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Propiedades del equilibrio competitivo: Primer y segundo teorema del bienestar Paula Jaramillo
¿Participaci´on voluntaria?
¿Satisface la asignaci´on del equilibrio competitivo participaci´on voluntaria? 1. Si. 2. No. 3. Depende de los precios de equilibrio.
Primer teorema del bienestar R1
2 Curva de contrato x
ω 1 R2
Segundo teorema del bienestar R1 2
ω x
1
R2
Segundo teorema del bienestar R1 2
ω x
1
R2
Segundo teorema del bienestar R1 2
ω x
1
R2
Primer teorema del bienestar y No-saciedad local
R1
2
x x′ ω 1 R2
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas de intercambio R1
2
ω
x=ω ¯
1
R2
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas de intercambio
Para cada (R, ω) tal que 1. ∀l ∈ L, ωl > 0
estrictamente mon´ otona estrictamente convexa Si x ∗ eficiente en el sentido de Pareto, entonces ∃(p, ω ¯ ) ∈ RL++ × RL×N ++ tal que 2. ∀i ∈ N, Ri es
1. ∀l ∈ L, ω ¯ l = ωl .
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas de intercambio
Para cada (R, ω) tal que 1. ∀l ∈ L, ωl > 0
estrictamente mon´ otona estrictamente convexa Si x ∗ eficiente en el sentido de Pareto, entonces ∃(p, ω ¯ ) ∈ RL++ × RL×N ++ tal que 2. ∀i ∈ N, Ri es
1. ∀l ∈ L, ω ¯ l = ωl .
2. (p, x ∗ ) es un equilibrio competitivo para (R, ω ¯ ).
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas de intercambio R1
2
ω
x=ω ¯
1
R2
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas de intercambio R1
2
ω x
ω ¯ 1
R2
Teorema del hiperplano separador
Teorema del hiperplano separador
pq ≥ k p·q ≥k
p p pq ′ ≤ k
p · q′ ≤ k
Teorema del hiperplano separador
¿Se pueden separar estos dos conjuntos por medio de un hiperplano? 1. Si. 2. No. 3. Depende.
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Para cada (R, ω, Y , s) tal que 1. ∀i ∈ N, ωi >> 0.
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Para cada (R, ω, Y , s) tal que 1. ∀i ∈ N, ωi >> 0.
monotonicidad estricta 2. ∀i ∈ N, Ri satisface convexidad continuidad
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Para cada (R, ω, Y , s) tal que 1. ∀i ∈ N, ωi >> 0.
monotonicidad estricta 2. ∀i ∈ N, Ri satisface convexidad continuidad cerrada y acotada por arriba convexa 3. ∀j ∈ J, Yj es libre desperdicio posibilidad de inacci´ on
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Para cada (R, ω, Y , s) tal que 1. ∀i ∈ N, ωi >> 0.
monotonicidad estricta 2. ∀i ∈ N, Ri satisface convexidad continuidad cerrada y acotada por arriba convexa 3. ∀j ∈ J, Yj es libre desperdicio posibilidad de inacci´ on
Segundo teorema del bienestar
Si (x ∗ , y ∗ ) es eficiente en el sentido de Pareto, ∃(p, m) ∈ RL++ × RN ++ tal que P P P ∗ . 1. m = p · ω + s y i i i i j ji j
Segundo teorema del bienestar
Si (x ∗ , y ∗ ) es eficiente en el sentido de Pareto, ∃(p, m) ∈ RL++ × RN ++ tal que P P P ∗ . 1. m = p · ω + s y i i i i j ji j
2. (x ∗ , y ∗ , p) es un equilibrio competitivo. Esto es,
Segundo teorema del bienestar
Si (x ∗ , y ∗ ) es eficiente en el sentido de Pareto, ∃(p, m) ∈ RL++ × RN ++ tal que P P P ∗ . 1. m = p · ω + s y i i i i j ji j
2. (x ∗ , y ∗ , p) es un equilibrio competitivo. Esto es, 2.1 ∀i ∈ N, xi∗ ∈ arg m´axx∈RL+ ui (x) sujeto a p · xi ≤ mi .
Segundo teorema del bienestar
Si (x ∗ , y ∗ ) es eficiente en el sentido de Pareto, ∃(p, m) ∈ RL++ × RN ++ tal que P P P ∗ . 1. m = p · ω + s y i i i i j ji j
2. (x ∗ , y ∗ , p) es un equilibrio competitivo. Esto es, 2.1 ∀i ∈ N, xi∗ ∈ arg m´axx∈RL+ ui (x) sujeto a p · xi ≤ mi . 2.2 ∀j ∈ J, yj∗ ∈ arg m´axy ∈Yj p · y .
Segundo teorema del bienestar
Si (x ∗ , y ∗ ) es eficiente en el sentido de Pareto, ∃(p, m) ∈ RL++ × RN ++ tal que P P P ∗ . 1. m = p · ω + s y i i i i j ji j
2. (x ∗ , y ∗ , p) es un equilibrio competitivo. Esto es, 2.1 ∀i ∈ N, xi∗ ∈ arg m´axx∈RL+ ui (x) sujeto a p · xi ≤ mi . 2.2 ∀j ∈ J, yj∗ ∈ arg m´axy ∈Yj p · y . P P 2.3 ∀l ∈ L, i xli∗ = ωl + j ylj∗ .
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Ui (Pi , x∗i ) x∗i
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
U(P, x∗ ) P
i
x∗i
x∗n
x∗i
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Y
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Y
ωΣ =
P
i
ωi
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Y + {ω Σ }
Y
ωΣ =
P
i
ωi
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Y + {ω Σ }
2
1
3 4
Y
5
¿D´onde NO est´a
P
i
xi∗ ?
ωΣ =
P
i
ωi
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
U(P, x∗ ) Y + {ω Σ }
P
i
Y
x∗i ωΣ =
P
i
ωi
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
Y + {ω Σ }
Y
P
i
x∗i ωΣ =
P
i
ωi
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
U(P, x∗ ) Y + {ω Σ }
Y
P
i
x∗i ωΣ =
P
i
ωi
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
U(P, x∗ ) Y + {ω Σ }
P
i
x∗i p · xΣ ≥ k
ωΣ p · yΣ ≤ k
p
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on - Precios positivos
p
¿Qu´e propiedades de Y garantizan que los precios son positivos? 1. Convexidad. 2. Cerrada y acotada por arriba. 3. Libre desperdicio. 4. Posibilidad de inacci´ on.
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on
U(P, x∗ ) Y + {ω Σ }
P
i
x∗i p · xΣ ≥ k
ωΣ p · yΣ ≤ k
p
Segundo teorema del bienestar en econom´ıas con producci´on - Maximizaci´on de los consumidores
Un consumidor maximiza al elegir xi0 si: 1. ∀xi , tenemos que xi Pi xi0 ⇒ p · xi ≥ p · xi0 .
2. ∀xi , tenemos que xi Pi xi0 ⇒ p · xi > p · xi0 . 3. Los dos son equivalentes.
4. Ninguno de los anteriores.