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CAPITULO 5 Determinación de La Dimensión Fractal
Análisis de Resultados Experimentales El patrón de difracción de las curvas fractales tiene diferentes variaciones en intensidad a lo largo del eje μ y a lo largo del eje ν. Cuando las variaciones son diferentes a lo largo de diferentes ejes es de gran importancia realizar un análisis en ambos ejes, como aquel empleado en métodos modernos de tomografía de tipo multislice /16/. Para determinar cómo es esta variación en intensidad se realizan escaneos a lo largo de estas direcciones. Estos resultados indican que, en mediciones de irradiancia a lo largo del eje μ de cada patrón de difracción de una curva fractal decaen en comparación en su magnitud de manera exponencial a medida que se aumenta la dimensión fractal de la curva. De una manera similar, en mediciones de intensidad luminosa del patrón de difracción de las curvas fractales a lo largo del eje ν, aumentan en magnitud de manera exponencial a medida que se aumenta la dimensión fractal de la curva.
μ'
ν' Figura 5.1- Patrón de difracción por una rendija para N=3. Mediciones del perfil de intensidad a lo largo del eje μ y eje ν son necesarias para el análisis del patrón de difracción. Los patrones de difracción para la curva triádica de Koch son simétricos con respecto al origen y solo requerimos de un análisis parcial sobre los ejes. Los valores numéricos son tomados con referencia al sistema de coordenadas μ’, ν’
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La magnitud de la intensidad luminosa a lo largo de los ejes μ y ν del patrón de difracción, con respecto un sistema coordenado μ’ y ν’, como se muestra en la figura 5.1, sigue una curva que del extremo del mínimo de intensidad hasta el centro de máxima intensidad, puede ser aproximada por medio de una curva exponencial de la forma
a ⋅ exp{x + d }
……………………………………..(5.1)
Donde a es un factor de magnitud, mientras que el ajuste de las aproximaciones se da en la variable d. La variable d, al igual que la variable x, son variables con unidades de distancia. En mediciones de la distribución de intensidades a lo largo del eje μ, las aproximaciones exponenciales decrecen de manera que la cantidad escalar d resulta progresivamente menor en respuesta al aumento de la dimensión fractal de la curva. Con respecto a mediciones a lo largo del eje ν, las aproximaciones por medio de curvas exponenciales resultan con un incremento progresivo de d conforme el aumento de la dimensión fractal. Puesto que las fotografías digitales de los patrones de difracción fueron analizadas por medio de un software para imágenes (Jview), la intensidad del patrón de difracción es medida en términos del sistema RGB. En el sistema RGB se considera el mínimo de intensidad luminosa como 0 (color digital negro), mientras que el máximo de intensidad luminosa toma el valor numérico de 255. Cada patrón de difracción entonces puede ser caracterizado por 2 números escalares que corresponden al exponente d necesario para aproximar de manera exponencial a la curva correspondiente a la magnitud de la intensidad luminosa en cada eje: dμ y dν. Estos dos números nos proveen de una manera sencilla de caracterizar cada patrón de difracción por medio de una combinación lineal de la forma:
Dexp = b(d y − d x ) + c ………………………………..(5.2)
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a)
b)
Intensidad RGB
Intensidad RGB
200 200
150
150
100
100 μ
0.5
1
1.5
2
2.5
ν
3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Grafica 5.1- Análisis sobre medio eje del Patrón de difracción por una rendija para N=3. Mediciones del perfil de intensidad a) a lo largo del eje μ y b) a lo largo del eje ν Los patrones de difracción para la curva triádica de Koch son simétricos y solo requerimos de un análisis parcial sobre los ejes, desde el extremo del mínimo de intensidad hasta el máximo de intensidad central. La intensidad es medida de manera digital en formato RGB siendo RGB-255 equivalente al máximo de intensidad. Las mediciones son con respecto al sistema coordenado μ’, ν’.
N
dμ
dν
dν- dμ
0
2.2925
0.7017
-1.5908
1
2.0400
0.7052
-1.3348
2
1.7960
0.7407
-1.0552
3
1.4354
0.8472
-0.5882
4
0.8500
1.1777
0.3277
5
0.7887
1.4971
0.7084
6
0.4550
1.5815
1.1265
7
0.3961
1.6947
1.2986
Tabla- 5.1 -valores numéricos obtenidos al ajustar una curva exponencial del tipo
a ⋅ exp{x + d } a los datos obtenidos experimentalmente. Los parámetros dν y dμ se refieren al ajuste exponencial sobre mediciones a lo largo de los ejes μ y ν respectivamente. La combinación lineal de los parámetros nos permite caracterizar cada patrón por medio de un número escalar.
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En la ecuación 5.2, b y c son constantes fijas. La constante b tiene unidades de longitud inversa, mientras que c es una cantidad adimensional. Para el caso de difracción por una rendija con la curva fractal de Koch de nivel N obtenemos para la aproximación exponencial un parámetro dμ sobre el eje μ y un parámetro dν sobre el eje ν.
Aproximación Exponencial (exp[x+d]) parámetro d 2.5 2.0 1.5
d(m)
1.0
d(v)
0.5 0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
Nivel de la Curva de Koch (N)
Gráfica 5.2- -valores numéricos obtenidos al ajustar una curva exponencial del tipo a ⋅ exp{x + d } a los datos obtenidos experimentalmente. Los parámetros d(μ) y d(ν) se refieren al ajuste exponencial sobre mediciones a lo largo de los ejes x y y respectivamente. El parámetro d(μ) es inversamente proporcional con respecto al aumento del nivel de la cuerva de Koch.; mientras que el parámetro d(ν) es directamente proporcional al aumento del mismo.
Difracción por una rendija, a=0.04mm
Los parámetros dμ y dν obtenidos del análisis de los resultados experimentales nos indican una dependencia con respecto al parámetro N, el nivel de la curva de Koch. Al aumentar el parámetro N se aumenta la dimensión fractal de la curva. Por su parte, el parámetro dμ es inversamente proporcional con respecto al aumento del nivel de la cuerva de Koch.; mientras que el parámetro dν es directamente proporcional al aumento del mismo. Una combinación lineal como la que se puede apreciar en la tabla nos permite entonces 45
caracterizar a cada patrón de difracción con un número adimensional Dexp como se aprecia en la tabla 5.2 y la gráfica 5.3. Las constantes b y c tomaron un valor durante este análisis de
b=
1 −1 [m ] 10
c = 1.15
………………………………..(V.3) ………………………………..(V.4)
N
D=b(d(ν)-d(μ))+c
0
0.991
1
1.017
2
1.044
3
1.091
4
1.183
5
1.221
6
1.263
7
1.280
Tabla- 5.2 Podemos, mediante una combinación lineal de los parámetros dμ y dy obtener un número que caracterice a cada curva de manera experimental. La magnitud de este número, Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento de nivel de las primeras iteraciones de la curva de Koch.
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Aproximación Exponencial Dexp=b(dy-dx)+c
parámetro Dexp 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8
Dexp
0
1
2
3
4
5
6
7
Nivel de la Curva de Koch (N)
Gráfica-5.3- La combinación lineal Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento del número de iteraciones de la curva de Koch.
El parámetro adimensional Dexp entonces aumenta conforme a la dimensión fractal de la curva. En la tabla 5.3 se muestran en la columna izquierda el nivel de la curva (N) seguido de su expresión geométrica, y su respectiva dimensión fractal tanto teórica como experimental. Una comparación de estas dos dimensiones nos indica que el método experimental óptico propuesto en este trabajo arroja resultados semejantes a los teóricos.
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Dimensión Fractal Teórica D
Dimensión Fractal Experimental Dexp
N=0
D=1.000
Dexp=0.991
N=1
D=1.048
Dexp=1.017
N=2
D=1.110
D exp=1.044
N=3
D=1.166
D exp=1.091
N=4
D=1.186
D exp=1.183
N=5
D=1.257
D exp=1.221
N=6
D=1.286
D exp=1.263
N=7
D=1.294
D exp=1.280
Nivel de la Curva
Geometría Correspondiente
Tabla 5.3 –El parámetro Dexp nos permite obtener una aproximación óptica experimental a la dimensión fractal de la curva de Koch de nivel N=0,1,2,…,7. comparada con la dimensión fractal teórica
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Interferencia por dos rendijas, a=0.04mm, d=0.25mm
El análisis descrito para patrones de difracción por una apertura con estructura fractal de ancho a=0.04mm se aplica de igual manera al análisis de patrones de interferencia por dos rendijas con estructura fractal con ancho individual de a=0.04mm y una distancia de separación entre ellos de d=0.25mm. El análisis nos permite de igual manera obtener 2 cantidades, dμ y dν. Estas cantidades son analizadas e interpretadas de la misma manera que la interpretación de las cantidades obtenidas para patrones de difracción. De esta manera se obtiene una relación descrita por la tabla 5.4 y visualizada en la grafica 5.4. Las constantes b y c tienen el mismo valor que aquellos empleados para el análisis de los patrones de difracción (eq 5.3, 5.4). Los patrones de interferencia entonces nos proveen también de la información necesaria para poder caracterizar a la curva fractal, como se visualiza en la tabla 5.5 y la grafica 5.5.
N
d(μ)
d(ν)
d(ν)-d(μ)
0
1.7204
0.4788
-1.2416
1
1.5065
0.7356
-0.7709
2
1.1799
0.9806
-0.1993
3
0.9892
1.1483
0.1591
4
0.7349
1.1810
0.4461
5
0.6761
1.6604
0.9843
6
0.5893
1.6936
1.1043
7
0.3961
1.6947
1.2986
Tabla- 5.4 Mediante una combinación lineal de los parámetros dμ y dy podemos obtener un número que caracterice a cada perfil de intensidad del patrón de interferencia de manera experimental. La magnitud de este número, Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento de nivel de las primeras iteraciones de la curva de Koch. Los valores b y c son los mismos usados en el análisis de patrones de interferencia.
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Aproximación Exponencial (exp[x+d]) parámetro d 2.0 1.5 d(m)
1.0
d(v)
0.5 0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
Nivel de la Curva de Koch (N) Gráfica 5.4- -Valores numéricos obtenidos al ajustar una curva exponencial del tipo
a ⋅ exp{x + d } a los
datos obtenidos experimentalmente. Los parámetros d(μ) y d(ν) se refieren al ajuste exponencial sobre mediciones a lo largo de los ejes μ y ν del patrón de interferencia respectivamente. El parámetro d(μ) es inversamente proporcional con respecto al aumento del nivel de la cuerva de Koch.; mientras que el parámetro d(ν) es directamente proporcional al aumento del mismo.
N
D=b(d(ν)-d(μ))+c
0
1.026
1
1.073
2
1.130
3
1.166
4
1.195
5
1.248
6
1.260
7
1.280
Tabla- 5.5 Es posible, mediante una combinación lineal de los parámetros dμ y dν obtener un número que caracterice a cada patrón de interferencia de manera experimental. La magnitud de este número, Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento de nivel de las primeras iteraciones de la curva de Koch.
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Aproximación Exponencial Dexp=b(dy-dx)+c
parámetro Dexp 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8
Dexp
0
1
2
3
4
5
6
7
Nivel de la Curva de Koch (N)
Gráfica-5.5- La combinación lineal Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento del número de iteraciones de la curva de Koch. Esta relación nos permite aproximar de manera experimental la dimensión fractal de cada curva.
Interferencia por dos rendijas, a=0.04mm, d=0.75mm
De igual manera se entiende el análisis a un patrón de difracción para dos rendijas con ancho individual de 0.04mm y una separación de 0.75 mm. Los resultados de las cantidades dμ y dν son analizados e interpretados de la misma manera que la interpretación de las cantidades obtenidas para patrones de difracción de una sola rendija. Se obtiene una relación descrita por la tabla 5.6 y visualizada en la grafica 5.6. Las constantes b y c tienen el mismo valor que aquellos empleados para el análisis de los patrones de difracción para una sola rendija (eq 5.3, 5.4). Los patrones de interferencia nos proveen también de la información necesaria para poder caracterizar a la curva fractal, como se visualiza en la tabla 5.7 y la grafica 5.7.
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N
d(μ)
d(ν)
d(ν)-d(μ)
0
1.89638
0.208601
-1.6878
1
1.62726
0.218466
-1.4088
2
1.37579
1.14329
-0.2325
3
1.18759
1.34111
0.1535
4
1.26159
1.53394
0.2724
5
1.15905
1.45307
0.2940
6
0.830548
1.56654
0.7360
7
0.752311
2.15324
1.4009
Tabla- 5.6 Mediante una combinación lineal de los parámetros dμ y dν podemos obtener un número que caracterice a cada perfil de intensidad del patrón de interferencia para una distancia de separación entre rendijas de 0.75 mm. La magnitud de este número, Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento de nivel de las primeras iteraciones de la curva de Koch. Los valores b y c son los mismos usados en el análisis de patrones de interferencia.
Aproximación Exponencial (exp[x+d]) parámetro d 2.5 2.0 1.5
d(m)
1.0
d(v)
0.5 0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
Nivel de la Curva de Koch (N)
Gráfica 5.6- -Valores numéricos obtenidos al ajustar una curva exponencial del tipo a ⋅ exp{x + d } a los datos obtenidos experimentalmente. Los parámetros d(μ) y d(ν) se refieren al ajuste exponencial sobre mediciones a lo largo de los ejes μ y ν del patrón de interferencia respectivamente.
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N
D=b(d(ν)-d(μ))+c
0
0.981
1
1.009
2
1.127
3
1.165
4
1.177
5
1.179
6
1.224
7
1.290
Tabla- 5.7 Se obtiene mediante una combinación lineal de los parámetros dμ y dν un número que caracteriza a cada patrón de interferencia de manera experimental. La magnitud de este número, Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento de nivel de las primeras iteraciones de la curva de Koch.
Aproximación Exponencial Dexp=b(dy-dx)+c
parámetro Dexp 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8
Dexp
0
1
2
3
4
5
6
7
Nivel de la Curva de Koch (N)
Gráfica-5.7- La combinación lineal Dexp aumenta experimentalmente conforme el aumento del número de iteraciones de la curva de Koch. Esta relación nos permite aproximar de manera experimental la dimensión fractal de cada curva por medio del análisis de su patrón de difracción.
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Interpretación de Resultados
Los resultados experimentales nos indican que es posible caracterizar por medio de un análisis en dos dimensiones a cada patrón de difracción originado por una curva de Koch de distinta dimensionalidad. El análisis de estos patrones permite aproximar de una manera efectiva la dimensión fractal de cada curva. Este método alternativo al conteo de cajas para caracterizar la dimensionalidad de la curva de Koch se extiende de igual manera al análisis del patrón de interferencia generado por dos curvas de Koch. No obstante, el fenómeno de interferencia añade un comportamiento adicional a los parámetros dμ sobre el eje μ y un parámetro dν sobre el eje ν que aquellos obtenidos en los patrones de difracción. No obstante, es posible obtener al igual que con el análisis de los patrones de difracción, una caracterización de cada patrón de difracción que nos indique la dimensionalidad de las curvas de Koch que lo ocasionan.
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