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BOLETÍN DE EJERCICIOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO TEMA 1. ESTRUCTURA CRISTALINA 1) ¿ Que estructuras monoatómicas dan lugar a índices de coordinación 4, 6, 8, 12?. 2) Estructura del diamante: a) ¿Cuántos átomos hay en la celda primitiva del diamante?. ¿Y en la convencional?. b) ¿Cuántos átomos más próximos tiene un átomo dado?. c) ¿Calcular la fracción de empaquetamiento?. d) Probar que el ángulo entre los enlaces tetraédricos es 109°28´?. 3) Demuéstrese que la proporción máxima de espacio que se puede llenar con esferas sólidas acomodadas en varias estructuras es la siguiente: a) Cúbica simple π⁄6 ≅ 52%. b) Hexagonal compacta π21/2⁄6 ≅ 74%. c) Cúbica centrada en el cuerpo π31/2⁄8 ≅ 68%. d) Cúbica centrada en las caras π21/2⁄6 ≅ 74%. 4) Argumentar que los únicos ejes de simetría compatibles con una red bidimensional son los de orden 1, 2, 3, 4 y 6.
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TEMA 2. ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA RED CRISTALINA 1) Calcular los vectores base de la red recíproca de una red sc de vectores base primitivos a1=a i, a2=a j, a3=a k, de una fcc de vectores base primitivos a1=(a/2) (j+k), a2=(a/2) (i+k), a3=(a/2) (i+j) y de una red bcc de vectores base primitivos a1=(a/2) (j+k-i), a2=(a/2) (k + i -j), a3=(a/2) (i+j-k). Denotando por i, j, k a los versores de las tres diagonales del cubo convencional de arista a. 2) Determinar el factor de estructura (SG) para una red cúbica simple monoatómica y para una fcc con base monoatómica (considerar la fcc monoatómica como una sc con base tetraatómica). ¿Que implica SG = 0?. 3) La aleación CuAu3 tiene una estructura ordenada por debajo de 400ºC, que consiste en átomos de cobre en los vértices de los cubos y átomos de oro en los centros de las caras de los cubos. Por encima de esa temperatura la estructura está desordenada. Determínese las máximas reflexiones no comunes a ambas estructuras en un diagrama de difracción de rayos X. 4) En un diagrama de polvo de rayos X de una sustancia cúbica, obtenido con la radiación kα del cobre (λ = 0.1542 nm) aparecen líneas para ángulos de Bragg de:12.3, 14.1, 20.2, 24.0, 25.1, 29.3, 32.2, 33.1. Asignar índices a estas líneas. Decidir si es cúbica simple, centrada en el cuerpo o en las caras y calcular la constante de red. 5) Calcular el factor de estructura (SG) del diamante si se considera como una celda unidad una celda cúbica simple, la base de esta estructura es de ocho átomos. Encontrar, si los hay, los ceros del factor de estructura. 6) Determinar el factor de forma atómica (f) cuando la distribución de electrones en el átomo es esféricamente simétrica. Calcular el valor de f para radiación sin cambio de dirección. 7) Determinar la distancia L a la que hay que colocar un cristal de Au de la placa fotográfica para obtener el patrón de difracción mostrado. Considérese la red fcc del Au como una sc con base tetraatómica: a = 4.08 amstrongs, OA = 50.0 mm, OB = 58.0 mm, OC = 81.5 mm. Plano en la placa fotográfica:
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B •
A •
C •
A •
O •
C •
A •
A •
B •
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TEMA 3 ENLACE CRISTALINO. 1) Considérese una fila con 2N iones de carga ±q alternante con una energía potencial repulsiva entre vecinos más próximos de A/Rn. Demostrar que a la distancia de equilibrio:
2 Nq 2 1 U(R 0 ) = ln 2(1 − ) 4πε 0 R 0 n 2) Un conjunto de funciones de onda, normalizadas y mutuamente ortogonales, del estado p para un átomo pueden escribirse de la forma px= x f(r); py= y f(r); pz= z f(r). Considerando la combinación lineal de la función de onda p: ψ= ax px + ay py + az pz, encontrar cuatro conjuntos de coeficientes (ax, ay, az) que den funciones de onda normalizadas del estado p, con lóbulos apuntando hacia los vértices de un tetraedro regular. 3) Considérese la combinación lineal φ= bs + cψ, donde ψ es cualquiera de la d funciones de onda del problema anterior, y s una función de onda del estado s, normalizada y ortogonal a px, py, pz. Encontrar los valores de b y c que hagan que las cuatro funciones de onda φ resultantes ortogonales entre sí y normalizadas. Escribir cuatro funciones de onda φ en términos de px, py, pz y s (estos son los híbridos sp3). 4) Utilizando U (r ) = λe
−r
ρ
como potencial repulsivo entre átomos a distancia r y 10
r0=3.147 Å, B0= 1.74 10 N/m2, siendo respectivamente r0 y B0 la distancia entre átomos vecinos más próximos y el módulo de compresibilidad en equilibrio. Calcular la energía de cohesión del KCl con la estructura cúbica (ZnS). Compararla con el valor que se obtendría si se calcula en la estructura ClNa (Constantes de Madelung, αfcc≈ 1.75, αdiamante≈ 1.64). 5) La energía de red de un cristal de ClNa es 6 eV por par de iones Na+ Cl-. La energía de ionización del Na es 5 eV y la afinidad electrónicadel Cl es 3.75 eV. Despreciando la energía de repulsión, calcular el espaciado interatómico del ClNa. 6) La energía potencial de un par de átomos en un cristal de estructura ClCs es de la forma A/r9-B/r cuando la separación es r. La separación en equilibrio es 0.28 nm y la energía de disociación 8 10-19 J. Calcular A, B yb el módulo de compresibilidad por par de átomos. Calcular la presión que se necesitaría para reducir el espaciado interatómico en un 5%. 7) El siguiente es un modelo cuántico sencillo de la interacción dipolo- dipolo. Considerar dos osciladores lineales idénticos 1 y 2 a distancia R con cargas 4
puntuales ±Ze y con elongaciones x1 y x2 en la dirección x. Construir el Hamiltoniano y encontrar en la aproximación x1, x2 << R, las frecuencias propias de los osciladores acoplados. Verificar que entonces la energía del punto cero decrece en una cantidad proporcional a 1/R6.
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TEMAS IV Y V. DINÁMICA DE REDES Y PRODPIEDADES TÉRMICAS RETICULARES.
1) Demostrar que la siguiente suma de red
∑e
ikR
= Nδ K , 0
R
siendo N el número de puntos de red y k cualquier vector de onda que verifique las condiciones de contorno periódicas. 2) Calcúlese el momento lineal total de un cristal (unidimensional) de N átomos de masa m en el que hay excitado un modo de vector de onda k. 3) Encontrar la relación de dispersión de un cristal bidimensional monoatómico de red cuadrada con interacción entre vecinos más próximos. 4) Considerar un sólido tridimensional isótropo para el que se admite la relación de dispersión ω = ω m sin(ka / 2) en todas direcciones. Si las velocidades de propagación de las onda longitudinales y transversales son muy próximas, probar que la densidad de estados total en frecuencia es:
g (ω ) =
12arcsin(ω ) ω m
2
π a ω m 1 − (ω ω ) 2 m 2
0.5
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5) Probar que la ley de dispersión de una cadena lineal monoatómica con interacción hasta los vecinos p-ésimos es: p sin 2 (nka ) 2 ω = 2 ∑ c n n n =1
0.5
Analizar los casos límite. 6) Calcular La energía del punto cero de un cristal a partir del modelo de Debye. Estimar dicho valor para el helio sólido, suponiendo una temperatura de Debye de 24 K (valor comparable al de otros gases nobles).
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7) Encontrar la dependencia con la temperatura del calor específico de un cristal bidimensional a bajas temperaturas (T→0). 8) El criterio de Lindeman sugiere que la mayor parte de los metales se funden cuando la amplitud cuadrática media de vibración de sus átomos, medida en unidades de distancia interatómica, excede un cierto valor crítico. Utilizando un modelo de Debye, estúdiese la validez de este criterio para los metales cúbicos centrados, en los casos siguientes: Cu
Au
Al
Ni
Pd
a(Å)
3.61
4.08
4.05
3.52
3.89
TPF(K)
1356
1336
933
1726
1825
θD(K)
343
165
428
450
274
Masa
63.5
197
27
58.7
106
Atómica 9) La θD de Debye del diamante es del orden de 2000 K Calcular la relación entre le conductividad térmica a 50 K y a 4 K, suponiendo que la difusión de los bordes es la dominante en ambos casos. Sabiendo además que la densidad d=3.5 × 103 Kg/m3, Patómico=12 y a=0.15 nm, calcular la velocidad del sonido y hacer una estimación de la longitud de onda fonónica dominante a 300 K. 10) Estimar la importancia relativa de los procesos U para la resistividad térmica a 100 K y 20 K, para un cristal θD=300 K.
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TEMA VI. GAS DE FERMI DE ELECTRONES LIBRES EN METALES.
1) Suponer que el Na tiene una expansión térmica lineal entre 0 K y 300 K de 1.5 .10-6 K-1. ¿ Cuál es el cambio porcentual entre esas temperaturas de εF, TF, vF y kF?. A 300 K¿ cuántos y que fracción de los electrones están por encima de εF?. 2) Sea un metal en el que los iones positivos se reemplazan por una distribución uniforme de carga positiva que neutraliza los electrones libres. Supóngase una perturbación en la carga electrónica que produce un campo eléctrico E. a) Despreciando el efecto de las colisiones y linealizando la ecuación de continuidad, demostrar que la ecuación de dicha perturbación es la de un MAS de frecuencia ωp. b) ¿ Es lógico despreciar las colisiones, dado el valor de ωp. 3) Un conductor orgánico resulta tener una frecuencia de plasma ωp = 1.80 1015 s1 , obtenida a partir de estudios ópticos, y τ = 2.83 10-15 s a temperatura ambiente. Calcular la conductividad eléctrica. 4) ¿ A temperatura T0 el calor específico de un gas de electrones libres supera al calor específico de la red?. Expresar esta temperatura en función de θD. 5) Determínese en un modelo de electrones libres el desplazamiento de la esfera de Fermi cuando se aplica un campo eléctrico de 500 V/cm en una muestra de cobre cuyo tiempo de relajación es de 10-13 s. 6) Con objeto de observar la resonancia ciclotrón de los electrones libres en el Cu, ¿ qué campo magnético se debe usar si tu aparato de microondas opera a 30 Hz?. ¿ Cuál es el valor de ωc τ?. 7) El átomo de 3He tiene spin ½. La densidad del 3He líquido es de 0.081 g/cm3 cerca del cero absoluto. Calcular la energía y la temperatura de Fermi.
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TEMA VII. BANDAS DE ENERGÍA.
1) Utilizando la aproximación de electrones libres, determínese el número de electrones libres por átomo que hay en un cristal cuando la esfera de Fermi es tangente a la PZB en las estructuras sc, fcc y bcc. 2) Determinar la anchura de los dos primeros intervalos de energía prohibida en la aproximación de electrones cuasilibres para un potencial unidimensional en forma de escalón de amplitud 1eV y anchura 4 Å. 3) Sea un cristal unidimensional de parámetro de red a = π Å y supongamos que el potencial creado por los iones puede expresarse por U(x) = 0.2 cos(2x), donde x se mide en Å y U en eV. a) Determinar la red recíproca del cristal. b) Suponiendo que el potencial es pequeño, determinar el intervalo prohibido de energías. c) determinar la función de onda de un electrón cuyo momento cristalino es k = 1 Å-1. 4) El potencial periódico de un cristal bidimensional puede expresarse de forma aproximada por U(x,y) = 0.6 cos(πx) +0.6 sen (πx), donde x e y están en Å y en eV. a) Determinar la simetría de celda y los parámetros cristalinos correspondientes. b) En la aproximación de electrones cuasilibres, hacer un esquema de la banda de energía más baja a lo largo de las direcciones [10] y [11], hasta volver al origen de la zona de Brillouin. Calcular las brechas de energía en las fronteras de zona correspondientes. 5) El modelo de Kronig-Penney es un modelo unidimensional resoluble para el problema de un electrón en un potencial periódico. El potencial supuesto para los átomos es: a = cte de red V0
b
a>>b
a
distancia
De resolver la ecuación de Schrödinguer para el electrón se encuentra para la relación de dispersión ε = ε(k): cos(ka) = cos(αa) + P sen(αa)/ αa donde α =(2mε/h)1/2 y P = bV0 m a/h2. Sacar todas las consecuencias posibles de la expresión anterior. Por ejenplo: 9
a) ¿Hay bandas de energía?, ¿hay bandas prohibidas? b) ¿Qué pasa para P tendiendo a 0 y P tendiendo a infinito?, ¿qué significa? c) ¿Qué se puede decir de la velocidad de los electrones?, ¿es v = 0 en los bordes de zona?. d) ¿Qué influencia tiene a?. 6) Los metales alcalinos tienen iones +e con la configuración, muy estable de los gases nobles (ejemplos Li: 1s1 2s1, Na: [Ne] 3s1, Cs: [Xe] 6s1), por fuera de los cuales se mueve un electrón de conducción por átomo. Tratando a estos electrones como libres, determinar el radio de la superficie de Fermi y compararla con el tamaño de la PZB. La estructura es bcc. Razonar de ahí por qué los metales alcalinos se ajustan bien, como vimos, al modelo de electrones libres. Datos: Li: a = 3.49 Å, Na: a = 4.22 Å y Cs: a = 6.05 Å
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TEMA VIII. DINÁMICA SEMICLÁSICA DE ELECTRONES BLOCH.
1) Considerar un cristal unidimensional para el que la energía varía con el vector de onda según la expresión: ε = ε1 + ( ε2 - ε1) sen2 (kx a/2) Suponer un solo electrón en esta banda y sin sufrir dispersión. a) Discutir el comportamiento de la masa efectiva, la velocidad electrónica y la posición en el espacio real bajo la influencia de un campo eléctrico uniforme. b) Si a = 1 Å, ¿ cuánto tiempo se debe aplicar un campo de 100 V/m para que el electrón ejecute una oscilación completa en el espacio?. Si la banda tiene una anchura de 1 eV, ¿qué distancia se recorre en esa oscilación?. 2)
3)
Considerar un electrón con la energía de Fermi del Na moviéndose en el plano xy. Probar que una inducción magnética Bz = 1T prducirá una resonancia ciclotrón con un radio de órbita de 6 µm. ¿ Cómo está relacionada el área en el espacio real con el área en el espacio k?. La superficie de fermi de un sólido cúbico tiene por ecuación:
εF =
(
h2 2 k x + k y2 + 2k z2 2m
)
Determínese la relación entre las tres componentes ax, ay, az de la aceleración de un electrón en la superficie de Fermi cuando se aplica un campo eléctrico según la dirección (111). Determínese la trayectoria que sigue un electrón del cristal en el espacio k cuando se aplica un campo B. 4)
En el Si, cerca del borde de la banda de conducción, las superficies equienergéticas en el espacio k son elipsoides de ecuación:
ε =ε0 +
(
)
h2 h2 2 k x2 + k y2 + kz 2 mt 2 ml
para determinar mt y ml, es decir, lo forma de los elipsoides, se realizan experimentos de resonancia ciclotrón aplicando un campo magnético B en el plano xz formando un ángulo α con el eje z. Encuéntrese la relación entre la masa ciclotrónica mc*, el ángulo α y las masas mt y ml. 5)
Explicar por que hay sólo dos picos electrónicos de resonancia ciclotrón si se sabe que el Si presenta seis bolsillos elipsoidales de electrones en la banda de conducción. Determinar las masas efectivas del Si.
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