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Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada Elementos de Estadística (0260) Estadística para Ingenieros (1765) Miércoles 29 de Febrero de 2012 Profesor: José Luis Quintero UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA Elementos de Estadística - Estadística para Ingenieros Tercer Examen Parcial (25%) 1. Suponga que la distribución del número de fallos por minutos de un equipo sigue una distribución de Poisson de media 0.04. Si un sistema está compuesto por 100 de estos equipos, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio de fallos en dos horas del sistema sea mayor que 5.5? (6 puntos) la 2. Considere normal con densidad f(x) = distribución función de − 1 e (x −µ)2 2σ2 . 2πσ Si se supone la varianza poblacional conocida, halle el estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional, basado en una muestra aleatoria de tamaño n. (8 puntos) 2 3. Una intensa supervisión del tiempo compartido en un sistema computarizado ha sugerido que el tiempo de respuesta a un comando de edición en particular está normalmente distribuido con la desviación estándar de 25 milisegundos (σ = 25) . Se ha instalado un nuevo sistema operativo y se desea estimar el verdadero tiempo promedio de respuesta (µ) para el nuevo entorno. Determine el tamaño muestral necesario para garantizar que el intervalo de confianza de 95% resultante tenga una longitud de 10. (6 puntos) 1. Suponga que la distribución del número de fallos por minutos de un equipo sigue una distribución de Poisson de media 0.04. Si un sistema está compuesto por 100 de estos equipos, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio de fallos en dos horas del sistema sea mayor que 5.5? Solución. λ = 0.04 fallos / minuto ⇒ 4.8 fallos / dos horas . (6 puntos)  5.5 − 4.8  P(x > 5.5) = P  z > = P(z > 3.1949) = 1 − P(z < 3.1949) ≈ 1 − 0.9993 ≈ 0.0007 . 4.8    10  2. Considere la distribución normal con función de densidad f(x) = − 1 2πσ2 e (x −µ)2 2σ2 . Si se supone la varianza poblacional conocida, halle el estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional, basado en una muestra aleatoria de tamaño n. Solución. (8 puntos) n L(µ) = 1 2πσ 2 e (x1 −µ)2 − 2σ2 1 . 2πσ 2 e (x2 −µ)2 − 2σ2  1 M(µ) = Ln(L(µ)) = n.Ln   2  2πσ 1 σ2 ∑ (xi − µ) = 0 ⇒ i =1 1 2πσ 2 e  1 =  2  2πσ n ∑ ∑  1 −  2σ2  n M'(µ) = 0 ⇒ ..... (xn −µ)2 − 2 σ2 ∑ (xi −µ)2   e   − i =1 2 σ2 n (xi − µ) ⇒ M'(µ) = 2 i =1 n (xi − µ) = 0 ⇒ i =1 n 1 σ2 ∑ (xi − µ) i =1 n ∑ xi = nµ ⇒ µ = x i =1 Por lo tanto el estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional es la media muestral. 3. Una intensa supervisión del tiempo compartido en un sistema computarizado ha sugerido que el tiempo de respuesta a un comando de edición en particular está normalmente distribuido con la desviación estándar de 25 milisegundos (σ = 25) . Se ha instalado un nuevo sistema operativo y se desea estimar el verdadero tiempo promedio de respuesta (µ) para el nuevo entorno. Determine el tamaño muestral necesario para garantizar que el intervalo de confianza de 95% resultante tenga una longitud de 10. Solución. (6 puntos) L= 2 × 25 × 1.96 n = 10 ⇒ n = 9.8 ⇒ n = 96.04 ⇒ n = 97