Práctica 1 - Etsi Caminos Canales Y Puertos

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1 E.T.S. DE INGENIEROS DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS ´ ´ ´ ANALISIS MATEMATICO. 20 CURSO Y ADAPTACION 2009/2010 ´ PRACTICA 1 1.1 (i) Se consideran los siguientes n´ umeros complejos: √ ( 3 + i)12 (1 + i)5 √ 1 + i5 1 − 3i √ √ ( 3 + i)n + ( 3 − i)n , n ∈ N Obtener sus m´ odulos y sus argumentos, as´ı como de los conjugados de dichos n´ umeros y expresarlos en la forma a + bi. ¿ Son mayores o menores que 0 ? √ (ii) Hallar 3 2 + 2i, (ra´ız c´ ubica de 2 + 2i). ¿ Es u ´nica ? (iii) Para cualquier z ∈ C consideramos: el conjunto A formado por todas las raices cuartas de z 2 y el conjunto B de los cuadrados de cada una de las raices cuartas de z. Justificar razonadamente si A es igual a B. (iv) Resolver en C las ecuaciones: z 6 + 7z 3 − 8 = 0 y (2z 2 − 5z + 10)2 − (z 2 − z + 5)2 = 0. (v) Hallar los n´ umeros complejos cuyo cubo sea igual al cuadrado de su conjugado y hallar la ecuaci´ on cuyas raices sean la soluciones del problema. 1.2 Describir geom´etricamente cada uno de los siguientes conjuntos: a) {z ∈ C; |z − 1 − i| = 1} c) {z ∈ C; |z + i| = 6 |z − i|} |z−a| e) {z ∈ C; |z−b| = k ; a, b ∈ C distintos , k ∈ R+ } g) {z = |z|eiθ ∈ C; π4 < θ ≤ 34 π} i) {z ∈ C; |z − 1| < 1 y |z| = |z − 2|} k) {z ∈ C; =[ z+i 2i ] < 0} b) {z ∈ C; |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|} d) {z ∈ C; |z + 2| > 1 + |z − 2|} f) {z ∈ C; |z| < cos(arg z)} h) {z ∈ C; 3 y |z| > 2} l) {z ∈ C; |z|2 > z + z} 1.3 (i) Obtener las partes real e imaginaria de la funciones complejas de variable compleja z = x + iy, siguientes: 1 iz sen z = 2i (e − e−iz ) , cos z = 12 (eiz + e−iz ) 1 z senh z = 2 (e − e−z ) , cosh z = 12 (ez + e−z ) (ii) Probar que: 1 (cos 5t + 5 cos 3t + 10 cos t) 24 1 sen5(t) = 4 (sen 5t − 5 sen 3t + 10 sen t) 2 cos5 (t) = Pr´ actica 1 2 1.4 (i) Obtener, si existen, los siguientes l´ımites: l´ım l´ım z→0 z 6= 0 z→0 z 6= 0 |z|2 z , l´ım