Movimiento Browniano A Partir De La Dualidad Norma/gravedad

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Movimiento Browniano a partir de la Dualidad Norma/Gravedad Alberto Güijosa Departamento de Física de Altas Energías Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM Mensaje Principal En el contexto de la dualidad norma/gravedad, ¡¡Hawking = Brown!! Quark en el Plasma  Quark pesado en plasma SYM N  4 D7-branas z  zm z  zh desde z  z hasta z  z  Cuerda sobre brana negra en AdS m h Quark en el Plasma  Quark pesado en plasma SYM N  4 D7-branas z  zm z  zh desde z  z hasta z  z  Cuerda sobre brana negra en AdS m h Plan • • • • T>0 con tiempo real: Schwinger-Keldysh Schwinger-Keldysh con AdS/CFT Movimiento Browniano y Ec. de Langevin Movimiento Browniano a partir de AdS/CFT Basado en: Herzog & Son, hep-th/0212072 Son & Teaney, arXiv:0901.2338 de Boer, Hubeny, Rangamani & Shigemori,arXiv:0812.5112 Giecold, Iancu & Mueller, arXiv:0903.1840 Schwinger-Keldysh Conocemos conexión cuantización canónica vs. funcional f e  iH ( t f ti )  ( t f )  f i    ( ti )  que tras rotación de Wick i  dt  d 3 x L  D ( x , t ) e i t  i implica que   H ( f  i )    D ( x)  e    ( i )  ( H  Z( )  Tr e  con   d  d 3 x LE  D ( x , ) e f )    f  i (t f  ti  i ) Schwinger-Keldysh Por otro lado, funcional generatriz involucra tiempo real i  d 4 x L  i  dt  d 3 x J ( x ) ( x )    T  ( x1 ) ( xn )    D ( x) e  i J ( x1 ) i J ( xn ) t ti ti  i tf Schwinger-Keldysh Entonces, para funciones de correlación a temperatura finita, Tr T  ( x1 ) ( xn ) e  H i  d 4 x L  i  dt  d 3 x J ( x ) ( x )      D ( x) e  i J ( x1 ) i J ( xn ) t ti ti  i ti  i tf t f  i Resultado NO depende de  Schwinger-Keldysh Más en detalle, insertamos fuentes en AMBOS segmentos, tf  tf  3 3 exp i  dt  d x 1 ( x) J1 ( x) i  dt  d x 2 ( x) J 2 ( x)   ti  ti  1 ( x)   (t , x ) ti ti  i ti  i t tf  t  i 2 ( x)   (t  i , x ) f Schwinger-Keldysh y podemos entonces calcular propagador de S-K 1  2 ln Z [ J1 , J 2 ] iGcd ( x  y )  2 , c, d  1, 2 i  J c ( x) J d ( x) qué está relacionado p.ej. con propagador retardado G R (k )   d 4 x eik x ( x)  ( x),  (0)   G A (k )   d 4 x eik x ( x)  (0),  ( x)   G R* (k )  Schwinger-Keldysh    Im G R (k ) a través de G11 (k )  Re GR (k )  i coth 2  (   ) 2 ie  (k ) G12 (k )  Im G R   1 e  2 ie  (k ) G 21 (k )  Im G R 1  e     G22 (k )   Re GR (k )  i coth Im G R (k ) 2 En AdS/CFT, consideramos funciones de correlación NO de los campos básicos de SYM N  4, sino de operadores invariantes de norma (p.ej. Tr F 2 , T ,  ) S-K con AdS/CFT  SYM SU ( Nc ) N  4 Cuerdas IIB en SchwAdS5 ( R, zh ) a temp. finita T  TH  1/  zh  Plasma de gluones (+ escalares y fermiones adjuntos) z0  x z z  zh Brana negra en AdS  2 R dz  4   ds 2      1  zz 4 dt 2  dx 2  4  h z z    1  z4 h  2         S-K con AdS/CFT  SYM SU ( Nc ) N  4 Cuerdas IIB en SchwAdS5 ( R, zh ) a temp. finita T  TH  1/  zh  h( x, z  0)  J ( x) h( x, z ) Funciones de correlación caso euclideano a T=0 [Gubser,Klebanov,Polyakov; Witten] Receta para GR ( x  y) propuesta por [Son,Starinets] z S-K con AdS/CFT Para reproducir S-K, necesitamos diagrama de Penrose completo para SchwAdS: z  zh z0 z  zh S-K con AdS/CFT Para reproducir S-K, necesitamos diagrama de Penrose completo para SchwAdS: t  t 0 t   S-K con AdS/CFT Para reproducir S-K, necesitamos diagrama de Penrose completo para SchwAdS: t '   t  t'0 t' t   S-K con AdS/CFT Para reproducir S-K, necesitamos diagrama de Penrose completo para SchwAdS: t '   SYM N 4 t' t  SYM N 4 t   S-K con AdS/CFT Receta para funciones de correlación S-K t '   h( x, z '  0)  J 2 ( x) t' [Herzog,Son; Son,Teaney] t  h( x, z  0)  J1 ( x) t   Langevin a partir de S-K Consideremos ahora partícula NR acoplada a baño térmico Z  Dx ( t ) Dx ( t ) e 2  1    i dt1 M 0 x12  i dt2 M 0 x22  i dt1 F1x1  i dt2 F2 x2 Si partícula es pesada (fuerza pequeña), esto es aprox. Z   Dx1 (t ) Dx2 (t ) e    i dt1 M 0 x12  i dt2 M 0 x22  12 dtdt ' xc (t ) Fc (t ) Fd (t ') xd (t ') Z   Dx1 (t ) Dx2 (t ) e    i dt1 M 0 x12  i dt2 M 0 x22  12 dtdt ' xc ( t ) Gcd ( t ,t ') xd ( t ') Langevin a partir de S-K Reescrito en términos de “formalismo ra” x1  x2 F1  F2 xr  , xa  x1  x2 , Fr  , Fa  F1  F2 , 2 2 Z   Dxr (t ) Dxa (t ) exp  i  dt M 0 xa xr  exp    dtdt ' xa (t )iGR (t , t ') xr (t ')  12  dtdt ' xa (t )Gsim (t , t ') xa (t ')  donde i iGR  G11  G22  G21  G12  , 2 i Gsim  G11  G22  G21  G12  (  0) 4 Langevin a partir de S-K En términos de transformada de Fourier xr,a ( )  d  Z   Dxr ( ) Dxa ( ) exp  i  xa  M 0 2  G R xr   2   1 d     exp   2  xa Gsim xa  2     Como último truco, usamos  1 d  exp   2  xa Gsim xa 2     d  d     ( ) exp i    D  x    a      2 Gsim   2 Langevin a partir de S-K para obtener    d   Z   Dxr ( ) Dxa ( ) D ( ) exp   12    2  G sim    d  2      exp  i  xa  M 0 xr  GR xr     2     d   Z   Dxr ( ) D ( ) exp   12    2  Gsim     M  2 x  G x     0 r  R r  Langevin a partir de S-K es decir, tenemos trayectorias clásicas con fuerza aleatoria M 0 2  G R  xr  ,    G  sim M 0 xr   dt ' GR (t , t ') xr (t ')   (t ),  (t ) (t ')  Gsim (t , t ')    d   Z   Dxr ( ) D ( ) exp   12    2  Gsim     M  2 x  G x    0 r R r  Langevin a partir de S-K es decir, tenemos trayectorias clásicas con fuerza aleatoria M 0 2  G R  xr  , M 0 xr   dt ' GR (t , t ') xr (t ')   (t ), fricción no local    G  sim  (t ) (t ')  Gsim (t , t ') ruido de color Ec. de Langevin generalizada Langevin a partir de S-K es decir, tenemos trayectorias clásicas con fuerza aleatoria M 0 2  G R  xr  , M 0 xr   dt ' GR (t , t ') xr (t ')   (t ), A bajas frecuencias    G  sim  (t ) (t ')  Gsim (t , t ') G R ()  i  M  2 , G sim  2T   M 0  M  xr (t )   xr (t )   (t ),  (t ) (t ') fricción local ruido blanco Ec. de Langevin original  2T  (t  t ') Langevin a partir de Hawking Pequeñas fluctuaciones (“modos cuasinormales”) por encima de cuerda estática en SchwAdS completo: t '   t  X ref (t , z)  0 x2 (t ) t' x1 (t ) t   Langevin a partir de Hawking Función de partición para cuerda (c/acción cuadratizada) (2) (2)  Z   Dx1 (t ) Dx1 (t , z) Dx2 (t ) Dx2 (t , z)exp iS NG,1  iS NG,2  Integrando sobre encaje en el bulto (aprox. semiclásica) se obtiene [Son,Teaney]  d  2  Z   Dxr ( ) Dxa ( ) exp  i  xa  M 0  GR xr   2      1 d   exp   2  xa Gsim xa  ,  M 0   2 2 zm       que como vimos da lugar a ec. generalizada de Langevin Langevin a partir de Hawking M 0 xr   dt ' GR (t , t ') xr (t ')   (t ),  (t ) (t ')  Gsim (t , t ')  ()  i  M  2 , G  2T  A bajas frecuencias G R sim  M 0  M  xr (t )   xr (t )   (t ),  (t ) (t ') con T M   2  2   T 2  2T  (t  t ') [Herzog,Karch,Kovtun,Kozcaz,Yaffe] [Herzog,Karch,Kovtun,Kozcaz,Yaffe; Gubser; Casalderrey-Solana,Teaney] Langevin a partir de Hawking La conexión con radiación de Hawking se da través de elección de c.b. en horizonte (térmicas) t '   t  x2 (t ) x1 (t ) t' t   Langevin a partir de Hawking Posible deducir mov. Browniano (ec.Langevin generalizada) a partir de números de ocupación térmicos para fluctuaciones en hoja de mundo [de Boer,Hubeny,Rangamani,Shigemori] t '   t  x2 (t ) x1 (t ) t' t   Langevin a partir de Hawking Además, si solo integramos grados de libertad de cuerda dentro de “horizonte estirado”… t  t '   z  zh x2 (t ) t' z  zh (1   ) x1 (t ) t   Langevin a partir de Hawking Además, si solo integramos grados de libertad de cuerda dentro de “horizonte estirado”… … se encuentra ec. de mov. estocástica para extremo de la cuerda en horizonte estirado [Son,Teaney]  z xr (t , ze )   xr (t )   e (t ),  e (t ) e (t ')  2T  (t  t ') La ec. de mov. clásica de cuerda hace que estas fluctuaciones se propaguen hasta el extremo en z  zm , reproduciendo resultado anterior Extensiones Posible generalizar análisis a pequeñas fluctuaciones alrededor de cuerda dual a quark con v=cte. [Giecold,Iancu,Mueller] Ese caso es más interesante, porque horizonte en espaciotiempo z  zh NO coincide con horizonte en hoja de mundo z  zh (1  v 2 )1/4 Radiación de Hawking relevante proviene de horizonte en hoja de mundo (se observa clara anisotropía entre direcciones paralela y perpendiculares a velocidad) Incluso a T=0 existe horizonte en hoja de mundo [Chernicoff,AG] (cuando quark se acelera) Queremos explorar fluctuaciones asociadas (cuánticas, NO térmicas)…