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Cap. 3: Ondas Electromagnéticas – Sistemas Optoelectrónicos – J. Gutiérrez R..
Sistemas Optoelectrónicos
Capítulo 3 (continuación): Ondas Electromagnéticas
Departamento de Tecnología Fotónica Facultad de Informática Universidad Politécnica de Madrid Julio Gutiérrez Ríos Enero 2002 Rev.: Enero 2003
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Cap. 3: Ondas Electromagnéticas – Sistemas Optoelectrónicos – J. Gutiérrez R..
4 Ondas Electromagnéticas En el Capítulo primero ya se ha avanzado una introducción acerca de la naturaleza electromagnética de la luz, así como una descripción de todo el espectro electromagnético. Iniciamos, pues, este capítulo describiendo la teoría electromagnética da la luz a partir de sus leyes fundamentales que no son otras que las ecuaciones de Maxwell.
1. Campos Electromagnéticos.- Ecuaciones de Maxwell. Un campo electromagnético viene definido por dos campos relacionados entre sí, el campo eléctrico E(r, t) y el campo magnético B(r, t). Por tanto, podría pensarse que se trata de dos ondas vectoriales diferentes. Sin embargo, ambas se encuentran físicamente relacionadas entre sí por medio un sistema de ecuaciones diferenciales que son las ecuaciones de Maxwell. Puesto que unas mismas causas inductoras producen campos reales diferentes según la naturaleza del medio en el que se encuentran, se definen también otros dos vectores que describen más apropiadamente dicha inducción: el vector D, densidad de flujo eléctrico o vector desplazamiento; y el vector B, inducción magnética. Estos vectores se encuentran relacionados con los de campo eléctrico y magnético E y B de la siguiente forma: D = ε ·E B = µ ·H Donde ε es la constante dieléctrica del medio y µ es la permeabilidad magnética del mismo. En el vacío, dichas constantes son :
ε0 =
10 −9 Faradios / metro 36π
y
µ 0 = 4π ·10 −7 Henrios / metro
Es habitual tomar como referencia para otros medios la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética en el vacío, de forma que dichos medios pueden caracterizarse mediante la constante dieléctrica relativa εr, y la permeabilidad magnética relativa µr, tal que: ε = εr·ε0 ; µ = µr·µ0 Es importante recalcar también que, si bien la constante dieléctrica relativa varía mucho de unos medios a otros, la permeabilidad magnética sin embargo, se mantiene muy próxima a uno en los medios no magnéticos, y libres de cargas. 1.1. Ecuaciones de Maxwell en forma Integral: La forma integral de las ecuaciones de Maxwell muestran claramente su significado: La ley de gauss pone de manifiesto que el flujo del vector densidad de flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total encerrada por dicha superficie (integral de la densidad espacial de carga). La ley de Ostrogradski – Gauss, a su vez, establece que en lo que respecta al campo magnético, no existe el mismo concepto de carga que da origen al campo, como sucede con el campo eléctrico: el flujo del vector inducción magnética a través de una
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superficie cerrada es nulo. Por tanto, la inducción magnética no tiene fuentes ni sumideros y sus líneas de campo son cerradas. La ley de Faraday relaciona la circulación del campo eléctrico a lo largo de una línea cerrada con la variación en el tiempo del flujo de la inducción magnética a través de una superficie cuyo contorno sea dicha línea. Finalmente, la ley de Ampère se refiere a la circulación del campo eléctrico a lo largo de una línea cerrada, la cual es igual a la corriente eléctrica que atraviesa una superficie cuyo contorno sea dicha línea. Ahora bien, la corriente eléctrica tiene dos componentes, la corriente de conducción que es la carga eléctrica que atraviesa la superficie por unidad de tiempo (integral de la densidad de corriente), y la corriente de desplazamiento que se corresponde con la variación en el tiempo del flujo del vector desplazamiento (así llamado por esta razón). La corriente de desplazamiento no es un flujo de carga eléctrica real, pero hace las veces de ella. Es por ejemplo, la corriente que pasa por el dieléctrico de un condensador cuando la tensión que se la aplica varía con el tiempo. Siendo ρ la densidad espacial de carga eléctrica (carga por unidad de volumen) e i la densidad de corriente eléctrica (corriente por unidad de superficie transversal), las ecuaciones de Maxwell tienen la siguiente forma:
∫ D ⋅ ds = ∫ ∫ B ⋅ ds = 0 s
V
ρ ⋅ dv
(Gauss )
(Ostro gra dski − Gauss )
s
∂
∫ E ⋅ dl = − ∂t ∫ B ⋅ ds l
∫
l
s
∫
H ⋅ dl = i ⋅ ds + s
( Faraday )
∂ D ⋅ ds ( Ampère) ∂t s
∫
1.2. Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial: Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial se obtienen de las ecuaciones en forma integral mediante la aplicación de dos teoremas: el teorema de Stokes, por el que la circulación de un campo vectorial a lo largo de una superficie cerrada es igual a al flujo del rotacional de dicho campo a través de una superficie delimitada por dicha linea; y el teorema de Gauss por el que el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia de dicho campo dentro del volumen encerrado por la superficie en cuestión. Las ecuaciones en forma diferencial son muy útiles bajo el punto de vista operativo ya que son más fáciles de manipular. Son las siguientes: ∇D = ρ ∇B = 0 ∂B ∂t ∂D ∇×H = i + ∂t ∇×E = −
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1.3. Ecuaciones de Maxwell en un medio libre de cargas: Lo más habitual no sólo para la luz, sino para la propagación de ondas electromagnéticas en general, es que ésta se produzca en medios libres de cargas. Tal es el caso del aire, el vacío, las fibras ópticas, los cristales de lentes y prismas, etc. En tal caso, la densidad espacial de carga será nula, así como la corriente eléctrica de conducción. Por tanto, las leyes de Maxwell se simplifican tal como se ve a continuación: ∇D = 0 ∇B = 0 ∂B ∂t ∂D ∇×H = ∂t ∇×E = −
1.4. Ecuaciones de Maxwell en un medio lineal, de conductividad nula, homogéneo e isótropo: La condición de libre de cargas es menos fuerte que la de conductividad nula en cuyo caso no sólo no hay cargas ni corrientes de conducción, sino que tampoco puede haberlas. Si el medio de conductividad nula es, además, lineal, homogéneo e isótropo, la relación entre campos e inducciones es lineal y la constante dieléctrica y permeabilidad magnética se mantienen invariantes en todo el medio. Así pues, en este caso las ecuaciones vuelven a simplificarse de la siguiente forma: ∇E = 0 ∇H = 0 ∂H ∇ × E = −µ 0 · ∂t ∂E ∇ × H = ε· ∂t Como ya se dijo la permeabilidad magnética en medios de este tipo es muy próxima a la del vacío, razón por la cual se ha empleado directamente µ0 . Se encuentran en este caso los medios corrientes mencionados en la sección anterior: aire, vacío, guías de onda, fibras ópticas, cristales, etc. 1.5. Ecuaciones de Maxwell para una onda monocromática: Es bien conocido que si la onda es monocromática, usando su forma compleja, la derivada respecto al tiempo aparece equivalente a multiplicar por jω. Si, además, el medio está libre de cargas, las ecuaciones de Maxwell se transforman en las siguientes: ∇D = 0 ∇B = 0 ∇ × E = − j ωB ∇ × H = j ωD
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2. Algunas consecuencias de las ecuaciones de Maxwell. 2.1. Deducción de la Ecuación de Onda. Las ecuaciones de Maxwell son postulados fundamentales. Sin embargo, la ecuación de onda, aunque en su momento fue planteada como tal, en realidad se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell, como se verá a continuación. Para ello, consideramos un medio no dispersante (conductividad nula), homogéneo e isótropo. La siguiente igualdad se cumple para cualquier vector: ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇A ) − ∇ 2 A Si se aplica el rotacional a las ecuaciones del rotacional de E y H : ∂H ∇ × (∇ × E ) = − µ 0 ∇ × ∂t (∇ × H ) ∂ ∇(∇E ) − ∇ 2 E = − µ 0 ∂t ∂E Ya que ∇E = 0 y ∇ × H = ε · : ∂t 2 ∂ E ∇ 2 E = µ 0 ·ε 2 ∂t Análogamente : ∂ 2H ∇ H = µ 0 ·ε 2 ∂t ∴ Tanto el campo eléctrico como el magnético cumplen la ecuación de onda, siendo la velocidad de propagación : 1 1 = µ 0 ·ε ⇒ c = 2 c µ 0 ·ε 2
Compruébese cómo, en efecto, c 0 =
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µ 0 ·ε 0
= 3·10 8
Esta relación es muy importante puesto que permite deducir la velocidad de propagación de la luz y las ondas electromagnéticas en general a partir de las constantes físicas del medio. De estas relaciones se deduce también el índice de refracción del medio en función de su constante dieléctrica: 1 c n= 0 = c
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µ 0ε 0 µ 0ε
=
ε = εr ε0
donde ε r es la denominada constante dieléctrica
relativa a la del vacío (ε = ε r ε 0 )
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2.2. Disposición de los campos eléctrico y magnético en una onda plana o localmente plana: Consideramos que la dirección de propagación es el eje z. ux ∂ ∇×E = ∂x Ex
uy ∂ ∂y Ey
uz ∂E y ∂E ∂E ∂E ∂E ∂ ∂E + uy x − z + uz y − x = u x z − ∂z ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x Ez
Al propagarse según el eje z :
∴∇ × E = −
∂E y ∂z
ux +
∂E x ∂E y ∂E z ∂E x ∂E y ∂E z = = =0; = = =0 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
∂E x ∂H u y = −µ 0 ∂z ∂t
∂E y ∂H x = µ0 ∂z ∂t Hy ∂ E ∂ x ⇒ = −µ 0 ∂z ∂t H ∂ z 0 = µ ⇒ H z = cte → 0 0 t ∂
Análogamente : ∂H y ∂H x ∂E ux + uy = ε ∇×H = − ⇒ ∂z ∂z ∂t 0 = ε
∂H y
∂E x ∂t ∂E y
= −ε
∂z ∂H x =ε ∂z ∂t ∂E z ⇒ E z = cte → 0 ∂t
de donde se deduce que: - Los campos eléctrico y magnético son normales a la trayectoria (no tienen componente en el eje z). Por tanto, son vectores transversales a la trayectoria. - Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí. En efecto, sin pérdida de generalidad, se pueden elegir los ejes x e y de forma, por ejemplo, que Ey = 0 ⇒
Hx = 0
3. Polarización: Se dice que una onda tiene polarización lineal si no cambia la dirección del campo eléctrico y, por tanto, tampoco la dirección del campo magnético. Se trata de una onda elemental como se ha visto en el apartado anterior. Las ondas y modos con polarización lineal suelen significarse con el acrónimo LP (Linearly Polarized). Se dice que una onda tiene polarización horizontal si el campo eléctrico es horizontal (polarización lineal horizontal). Se dice que una onda tiene polarización vertical si el campo eléctrico es vertical (polarización lineal vertical). Cuando una onda sufre una reflexión en una superficie plana, se dice que es transversal eléctrico (TE) si el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia (plano de incidencia: el que contiene a los rayos incidente y reflejado). Por esta razón también se 6
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les llama ortogonales. Si es el campo magnético el que es perpendicular al plano de incidencia, se dice que es transversal magnético (TM) o, también, paralelo debido a que el campo eléctrico en este caso es paralelo al plano de incidencia. La polarización es circular si el campo eléctrico no tiene dirección constante sino que ésta gira bien a derechas o bien a izquierdas. La polarización circular es equivalente a la superposición de dos ondas de la misma frecuencia e igual magnitud, cada una con polarización lineal y perpendiculares entre sí, teniendo entre ambas un desfasaje de 90º. Si las magnitudes no son iguales o el desfasaje no es en cuadratura, lo que se produce es polarización elíptica.
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