0 f ( x + h) − f ( x) = c ⋅ f ´(x) h Por lo tanto, (c · f)´ = c · f´(x) c) (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) Consideramos x ∈ I. Tendremos que: ( f ⋅ g )( x + h) − ( f ⋅ g )( x) f ( x + h ) ⋅ g ( x + h) − f ( x ) ⋅ g ( x ) = lim = h→0 h→ 0 h h ( f ⋅ g )´(x) = lim Sumando y restando f(x)·g(x+c) en el numerador, ( f ⋅ g )´( x) = lim h →0 f ( x + h) ⋅ g ( x + h) − f ( x ) ⋅ g ( x + h ) + f ( x ) ⋅ g ( x + h) − f ( x ) ⋅ g ( x ) = h Sacando factor común, ( f ⋅ g )´(x) = lim h→ 0 [ f ( x + h ) − f ( x ) ] ⋅ g ( x + h ) + f ( x ) ⋅ [g ( x + h ) − g ( x ) ] = h Realizando el límite y tendiendo en cuenta que g es continua en x, = lim h →0 f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) ⋅ lim g ( x + h) + f ( x) ⋅ lim = f ´(x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g´( x) h → 0 h → 0 h h Por lo tanto, (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) 14 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) d)   ( x) = , si g(x) ≠ 0 [g ( x)]2 g Tomando la definición de límite en cualquier valor de dominio x ∈ I con g(x) ≠ 0, tendremos que: ´  f  ( x) = lim ( f / g )( x + h) − ( f / g )( x) = lim f ( x + h) / g ( x + h) − f ( x) / g ( x) = h →0 h →0  g h h = lim h →0 f ( x + h) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ( x + h ) = g ( x ) ⋅ g ( x + h) ⋅ h Sumando y restando f(x)·g(x) en el numerador, ´  f  ( x) = lim f ( x + h) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x + h) = h →0  g g ( x ) ⋅ g ( x + h) ⋅ h Sacando factor común, ´  f  ( x) = lim [ f ( x + h) − f ( x)] ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ [g ( x + h) − g ( x)] = h →0  g g ( x ) ⋅ g ( x + h) ⋅ h  f ( x + h) − f ( x)   g ( x + h) − g ( x )  ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅     h h   lim = h →0 g ( x ) ⋅ g ( x + h) Realizando el límite y tendiendo en cuenta que g es continua en x, g ( x + h) − g ( x )  f ( x + h) − f ( x)    ⋅ lim g ( x) − lim f ( x) ⋅ lim lim   h →0 h → 0 h → 0 h → 0 h h    f  ( x) = lim = h →0  g lim g ( x) ⋅ lim g ( x + h) ´ h →0 h →0 ´  f  ( x) = f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) = f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x)  g   g ( x) ⋅ g ( x) [g ( x)]2 ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) Por lo tanto,   ( x) = [g ( x)]2 g 15 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 2.3. Nuevas fórmulas de funciones derivadas a partir de las propiedades de las funciones derivables. ENLACE: A partir de las propiedades de las funciones derivables podemos calcular la derivada de polinomios o de fracciones algebraicas. Calcularemos ahora algunos ejemplos básicos de función derivada mediante el proceso de límite: a) Derivada de un polinomio: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = anxn + an–1xx–1 + . . . + a1x + a0 con n ∈ N, se verifica que su función derivada es f´(x) = n · anxn–1 + (n – 1) · an–1xx–2 + + . . . + a2x + a1. Demostración. Sin más que tomar la propiedad de la suma y la del producto por escalares y, utilizando la derivada de las funciones de la forma xk con k ∈ N, tendremos el resultado deseado. b) Derivada de una fracción algebraica: Dada la función real de variable real descrita mediante pn ( x) an x n + an −1 x n −1 + . . . + a1 x + a0 f ( x) = = qm ( x) bm x m + bm −1 x m −1 + . . . + b1 x + b0 con n, m ∈ N (si m = 0 entonces b0 ≠ 0), se verifica que la función derivada es f ( x) = p´n ( x)qm ( x) − pn ( x)q´m ( x) [qm ( x)]2 Demostración. Tomando la propiedad de la división de funciones y aplicando el apartado anterior tendremos la derivada. 2.4. Derivación de composición de funciones reales. La regla de la cadena. ENLACE: Nos ocupamos ahora del estudio de la derivación de la composición de funciones. A este procedimiento se denomina “regla de la cadena”. A continuación vamos a exponer un resultado fundamental para el cálculo de derivadas como es la derivación de uno de los métodos más básicos de construcción de funciones a partir de otras: la composición de funciones. Teorema de derivada de la composición o Regla de la cadena. Sean las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que: i) f es derivable en a ∈ I. ii) f(I) ⊆ I´. iii) g es derivable en b = f(a) ∈ I´ Entonces la función real de variable real composición h = g◦f es derivable en x = a y satisface la relación siguiente: 16 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. h´(a) = g´(f(a)) · f´(a) Demostración. Consideramos las funciones f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que f es derivable en a ∈ I, f(I) ⊆ I´ y además g es derivable en b = f(a) ∈ I´ Sea la función real de variable real F: I´ ⊆ R → R definida del siguiente modo:  g ( y ) − g (b) − g´(b) si  F ( y) =  y −b  si 0 y≠b y=b Esta función satisface las siguientes propiedades. • La función F es continua en y = b. Para verlo, comprobamos que dado el valor b ∈ I´ entonces lim F ( y ) = F (b) . y →b Como g es derivable en y = b entonces:  g ( y ) − g (b)  g ( y ) − g (b) lim F ( y ) = lim  − g´(b) = lim − g´(b) = g´(b) − g´(b) = 0 = F (b) y →b y →b y −b y −b   y →b Por lo tanto, efectivamente lim F ( y ) = F (b) y la función F es continua en y = b. y →b • Si x ≠ a entonces g( f(x) – g(b) ) = [ F(f(x)) + g´(b) ] · (f(x) – b). Consideramos un valor x ∈ I tal que x ≠ a. Por la propia definición de F y como f(I) ⊆ I´, se verifica que F ( f ( x)) = g ( f ( x)) − g ( f (a )) − g´( f (a )) f ( x) − f (a) Por lo tanto, tendremos que si y ≠ b, g(f(x)) – g(f(a)) = [F(f(x)) + g´(f(a))] · (f(x) – f(a)). Esta última igualdad también es válida para x = a ya que, sustituyendo en cada miembro de la expresión por x = a, tendremos que g(f(a)) – g(f(a)) = 0 [F(f(a)) + g´(f(a))] · (f(a) – f(a)) = [F(f(a)) + g´(f(a))] · 0 = 0 Por lo tanto, obtenemos la igualdad 0 = 0 y se confirma que la expresión es válida para x = a. Teniendo en cuenta la anterior igualdad, tratamos de calcular la derivada de la función composición h = g◦f en x = a y obtener la expresión deseada. 17 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 h( x) − h( a ) g ( f ( x)) − g ( f (a )) = lim x→a x→a x−a x−a h´(a ) = lim Utilizando la igualdad antes demostrada, g(f(x)) – g(f(a)) = [F(f(x)) + g´(f(a))] · (f(x) – f(a)), para el cálculo de h´(a), tendremos h´(a ) = lim x→a [ F ( f ( x)) + g´( f (a ))] · ( f ( x)) − f (a )) g ( f ( x)) − g ( f (a )) = lim = x→a x−a x−a = lim[ F ( f ( x)) + g´( f (a ))] ⋅ x→a f ( x) − f ( a ) f ( x) − f (a) = [lim F ( f ( x)) + g´( f (a ))] ⋅ lim x → a x → a x−a x−a Puesto que F es continua en x = b = f(a) y su valor es F(b) = 0 y, por otra parte, f es derivable en x = a, obtenemos: h( x) − h( a ) = [0 + g´( f (a ))] ⋅ f ´(a ) = g´( f (a )) ⋅ f ´(a ) x→ a x−a h´(a ) = lim Y por lo tanto, acabamos de demostrar que si f y g cumplen las concidiones del teorema, la composición h = g◦f es derivable y su función derivada viene determinada por h´(x) = g(f(x)) · f´(x). 2.5. Algunas fórmulas de derivación a partir de la regla de la cadena. ENLACE: Hacemos mención de algunas funciones derivada que provienen de la aplicación de la regla de la cadena a determinadas composiciones. Veamos algunos ejemplos básicos de aplicación de la regla de la cadena y otros que necesitan de este resultado, a) Derivada de la función potencia de la identidad: Sea la función real de variable real f(x) = xn con n ∈ R – {0}, se verifica que la función derivada es f´(x) = n · xn–1 Demostración. Sea la función f(x) = xn con n ∈ R – {0}. Tomando logaritmo neperiano en la expresión f(x) = xn y utilizando la propiedad del exponente para logaritmos tendremos que, f ( x) = x n ⇔ ln f ( x) = ln( x n ) ⇔ ln f ( x) = n ⋅ ln x Puesto que la función logaritmo neperiano y la función f(x) Derivamos ahora la expresión ln(f(x)) a partir de la regla de la cadena en el primer miembro y la regla del producto de función por constante en el segundo miembro de la igualdad anterior, 18 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. (ln f ( x) )´= (n ⋅ ln x )´ ⇔ f ´( x) n = f ( x) x f ´( x) n = x xn ⇔ ⇔ f ´( x) = n ⋅ x n−1 Por lo tanto, f´(x) = n · xn–1. b) Derivada de la función radical o irracional: Dada la función real de variable real descrita mediante h(x) = n f ( x) con f(x) función real positiva f(x) ≥ 0 y n ∈ N – {0, 1}, se verifica que la función derivada es f ´(x) f ´(x)= n −1 n ⋅ n ( f ( x) ) Demostración. Sea la función h(x) = n f ( x) con g(x) función real positiva g(x) ≥ 0 y n ∈ N – {0, 1}, Consideramos las funciones g(x) = x1/n con n ∈ N – {0, 1} y la función f(x). Se advierte que: 1 g f ( x) = g ( f ( x)) = ( f ( x)) n = n f ( x) = h( x) Por lo tanto, si h = g ◦ f, con g y f funciones derivables en sus dominios y cumpliendo las condiciones de la regla de la cadena, aplicamos dicha regla, 1 −1 1 f ´( x) f ´( x) h´( x) = g´( f ( x)) ⋅ f ´( x) = ⋅ ( f ( x) ) n ⋅ f ´(x) = = n −1 n −1 n n ⋅ n ( f ( x) ) n ⋅ ( f ( x) ) n Por lo tanto, f ´(x)= f ´(x) n ⋅ n ( f ( x) ) n −1 c) Derivada de la función coseno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = cos(x) con x ∈ R, se verifica que la función derivada de f(x) es f´(x) = – senx. Demostración. Consideramos la función f(x) = cosx. Por otra parte, sean las funciones reales de variable real, g ( x) = π 2 −x h( x) = senx Ambas funciones son derivables y tendremos que, π  f(x) = cos(x) = h ◦ g(x) = sen − x  . 2  Puesto que g y h cumplen las condiciones de la regla de la cadena, derivamos según esta regla, obteniendo la derivada de la función coseno: ´  π π  π   (cos x)´=  sen − x  = cos − x  ⋅ (−1) = − cos − x  2  2    2 Utilizando la igualdad trigonométrica para ángulos complementarios 19 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. π  cos − x  = senx 2  Obtenemos finalmente (cos x)´= senx . d) Derivada de la función tangente: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = tg(x) con x ∈ R – {(2k+1)·π/2 / k ∈ N }. Se verifica que la función derivada de la función tangente es f´(x) = [1+tg2(x)]. Demostración. Sea la función f(x) = tg(x) con x ∈ R – {(2k+1)·π/2 / k ∈ N }. Puesto que tg(x) = senx/cosx y las funciones sen(x) y cos(x) son derivables, podemos utilizar la propiedad de derivación del cociente teniendo en cuenta que no es válida si el denominador es cero, esto es, si cos(x) = 0 con lo que no es válida si x ∈ R – {(2k+1)·π/2 / k ∈ N }. Por lo tanto, si x ∈ R – {(2k+1)·π/2 / k ∈ N }, aplicamos la regla de la derivada del cociente obteniendo, f ´(x) = (senx )´⋅ cos x − senx ⋅ (cos x )´ = cos x ⋅ cos x − senx ⋅ (− senx) = cos 2 x = cos 2 x cos 2 x + sen 2 x sen 2 x = + = 1 + tg 2 x 1 2 2 cos x cos x Concluimos que (tg(x))´ = 1 + tg2(x). 2.6. Derivación de la función inversa. Teorema de la función inversa. ENLACE: Terminamos el presente punto exponiendo el método de derivación de la función inversa a una dada y las condiciones en que se puede derivar. El siguiente teorema sirve como método para establecer unas condiciones mínimas para poder derivar la función inversa, en el dominio oportuno de existencia. Del mismo modo, aporta un método de cálculo de la función derivada de la inversa. Teorema de derivada de la función inversa en los reales. Sea una función real de variable real f: I ⊆ R → R tal que: i) f es continua en a ∈ I. ii) f es monótona estricta (creciente o decreciente). iii) f´(a) ≠ 0 Entonces existe función inversa g = f – 1 de la función f en b = f(a) y su derivada es [f −1 ] (b) ´ = g´(b) = 1 f ´(a ) Demostración. Sea un real cualquiera a ∈ R y consideramos una función f: I ⊆ R → R continua, mónotona estricta tal que f´(a) ≠ 0. 20 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Por ser y = f(x) una función monótona estricta entonces es biyectiva y por lo tanto tiene inversa que llamaremos x = g(y) = f– 1(y) y que a su vez también será monótona estricta. Por otra parte, al ser f una función continua en x = a entonces la función inversa x = g(y) = f–1(y) es también continua en b = f(a). Sea J ⊆ R un entorno de b = f(a) donde la función inversa g = f – 1 es continua. Sea y ∈ J con y ≠ b entonces, al ser g y f monótona estricta, g(y) ≠ g(b) y en ese caso, g ( y ) − g (b) x−a  f ( x) − f (a)  = =  y −b f ( x) − f ( a )  x−a −1 Por ser g continua en y = b, podemos tomar límite en la igualdad anterior, haciendo tender hacia b, y tendremos que, g ( y) − g (b) x−a  f ( x) − f ( a )  = lim = lim y →b x →a f ( x) − f (a ) x →a y −b x − a   ( f −1 )´(b) = g´(b) = lim −1 f ( x) − f ( a )   = lim x − a   x →a −1 Puesto que f´(a) ≠ 0, el valor alcanzado es real y entonces (f −1 f ( x) − f (a)   )´(b) = lim  x−a  x→a −1 = 1 f ´(a ) Con la notación habitual para funciones y sus inversas: y = y(x), x = x(y) La fórmula operativa para derivar funciones inversas se escribe en la forma siguiente: dy 1 = dx dx / dy 2.7. Algunas fórmulas de derivación a partir de la regla de derivación de la función inversa. ENLACE: Mostramos algunas fórmulas de derivación que provienen de la aplicación de la derivación de la función inversa a una dada. Veamos algunos ejemplos básicos de aplicación de la derivada de la función inversa y otros que necesitan de este resultado, a) Derivada de la función arco seno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = sen(x) con x ∈ (– π/2, + π/2), se verifica que la función derivada de su inversa f-1(y) = arcsen(y) es 21 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. [arcsen( y )]´= 1 1 − y2 Demostración. Sea la función f(x) = sen(x) con x ∈ (– π/2, + π/2). En tal caso, sabemos que f(x) es continua y derivable con función derivada no nula en tal intervalo y tal que, f´(x) = [sen(x)]´ = cosx > 0 Por tanto, f(x) = sen(x) es monótona creciente (derivada mayor que cero). Eso nos asegura la existencia de la función inversa a la vez que la derivabilidad de la misma en el intervalo imagen de f sobre (– π/2, + π/2), esto es, en el intervalo (– 1, 1). La función derivada de la función x = g(y) = arcsen(y) en el intervalo (– 1, 1) se calcula mediante la regla de derivación de la función inversa según, [ ] g´( y ) = f −1 ( y ) ´ = 1 f ´(x) En nuestro caso, [arcsen( y )] ´= 1 1 1 = = [ senx]´ cos x 1 − sen 2 x b) Derivada de la función arco tangente: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = tg(x) con x ∈ (– π/2, π/2), se verifica que la función derivada de su inversa arco tangente f-1(y) = arctg(y) es [arcstg ( y )] ´= 1 1+ y2 Demostración. Sea la función f(x) = tg(x) con x ∈ (– π/2, π/2). Esta función es continua y derivable en tal dominio. Además, su derivada es tal que, (tg(x))´ = (1 + tg2(x)) >0 Por lo tanto, tg(x) es una función monótona creciente en (– π/2, π/2) y cumple con todas las condiciones para aplicar el teorema de derivación de la función inversa. Según este teorema, la función inversa de tg(x) será derivable en la imagen de (– π/2, π/2), esto es, (– ∞, +∞) y su derivada vendrá definida por la fórmula, [ ] g´( y ) = f −1 ( y ) ´ = 1 f ´(x) En nuestro caso, [arctg ( y)] ´= 1 1 1 = = 2 [tgx]´ 1 + tg x 1 + y 2 22 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. RECUERDA: Definición de función derivada asociada a una función real de variable real: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I donde admite derivada para cada valor x ∈ I. Llamamos función derivada de f y lo representamos mediante f´ = f´(x). A la función real de variable real f´: I ⊆ R → R que a cada valor x le hace corresponder la derivada de la función f en tal punto. Teorema de las fórmulas básicas de derivación: Sean f: I ⊆ R → R y g: I ⊆ R → R derivables entonces, a) ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) b) (c · f)´ = c · f´(x) c) (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) d)   ( x) = , si g(x) ≠ 0 [g ( x)]2 g Teorema de derivada de la composición o Regla de la cadena. Sean las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que: 1) f es derivable en a ∈ I. 2) f(I) ⊆ I´. 3) g es derivable en b = f(a) ∈ I´ Entonces la función real de variable real composición h = g◦f es derivable en x = a y satisface la relación siguiente h´(a) = g´(f(a)) · f´(a) Teorema de derivada de la función inversa en los reales. Sea una función real de variable real f: I ⊆ R → R tal que: 1) f es continua en a ∈ I. 2) f es monótona estricta (creciente o decreciente). 3) f´(a) ≠ 0 Entonces existe función inversa g = f – 1 de la función f en b = f(a) y su derivada es [f −1 ] (b) ´ = g´(b) = 23 1 f ´(a ) www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 3. DERIVADAS SUCESIVAS. 3.1. La función derivada de clase n. ENLACE: Iniciamos el punto definiendo lo que modernamente se considera la iteración de la derivación sobre funciones que lo permiten. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I que admite función derivada f´(x) en los términos expuestos en la sección anterior, tendremos que bajo unas condiciones mínimas podremos volver a derivarla para hacer un estudio de su variación respecto a la variación de la variable independiente. Este procedimiento de iteración de la derivación se conoce como el procedimiento de derivadas sucesivas. Por lo tanto, bajo unas condiciones mínimas se puede definir la derivada de la función derivada y extender la aplicación cada una de las nuevas derivadas. (f´) = f´´, (f´´)´ = f´´´, ... Dando lugar a la función derivada segunda, tercera, etc. Estas derivadas reciben el nombre de derivadas sucesivas de la función f. Definición de derivada n-ésima o de orden n asociada a una función real de variable real. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y un número natural n ∈ N, se llama derivada n-ésima o de orden n, y se denota mediante fn), a la función resultante de la derivación sucesiva de f(x) un número n de veces si es que este procedimiento puede realizarse. Del mismo modo, comúnmente se suele denotar por f´(x) a la primera derivada o derivada de orden 1 de f(x); por f´´(x) a la segunda derivada o derivada de orden 2 de f(x); y así sucesivamente. Ejemplo. Dada la función f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 1 podemos establecer sus derivadas sucesivas según: f´(x) = 3x2 – 4x + 3 f´´(x) = 6x – 4 f´´´(x) = 6 n) f (x) = 0 para n ∈ N – { 0, 1, 2, 3} El concepto de derivabilidad se puede complementar con el concepto de continuidad de la derivada naciendo la noción de función derivable de clase n. Definición de función derivable de clase n asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase n, con n ∈ N, y se representa mediante f ∈ Cn(I), si f es continua y admite derivadas continuas hasta el orden n. En el caso n = 0, entonces f es sólo continua. 24 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Ejemplo: La función  senx  f ( x) =  x  1 x≠0 x=0 es de clase 0 ya que es continua y derivable en todos sus puntos. Sin embargo su derivada es: f ( x) = x ⋅ cos x − senx x2 que no es continua en x = 0. Del mismo modo, diremos que f es de clase infinito, f ∈ C∞(I) admite derivadas de todos los órdenes. En ese caso, no sólo son derivables sino que también continuas. Definición de función derivable de clase infinito o infinitamente derivable asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase infinito o infinitamente derivable, y se representa mediante f ∈ C∞ (I), si f es continua y admite derivadas continuas de cualquier orden n ∈ N o lo que es lo mismo, es de clase Cn(I) para todo n natural. Ejemplo: Cualquier polinomio P(x) es infinitamente derivable ya que si su grado fuera n ∈ N, a partir de la derivada fn+1, la función derivada es nula que es derivable cuantas veces queramos. 3.2. El nacimiento de la noción de derivada y de derivadas sucesivas: La dinámica y el estudio de las trayectorias. ENLACE: El nacimiento de la derivada de una función está estrechamente ligado a problemas aplicados a la física y fundamentalmente a la dinámica y estudio de las trayectorias de móviles y objetos. En sus inicios se puede observar claramente una aplicación directa de las derivadas sucesivas. El uso de las derivadas sucesivas es particularmente importante en la descripción del movimiento en la dinámica. Es más, el nacimiento del concepto de función derivable está íntimamente ligado con el estudio de la trayectoria de un móvil y la variación del espacio recorrido respecto al tiempo. Si la posición de un punto móvil en función del tiempo viene definida por la función real de variable real: x: I ⊆ R → R tal que x = x(t) 25 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. entonces la variación en el espacio que recorre el móvil a lo largo del tiempo respecto de un valor temporal t0 ∈ I, vendrá definida por: x´(t ) = lim h→0 x(t 0 + h) − x(t 0 ) h Esta expresión coincide con la derivada de x(t) en x = t0. Este valor es lo que conocemos como la velocidad del móvil en el instante t0. Esta noción se puede extender a cada valor de tiempo t ∈ I y podemos definir la función velocidad como la derivada de la trayectoria x(t) de tal modo que, v: I ⊆ R → R es tal que v(t ) = x´(t ) = lim h →0 x(t + h) − x(t ) h A su vez, si pretendemos medir la variación de la velocidad a lo largo del tiempo, respecto de un valor t0 ∈ I, dicha variación vendrá definida por: v(t 0 + h) − v(t 0 ) x´(t 0 + h) − x´(t 0 ) = lim h→0 h →0 h h v´(t ) = lim Esta expresión coincide con la derivada de x´(t) en x = t0. Este valor es lo que conocemos como la aceleración del móvil en el instante t0. Del mismo modo que con la velocidad, esta noción se puede extender a cada valor de tiempo t ∈ I y podemos definir la función aceleración como la derivada de la velocidad v(t) o la segunda derivada de la trayectoria del móvil de tal modo que, a: I ⊆ R → R es tal que a ( t ) = v´( t ) = x´´(t ) = lim h→0 v ( t + h ) − v (t ) h RECUERDA: Definición de derivada n-ésima o de orden n asociada a una función real de variable real. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y un número natural n ∈ N, se llama derivada n-ésima o de orden n, y se denota mediante fn), a la función resultante de la derivación sucesiva de f(x) un número n de veces si es que este procedimiento puede realizarse. Se suele denotar por f´(x) a la primera derivada o derivada de orden 1 de f(x); por f´´(x) a la segunda derivada o derivada de orden 2 de f(x); y así sucesivamente. Definición de función derivable de clase n asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase n, con n ∈ N, y se representa mediante f ∈ Cn(I), si f es continua y admite derivadas continuas hasta el orden n. En el caso n = 0, entonces f es sólo continua. 26 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES RECUERDA: Definición de función derivable de clase infinito o infinitamente derivable asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase infinito o infinitamente derivable, y se representa mediante f ∈ C∞ (I), si f es continua y admite derivadas continuas de cualquier orden n ∈ N o lo que es lo mismo, es de clase Cn(I) para todo n natural. Si la posición de un punto móvil en función del tiempo viene definida por la función real de variable real x: I ⊆ R → R tal que x = x(t) entonces la variación en el espacio que recorre el móvil a lo largo del tiempo respecto de un valor temporal t0 ∈ I, vendrá definida por su derivada primera, que llamamos comúnmente velocidad. Denotaremos por x´(t) = v(t). Si pretendemos medir la variación de la velocidad a lo largo del tiempo, respecto de un valor t0 ∈ I, lo haremos a partir de su derivada, esto es, la derivada segunda de x(t). De este modo, llamamos aceleración a la derivada segunda de la trayectoria, x´´(t) = a(t). 4. TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y REGLA DE L´HÔPITAL Hay tres propiedades elementales de las funciones derivables que juegan un papel fundamental en el análisis diferencial, se conocen como los teoremas de Rolle, del valor medio y de L´Hôpital. Las dos primeras tienen un carácter global en cuanto a que, enuncian una propiedad de las funciones sobre un intervalo. En este sentido, se diferencian de otro tipo de propiedades como la expresada expresada por el teorema de L´Hôpital, por ejemplo, en que se enuncia un resultado sobre el comportamiento de las funciones en el entorno de un punto (propiedades locales). 4.1. El teorema de Rolle ENLACE: Comenzamos este punto con el teorema de Rolle, resultado que nos determina la existencia de extremos relativos de una función en un intervalo en determinadas condiciones. El teorema de Rolle, nos indica unas condiciones para asegurar que en un intervalo compacto, hay al menos un punto extremo. Teorema de Rolle. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple las siguientes condiciones: 27 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 a) f es derivable en (a,b). b) f es continua en [a,b]. c) f toma el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, f(a) = f(b). entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que la derivada se anula, es decir, tal que f´(c) = 0 Demostración. Sea f: [a,b] → R una función derivable en (a,b) y f es continua en [a,b]. Supongamos que f toma el mismo valor en los extremos de [a,b], f(a) = f(b). Al ser [a,b] cerrado y acotado y f una función continua sobre dicho intervalo, existirán dos puntos xMax, xmin ∈ [a,b] en los que f alcanza su máximo y su mínimo absolutos respectivamente. En tal caso, tenemos: • Si xMax, xmin coinciden con a y b, sucederá que para todo valor x ∈ (a,b) tendremos: f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xMax) y como f(a) = f(b) = f(xMax) =f(xmin) entonces para cualquier valor x ∈ (a,b) f(x) = f(a) siendo f una función constante en [a,b]. En ese caso para cualquier valor c ∈ (a,b), f´(c) = 0 como pretendíamos. • Supongamos, sin perdida de generalidad, que xMax ∈ (a,b). En tal caso para todo valor x ∈ [a,b] se tiene que f(x) ≤ f(xMax) ⇔ f(x) – f(xMax) ≤ 0 Como f es derivable en (a,b), podemos calcular f´(xMax) mediante la definición de derivada en un punto, utilizando los límites laterales: o El límite lateral por la izquierda de xMax , f´(0-), será: lim− x → xMax f ( x) − f ( x Max ) x − x Max 28 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES y dicho límite será positivo o cero al ser el numerador negativo o cero mientras que el denominador es negativo. o El límite lateral por la derecha de xMax , f´(0+), será: lim+ x → xMax f ( x) − f ( x Max ) x − x Max y dicho límite será negativo o cero al ser el numerador negativo o cero mientras que el denominador es positivo. Puesto que f es derivable en xMax, ambos límites deben coincidir y eso sólo ocurre si ambos son cero. Por tanto f´(xMax) = 0 con lo que hemos demostrado la existencia de un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que f´(c) = 0. De modo similar se probaría el caso en que sólo xmin ∈ (a,b) y de esta forma el teorema queda probado. Observaciones 1. El enunciado no supone la existencia de la derivada en los extremos a y b, por lo que en tales puntos no estará garantizada la continuidad a no ser por la hipótesis explícita de continuidad en todo I. 2. En términos geométricos el teorema afirma que en algún punto (c, f(c)) de la gráfica, con a < c < b, la tangente es horizontal. Este resultado es obvio intuitivamente en vista de las hipótesis del enunciado como se puede ver en la siguiente figura: Representación del teorema de Rolle 29 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 3. El teorema de Rolle se puede generalizar mediante la reiteración del mismo según el siguiente enunciado: Teorema de Rolle generalizado. Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], derivable hasta el orden n en el interior del intervalo y se anula en n+1 puntos del intervalo, entonces existe un punto interior cn en el que: f n)(cn) = 0 Demostración. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y derivable hasta el orden n en (a, b). Sean c0,0, c0,1, c0,2, . . . , c0,n ∈ [a,b] donde la función f(x) se anula, es decir f(x0,k) = 0, ∀ k ∈ {0, 1, . . . , n} Consideramos los intervalos [x0,k, x0,k+1] con k ∈ {0, 1, . . . , n – 1} donde f es continua y derivable en su interior. Por el teorema de Rolle, existirán n valores c1, k ∈ [x0,k, x0,k+1] con k ∈ {0, 1, . . . , n – 1} tal que f´(c1,k) = 0. Consideramos ahora los intervalos [c1,k, c1, k+1] con k ∈ {0, 1, . . . , n – 2} donde f´(x) es continua y derivable en su interior. Nuevamente, por el teorema de Rolle, existirán n valores c2, k ∈ [c1,k, c1, k+1] con k ∈ {0, 1, . . . , n – 2} tal que f´´(c2,k) = 0. Reiterando el procedimiento, llegaremos a un único intervalo [cn-1,0, cn-1,1] con f n-1(cn-1,0) = f n-1)(cn-1,1) = 0 donde f n-1)(x) es continua y derivable en su interior. Por el teorema de Rolle, tendremos que existirá, al menos un valor x = c tal que f n)(c) = 0 y queda demostrado el teorema. 30 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES 4.2. El teorema del valor medio o de los incrementos finitos ENLACE: Enunciamos y demostramos el teorema general del valor medio y luego lo concretamos para el caso de una función. El teorema del valor medio expresa la existencia, en buenas condiciones de continuidad y derivabilidad para dos funciones f, g: [a,b] → R, de al menos un valor del intervalo (a,b) donde la proporción que forman sus pendientes f´(c) y g´(c) es la misma que la que forman las pendientes de las rectas que unen (a,f(a)) con (b,f(b)) y (a,g(a)) con (b,g(b) respectivamente. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para dos funciones. Sea f, g: [a,b] → R funciones definidas sobre un intervalo cerrado y acotado [a,b] que cumplen las siguientes condiciones: a) f y g son derivables en (a,b). b) f y g son continuas en [a,b]. entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que [f(b) – f(a)] · g´(c) = [g(b) – g(a)] · f´(c) Demostración. Sean las funciones f, g: [a,b] → R continuas en su dominio y derivables en su interior. Debemos probar la existencia de un punto c ∈ (a,b) tal que [f(b) – f(a)] · g´(c) – [g(b) – g(a)] · f´(c) = 0 Basándonos en el teorema de Rolle, sea entonces la función auxiliar h: [a,b] → R definida por h(x) = [f(b) – f(a)] · g(x) – [g(b) – g(a)] · f(x) Esta función cumple las condiciones del teorema de Rolle ya que a) La función h(x) es continua en [a,b], por la propia definición de h como productos y restas de funciones continuas en dicho intervalo. b) La función h(x) es derivable en (a,b), por la propia definición de h como productos y restas de funciones derivables en el interior de dicho intervalo. c) La función h(x) toma el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, h(a) = h(b). h(a) = [f(b) – f(a)]· g(a) – [g(b) – g(a)]· f(a) = f(b)·g(a) – g(b)·f(a) 31 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 h(b) = [f(b) – f(a)] ·g(b) – [g(b) – g(a)]· f(b) = f(b)·g(a) – g(b)·f(a) Luego, por el teorema de Rolle, existirá al menos un valor c ∈ (a,b) verificando h´(c) = 0 y por tanto h´(c) = [f(b) – f(a)] ·g´(c) – [g(b) – g(a)]· f´(c) = 0 con lo que para este valor c tendremos que [f(b) – f(a)]· g´(c) = [g(b) – g(a)] ·f´(c) Quedando demostrado el teorema. El anterior teorema se puede concretar para el caso de una sola función. La interpretación de este teorema para una función es simple. Dada una función continua en un compacto y derivable en su interior, podemos encontrar un valor intermedio en el que la derivada sea igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos que toma la función en los extremo del intervalo. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para una función. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple las siguientes condiciones: a) f es continua en [a,b]. b) f es derivable en (a,b). entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que f ´(c) = f (b) − f (a ) b−a Demostración. Debemos probar la existencia de un punto c en (a, b) tal que f(b) – f(a) – f´(c) · (b – a) = 0 Basándonos en el teorema del valor medio, tomando g(x) = x y la propia función f(x) tenemos las condiciones para poder aplicar el dicho teorema y así, obtenemos al menos un valor c ∈ (a,b) verificando [f(b) – f(a)]· g´(c) = [g(b) – g(a)]· f´(c) 32 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES que para el caso concreto de g(x) = x implica que: [f(b) – f(a)] = (b – a)· f´(c) Concluimos que existirá al menos un valor c ∈ (a,b) verificando f ´(c) = f (b) − f (a ) b−a Observaciones 1. La interpretación geométrica del teorema del valor medio para una función es que la recta tangente a la gráfica en el punto (c, f(c)) es paralela al segmento que une los extremos de la gráfica como se puede observar en la representación siguiente: Representación del teorema del valor medio 2. El teorema del valor medio para una función se conoce como el teorema de los incrementos finitos ya que si la derivada está acotada, ∃ K ∈ R / |f´(x)| ≤ K , ∀ x ∈ [a,b] , entonces el incremento total de la función en dicho intervalo es finito y viene acotado por la expresión: | f (b) − f (a ) | = | f ´(c)(b − a ) |≤ K | b − a | 3. Adviértase que la identidad del teorema del valor medio es simétrica respecto de a y b, por lo que no es preciso suponer para aplicarla que a < b. 4. Una de las ventajas de esta versión es que conduce inmediatamente a la regla de L'Hopital. 33 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 4.3. El teorema de L´Hôpital ENLACE: Enunciamos y demostramos el teorema de L´Hôpital, elemento fundamental para el estudio de determinados límites y el estudio local de funciones. El teorema de L´Hôpital es un arma fundamental en el estudio local de las funciones ya que aporta información, mediante la derivada, acerca de los valores que toma una función cociente en las cercanías de una abcisa donde se produce indeterminación. Dicho teorema se debe a Johann Bernouilli al que pagó el Marques de L´Hôpital su autoría para figurar como un matemático de primer orden. Teorema de L´Hôpital. Sean las funciones f, g: [a,b] → R con A un intervalo abierto y sea a ∈ A. Si f y g cumplen las siguientes condiciones: a) En las proximidades de x = a, f y g son derivables y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. f ´(x) ∈R b) Existe lim x → a g´( x ) c) Se cumple una de las dos condiciones siguientes: • lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x→a • x →a lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ x→a x →a entonces existe lim x→a f ( x) f ´( x) f ( x) y además, lim = lim . x → a x → a g ( x) g´(x) g ( x) Demostración. Estudiamos la demostración por los casos que marca el apartado c) de las condiciones. • Caso lim f ( x) = lim g ( x) = 0 . x→a x →a Al ser f y g derivables en las proximidades de a y y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0, podemos suponer que f y g son derivables en un entorno E*(a) y en dicho entorno y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. En este caso, f y g son continuas en E*(a). Consideraremos que f(a) = 0 y g(a) = 0 ya que, si fueran discontinuas en x = a, esta discontinuidad sería evitable y no afectaría para nada al proceso de límite. 34 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. o Condición lim x→a f ´( x) = L∈R. g´( x) Por la propia definición de límite, para todo entorno de L existirá un entorno reducido E1* (a ) del valor x = a tal que ∀x ∈ E1 (a ) ⇒ * f ´( x) ∈ E ( L) g´( x) Consideramos el entorno reducido de x = a, E*(a) donde f y g son derivables y g´(x) ≠ 0. Sea x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) con a < x. En ese caso, como f y g son derivables en la intersección de los entornos reducidos, entonces serán continuas y por lo tanto, f y g serán continuas en el intervalo cerrado [a,x] además de derivables en (a,x). Aplicando el teorema del valor medio para las dos funciones f y g en dicho intervalo [a,x], obtenemos que existirá al menos un valor c ∈ (a,x) tal que f ( x) − f (a ) f ´(c) = g ( x) − g (a ) g´(c) Puesto que hemos considerado f(a) = g(a) = 0 entonces, simplificando tendremos que: f ( x) f ´(c) = g ( x) g´(c) Como x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a), entonces c ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) y del mismo modo f ( x) f ´(c) = ∈ E ( L) g ( x) g´(c) Además, si x tiende al valor x = a entonces c debe tender igualmente al valor x = a por lo que, tomando por tanto límites, tendremos que: lim x →a f ( x) f ´( x) = lim x → a g ( x) g´(x) 35 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES o Condición lim x →a Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. f ´(x) = +∞ (igual para − ∞ ) g´(x) Por la propia definición de límite, para todo M > 0 existirá un entorno reducido del valor x = a tal que ∀x ∈ E1 (a ) ⇒ * f ´( x) >M g´( x) Consideramos el entorno reducido de x = a, E*(a) donde f y g son derivables y g´(x) ≠ 0. Sea x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a). En ese caso, como f y g son derivables en la intersección de los entornos reducidos, entonces serán continuas y por lo tanto, f y g serán continuas en el intervalo cerrado [a,x] además de derivables en (a,x). Aplicando el teorema del valor medio para las dos funciones f y g en dicho intervalo [a,x], obtenemos que existirá al menos un valor c ∈ (a,x) tal que f ( x) − f (a ) f ´(c) = g ( x) − g (a ) g´(c) Puesto que hemos considerado f(a) = g(a) = 0 entonces existirá un valor c ∈ (a,x) tal que f ( x) f ´(c) = g ( x) g´(c) Como x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a), entonces c ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) y del mismo modo f ( x) f ´(c) = >M g ( x) g´(c) Además, si x tiende al valor x = a entonces x = c debe tender igualmente al valor x = a por lo que, tomando por tanto límites, tendremos que: lim x →a f ( x) f ´( x) = lim g ( x) x→a g´(x) 36 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 • ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Caso lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ . x→a x →a El problema ahora es que no podemos hacer que f(x) y g(x) sean continuas en x = a y no podemos aplicar el teorema del valor medio como anteriormente. Trabajaremos a la derecha de a y de igual modo se haría a la izquierda. Sea un entorno reducido por la derecha de x=a, E*(a), donde f y g son derivables y g(x) ≠ 0,g´(x) ≠ 0. Sea b un valor próximo a x = a por la derecha (a < b) incluido en el entorno E*(a) donde se da la derivabilidad de f y g a la vez que g(x) ≠ 0 y g(x) ≠ 0. Si lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ entonces para cualquier M > 0 existirá un entorno reducido x→a x →a por la derecha de x = a, E1* (a ) donde |f(x)| > M y |g(x)| > M En concreto, podemos tomar M = g(b). Si tomamos x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) con a < x < b, tendremos que el cociente f(x)/g(x) se puede expresar del siguiente modo: g (b) 1− f ( x) f ( x) − f (b) g ( x) = ⋅ g ( x) g ( x) − g (b) 1 − f (b) f ( x) donde los denominadores no se anulan ya que si b ∈ E*(a) y x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) ni [g(x) – g(b)], ni f(x), ni g(x) se pueden anular ya que |g(x)| > |g(b)| > 0 y |f(x)| > |g(b)| >0 Como [x, b] ⊆ E1*(a) ⊆ E*(a), donde f y g son derivables entonces f y g son continuas en [x,b] y derivables en (x, b). Aplicando el teorema del valor medio, existirá un valor c ∈ (x,b) tal que f ( x) − f (b) f ´(c) = g ( x) − g (b) g´(c) Por lo tanto, existirá c ∈ (x,b) tal que g (b) 1− f ( x) f ( x) − f (b) g ( x) f ´(c) = ⋅ = ⋅ f (b) g´(c) g ( x) g ( x) − g (b) 1− 1− f ( x) 1− 37 g (b) g ( x) f (b) f ( x) www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES • Si lim x →a Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. f ´(x) = +∞ (igual − ∞ ), entonces al hacer tender b hacia x = a tendremos que g´(x) g(b)/g(x) y f(b)/f(x) tenderán a 0 al ser los denominadores mucho más elevados que los numeradores (recordar que x < b y lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ ). Por tanto, tendremos que x→a x →a g (b) g ( x) lim =1 b→a f (b) 1− f ( x) 1− Y de este modo: g (b) 1− f ´(c) f ( x) f ´(c) g ( x) = lim ⋅ = lim ⋅ lim lim b→a g ( x) b → a g´(c ) f (b) b→ a g´(c) b→a 1− 1− f ( x) 1− Como lim b→a • Si lim x→a g (b) f ´(c) f ´( x) g ( x) = lim ⋅ 1 = lim = +∞ x → a g´( x ) f (b) c →a g´(c) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ´(x) = lim , entonces lim = lim x → a x → a x → a g ( x) g ( x) g ( x) g´(x) f ´(x) = L , por el mismo motivo que antes ocurrirá que g´(x) g (b) g ( x) lim =1 b→a f (b) 1− f ( x) 1− Y de este modo: g (b) f ´(c) f ´(c) f ´(x) f ( x) f ´(c) g ( x) = lim ⋅ = lim = lim = lim =L lim b→ a g ( x ) b →a g´(c ) b → a c → a x → a f (b) g´(c) g´(c) g´(x) 1− f ( x) 1− Como lim b→a f ( x) f ( x) f ( x) f ´(x) = lim , entonces lim = lim x → a x → a x → a g ( x) g ( x) g ( x) g´(x) 38 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES e x − e−x Ejemplo, Calcular lim x →0 senx Solución. Este límite cumple las condiciones del Teorema de L´Hopital: e x − e−x e x + e−x 2 = lim = =2 x →0 x →0 cos x senx 1 lim (  )    1 x x + x log1 +  − x con “log” la función logaritmo en base e. Ejemplo. Calcular xlim →+∞  2  Demostración Sacando factor común a x y utilizando propiedades de logaritmos:   1  x+1    1  lim x (x +1)log1 +  −1 = lim xlog1+  −1 x→+∞   x   x→+∞   x    Observamos que se trata de una indeterminación ∞ · 0. Manipulando convenientemente podemos conseguir una expresión del tipo 0/0 que cumple las condiciones del Teorema de L´Hopital.   1  x +1  log1 +  − 1 x     2  1  lim  x + x log1 +  − x  = lim  x → +∞ x   x →+∞ 1/ x   ( ) Aplicando el teorema de L´Hopital:   1   1 1 log1 +  − ( x + 1) log1 + x  − 1 x x     = lim lim  x → +∞ x → +∞ 1/ x −1/ x2 Al estar en las mismas condiciones que anteriormente, aplicamos de nuevo el teorema de L´Hopital: 1 1 1 1  1 1 − + 2 − + log1 +  − ( x + 1) x x( x + 1) x x x  lim = lim = lim = 2 3 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 2/ x 2 / x2 − 1/ x 1 1 x( x + 1) ( x + 1) x 1 = lim = lim = lim = 2 x → +∞ 2 / x x → +∞ 2 / x x → +∞ 2( x + 1) 2 39 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 RECUERDA: Teorema de Rolle. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple ser derivable en (a,b), continua en [a,b] y tomar el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que la derivada se anula, es decir, tal que f´(c) = 0 Teorema de Rolle generalizado. Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], derivable hasta el orden n en el interior del intervalo y se anula en n+1 puntos del intervalo, entonces existe un punto interior cn en el que f n)(cn) = 0 El teorema del valor medio expresa la existencia, en buenas condiciones de continuidad y derivabilidad para dos funciones f, g: [a,b] → R, de al menos un valor del intervalo (a,b) donde la proporción que forman sus pendientes f´(c) y g´(c) es la misma que la que forman las pendientes de las rectas que unen (a,f(a)) con (b,f(b)) y (a,g(a)) con (b,g(b) respectivamente. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para dos funciones. Sea f, g: [a,b] → R funciones definidas sobre un intervalo cerrado y acotado [a,b] que cumplen serderivables en (a,b) y continuas en [a,b] entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que [f(b) – f(a)] · g´(c) = [g(b) – g(a)] · f´(c) Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para una función. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R tal que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces existe al menos un punto intermedio f (b) − f (a ) c ∈ (a,b) en el que f ´(c) = b−a Teorema de L´Hôpital. Sean las funciones f, g: [a,b] → R con A un intervalo abierto y sea a ∈ A. Si f y g cumplen las siguientes condiciones: En las proximidades de x = a, f y g son derivables y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. f ´(x) Existe lim ∈R x → a g´( x ) Se cumple una de las dos condiciones siguientes: • lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x→a x →a • lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ x→a x →a entonces existe lim x→a f ( x) f ´( x) f ( x) y además, lim = lim . x → a x → a g ( x) g´(x) g ( x) 40 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES 5. APLICACIONES 5.1. Aplicaciones a distintas ramas de la ciencia. ENLACE: Comenzamos dando algunas aplicaciones generales al mundo de las ciencias y ramas aplicadas. El concepto de la derivada es fundamental no sólo en la matemática sino en todas las ciencias (física, química, economía, estadística, etc.) que utilizan una descripción matemática de fenómenos susceptibles de representarse mediante funciones. El elemento fundamental para la aplicación de la derivada en fenómenos funcionales es el estudio de la variación de determinadas variables dependientes del experimento o fenómeno respecto a la variación de las correspondientes variables independientes del sistema. • Desde el punto de vista del análisis matemático, conceptos y procedimientos básicos de la derivada y diferencial aplicados en el estudio de la física, química, economía, etc. Son: - Aproximación de funciones mediante Polinomios y series de Taylor y McLaurin. Cálculo de rectas y planos tangentes, normales. Estudio de los extremos relativos y acotaciones funcionales. Optimización de funciones. Análisis de las regiones de monotonía de una función. Estudio de los puntos de inflexión o puntos de silla de una función. Análisis de las regiones de curvatura de una función. Aplicaciones en el cálculo de límites y tendencias. • El cálculo diferencial aplica la derivada y diferencial a partir de parametrizaciones de curvas y superficies en las debidas condiciones, mediante el concepto y cálculo del vector tangente, vector curvatura, vector normal principal, vector binormal y la aplicación de ellos a sistemas de referencia móviles sobre dichas curvas y superficies. También son fundamentales todos estos conceptos para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes junto con el cálculo integral. • El cálculo integral está directamente relacionado con la derivada y la diferencial. La mayor parte de las ramas de la ciencia aplican la derivada y la diferencial en el estudio de relaciones funcionales. De este modo, • En economía, las derivadas parciales de una función en varias variables pueden ser entendidos como los costes marginales. • En Física, la definición de magnitudes vectoriales y la diferenciación de estas dan lugar a nuevas magnitudes. Al respecto, la parametrización del movimiento de cuerpos móviles dan lugar mediante la diferenciabilidad a la magnitud vectorial velocidad o a la aceleración. 41 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. En otras ocasiones, las leyes de la física se expresan mediante ecuaciones y condiciones que deben cumplir las derivadas de las magnitudes que aparecen en el problema. Las ecuaciones que describen los fenómenos físicos vienen dadas mediante ecuaciones diferenciables tales como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell, etc. Ejemplo: Una bola esférica de nieve se derrite a razón de 0,05 cm3/sg. ¿A qué velocidad encoge el área de su superficie cuando el diámetro de la esfera es de 10 cm?. Solución. Sean S y V el área superficial y el volumen de la esfera en función del tiempo. La información que tenemos es: dV = −0,05 dt Por otra parte sabemos que la función volumen viene determinada por: V (t ) = 4 ⋅ π ⋅ [r (t )]3 3 Siendo r = r(t) la función que nos describe el radio de la esfera en cada instante. Del mismo modo, la función Superficie total viene dada por la función: S (t ) = 4 ⋅ π ⋅ [r (t )] 2 Usando la regla de la cadena para el cálculo de la derivada de la función Volumen: dV dV dr dr = ⋅ = 4 ⋅ π ⋅ [r (t )] 2 ⋅ dt dr dt dt Y como dV = −0,05 dt Tendremos que: − 0,05 = 4 ⋅ π ⋅ [r (t )]2 ⋅ dr dt ⇔ dr − 0,05 = dt 4 ⋅ π ⋅ [r (t )] 2 Por otro lado, usando la regla de la cadena para el cálculo de la derivada de la función Superficie: dS dS dr dr = ⋅ = 8 ⋅ π ⋅ r (t ) ⋅ dt dr dt dt De donde, sustituyendo dr/dt en la igualdad anterior por su valor despejado anteriormente: 42 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. − 0,05 dS = 8 ⋅ π ⋅ r (t ) ⋅ dt 4 ⋅ π ⋅ [r (t )]2 ⇔ dS 0,1 =− dt [r (t )] Si el diámetro es 2r = 10 cm entonces la velocidad que nos piden viene dada por: dS 0,1 =− = −0,02 cm 2 / sg dt 5 La física, desde un punto de vista básico, aplica las llamadas ecuaciones diferenciales para la resolución de situaciones problemáticas. Estas ecuaciones son una modelización en forma de ecuación/es cuyo objetivo es determinar la/s función/es y(x) que verifican expresiones del tipo general: F(x, y(x), y´´(x), . . . , yn)(x)) = 0 con ciertas condiciones generales o iniciales para el sistema. Ejemplo: Resolver y´ + yx = 0, sabiendo que y(0) = 1. Solución. y´= − y ⋅ x ⇔ y´ = −x ⇔ y x2 ⇔ ln | y |= − + K 2 ∫ y´ dy = ∫ (− x)dx ⇔ y ⇔ | y |= e − x2 +K 2 = A⋅e − x2 2 Como y(0) = 1 entonces: A = ±1 ⇒ • y ( x) = ± e − x2 2 En estadística, los experimentos aleatorios son modelizados a partir de variables estadísticas discretas y continuas. En las debidas condiciones, la función de densidad es la derivada o diferencial de la función de distribución de la variable. También se utiliza la derivación y diferenciabilidad para calcular, estimar o promediar parámetros estadísticos, rectas y funciones de regresión, etc. mediante métodos como pueda ser el de máxima verosimilitud o el método de los mínimos cuadrados. En general, todos los modelos matemáticos basados en funciones requieren el uso de las derivadas y diferenciales para analizar con rigor las propiedades de tales funciones. A continuación vamos a estudiar varias aplicaciones importantes de los tres teoremas anteriores. En toda la sección supondremos que las funciones están definidas sobre un intervalo [a,b] cerrado y acotado, son derivables en (a,b) y continuas en [a,b]. 43 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. 5.2. Derivabilidad y continuidad uniforme. ENLACE: Vemos una aplicación de la derivada para determinar cuándo una función presenta continuidad uniforme en un compacto. Uno de los criterios básicos para analizar la continuidad uniforme es el proporcionado por la relación siguiente que relaciona este concepto con la derivabilidad. Teorema de acotación y continuidad uniforme. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada acotada en (a,b), es decir, existe M > 0 tal que: |f´(x)| ≤ M ∀ x ∈ (a,b) entonces f es uniformemente continua en [a,b]. Demostración. Consideramos una función f : [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada acotada en (a,b), ∃ M > 0 / |f´(x)| ≤ M ∀ x ∈ (a,b) Si queremos probar la continuidad uniforme de f(x), debemos demostrar que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que: ∀ x,y ∈ [a,b] con |y – x| < δ entonces |f(y) – f(x)| < ε Sea, por tanto, ε > 0. Sean x, y ∈ [a,b] y supongamos, sin perder generalidad, que x < y. Al ser f continua en [x,y] y derivable en (x,y) podemos aplicar el teorema de los incrementos finitos y deducir que existe un valor c ∈ (x,y) con | f(y) – f(x) | = | f´(c) | · | y – x | Como f´(x) está acotada en (a,b) por el valor M > 0, entonces: |f(y) – f(x)| = |f´(c)|·| y – x | ≤ M | y – x | En tal caso tomando como cota máxima para el valor de δ, δ< ε M Tendremos que f ( y ) − f ( x ) = f ´(c ) ⋅ y − x ≤ M ⋅ y − x < M ⋅ 44 www.magister.es ε M =ε Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Y aseguramos que f es uniformemente continua en [a,b]. 5.3. Crecimiento y decrecimiento globales ENLACE: Una de las aplicaciones fundamentales es el estudio de la monotonía de las funciones que presentamos a continuación mediante algunos teoremas. El siguiente teorema proporciona un criterio de aplicación de la derivada para averiguar la naturaleza creciente o decreciente de una función en un intervalo. Teorema sobre crecimiento de una función en un intervalo. Si f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada positiva en (a,b), es decir, f´(x) > 0 ∀x ∈ (a,b) entonces f es estrictamente creciente en [a,b]. Del mismo modo, si f tiene función derivada negativa en (a,b), es decir, f´(x) < 0 ∀x ∈ (a,b) entonces f es estrictamente decreciente en [a,b]. Demostración. Sea una función f : [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b). • Sea f´(x) > 0, ∀x ∈ (a,b). Sean x,y ∈ [a,b] tales que x < y, debemos demostrar que f(x) < f(y). Al ser f continua en [x,y] y derivable en (x,y) podemos aplicar el teorema de los incrementos finitos y deducir que existe un valor c ∈ (x,y) con f(y) – f(x) = f´(c) · (y – x) Como f´(x) > 0 ∀x ∈ (a,b) y x < y tendremos que: ⇔ f(y) – f(x) > 0 f(y) > f(x) Es decir f es estrictamente creciente. • Sea f´(x) < 0, ∀x ∈ (a,b). Sean x,y ∈ [a,b] tales que x < y, debemos demostrar que f(x) > f(y). Al ser f continua en [x,y] y derivable en (x,y) podemos aplicar el teorema de los incrementos finitos y deducir que existe un valor c ∈ (x,y) con f(y) – f(x) = f´(c) · (y – x) Como f´(x) < 0 ∀x ∈ (a,b) y x < y tendremos que: 45 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. ⇔ f(y) – f(x) < 0 f(y) < f(x) Es decir f es estrictamente decreciente. 5.4. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. ENLACE: Otra de las aplicaciones fundamentales de la derivada es el estudio de la curvatura y la determinación de los puntos de inflexión de las funciones que presentamos a continuación mediante algunos teoremas. Una de las características básicas de la gráfica de una función es su concavidad o convexidad. Vamos a ver ahora la forma de estudiar esta propiedad mediante el análisis de las derivadas. Para ello definimos lo que entendemos por función cóncava. Definición de función cóncava: Se dice que f es cóncava en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por encima de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). Dado que los puntos de [x1, x2] son de la forma x = λ·x2 + (1 – λ)·x1, une (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)) tiene por ecuación: y= 0 ≤ λ ≤ 1 y la recta que f ( x2 ) − f ( x1 ) ⋅ ( x − x1 ) + f ( x1 ) ∀x ∈ [x1 , x2 ] x2 − x1 una caracterización equivalente de la concavidad viene dada por la expresión: f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≥ ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) ⋅ (λ ⋅ x 2 + (1 − λ ) ⋅ x1 − x1 ) + f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] ⇔ x2 − x1 f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≥ f ( x 2 ) − f ( x1 ) ⋅ (λ ⋅ x2 − λ ⋅ x1 ) + f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] ⇔ x2 − x1 f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≥ λ ⋅ f ( x2 ) − λ ⋅ f ( x1 ) + f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] ⇔ ⇔ ⇔ f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≥ λ ⋅ f ( x2 ) + (1 − λ ) ⋅ f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] 46 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Función cóncava en el intervalo [a,b] Definición de función convexa. Se dice que f es cóncava en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por debajo de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). Procediendo como anteriormente, podemos caracterizar la convexidad según la expresión algebraica: f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≤ λ ⋅ f ( x2 ) + (1 − λ ) ⋅ f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] Función convexa en el intervalo [a,b] El siguiente teorema proporciona un criterio útil para caracterizar la concavidad y convexidad sobre intervalos. Teorema sobre concavidad y convexidad de una función en un intervalo. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable dos veces en (a,b). Si la segunda derivada de f es positiva: f´´(x) > 0 ∀ x ∈ (a,b) entonces f es convexa en [a,b]. Del mismo modo, si la segunda derivada de f es negativa: 47 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 f´´(x) < 0 ∀x ∈ (a,b) entonces f es cóncava en [a,b]. Demostración. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable dos veces en (a,b). Sean dos puntos x1 < x2 en [a,b] y sea y = mx + n la ecuación de la cuerda que une (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). Consideremos la nueva función g: [a,b] → R definida por: g(x) = f(x) – (mx + n) Estudiamos g(x) sobre el intervalo [x1,x2]. • • • g(x) es continua en [x1,x2] al ser resta de funciones continuas en [a,b]. g(x) es derivable en (x1,x2) al ser resta de funciones derivable en (a,b). g(x1) = g(x2) ya que, al ser y = mx + n la cuerda que une (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)), g(x1) = f(x1) – (mx1 + n) = 0 g(x2) = f(x2) – (mx2 + n) = 0 Por lo tanto, se dan las condiciones para aplicar el teorema de Rolle en dicho intervalo y existirá un punto intermedio c ∈ (x1, x2 ) en el cual g´(c) = 0. Supongamos que f´´(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a,b), entonces f´(x) es una función creciente, y como g´(x) = f´(x) – m g´(x) también es creciente. Por tanto, si g´(c) = 0 y g´(x) es creciente y continua tendremos que ∀ x ∈ [x1, c] ⇒ g´(x) < 0 ∀x ∈ [c, x2] ⇒ g´(x) > 0 En consecuencia sobre el intervalo [x1, x2] se verifica: ∀ x ∈ [x1,c] ⇒ g´(x) < 0 ⇒ g(x) ≤ g(x1) = 0 ∀x ∈ [c,x2] ⇒ g´(x) > 0 ⇒ g(x) ≤ g(x2) = 0 48 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Cuerda por encima de la gráfica en [x1, x2] Por tanto, si g(x) < 0 en el intervalo [x1, x2] entonces f(x) está por debajo de la cuerda en [x1,x2]. Ello significa que f es convexa quedando probado el apartado en que f´´(x) > 0 para cualquier x ∈ (a,b). La demostración en que f´´(x) < 0 para cualquier x ∈ (a,b) es análoga. Veamos ahora otra aplicación del cálculo de derivadas para la obtención de puntos de inflexión. Definición de punto de inflexión: Un punto x = c es de inflexión si la gráfica de f cambia de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava, en x = c. Para funciones derivables, de acuerdo con el anterior teorema, si la segunda derivada f´´ es continua, una condición necesaria para los puntos de inflexión es que f´´(c) = 0. Utilizando el teorema de Taylor puede demostrarse que la condición necesaria y suficiente para ser punto de inflexión es que la primera de las derivadas no nulas fn)(c) con n ≥ 2 sea de orden n impar. Ejemplos 1. La función f(x) = x3 tiene como segunda derivada f´´(x) = 6x, luego f´´(x) > 0; ∀ x > 0 f´´(x) < 0; ∀ x < 0 Entonces f es cóncava en (0,+∞) y convexa en (–∞, 0), teniendo un punto de inflexión en x = 0. 2. La función f(x) = cosx tiene por segunda derivada f´´(x) = – cosx, luego π π  f´´(x) > 0; ∀ x 5  + 2nπ , + (2n + 1)π  , n ∈ Z 2 2  49 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 π π  f´´(x) < 0; ∀ x 5  + (2n + 1)π , + (2n + 2)π  , n ∈ Z 2 2  π π  y será cóncava en los intervalos de la forma  + 2nπ , + (2n + 1)π  , n ∈ Z y convexa 2 2  π π  en los intervalos de la forma  + (2n + 1)π , + (2n + 2)π  , n ∈ Z . 2 2  Los puntos xn = π 2 + nπ , n ∈ Z , son de inflexión. RECUERDA: Desde el punto de vista del análisis matemático, conceptos y procedimientos básicos de la derivada y diferencial aplicados en el estudio de la física, química, economía, etc. Son la aproximación de funciones mediante Polinomios y series de Taylor y McLaurin; Cálculo de rectas y planos tangentes, normales; Estudio de los extremos relativos y acotaciones funcionales; Optimización de funciones; Análisis de las regiones de monotonía de una función; Estudio de los puntos de inflexión o puntos de silla de una función; Análisis de las regiones de curvatura de una función; Aplicaciones en el cálculo de límites y tendencias. El cálculo diferencial aplica la derivada y diferencial a partir de parametrizaciones de curvas y superficies en las debidas condiciones, mediante el concepto y cálculo del vector tangente, vector curvatura, vector normal principal, vector binormal y la aplicación de ellos a sistemas de referencia móviles sobre dichas curvas y superficies. También son fundamentales todos estos conceptos para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes junto con el cálculo integral. El cálculo integral está directamente relacionado con la derivada y la diferencial. En economía, las derivadas parciales de una función en varias variables pueden ser entendidos como los costes marginales. En Física, la definición de magnitudes vectoriales y la diferenciación de estas dan lugar a nuevas magnitudes. Al respecto, la parametrización del movimiento de cuerpos móviles dan lugar mediante la diferenciabilidad a la magnitud vectorial velocidad o a la aceleración. En otras ocasiones, las leyes de la física se expresan mediante ecuaciones y condiciones que deben cumplir las derivadas de las magnitudes que aparecen en el problema. Las ecuaciones que describen los fenómenos físicos vienen dadas mediante ecuaciones diferenciables tales como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell, etc. 50 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES La física, desde un punto de vista básico, aplica las llamadas ecuaciones diferenciales para la resolución de situaciones problemáticas. Estas ecuaciones son una modelización en forma de ecuación/es cuyo objetivo es determinar la/s función/es y(x) que verifican expresiones del tipo general F(x, y(x), y´´(x), . . . , yn)(x)) = 0 con ciertas condiciones generales o iniciales para el sistema. En estadística, los experimentos aleatorios son modelizados a partir de variables estadísticas discretas y continuas. En las debidas condiciones, la función de densidad es la derivada o diferencial de la función de distribución de la variable. También se utiliza la derivación y diferenciabilidad para calcular, estimar o promediar parámetros estadísticos, rectas y funciones de regresión, etc. mediante métodos como pueda ser el de máxima verosimilitud o el método de los mínimos cuadrados. En general, todos los modelos matemáticos basados en funciones requieren el uso de las derivadas y diferenciales para analizar con rigor las propiedades de tales funciones. Teorema de acotación y continuidad uniforme. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada acotada en (a,b), es decir, existe M > 0 tal que |f´(x)| ≤ M ∀ x ∈ (a,b) entonces f es uniformemente continua en [a,b]. Teorema sobre crecimiento de una función en un intervalo. Si f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada positiva en (a,b) entonces f es estrictamente creciente en [a,b]. Del mismo modo, si f tiene función derivada negativa en (a,b) entonces f es estrictamente decreciente en [a,b]. Definición de función cóncava (convexa): Se dice que f es cóncava (convexa) en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por encima (debajo) de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). Teorema sobre concavidad y convexidad de una función en un intervalo. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable dos veces en (a,b). Si la segunda derivada de f es positiva entonces f es convexa en [a,b]. Del mismo modo, si la segunda derivada de f es negativa entonces f es cóncava en [a,b]. Definición de punto de inflexión: Un punto x = c es de inflexión si la gráfica de f cambia de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava, en x = c. Para funciones derivables, de acuerdo con el anterior teorema, si la segunda derivada f´´ es continua, una condición necesaria para los puntos de inflexión es que f´´(c) = 0. 51 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 CONCLUSIÓN El estudio y análisis de la realidad de situaciones empíricas mediante la modelización y descripción funcional ha sido una constante de la matemática moderna. Se ha sabido que Arquímedes ya apuntaba los cimientos básicos del estudio de situaciones funcionales pero tenía el hándicap de no poseer un álgebra adecuado para plasmar con rigor sus ideas. La aparición del cálculo diferencial e integral por parte de Newton y Leibtniz durante el siglo XVII, fue sin duda alguna el inicio de una gran revolución científica que ha permitido el estudio de la realidad de un modo más profundo. La modelización de experimentos y situaciones científicas o aplicadas mediante funciones en una o varias variables refleja fielmente la relación que hay entre distintos valores que interaccionan entre sí. El cálculo diferencial en una o varias variables es notoriamente útil para la descripción y estudio de este tipo de fenómenos. En nuestra exposición hemos tratado de exponer y interpretar el concepto de derivada de una función real de variable real en un punto y su relación con la continuidad de la misma en dicho punto. Hemos tratado de observar geométricamente lo que significa el valor de la derivada a partir de la recta tangente a la función en tal punto. Hemos definido la función derivada y hemos expuesto las principales propiedades de las funciones derivables. Junto a estas, hemos expuesto y demostrado dos teoremas fundamentales para el cálculo diferencial como son la regla de la cadena y la derivación de la función inversa. Todo ello nos ha permitido desarrollar las fórmulas básicas de la derivación elemental. Hemos constatado diversas aplicaciones del cálculo diferencial tanto para la propia práctica científica y matemática como para ciencias aplicadas tan importantes como la economía. En definitiva, hemos podido comprobar que el cálculo diferencial en una o varias variables ha sido y sigue siendo el arma fundamental de las matemáticas y, sobre todo, del análisis funcional que es aplicado por doquier en cualquier rama pura o aplicada de la ciencia y de las ciencias sociales. BASE NORMATIVA El tema 25 “Funciones derivables. Función derivada. Derivadas sucesivas. Aplicaciones” del temario de Matemáticas para Secundaria se enmarca dentro del temario de Matemáticas que el M.E.C. ha establecido mediante su Real Decreto de fecha como el temario oficial para la especialidad de Matemáticas en Enseñanza Secundaria. 52 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES BIBLIOGRAFÍA COMENTADA Alberto Camacho: Cálculo diferencial; Editorial : Díaz de Santos, 2008. Ç El libro trata los aspectos fundamentales de los números reales, la definición de función, la aritmética de las funciones. Gráfica de funciones trascendentes. Introduce la definición de límite y su existencia; las propiedades de los límites y la definición de la derivada. Interpreta la derivada geométricamente y estudia y enuncia los principales resultados acerca de los extremos relativos, monotonía, curvatura, puntos de inflexión, la regla de L´Hopital , series de potencias y concreta sobre las series de MacLaurin. Serie de Taylor y su convergencia. Juan de Burgos Román, Cálculo diferencial: definiciones, teoremas y resultados; Editorial : García-Maroto, 2009. El libro presenta de una manera rigurosa los principales resultados acerca del límite funcional, derivada y teoremas básicos acerca de la derivación, propiedades y resultados junto con un dossier de ejercicios y problemas de aplicación. Ignacio Canals, Ernesto Javier Espinosa, Manuel Meda Vidal, Rafael Pérez Flores: Cálculo diferencial e integral I; Editorial Reverté, 2008. Libro con multitud de ejercicios y problemas sobre cálculo diferencial e integral con su resolución. Mariano Soler Dorda: Cálculo diferencial e integral. Una y varias variables. Editorial Síntesis, 2003. El libro expone de manera amena y rigurosa los principales conceptos del análisis matemático funcional como son la continuidad, límites, derivabilidad, diferenciabilidad y los principales conocimientos sobre las funciones en varias variables. Muy recomendable para profundizar en este tema. M. Soler Dorda: Ejercicios de cálculo diferencial e integral; Editorial Síntesis, 2000. Este libro expone las técnicas y los procedimientos que permiten resolver los problemas de cálculo diferencial en una y varias variables incorporando problemas con su resolución completa. Juan F.Navarro, Apuntes en cálculo diferencial de una variable. Universidad de Alicante. El libro expone los fundamentos teóricos y los problemas prácticos de la materia. La exposición los conceptos básicos del Cálculo se acompañan con diversos ejemplos, ejercicios y problemas. 53 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 WEBGRAFÍA Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. Derivación de funciones de una variable. http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Calculo/apuntes/31_derivada.pdf Mª Ángeles Rodríguez Bellido. Profesora Titular de Universidad Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico. Universidad de Sevilla (España): Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. http://personal.us.es/angeles/Actual/Farmacia/teoria/MAtema3.pdf Canek: Portal de matemática. Reglas de derivación. http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reglas/FTDelaCadena.pdf Matemáticas para todos. La derivada. http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm Ingeniería Técnica Superior de Caminos Canales y Puertos. Universidad de La Coruña. Tema XI: Cálculo diferencial en una variable. Derivadas sucesivas. Fórmula de Taylor. http://caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_publicas/103/pdfs/0809_T_XI_4_pres_imp.pdf La Web del profe de Mates. Es una web que se puede encontrar directamente en cualquier buscador tecleando “la web del profe de mates”. Su autor es David Martínez, autor también de este tema. La dirección actual es: http://olmo.pntic.mec.es/dmas0008 GLOSARIO - Aceleración: Variación de la velocidad respecto al tiempo. Derivada de la trayectoria respecto del tiempo. - Continuidad de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Se dice que f es continua en x = x si y sólo si lim f (c + h) = f (c) . h →0 54 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES - Derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Diremos que existe la derivada de la función f en x = c o la tasa de variación instantánea de f(x) en x = c si existen, son finitos y coinciden los límites, f ( c + h ) − f (c ) f (c + h ) − f (c ) f ´(c +) = lim+ f ´(c −) = lim− h →0 h →0 h h - Ecuación diferencial: Expresiones algebraicas cuyo objetivo es determinar la/s función/es y(x) que verifican expresiones del tipo general F(x, y(x), y´´(x), . . . , yn)(x)) = 0 con ciertas condiciones generales o iniciales para el sistema. - Fracción algebraica: Expresión o función algebraica generada como cociente de dos polinomios. - Función cóncava: Se dice que f es cóncava en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por encima de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). - Función convexa. Se dice que f es cóncava en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por debajo de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). - Función derivable de clase infinito o infinitamente derivable asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase infinito o infinitamente derivable, y se representa mediante f ∈ C∞ (I), si f es continua y admite derivadas continuas de cualquier orden n ∈ N o lo que es lo mismo, es de clase Cn(I) para todo n natural. - Función derivable de clase k. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase k y se representa mediante f ∈ Ck (I), si f es continua y admite derivadas continuas de cualquier orden n ∈ N o lo que es lo mismo, es de clase Cn(I) para todo n natural menor o igual que k. - Función derivada asociada a una función real de variable real: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I donde admite derivada para cada valor x ∈ I. Llamamos función derivada de f y lo representamos mediante f´ = f´(x) a la función real de variable real f´: I ⊆ R → R que a cada valor x le hace corresponder la derivada de la función f en tal punto. - Función derivada n-ésima o de orden n asociada a una función real de variable real. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y un número natural n ∈ N, se llama derivada n-ésima o de orden n, y se denota mediante fn), a la función resultante de la derivación sucesiva de f(x) un número n de veces si es que este procedimiento puede realizarse. Comúnmente se suele denotar por f´(x) a la primera derivada o derivada de orden 1 de f(x); por f´´(x) a la segunda derivada o derivada de orden 2 de f(x); y así sucesivamente. 55 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 - Polinomio en una indeterminada con coeficientes reales: Toda función o expresión algebraica del tipo f(x) = anxn + an–1xx–1 + . . . + a1x + a0 con n ∈ N, y ak ∈ R para k ∈ {1, 2 . . , n}. - Punto de inflexión: Un punto x = c es de inflexión si la gráfica de f cambia de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava, en x = c. - Recta tangente a una función real de variable real en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Llamamos recta tangente a f(x) en el valor de abcisa c ∈ I, a aquella recta r tal que pasa por (c, f(c)) y existe un entorno de c ∈ I donde la mejor aproximación lineal de f(x) se consigue mediante la recta r. - Regla de la cadena. Regla de derivación de funciones compuestas que dice lo siguiente. Sean las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que f es derivable en a ∈ I; f(I) ⊆ I´; y g es derivable en b = f(a) ∈ I´ entonces la función real de variable real composición h = g◦f es derivable en x = a y satisface la relación siguiente h´(a) = g´(f(a)) · f´(a) - Tasa de variación instantánea o derivada de una función real de variable real en un punto: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. La tasa de variación instantánea de f(x) en x = c se define como, f (c + h ) − f (c ) lim h →0 h - Tasa de variación media de una función en un intervalo: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I = [a, b] . Llamamos tasa de variación media de la función f en f (b) − f (a ) . Este valor representa a la pendiente de la el intervalo I = [a, b] al valor finito b−a recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). - Teorema de L´Hôpital. Sean las funciones f, g: [a,b] → R con A un intervalo abierto y sea a ∈ A. Si f y g cumplen las siguientes condiciones: a) En las proximidades de x = a, f y g son derivables y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. f ´(x) ∈R b) Existe lim x → a g´( x ) c) Se cumple una de las dos condiciones siguientes: • lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x→a • x →a lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ x→a x →a entonces existe lim x→a f ( x) f ´( x) f ( x) y además, lim = lim . x → a x → a g´(x) g ( x) g ( x) - Teorema de Rolle. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple ser continua en (a,b), derivable en (a,b), continua en [a,b] y tomar el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que la derivada se anula, es decir, tal que f´(c) = 0. 56 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES - Teorema de Rolle generalizado. Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], derivable hasta el orden n en el interior del intervalo y se anula en n+1 puntos del intervalo, entonces existe un punto interior cn en el que: f n)(cn) = . - Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para dos funciones. Sea f, g: [a,b] → R funciones definidas sobre un intervalo cerrado y acotado [a,b] que cumplen las siguientes condiciones f y g son derivables en (a,b);f y g son continuas en [a,b] entonces [f(b) – f(a)] · g´(c) = [g(b) – g(a)] · f´(c) - Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para una función. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple las siguientes condiciones:f es continua en [a,b] y f es derivable en (a,b).entonces existe al menos un f (b) − f (a ) punto intermedio c ∈ (a,b) en el que f ´(c) = b−a - Trayectoria: Función x: I ⊆ R → Rn tal que x = x(t) describe la posición de un móvil o cuerpo en movimiento. - Velocidad: Variación de posición respecto al tiempo. 57 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 ESQUEMA / RESUMEN FUNCIONES DERIVABLES. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. FUNCIONES DERIVABLES 1.1. Tasa de variación media e instantánea. Derivada de una función real de variable real en un punto. El estudio de la monotonía de una función en un punto se debe comenzar estudiando las variaciones que presenta la función en intervalos o entornos del punto. En este sentido, se define el concepto tasa de variación media. Definición de tasa de variación media de una función en un intervalo: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I = [a, b] . Llamamos tasa de variación media de la f (b) − f (a ) función f en el intervalo I = [a, b] al valor finito . b−a Este valor representa a la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). El concepto de tasa de variación media es indispensable para poder estudiar la variación que presenta una función en cada punto x = c ya que, si tomamos una función f: I ⊆ R → R con I un intervalo abierto y consideramos un valor cualquiera del intervalo c ∈ I, podemos estudiar la variación de la función a la derecha del punto c mediante la tasa de variación media que presenta f en el intervalo [c, c + h] con h > 0 de tal modo que el valor auxiliar c + h ∈ I. De ese modo, dado h > 0 con c + h ∈ I, la tasa de variación media que presenta la función f en el intervalo [c, c + h] será: f (c + h ) − f ( c ) f ( c + h ) − f (c ) = c+h−c h que es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (c, f(c)), y (c + h, f(c + h)) El estudio de la variación de la función(x) a la derecha del punto c ∈ I se completa, estudiando cómo se comporta la tasa de variación media cuando acercamos el valor auxiliar c + h hacia el valor c, esto es, cuando hacemos que h sea tan próximo a cero como queramos. Eso da píe a estudiar el siguiente límite que es llamado la tasa de variación instantánea o derivada de la función en el punto c ∈ I. Definición de tasa de variación instantánea o derivada de una función real de variable real en un punto: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. La tasa de variación instantánea de f(x) en x = c se define como, lim h →0 f (c + h ) − f (c ) h 58 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Se dice que f es derivable en x = c si existe y es finita la tasa de variación instantánea en c ∈ I. En tal caso, dicho límite se denota mediante f´(c) y se denomina derivada de f en x = c. f ´(c) = lim h →0 f ( c + h ) − f (c ) h La anterior definición es equivalente a que exista y sea finito el límite: lim x→0 f ( x ) − f (c ) x−c Para ver la equivalencia basta realizar el cambio de variable x = c + h. La definición de la derivada en un punto como un proceso de límite invita a dar una definición alternativa los llamados límites laterales. Definición alternativa de derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Diremos que existe la derivada de la función f en x = c o la tasa de variación instantánea de f(x) en x = c si existen, son finitos y coinciden los límites, f ´(c +) = lim+ h →0 f ( c + h ) − f (c ) h f ´(c −) = lim− h →0 f (c + h ) − f (c ) h En caso de existir, al primer límite se denomina derivada lateral por la derecha y al segundo derivada lateral por la izquierda. En el caso de que el intervalo en el que esta definida la función f(x) es de la forma I = [a, b] con a, b ∈ R entendemos que f es derivable en x = a cuando exista y sea finito f´(a+) mientras que f será derivable en b ∈ R, cuando exista y sea finito el valor f´(b–). 1.2. Recta tangente de una función en un punto y la derivada de la función en el punto. Un resultado elemental de análisis diferencial vincula a la pendiente de la recta tangente a la función en un punto con la derivada o tasa de variación instantánea de la función en dicho punto, en caso de que éstas existan. Para comprobarlo, definimos primeramente lo que entendemos por recta tangente a una función en un punto. Definición de recta tangente a una función real de variable real en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Llamamos recta tangente a f(x) en el valor de abcisa c ∈ I, a aquella recta r tal que 1) Pasa por (c, f(c)) 2) Existe un entorno de c ∈ I donde la mejor aproximación lineal de f(x) se consigue mediante la recta r. 59 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Veamos ahora cómo la derivada de la función f(x) en un punto, de existir, coincide con la pendiente de la recta tangente. Relación de la recta tangente con la derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f(x) es derivable en c ∈ I, f´(c) es la pendiente de la recta tangente. Gracias a este resultado se puede observar gráficamente que la derivada de la función en un punto, f´(c), expresa la pendiente de la recta tangente a la gráfica en x = c. f´(c) = tgα Cuando la tangente a la gráfica no está definida de forma precisa en un punto, la función puede no ser derivable en ese punto. Veamos un ejemplo clásico de ello. Ejemplo. La función f(x) = |x|, que se puede describir como función a trozos según  x si f ( x) =| x |=  − x si x≥0 x<0 y con representación gráfica, es continua en x = 0 ya que lim f ( x) = lim+ x = 0 = f (0) h →0 + lim f ( x) = lim− − x = 0 = f (0) h →0 − h →0 h→ 0 Sin embargo esta función no presenta tangente precisa en el punto x = 0 ya que los siguientes límites no coinciden: lim+ h →0 0+h−0 f ( 0 + h ) − f ( 0) = lim+ =1 h →0 h h lim− h →0 60 www.magister.es 0−h−0 f ( 0 + h ) − f ( 0) = lim+ = −1 h →0 h h Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES 1.3. La Continuidad de funciones reales derivables. Para funciones reales de variable real las nociones de derivabilidad y continuidad están relacionadas de acuerdo al siguiente resultado que no puede generalizarse a funciones de más de una variable. Teorema sobre continuidad y derivabilidad de una función: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f es derivable en x = c entonces f es continua en x = c. Observaciones. 1. Este resultado permite descartar la derivabilidad en valores donde previamente no haya continuidad. 2. La continuidad no implica la derivabilidad. Obsérvese el propio ejemplo de la función, antes mencionada, f(x) = |x| en x = 0. Dicha función es continua en x = 0 pero no es derivable en él. LA FUNCIÓN DERIVADA. Mediante la operación de derivación pueden generarse nuevas funciones a partir de una función dada. Estas funciones obtenidas por derivación sucesiva proporcionan una información básica sobre la función primitiva. 2.1. Función derivada. Definición de función derivada asociada a una función real de variable real: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I donde admite derivada para cada valor x ∈ I. Llamamos función derivada de f y lo representamos mediante f´ = f´(x) a la función real de variable real f´: I ⊆ R → R que a cada valor x le hace corresponder la derivada de la función f en tal punto. Calcularemos ahora algunos ejemplos básicos de función derivada mediante el proceso de límite: a) Derivada de la función constante: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = k con k ∈ R, se verifica que su función derivada es es f´(c) = 0. b) Derivada de la función potencia natural de la identidad: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = xn con n ∈ N – {0}, se verifica que la función derivada es f´(x) = n · xn–1. c) Derivada de la función logaritmo neperiano: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = lnx con x > 0, se verifica que la función derivada es f´(x) = 1/x. d) Derivada de la función trigonométrica seno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = senx, se verifica que la función derivada es f´(x) = cosx. 61 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 2.2. Propiedades de las funciones derivables. Podemos distinguir varios tipos de propiedades de las funciones derivables. Teorema de las fórmulas básicas de derivación: Sean f: I ⊆ R → R y g: I ⊆ R → R derivables entonces, a) ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) b) (c · f)´ = c · f´(x) c) (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) d)   ( x) = , si g(x) ≠ 0 [g ( x)]2 g 2.3. Nuevas fórmulas de funciones derivadas a partir de las propiedades de las funciones derivables. Calcularemos ahora algunos ejemplos básicos de función derivada mediante el proceso de límite: a) Derivada de un polinomio: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = anxn + an–1xx–1 + . . . + a1x + a0 con n ∈ N, se verifica que su función derivada es f´(x) = n · anxn–1 + (n – 1) · an–1xx–2 + + . . . + a2x + a1. b) Derivada de una fracción algebraica: Dada la función real de variable real descrita p ( x) an x n + an −1 x n −1 + . . . + a1 x + a0 = mediante f ( x) = n con n, m ∈ N (si m = 0 entonces b0 qm ( x) bm x m + bm −1 x m −1 + . . . + b1 x + b0 ≠ 0), se verifica que la función derivada es f ( x) = p´n ( x)qm ( x) − pn ( x)q´m ( x) [qm ( x)]2 2.4. Derivación de composición de funciones reales. La regla de la cadena. A continuación vamos a exponer un resultado fundamental para el cálculo de derivadas como es la derivación de uno de los métodos más básicos de construcción de funciones a partir de otras: la composición de funciones. Teorema de derivada de la composición o Regla de la cadena. Sean las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que: i) f es derivable en a ∈ I. ii) f(I) ⊆ I´. iii) g es derivable en b = f(a) ∈ I´ Entonces la función real de variable real composición h = g◦f es derivable en x = a y satisface la relación h´(a) = g´(f(a)) · f´(a). 62 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. 2.5. Algunas fórmulas de derivación a partir de la regla de la cadena. Veamos algunos ejemplos básicos de aplicación de la regla de la cadena y otros que necesitan de este resultado, a) Derivada de la función potencia de la identidad: Sea la función real de variable real f(x) = xn con n ∈ R – {0}, se verifica que la función derivada es f´(x) = n · xn–1 b) Derivada de la función radical o irracional: Dada la función real de variable real descrita mediante h(x) = n f ( x) con f(x) función real positiva f(x) ≥ 0 y n ∈ N – {0, 1}, se verifica que la función derivada es f ´(x) f ´(x)= n −1 n ⋅ n ( f ( x) ) c) Derivada de la función coseno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = cos(x) con x ∈ R, se verifica que la función derivada de f(x) es f´(x) = – senx. d) Derivada de la función tangente: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = tg(x) con x ∈ R – {(2k+1)·π/2 / k ∈ N }. Se verifica que la función derivada de la función tangente es f´(x) = [1+tg2(x)]. 2.6. Derivación de la función inversa. Teorema de la función inversa. El siguiente teorema sirve como método para establecer unas condiciones mínimas para poder derivar la función inversa, en el dominio oportuno de existencia. Del mismo modo, aporta un método de cálculo de la función derivada de la inversa. Teorema de derivada de la función inversa en los reales. Sea una función real de variable real f: I ⊆ R → R tal que: i) f es continua en a ∈ I. ii) f es monótona estricta (creciente o decreciente). iii) f´(a) ≠ 0 Entonces existe función inversa g = f – 1 de la función f en b = f(a) y su derivada es [f −1 ] (b) ´ = g´(b) = 1 f ´(a ) 2.7. Algunas fórmulas de derivación a partir de la regla de derivación de la función inversa. Veamos algunos ejemplos básicos de aplicación de la derivada de la función inversa y otros que necesitan de este resultado, a) Derivada de la función arco seno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = sen(x) con x ∈ (– π/2, + π/2), se verifica que la función derivada de su inversa f-1(y) = 1 arcsen(y) es [arcsen( y )]´= 1 − y2 63 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 b) Derivada de la función arco tangente: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = tg(x) con x ∈ (– π/2, π/2), se verifica que la función derivada de su inversa arco tangente f-1(y) = arctg(y) es [arcstg ( y )] ´= 1 1+ y2 DERIVADAS SUCESIVAS. 3.1. La función derivada de clase n. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I que admite función derivada f´(x) en los términos expuestos en la sección anterior, tendremos que bajo unas condiciones mínimas podremos volver a derivarla para hacer un estudio de su variación respecto a la variación de la variable independiente. Este procedimiento de iteración de la derivación se conoce como el procedimiento de derivadas sucesivas. Por lo tanto, bajo unas condiciones mínimas se puede definir la derivada de la función derivada y extender la aplicación cada una de las nuevas derivadas, (f´) = f´´, (f´´)´ = f´´´, ... Dando lugar a la función derivada segunda, tercera, etc. Estas derivadas reciben el nombre de derivadas sucesivas de la función f. Definición de derivada n-ésima o de orden n asociada a una función real de variable real. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y un número natural n ∈ N, se llama derivada n-ésima o de orden n, y se denota mediante fn), a la función resultante de la derivación sucesiva de f(x) un número n de veces si es que este procedimiento puede realizarse. Del mismo modo, comúnmente se suele denotar por f´(x) a la primera derivada o derivada de orden 1 de f(x); por f´´(x) a la segunda derivada o derivada de orden 2 de f(x); y así sucesivamente. El concepto de derivabilidad se puede complementar con el concepto de continuidad de la derivada naciendo la noción de función derivable de clase n. Definición de función derivable de clase n asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase n, con n ∈ N, y se representa mediante f ∈ Cn(I), si f es continua y admite derivadas continuas hasta el orden n. En el caso n = 0, entonces f es sólo continua. Del mismo modo, diremos que f es de clase infinito, f ∈ C∞(I) admite derivadas de todos los órdenes. En ese caso, no sólo son derivables sino que también continuas. Definición de función derivable de clase infinito o infinitamente derivable asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase infinito o infinitamente derivable, y se representa mediante f ∈ C∞ (I), si f es continua y admite derivadas continuas de cualquier orden n ∈ N o lo que es lo mismo, es de clase Cn(I) para todo n natural. 64 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. 3.2. El nacimiento de la noción de derivada y de derivadas sucesivas: La dinámica y el estudio de las trayectorias. El uso de las derivadas sucesivas es particularmente importante en la descripción del movimiento en la dinámica. Es más, el nacimiento del concepto de función derivable está íntimamente ligado con el estudio de la trayectoria de un móvil y la variación del espacio recorrido respecto al tiempo. Si la posición de un punto móvil en función del tiempo viene definida por la función real de variable real: x: I ⊆ R → R tal que x = x(t) entonces la variación en el espacio que recorre el móvil a lo largo del tiempo respecto de un valor temporal t0 ∈ I, vendrá definida por: x´(t ) = lim h→0 x(t 0 + h) − x(t 0 ) h Esta expresión coincide con la derivada de x(t) en x = t0. Este valor es lo que conocemos como la velocidad del móvil en el instante t0. Esta noción se puede extender a cada valor de tiempo t ∈ I y podemos definir la función velocidad como la derivada de la trayectoria x(t) de tal modo que, v: I ⊆ R → R es tal que v(t ) = x´(t ) = lim h →0 x(t + h) − x(t ) h A su vez, si pretendemos medir la variación de la velocidad a lo largo del tiempo, respecto de un valor t0 ∈ I, dicha variación vendrá definida por: v(t 0 + h) − v(t 0 ) x´(t 0 + h) − x´(t 0 ) = lim h→0 h →0 h h v´(t ) = lim Esta expresión coincide con la derivada de x´(t) en x = t0. Este valor es lo que conocemos como la aceleración del móvil en el instante t0. Del mismo modo que con la velocidad, esta noción se puede extender a cada valor de tiempo t ∈ I y podemos definir la función aceleración como la derivada de la velocidad v(t) o la segunda derivada de la trayectoria del móvil de tal modo que, a: I ⊆ R → R es tal que a ( t ) = v´( t ) = x´´(t ) = lim h→0 65 v ( t + h ) − v (t ) h www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y REGLA DE L´HÔPITAL Hay tres propiedades elementales de las funciones derivables que juegan un papel fundamental en el análisis diferencial, se conocen como los teoremas de Rolle, del valor medio y de L´Hôpital. Las dos primeras tienen un carácter global en cuanto a que, enuncian una propiedad de las funciones sobre un intervalo. En este sentido, se diferencian de otro tipo de propiedades como la expresada expresada por el teorema de L´Hôpital, por ejemplo, en que se enuncia un resultado sobre el comportamiento de las funciones en el entorno de un punto. 4.1. El teorema de Rolle El teorema de Rolle, nos indica unas condiciones para asegurar que en un intervalo compacto, hay al menos un punto extremo. Teorema de Rolle. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple las siguientes condiciones: a) f es derivable en (a,b). b) f es continua en [a,b]. c) f toma el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, f(a) = f(b). entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que la derivada se anula, es decir, tal que f´(c) = 0 Observaciones 1. El enunciado no supone la existencia de la derivada en los extremos a y b, por lo que en tales puntos no estará garantizada la continuidad a no ser por la hipótesis explícita de continuidad en todo I. 2. En términos geométricos el teorema afirma que en algún punto (c, f(c)) de la gráfica, con a < c < b, la tangente es horizontal. Este resultado es obvio intuitivamente en vista de las hipótesis del enunciado como se puede ver en la siguiente figura: Representación del teorema de Rolle 3. El teorema de Rolle se puede generalizar mediante la reiteración del mismo según el siguiente enunciado: 66 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Teorema de Rolle generalizado. Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], derivable hasta el orden n en el interior del intervalo y se anula en n+1 puntos del intervalo, entonces existe un punto interior cn en el que: f n)(cn) = 0 4.2. El teorema del valor medio o de los incrementos finitos El teorema del valor medio expresa la existencia, en buenas condiciones de continuidad y derivabilidad para dos funciones f, g: [a,b] → R, de al menos un valor del intervalo (a,b) donde la proporción que forman sus pendientes f´(c) y g´(c) es la misma que la que forman las pendientes de las rectas que unen (a,f(a)) con (b,f(b)) y (a,g(a)) con (b,g(b) respectivamente. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para dos funciones. Sea f, g: [a,b] → R funciones definidas sobre un intervalo cerrado y acotado [a,b] que cumplen las siguientes condiciones: a) f y g son derivables en (a,b). b) f y g son continuas en [a,b]. entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que [f(b) – f(a)] · g´(c) = [g(b) – g(a)] · f´(c) El anterior teorema se puede concretar para el caso de una sola función. La interpretación de este teorema para una función es simple. Dada una función continua en un compacto y derivable en su interior, podemos encontrar un valor intermedio en el que la derivada sea igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos que toma la función en los extremo del intervalo. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para una función. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple las siguientes condiciones: a) f es continua en [a,b]. b) f es derivable en (a,b). entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que f ´(c) = 67 f (b) − f (a ) b−a www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 Observaciones 1. La interpretación geométrica del teorema del valor medio para una función es que la recta tangente a la gráfica en el punto (c, f(c)) es paralela al segmento que une los extremos de la gráfica como se puede observar en la representación siguiente: Representación del teorema del valor medio 2. El teorema del valor medio para una función se conoce como el teorema de los incrementos finitos ya que si la derivada está acotada, ∃ K ∈ R / |f´(x)| ≤ K , ∀ x ∈ [a,b] , entonces el incremento total de la función en dicho intervalo es finito y viene acotado por la expresión | f (b) − f (a ) | = | f ´(c)(b − a ) |≤ K | b − a | . 3. Adviértase que la identidad del teorema del valor medio es simétrica respecto de a y b, por lo que no es preciso suponer para aplicarla que a < b. 4. Una de las ventajas de esta versión es que conduce inmediatamente a la regla de L'Hopital. 4.3. El teorema de L´Hôpital El teorema de L´Hôpital es un arma fundamental en el estudio local de las funciones ya que aporta información, mediante la derivada, acerca de los valores que toma una función cociente en las cercanías de una abcisa donde se produce indeterminación. Dicho teorema se debe a Johann Bernouilli al que pagó el Marques de L´Hôpital su autoría para figurar como un matemático de primer orden. Teorema de L´Hôpital. Sean las funciones f, g: [a,b] → R con A un intervalo abierto y sea a ∈ A. Si f y g cumplen las siguientes condiciones: a) En las proximidades de x = a, f y g son derivables y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. f ´(x) b) Existe lim ∈R x → a g´( x ) c) Se cumple una de las dos condiciones siguientes: • lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x→a • x →a lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ x→a x →a entonces existe lim x→a f ( x) f ´( x) f ( x) y además, lim = lim . x → a x → a g ( x) g´(x) g ( x) 68 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES 5. APLICACIONES 5.1. Aplicaciones a distintas ramas de la ciencia. El concepto de la derivada es fundamental no sólo en la matemática sino en todas las ciencias (física, química, economía, estadística, etc.) que utilizan una descripción matemática de fenómenos susceptibles de representarse mediante funciones. El elemento fundamental para la aplicación de la derivada en fenómenos funcionales es el estudio de la variación de determinadas variables dependientes del experimento o fenómeno respecto a la variación de las correspondientes variables independientes del sistema. • Desde el punto de vista del análisis matemático, conceptos y procedimientos básicos de la derivada y diferencial aplicados en el estudio de la física, química, economía, etc. Son: - Aproximación de funciones mediante Polinomios y series de Taylor y McLaurin. Cálculo de rectas y planos tangentes, normales. Estudio de los extremos relativos y acotaciones funcionales. Optimización de funciones. Análisis de las regiones de monotonía de una función. Estudio de los puntos de inflexión o puntos de silla de una función. Análisis de las regiones de curvatura de una función. Aplicaciones en el cálculo de límites y tendencias. • El cálculo diferencial aplica la derivada y diferencial a partir de parametrizaciones de curvas y superficies en las debidas condiciones, mediante el concepto y cálculo del vector tangente, vector curvatura, vector normal principal, vector binormal y la aplicación de ellos a sistemas de referencia móviles sobre dichas curvas y superficies. También son fundamentales todos estos conceptos para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes junto con el cálculo integral. • El cálculo integral está directamente relacionado con la derivada y la diferencial. La mayor parte de las ramas de la ciencia aplican la derivada y la diferencial en el estudio de relaciones funcionales. De este modo, • En economía, las derivadas parciales de una función en varias variables pueden ser entendidos como los costes marginales. • En Física, la definición de magnitudes vectoriales y la diferenciación de estas dan lugar a nuevas magnitudes. Al respecto, la parametrización del movimiento de cuerpos móviles dan lugar mediante la diferenciabilidad a la magnitud vectorial velocidad o a la aceleración. En otras ocasiones, las leyes de la física se expresan mediante ecuaciones y condiciones que deben cumplir las derivadas de las magnitudes que aparecen en el problema. Las ecuaciones que describen los fenómenos físicos vienen dadas mediante ecuaciones diferenciables tales como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell, etc. 69 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 La física, desde un punto de vista básico, aplica las llamadas ecuaciones diferenciales para la resolución de situaciones problemáticas. Estas ecuaciones son una modelización en forma de ecuación/es cuyo objetivo es determinar la/s función/es y(x) que verifican expresiones del tipo general: F(x, y(x), y´´(x), . . . , yn)(x)) = 0 con ciertas condiciones generales o iniciales para el sistema. • En estadística, los experimentos aleatorios son modelizados a partir de variables estadísticas discretas y continuas. En las debidas condiciones, la función de densidad es la derivada o diferencial de la función de distribución de la variable. También se utiliza la derivación y diferenciabilidad para calcular, estimar o promediar parámetros estadísticos, rectas y funciones de regresión, etc. mediante métodos como pueda ser el de máxima verosimilitud o el método de los mínimos cuadrados. En general, todos los modelos matemáticos basados en funciones requieren el uso de las derivadas y diferenciales para analizar con rigor las propiedades de tales funciones. A continuación vamos a estudiar varias aplicaciones importantes de los tres teoremas anteriores. En toda la sección supondremos que las funciones están definidas sobre un intervalo [a,b] cerrado y acotado, son derivables en (a,b) y continuas en [a,b]. 5.2. Derivabilidad y continuidad uniforme. Uno de los criterios básicos para analizar la continuidad uniforme es el proporcionado por la relación siguiente que relaciona este concepto con la derivabilidad. Teorema de acotación y continuidad uniforme. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada acotada en (a,b), es decir, existe M > 0 tal que |f´(x)| ≤ M ∀ x ∈ (a,b) entonces f es uniformemente continua en [a,b]. 5.3. Crecimiento y decrecimiento globales El siguiente teorema proporciona un criterio de aplicación de la derivada para averiguar la naturaleza creciente o decreciente de una función en un intervalo. Teorema sobre crecimiento de una función en un intervalo. Si f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable en (a,b) con función derivada positiva (negativa) en (a,b), es decir, f´(x) > 0 ∀x ∈ (a,b) entonces f es estrictamente creciente (decreciente) en [a,b]. 70 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES 5.4. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Una de las características básicas de la gráfica de una función es su concavidad o convexidad. Vamos a ver ahora la forma de estudiar esta propiedad mediante el análisis de las derivadas. Para ello definimos lo que entendemos por función cóncava. Definición de función cóncava: Se dice que f es cóncava en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por encima de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). Dado que los puntos de [x1, x2] son de la forma x = λ·x2 + (1 – λ)·x1, une (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)) tiene por ecuación: y= 0 ≤ λ ≤ 1 y la recta que f ( x2 ) − f ( x1 ) ⋅ ( x − x1 ) + f ( x1 ) ∀x ∈ [x1 , x2 ] x2 − x1 una caracterización equivalente de la concavidad viene dada por la expresión: ⇔ f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≥ λ ⋅ f ( x2 ) + (1 − λ ) ⋅ f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] Función cóncava en el intervalo [a,b] Definición de función convexa. Se dice que f es cóncava en [a,b] si para toda pareja de puntos x1 < x2 en [a,b] la gráfica de f en el intervalo [x1,x2] está por debajo de la cuerda que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)). Procediendo como anteriormente, podemos caracterizar la convexidad según la expresión algebraica: f (λ ⋅ x2 + (1 − λ ) ⋅ x1 ) ≤ λ ⋅ f ( x2 ) + (1 − λ ) ⋅ f ( x1 ) ∀λ ∈ [0,1] 71 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 Función convexa en el intervalo [a,b] El siguiente teorema proporciona un criterio útil para caracterizar la concavidad y convexidad sobre intervalos. Teorema sobre concavidad y convexidad de una función en un intervalo. Sea una función f: [a,b] → R continua en [a,b] y derivable dos veces en (a,b). Si la segunda derivada de f es positiva, f´´(x) > 0 ∀ x ∈ (a,b), entonces f es convexa en [a,b]. Del mismo modo, si la segunda derivada de f es negativa, f´´(x) < 0 ∀x ∈ (a,b), entonces f es cóncava en [a,b]. Veamos ahora otra aplicación del cálculo de derivadas para la obtención de puntos de inflexión. Definición de punto de inflexión: Un punto x = c es de inflexión si la gráfica de f cambia de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava, en x = c. Para funciones derivables, de acuerdo con el anterior teorema, si la segunda derivada f´´ es continua, una condición necesaria para los puntos de inflexión es que f´´(c) = 0. Utilizando el teorema de Taylor puede demostrarse que la condición necesaria y suficiente para ser punto de inflexión es que la primera de las derivadas no nulas fn)(c) con n ≥ 2 sea de orden n impar. RECUERDA: En la plataforma de MAGISTER (área de alumnos) puedes responder a cuestiones básicas del tema 25. 72 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. EIONES y PROPU CUESTIONES PARA EL REPASO 1. Sea la función f = f(x) definida para todo real según: x 2 f ( x) =  0 si si x ∈Q x ∉Q ¿Es continua?, ¿Es derivable?. 2. Utilizando la regla de derivación de funciones compuestas, demostrar que si f es una función derivable par (impar), entonces f´es impar (par). 3. Mediante la regla de derivación para funciones inversas, calcular ( x )´ 4. Si f es derivable y monótona estricta, ¿es cierto que f´(x) ≠ 0 para todo valor x de dominio? 5. Sea f una función tal que f(c) = 0 en un punto c de su dominio. Demostrar que si |f| es derivable en c entonces d| f | (c ) = 0 dx 73 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 ֠ PROPUESTAS DE SOLUCIÓN 1. Sea la función f = f(x) definida para todo real según: x 2 f ( x) =  0 x ∈Q x ∉Q si si ¿Es continua?, ¿Es derivable? Solución. Es conveniente distinguir varios casos: • Si x ≠ 0 y x ∈ Q entonces f(x) = x2 ≠ 0. Pero existirán sucesiones de irracionales {xn}⊆ Q tales que lim x n = x n → +∞ Y por otro lado, lim f ( x n ) = lim 0 = 0 ≠ f ( x) n → +∞ n → +∞ Por lo tanto, si x ≠ 0 y x ∈ Q entonces f no es continua. • Si x ∉ Q entonces f(x) = 0, pero existirán sucesiones de racionales {xn}⊆ Q tales que lim x n = x n → +∞ Y por otro lado, lim f ( x n ) = lim x n = x 2 ≠ 0 = f ( x) 2 n → +∞ n → +∞ Por lo tanto, si x ∉ Q entonces f no es continua. • Si x = 0 entonces la función es derivable ya que si hn es una sucesión que tiende a cero, entonces:  hn2 = hn si hn ∈ Q f (hn ) − f (0)  hn lim = n →∞ hn  0 − 0 = 0 si hn ∉ Q  hn Obviamente, el límite cuando {hn} tiende a cero de la expresión anterior es cero, luego f´(0) = 0 y al ser f derivable es continua. 74 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. 2. Utilizando la regla de derivación de funciones compuestas, demostrar que si f es una función derivable par (impar), entonces f´es impar (par). Solución. Actuamos por casos: • Si f es una función par entonces f(x) = f(– x). Puesto que f es derivable, derivando la expresión anterior mediante la regla de la cadena en el segundo miembro, f´(x) = – f(– x) y por lo tanto, f´(x) es impar. • Si f es una función impar entonces f(x) = – f(– x). Puesto que f es derivable, derivando la expresión anterior mediante la regla de la cadena en el segundo miembro, f´(x) = [– f(– x)]·(– 1) = f(– x) de donde f´(x) = f(– x) y por lo tanto, f´(x) es par. 3. Mediante la regla de derivación para funciones inversas, calcular ( x )´ Solución. La función inversa de la función dada es x = y2. En este sentido, puesto que la función x = y 2 es continua y monótona en [0, + ∞) y sólo se anula su derivada en y = 0, tendremos que la derivada de su función inversa será: ∂ ∂x ( x)= 1 ∂ 2 y ∂y ( ) = 1 1 = 2y 2 x 4. Si f es derivable y monótona estricta, ¿es cierto que f´(x) ≠ 0 para todo valor x de dominio? Solución. En general la respuesta es negativa. Por ejemplo, la función f(x) = x3 es derivable, monótona creciente en R y sin embargo, en x = 0 tenemos que f´(0) = 0. 5. Sea f una función tal que f(c) = 0 en un punto c de su dominio. Demostrar que si |f| es derivable en c entonces d| f | (c ) = 0 dx Solución. Calculamos el valor pedido, d| f | | f | (c + h ) − | f | (c ) | f (c + h ) | − | f (c ) | | f (c + h ) | (c) = lim = lim = lim h→ 0 h →0 h →0 dx h h h Observar que si este límite existe, como al tender h a cero por la derecha, el límite anterior sería positivo o cero mientras que si h tiende a cero por la izquierda, el límite sería negativo o cero, sólo cabe la posibilidad de que dicho límite sea cero si queremos que la función |f| sea derivable en x = c. 75 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 ORIENTACIONES PARA LA REDACCIÓN DEL TEMA Hay dos aspectos fundamentales en todo tema: La forma que damos al tema y los contenidos del mismo. En cuanto a la forma del tema, sigue las siguientes directrices que te damos a continuación: o La redacción del tema tiene que responder con equilibrio a los elementos del epígrafe del tema. El documento tiene que ser redactado en plural de cortesía, con un vocabulario adecuado, frases directas, claras y concisas, puedes formular interrogantes que después contestas para que el discurso sea más ameno y atractivo. o En su redacción utiliza mayúsculas, subrayados, que te permitan distinguir cada uno de los componentes del tema, destaca las definiciones, los términos esenciales con el propósito de poder discriminar con una lectura rápida al final que han sido respondidos todos los componentes del epígrafe del tema. o Ten especial atención con los márgenes, código de colores (evidentemente escribe a bolígrafo), títulos de las secciones, caligrafía y faltas de ortografía. o Numera las hojas para que, en su lectura, se pueda saber claramente qué va después de qué. o El número mínimo de páginas escritas depende del tamaño de letra que tengas por lo que es difícil dar un número determinado. En cuanto a los contenidos a tratar en el tema, sigue las siguientes pautas para garantizar que la información recogida por el opositor sea completa y pueda ser valorada por el tribunal: o En primer lugar debes recoger una introducción, formada por dos párrafos. o En el primer párrafo identifica una idea general, un principio básico relacionado con el contenido del tema. Ese principio puedes tomarlo de uno de los artículos de la LOE, o de la importancia del tema. Puedes parafrasear y sintetizar el modelo que se te ofrece al comienzo del tema. o En el segundo párrafo tienes que identificar el esquema de desarrollo que vas a seguir a lo largo del tema, pero en un discurso, tal y como hace el segundo párrafo del modelo que te ofrece este documento. Se trata de que el tribunal conozca de antemano que aspectos vas a tratar y en qué orden. o Por último, intenta relacionar los contenidos que vas a tratar con los contenidos del Decreto de mínimos para Secundaria o Bachillerato. 76 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES o En segundo lugar comienza a redactar cada componente del tema: o Indica al tribunal que vas a comenzar con el primer punto de tu exposición. Intenta ser clar@, concis@, y sobre todo determina toda la información esencial para el desarrollo del título de la sección. Fíjate en el enlace o conector que en negrita se te ofrece en este documento. o Destaca algunas de tus definiciones, ideas o proposiciones. Fíjate en las orientaciones para la síntesis que aparezca en el recuerda. o Debes ser divulgativ@ a la vez que tecnic@. Las demostraciones son importantes porque aportan ese tecnicismo que sólo los opositandos que saben verdaderamente de matemáticas saben dar. El número de demostraciones que hagas ha de estar en consonancia con la importancia de las mismas para el tema y el tiempo del que dispongas. Siempre recomendamos que haya un mínimo de cinco demostraciones, seleccionadas por orden de importancia para el tema. Si puedes más, pues adelante. o Ejemplifica. Tras algún concepto o procedimiento siempre es recomendable dar un ejemplo. Trata de que tus ejemplos sean razonablemente interesantes pero no les des una dificultad de tal calibre que te demoren en la exposición del tema. o En tercer lugar, cierra el tema con una conclusión que recapitule los aspectos fundamentales expuestos en el tema o en la que destaques la idea fundamental de su desarrollo, para su redacción puedes sintetizar o reconfigurar la conclusión que se ofrece en el tema. o Por último, selecciona cuatro o cinco textos de la bibliografía, destaca los de los autores que has citado a lo largo de su desarrollo, y destaca dos o tres páginas web de las que se ha recogido información para el desarrollo del tema. ORIENTACIONES PARA LA LECTURA Primero, debemos recordar que la lectura es el único medio de cumplir con el objetivo de informar sobre el tema, y de que el tribunal nos evalúe. No olvides que debes leer literalmente el discurso que has elaborado, y que el tribunal no lo ha leído previamente. Por tanto, entrena la lectura, graba y escucha la lectura que desarrollas, comprueba que permite acceder a la información que quieres transmitir, muestra siempre confianza y seguridad en ti mism@. Otros criterios que debes considerar son: o Facilitar siempre la comprensión del Tribunal, con una lectura expresiva oral, adecuada a nuestra situación de opositores y a las características del texto expositivo específico. Debes partir de la consideración de que el Tribunal no conoce la estructura, ni los contenidos específicos del discurso que vas a leer, esto implica que debes enfatizar, subrayar con el tono de voz, con la velocidad lectora la presentación, los enlaces que estableces entre los elementos del discurso de este tema. Tu discurso debe resultar próximo al de un periodista en un informativo, la información tiene que ser compresiva para el tribunal. Evita en este 77 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 tema el abuso de acrónimos, intercala diversos modos de llamar a los conceptos (si es que hay diversos modos), recuerda que la novedad de algunos de sus contenidos exige que realices una lectura pausada, no aceleres la lectura en situaciones esquemáticas o en lugares donde creas que no hay tanto interés. o El Tribunal sólo puede escuchar una vez nuestro texto, al ritmo de nuestra lectura: ni demasiado rápido ni demasiado lentamente, pero debes ajustarlo a los contenidos del tema, en aquellos contenidos en los que conviene detenerse la lectura debe ser más pausada, esto ocurre cuando lees el paso de un elemento a otro (los enlaces), o la introducción y la conclusión. Sin embargo, cuando ejemplifiques contenidos puedes imprimir una mayor velocidad a tu lectura, son datos próximos al tribunal. o Articular bien cada palabra, con variedad, con claridad y tono adecuado, entusiasta, dinámico; ni monótono ni exaltado. Se trata de dar importancia a lo que estás leyendo. Si has formulado interrogantes en el discurso que elaboras sube la intensidad del tono, haz una pequeña pausa antes y después de formular el interrogante. o Enfatizar mediante la pronunciación, la mirada, el gesto y el tono: títulos de cada apartado, ideas y conceptos importantes. El gesto, la mirada debe ser consecuente con el énfasis que se le ofrece al contenido que se está leyendo. o No enfrascarse en la lectura, inclinándose sobre el texto, olvidándose del receptor: da sensación de inseguridad. Debemos levantar la vista y dirigirla a los distintos miembros del tribunal para mantener su atención pero sin perder el hilo conductor en la lectura del tema. Utiliza el paso de un elemento a otro del tema para levantar la mirada, los interrogantes que te has formulado. Intenta establecer el contacto visual cuando pasas de la introducción al desarrollo del tema, o cuando vas a leer un enlace, y antes y después de la conclusión. o Controlar siempre la respiración: un ritmo adecuado, el respeto de pausas (punto seguido, punto aparte, apartados) nos evitará ahogos, pérdida de voz, etc. Si es necesario, puedes hacer una breve pausa para beber agua (es frecuente que los tribunales dispongan de agua en la mesa en la que el opositor realiza la lectura). No ocurre nada, si te equivocas en una palabra vuelve sobre su lectura con espontaneidad. 78 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES RESUMEN (Ejemplo para la Redacción del tema en la Oposición) FUNCIONES DERIVABLES. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES. 0. INTRODUCCIÓN AL TEMA. El concepto de derivada como análisis de la variación de una variable frente a otra de la que depende y sus distintas aplicaciones fue ya estudiado por los antiguos griegos en tratados sobre modelizaciones funcionales como por ejemplo las espirales de Arquímedes. Durante el siglo XVI ya se atisbaron las principales ideas sobre rectas tangentes y cálculo de extremos relativos de funciones en diversos trabajos de Fermat o Descartes. Sin embargo, son los trabajos de Newton y Leibniz (siglo XVII) sobre el cálculo diferencial, los que revolucionan el mundo de la mecánica y las matemáticas. Newton y Leibnitz, de manera independiente obtuvieron resultados muy similares acerca del estudio del movimiento a lo largo del tiempo o el cálculo de áreas mediante funciones. Newton llamó al nuevo concepto fluxión que, siglos después se denominará derivada. Newton y Leibtniz pugnaron por la autoría inicial del cálculo diferencial e integral mediante agrias disputas entre la corriente científica inglesa que apoyaba a Newton, y la corriente suizoalemana que apoyaba a Leibnitz. Lo cierto es que se puede considerar que ambos realizaron tal contribución de modo independiente y apoyándose en los trabajos anteriores de Fermat, Descartes, etc. La formalización y evolución de dichos conocimientos se van sucediendo a lo largo de los siguientes años y siglos de la mano de Brook Taylor, Colin McLaurin, etc., consecuencia directa de la propia formalización de las matemáticas en general junto con la gran importancia y aplicación que tiene el cálculo diferencial e integral para el desarrollo de el resto de ramas matemáticas y científicas. En este tema nos proponemos presentar las nociones básicas modernas del concepto de derivada y función derivada junto con sus principales propiedades y cálculo de las llamadas derivadas elementales. El tema comienza con la definición de derivada de una función en un punto a través de la noción de tasa de variación media y el proceso de límite que determina la tasa de variación instantánea. Se proporciona la relación entre la derivada en un punto y la existencia de la recta tangente en dicho punto. También mostraremos la inequívoca relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto. En el punto siguiente se introduce el concepto de función derivada y analizaremos las propiedades de las funciones derivables y ejemplificaremos, demostrando algunas de las 79 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 principales fórmulas de derivación a que dan lugar para terminar enunciando y demostrando dos resultados importantes del análisis funcional como son la regla de la cadena y el teorema de derivación de la función inversa. También se expondrán aplicaciones y algunos ejemplos concretos de reglas de derivación a que dan lugar estos resultados. En la sección siguiente se determina la noción de derivadas sucesivas y de función derivada de clase n y de clase infinito, mostrando la aplicación más evidente de tales conceptos a la dinámica, fundamento para el nacimiento de tales conocimientos. En el penúltimo punto se enuncian y demuestran tres de los más importantes teoremas para el estudio de las funciones mediante derivadas como son el toerema de Rolle, el teorema del valor medio y el teorema de L´Hôpital. En el último punto, se concretan algunas aplicaciones que tiene el concepto de derivada y se ofrecen ejemplos en este sentido. Algunos son los contenidos del tema que se trabajan aplicadamente durante la Enseñanza Secundaria como se puede observar en el Real Decreto de Mínimos y, sobre todo, en el boque 0 dedicado a los “contenidos comunes”. El concepto de tasa de variación media y el de derivada de una función en un punto como el límite del cociente incremental se trabajan como contenido mínimo en Matemáticas B de 4º ESO. En todos los cursos y ramas de Bachillerato (Matemáticas I, II y Matemáticas ap CC.SS.I y II), se trabaja el concepto de derivada en un punto, función derivada, las propiedades y fórmulas de derivación de las principales funciones elementales y se aplican al estudio y análisis de funciones. Los teoremas de Rolle, L´Hôpital o teorema del valor medio se trabajan en Bachillerato de Ciencias y Tecnología. 1. FUNCIONES DERIVABLES. Comenzamos estudiando las variaciones que presenta la función en intervalos o entornos del punto. En este sentido, se define el concepto tasa de variación media. Definición de tasa de variación media de una función en un intervalo: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I = [a, b] . Llamamos tasa de variación media de la función f en el intervalo I = [a, b] al valor finito f (b ) − f ( a ) b−a Este valor representa a la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). El concepto de tasa de variación media es indispensable para poder estudiar la variación que presenta una función en cada punto x = c ya que, si tomamos una función f: I ⊆ R → R con I un intervalo abierto y consideramos un valor cualquiera del intervalo c ∈ I, podemos estudiar la variación de la función a la derecha del punto c mediante la tasa de variación media que presenta f en el intervalo [c, c + h] con h > 0 de tal modo que el valor auxiliar c + h ∈ I. 80 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES De ese modo, dado h > 0 con c + h ∈ I, la tasa de variación media que presenta la función f en el intervalo [c, c + h] será: f (c + h ) − f (c ) f (c + h ) − f ( c ) = c+h−c h que es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (c, f(c)), y (c + h, f(c + h)) Ejemplo. Sea la función f(x) = x2 y calculamos la tasa de variación media en el intervalo [1, 2]. En tal caso, dicha tasa vendrá dada por el valor: f ( 2) − f (1) f ( 2) − f (1) = = 2 2 − 12 = 4 − 1 = 3 2 −1 1 Por lo tanto, TVM(1, 2) = 3 que es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, 4). El estudio de la variación de la función(x) a la derecha del punto c ∈ I se completa, estudiando cómo se comporta la tasa de variación media cuando acercamos el valor auxiliar c + h hacia el valor c, esto es, cuando hacemos que h sea tan próximo a cero como queramos. Eso da píe a estudiar el siguiente límite que es llamado la tasa de variación instantánea o derivada de la función en el punto c ∈ I. Definición de tasa de variación instantánea o derivada de una función real de variable real en un punto: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. La tasa de variación instantánea de f(x) en x = c se define como, lim h→0 f (c + h ) − f (c ) h Se dice que f es derivable en x = c si existe y es finita la tasa de variación instantánea en c ∈ I. En tal caso, dicho límite se denota mediante f´(c) y se denomina derivada de f en x = c. f ´(c ) = lim h →0 f ( c + h ) − f (c ) h La anterior definición es equivalente a que exista y sea finito el límite: lim x →0 f ( x ) − f (c ) x−c Para ver la equivalencia basta realizar el cambio de variable x = c + h. Ejemplo. Sea la función f(x) = x2 y calculamos la tasa de variación instantánea en x = 1. En tal caso, dicha tasa vendrá dada por el valor: f ´(1) = lim h→0 f (1 + h) − f (1) h 2 + 2h (1 + h) 2 − 1 1 + h 2 + 2h − 1 = lim = lim = lim = lim ( h + 2) = 2 h→0 h→0 h→0 h→0 h h h h Por lo tanto, la tasa de variación instantánea de f(x) en x = 1, será TVI(1) = f´(1) = 2. 81 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. La definición de la derivada en un punto como un proceso de límite invita a dar una definición alternativa los llamados límites laterales. Definición alternativa de derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Diremos que existe la derivada de la función f en x = c o la tasa de variación instantánea de f(x) en x = c si existen, son finitos y coinciden los límites, f ´(c + ) = lim+ h →0 f (c + h ) − f (c ) h f ´(c −) = lim− h →0 f (c + h ) − f (c ) h En caso de existir, al primer límite se denomina derivada lateral por la derecha y al segundo derivada lateral por la izquierda. En el caso de que el intervalo en el que esta definida la función f(x) es de la forma I = [a, b] con a, b ∈ R entendemos que f es derivable en x = a cuando exista y sea finito f´(a+) mientras que f será derivable en b ∈ R, cuando exista y sea finito el valor f´(b–). Un resultado elemental de análisis diferencial vincula a la pendiente de la recta tangente a la función en un punto con la derivada o tasa de variación instantánea de la función en dicho punto, en caso de que éstas existan. Para comprobarlo, definimos primeramente lo que entendemos por recta tangente a una función en un punto. Definición de recta tangente a una función real de variable real en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Llamamos recta tangente a f(x) en el valor de abcisa c ∈ I, a aquella recta r tal que 1) Pasa por (c, f(c)) 2) Existe un entorno de c ∈ I donde la mejor aproximación lineal de f(x) se consigue mediante la recta r. Veamos ahora cómo la derivada de la función f(x) en un punto, de existir, coincide con la pendiente de la recta tangente. Relación de la recta tangente con la derivada de una función en un punto. Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f(x) es derivable en c ∈ I, f´(c) es la pendiente de la recta tangente. Gracias a este resultado se puede observar gráficamente que la derivada de la función en un punto, f´(c), expresa la pendiente de la recta tangente a la gráfica en x = c. f´(c) = tgα 82 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Cuando la tangente a la gráfica no está definida de forma precisa en un punto, la función puede no ser derivable en ese punto. Veamos un ejemplo clásico de ello. Ejemplo. La función f(x) = |x|, que se puede describir como función a trozos según  x si f ( x) =| x |=  − x si x≥0 x<0 y con representación gráfica, es continua en x = 0 ya que lim f ( x ) = lim+ x = 0 = f (0) h →0 + h →0 lim f ( x ) = lim− − x = 0 = f (0) h →0 − h →0 Sin embargo esta función no presenta tangente precisa en el punto x = 0 ya que los siguientes límites no coinciden: lim+ h →0 lim h →0 − f ( 0 + h ) − f ( 0) 0+h−0 = lim+ =1 h →0 h h f ( 0 + h ) − f ( 0) 0−h−0 = lim+ = −1 h → 0 h h Para funciones reales de variable real las nociones de derivabilidad y continuidad están relacionadas de acuerdo al siguiente resultado que no puede generalizarse a funciones de más de una variable. Teorema sobre continuidad y derivabilidad de una función: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y sea un valor c ∈ I. Si f es derivable en x = c entonces f es continua en x = c. Demostración. Supongamos que f es derivable en x = c. En ese caso, existirá y será finito el límite: f ´(c ) = lim h →0 f ( c + h ) − f (c ) h 83 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 En estas condiciones, para todo valor x ∈ I con x ≠ c es válida la siguiente identidad: f ( x ) = f (c ) + f ( x ) − f (c ) ⋅ ( x − c) x−c Tomando límite en la expresión anterior y haciendo tender x al valor c, tendremos que: f ( x ) − f (c )   lim f ( x ) = lim  f (c ) + ⋅ ( x − c) = x →c x →c x−c   = lim f (c) + lim x→c x →c f ( x ) − f (c ) ⋅ lim( x − c ) = f (c ) + f ´(c ) ⋅ 0 = f (c) x→c x−c Por lo tato, f es continua en x = c. Observaciones. 1. Este resultado permite descartar la derivabilidad en valores donde previamente no haya continuidad. 2. La continuidad no implica la derivabilidad. Obsérvese el propio ejemplo de la función, antes mencionada, f(x) = |x| en x = 0. Dicha función es continua en x = 0 pero no es derivable en él. 2. LA FUNCIÓN DERIVADA. Mediante la operación de derivación pueden generarse nuevas funciones a partir de una función dada. Estas funciones obtenidas por derivación sucesiva proporcionan una información básica sobre la función primitiva. Definición de función derivada asociada a una función real de variable real: Sea una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I donde admite derivada para cada valor x ∈ I. Llamamos función derivada de f y lo representamos mediante f´ = f´(x) a la función real de variable real f´: I ⊆ R → R que a cada valor x le hace corresponder la derivada de la función f en tal punto. Calcularemos ahora algunos ejemplos básicos de función derivada mediante el proceso de límite: a) Derivada de la función constante: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = k con k ∈ R, se verifica que su función derivada es es f´(c) = 0. b) Derivada de la función potencia natural de la identidad: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = xn con n ∈ N – {0}, se verifica que la función derivada es f´(x) = n · xn–1. c) Derivada de la función logaritmo neperiano: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = lnx con x > 0, se verifica que la función derivada es f´(x) = 1/x. d) Derivada de la función trigonométrica seno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = senx, se verifica que la función derivada es f´(x) = cosx. 84 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Podemos distinguir varios tipos de propiedades de las funciones derivables. Teorema de las fórmulas básicas de derivación: Sean f: I ⊆ R → R y g: I ⊆ R → R derivables entonces, a) ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) b) (c · f)´ = c · f´(x) c) (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) , si g(x) ≠ 0 d)   ( x) = [g ( x)]2 g Demostración. Consideramos las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I ⊆ R → R derivables entonces, a) ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) Tomando la definición de límite en cualquier valor de dominio x ∈ I, tendremos que: ( f + g )( x + h) − ( f + g )( x ) f ( x + h) + g ( x + h) − f ( x ) − g ( x) = lim = h →0 h →0 h h ( f + g )´( x ) = lim = lim h →0 f ( x + h) − f ( x) g ( x + h) − g ( x ) + lim = f ´( x ) + g´( x ) h → 0 h h Por lo tanto, ( f + g )´(x) = f´(x)+ g´(x) b) (c · f)´ = c · f´(x) Sea x ∈ I cualquier valor de dominio entonces tendremos que, (c ⋅ f )´( x ) = lim h →0 (c ⋅ f )( x + h) − (c ⋅ f )( x ) c ⋅ f ( x + h) − c ⋅ f ( x) = lim = h → 0 h h = c ⋅ lim h →0 f ( x + h) − f ( x) = c ⋅ f ´( x ) h Por lo tanto, (c · f)´ = c · f´(x) c) (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) Consideramos x ∈ I. Tendremos que: ( f ⋅ g )( x + h) − ( f ⋅ g )( x) f ( x + h) ⋅ g ( x + h) − f ( x) ⋅ g ( x) = lim = h →0 h →0 h h ( f ⋅ g )´( x ) = lim 85 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Sumando y restando f(x)·g(x+c) en el numerador, ( f ⋅ g )´( x ) = lim h→0 f ( x + h) ⋅ g ( x + h ) − f ( x ) ⋅ g ( x + h) + f ( x ) ⋅ g ( x + h ) − f ( x ) ⋅ g ( x ) = h Sacando factor común, ( f ⋅ g )´( x ) = lim h →0 [ f ( x + h ) − f ( x ) ] ⋅ g ( x + h ) + f ( x ) ⋅ [g ( x + h ) − g ( x ) ] = h Realizando el límite y tendiendo en cuenta que g es continua en x, = lim h →0 f ( x + h) − f ( x) g ( x + h) − g ( x) ⋅ lim g ( x + h) + f ( x ) ⋅ lim = f ´( x) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g´( x ) h →0 h→ 0 h h Por lo tanto, (f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x) ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) , si g(x) ≠ 0 d)   ( x) = [g ( x)]2 g Tomando la definición de límite en cualquier valor de dominio x ∈ I con g(x) ≠ 0, tendremos que: ´  f  ( x) = lim ( f / g )( x + h) − ( f / g )( x) = lim f ( x + h) / g ( x + h) − f ( x) / g ( x) =  g h →0 h →0   h h = lim h →0 f ( x + h ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ( x + h) = g ( x) ⋅ g ( x + h) ⋅ h Sumando y restando f(x)·g(x) en el numerador, ´  f  ( x) = lim f ( x + h) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x + h) = h →0  g g ( x ) ⋅ g ( x + h) ⋅ h Sacando factor común, ´  f  ( x) = lim [ f ( x + h) − f ( x)] ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ [g ( x + h) − g ( x)] = h →0  g g ( x ) ⋅ g ( x + h) ⋅ h  f ( x + h) − f ( x)   g ( x + h) − g ( x)  ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅     h h   lim = h →0 g ( x ) ⋅ g ( x + h) 86 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Realizando el límite y tendiendo en cuenta que g es continua en x, f ( x + h) − f ( x )  g ( x + h) − g ( x )    ⋅ lim g ( x) − lim f ( x) ⋅ lim lim   h→0 h h  h →0  h →0  f  ( x) = lim h→0 = h→0  g lim g ( x) ⋅ lim g ( x + h) ´ h →0 h→0 ´  f  ( x) = f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) = f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x)  g   g ( x) ⋅ g ( x ) [g ( x)]2 ´ f  f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x) Por lo tanto,   ( x) = [g ( x)]2 g Calcularemos ahora algunos ejemplos básicos de función derivada mediante el proceso de límite: a) Derivada de un polinomio: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = anxn + an–1xx–1 + . . . + a1x + a0 con n ∈ N, se verifica que su función derivada es f´(x) = n · anxn–1 + (n – 1) · an–1xx–2 + + . . . + a2x + a1. b) Derivada de una fracción algebraica: Dada la función real de variable real descrita mediante p ( x) an x n + an −1 x n −1 + . . . + a1 x + a0 f ( x) = n = qm ( x) bm x m + bm −1 x m −1 + . . . + b1 x + b0 con n, m ∈ N (si m = 0 entonces b0 ≠ 0), se verifica que la función derivada es f ( x) = p´n ( x)qm ( x) − pn ( x)q´m ( x) [qm ( x)]2 A continuación vamos a exponer un resultado fundamental para el cálculo de derivadas como es la derivación de uno de los métodos más básicos de construcción de funciones a partir de otras: la composición de funciones. Teorema de derivada de la composición o Regla de la cadena. Sean las funciones reales de variable real f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que: i) f es derivable en a ∈ I. ii) f(I) ⊆ I´. iii) g es derivable en b = f(a) ∈ I´ Entonces la función real de variable real composición h = g◦f es derivable en x = a y satisface la relación siguiente h´(a) = g´(f(a)) · f´(a). Demostración. Consideramos las funciones f: I ⊆ R → R y g: I´ ⊆ R → R tales que f es derivable en a ∈ I, f(I) ⊆ I´ y además g es derivable en b = f(a) ∈ I´ 87 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Sea la función real de variable real F: I´ ⊆ R → R definida del siguiente modo:  g ( y ) − g (b) − g´(b) si  F ( y) =  y − b  si 0 y≠b y=b Esta función satisface las siguientes propiedades. • La función F es continua en y = b. Para verlo, comprobamos que dado el valor b ∈ I´ entonces lim F ( y ) = F (b) . y →b Como g es derivable en y = b entonces:  g ( y ) − g (b)  g ( y ) − g (b) lim F ( y ) = lim  − g´(b) = lim − g´(b) = g´(b) − g´(b) = 0 = F (b) y →b y →b y −b y −b   y →b Por lo tanto, efectivamente lim F ( y ) = F (b) y la función F es continua en y = b. y →b • Si x ≠ a entonces g( f(x) – g(b) ) = [ F(f(x)) + g´(b) ] · (f(x) – b). Consideramos un valor x ∈ I tal que x ≠ a. Por la propia definición de F y como f(I) ⊆ I´, se verifica que F ( f ( x)) = g ( f ( x)) − g ( f (a )) − g´( f (a )) f ( x) − f (a) Por lo tanto, tendremos que si y ≠ b, g(f(x)) – g(f(a)) = [F(f(x)) + g´(f(a))] · (f(x) – f(a)). Esta última igualdad también es válida para x = a ya que, sustituyendo en cada miembro de la expresión por x = a, tendremos que g(f(a)) – g(f(a)) = 0 [F(f(a)) + g´(f(a))] · (f(a) – f(a)) = [F(f(a)) + g´(f(a))] · 0 = 0 Por lo tanto, obtenemos la igualdad 0 = 0 y se confirma que la expresión es válida para x = a. Teniendo en cuenta la anterior igualdad, tratamos de calcular la derivada de la función composición h = g◦f en x = a y obtener la expresión deseada. h( x) − h(a ) g ( f ( x )) − g ( f ( a )) = lim x→a x→a x−a x−a h´(a ) = lim Utilizando la igualdad antes demostrada, g(f(x)) – g(f(a)) = [F(f(x)) + g´(f(a))] · (f(x) – f(a)), 88 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. para el cálculo de h´(a), tendremos h´(a ) = lim x→a [ F ( f ( x )) + g´( f ( a ))] · ( f ( x)) − f ( a )) g ( f ( x )) − g ( f ( a )) = lim = x→a x−a x−a = lim[ F ( f ( x )) + g´( f (a ))] ⋅ x→a f ( x) − f ( a ) f ( x ) − f (a ) = [lim F ( f ( x )) + g´( f (a ))] ⋅ lim x→a x→a x−a x−a Puesto que F es continua en x = b = f(a) y su valor es F(b) = 0 y, por otra parte, f es derivable en x = a, obtenemos: h´(a ) = lim x→ a h( x ) − h( a ) = [0 + g´( f ( a ))] ⋅ f ´(a ) = g´( f ( a )) ⋅ f ´(a ) x−a Y por lo tanto, acabamos de demostrar que si f y g cumplen las concidiones del teorema, la composición h = g◦f es derivable y su función derivada viene determinada por h´(x) = g(f(x)) · f´(x). Veamos algunos ejemplos básicos de aplicación de la regla de la cadena y otros que necesitan de este resultado, a) Derivada de la función potencia de la identidad: Sea la función real de variable real f(x) = xn con n ∈ R – {0}, se verifica que la función derivada es f´(x) = n · xn–1 b) Derivada de la función radical o irracional: Dada la función real de variable real descrita mediante h(x) = n f ( x) con f(x) función real positiva f(x) ≥ 0 y n ∈ N – {0, 1}, se verifica que la función derivada es f ´(x)= f ´(x) n ⋅ n ( f ( x) ) n −1 c) Derivada de la función coseno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = cos(x) con x ∈ R, se verifica que la función derivada de f(x) es f´(x) = – senx. d) Derivada de la función tangente: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = tg(x) con x ∈ R – {(2k+1)·π/2 / k ∈ N }. Se verifica que la función derivada de la función tangente es f´(x) = [1+tg2(x)]. El siguiente teorema sirve como método para establecer unas condiciones mínimas para poder derivar la función inversa, en el dominio oportuno de existencia. Del mismo modo, aporta un método de cálculo de la función derivada de la inversa. 89 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Teorema de derivada de la función inversa en los reales. Sea una función real de variable real f: I ⊆ R → R tal que: i) f es continua en a ∈ I. ii) f es monótona estricta (creciente o decreciente). iii) f´(a) ≠ 0 Entonces existe función inversa g = f – 1 de la función f en b = f(a) y su derivada es [f −1 ] (b) ´ = g´(b) = 1 f ´(a ) Demostración. Sea un real cualquiera a ∈ R y consideramos una función f: I ⊆ R → R continua, monótona estricta tal que f´(a) ≠ 0. Por ser y = f(x) una función monótona estricta entonces es biyectiva y por lo tanto tiene inversa que llamaremos x = g(y) = f– 1(y) y que a su vez también será monótona estricta. Por otra parte, al ser f una función continua en x = a entonces la función inversa x = g(y) = f–1(y) es también continua en b = f(a). Sea J ⊆ R un entorno de b = f(a) donde la función inversa g = f – 1 es continua. Sea y ∈ J con y ≠ b entonces, al ser g y f monótona estricta, g(y) ≠ g(b) y en ese caso, g ( y ) − g (b) x−a  f ( x) − f (a)  = =  y −b f ( x) − f (a)  x−a  −1 Por ser g continua en y = b, podemos tomar límite en la igualdad anterior, haciendo tender hacia b, y tendremos que, g ( y) − g (b) x−a  f ( x) − f ( a )  = lim = lim ( f )´(b) = g´(b) = lim y →b x a x a → → y −b f ( x) − f (a ) x − a   −1 −1 f ( x) − f ( a )   = lim x →a x − a   Puesto que f´(a) ≠ 0, el valor alcanzado es real y entonces (f −1 f ( x) − f (a )   )´(b) = lim  x−a  x→a  −1 = 1 f ´(a ) Con la notación habitual para funciones y sus inversas: y = y(x), x = x(y) La fórmula operativa para derivar funciones inversas se escribe en la forma siguiente: dy 1 = dx dx / dy 90 www.magister.es −1 Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Veamos algunos ejemplos básicos de aplicación de la derivada de la función inversa y otros que necesitan de este resultado, a) Derivada de la función arco seno: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = sen(x) con x ∈ (– π/2, + π/2), se verifica que la función derivada de su inversa f-1(y) = arcsen(y) es [arcsen( y )]´= 1 1 − y2 b) Derivada de la función arco tangente: Dada la función real de variable real descrita mediante f(x) = tg(x) con x ∈ (– π/2, π/2), se verifica que la función derivada de su inversa arco tangente f-1(y) = arctg(y) es [arcstg ( y)] ´= 1 1+ y2 3. DERIVADAS SUCESIVAS. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I que admite función derivada f´(x) en los términos expuestos en la sección anterior, tendremos que bajo unas condiciones mínimas podremos volver a derivarla para hacer un estudio de su variación respecto a la variación de la variable independiente. Este procedimiento de iteración de la derivación se conoce como el procedimiento de derivadas sucesivas. Por lo tanto, bajo unas condiciones mínimas se puede definir la derivada de la función derivada y extender la aplicación cada una de las nuevas derivadas. (f´) = f´´, (f´´)´ = f´´´, ... Dando lugar a la función derivada segunda, tercera, etc. Estas derivadas reciben el nombre de derivadas sucesivas de la función f. Definición de derivada n-ésima o de orden n asociada a una función real de variable real. Dada una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I y un número natural n ∈ N, se llama derivada n-ésima o de orden n, y se denota mediante fn), a la función resultante de la derivación sucesiva de f(x) un número n de veces si es que este procedimiento puede realizarse. Del mismo modo, comúnmente se suele denotar por f´(x) a la primera derivada o derivada de orden 1 de f(x); por f´´(x) a la segunda derivada o derivada de orden 2 de f(x); y así sucesivamente. Ejemplo. Dada la función f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 1 podemos establecer sus derivadas sucesivas según: f´(x) = 3x2 – 4x + 3 f´´(x) = 6x – 4 f´´´(x) = 6 n) f (x) = 0 para n ∈ N – { 0, 1, 2, 3} 91 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 El concepto de derivabilidad se puede complementar con el concepto de continuidad de la derivada naciendo la noción de función derivable de clase n. Definición de función derivable de clase n asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase n, con n ∈ N, y se representa mediante f ∈ Cn(I), si f es continua y admite derivadas continuas hasta el orden n. En el caso n = 0, entonces f es sólo continua. Ejemplo: La función  senx  f ( x) =  x  1 x≠0 x=0 es de clase 0 ya que es continua y derivable en todos sus puntos. Sin embargo su derivada es: f ( x) = x ⋅ cos x − senx x2 que no es continua en x = 0. Del mismo modo, diremos que f es de clase infinito, f ∈ C∞(I) admite derivadas de todos los órdenes. En ese caso, no sólo son derivables sino que también continuas. Definición de función derivable de clase infinito o infinitamente derivable asociada a una función real de variable real. Una función f: I ⊆ R → R definida sobre un intervalo I se dice que es de clase infinito o infinitamente derivable, y se representa mediante f ∈ C∞ (I), si f es continua y admite derivadas continuas de cualquier orden n ∈ N o lo que es lo mismo, es de clase Cn(I) para todo n natural. Ejemplo: Cualquier polinomio P(x) es infinitamente derivable ya que si su grado fuera n ∈ N, a partir de la derivada fn+1, la función derivada es nula que es derivable cuantas veces queramos. El uso de las derivadas sucesivas es particularmente importante en la descripción del movimiento en la dinámica. Es más, el nacimiento del concepto de función derivable está íntimamente ligado con el estudio de la trayectoria de un móvil y la variación del espacio recorrido respecto al tiempo. Si la posición de un punto móvil en función del tiempo viene definida por la función real de variable real, x: I ⊆ R → R tal que x = x(t) entonces la variación en el espacio que recorre el móvil a lo largo del tiempo respecto de un valor temporal t0 ∈ I, vendrá definida por: x´(t ) = lim h →0 x(t 0 + h) − x(t 0 ) h 92 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Esta expresión coincide con la derivada de x(t) en x = t0. Este valor es lo que conocemos como la velocidad del móvil en el instante t0. Esta noción se puede extender a cada valor de tiempo t ∈ I y podemos definir la función velocidad como la derivada de la trayectoria x(t) de tal modo que, v: I ⊆ R → R es tal que v(t ) = x´(t ) = lim h →0 x (t + h ) − x (t ) h A su vez, si pretendemos medir la variación de la velocidad a lo largo del tiempo, respecto de un valor t0 ∈ I, dicha variación vendrá definida por: v(t 0 + h) − v(t 0 ) x´(t 0 + h) − x´(t 0 ) = lim h →0 h →0 h h v´(t ) = lim Esta expresión coincide con la derivada de x´(t) en x = t0. Este valor es lo que conocemos como la aceleración del móvil en el instante t0. Del mismo modo que con la velocidad, esta noción se puede extender a cada valor de tiempo t ∈ I y podemos definir la función aceleración como la derivada de la velocidad v(t) o la segunda derivada de la trayectoria del móvil de tal modo que, a: I ⊆ R → R es tal que a ( t ) = v´( t ) = x´´(t ) = lim h→0 v ( t + h ) − v (t ) h 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y REGLA DE L´HÔPITAL. Hay tres propiedades elementales de las funciones derivables que juegan un papel fundamental en el análisis diferencial, se conocen como los teoremas de Rolle, del valor medio y de L´Hôpital. Las dos primeras tienen un carácter global en cuanto a que, enuncian una propiedad de las funciones sobre un intervalo. En este sentido, se diferencian de otro tipo de propiedades como la expresada expresada por el teorema de L´Hôpital, por ejemplo, en que se enuncia un resultado sobre el comportamiento de las funciones en el entorno de un punto (propiedades locales). El teorema de Rolle, nos indica unas condiciones para asegurar que en un intervalo compacto, hay al menos un punto extremo. Teorema de Rolle. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R derivable en (a,b), continua en [a,b] y que toma el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que la derivada se anula, es decir, tal que f´(c) = 0. Demostración. Sea f: [a,b] → R una función derivable en (a,b) y f es continua en [a,b]. Supongamos que f toma el mismo valor en los extremos de [a,b], f(a) = f(b). 93 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 Al ser [a,b] cerrado y acotado y f una función continua sobre dicho intervalo, existirán dos puntos xMax, xmin ∈ [a,b] en los que f alcanza su máximo y su mínimo absolutos respectivamente. En tal caso, tenemos: • Si xMax, xmin coinciden con a y b, sucederá que para todo valor x ∈ (a,b) tendremos: f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xMax) y como f(a) = f(b) = f(xMax) =f(xmin) entonces para cualquier valor x ∈ (a,b), se verifica que f(x) = f(a) siendo f una función constante en [a,b]. En ese caso para cualquier valor c ∈ (a,b), f´(c) = 0 como pretendíamos. • Supongamos, sin perdida de generalidad, que xMax ∈ (a,b). En tal caso para todo valor x ∈ [a,b] se tiene que f(x) ≤ f(xMax) ⇔ f(x) – f(xMax) ≤ 0 Como f es derivable en (a,b), podemos calcular f´(xMax) mediante la definición de derivada en un punto, utilizando los límites laterales: o El límite lateral por la izquierda de xMax , f´(0-), será: lim − x → xMax f ( x ) − f ( x Max ) x − x Max y dicho límite será positivo o cero al ser el numerador negativo o cero mientras que el denominador es negativo. o El límite lateral por la derecha de xMax , f´(0+), será: lim+ x → xMax f ( x ) − f ( x Max ) x − x Max y dicho límite será negativo o cero al ser el numerador negativo o cero mientras que el denominador es positivo. Puesto que f es derivable en xMax, ambos límites deben coincidir y eso sólo ocurre si ambos son cero. Por tanto f´(xMax) = 0 con lo que hemos demostrado la existencia de un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que f´(c) = 0. De modo similar se probaría el caso en que sólo xmin ∈ (a,b) y de esta forma el teorema queda probado. 94 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Observaciones 1. El enunciado no supone la existencia de la derivada en los extremos a y b, por lo que en tales puntos no estará garantizada la continuidad a no ser por la hipótesis explícita de continuidad en todo I. 2. En términos geométricos el teorema afirma que en algún punto (c, f(c)) de la gráfica, con a < c < b, la tangente es horizontal. Este resultado es obvio intuitivamente en vista de las hipótesis del enunciado como se puede ver en la siguiente figura: 3. El teorema de Rolle se puede generalizar mediante la reiteración del mismo según el siguiente enunciado: Teorema de Rolle generalizado. Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], derivable hasta el orden n en el interior del intervalo y se anula en n+1 puntos del intervalo, entonces existe un punto interior cn en el que f n)(cn) = 0 Por otra parte, el teorema del valor medio expresa la existencia, en buenas condiciones de continuidad y derivabilidad para dos funciones f, g: [a,b] → R, de al menos un valor del intervalo (a,b) donde la proporción que forman sus pendientes f´(c) y g´(c) es la misma que la que forman las pendientes de las rectas que unen (a,f(a)) con (b,f(b)) y (a,g(a)) con (b,g(b) respectivamente. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para dos funciones. Sea f, g: [a,b] → R funciones definidas sobre un intervalo cerrado y acotado [a,b] que son derivables en (a,b) y continuas en [a,b]. Entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que [f(b) – f(a)] · g´(c) = [g(b) – g(a)] · f´(c) Demostración. Sean las funciones f, g: [a,b] → R continuas en su dominio y derivables en su interior. Debemos probar la existencia de un punto c ∈ (a,b) tal que [f(b) – f(a)] · g´(c) – [g(b) – g(a)] · f´(c) = 0 Basándonos en el teorema de Rolle, sea entonces la función auxiliar h: [a,b] → R definida por h(x) = [f(b) – f(a)] · g(x) – [g(b) – g(a)] · f(x) Esta función cumple las condiciones del teorema de Rolle ya que a) La función h(x) es continua en [a,b], por la propia definición de h como productos y restas de funciones continuas en dicho intervalo. 95 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 b) La función h(x) es derivable en (a,b), por la propia definición de h como productos y restas de funciones derivables en el interior de dicho intervalo. c) La función h(x) toma el mismo valor en los extremos de [a,b], es decir, h(a) = h(b). h(a) = [f(b) – f(a)]· g(a) – [g(b) – g(a)]· f(a) = f(b)·g(a) – g(b)·f(a) h(b) = [f(b) – f(a)] ·g(b) – [g(b) – g(a)]· f(b) = f(b)·g(a) – g(b)·f(a) Luego, por el teorema de Rolle, existirá al menos un valor c ∈ (a,b) verificando h´(c) = 0 y por tanto h´(c) = [f(b) – f(a)] ·g´(c) – [g(b) – g(a)]· f´(c) = 0 con lo que para este valor c tendremos que [f(b) – f(a)]· g´(c) = [g(b) – g(a)] ·f´(c) Quedando demostrado el teorema. El anterior teorema se puede concretar para el caso de una sola función. La interpretación de este teorema para una función es simple. Dada una función continua en un compacto y derivable en su interior, podemos encontrar un valor intermedio en el que la derivada sea igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos que toma la función en los extremo del intervalo. Teorema del valor medio o de los incrementos finitos para una función. Sea una función definida sobre un intervalo cerrado y acotado f : [a,b] → R que cumple las siguientes condiciones: c) f es continua en [a,b]. d) f es derivable en (a,b). entonces existe al menos un punto intermedio c ∈ (a,b) en el que f ´(c ) = f (b) − f ( a ) b−a Demostración. Tomando el teorema del valor medio, con g(x) = x y la propia función f(x) tenemos las condiciones para poder aplicar el dicho teorema y así, obtenemos que existirá al menos un valor c ∈ (a,b) verificando f ´(c) = f (b) − f ( a ) b−a 96 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. MAGISTER OPOSICIONES Observaciones 1. La interpretación geométrica del teorema del valor medio para una función es que la recta tangente a la gráfica en el punto (c, f(c)) es paralela al segmento que une los extremos de la gráfica como se puede observar en la representación siguiente: 2. El teorema del valor medio para una función se conoce como el teorema de los incrementos finitos ya que si la derivada está acotada, entonces el incremento total de la función en dicho intervalo es finito y viene acotado por la expresión: | f (b) − f ( a ) | = | f ´(c )(b − a ) |≤ K | b − a | 3. Adviértase que la identidad del teorema del valor medio es simétrica respecto de a y b, por lo que no es preciso suponer para aplicarla que a < b. 4. Una de las ventajas de esta versión es que conduce inmediatamente a la regla de L'Hopital. Otro teorema, el teorema de L´Hôpital, es un arma fundamental en el estudio local de las funciones ya que aporta información, mediante la derivada, acerca de los valores que toma una función cociente en las cercanías de una abcisa donde se produce indeterminación. Dicho teorema se debe a Johann Bernouilli al que pagó el Marques de L´Hôpital su autoría para figurar como un matemático de primer orden. Teorema de L´Hôpital. Sean las funciones f, g: [a,b] → R con A un intervalo abierto y sea a ∈ A. Si f y g cumplen las siguientes condiciones: a) En las proximidades de x = a, f y g son derivables y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. f ´( x) b) Existe lim ∈R x →a g´( x ) c) Se cumple una de las dos condiciones siguientes: • lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 • lim f ( x ) = lim g ( x ) = ±∞ x→ a x→ a x→ a x →a entonces existe lim x→a f ( x) f ´( x) f ( x) y además, lim = lim . x → a x → a g ( x) g´(x) g ( x) Demostración. Estudiamos la demostración por los casos que marca el apartado c) de las condiciones. 97 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES • Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Caso lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 . x→ a x→ a Al ser f y g derivables en las proximidades de a y y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0, podemos suponer que f y g son derivables en un entorno E*(a) y en dicho entorno y g(x) ≠ 0, g´(x) ≠ 0. En este caso, f y g son continuas en E*(a). Consideraremos que f(a) = 0 y g(a) = 0 ya que, si fueran discontinuas en x = a, esta discontinuidad sería evitable y no afectaría para nada al proceso de límite. o Condición lim x→a f ´( x) = L∈R. g´( x) Por la propia definición de límite, para todo entorno de L existirá un entorno reducido E1* (a ) del valor x = a tal que ∀x ∈ E1 (a ) ⇒ * f ´(x) ∈ E ( L) g´(x) Consideramos el entorno reducido de x = a, E*(a) donde f y g son derivables y g´(x) ≠ 0. Sea x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) con a < x. En ese caso, como f y g son derivables en la intersección de los entornos reducidos, entonces serán continuas y por lo tanto, f y g serán continuas en el intervalo cerrado [a,x] además de derivables en (a,x). Aplicando el teorema del valor medio para las dos funciones f y g en dicho intervalo [a,x], obtenemos que existirá al menos un valor c ∈ (a,x) tal que f ( x) − f (a ) f ´(c) = g ( x) − g (a ) g´(c) Puesto que hemos considerado f(a) = g(a) = 0 entonces, simplificando tendremos que: f ( x) f ´(c) = g ( x) g´(c) Como x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a), entonces c ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) y del mismo modo f ( x) f ´(c) = ∈ E ( L) g ( x) g´(c) Además, si x tiende al valor x = a entonces c debe tender igualmente al valor x = a por lo que, tomando por tanto límites, tendremos que: lim x →a f ( x) f ´( x) = lim x → a g ( x) g´(x) 98 www.magister.es Matemáticas. Tema 25 MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. o Condición lim x →a f ´(x) = +∞ (igual para − ∞ ) g´(x) Por la propia definición de límite, para todo M > 0 existirá un entorno reducido del valor x = a tal que ∀x ∈ E1 (a) ⇒ * f ´( x) >M g´( x) Consideramos el entorno reducido de x = a, E*(a) donde f y g son derivables y g´(x) ≠ 0. Sea x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a). En ese caso, como f y g son derivables en la intersección de los entornos reducidos, entonces serán continuas y por lo tanto, f y g serán continuas en el intervalo cerrado [a,x] además de derivables en (a,x). Aplicando el teorema del valor medio para las dos funciones f y g en dicho intervalo [a,x], obtenemos que existirá al menos un valor c ∈ (a,x) tal que f ( x) − f (a ) f ´(c) = g ( x) − g (a ) g´(c) Puesto que hemos considerado f(a) = g(a) = 0 entonces existirá un valor c ∈ (a,x) tal que f ( x) f ´(c) = g ( x) g´(c) Como x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a), entonces c ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) y del mismo modo f ( x) f ´(c) = >M g ( x) g´(c) Además, si x tiende al valor x = a entonces x = c debe tender igualmente al valor x = a por lo que, tomando por tanto límites, tendremos que: lim x →a f ( x) f ´( x) = lim g ( x) x→a g´(x) 99 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES • Matemáticas. Tema 25 ©MELC S.A. Caso lim f ( x ) = lim g ( x ) = ±∞ . x→ a x →a El problema ahora es que no podemos hacer que f(x) y g(x) sean continuas en x = a y no podemos aplicar el teorema del valor medio como anteriormente. Trabajaremos a la derecha de a y de igual modo se haría a la izquierda. Sea un entorno reducido por la derecha de x=a, E*(a), donde f y g son derivables y g(x) ≠ 0,g´(x) ≠ 0. Sea b un valor próximo a x = a por la derecha (a < b) incluido en el entorno E*(a) donde se da la derivabilidad de f y g a la vez que g(x) ≠ 0 y g(x) ≠ 0. Si lim f ( x ) = lim g ( x ) = ±∞ entonces para cualquier M > 0 existirá un entorno reducido x→ a x →a por la derecha de x = a, E1* (a ) donde |f(x)| > M y |g(x)| > M En concreto, podemos tomar M = g(b). Si tomamos x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) con a < x < b, tendremos que el cociente f(x)/g(x) se puede expresar del siguiente modo: g (b) 1− f ( x) f ( x) − f (b) g ( x) = ⋅ f (b) g ( x) g ( x) − g (b) 1− f ( x) donde los denominadores no se anulan ya que si b ∈ E*(a) y x ∈ E1*(a) ⊆ E*(a) ni [g(x) – g(b)], ni f(x), ni g(x) se pueden anular ya que |g(x)| > |g(b)| > 0 y |f(x)| > |g(b)| >0 Como [x, b] ⊆ E1*(a) ⊆ E*(a), donde f y g son derivables entonces f y g son continuas en [x,b] y derivables en (x, b). Aplicando el teorema del valor medio, existirá un valor c ∈ (x,b) tal que f ( x) − f (b) f ´(c) = g ( x) − g (b) g´(c) Por lo tanto, existirá c ∈ (x,b) tal que g (b) 1− f ( x) f ( x) − f (b) g ( x) f ´(c) = ⋅ = ⋅ g ( x) g ( x) − g (b) 1 − f (b) g´(c) 1 − f ( x) 1− 100 www.magister.es g (b) g ( x) f (b) f ( x) Matemáticas. Tema 25 • MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Si lim x →a f ´(x) = +∞ (igual − ∞ ), entonces al hacer tender b hacia x = a tendremos que g´(x) g(b)/g(x) y f(b)/f(x) tenderán a 0 al ser los denominadores mucho más elevados que los numeradores (recordar que x < b y lim f ( x ) = lim g ( x ) = ±∞ ). Por tanto, tendremos que x→ a x →a g (b) g ( x) lim =1 b→a f (b) 1− f ( x) 1− Y de este modo: g (b) 1− f ( x) f ´(c) f ´(c) g ( x) = lim ⋅ = lim ⋅ lim lim b→a g ( x) b → a g´(c ) f (b) b→a g´(c) b→a 1− 1− f ( x) 1− Como lim b→ a • Si lim x →a g (b) f ´(c) f ´( x) g ( x) = lim ⋅ 1 = lim = +∞ x → a g´( x ) f (b) c →a g´(c) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ´( x) = lim , entonces lim = lim x→a g ( x) x →a g´( x ) g ( x ) x →a g ( x) f ´( x) = L , por el mismo motivo que antes ocurrirá que g´( x) g (b) g ( x) lim =1 b→a f (b) 1− f ( x) 1− Y de este modo: g (b) f ´(c) f ´(c) f ´(x) f ( x) f ´(c) g ( x) = lim ⋅ = lim = lim = lim =L lim b→ a g ( x ) b → a g´(c ) f (b) b→a g´(c) c→a g´(c) x→a g´(x) 1− f ( x) 1− Como lim b→ a f ( x) f ( x) f ( x) f ´( x) = lim , entonces lim = lim x→a g ( x) x →a g´( x ) g ( x ) x →a g ( x) e x − e−x x →0 senx Solución. Este límite cumple las condiciones del Teorema de L´Hopital: Ejemplo, Calcular lim e x − e− x e x + e− x 2 = lim = =2 x →0 x →0 cos x senx 1 lim 101 www.magister.es MAGISTER OPOSICIONES ©MELC S.A. Matemáticas. Tema 25 5. CONCLUSIÓN. El estudio y análisis de la realidad de situaciones empíricas mediante la modelización y descripción funcional ha sido una constante de la matemática moderna. Se ha sabido que Arquímedes ya apuntaba los cimientos básicos del estudio de situaciones funcionales pero tenía el hándicap de no poseer un álgebra adecuado para plasmar con rigor sus ideas. La aparición del cálculo diferencial e integral por parte de Newton y Leibtniz durante el siglo XVII, fue sin duda alguna el inicio de una gran revolución científica que ha permitido el estudio de la realidad de un modo más profundo. La modelización de experimentos y situaciones científicas o aplicadas mediante funciones en una o varias variables refleja fielmente la relación que hay entre distintos valores que interaccionan entre sí. El cálculo diferencial en una o varias variables es notoriamente útil para la descripción y estudio de este tipo de fenómenos. En nuestra exposición hemos tratado de exponer y interpretar el concepto de derivada de una función real de variable real en un punto y su relación con la continuidad de la misma en dicho punto. Hemos tratado de observar geométricamente lo que significa el valor de la derivada a partir de la recta tangente a la función en tal punto. Hemos definido la función derivada y hemos expuesto las principales propiedades de las funciones derivables. Junto a estas, hemos expuesto y demostrado dos teoremas fundamentales para el cálculo diferencial como son la regla de la cadena y la derivación de la función inversa. Todo ello nos ha permitido desarrollar las fórmulas básicas de la derivación elemental. Hemos constatado diversas aplicaciones del cálculo diferencial tanto para la propia práctica científica y matemática como para ciencias aplicadas tan importantes como la economía. En definitiva, hemos podido comprobar que el cálculo diferencial en una o varias variables ha sido y sigue siendo el arma fundamental de las matemáticas y, sobre todo, del análisis funcional que es aplicado por doquier en cualquier rama pura o aplicada de la ciencia y de las ciencias sociales. 6. BIBLIOGRAFÍA. Alberto Camacho: Cálculo diferencial; Editorial : Díaz de Santos, 2008. Juan de Burgos Román, Cálculo diferencial: definiciones, teoremas y resultados; Editorial : García-Maroto, 2009. Ignacio Canals, Ernesto Javier Espinosa, Manuel Meda Vidal, Rafael Pérez Flores: Cálculo diferencial e integral I; Editorial Reverte, 2008. M. Soler Dorda: Ejercicios de cálculo diferencial e integral; Editorial Síntesis, 2000. Juan F.Navarro, Apuntes en cálculo diferencial de una variable. Universidad de Alicante. 102 www.magister.es