Modulador De M´ultiples Portadoras Para Canales

Transcript

´ MODULADOR DE MULTIPLES PORTADORAS PARA CANALES DISPERSIVOS Jajamovich, Guido H. ∗ Galarza, Cecilia G. ∗∗ ∗ Facultad de Ingenier´ıa. U.B.A. [email protected] ∗∗ Facultad de Ingenier´ıa. U.B.A. y CONICET [email protected] La modulaci´on con m´ ultiples portadoras por excelencia es la Modulaci´on Multitonal Discreta (DMT), basada en la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Sin embargo, la baja discriminaci´on en frecuencia de la DFT deteriora la performance del sistema. Para aliviar este problema, en este trabajo, se eval´ uan transformaciones basadas en bancos de filtros para ser usadas en lugar de la DFT. Se consideran transformaciones de reconstrucci´on perfecta y de reconstrucci´on aproximada as´ı como la t´ecnica de ecualizaci´on. Para estos casos se muestra que utilizando un banco de reconstrucci´on aproximada es posible disminuir la tasa de error sin aumentar la potencia transmitida. Palabras Claves: Modulaci´on con M´ ultiples Portadoras, Banco de Filtros, Ecualizaci´on ´ 1. INTRODUCCION La interferencia entre s´ımbolos (ISI) es uno de los principales inconvenientes a la hora de aumentar la tasa de transmisi´on a trav´es de canales dispersivos, en los cuales su ganancia y su fase dependen de la frecuencia. Esta dependencia con la frecuencia deforma los s´ımbolos que se env´ıan, haciendo que interfieran unos con otros en el receptor. Una posible opci´on para combatir el ISI consiste en ecualizar al canal en todas las frecuencias. Por ejemplo, para ecualizar el canal se ubica un filtro a la entrada del receptor. La cascada del ecualizador y el canal tiene una respuesta en frecuencia deseada. Para eliminar el ISI completamente, el ecualizador dise˜ nado deber´ıa invertir al canal. Esta soluci´on tiene el conocido problema de amplificaci´on del ruido en altas frecuencias. Un paliativo para este problema es dise˜ nar un ecualizador que minimice el error cuadr´atico medio entre la se˜ nal transmitida y la se˜ nal ecualizada. Este tipo de ecualizador es conocido como MMSE, que no adolece de los problemas de amplificaci´ on del ruido pero su performance es pobre. Para evitar estos problemas se recurre a ecualizadores no lineales, como en el caso del ecualizador DFE (Cioffi). Otra opci´on para combatir el ISI consiste en el uso de modulaciones con m´ ultiples portadoras (MCM). Aplicaciones tecnol´ogicas donde se utiliza esta modulaci´on son los servicios xDLS, su versi´on inal´ambrica llamada OFDM y Wi-Fi (norma 802.11a). Bajo este esquema de modulaci´on, el canal es divido en varios canales de menor ancho de banda, llamados subcanales. Si se logra que el canal tenga en cada subcanal respuesta en frecuencia constante, luego se evita el ISI entre los s´ımbolos transmitidos en cada subcanal. Se compensa el efecto del canal dividiendo por el valor de la respuesta en frecuencia ´ del canal. Esta es una forma de usar el ancho de banda disponible de forma eficiente, controlando AADECA 2006 - XX◦ Congreso Argentino de Control Automatico la potencia y el n´ umero de bits a transmitir en cada subcanal. El sistema MCM m´as utilizado en la actualidad es la modulaci´on multitonal discreta (DMT). Este esquema de modulaci´on utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT) para definir los subcanales independientes. Otra modalidad para utilizar el ancho de banda con m´ ultiples portadoras es definir subcanales con una mayor resoluci´on en las frecuencias como es el caso de la modulaci´on multitonal de onditas discretas (DWMT), la modulaci´on multitonal con bancos de filtros discretos, etc (Bingham (2000)). En este trabajo se eval´ ua el rendimiento de un sistema de comunicaci´on MCM en el cual se ecualiza linealmente el canal dispersivo. En particular, se consideran tres esquemas diferentes de modulaci´on multitonal. Para el canal ecualizado se muestra que un modulador basado en un banco de filtros de reconstrucci´on aproximada produce una probabilidad de error menor que DMT y que los sistemas de reconstrucci´on perfecta. La organizaci´on del trabajo es la siguiente: En la Secci´on (2) se presenta la modulaci´on con m´ ultiples portadoras; en la Secci´on (3) se muestra el uso de Bancos de Filtros como moduladores/demoduladores; en la Secci´on (4) se propone un dise˜ no posible para el ecualizador; en la Secci´on (5) se presentan resultados num´ericos y un posterior an´alisis. ´ CON MULTIPLES ´ 2. MODULACION PORTADORAS En la modulaci´on con m´ ultiples portadoras cada s´ımbolo transmitido es la superposici´on de se˜ nales linealmente independientes que forman una base. Cada elemento de la base es portadora de informaci´on. La demodulaci´on (recuperaci´on de la informaci´on) se realiza hallando la proyecci´on de la se˜ nal recibida sobre dicha base. En este caso se asocia a cada elemento de la base con un subcanal. Por ejemplo, el sistema multitonal define N subcanales en el dominio de las frecuencias. En este caso, el flujo de datos es dividido en N bloques y cada bloque es mapeado en una constelaci´on y enviado a trav´es de un subcanal o tono. Adem´as se busca que cada tono tenga un ancho de banda angosto para que la interferencia entre s´ımbolos (ISI) dentro del subcanal sea despreciable. Una modalidad para implementar este esquema es mediante la modulaci´on multitonal discreta (DMT), basada en la transformada discreta de Fourier (DFT). Es este caso, las funciones base son 2π φk (n) = ej N kn n = 1, .., N k = 0, .., N − 1 2 (1) Es decir, no se utilizan como portadoras tonos puros, sino el tono puro multiplicado por una ventana rectangular de largo N . Se ha comprobado que DMT es susceptible al ruido de banda angosta (Jajamovich and Galarza (2005a)). Para obtener una mayor inmunidad a este tipo de ruido se utilizan bases ortonormales con una mayor duraci´on temporal, logrando as´ı una mejor resoluci´on en frecuencia. Para no perder tasa de transmisi´on se requiere que las bases admitan solapamiento temporal, es decir, se busca ortonormalidad a desplazamientos en el tiempo. Por otro lado, relajando las condiciones de ortogonalidad es posible mejorar la probabilidad de error sin modificar la tasa de transmisi´ on. 3. BANCOS DE FILTROS EN SISTEMAS ´ CON MULTIPLES PORTADORAS Para lograr subcanales con alta resoluci´on en las frecuencias se dise˜ na el sistema de comunicaci´ on utilizando bancos de filtros como moduladores de la se˜ nal a enviar al canal. Se puede demostrar que el dise˜ no de moduladores/demoduladores con bancos de filtros es equivalente al problema del dise˜ no de bancos de an´alisis/s´ıntesis (Vaidyanathan (1992), Vetterli and Kovacevic (1995)). Para utilizar estos bancos de filtros como moduladores/demoduladores, se los utiliza en un esquema s´ıntesis/an´alisis como el que se muestra en la Fig.(1). El banco de s´ıntesis recibe la informaci´on a transmitir descompuesta en M subcanales y forma la se˜ nal a enviar. Asimismo, el banco de an´alisis descompone a la se˜ nal recibida buscando obtener la informaci´on enviada. Se espera que cada subcanal sea independiente, es decir, que la informaci´on que se ubica en un subcanal pueda ser recuperada sin interferencia de otros subcanales. Tambi´en se requiere que no haya interferencia entre s´ımbolos sucesivos. Como todos los subcanales viajan a trav´es del medio f´ısico al mismo tiempo, se necesita que ´estos sean linealmente independientes, de forma de poder recuperar la informaci´on de cada subcanal. En la Fig.(1) se representa el esquema de modulaci´on y demodulaci´on para un sistema de comunicaci´on con M portadoras. C(z) representa la respuesta del canal y R(n) ruido aditivo. Buscar que x bk (n) = xk (n) es equivalente a pedir que el banco sea de reconstrucci´on perfecta. Para el dise˜ no del banco se considera que el canal es ideal y que no hay ruido presente. AADECA 2006 - XX◦ Congreso Argentino de Control Automatico x0 (n) ↓M F0 (z) + C(z) 3 H0 (z) ↑M x b0 (n) HM−1 (z) ↑M x bM−1 (n) + R(n) xM−1 (n) ↓M FM−1 (z) Fig. 1. Banco de Filtros Utilizado como Modulador b Se puede demostrar que la salida X(z) de un banco de an´alisis (Hk (z)) seguido de un banco de s´ıntesis (Fk (z)) est´a relacionada con la entrada X(z) mediante (Vaidyanathan (1992)) M−1 1 X b Al (z)X(zW l ) X(z) = M (2) fk (n) = hk (N − 1 − n) (6) Por ejemplo, los bancos modulados de un filtro prototipo satisfacen esta condici´on. En particular, los bancos de filtros DFT forman los diferentes filtros hk (n) mediante modulaci´on exponencial de un filtro p(n). l=0 Donde los Al (z) para l = 1, .., M − 1 son las ganancias de los t´erminos de aliasing y A0 la ganancia de la se˜ nal de entrada y est´an dados por la Ec.(3). Al (z) = M−1 X Hk (zW l )Fk (z) k=0 0≤l ≤M −1 (3) b Es decir que la salida X(w) es una combinaci´on lineal de X(w) y sus desplazamientos (t´erminos de aliasing). Adem´as de este fen´omeno, X(w) se ve modificado en fase y en amplitud. Para evitar el aliasing debe pedirse que las ganancias de los t´erminos de aliasing sean nulas. Al (z) = 0 para 1 ≤ l ≤ M − 1 (4) Por lo que la Ec.(5), que representa la transferencia T (z) del sistema, resulta ser la ganancia restante. hk (n) = p(n)ej2πkn/M (7) Esto implica que, aunque el filtro prototipo sea real, los diferentes hk (n) van a ser complejos. Para evitar esto, se puede modular mediante coseno y no con la funci´on exponencial compleja. La idea es modular con la exponencial creando 2M canales y luego asociar pares de canales de forma tal de obtener una salida real cuando la entrada es real. Los bancos de filtros modulados por coseno son ampliamente utilizados debido a su implementaci´on optimizada via la descomposici´ on polif´asica (Vetterli and Kovacevic (1995)). Para el caso general de un banco de filtros obtenido a partir de un filtro prototipo P (z), la propiedad de reconstrucci´on perfecta determina condiciones sobre sus componentes polif´ asicas (Koilpillai and Vaidyanathan (1992)). Sin embargo, cuando N = 4M se puede llegar a una f´ormula cerrada y consiste en (5)   1 1 1 π h(n) = − √ + √ cos (n + ) (8) 2 2M 4 M 2 2M De donde se puede extraer el siguiente teorema que caracteriza a los bancos de reconstrucci´on perfecta. A este banco se lo conoce como ELT (transformaci´on con superposici´on extendida) (Vetterli and Kovacevic (1995)). M−1 1 X T (z) = A0 (z) = Hk (z)Fk (z) M k=0 Teorema (Vaidyanathan (1992)). Si Hk (z) y Fk (z) satisfacen la Ec.(4) y la funci´ on de transferencia es T (z) = cz −n0 , luego x b(n) = cx(n − n0 ), y el sistema se llama de reconstrucci´ on perfecta. Una condici´on posible para obtener T (z) con fase lineal es la siguiente: Hasta ahora se pidi´o que el banco sea de reconstrucci´on perfecta. Es interesante relajar las condiciones halladas en busca de caracter´ısticas espectrales favorables al esquema de modulaci´ on. En particular, si se cumple que el filtro P (z) es aproximadamente limitado en banda se minimizan los t´erminos de aliasing. AADECA 2006 - XX◦ Congreso Argentino de Control Automatico π |P (w)|2 ≃ 0 para |w| > 2M (9) En este caso, y si se cumple la Ec.(6), la transferencia T (z) se convierte en T (z) = M−1 X k=0 |Hk (z)|2 = 2M−1 X k=0 |Pk (zW k )|2 (10) En la u ´ ltima igualdad se utiliz´o el hecho de que los filtros Hk (z) son obtenidos a partir de la Ec.(7). Luego, para que no haya distorsi´on se busca satisfacer aproximadamente que T (w) = 2M−1 X k=0 |P (w − kπ/M )|2 ≃ 1 (11) ´ Esta es la condici´on de reconstrucci´on casi perfecta (o NPR) para filtros limitados en banda (Ec.(9)). Si se define G(w) = |P (w)|2 , la condici´ on (11) requiere que G(w) sea, aproximadamente, un filtro de Nyquist. T (w) = 2M−1 X k=0 |P (w − kπ/M )|2 = 2M−1 X k=0 (12) G(w − kπ/M ) ≃ 1 1 Esto equivale a g(2M n) ≃ 2M δ(n), donde δ(n) es la delta de Dirac (Lin and Vaidyanathan (1998)). Para dise˜ nar P (w) se supone que este filtro est´a parametrizado por un par´ametro real wc que se obtiene a partir del siguiente problema de optimizaci´on min max |g(2M n)| wc n,n6=0 En DMT se evita la interferencia entre s´ımbolos consecutivos al agregar un intervalo de guarda que consiste en una extensi´on c´ıclica de la forma de onda del s´ımbolo enviado (Cioffi). Si dicho intervalo es mayor que la respuesta impulsiva del canal, se conserva la ortogonalidad entre los subcanales a expensas de una disminuci´on en la tasa de transmisi´on. Por esta raz´on aparecen los ecualizadores en el tiempo (TEQ), cuyo objetivo es acortar la duraci´on de la respuesta impulsiva. Al utilizar sistemas con m´ ultiples portadoras con superposici´on temporal, no tiene sentido hablar de un intervalo de guarda. Sin embargo, es de notar que la superposici´on en el tiempo de las bases busca que los soportes de los subcanales en el dominio de las frecuencias no coincidan. Por lo tanto, un factor de amplitud no modifica su ortogonalidad. Sin embargo, la diferencia de fase que introduce el canal resulta en la p´erdida de la ortogonalidad entre un s´ımbolo y el mismo desplazado en el tiempo. Por lo tanto la ecualizaci´ on queda reducida a un tratamiento de la fase. Entonces el objetivo es dise˜ nar un ecualizador w(n) tal que la cascada g(n) entre el canal h(n) y el ecualizador tenga fase lineal. El requerimiento de fase se obtiene imponiendo que la respuesta impulsiva del canal sea sim´etrica alrededor de un punto. En este trabajo se utiliza la soluci´on w(n) que produce una respuesta impulsiva de la cascada g(n) con una simetr´ıa par dentro de una ventana de largo 2δ − 1 y se minimiza la energ´ıa fuera de esa ventana. La minimizaci´on se realiza sobre los posibles w(n), y se itera sobre los distintos centros de simetr´ıa δ (Jajamovich and Galarza (2005b)). Sean Nc y Nw el largo del canal y el largo del ecualizador, se puede plantear el problema de forma matricial resultando el siguiente problema de optimizaci´on (13) En el caso particular en que P (z) sea obtenido a partir de un filtro de respuesta en frecuencia ideal multiplicado por una ventana de Kaiser se comprueba que dicho criterio es una funci´on convexa de wc (Lin and Vaidyanathan (1998)). ´ EN SISTEMAS CON 4. ECUALIZACION ´ MULTIPLES PORTADORAS En un canal dispersivo la ganancia y la fase dependen de la frecuencia. Las se˜ nales enviadas a trav´es de cada subcanal son deformadas seg´ un el espectro del canal, lo cual resulta en interferencia entre canales (ICI) y en ISI. Ambos son inherentes a los sistemas con m´ ultiples portadoras (MCM). 4 min kAwk22 w dado  Cw = 0 dt w = 1 (14) La matriz A de (Nc + Nw − 2δ) × (Nw ) consiste en las u ´ ltimas filas de la matriz H que caracteriza al canal. La matriz C de (δ − 1) × (Nw ) caracteriza a la condici´on de simetr´ıa. d es un vector a determinar que se utiliza para evitar la soluci´ on w = 0. Para evitar un espacio soluci´on vac´ıo se requiere una matriz C con un n´ umero mayor de columnas que la dimensi´on del espacio generado por esas mismas columnas. Esto implica δ < Nw + 1. Por otro lado, para que exista la soluci´on hallada mediante el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, se obtiene que una condici´on necesaria y suficiente consiste en que δ ≤ Nc /2. La soluci´ on AADECA 2006 - XX◦ Congreso Argentino de Control Automatico kAwk22 −1 t del problema resulta en = (d M d) con d definido en la Ec. (14) y M es una matriz definida positiva. Por lo tanto, el vector d es el autovector asociado al mayor autovalor de M . 5. SIMULACIONES 5 sumando ruido de banda angosta con potencia igual a la potencia de se˜ nal. En las Fig. (3) y (4) se muestra la estimaci´ on de la probabilidad de error en funci´on de la frecuencia del ruido de banda angosta. 0.4 DMT El canal dispersivo a considerar se trata de un par telef´onico, es decir, un sistema que se puede modelizar como invariante en el tiempo, t´ıpicamente pasabajos, y de larga respuesta impulsiva. En particular, se utiliza un modelo que aproxima a la respuesta impulsiva descrita en DMT/TM-060032 (draft) y est´a dada por la Ec.(15). Probabilidad de Error 0.2 0 0 0.04 ELT 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.02 0 0 0.02 NPR 0.01 H(z) = −0.080 − 0.054z −1 + 0.594z −2 (15) 1 − 1.212z −1 + 0.259z −2 En la Fig.(2a) se muestra la respuesta impulsiva resultante del canal, teniendo en cuenta un largo de 100 puntos. En la misma figura (b y c) se muestran la respuesta impulsiva equivalente del Canal/Ecualizador y un acercamiento sobre las primeras doce etapas de dicha respuesta. El ecualizador utilizado tiene un largo Nw = 7. a) 0 0 Frecuencia de Ruido de Banda Angosta (×2π rad seg ) Fig. 3. Estimaci´ on de la Probabilidad de Error Vs. La Frecuencia de Ruido de Banda Angosta Es de importancia notar la diferencia de o´rdenes de magnitud en los ejes de la probabilidad de error estimada para cada una de las diferentes modulaciones en la Fig.(3). 0.2 0.18 0.6 amplitud 0.14 0.2 0.12 0 0.1 0 10 20 30 b) 40 50 t 70 80 amplitud 0.04 0.02 0.5 0 20 40 t 60 80 0.08 0.06 1 0.5 0 60 c) 1 amplitud Probabilidad de Error 0.16 0.4 DMT ELT NPR 0 0.375 0.38 0.385 0.39 Frecuencia de Ruido de Banda Angosta (×2π rad seg ) 0 2 4 6 t 8 10 12 Fig. 2. a) Respuesta Impulsiva del Canal; b) Respuesta Impulsiva de la Cascada Canal/Ecualizador; c) Acercamiento sobre la Respuesta Impulsiva del Sistema Equivalente Para todos las simulaciones se utiliz´o dicho ecualizador, produciendo un canal equivalente de largo Nc = 5, por lo que se utiliza DMT con un prefijo c´ıclico de cuatro muestras. Esto hace que la tasa de transmisi´on sea menor para este sistema que para los dem´as. Las otras dos modulaciones utilizadas en las simulaciones se basan, la primera, en la transformaci´on ELT, y la segunda en un banco de reconstrucci´on aproximada basado en la ventana de Kaiser (NPR). En ambos casos la longitud de las bases es de 4M . Se procedi´o a estimar la probabilidad de error enviando 105 bits en 128 canales, a trav´es del canal, Fig. 4. Comparaci´ on de las Estimaciones de la Probabilidad de Error Vs. La Frecuencia de Ruido de Banda Angosta Se puede ver la gran dependencia de la probabilidad de error con la frecuencia de ruido de banda angosta en DMT. Esto se debe a que, cuando el ruido coincide exactamente con la frecuencia de portadora, s´olo se perjudican dos canal (el canal en fase y el canal en cuadratura de una portadora), mientras que si no coincide, se degradan una gran cantidad de canales, aumentando la probabilidad de error (Fig.(5)). Por otro lado se experimenta con ruido blanco presente antes de la etapa de ecualizaci´on en lugar del ruido de banda angosta. Se not´o que para potencias de ruido elevadas, DMT posee una tasa mayor de errores. Esto se debe a que a la salida del ecualizador hay ruido correlacionado. Esto hace que el ruido deje de ser blanco, y posea mayor energ´ıa, en general, en frecuencias altas. De esta AADECA 2006 - XX◦ Congreso Argentino de Control Automatico probabilidad de error se mantiene aproximadamente constante pues, al tenerse una mayor resoluci´on en frecuencia, siempre son pocos los canales que se ven afectados, logrando adem´ as una probabilidad de error menor. Para el caso de la modulaci´on de reconstrucci´on aproximada se lograron canales mejor definidos en frecuencia por lo que el citado efecto es m´as notorio. 0.5 0.45 DMT ELT NPR 0.4 0.35 Probabilidad de Error 6 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 20 REFERENCIAS 25 30 35 40 ´Indice Canal 45 50 55 Fig. 5. Comparaci´ on de las Estimaciones de la Probabilidad de Error Por Canal forma, el ruido tienda a parecerse a ruido de banda angosta y ocurra el mismo efecto que el explicado anteriormente. 6. CONCLUSIONES En este trabajo se presentaron dos alternativas de m´ ultiples portadoras a la modulaci´on DMT. Ambas utilizan portadoras de mayor duraci´on temporal, logrando as´ı una mayor resoluci´on en frecuencia. De esta forma se alcanza una mayor inmunidad al ruido de banda angosta. En particular, para lograr una mayor resoluci´on en frecuencia, se propuso el uso de un banco de filtros de reconstrucci´on casi perfecta. Asimismo, se dise˜ n´o un ecualizador lineal para las modulaciones con reconstrucci´on perfecta y aproximada. Es de notar que este esquema de ecualizaci´on no implica una degradaci´on en la tasa de transmisi´on como ocurre con la adici´on del prefijo c´ıclico en DMT. La performance de los tres sistemas resulta similar frente a perturbaciones de ruido blanco. El error asociado al banco de reconstrucci´on aproximada puede ser considerado como un ruido adicional a la salida del canal. Se verific´o experimentalmente que la varianza de dicho ruido cumple con las siguientes observaciones: Cuando la SNR es favorable, la etapa de decisi´on hace que dicho ruido no provoque errores. Y cuando la SNR es desfavorable, el ruido sumado en el canal es tal que hace despreciable el ruido del sistema. Por otro lado, el ecualizador, adem´as de lograr un canal equivalente de fase aproximadamente lineal, acorta la respuesta impulsiva, haciendo que la interferencia sea con una menor cantidad de s´ımbolos, por lo que mejora la performance de los tres sistemas de comunicaci´on. Asimismo permite su uso como el cl´asico ecualizador en el dominio del tiempo (TEQ) de DMT. Finalmente, Ante perturbaciones de ruido de banda angosta en los sistemas ELT y NPR, la J.A.C Bingham. ADSL, VDSL, and Multicarrier Modulation. John Wiley and Sons, 2000. J. Cioffi. Apuntes de clases, cap´ıtulo iv. DMT/TM-06003-2(draft). Transmision and multiplexing (tm): Acess transmission systems on metallic acces cables; very high speed digital subscriber line (vdsl), part 2: Tranceiver specifications. G.H. Jajamovich and C.G. Galarza. Impacto del ruido de banda angosta sobre sistemas con m´ ultiples portadoras. 2005a. G.H. Jajamovich and C.G. Galarza. Ecualizaci´ on en sistemas con m´ ultiples portadoras. 2005b. R.D. Koilpillai and P.P. Vaidyanathan. Cosinemodulated fir filter banks satisfying perfect reconstruction. In IEEE Transactions On Signal Processing, 1992. Y. Lin and P.P. Vaidyanathan. A kaiser window approach for the design of prototype filters of cosine modulated filterbanks. In IEEE Signal Processing Letters, 1998. P. P. Vaidyanathan. Multirate Systems and Filter Banks. Prentice Hall Signal, 1992. P. P. Vaidyanathan, Yuan-Pei Lin, S. Akkarakaran, and See-May Phoong. Discrete multitone modulation with principal component filter banks. M. Vetterli and J. Kovacevic. Wavelets and Subhand Coding. Prentice Hall, 1995. A. Viholainen, J. Alhava, J. Helenius, J. Rinne, and M. Renfors. Equalization in filter bank based multicarrier systems. 1999.