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• Quantum-Gym (Ejercicios a discreción) Por: WILLY INÉs PREGLIASCO SAMENGO CRISTIAN JUANA RAúL "Don'! feel bad about falsifying !he solu!ion. I falsified !he problem." INSTITUTO BALSEIRO ~ Otoño 1993 ~ DENTON GERVASONI BARRACHINA Indice 1 Interpretación de la Mecánica Cuántica 2 Matriz Densidad 3 Momento Cinético y Wigner-Eckart 4 Emisión y Absorción de Radiación Aproximación 4 8 12 17 5 Pert ur baciones 6 1 WKB 21 7 Atomos de Uno y Dos Electrones 23 8 Atomos Multielectrónicos 27 Moléculas 30 10 Colisiones 32 11 Un Baldazo de Problemas 37 12 Tablas y Machetes 51 13 Referencias 59 9 Agradecidas 1 1 Interpretación de la Mecánica Cuántica La siguiente es una encuesta realizada a los alumnos el primer día de clases. La idea es enfrentarlos directamente al problema y utilizar sus respuestas para ilustrar la clase teórica correspondiente. 2 p t!-I 02 "" '" '" "" "" '" ,- Barrera de Potencial 7t~O 7 O. Considere el experimento que se detalla en la figura. Enviamos una partícula, a t = to, contra una barrera de potencial que tiene un coeficiente de reflección R < 1. Transcurrido un lapso de tiempo, a t = tI, detectamos la partícula en uno de los dos detectores DI y D2, con probabilidades R y 1 - R respectivamente. La pantalla P es probable que no la usemos para nada. Si la partícula es detectada en DI, decimos que fue reflejada por la barrera de potencial. Si se la detecta en D2 decimos que se transmite. ¿ Cuándo se transmite o refleja la partícula? Elija una de estas opciones: (a) Qué ganas de preguntar pavadas, la partícula se refleja o se transmite al chocar con la barrera de potencial. Con DI y D2 sólo detectamos lo que sucedió realmente. (b) La pregunta no tiene sentido. Es típica de una mente enferma de mecánica clásica. La partícula no se refleja ni se transmite. (c) Se ve que nunca leyeron textos de divulgación, cualquiera sabe que la partícula no se transmite ni se refleja antes de la medición. La misma medición provoca el colapso de la función de onda. (d) Yo soy un tipo con ideas propias y ninguna de estas respuestas estereotipadas va conmIgo. Si su respuesta fue (a) Considere ahora que en lugar de DI y D2 colocamos sendos espejitos. Sobre la pantalla P la distribución de probabilidades presenta un patrón de interferencia. ;,Cómo es que se produce? Si su respuesta fue (b) ¿Por qué siempre detectamos la partícula de uno (y sólo de uno) de los dos lados? 3 Si su respuesta fue (e) Bien, hilemos más fino: ¿Qué provoca el colapso de la función de onda?: (i) La presencia de los detectores DI y D2. (ii) La interacción de la partícula con los detectores DI y D2. (iii) La toma de conciencia del resultado por parte de un observador. Si su respuesta fue (i) Considere ahora que los detectores son también sistemas cuánticos. ¿ Qué es lo que produce el colapso de los detectores? Si su respuesta fue (ii) Considere ahora la siguiente variante: retiramos el detector D2. Lanzamos la partícula en to Y luego de esperar hasta tI no detectamos nada en DI. Podemos decir entonces que la partícula fue transmitida, pero ¿qué interacción produjo el colapso? Si su respuesta fue (iii) Ya que eligió esta opción, ahí van dos preguntas: Suponga que al detector anda perfectamente, salvo porque se le rompió la aguja. ¿Se colapsa de todas formas la función de onda? Si cuando t = tI yo estaba en el baño, pero un amigo vió el comportamiento de DI y D2, ¡,Colapsa para mí la función de onda? Si su respuesta fue (d) Bueno, ya que sos tan piola, nos interesa saber qué es lo que se te ocurrió. ~ Gracias por jugar ~ 4 2 Matriz Densidad "1 realize it has no value, bu! 1s!nmgly believe in basic research." 5 1. Desarrollar en la base {I+z) , I-z)} el espinor de un electrón de proyección de espín 1/2 en una dirección arbitraria n (usar coordenadas esféricas). 2. Demostrar: (a) (A) = Tr(pA) (b) Para un sistema de espín 1/2: (i=x,y,z) (c) También para un espín 1/2: 3. Considere los siguientes estados de un haz de particulas de espín 1/2: (a) Todo el haz está en el estado I +y). (b) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado otro en I-z). /+z) y (e) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado otro en I-y). I +y) Y (d) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado otro en I+z). I +y) Y Calcule en todos los casos la matriz densidad y el vector de polarización. Discuta en qué tipo de caso se encuentra y calcule la proporción de haz que atravesaría un filtro en la dirección +y. 4. Sobre un sistema cuyo estado de mezcla está descrito por el operador densidad p, efectuamos la medición de un observable A de autoestados In) no degenerados. (a) ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de tal medición sea un dado autovalor an? (b) Si no conocemos el resultado de la medición, ¿ cómo describimos posteriormente el estado del sistema? 5. Tubo de DeBroglie (a) Confinamos unidimensionalmente una partícula en un tubo de logitud 1. La colocamos (vaya uno a saber cómo) en un autoestado I T) antisimétrico de energía ET. Colocamos una divisoria al medio del tubo y separamos las dos mitades. La función de onda queda dividida en su parte derecha Iw D) y su parte izquierda /W 1)' La probabilidad de encontrar la partícula en cada semitubo es obviamente 1/2. w 6 (b) Ahora comenzamos con los dos semitubos vacíos. Pedimos a un amigo que arroje una moneda. Si sale cara colocará una partícula en el semitubo izquierdo en el estado /lJi¡). Si sale ceca la colocará en el semitubo derecho en el estado /lJi n). Cerrará ambos semitubos y me los dejará sobre la mesa. Gracias amigo. • ¿Existe alguna diferencia entre ambas situaciones? perimentalmente? ¿Puedo diferenciadas ex- • Escriba la matriz densidad y su cuadrado para ambas situaciones. • Ahora mi amigo se lleva a la China uno de los semitubos y me deja el otro a mí (qué macana, siempre quise conocer China). Abro mi semitubo y me fijo qué hay. El estado colapsa. ¿Tiene el mismo significado el colapso en las situaciones (a) y (b)? Ayuda (usar sólo en caso de emergencia) Juntamos tema? nuevamente ambas mitades. ¿Qué sucede si medimos la energía del sis- 6. Sean {11) , /2) , oo., 1M) } una serie de vectores de norma 1, pero no necesariamente ortogonales. Muestre que la condición necesaria y suficiente para que el operador densidad: 1 M P=M L li) {i/ ;==1 represente a un estado puro es que estos M vectores sean iguales salvo una fase. 7. Demostrar que para que el operador p represente un caso puro, es necesario y suficiente que Tr (p2) = 1. 8. Demostrar que los elementos de matriz del operador densidad satisfacen la relación: pnn Ppp :::::/Pnp/2 (De este resultado cias). se deduce que si una población es O entonces J no tiene coheren- 9. La matriz densidad de un haz de partículas de espín 1/2 (en la base de estados de espín definido en la dirección z) está dada, en el instante t=O, por p++ ( p_+ (a) ¿Representa p+_) p__ = 1(3 1) 4" 1 1 un estado puro o de mezcla? Interprételo. (b) Si el sistema se encuentra en I?resencia de un campo magnético B en la dirección z, encuentre la dependencia temporal de su matriz densidad. (e) Encuentre , espm. la dependencia temporal del valor medio de la proyección x del 7 (iv) Encuentre la dependencia temporal del valor medio de la proyección z del espín. (v) ¿ Cuál es la probabilidad del espín sea ti /2? de que el resultado de la medición de la proyección z (vi) Si no conocemos el resultado mente el estado del sistema? de tal medición, ¿cómo describimos posterior- 10. Un gas de átomos es excitado al nivel n por el impacto de un haz de iones. Si una colisión con parámetro de impacto b genera un estado puro I \]i n (b)), definimos el operador densidad del gas después de la colisión (operador sección eficaz) por: Pn = J /Wn (b)) (Wn (b)/ db Utilizar las simetrías del problema para reducir el número de elementos independientes de la matriz densidad en una base Inlm) con eje de cuantización en la dirección de incidencia del haz. ¿Cuántos números reales independientes se necesitan para especificar completamente el estado de excitación del gas al nivel n = 3 ? 8 3 Momento Cinético y Wigner-Eckart r "But thís is lhe slmpllfied verslon lor the general publlc." 9 11. S = SI + S2 es el espín total de dos sistemas de espín 1/2 que no interactúan. ¿ Cuáles son los posibles au tovectores de S 2 y Sz ? Expréselos como combinación lineal de los vectores propios I mI, m2). Demuestre que éstas también son autofunciones del operador SI· S2 . Ayuda: utilizar los operadores adjuntos J+ y J_ . I 12. Muestre que para el espinor S = O se verifica: Ix) 1 del problema anterior correspondiente al espín total 13. Veta. 14. Las componentes del operador momento angular J son observables que verifican las relaciones de conmutación [Ji, Jj] = in tijk Jk . (a) Mostrar que el operador L = -in r x V' verifica la definición anterior. (b) Demuestre las siguientes reglas de conmutación: [J,J2] = O [Jz, J±J = ±n J± [J+, J_] = -n Jz (c) Si Ijm) es un autovector de j2 y Jz, mostrar que: J± IJm) = =FnV(j =Fm)(j 15. Muestre que los coeficientes de Clebsch-Gordan recurrenCla: ± m + 1)/2 Ij m ± 1) verifican la siguiente relación de v(J ± M)(J =F M + 1) Ul,j2, mI, m21J,M =F 1) = V(jl =F md(jl ± mI + 1) Ul,j2, mI ± 1, m2/J, M) + v(h =F m2)(h ± m2 + 1) Ul,j2, mI, m2 ± 11J, M) 16. Para expresar los estados de una partícula de espín 1/2 resultan útiles las siguientes relaciones: + IL -! M) + Demuéstrelas. Ayuda: Pruebe la primera de ellas por inducción a partir del caso M = L + y utilizando el operador J_. Para la segunda relación piense en la ortogonalidad y en un buen café con leche. ! 10 Hay una linda tabla de los coeficientes Clebsch-Gordan en la revista: Rev. Mod. Phys, Vol 48, No. 2, Part Il, 536 (1976) En el apéndice pusimos una copia. Reclámela a su ayudante ¡Gratis! 17. Calcule explícitamente el elemento de matriz reducida (j Resultará de ayuda la igualdad: (~ 1 ) J -m 0 (_l)j-m = Jj (j m + 1)(j + 2) 18. Los armónicos esféricos Yím son la representación 11m). IIJII j). en coordenadas de los estados J( Demuestre que las componentes Glm = 47r )/(21 + 1) y;m del denominado tensor de Racah Gl representan las componentes standard de un operador tensorial irreducible de rango l. Más precisamente debe pensarse la definición como: 19. Supongamos que un átomo de hidrógeno sufre una perturbación dada por un operador tensorial irreducible de rango 2. ¿ Cuántos elementos de matriz reducidos tendría que calcular para describir todas las transiciones posibles entre los niveles n = 5 y n = 1? 20. (a) Utilice el teorema de Wigner-Eckart para demostrar que la 'integral de Gaunt': es proporcional a (_1)m3 (h, 12, mI, m2113, -m3) porcionalidad independiente de mI, m2, Y m3· (b) Utilice el resultado anterior y la identidad: para calcular explícitamente la integral de Gaunt. siendo el coeficiente de pro- 11 (c) Paradoja de HassanI: ¿Qué es incorrecto en este razonamiento? Partimos de la siguiente relación para la adición de armónicos esféricos (ec. 106.9 del Landau de Cuántica): y podemos invertida, obteniendo: m con lo cual: J Y¡~1 (B, a Se la somete a una perturbación de la forma: (a) Calcule la modificación introducida por W( x) en los niveles de energía de la partícula, a primer orden en Wo• (b) Sin embargo, el problema con el potencial V (x) + W (x) se puede resolver exactamente. Muestre que en este caso, los posibles valores de la energía están determinados por las ecuaciones: sen o tan (Fi1-a) --- 2 (Fi1-a) 2 =0 = _ h~ maWo (c) Discuta la dependencia de los resultados obtenidos en (b) con el parámetro Wo. En particular, ¿en qué límite se obtiene el resultado de (a) ? 34. Considere una partícula P de masa JL que se mueve en el plano XOY en un círculo de radio fijo p y centro en O. y x 19 (a) Escriba el hamiltoniano de la partícula y encuentre sus autoestados. Verifique si son degenerados o no. (b) Suponga que la partícula uniforme E paralelo a x. tiene carga q e interactúa Escriba el hamiltoniano con un campo eléctrico perturbativo y calcule las modificaciones en la energía y la función de onda del estado fundamental primer y segundo orden en a E. (c) Clásicamente se define a la susceptibilidad X como el coeficiente que hace que X E = p, donde p es el dipolo eléctrico. Dé una definición equivalente en términos de la función de onda. Con ella, calcule X usando el resultado obtenido en (b). (d) Calcule la corrección a la energía del primer estado excitado a primer orden en E. 35. Efecto Zeeman Considere un atomo hidrogénico en presencia de un campo magnético externo uniforme. (a) Escriba la ecuación de Schrodinger y desprecie los términos de segundo orden en el campo. (b) Muestre que el campo magnético introduce una perturbación 1{' = /-lB de la forma: L· B f¿ (c) Calcule la corrección a la energía que introduce dicha perturbación. En estos cálculos no se considera el espín electrónico de ninguna forma. El resultado es conocido como Efecto Zeeman Normal. 36. Considere dos partículas distintas de espín W(t) = a(t) SI . S2 ! cuya interacción está dada por: con a(ltl 2: T /2) ~ O (a) Calcule exactamente el estado para t = +00 sabiendo que en t se encuentra en el estado 1+-)· Calcule P (1+-) -----+ 1-+))· = -00 el sistema (b) Calcule ahora lo mismo pero a primer orden perturbativo. Verifique la validez de la aproximación. 37. Una partícula de espín 1/2 se encuentra inicialmente en un estado de proyección de espín f¿/2 (en la dirección z) en presencia de un campo magnético externo Bz. Se varía la intensidad del campo B en función del tiempo, como se muestra en la figura. ¿Bajo qué condiciones aplicaría la aproximación súbita? ¿Y la adiabática? 20 t 38. Un electrón en un potencial armónico unidimensional es perturbado por la acción de un campo eléctrico cuya dependencia temporal es: (a) Si a t = - 00 el electrón está en el estado fundamental, ¿Qué estados pueden ser ocupados a primer orden perturbativo? (b) ¿Cuál es la probabilidad de excitación para t = +00 a primer orden? (c) ¿Qué condición debe cumplir A para que la aproximación sea válida? (d) ¿En qué condiciones es válida la aproximación adiabática? (e) Si en t = -00 el electrón se encuentra en el estado fundamental, calcule la probabilidad de encontrado en un estado excitado en t = +00 suponiendo adiabaticidad. 39. Calcule la probabilidad de excitación al nivel 28 de un átomo tipo hidrogenoide si se produce un cambio repentino de su carga nuclear Z -+ Z + 1 (decaimiento (3 ). 40. La figura muestra las líneas de emisión Balmer medidas como función del campo eléctrico aplicado a un sistema atómico. Explique los resultados observados . , . .! ----- r-- I Fig.26. STARK efíect on some of th(' BAUIER li!les (expcrimcnts by RAuseH v. TRAUBENBERG). The eleetric ficld str('ngth inerrases from the bottom of the picture upwards, the maximum value (a little bp)ow the top of the picture) is 1.14 million VoItjcm, the horizontal white linps are linps of constant firld strpngth. 21 6 "I'm afraid that's Aproximación WKB not the way to bridge the communications scientists and non-scientists." gap between 22 41. Utilice el método WKB para encontrar los niveles de energía de un oscilador armónico. Compare con el resultado exacto. ¿Sería tan amable de dibujar las funciones de onda con una computadora? 42. Considere una partícula en un campo gravitatorio un piso horizontal perfectamente reflejante. (i) ¿ Cómo se modifica la regla de cuantización (ii) Calcule el espectro de energías. (iii) Dibuje algunas funciones de onda WKB. uniforme limitado por debajo por de WKB? 23 7 Átomos de U no y Dos Electrones "I'm on the verge of a major breakthrough, bul I'm also al lhat poinl where chemistry leaves off and pllysics begins, so 1'11have lo drop the whole lhing." l' 24 43. Modelo de Bohr En 1913 Niels Bohr desarrolló el primer modelo atómico capaz de explicar los espectros de emisión de átomos hidrogenoides. Consideró órbitas circulares clásicas del electrón alrededor del núcleo y postuló que el impulso angular estaba cuantizado en múltiplos enteros de ñ. (a) Obtenga las predicciones en dicho modelo para la velocidad del electrón, el radio de su órbita, el período orbital y las energías cinética, potencial y total de los estados. Observe con atención la dependencia en n y Z. (b) ¿ Cuándo es importante un tratamiento relativista? Observaciones • En trabajos posteriores, A.Sommerfeld generalizó el modelo para órbitas no circulares y calculó las correcciones relativistas. A este desarrollo se lo denomina la vieja mecánica cuántica y fue superado por los trabajos de E. Schrodinger, W. Heisenberg y otros, siguiendo las ideas de 1. de Broglie. • Unidades Atómicas En física atómica se suelen usar las llamadas unidades en tomar el sistema gaussiano para electromagnetismo El radio de Bohr Impulso Angular Carga del Electrón Masa del Electrón atómicas que consiste y como unidades: ao = 5.2917710-11 m f¿ = 1.0545910-34 J s e = 1.6021910-19 me 9.1095310-31 kg e En este sistema: ao = 1 'U.a. 1i = 1 'U.a. e = 1 'U.a. me = 1 'U.a. e = 137 'U.a. Trabajar en unidades atómicas ayuda a simplificar las expresiones pero se pierde la posibilidad de verificar la dimensionalidad de un resultado. 44. (a) Calcule (,), (,2) Y (1/,) para el estado fundamental de un átomo hidrogenoide. (b) Demuestre que: cPnlm(P) = Fn1(p) lím(f» Ayuda: Usar el desarrollo 00 eik-r = 47r m=l LL i1 jl(k,) lí:n(l~) lím(r) 1=0 m=-l (c) Calcule explicitamente noide. Ayuda 1: cP(p) para el estado fundamental de un átomo hidroge- ¡OO e- ax jl(bx) xl+1 dx (2b)ll! (a 2 Si esta ayuda no lo ayuda Ayuda 11: V -e va -ax -xe -ax + b2)1+1 25 (d) También para el estado fundamental calcule (p) y (p2). Ayuda: ('Xi lo xJ.L-l d (p+qxv)n+l = _1_ x (r) vpn+l i!. v q r(/1/I/) f(l + n f(l+n) - /1/1/) O<~ > TI t:O t: T, Xl Xl 79. Este problema se compone de sugerencias para analizar. No se pretenden demostraciones, sino discutir un poco los casos que se presentan. Puede ser que algunos no sean del todo necesarios para la vida diaria. (a) Operadores isométricos y operadores unitarios: He aquí varias definiciones equivalentes de operadores isométricos y unitarios: -+ A es isométrico si: 1. 11. 111. -+ 1. 11. Es lineal y tal que /wl = IAwl, \fW. Es lineal y tal que (lw) = (AIAW), \fw, \f. Es lineal y tal que AtA = l. A es unitario si: Es isométrico y biyectivo. Es isométrico y tal que A A t = l. En espacios de dimensión finita basta que un operador sea inyectivo y lineal para que sea biyectivo. (Es necesario que los operadores que preservan la norma sean inyectivos). Esto no ocurre en dimensión infinita. Piense algún ejemplo. Verifique que los operadores de evolución son unitarios y los de Moller isométricos, ya sea a partir de consideraciones físicas como matemáticas. (b) Dada la definición de IW)in y /w)out como asÍntotas del estado actual a tiempo cero, y la de los operadores de Moller como límite de un producto de operadores de evolución, verifique que las igualdades Iw) = D+lw)in IW) = son razonables. D-Iw)out 35 (c) Escriba el operador de Green en la base de los autoestados total, o equivalentemente, en su descomposición espectral. del hamiltoniano (d) Proyecte la ecuación (zI - H)G(z) en la base de las coordenadas. =1 Advierta que el operador de Green escrito en esta base da la función de green asociada a la ecuación de Schrodinger. (e) Del resultado de los dos puntos anteriores, fíjese que escribir explícitamente el operador de Green es equivalente a resolver el problema de autovalores del hamiltoniano total. 80. Calcule la sección eficaz diferencial para un potencial de la forma l/rn con la primera aproximación de Born. Analice el resultado. 81. La primera aproximación de Born para el potencial coulombiano da la sección eficaz exacta. Sin embargo, el potencial coulombiano no verifica la condición asintótica, que es necesaria para la validez de esta teoría. Como chequeo, calcule la sección eficaz dada por la primera aproximación de Born para los potenciales: (a) V(r) = ze~ar (b) V(r)=ra~l (c) V (,) = ~ ' si , < ~ V (,) = O , si , < ~ Luego haga tender o: a cero, tratando de re-obtener el potencial coulombiano. 82. Supongamos el caso de un potencial de corto alcance (nulo a partir de , = a). Se puede demostrar que en la parte exterior la función de onda radial se puede escribir en forma general: R¡ (,) = A¡[cos8¡.j¡ (k.r) - sin8¡.7]¡ (k.,)] Usando la continuidad de R¡(r) dd;r) expresar los desfasajes en función de logarítmica de la función de onda interior en r = a) (si lo necesita ver el apéndice de funciones de Bessel) ,¡ (derivada nota Suponga que 1 es dato: si se le diera una forma explícita al potencial, calcular la función de onda interior y su derivada logarítmica. se podría 83. Calcular los desfasajes para el scattering contra una esfera perfectamente rígida. Obtener la sección eficaz diferencial y total en el límite de energías muy bajas. Comparar con el cálculo clásico. Calcular la corrección que agrega la onda l = 1 a la sección eficaz total cuando k.a = Demostrar que la sección eficaz total en el límite de altas energías tiende a dos veces el valor clásico. Porqué cree que en este límite no se obtiene el resultado clásico? !. 36 84. Suponer un pozo esférico de potencial como indica la figura: V( r) o - Vo '------- a r ...• Comprobar que si k.a < < 1 se obtiene para los primeros dos desfasajes: tan 80 rv tan ( V1 - ,ok.a2 1 +,oa --- (k.a)3 1 -'l.a rv -- --- 3 2 + 'l.a Observar que si ,/ es tal que los denominadores sean muy pequeños, la onda 1 se dice en resonancia con el potencial y domina el scattering. 37 11 Un Baldazo de Problemas Examen Final de Cuántica II (1993). 38 1. Sobre un sistema cuyo estado de mezcla está descrito por el operador densidad p, efectuamos la medición de un observable A de autoestados In) no degenerados. ¿ Cuál es la probabilidad Pn de que el resultado de tal medición sea un dado autovalor ano? (a) (nlpln) (b) (nIApln) (c) tr(Apln)(nJ) (d) tr(Ap) (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta 2. Si en el ejemplo anterior no conocemos el resultado de la medición, ¿cómo describimos posteriormente al sistema? (a) Usamos la función de onda l\]i) = ¿n anln) (b) Usamos el mismo operador densidad que teníamos antes de la medición. (c) Usamos la función de onda ¡\]i) = ¿n In) (nlpln). (d) Definimos un nuevo operador densidad p = ¿n In) tr(pln)(nl) (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 3. El hecho de que un estado sea puro o de mezcla: (a) Depende de la ortogonalidad (b) Depende de la completitud de los estados de la base. de la base. (c) Depende de que la base sea de autoestados del hamiltoniano. (d) No depende de la base de representación. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. (ni. 39 4. Un átomo de hidrógeno descrito por los números cuánticos n, 1,m, ms sufre una perturbación dada por un operador tensorial irreducible de rango 3. ¿Cuántos elementos de matriz tiene que calcular para describir todas las transiciones posibles entre los niveles n = 6 Y n = 2 ? (a) 2 (b) 4 (c) 5 (d) 8 (e) 9 5. Considere la matriz de polarización para un haz de luz en la base de estados de helicidad definida, dada por: (a) Puesto que tr(p) = 1, representa un estado puro. (b) Representa un estado de mezcla formado por dos haces polarizados linealmente de intensidades 1/2. (c) Representa un estado de mezcla formado por dos haces polarizados circularmente de intensidades 1/2. (d) Representa un estado de mezcla formado por un haz con polarización circular y otro con polarización lineal, ambos de intensidad 1/2. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 6. La aproximación dipolar eléctrica para la emisión o absorción de luz por un átomo es válida cuando (a) el campo de radiación es poco intenso. (b) la longitud de onda de la radiación es mucho menor que las dimensiones del átomo. (c) la frecuencia de la radiación es mucho menor que la diferencia de energía entre los estados inicial y final. (d) la frecuencia de la radiación es muy grande comparada con la frecuencia característica del movimiento electrónico en el átomo. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 40 7. La polarización de la radiación emitida para una transición con 6m = 1 depende de: (a) La frecuencia de la radiación. (b) Nada. (e) El momento angular 1 de los niveles transicionantes. (d) La dirección de observación. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 8. Se tiene un átomo de dos niveles, inicialmente en su estado fundamental. Se lo ilumina con radiación con la frecuencia correspondiente a la diferencia de energías de sus niveles. La probabilidad de encontrar al átomo en su estado excitado: (a) A tiempos grandes alcanza un valor estacionario igual a 1/2. (b) A tiempos grandes tiende asintóticamente a cero. (c) A tiempos grandes crece indefinidamente. (d) Oscila en el tiempo. (e) Depende de la diferencia de fase entre la función de onda y el campo de radiación. 9. Decir lo que no es correcto de las siguientes afirmaciones: (a) El ancho de línea natural atómico pueden decaer. se debe a que los autoestados del hamiltoniano (b) El ancho debido a colisiones aumenta al aumentar la presión del gas. (c) El ensanchamiento por efecto Doppler toma una forma gaussiana debido a la distribución de velocidades del gas. (d) En condiciones normales de presión y temperatura, domina sobre el ancho natural. (e) El ancho de línea natural es directamente estados intervinientes. el ancho por colisiones proporcional a la vida media de los 41 10. Suponga que por algún mecanismo la carga nuclear de un átomo hidrogenoide varía en forma continua de Z = 1 a Z = 2 en un tiempo T = 10-18 seg. ¿Utilizaría la aproximación súbita para estudiar las correspondientes transiciones entre estados discretos? . (a) Siempre, independientemente (b) de la transición ni ---t n f que se quiera estudiar. Sólo la utilizaría para transición ni ---t nf entre estados excitados. (c) Sólo la utilizaría para transición ni ---t n f con ni (d) Nunca, cualquiera sea la transición ni ---t i- 1. n f que se quiera estudiar. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 11. Se tiene un hamiltoniano dependiente del tiempo de la forma H(r, p, t) = a(t)Ho(r, p) donde da/dt i- O sólo para Itl < T. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (a) La aproximación adiabática será una buena descripción sólo si a(t) varía en forma suficientemente lenta. (b) La aproximación súbita será una buena descripción sólo si a( t) varía en forma suficientemente lenta. (c) La aproximación adiabática siempre dará el resultado exacto. (d) La aproximación súbita siempre dará el resultado exacto. (e) La aproximación súbita será necesariamente mala. 12. Las correcciones de estructura fina en el átomo de hidrógeno (corrección relativista de la energía cinética, interacción espín - órbita y término de Darwin) (a) mantienen la degeneración en f y m¿. (b) mantienen la degeneración en f y mj. (c) mantienen la degeneración en j y m j. (d) mantienen la degeneración en mj, pero no en (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. e o j. 42 13. Los niveles de energía del átomo de He dependen del valor del espín total. es la principal causa de esta dependencia? ¿ Cuál (a) La interacción espín-órbita. (b) La interacción espín-espín. (c) La interacción espín-núcleo. (d) La interacción puerco-espín. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 14. El modelo de Thomas-Fermi para un átomo multielectrónico descripción neutro no da una buena (a) de la energía de ionización. (b) del radio del átomo. (c) de la distribución de carga. (d) de las tres cantidades anteriores. (e) de las dos primeras cantidades. 15. El modelo de Thomas-Fermi: (a) Obtiene una función de onda \]! (rl ,...,rn) que se parece a la exacta para Z :::::10. (b) Puede describir la densidad a grandes distancias. (c) Funciona mejor para los estados excitados que para el fundamental. (d) Supone que la energía de Fermi es mucho menor que la de ionización. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta .. 16. La aproximación que hace la teoría de Hartree-Fock es: (a) Despreciar la repulsión inter-electrónica. (b) Despreciar el intercambio. (c) Proponer orbitales electrónicos de tipo hidrogenoide. (d) Proponer un único determinante de Slater. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 43 17. Los términos espectrales equivalentes son (a) 45, 2p Y 25+1 L correspondientes a una configuración p3 de electrones 2D. (b) 45, 2p Y ID. (c) 4S,3PylD. (d) IS,3py1D. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 18. Los términos espectrales 28+1 L correspondientes electrones p no equivalentes son a una configuración formada por 2 (a) 4S, 2p y 2D. (b) 4S,2Py1D. (c) 4S,3py1D. (d) IS,3py1D. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 19. La primera regla de Hund señala cuál es el estado fundamental entre: (a) Distintos términos espectrales debido a la repulsión inter-electrónica. (b) Distintas configuraciones. (c) Distintos orbitales electrónicos debido al acoplamiento espín-órbita. (d) Distintos orbitales electrónicos de forma que el de mínima energía tenga la función de onda lo más antisimétrica posible. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 20. ¿ Cuáles de los términos espectrales [J{ r] 4d8 5s es el fundamental? (a) 4G. (b) 4F. (c) 4D. (d) 3F. (e) lG. 28+1 L de la configuración del Rhodio: 44 21. ¿En un átomo de He puede haber transiciones dipolares entre términos espectrales de una misma configuración electrónica? (a) Siempre. (b) A veces, si en la configuración electrónica no son todos estados s. (c) A veces, pero si además de la condición anterior puede haber estados triplete. (d) A veces, cuando la nieve cae sobre los techos de mi ciudad. (e) Nunca. 22. ¿Cuántas líneas de emisión de tipo dipolar eléctrica se observarán como producto del decaimiento directo desde estados excitados de configuración (1821) al fundamental, en un átomo de He ? (a) O. (b) 1. (c) 2. (d) 3. (e) 4. 23. ¿Por qué los elementos de transición tienen propiedades químicas similares? (a) Porque todos ellos están completando la misma capa. (b) Porque los orbitales d son muy direccionales, entonces el número de electrones d que tenga no influye para formar un enlace químico. (c) Porque el orbital que se llena no es el más externo. (d) No es cierto que tengan propiedades similares. (e) Ninguna de las opciones anteriores es la correcta. 24. Los átomos alcalinos poseen, en su estado fundamental: (a) La misma configuración. (b) El mismo término espectral. (c) La misma energía de ionización. (d) El mismo radio. (e) Ninguna de las opciones anteriores es la correcta. 45 25. ¡W) es una función de onda de un átomo multielectrónico minante de Slater de orbitales hidrogenoides construída con un deter- In 1 m ms). (a) Necesariamente 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, y dados los orbitales In 1 m ms) el autovalor está determinado. (b) Necesariamente 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, pero el autovalor no está unÍvocamente determinado por los orbitales In 1 m ms). (c) N O necesariamente I \lJ) es (d) Nunca (e) /'l1) es autoestado autoestado del operador momento angular total. del operador momento angular total. 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, y sus autovalores están dados por todos los posibles términos espectrales que se pueden construir con los orbitales In l m ms). 26. El único orbital molecular incompleto de la molécula de B2 es el electrones. ¿Cuáles son sus posibles términos espectrales? 7ru2p, con dos (a) lÓ, 3Ó, lIT, 3IT, 32:;Y 12:;. (b) lÓ,3~yl~. (c) lÓ, lIT, 12:;Y 32:;. (d) 32:;. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 27. Considere la molécula de Etileno: H2C2H2 ¿Qué tipo de hibridizacÍón tiene el Carbono y cuántos electrones participan de la ligadura C - -C? (a) Hibridización sp. Participan 2 electrones. (b) Hibridización sp. Participan 4 electrones. (c) Hibridización Sp2. Participan 2 electrones. (d) Hibridización Sp2. Participan 4 electrones. (e) Hibridización Sp3. Participan 2 electrones. 46 J(I() .-----" "O ,, 'o ";r. Barna l' \ I , 2;[)1) 2"(10 0: lllll ef O de onda, ("\ll-I Figura 1: Problema 29. Espectro de absorción roto-vibracional de la molécula de GlH. 28. Tenemos una molécula diatómica descrita por una función de onda de la forma W(Rcm, R, rl, ... , rn) = Wl(Rcm)W2(R)W3(rl, ..., rn), donde Rcm es la coordenada del centro de masa, R es la coordenada internuclear y rl, ... ,rn son las coordenadas electrónicas medidas desde el centro de masa. (a) El número cuántico l que caracteriza simetría de la función W l. la rotación molecular se refiere a la (b) El número cuántico l que caracteriza simetría de la función W 2. la rotación molecular se refiere a la (c) El número cuántico l que caracteriza simetría de las funciones W 1 y W 2. la rotación molecular se refiere a la (d) Fijada la función W3 ya está determinado l, independientemente de Wl y W2. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 29. En la figura 1 se muestra un espectro de absorción de radiación por transiciones roto-vibracionales. Todos los mínimos corresponden a: (a) Distintas trónica. transiciones vibracionales dentro de una misma configuración elec- (b) Distintas transiciones ración electrónica. vibracionales para una dada transición en la configu- (c) Distintas transiciones electrónicas dentro de un dado estado roto- vibracional. (d) Transiciones entre distintos niveles rotacionales para una dada transición vibracional. 47 . G>--0---0 W ex I (3 (a) Figura 2: Problema 30. Modos normales de la molécula de CO2• (e) Transiciones entre distintos niveles vibracionales para una dada transición rotacional. 30. En la figura 2 se muestran los modos normales de la molécula de CO2: (a) Sólo I es ópticamente activo. (b) Sólo a y f3 son ópticamente activos. (c) Sólo I y f3 son ópticamente activos. (d) Sólo a y I son ópticamente activos. (e) Ningún modo es ópticamente dipolar permanente. activo, ya que la molécula no tiene momento 31. El principio de Frank-Condon (a) Selecciona cuáles son las transiciones ocurrir en una molécula. entre niveles electrónicos que pueden (b) Selecciona entre qué niveles rotacionales electrónica. puede ocurrir una dada transición (c) Selecciona entre qué niveles rotacionales vibracional. puede ocurnr (d) Selecciona entre qué niveles vibracionales electrónica. puede ocurrir una dada transición (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. una dada transición 48 32. Para que valga la primera aproximación de Born en un potencial de corto alcance: (a) La función de onda libre debe ser una buena descripción del estado estacionario de dispersión. (b) La función de onda libre debe ser una buena descripción del estado estacionario de dispersión a distancias grandes del centro dispersor. (c) La velocidad del proyectil debe ser mucho menor que c. (d) Sólo deben dar contribuciones importantes a la sección eficaz los momentos angulares pequeños. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 33. Decir lo que no es correcto sobre el desarrollo de la amplitud polinomios de Legendre: de dispersión en (a) Sólo vale para energías bajas. (b) Permite caracterizar fasajes. completamente a la sección eficaz a través de los des- (c) El desfasaje para un dado 1 y un dado k es la diferencia de fase entre la función de onda asintótica solución del potencial efectivo con el 1 y k dados respecto de la correspondiente función de onda asintótica en ausencia de potencial. (d) Los desfasajes D¡ a energía cero dependen del número de estados ligados del momento angular 1 que tiene el potencial. (e) El efecto Ramsauer Townsend ocurre cuando el desfasaje de 1 = O cruza 1r a energías bajas. 34. Indique cuál de las siguientes propiedades de una resonancia no es necesariamente cierta: (a) La función de Jost F¡ se anula cerca del eje real. (b) La sección eficaz diferencial presenta un máximo. (c) Uno de los desfasajes D¡ se incrementa en 1r en forma brusca, si 1 =1- O. (d) El comportamiento (e) La resonancia ligados. del desfasaje es diferente si 1 = O de si 1 =1- o. a energía cero no distingue entre estados virtuales y estados 49 35. Experimentalmente se observa que la sección eficaz diferencial en el sistema centro de masa para una dada colisión elástica entre dos partículas puede parametrizarse de la forma: d(J dO = A + B cos B + e cos2 B ¿Qué podría decir de los coeficientes A, B Y idénticas? . e si la colisión es entre partículas (a) El coeficiente A es nulo. (b) El coeficiente B es nulo. (c) El coeficiente e es nulo. (d) Los coeficiente B y e son nulos. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 36. El problema fundamental con la ecuación de Klein-Gordon es: (a) No es una ecuación covariante. (b) No tiende a la ecuación de Schrodinger a bajas velocidades. (c) Sus soluciones no verifican el principio de superposición. (d) Las densidades pueden ser negativas. (e) No se puede escribir la ecuación de continuidad. 37. Para una partícula que se mueve a velocidades relativistas: (a) El operador momento angular L es una constante de movimiento. (b) El operador de espín S es una constante de movimiento. (c) El operador L tencial. (d) El operador L centrales. + S es una + S es una constante de movimiento, sólo en ausencia de po- constante de movimiento en presencia de potenciales (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 50 38. Un electrón libre tiene proyección de espín definido 1/2 en la dirección z en el sistema de referencia propio, y se mueve con velocidad v en una dirección no necesariamente paralela a z. (a) Ambas componentes fuertes de proyección de espín 1/2 y -1/2 en la dirección z en el sistema propio son no nulas. (b) Ambas componentes débiles son no nulas independientemente de la dirección de movimiento. (c) Para alguna dirección de movimiento ambas componentes débiles son nulas. (d) No existe ninguna dirección de movimiento para la cual ambas componentes débiles se anulan simultáneamente. (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 39. La ausencia de un electrón libre de energía E negativa, impulso p y helicidad puede interpretar como un positrón de (a) Energía -E, impulso -p y helicidad -(J. (b) Energía -E, impulso -p y helicidad (J. (c) Energía -E, impulso p y helicidad -(J. (d) Energía -E, impulso p y helicidad (J. eJ se (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 40. Un electrón de masa m incide con energía E sobre un escalón de potencial de altura Va. La onda transmitida es oscilatoria sólo cuando: (a) Va ~ + mc2 (c) E > ~ + mc2 Ó E < ~ - mc2 (d) E > ~ ó E < ~ - 2mc2 (e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 51 12 Tablas y Machetes TIA W MP.~ilio &Po •• _ •••••••• _~ _ lt1 TiA VA \aA \lilA WI &0/" J!jj ~~ CALCIO TIB 52 ClEBSCH-GORDAN Note: A ,rls COEFFICIENTS, to be understood over every J o Y 1" 3 {;- e08 J 8,T Y 11 = - SPHERICAl coefficient; e.g., HARMONICS, AND for -8/15 read -";8/15, FUNCTIONS d Notatian: rn J O M M lllZ . 8 iq, sIn e J 5/ Z 3/2 -I/Z -1;' Z 5;' Z 31 , 1 - J/Z - 3/2 1/ S 5/ Z 4/5 l/S -4/5 - 5/ 2 Z -2 1) /2 -1 _1/ 1 -2 - 1/ ¿ 2 O 2 -1 I -1 -2 1 1 O 1/2 1/3 O O 2/3 O -1/3 -1 111/6 -1/2 1/1 2 -1 IJ -1 1/ l -1 01/2 1 -1 ¡ 1/" (J 1j ~~-;;;~lT;J~--:j-M)- -3 -1/ I 1 -1 -1 J - j 1 - = (-1) J drn" _ nl - 1 rn -tr)' (~ ) dj ¡n' -In, -nl 3 12 5/2 3/2 +V2 +3/2 16/35 13/2 -1/2 + 1/2 + 1/2 - 1/2 ¡ 1, 2 f ¡1 3 2 O 12 12 -1 3/14 1/2 2/7 4,/7 1: 1-1 () -j/7 l/? 7/ I , 2 -1 1 O O I ¡ ~/2 uj,/¿,1/Z ':V2 d~/2._1/2 ,0 = ----y- 'o,;: - .J] - 1 2 1 ¡cosO ,O sin! -j-cosA A "-"'\,/3 -Z-cnsZ dI, 2,2 2 d¿,j 3/2 '1/2 6/35 2/5 5/14 O 18/35 -3/35 -1/5 4135 -21/,'0 2/5 -1/2 1/2 3/2 1 11 2 11 1;'14 3; 1O 3/7 li5 -1/,", 3/7 -1;5 -1/14 3/7 ~i'7 1/14 -3/10 11 O 1 -2 2 j 1 1+ dl•1·-2-- 11 13/2 -1/2 11/2 -1/2 -1/2 -+ 1/2 1/20 9/20 00/3527/,0 2/5 1<10 18/35 3/15 -1/5 -1/5 1(./35 -5/14 llF¡ -(l35 O 3(10 2/5 -2; 5 O -3/2 2/li 1 O .2/5 -1/10 7/7 1/'4 -2/7 1/14 2/7 2/5 -1/10 _ O 1/10 -2/5 A ~ inO d ~.IJ 1/4 9/20 1;4 1/4 - 1/20 - 1/4 9/20 -1/4 1/20 -1/4 -2 110 COA O O -1 -1 O ..1 2 1 - 3/2 •.3/2 2/5 -3/10 1/5 7;'2 S/2 -1'10 -1/2 -1/2 -1/2 -1;2 0-1/2 1 1>2 -2 3/2. 1/5 -3/10 3/10 -1/5 ! 1/5 1/2 3/10 3/5 O -2/5 1/5 -1;2 3;10 1/2 '1/2 11 -3/2 3 11 '2 -2 ---z- 5/2 11/2 1/35 12/35 2 -3/?- 4 12 4 11 1 I-J ~/5 1/2 11/2 1tcos8, t.1 2 '2 1/2 1/2 1/2 -1/2 3/2 d 3/2.3/2 ?'(jzil"'¿"'IIJIJIJ - dJ nl, 1/2 -1/2 i -1;2 1/2 -1/20 9/20 1;'4 -1/4 3 -1 2 - t 1/5 1/2 Table 2.1 The first few spherical Y/m(e, 100 100 E (;2 10'1 D _10-3 o :> la' 10 í 10 ~ •. E e •.o O« •. >: 2' •. e 10-' L > - 106 ~ •. •• c '" ;§~ J: JO" ,; mm L u "o :t'z :> ."e cm CI > t 3: ';¡; •• C •. 1: :> o 3: "" W ~'" 1: o: ..• D > ..: Vl c. :n LL. J.4. Charts 01 units o[ energy. t!l/ergy leve/s, wavelengthJ, WQve numbt'rs, frequenci~# Fig. and parame/ers proporlional fa energ)' I ;; 29 ~190 025 500 22 . 180 500 Ne 21 20 160 19 He Is2p ~5C 600 150 17 140 130 l~; -14 F Il 110 :~r 11 90 H 80Lyman 70 50 5 30 3 -20 Ho ~= NaO 2 1 "9 1300 o 10 n Ha: 6000 •.,.: > ~ e " w "E' D_ ~ E e u oi NO ¡; 100 "ª ~ el " 30 4 15 1 50 CH· Hi- Cl¡ 05 2 50 6 O, ~ ~ ~ ~ e g ~ .~g.~ 5} g 2 ~ o~ ~. ~ Vl ~ ~ ~.~ e Q.I U') w.~ o ~ E -1 ~. ~ ~ " Q.I ~ ~ ¡¡ ~ ~ : 12 ••• ~ '-E ~ 1.4. comillued •. E e:g ~ u O\Du el: S? ~----~------En~rgies---------------_ Fig. .1,0 ~ gE·;~ ••••• W 52 6 5 o ; ~ ~ lO > '=> 30 3 10 ~ >. v 3 -~ -'< 15 3 n ~.~ 5O 2 -10 ~ H- ~11I 20 12 e¡ C. r¡R'~ U 1 3 ~~ 100 F ¡.'.v -G 150 Li Na_ ·01 _K u -RhI .~ .;; 15 200 ~ 10000 -3,0000 NI Be B ~ 20 250 NO Hg -5 3000 GlaS5 -4 000 CQ 1 , 2500 ~O 4 05 2 e ;; LiF 1 600 /'" Ouartzí 2000 7 6 5 8r 1 500 60 ~5Il~!E9 _. -f- 150 Xe " 8 ~O 25 300 -Cl 1000 jJ H 9 n J~¡O H 100 200 2~ -Ar 800 Lyman 10 ~OO 110 13 12 6 3 18 16 ;:so 35 170 E E 1O 2 1 0·5 58 Table 7.3 The periodietableof the elements Noble Pcriod lA .-- IlA IlIB IVB VB VIB VIlB VIIIB VIIIB lB IlB I1IA 5 6 7 VIlA gases 1 2 He 1 I 4.003 5 6 7 8 9 10 Li Be B C N O F Ne 6.939 9.012 10.811 12.011 14.007 15.999 18.998 20.183 11 4 12 13 14 15 16 17 18 Na Mg Al Si P S CI Ar lllrXJ 26.981 280&6 30.'J74 32064 35.4\3 3~.948 l·) .1Il 19 20 4 VIA H 3 3 VA - 1.008 2 IV A 22 21 K Ca Se Ti 39.101 40.08 37 38 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 14.938 55847 '8933 ~8 i I 63.54 65 37 69.72 72.59 74.922 78.96 79.909 83.80 44.956 479() 50942 51.996 41 39 40 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 Rb Sr Y Zr Nb Mo Te Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 85.47 87.62 88.9()5 9122 (99) 101.07 102.91 106.4 107.87 11240 114.82 118.69 121.75 127.60 126.9() 131.30 55 56 57t 72 92.906 95.94 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 Cs Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg TI Pb Bi Po At Rn 132.91 137.34 138.91 186.2 19()1 1922 19509 196.97 200.59 204.37 107.19 208.98 (210) (210) (222) 87 88 89+ 104 105 71 178.49 180.95 183.85 \ Fr Ra Ae (2231 (li6) mi) t Lanthanides t Aetinidcs 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu 140.12 140.91 144.24 f14S¡ 15035 151.96 ISi.1S 158,<;2 162.50 IM.9] 16726 16H9] 173.04 174.97 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 232.(4 \2311 23803 ')37) )42, '243; .247) ,249) ílSI) (254) (253) (256) (lB; 1257) 59 13 Referencias Agradecidas ~- - "There's lhe slrong force, the weak force, gravlty, electromagnetism, Ihen lhere's thal cerlain somelhing I feel when I see you." ano 60 De la misma forma en que el arte no representa solo una vivencia personal sino que refleja todo un ambiente cultural, estos problemas no son fruto exclusivo de nuestra inspiración. Así corno Van Gogh deambulaba por Arlés registrando sus praderas y sus soles, nosotros paseamos por las páginas de ciertos 'clásicos' de donde tornamos ideas impune y desprejuiciadamente. Afortunadamente aún conservamos ambas orejas. Nuestra principal referencia es el hermoso libro de B.H. Bransden y C.J. Joachain Physics of Atoms and Molecules (Longman, New York 1983), que nos gustó tanto que tornamos de allí muchas de las tablas y figuras. También consultamos el libro de problemas de A. Galindo y P. Pascual Mecánica Cuántica (Eudema Universidad, Madrid 1989) que nos alegró con su acento español. Otros libros de problemas que habitan en el Hades de los clásicos son el de F. Constantinescu y E. Magyari PT'oblems in Quantum Mechanics (Pergamon Press, New York 1971) Y el libro de S. Flügge Practical Quantum Mechanics (Springer- Verlag, New York 1974). Los chistes fueron involuntariamente cedidos por S. Harris (tomados del CUT'T'ent Contents) y la fabulosa tabla periódica de la página 51 por Rafael García Molina (Universidad de Murcia, España). Nos sentimos agradecidos hacia aquellos que nos precedieron en el dictado de la materia 'Cuántica II' y nos dejaron allanado parte del trabajo; Vienen a nuestra memoria los nombres de P. Fainstein, P. Focke, C.R. Garibotti y L. Salem. Gracias a Mirta Rangone por haber realizado los gráficos. Gracias tambien a los alumnos que sufrieron con nuestra fecundidad de problemas. Ellos ayudaron a seleccionarlos y corregirlos. Finalmente agradecemos al Instituto Balseiro que siempre nos brindó su apoyo y un amable ambiente de trabajo.