Problemas De Matrices Y Sistemas Lineales

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Problemas de Matrices y Sistemas Lineales Natalia Boal Francisco Jos´e Gaspar Mar´ıa Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1. Demuestra que si una matriz A ∈ Mn (K) es idempotente (A2 = A), entonces la matriz B = I − A tambi´en es idempotente y adem´as AB = BA = O. 2. Demuestra que si A es regular y sim´etrica, tambi´en lo es A−1 . 3. Sea A ∈ Mn (K) idempotente. Prueba que si B = 2A − I entonces B 2 = I. 4. Sea A ∈ Mm×n (K). Demuestra que las matrices (AAt ) y (At A) son siempre sim´etricas. 5. Demuestra que si A ∈ Mn (K) verifica la relaci´on A2 − A − I = O entonces A es inversible. Calcula su inversa. 6. Dada A ∈ Mn (K). Prueba que A2 = I ⇔ (I − A)(I + A) = O. La matriz A se dice involutiva. 7. Sea A ∈ Mn (K). Se llama traza de A y se denota por Tr(A) a la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Demuestra: (a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), (b) Tr(AB) = Tr(BA), (c) Tr(λA) = λTr(A), ∀A, B ∈ Mn (K). ∀A, B ∈ Mn (K). ∀A ∈ Mn (K), ∀λ ∈ K. 8. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (a) La suma de matrices triangulares es una matriz triangular. (b) Sean A, B ∈ Mn (K), entonces • AA0 es sim´etrica. 1 • • • • • • (A + B)2 = A2 + AB + B 2 . (A + B)(A − B) = A2 − B 2 . rang (A + B) = rang A + rang B. Si A y B son regulares entonces A + B tambi´en es regular. Si AX = BX para todo X ∈ Mn×1 (K) se cumple A = B. Si AC1 = AC2 entonces C1 = C2 . 9. Demuestra que la matriz   1 1 1   A= 1 1 1  1 1 1 satisface la relaci´on An = 3n−1 A para todo n ∈ IN. 10. Para la matriz     A= 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0      calcula (a) An para todo n ∈ IN. (b) (A + I4 )98 . 11. Calcula el rango de las siguientes matrices y en el caso de ser inversibles calcula su inversa.   a) A =    c) A =    e) A =    1 −1 −2 1 −2 0 0 −1 1 2  0 2 1 0  . 1 1  2 0 −4 2  . 1 1 −1 2 1 1 3 1 −1 −3 6 −2 −4 1  3 4 2 0    .  12. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.        9 8 1 4 x1     a)  5 −2 4   x2  =  6  . x3 1 1 1 0    2 1 1  2 0  b) A =  4 . −3 −1 1  1 2 3   d) A =  2 1 3  . 3 2 1   1 2 3 0  2 4 3 2   f) A =   .  3 2 1 3  6 8 7 5  6 6 −1 3 x1     0   x2  =  −10  b)  −6 8 . x3 4 2 −5 −1 2      1 1 1 x1 1     c)  3 −4 0   x2  =  5  . 7 −1 −3 x3 8      1 −1 1 x1 3     2 −1   x2  =  5  d)  5 . −3 −4 3 x3 1 13. Halla la factorizaci´on LU (si existe) de las siguientes matrices A. En caso de no existir tal factorizaci´on razona si es posible encontrar una reordenaci´on B = P A de las filas de A tal que B s´ı admita factorizaci´on LU .  a) A =       c) A =   1 2 0 −2 −4 2  . 0 1 1 2 −1 4 0 4 −1 5 1 −2 2 −2 3 0 3 −9 4  b) A =       .     d) A =  5 5 −4 3 −1 0 0  2 1 −6 2  . 2 1  1 0 0 2 0 0   . 1 1 3  0 0 1 14. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el m´etodo de eliminaci´on de Gauss y utilizando la factorizaci´on LU de la matriz de coeficientes A (o es su caso la matriz reordenada). Compara los dos procedimientos de resoluci´on.             1 2 0 x1 3     a)  −2 −4 2   x2  =  −4  . 0 1 1 x3 2 5 2 1 x1 12      b)  5 −6 2   x2  =  −1  . −4 2 1 x3 3   c)    3 −1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1      x1 x2 x3 x4     =   1 −5 1 −1    .  15. Discute en funci´on del par´ametro a ∈ IR el sistema a x + y + z = 1, x + a y + z = 1, x + y + a z = 1. Resuelve en los casos en los que sea posible. 3