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Oscilaciones forzadas – Fenómeno de resonancia Objetivos Estudio del fenómeno de resonancia en un sistema oscilatorio masa-resorte. Respuesta del sistema a una fuerza externa periódica. Obtención de la curva de resonancia. Medición del factor de calidad del sistema. Estudio del efecto del rozamiento.
Introducción Consideremos un sistema masa–resorte, con una masa m que cuelga de un resorte de constante elástica k y masa mR, y que oscilan verticalmente inmersos en un fluido. Si la masa mR del resorte es mucho menor que m, mR puede despreciarse, y sólo interesan las fuerzas sobre m. Éstas son: la fuerza elástica, FE = –kx, que ejerce el resorte cuando la masa se aparta una distancia x de su posición de equilibrio, y la fuerza de rozamiento viscoso, FV, debida al fluido, fuerza que supondremos proporcional a la velocidad, FV = –bv (b > 0). En estas condiciones, la ecuación de movimiento del sistema es:
d 2 x(t ) dt
Cuando b < 2 m ω0 ( ω0 =
2
+
b dx(t ) k ⋅ + ⋅ x(t ) = 0 . m dt m
(1)
k , frecuencia natural de las oscilaciones libres, cuando b m
= 0), la ecuación (1) tiene una solución de la forma:
xR (t ) = A e
b t 2m
cos( ωR t + φ) .
(2)
A diferencia del caso sin rozamiento (b = 0), la amplitud de las oscilaciones no es constante y decae exponencialmente a medida que transcurre el tiempo; decimos que las oscilaciones están amortiguadas. La frecuencia de oscilación es:
ωR =
ω02
−
b2 4m 2
.
(3)
E. Rodríguez – Física I – UNGS – 2006
Por el efecto del rozamiento ( b ≠ 0 ), esta frecuencia ωR es menor que la frecuencia natural
ω0 . Para mantener las oscilaciones debe aplicarse una fuerza externa Fext que realice trabajo sobre el sistema. Si la fuerza externa es armónica:
Fext (t ) = F0 cos(ω t ) ,
(4)
la ecuación de movimiento es:
d 2 x(t ) dt 2
+
b dx(t ) k F ⋅ + ⋅ x(t ) = 0 cos(ω t ) . m dt m m
(5)
La solución x(t) de esta ecuación es una combinación lineal de la solución xR (t), del caso cuando no hay fuerza externa, y una función oscilatoria xext (t) con la misma frecuencia que la de la fuerza externa.[1] Es decir:
x(t ) = xR (t ) + xext (t ) , x(t ) = A e
b t 2m
cos( ωR t + φ ) + B cos(ω t + ϕ ) .
(6)
El primer término de (6) decae en el tiempo, se cancela para tiempos largos ( lim xR (t ) → 0 ), y representa lo que se conoce como la solución del estado transitorio del t →∞
sistema. El segundo término perdura en el tiempo y representa al movimiento del sistema en el estado estacionario. En el estado estacionario el sistema oscila con la misma frecuencia de oscilación de la fuerza periódica externa, con una amplitud B que es función de la frecuencia ω:[2]
F0
B(ω) = m
(ω
2 0
− ω2
) + ⎛⎜⎝ mb ⎞⎟⎠ ω 2
2
.
(7)
2
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Del análisis de (7) surge que: a) cuando ω << ω0 , la amplitud B tiende a Best = F0 / m , que es la deformación estática permanente del sistema por acción dela fuerza constante F0; b) cuando ω >> ω0 , B → 0 ; c) el valor máximo de la amplitud Bmáx es
Bmáx =
F0 , bω
y corresponde a la frecuencia 1 b Ω = ω02 − ( ) 2 , 2 m
(9)
que es menor que la frecuencia natural ω0 y también menor que la del sistema con rozamiento, ωR. La Figura 1 muestra curvas B(ω) para distintos valores del coeficiente de rozamiento
b. Vemos que cuando la frecuencia ω de la fuerza externa se aproxima a Ω, la amplitud tiene un aumento significativo. Este fenómeno recibe el nombre de resonancia y la frecuencia Ω a la cual ocurre se denomina frecuencia de resonancia. Asimismo, las curvas B(ω) se llaman
curvas de resonancia.
B(ω ) (un. arb.)
10 8
Coeficiente b (un. arb.) 0.005
6
0.0085 0.015
4
0.025
2 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
ω (rad/s)
Figura 1. Curvas de resonancia de un sistema oscilatorio con distintos amortiguamientos. E. Rodríguez – Física I – UNGS – 2006
La agudeza de la curva de resonancia se caracteriza con el ancho de banda relativo:
ancho de banda relativo ≡
∆ω , Ω
donde ∆ω = ω2 – ω1 es la diferencia de las frecuencias de excitación para las que el sistema alcanza amplitudes iguales a la mitad de la amplitud máxima, es decir: B(ω1, 2) = Bmáx /2. Se define el factor de calidad Q del sistema como la inversa del ancho de banda relativo:
Q=
Ω Ω = . ∆ω ω2 − ω1
(10)
Un sistema oscilatorio tiene un mayor (menor) factor de calidad cuando más (menos) aguda es su curva de resonancia.
Bmáx
Bmáx / 2
ωω12
ω21
Figura 2. Definición del ancho de banda.
El aumento del coeficiente de rozamiento b conduce a una disminución de la amplitud máxima Bmáx, es decir, a un debilitamiento sensible del fenómeno de resonancia, y cuando
b >> ω02
la resonancia desaparece por completo. En el caso opuesto de poco
amortiguamiento, podemos aproximar Ω ≈ ω0 . E. Rodríguez – Física I – UNGS – 2006
Obtención de curvas de resonancia El objetivo principal de este experimento es estudiar el fenómeno de resonancia mediante la medición de la curva de resonancia de un sistema masa–resorte. El sistema va a estar forzado por una fuerza externa armónica de amplitud fija y de frecuencia variable.
El dispositivo experimental a usar está ilustrado esquemáticamente en la Figura 3. Consiste de una masa que cuelga de un resorte helicoidal de acero, suspendido verticalmente de un punto que puede vibrar a una frecuencia controlada. El sistema puede oscilar en aire o inmerso en un líquido. El dispositivo que aplica la fuerza periódica externa es un parlante que puede excitarse mediante la aplicación de tensiones eléctricas armónicas de distintas frecuencias.
oscilador
cables de conexión fuente de voltaje alterno
F(ω)
k V(ω)
m x(t)
soporte
Figura 3. Esquema del dispositivo experimental.
Con la masa oscilando en el aire, determine la frecuencia de oscilación ωR de las oscilaciones amortiguadas del sistema. E. Rodríguez – Física I – UNGS – 2006
A continuación, aplique al dispositivo de excitación un voltaje de amplitud fija, y manténgalo durante todo el experimento. Este voltaje determina la fuerza impulsora externa, y de esta manera fijamos el valor de su amplitud F0. Observe la oscilación del sistema para distintos valores de la frecuencia ω de la fuerza externa. Discrimine visualmente el arribo del sistema al estado estacionario. Cuando el sistema alcance ese estado, mida la amplitud de la oscilación forzada B para esa frecuencia. Varíe la frecuencia ω de la fuerza externa y obtenga la curva de resonancia B(ω) del sistema. Represente gráficamente la curva de resonancia B(ω). A partir de los resultados, determine los valores de: a) la frecuencia de resonancia Ω y b) el factor de calidad Q del sistema.
Finalmente, estudie el fenómeno de resonancia cuando el sistema oscila en otro medio viscoso, por ejemplo, agua.
¿Qué puede concluir respecto del efecto del amortiguamiento sobre las curvas de resonancia?
Referencias 1. S. Lea y J. Burke, Física: La naturaleza de las cosas, Vol. I, International Thomson Editores, México, 1999. 2. B. M. Yavorski y A. A. Detlaf, Manual de Física para ingenieros y estudiantes, Editorial Mir, Moscú, 1972.
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