Loe - Programación De Matemáticas 2015-16

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PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS I.E.S. “HERNÁN PÉREZ DEL PULGAR” Ciudad Real Curso 2015/2016 INDICE • INTRODUCCIÓN 5 • COMPOSICIÓN DEL DEPARTAMENTO 7 • PROGRAMACIONES DIDÁCTICAS. EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA • METODOLOGÍA. 8 • ACTIVIDADES. 9 • COMPETENCIAS BÁSICAS. 10 • CURRÍCULO. 12 • OBJETIVOS DE LA ETAPA. SEGUNDO DE ESO - Competencias Objetivos y contenidos por unidades didácticas. Contenidos mínimos. Criterios de evaluación. Temporalización. 12 13 13 15 29 31 33 CUARTO DE ESO MATEMÁTICAS A. - Competencias - Objetivos y contenidos por unidades didácticas. - Contenidos mínimos. - Criterios de evaluación. - Temporalización. 34 34 36 50 52 54 MATEMÁTICAS B. - Competencias - Objetivos y contenidos por unidades didácticas. - Contenidos mínimos. - Criterios de evaluación. - Temporalización. 55 55 57 70 72 74 2 • LA EVALUACIÓN EN LA ESO - 75 PLAN DE RECUPERACIÓN DE ALUMNOS CON MATEMÁTICAS PENDIENTES 78 • SECCIONES EUROPEAS 79 • TEMAS TRANSVERSALES. 83 • MATERIAL Y RECURSOS DIDÁCTICOS. 84 • MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. 85 • ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES. 86 • COORDINACIÓN CON OTROS DEPARTAMENTOS. 86 3 BACHILLERATO • • • • • • METODOLOGÍA COMPETENCIAS BÁSICAS CURRÍCULO ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA OBJETIVOS GENERALES DE MATEMÁTICAS I Y II MATEMÁTICAS II - Contenidos generales de matemáticas II - Programación de las unidades didácticas - Procedimientos y métodos matemáticos - Criterios de evaluación - Temporalización • 87 87 90 91 91 93 95 96 98 102 129 132 133 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II INTRODUCCIÓN 134 COMPETENCIAS BÁSICAS 135 CURRÍCULO 137 OBJETIVOS GENERALES 137 MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES II • Contenidos • Criterios de evaluación • Programación de las unidades didácticas • Temporalización 139 139 140 142 163 • MATERIAL Y RECURSOS DIDÁCTICOS • PLAN DE RECUPERACIÓN DE ALUMNOS CON MATEMÁTICAS PENDIENTES DE CURSOS ANTERIORES 165 • 164 EVALUACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE 166 4 INTRODUCCIÓN La elaboración de esta programación didáctica se ha realizado siguiendo las directrices de: • Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, aprobado por el Ministerio de Educación y Ciencia (MEC) y que establece las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria como consecuencia de la implantación de la Ley Orgánica de Educación (LOE)- Desarrollado en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha por el Decreto 69/2007, de 29 de mayo, por el que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria para esta comunidad. • Decreto 85/2008, de 17 -06-2008, por el que se establece y ordena el currículo del bachillerato en la comunidad autónoma de Castilla la Mancha. • Orden de 02/07/2012, de la Consejería de Educación, Cultura y Deportes, por la que se dictan instrucciones que regulan la organización y funcionamiento de los institutos de Educación Secundaria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha. Esta programación trata de atender los principios educativos prioritarios establecidos en el Proyecto Educativo del Centro como son: 1. Conseguir que el alumno sea capaz de vivir en una sociedad democrática y pluralista, respetando y valorando a los demás, fomentando actitudes tolerantes y no discriminatorias, rechazando la violencia, utilizando respetuosamente el lenguaje en la relación con los demás y promoviendo debates en el aula en el mejor clima de serenidad y respeto con las opiniones de los demás y las decisiones adoptadas mayoritariamente. 2. Lograr que el alumno desarrolle el sentido de la responsabilidad y el gusto por el trabajo bien hecho: valorando el esfuerzo y trabajo como elementos indispensables en el progreso y formación de la persona, valorando el trabajo en equipo y tratando adecuadamente los materiales de uso personales y comunes al resto de la comunidad escolar. 3. Conseguir un método y unos esquemas de trabajo que faciliten al alumno el desarrollo de las diferentes destrezas: intelectuales, físicas y artísticas. 5 En su realización se han tenido en cuenta también las características propias del alumnado del centro; un alumnado dentro de la normalidad en el entorno en que se encuentra, con una mayoría de familias de nivel medio-bajo, tanto en su situación económica como en nivel de estudios y con un todavía pequeño, pero cada vez más elevado número de alumnos inmigrantes procedentes en su mayoría de América del Sur, Marruecos y Rumanía. Por último, en el desarrollo de la misma se han considerado fundamentales aspectos propios de las Matemáticas, tales como: - Su carácter instrumental, que las hace imprescindibles para otras Ciencias. - Su valor como lenguaje universal. - Su carácter práctico y su aplicación a la resolución de problemas reales. - Su valor formativo, que potencia en los alumnos la consolidación de estructuras mentales. - Fomentan la capacidad de razonamiento. Proporcionan a los alumnos un conjunto de herramientas que les permitirán moverse con responsabilidad y seguridad en su entorno social. 6 COMPOSICIÓN MATEMÁTICAS DEL DEPARTAMENTO DE El Departamento de Matemáticas de este centro está constituido el presente curso académico por los siguientes profesores y profesoras: • ASCENSIÓN DONOSO - 1º ESO comunes. • Mª VICTORIA GONZÁLEZ PEÑA (JEFA DEL DEPARTAMENTO) - 1º ESO Bilingüe 2 grupos. (A/B, C/D) - 4º ESO Bilingüe 2 grupos. (A, B) - 2º Bachillerato. Mat aplic. C. Sociales II. • TERESA MUÑOZ GIMÉNEZ - 2º ESO Bilingüe 2 grupos. (A/B, C/D) - 3º ESO Bilingüe 2 grupos. Matemáticas Académicas. (A/B, C/D) - 1º Bachillerato. Matemáticas I. • INMACULADA ESPEJO - 2º ESO comunes - 3º ESO comunes. Matemáticas Académicas. - 4º ESO Mat B - 1º Bachillerato. Mat Aplic. C. Sociales I. • MARÍA ZAPATA DUMONT. - 1º ESO comunes. - 3º ESO comunes. Matemáticas Académicas. - 4º ESO Mat A - 1º Bachillerato. Matemáticas I. (C) - 2º Bachillerato. Matemáticas II. (B) (DEPARTAMENTO DE CIENCIAS) (A/B) (A) (D) 2 grupos. (A/B, C/D) (C/D) (A/B/C) (A/B) (C/D) (A/B) (B/C) 7 PROGRAMACIONES DIDÁCTICAS EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA 1. METODOLOGÍA El aprendizaje matemático, que tradicionalmente ha sido considerado como imprescindible en la enseñanza obligatoria se ha modificado progresivamente en función de los cambios operados en los modelos de organización social y, consecuentemente, en las ideas y planteamientos sociales (de hecho, cada vez se necesita poseer mayores destrezas matemáticas para cualquier aprendizaje que se quiera efectuar). En consecuencia, este aprendizaje proporciona a los adolescentes la oportunidad de descubrir las posibilidades de su propio conocimiento y afianzar su personalidad, además de dotarle de un fondo cultural necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para acceder al conocimiento de otras ramas de la ciencia y áreas curriculares, es decir, es considerada fundamentalmente como una materia y un aprendizaje instrumental, sin el que otros conocimientos en materias afines difícilmente podrían alcanzarse. Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, se adoptarán los siguientes principios metodológicos: - Tratamiento de la diversidad. - Aprendizaje significativo. - Enfoque global e integrador. - Partir de experiencias y aprendizajes de la vida real que posean los alumnos. - Motivación y enfoques lúdicos. - Aprovechar las situaciones de convivencia y respeto a las normas. - Utilización de modelos activos y participativos. - Tratamiento específico del cálculo. - Valoración de los aspectos formales. - Creatividad. - El alumno será el protagonista de su propio aprendizaje. - Se huirá del aprendizaje mecánico. - Se propiciará el aprendizaje significativo. - La metodología será activa y participativa. - Se partirá de las capacidades actuales del alumno, evitando trabajar por encima de su desarrollo potencial. - Se dará una proyección práctica de los contenidos aplicando los mismos a situaciones de la vida cotidiana. - Se favorecerá la autoestima y el equilibrio emocional evitando en el grupo situaciones discriminatorias. - Se plantearán actividades con distinto grado de dificultad para atender a la diversidad del alumnado, así se plantearán actividades de refuerzo y afianzamiento para alumnos con dificultades de aprendizaje y alumnos repetidores y actividades de profundización y ampliación para alumnos con mayor capacidad de aprendizaje, así como alumnos que repiten con la asignatura aprobada. - Se potenciará el uso de los recursos TIC (Tecnologías de la Información y la comunicación) 8 2. ACTIVIDADES Debido al tratamiento que deben tener las competencias básicas, a la explicación y desarrollo de los distintos contenidos le seguirá la realización de diversas actividades de comprobación de conocimientos. La profundización que puede hacerse con cada una de ellas, sobre todo las que trabajan los contenidos iniciales de la unidad, estará en función de los conocimientos previos que el profesor haya detectado en los alumnos mediante las actividades / preguntas de diagnóstico inicial, y que parten de aspectos muy generales pero imprescindibles para regular la profundización que debe marcar el proceso de aprendizaje del alumno y para establecer estrategias de enseñanza. Además de las citadas actividades de desarrollo de los contenidos y de comprobación de los conocimientos, unas de gran importancia en esta materia son las de carácter procedimental, que versan en torno a la lectura, a la búsqueda de información, a la aplicación del método científico, a la interpretación de datos e información..., es decir, a toda una serie de procedimientos o destrezas que el alumno debe conocer en profundidad porque los utilizará permanentemente en los cuatro cursos de esta etapa educativa (y que le permite formarse también en algunas de las competencias básicas), en suma, lo que en el currículo figura agrupado en el bloque de contenidos denominado planteamiento y resolución de problemas. En un proceso de enseñanza-aprendizaje basado en la identificación de las necesidades del alumno, es fundamental ofrecer a cada uno de ellos cuantos recursos educativos sean necesarios para que su formación se ajuste a sus posibilidades, en unos casos porque estas son mayores que las del grupo de clase, en otras porque necesita reajustar su ritmo de aprendizaje. Para atender a la diversidad de niveles de conocimiento y de posibilidades de aprendizaje de los alumnos del grupo, se proponen actividades diferenciadas de ampliación y de refuerzo. Se realizarán en la medida de lo posible, actividades mediante la utilización de recursos tecnológicos. 9 3. COMPETENCIAS CLAVE Las competencias básicas, desde el proceso de enseñanza, son aquellos conocimientos, destrezas y actitudes necesarios para que una persona alcance su desarrollo personal, escolar y social. La competencia la demuestra el alumno cuando es capaz de actuar, de resolver, de producir o de transformar la realidad a través de las tareas que se le proponen. En nuestro sistema educativo se considera que las competencias básicas que debe tener el alumno cuando finaliza su escolaridad obligatoria para enfrentarse a los retos de su vida personal y laboral son las siguientes: Competencia en comunicación lingüística. Competencia matemática. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. Competencia en el tratamiento de la información y competencia digital. Competencia social y ciudadana. Competencia cultural y artística. Competencia para aprender a aprender. Competencia en autonomía e iniciativa personal. Competencia emocional. Esta materia contribuye al desarrollo de todas las competencias básicas de la forma que posteriormente se expone aunque de forma más específica educa el uso de la competencia matemática a través del razonamiento, las estrategias de resolución de problemas, los mecanismos del cálculo, la medida o las formas. COMPETENCIA MATEMÁTICA Esta competencia es la de mayor relevancia que puede adquirirse en esta materia, ya que todos sus contenidos están orientados a la adquisición de los conocimientos, destrezas y actitudes propios del razonamiento matemático, a la comprensión de argumentos matemáticos, a la comunicación en el lenguaje matemático, etc. COMPETENCIA EN EL TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL Esta competencia adquiere todo su sentido cuando las herramientas tecnológicas se incorporan al proceso educativo como recurso didáctico y cuando se utilizan integradamente los distintos tipos de lenguaje (numérico, gráfico, geométrico...) para interpretar la realidad. COMPETENCIA PARA APRENDER A APRENDER Si esta competencia permite que el alumno disponga de habilidades o de estrategias que le faciliten el aprendizaje a lo largo de su vida (autonomía, perseverancia, sistematización, reflexión crítica...) y que le faciliten construir y transmitir el conocimiento matemático, supone también que pueda integrar estos nuevos conocimientos en los que ya posee y que los pueda analizar teniendo en cuenta los instrumentos propios del método científico. 10 COMPETENCIA SOCIAL Y CIUDADANA La adquisición de esta competencia incide en la capacidad de las matemáticas (análisis funcional y estadística, sobre todo) para aportar criterios científicos y racionales en la predicción de fenómenos sociales y en la toma de decisiones. COMPETENCIA EN EL CONOCIMIENTO Y LA INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO El desarrollo de la visión espacial es uno de los aspectos más importantes de esta competencia junto con la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio, el mundo físico, en definitiva. COMPETENCIA EN COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA En la materia de Matemáticas, esta competencia se adquiere mediante la expresión oral y escrita de las ideas, de los procesos realizados y razonamientos seguidos en la resolución de problemas, etc. Además, incrementa el vocabulario del alumno por el uso de una terminología específica, en este caso de marcado carácter simbólico y abstracto. COMPETENCIA EN LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL Esta competencia parte de la necesidad de que el alumno, mediante la resolución de problemas, desarrolle habilidades intelectuales basadas en el pensamiento crítico y científico y destierre dogmas y prejuicios ajenos a la ciencia. COMPETENCIA CULTURAL Y ARTÍSTICA Esta competencia se adquiere cuando se conciben las formas geométricas como un elemento de expresión artística y cultural, de expresión de la belleza de las formas que ha creado el ser humano y de las que están en la naturaleza, capaces de hacer expresar la creatividad, la sensibilidad... EMOCIONAL En esta materia se alcanza cuando el alumno es capaz, entre otras cosas, de abordar con naturalidad el estudio de sus contenidos, cuando pierde el miedo que suele atenazar el desarrollo de sus posibilidades de aprendizaje, es decir, cuando confía en sí mismo. 11 4. CURRÍCULO OBJETIVOS DE LA ETAPA. 1. Utilizar el lenguaje y modos de razonamiento y argumentación matemática en los procesos científicos para reconocer, cuantificar, analizar y resolver situaciones reales. 2. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación. 3. Analizar relaciones funcionales dadas en forma de tablas o gráficas para interpretar fenómenos sociales, físicos, económicos y naturales presentes en la vida cotidiana y el mundo de la información. 4. Emplear los métodos y procedimientos estadísticos y probabilísticos para enjuiciar la realidad o las informaciones que de ella ofrecen los medios de comunicación, la publicidad, Internet u otras fuentes de información; analizar críticamente la función que desempeñan y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 5. Resolver problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias, procedimientos y recursos matemáticos, valorando la conveniencia de los mismos en función del análisis de los resultados y utilizar estrategias personales demostrando confianza en la propia competencia y una actitud positiva hacia una respuesta rigurosa ante estas situaciones 6. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 7. Valorar las Matemáticas como parte integrante de la cultura histórica y actual, y aplicar las competencias matemáticas adquiridas como herramienta de aprendizaje para el conjunto de las materias y para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica. 12 SEGUNDO DE ESO 1. COMPETENCIAS. Las competencias básicas, desde el proceso de enseñanza, son aquellos conocimientos, destrezas y actitudes necesarios para que una persona alcance su desarrollo personal, escolar y social. La competencia la demuestra el alumno cuando es capaz de actuar, de resolver, de producir o de transformar la realidad a través de las tareas que se le proponen. Al finalizar segundo de ESO, el alumno debe haber alcanzado las siguientes competencias en el modo que se indica: COMPETENCIA MATEMÁTICA - Utilizar el pensamiento matemático para interpretar y describir la realidad, así como para actuar sobre ella. - Aplicar destrezas y desarrollar actitudes para razonar matemáticamente. - Comprender una argumentación matemática. - Expresarse y comunicarse a través del lenguaje matemático. - Utilizar e integrar el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y enfrentarse a situaciones cotidianas de diferentes grados de complejidad. COMPETENCIA EN EL TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL o Manejar herramientas tecnológicas para resolver problemas. o Utilizar el lenguaje gráfico y estadístico para interpretar la realidad representada por los medios de comunicación. o Manejar los lenguajes natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico para relacionar el tratamiento de la información con su experiencia. COMPETENCIA PARA APRENDER A APRENDER o Desarrollar la curiosidad, la concentración, la perseverancia y la reflexión crítica. o Ser capaz de comunicar de manera eficaz los resultados del propio trabajo. 13 COMPETENCIA SOCIAL Y CIUDADANA - Aplicar el análisis funcional y la estadística para describir fenómenos sociales, predecir y tomar decisiones. - Enfocar los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, con el fin de valorar los puntos de vista ajenos en un plano de igualdad con los propios. COMPETENCIA EN EL CONOCIMIENTO Y LA INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO - Discriminar formas, relaciones y estructuras geométricas. - Transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio. COMPETENCIA EN COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA - Emplear el lenguaje matemático de forma oral y escrita para formalizar el pensamiento. - Utilizar las leyes matemáticas para expresar y comunicar ideas de un modo preciso y sintético. COMPETENCIA EN LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL - Aplicar los procesos de resolución de problemas para planificar estrategias, asumir riesgos y controlar los procesos de toma de decisiones. - Desarrollar modos de tratamiento de la información y técnicas de indagación. COMPETENCIA CULTURAL Y ARTÍSTICA - Reconocer la geometría como parte integrante de la expresión artística de la humanidad. - Utilizar la geometría para describir y comprender el mundo que nos rodea. EMOCIONAL - Abordar con naturalidad el estudio de los contenidos de la materia. - Demostrar confianza en sí mismo. 14 2. OBJETIVOS Y CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS. BLOQUE 1. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los objetivos y contenidos de este bloque están incluidos dentro del resto de bloques temáticos y desarrollados en sus distintas unidades didácticas ya que la resolución de problemas forma parte tanto del Álgebra como de la Geometría, el Análisis o la probabilidad y abordarlo por separado no tendría sentido. BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA UNIDAD Nº 1: NÚMEROS ENTEROS OBJETIVOS 1. Realizar operaciones con números enteros. 2. Realizar operaciones combinadas con números enteros. 3. Resolver problemas de la vida cotidiana operando con números enteros. CONTENIDOS Conceptos Sumas y restas de números enteros. Propiedades. Multiplicaciones y divisiones de números enteros. Propiedades. Operaciones combinadas. Procedimientos Cálculo de operaciones con enteros. Uso de las propiedades de las operaciones básicas para la resolución de actividades con números enteros. Aplicación de las reglas de prioridad en las operaciones para el cálculo de operaciones combinadas. Resolución de problemas de números enteros. Actitudes Valoración y apreciación de la utilidad de los números enteros para resolver situaciones de la vida cotidiana. Interés por enfrentarse a problemas numéricos e investigar relaciones entre números. Confianza en las propias capacidades para realizar operaciones con números enteros. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido en el cálculo y resolución de actividades y problemas de números enteros. 15 UNIDAD Nº 2: FRACCIONES Y DECIMALES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Reconocer y obtener fracciones equivalentes. Identificar y representar números racionales. Obtener la expresión decimal de una fracción. Realizar aproximaciones de números decimales. Realizar operaciones con fracciones. Realizar operaciones con números decimales. Resolver problemas de la vida cotidiana que tengan presencia de fracciones. CONTENIDOS Conceptos Fracciones. Equivalencia de fracciones. Los números racionales. Expresión decimal. Operaciones con fracciones. Operaciones con números decimales. Procedimintos Obtención de fracciones equivalentes, en concreto, fracciones irreducibles y reducción a denominador común. Representación de fracciones en la recta numérica. Obtención de la expresión decimal de una fracción. Aproximación de una expresión decimal. Cálculo de operaciones con fracciones. Cálculo de potencias y raíces cuadradas de fracciones. Cálculo de operaciones con números decimales. Resolución de problemas de fracciones. Actitudes Valoración de la necesidad de las fracciones para expresar situaciones de la vida cotidiana. Interés en la búsqueda de distintas formas de expresar fracciones y decimales. Flexibilidad para afrontar la resolución de problemas numéricos desde diferentes planteamientos. Respeto por las soluciones propuestas distintas a las propias. 16 UNIDAD Nº 3: POTENCIAS Y RAÍCES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Comprender qué es una potencia y su notación. Hallar el valor de una potencia. Llevar a cabo operaciones con potencias. Hallar el valor de potencias de exponente 0, 1 y exponente negativo. Comprender qué es y para qué se utiliza la notación científica. Hallar la raíz cuadrada exacta o entera de un número natural. Hallar raíces sencillas de cualquier índice. Utilizar potencias y raíces para la resolución de problemas. CONTENIDOS Conceptos Potencias: base y exponente. Potencias de base negativa y fraccionaria. Operaciones con potencias. Potencias de exponente 0, 1 y negativo. Notación científica y su uso con la calculadora. Raíces cuadradas y de cualquier índice Procedimintos Cálculo de potencias de cualquier base. Empleo de las operaciones con potencias para simplificar cálculos. Obtención del valor de una potencia de exponente 0, 1 y negativo. Empleo de la notación científica para expresar números muy grandes o muy pequeños, manualmente y con calculadora. Cálculo de raíces cuadradas y raíces de índice n. Actitudes Valoración de la precisión y utilidad del lenguaje numérico para representar y resolver situaciones de la vida cotidiana. Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas numéricos e investigar las relaciones entre números Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido en la resolución. 17 UNIDAD Nº 4: PROPORCIONALIDAD OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Comprender qué expresa la razón entre dos números. Comprender qué es una proporción. Hallar el término desconocido de una proporción. Identificar relaciones de proporcionalidad entre magnitudes y distinguir entre proporcionalidad directa e inversa. 5. Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa por reducción a la unidad y por regla de tres. 6. Resolver problemas de proporcionalidad compuesta. CONTENIDOS Conceptos Razón. Razones iguales. Proporción. Magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales Proporcionalidad compuesta. Procedimientos Expresión de la razón entre dos cantidades. Obtención del término desconocido en una proporción. Distinción entre magnitudes directa o inversamente proporcionales, y no proporcionales. Resolución de problemas de magnitudes directa e inversamente proporcionales. Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta. Actitudes Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes. Aprecio de la utilidad del concepto de proporcionalidad en distintas situaciones de la vida cotidiana. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas de proporcionalidad. Confianza en las propias capacidades para resolver problemas de proporcionalidad. 18 UNIDAD 5: APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD OBJETIVOS 1. Interpretar y aplicar el tanto por ciento de una cantidad. 2. Calcular una cantidad a partir de la cantidad obtenida al aplicarle un tanto por ciento. 3. Aplicar aumentos y disminuciones porcentuales. 4. Determinar el tanto por ciento aplicado en aumentos y disminuciones porcentuales. 5. Conocer y aplicar los conceptos referidos a capitales e intereses. 6. Determinar repartos directamente proporcionales. 7. Obtener e interpretar cálculos de escala. CONTENIDOS Conceptos Porcentajes. Tanto por uno. Aumentos y disminuciones porcentuales. Capital, rédito e interés simple. Repartos directamente proporcionales Escalas. Procedimientos Cálculo del porcentaje de una cantidad, en particular cálculo mental. Obtención de una cantidad conocido un tanto por ciento aplicado a dicha cantidad. Cálculo de la cantidad que resulta de aplicar un aumento o una disminución porcentual. Obtención del tanto por ciento en que aumenta o disminuye una cantidad. Cálculo de intereses simples, capitales y réditos. Realización de repartos directamente proporcionales. Obtención de medidas a escala a partir de la realidad, y viceversa. Actitudes Reconocimiento y valoración crítica del uso de los porcentajes para resolver problemas de la vida cotidiana. Sensibilidad, curiosidad e interés por el uso de capitales e intereses en informaciones sociales, económicas o de otra índole relacionada con la vida cotidiana de los alumnos. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos con porcentajes. 19 UNIDAD 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Utilizar el lenguaje algebraico y comprender sus reglas. Hallar el valor numérico de una expresión algebraica. Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de monomios. Comprender qué son los polinomios y conocer las nociones básicas: término, término independiente, grado. 5. Realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios. 6. Conocer y utilizar los productos notables. CONTENIDOS Conceptos Lenguaje algebraico. Normas y valor numérico. Monomios. Operaciones. Polinomios. Suma y resta. Producto de polinomios. Productos notables. Procedimientos Traducción a lenguaje algebraico de enunciados de la vida real. Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas. Operaciones y reducciones con monomios. Operaciones de sumas y/o restas con polinomios. Cálculo de productos de polinomios. Cálculo de productos notables. Extracción del factor común en expresiones algebraicas. Actitudes Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje sencillo y preciso para interpretar situaciones contextualizadas en el entorno de la vida cotidiana. Cuidado y orden en la resolución de operaciones con monomios y polinomios. Receptividad e interés por las distintas formas de resolver una misma operación con monomios y polinomios. 20 UNIDAD 7: ECUACIONES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Distinguir identidades y ecuaciones con solución y sin solución. Determinar si un número es solución o no de una ecuación. Identificar y resolver ecuaciones de primer grado. Utilizar las ecuaciones para resolver problemas. CONTENIDOS Conceptos Identidades. Ecuaciones. Ecuaciones equivalentes. Ecuaciones de primer grado. Producto de polinomios. Productos notables. Procedimientos Identificación de identidades y ecuaciones. Comprobación de la validez de un valor como solución de una ecuación. Resolución de ecuaciones de primer grado. Obtención y resolución de la ecuación necesaria para resolver problemas. Actitudes Reconocimiento y valoración de las ecuaciones como vía para plantear y resolver situaciones problemáticas contextualizadas en la vida cotidiana de los alumnos. Interés y respeto por las estrategias diferentes a las propias para resolver situaciones problemáticas mediante ecuaciones. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas con ecuaciones. 21 UNIDAD 8: SISTEMAS DE ECUACIONES OBJETIVOS 1. Comprender qué es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. 2. Verificar y calcular soluciones de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 3. Comprender qué es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y por qué es necesario 4. Resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 5. Resolver problemas utilizando sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. CONTENIDOS Conceptos Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Procedimientos Obtención de soluciones de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Verificación de soluciones de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolución de problemas mediante sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Actitudes Reconocimiento y valoración de los métodos propios del álgebra como vía para plantear y resolver situaciones problemáticas relacionadas con las propias matemáticas o con el entorno cotidiano de los alumnos. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas con sistemas de ecuaciones. Flexibilidad para enfrentarse a situaciones algebraicas desde distintos puntos de vista. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en la resolución de problemas con sistemas de ecuaciones. 22 BLOQUE 3. GEOMETRÍA UNIDAD 9: SEMEJANZA OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Comprobar y construir segmentos proporcionales. Conocer y aplicar el teorema de Tales. Identificar y construir polígonos semejantes, obteniendo la razón de semejanza. Conocer y utilizar la escala, en su forma numérica y en su forma geométrica. Conocer y aplicar los teoremas de semejanza de triángulos. CONTENIDOS Conceptos Segmentos proporcionales. Razón entre segmentos. El teorema de Tales. Polígonos semejantes. Razón de semejanza. Escalas. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza. Procedimientos Cálculo de razones entre segmentos. Cálculo de medidas de segmentos utilizando el teorema de Tales. División de segmentos según el teorema de Tales. Identificación de polígonos semejantes. Cálculo de la razón de semejanza de polígonos. Identificación de triángulos semejantes. Resolución de problemas aplicando los criterios de semejanza de triángulos. Actitudes Reconocimiento de la importancia de la semejanza y su relación con la vida cotidiana. Respeto por las soluciones propuestas distintas a las propias. Sensibilidad y gusto por la precisión, orden y claridad la construcción de figuras geométricas. 23 UNIDAD 10: TRIÁNGULOS OBJETIVOS 1. Conocer y comprender el teorema de Pitágoras. 2. Determinar, dadas tres medidas, si es posible o no construir un triángulo rectángulo. 3. Conocer y comprender los teoremas del cateto y de la altura. 4. Aplicar el teorema de Pitágoras, el del cateto y la altura en el cálculo de medidas de figuras planas. 5. Obtener el perímetro y el área de figuras planas haciendo uso de los teoremas de Pitágoras, del cateto y de la altura. CONTENIDOS Conceptos Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. Teoremas del cateto y de la altura. Aplicaciones. Procedimientos Cálculo de catetos o hipotenusa de un triángulo rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras. Determinación del tipo de triángulos según las medidas de sus lados. Cálculo de medidas de lados, perímetros y áreas de figuras planas. Cálculo de la altura, la hipotenusa o los catetos de un triángulo rectángulo utilizando los teoremas del cateto y de la altura. Resolución de problemas geométricos utilizando los tres teoremas. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad de los teoremas de Pitágoras, del cateto y de la altura en la resolución de problemas de la vida real. Curiosidad e interés por la evolución de la geometría en la historia de las matemáticas. Reconocimiento y valoración crítica del uso de la calculadora. Sensibilidad y gusto por la precisión, orden y claridad la construcción de figuras geométricas. 24 UNIDAD 11: CUERPOS GEOMÉTRICOS OBJETIVOS 1. Conocer y comprender los distintos elementos del plano, en particular ángulos diedros. 2. Identificar poliedros y sus elementos. 3. Reconocer poliedros regulares, semirregulares y duales. 4. Distinguir prismas y pirámides, identificando sus elementos y características. 5. Reconocer cuerpos de revolución. 6. Conocer la esfera y sus distintas partes, concretando a la esfera terrestre. CONTENIDOS Conceptos Planos. Posiciones relativas. Ángulos diedros. Poliedros: definición y elementos. Clasificación de poliedros: poliedros convexos y cóncavos. Regulares, semirregulares y duales. Prismas: clasificación y elementos. Paralelepípedos. Pirámides: clasificación y elementos. Troncos de pirámides. Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono. Elementos. La esfera. Figuras esféricas. La esfera terrestre. Procedimientos Posiciones relativas de planos. Cálculo de ángulos diedros. Identificación de poliedros. Aplicación de la relación de Euler. Obtención de los elementos de un poliedro. Clasificación de poliedros. Identificación de prismas y pirámides y de cuerpos de revolución. Obtención del desarrollo plano de poliedros y de cuerpos de revolución. Determinación de los elementos de una esfera, en particular de la esfera terrestre. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad y de la presencia de las figuras geométricas en distintos objetos de la vida cotidiana. Adquisición de hábitos de trabajo adecuados en la realización de actividades geométricas. Sensibilidad y gusto por la precisión, orden y claridad en la construcción de figuras geométricas. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a actividades que requieren capacidad de abstracción y visión espacial correcta. 25 UNIDAD 12: ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS OBJETIVOS 1. Utilizar el teorema de Pitágoras en figuras geométricas. 2. Comprender las expresiones que permiten calcular el área de poliedros, cuerpos de revolución y figuras esféricas. 3. Manejar las distintas unidades de volumen. 4. Relacionar unidades de volumen y de capacidad. 5. Comprender las expresiones que permiten calcular el volumen de poliedros, cuerpos de revolución y figuras esféricas. CONTENIDOS Conceptos El teorema de Pitágoras en cuerpos geométricos. Áreas de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Volumen y capacidad: unidades de medida. El principio de Cavalieri. Volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Procedimientos Cálculo de elementos métricos en figuras geométricas utilizando el teorema de Pitágoras. Cálculo áreas laterales y totales en poliedros, cuerpos de revolución y esferas. Cambios de unidades de volumen y de capacidad. Cálculo de volúmenes de poliedros, cuerpos de revolución y esferas. Actitudes Interés por los cálculos geométricos. Valoración de la utilidad del cálculo geométrico para resolver y representar situaciones y problemas de la vida cotidiana. Sensibilidad y gusto por la precisión, orden y claridad en la construcción y cálculos con figuras geométricas. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas geométricos. 26 BLOQUE 4. FUNCIONES Y GRÁFICAS UNIDAD 13: FUNCIONES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Conocer qué es una función y cómo expresarla. Reconocer las variables dependiente e independiente de una función. Analizar el crecimiento y decrecimiento de una función. Obtener los máximos y mínimos relativos de una función. Obtener los puntos de corte de una gráfica de una función con los ejes de coordenadas. 6. Reconocer y representar funciones lineales, afines y constantes y funciones de proporcionalidad inversa. 7. Identificar la pendiente de una recta. 8. Utilizar las funciones para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. CONTENIDOS Conceptos Funciones: tablas, gráficas y expresiones algebraicas. Características básicas de una función: cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos. Funciones lineales, afines y constantes. Pendiente de una recta. Funciones de proporcionalidad inversa. Procedimientos Representación de una función en sus distintas opciones. Interpretación de una gráfica. Posible identificación de una gráfica con una función. Cálculo de la imagen de un valor de la variable independiente. Obtención de las características básicas de una función. Representación de funciones lineales, afines y constantes y de proporcionalidad inversa. Obtención de la pendiente de una recta. Obtención de la ecuación de una función lineal, afín, constante o de proporcionalidad inversa. Actitudes Utilización de términos relacionados con las funciones en el lenguaje cotidiano. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos. Curiosidad e interés por investigar relaciones entre formas de expresar una función. 27 BLOQUE 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD UNIDAD 14: ESTADÍSTICA OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Comprender los conceptos básicos en un estudio estadístico. Organizar datos en tablas de frecuencias. Manejar diagramas estadísticos. Conocer y comprender los parámetros de centralización más importantes. CONTENIDOS Conceptos Población y muestra: conveniencia de una muestra. Caracteres cuantitativos y cualitativos. Tablas de frecuencias y diagramas. Parámetros de centralización: media, mediana y moda. Procedimientos Identificación de poblaciones y muestras. Distinción de caracteres cualitativos y cuantitativos. Recogida de datos en tablas de frecuencias. Representación gráfica de datos estadísticos. Cálculo de los principales parámetros de centralización. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad del lenguaje estadístico para resolver problemas de la vida cotidiana. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en el tratamiento y representación gráfica de informaciones de diversa índole. Interés y respeto por las estrategias diferentes a las propias para resolver problemas estadísticos. 28 3. CONTENIDOS MÍNIMOS. Bloque 1. Planteamiento y resolución de problemas Uso de estrategias y técnicas: análisis y comprensión del enunciado, representación, el ensayo y error, secuenciación y resolución de problemas más simples, revisión y comprobación de la solución obtenida. Descripción del procedimiento seguido. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas, además de perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas. Interpretación de mensajes que contengan informaciones matemáticas sobre cantidades, y medidas, elementos o relaciones espaciales, creando una formulación propia en forma de problemas. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. Uso de estrategias personales para el cálculo mental, para las estimaciones y el cálculo aproximado, de la utilización de la calculadora y otras herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos y la revisión de los resultados. Uso de hojas de cálculo. Bloque 2. Números y Álgebra Números enteros. Operaciones. Potencias con exponente natural. Operaciones con potencias. Utilización de la notación científica para representar números grandes. Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas. Relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Uso de estas relaciones para elaborar estrategias de cálculo práctico con porcentajes. Proporcionalidad directa e inversa. Análisis de tablas. Razón de proporcionalidad. Aumentos y disminuciones porcentuales. Resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana en los que aparezcan relaciones de proporcionalidad directa o inversa. El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades. Obtención del valor numérico de una expresión algebraica. Significado de las ecuaciones y de las soluciones de una ecuación. Resolución de ecuaciones de primer grado. Transformación de ecuaciones en otras equivalentes. Interpretación de la solución. Utilización de las ecuaciones para la resolución de problemas. Resolución de estos mismos problemas por métodos no algebraicos: ensayo y error dirigido. 29 Bloque 3. Geometría Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza. Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes. Utilización de los teoremas de Thales y Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Poliedros y cuerpos de revolución. Desarrollos planos y elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. Volúmenes de cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. Bloque 4. Funciones y gráficas Descripción local y global de fenómenos presentados de forma gráfica. Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una situación: crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. Obtención de la relación entre dos magnitudes directa o inversamente proporcionales a partir del análisis de su tabla de valores y de su gráfica. Interpretación de la constante de proporcionalidad. Aplicación a situaciones reales. Representación gráfica de una situación que viene dada a partir de una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla. Interpretación de las gráficas como relación entre dos magnitudes. Observación y experimentación en casos prácticos. Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas. Bloque 5. Estadística y probabilidad Diferentes formas de recogida de información. Organización de los datos en tablas. Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas. Diagramas estadísticos. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos. Medidas de centralización: media, mediana y moda. Significado, estimación y cálculo. Utilización de las propiedades de la media para resolver problemas Utilización de la media, la mediana y la moda para realizar comparaciones y valoraciones. de la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar los cálculos y generar los gráficos más adecuados. 30 4. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Identificar elementos matemáticos presentes en la realidad y aplicar los conocimientos matemáticos adquiridos en situaciones cotidianas. Este criterio valora si el alumnado es competente para interpretar la realidad en términos matemáticos, formular sus propios problemas y utilizar el razonamiento para analizar situaciones cotidianas. 2. Utilizar números enteros, fracciones, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria. Este criterio valora la competencia para identificar y emplear los números y las operaciones siendo consciente de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) y estimar la coherencia y precisión de los resultados obtenidos. Entre las operaciones a las que se refiere este criterio deben considerarse incluidas las potencias de exponente natural. Adquiere especial relevancia evaluar el uso de diferentes estrategias que permitan simplificar el cálculo con fracciones, decimales y porcentajes, así como la habilidad para aplicar esos cálculos a una amplia variedad de contextos. 3. Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y geométrica y utilizarlas para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana. Este criterio valora la competencia para identificar, en diferentes contextos, una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes. Se trata asimismo de utilizar diferentes estrategias (empleo de tablas, obtención y uso de la constante de proporcionalidad, reducción a la unidad, etc.) para obtener elementos desconocidos en un problema a partir de otros conocidos en situaciones de la vida real en las que existan relaciones de proporcionalidad. 4. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar, generalizar e incorporar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado como una herramienta más con la que abordar y resolver problemas. Este criterio valora la competencia para utilizar el lenguaje algebraico para generalizar propiedades sencillas y simbolizar relaciones, así como plantear ecuaciones de primer grado para resolverlas por métodos algebraicos y también por métodos de ensayo y error. Se pretende evaluar también la capacidad para poner en práctica estrategias personales como alternativa al álgebra a la hora de plantear y resolver los problemas. Asimismo se ha de procurar valorar la coherencia de los resultados 31 5. Estimar y calcular longitudes, áreas y volúmenes de espacios y objetos con una precisión acorde con la situación planteada y comprender los procesos de medida, expresando el resultado de la estimación o el cálculo en la unidad de medida más adecuada. Este criterio valora la competencia para comprender y diferenciar los conceptos de longitud, superficie y volumen y seleccionar la unidad adecuada para cada uno de ellos. Se trata de comprobar, además, si se han adquirido las capacidades necesarias para estimar el tamaño de los objetos. Más allá de la habilidad para memorizar fórmulas y aplicarlas, este criterio pretende valorar el grado de profundidad en la comprensión de los conceptos implicados en el proceso y la diversidad de métodos que se es capaz de poner en marcha 6. Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a través de una expresión algebraica o mediante un enunciado, obtener valores a partir de ellas y extraer conclusiones acerca del fenómeno estudiado. Este criterio valora el manejo de los mecanismos que relacionan los distintos tipos de presentación de la información, en especial el paso de la gráfica correspondiente a una relación de proporcionalidad a cualquiera de los otros tres: verbal, numérico o algebraico. Se trata de evaluar también la capacidad de analizar una gráfica y relacionar el resultado de ese análisis con el significado de las variables representadas 7. Formular las preguntas adecuadas para conocer las características de una población y recoger, organizar y presentar datos relevantes para responderlas, utilizando los métodos estadísticos apropiados y las herramientas informáticas adecuadas. Este criterio valora, en casos sencillos y relacionados con su entorno, la competencia para desarrollar las distintas fases de un estudio estadístico: formular la pregunta o preguntas que darán lugar al estudio, recoger la información, organizarla en tablas y gráficas, hallar valores relevantes (media, moda, valores máximo y mínimo, rango) y obtener conclusiones razonables a partir de los datos obtenidos. También se pretende valorar la capacidad para utilizar la hoja de cálculo, así como para organizar y generar las gráficas más adecuadas a la situación estudiada 8. Utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas, tales como el análisis del enunciado, el ensayo y error sistemático, la división del problema en partes así como la comprobación de la coherencia de la solución obtenida y expresar, utilizando el lenguaje matemático adecuado a su nivel, el procedimiento que se ha seguido en la resolución. Este criterio valora la forma de enfrentarse a tareas de resolución de problemas, para los que no se dispone de un procedimiento estándar que permita obtener la solución. Se evalúa desde la comprensión del enunciado a partir del análisis de cada una de las partes del texto y la identificación de los aspectos más relevantes, hasta la aplicación de estrategias de resolución, así como el hábito y las destrezas necesarias para comprobar la corrección de la solución y su coherencia con el problema planteado. Se trata de evaluar, asimismo, la perseverancia en la búsqueda de soluciones y la confianza en la propia capacidad para lograrlo y valorar la capacidad de transmitir con un lenguaje suficientemente preciso, las ideas y 32 procesos personales desarrollados, de modo que se hagan entender y entiendan a sus compañeros. También se pretende valorar su actitud positiva para realizar esta actividad de contraste 9. Emplear de manera autónoma y con sentido crítico los recursos tecnológicos en el trabajo habitual de matemáticas, en particular para realizar investigaciones y resolver problemas. Este criterio valora si el alumnado es competente para: utilizar racionalmente la calculadora científica y distintos programas informáticos adecuados para su nivel para resolver ecuaciones por tanteo, para el tratamiento de las funciones y sus gráficas, el tratamiento de datos estadísticos y su representación, para realizar autorregulaciones y correcciones. Asimismo se valora si reconocen sus limitaciones e interpretan los resultados que nos proporcionan 10. Demostrar actitudes propias de la actividad matemática y valorar la contribución de esta materia en el desarrollo científico y cultural de la sociedad. Este criterio valora la constancia, la flexibilidad, el rigor y la precisión que el alumnado demuestra en sus tareas y la valoración del papel de las Matemáticas en la sociedad y su visión como un camino en construcción 5. TEMPORALIZACIÓN PRIMER TRIMESTRE: Unidades 1, 2, 3, 4, 5 , SEGUNDO TRIMESTRE: Unidades 6, 7, 8, 9, 10. TERCER TRIMESTRE: Unidades 11, 12, 13, 14. 33 CUARTO DE ESO. MATEMÁTICAS A 1. COMPETENCIAS. Las competencias básicas, desde el proceso de enseñanza, son aquellos conocimientos, destrezas y actitudes necesarios para que una persona alcance su desarrollo personal, escolar y social. La competencia la demuestra el alumno cuando es capaz de actuar, de resolver, de producir o de transformar la realidad a través de las tareas que se le proponen. Al finalizar cuarto de ESO, el alumno debe haber alcanzado las siguientes competencias en el modo que se indica: COMPETENCIA MATEMÁTICA - Utilizar el pensamiento matemático para interpretar y describir la realidad, así como para actuar sobre ella. - Aplicar destrezas y desarrollar actitudes para razonar matemáticamente. - Comprender una argumentación matemática. - Expresarse y comunicarse a través del lenguaje matemático. COMPETENCIA EN EL TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL - Manejar herramientas tecnológicas para resolver problemas. COMPETENCIA PARA APRENDER A APRENDER - Ser capaz de comunicar de manera eficaz los resultados del propio trabajo. COMPETENCIA SOCIAL Y CIUDADANA - Enfocar los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, con el fin de valorar los puntos de vista ajenos en un plano de igualdad con los propios. 34 COMPETENCIA EN EL CONOCIMIENTO Y LA INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO - Discriminar formas, relaciones y estructuras geométricas. COMPETENCIA EN COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA - Emplear el lenguaje matemático de forma oral y escrita para formalizar el pensamiento. COMPETENCIA EN LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL - Aplicar los procesos de resolución de problemas para planificar estrategias, asumir riesgos y controlar los procesos de toma de decisiones. COMPETENCIA CULTURAL Y ARTÍSTICA - Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético. EMOCIONAL - Abordar con naturalidad el estudio de los contenidos de la materia. Demostrar confianza en sí mismo. 35 2 OBJETIVOS Y CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS. BLOQUE 1. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los objetivos y contenidos de este bloque están incluidos dentro del resto de bloques temáticos y desarrollados en sus distintas unidades didácticas ya que la resolución de problemas forma parte tanto del Álgebra como de la Geometría, el Análisis o la probabilidad y abordarlo por separado no tendría sentido. BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA UNIDAD DIDÁCTICA 1: NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Reconocer números enteros y operar con ellos. Comprender cuándo dos o más fracciones son equivalentes y cómo obtenerlas. Efectuar operaciones con fracciones. Resolver problemas de la vida cotidiana con números enteros y fracciones. CONTENIDOS Conceptos Números enteros. Valor absoluto de un número entero. Opuesto de un número entero. Fracción. Fracción irreducible. Procedimientos Ordenación y representación de números enteros. Cálculo con números enteros. Obtención de fracciones equivalentes. Cálculo con fracciones. Resolución de problemas. Actitudes Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico para resolver, representar o interpretar situaciones de la vida cotidiana. Curiosidad por la búsqueda de estrategias para resolver problemas numéricos. Interés y respeto por las estrategias distintas a las propias para resolver problemas numéricos. 36 UNIDAD DIDÁCTICA 2: NÚMEROS DECIMALES OBJETIVOS 1. Conocer los números racionales, irracionales y reales. 2. Obtener la expresión de una fracción en forma decimal y de un número decimal en forma de fracción. 3. Representar y ordenar números reales. 4. Expresar conjuntos de números reales mediante intervalos. 5. Realizar aproximaciones de números reales y hallar el error absoluto cometido. CONTENIDOS Conceptos Números racionales. Números irracionales. Números reales. Intervalos. Aproximación de números reales. Error absoluto. Procedimientos Obtención de la expresión decimal y fraccionaria de un número racional. Representación y ordenación de números racionales. Cálculo del valor de los números irracionales. Representación de números irracionales. Representación de conjuntos de números reales mediante intervalos y desigualdades. Aproximaciones de números reales y cálculo del error absoluto. Actitudes Interés y valoración de los cálculos numéricos en un contexto de estimación y aproximación decimal. Curiosidad por investigar relaciones de índole numérica. Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas. 37 UNIDAD Nº 3 POTENCIAS Y RADICALES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Calcular potencias de exponente negativo. Comprender la notación científica. Utilizar correctamente la calculadora en notación científica. Relacionar radicales y potencias. Realizar operaciones con radicales. CONTENIDOS Conceptos Potencias de exponente negativo. Notación científica. Raíz de índice n. Propiedades de los radicales. Procedimientos Cálculo y reducción de potencias de exponente negativo. Expresión de números en notación científica. Cálculos en notación científica. Resolución de operaciones con radicales. Utilización de la calculadora con potencias, notación científica y radicales. Actitudes Receptividad e interés ante las informaciones de naturaleza numérica. Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora. Curiosidad por las relaciones de índole numérica. Interés y respeto por las soluciones aportadas por los compañeros. 38 UNIDAD Nº 4 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Reconocer relaciones de proporcionalidad. Resolver problemas de proporcionalidad. Comprender cómo se realizan repartos proporcionales. Realizar cálculos con porcentajes. Resolver problemas de intereses. CONTENIDOS Conceptos Proporcionalidad directa, inversa y compuesta. Repartos directa e inversamente proporcionales. Porcentajes: aumentos y disminuciones. Porcentajes encadenados Interés simple y compuesto. Procedimientos Resolución de problemas de proporcionalidad. Realización de repartos proporcionales. Resolución de problemas de porcentajes. Cálculo de interés simple y compuesto. Actitudes Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes. Reconocimiento de la importancia de la proporcionalidad en diversas situaciones de la vida cotidiana. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas de proporcionalidad. 39 UNIDAD Nº 5 POLINOMIOS OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Reconocer un polinomio y sus elementos. Determinar el valor numérico de un polinomio. Sumar, restar y multiplicar polinomios. Sacar factor común. Comprender y aplicar las identidades notables. Dividir polinomios. Aplicar la regla de Ruffini. Realizar descomposiciones de polinomios. CONTENIDOS Conceptos Polinomios. Valor numérico. Operaciones con polinomios. Identidades notables. Regla de Ruffini. Descomposición factorial de polinomios. Procedimientos Cálculo del grado de un polinomio y del valor numérico. Realización de sumas, restas y productos de polinomios. Sacar factor común. Cálculo de potencias, especialmente, con identidades notables. Resolución de divisiones de polinomios, en particular, a partir de la regla de Ruffini. Descomposición de polinomios en factores. Actitudes Valoración de la precisión y la simplicidad del lenguaje algebraico. Interés y rigor en el cálculo con polinomios Confianza en las propias capacidades para resolver actividades con polinomios. 40 UNIDAD Nº 6 ECUACIONES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. Resolver ecuaciones de primer grado. Reconocer y clasificar ecuaciones de segundo grado. Resolver ecuaciones de segundo grado, completas e incompletas. Reconocer y resolver ecuaciones de grado mayor que dos. Resolver problemas reales con ecuaciones. Resolver ecuaciones por tanteo. CONTENIDOS Conceptos Ecuación de primer grado. Ecuación de segundo grado incompleta y completa. Ecuaciones de grado mayor que dos. Procedimientos Resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis y con denominadores. Resolución de ecuaciones de segundo grado. Discusión del número de soluciones. Factorización de polinomios para resolver ecuaciones de grado superior a dos. Resolución de problemas con ecuaciones. Actitudes Reconocimiento y valoración de las ecuaciones como vía para plantear y resolver situaciones problemáticas contextualizadas en la vida cotidiana de los alumnos. Flexibilidad para enfrentarse a situaciones algebraicas desde distintos puntos de vista. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas con ecuaciones. 41 UNIDAD Nº 7 SISTEMAS DE ECUACIONES OBJETIVOS 1. Representar gráficamente ecuaciones y sistemas de ecuaciones y hallar la solución. 2. Distinguir gráfica y algebraicamente sistemas compatibles e incompatibles. 3. Aplicar el método algebraico más adecuado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 4. Hallar la solución de problemas que requieren en su planteamiento un sistema de ecuaciones. CONTENIDOS Conceptos Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica. Métodos de sustitución, igualación y reducción. Procedimientos Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por los distintos métodos algebraicos. Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones. Actitudes Reconocimiento y valoración de los sistemas de ecuaciones como vía para plantear y resolver situaciones problemáticas contextualizadas en la vida cotidiana de los alumnos. Interés y respeto por estrategias diferentes a las propias para resolver situaciones problemáticas por métodos algebraicos. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas con sistemas de ecuaciones. 42 UNIDAD Nº 8 INECUACIONES OBJETIVOS 1. Comprender qué es una inecuación y para qué sirve. 2. Reconocer y obtener inecuaciones equivalentes a una dada. 3. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. 4. Aplicar las inecuaciones a la resolución de problemas de la vida real. CONTENIDOS Conceptos Inecuaciones. Propiedades. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Procedimientos Obtención de inecuaciones equivalentes utilizando las propiedades adecuadas. Resolución, algebraica y gráfica, de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Actitudes Reconocimiento y valoración de las inecuaciones como vía para plantear y resolver situaciones de la vida real. Gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en la resolución de inecuaciones. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas con inecuaciones. 43 BLOQUE 3. GEOMETRÍA UNIDAD Nº 9 PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Hallar perímetros y áreas de figuras planas complejas. Determinar las medidas de los distintos elementos de figuras planas. Obtener el área y el volumen de poliedros y de cuerpos de revolución. Calcular la medida de los elementos de poliedros y de cuerpos de revolución. CONTENIDOS Conceptos Figuras planas. Perímetro y área. Figuras circulares. Poliedros y cuerpos de revolución. Elementos. Áreas y volúmenes. Procedimientos Cálculo de perímetros y de áreas de figuras planas. Obtención de elementos de figuras planas: alturas, diagonales… Cálculo de áreas y de volúmenes de poliedros y de cuerpos de revolución. Obtención de elementos de poliedros y de cuerpos de revolución: arista, apotema, generatriz, altura… Actitudes Interés ante las situaciones de índole geométrico. Curiosidad por investigar las relaciones entre elementos y figuras geométricas. Confianza en las propias capacidades para resolver actividades geométricas. 44 UNIDAD Nº 10 SEMEJANZA OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Identificar polígonos semejantes y deducir su razón de semejanza. Construir polígonos semejantes a partir de la razón de semejanza. Relacionar distancias reales y distancias en mapas y planos a partir de escalas. Reconocer triángulos semejantes utilizando los criterios de semejanza. Representar figuras en posición de Thales. CONTENIDOS Conceptos Semejanza de polígonos. Razón de semejanza. Escalas. Criterios de semejanza de triángulos. Procedimientos Construcción de polígonos semejantes. Obtención de la razón de semejanza entre polígonos semejantes. Aplicación de escalas para medir en planos y en mapas. Resolución de problemas de triángulos semejantes. Actitudes Curiosidad e interés por investigar relaciones geométricas. Reconocimiento de la presencia y uso de la semejanza en la vida real. Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y por la presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos. 45 BLOQUE 4: FUNCIONES Y GRÁFICAS UNIDAD Nº 11 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Conocer y distinguir los conceptos de dominio y de recorrido de una función. Reconocer funciones continuas, periódicas y simétricas. Hallar los puntos de corte de una gráfica con los ejes. Deducir los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 5. Comprender el significado de las tasas de variación y de variación media. 6. Identificar las asíntotas horizontales y verticales de una función. CONTENIDOS Conceptos Dominio y recorrido de una función. Continuidad de una función. Función periódica. Simetría: Función par y función impar. Cortes de una gráfica con los ejes de coordenadas. Intervalo de crecimiento y decrecimiento de una función. Extremo relativo. Tasa de variación. Asíntota horizontal y vertical de una función. Procedimientos Obtención del dominio y recorrido de una función. Estudio de la continuidad, periodicidad y simetría de una función. Cálculo de los puntos de corte con los ejes de abscisas y ordenadas. Estudio del crecimiento y del decrecimiento de una función, y de sus máximos y sus mínimos relativos. Interpretación de las tasas de variación de una función. Cálculo de la tendencia de una función y, en particular, de sus asíntotas horizontales y verticales. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad del lenguaje gráfico y su relación con el lenguaje numérico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en la representación gráfica de informaciones susceptibles de ser interpretadas a través de funciones. Interés y respeto por las soluciones a actividades gráficas distintas de las propias. 46 UNIDAD Nº 12 FUNCIONES ELEMENTALES OBJETIVOS 1. Conocer las funciones afín, cuadrática, inversa y exponencial y la relación entre sus expresiones algebraicas y sus gráficas. 2. Deducir las principales características de las funciones afín, cuadrática, inversa y exponencial. CONTENIDOS Conceptos Función afín. La pendiente y la ordenada en el origen de una recta. Función cuadrática. Características. Función inversa. Características. Función exponencial. Características. Procedimientos Representación gráfica de funciones afín, cuadrática, inversa y exponencial. Obtención de la expresión algebraica de funciones afines, cuadráticas, inversas y exponenciales. Cálculo de la pendiente y la ordenada en el origen de una recta. Obtención de las características principales de las funciones afín, cuadrática, inversa y exponencial. Actitudes Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en la representación gráfica de informaciones susceptibles de ser interpretadas a través de funciones. Reconocimiento y valoración crítica del lenguaje gráfico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y la presentación de tablas y gráficas. 47 BLOQUE 5 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD UNIDAD Nº 13 ESTADÍSTICA OBJETIVOS 1. Utilizar tablas y gráficos para representar distribuciones estadísticas. 2. Conocer y comprender los parámetros de centralización, sus características y su representatividad. 3. Conocer y comprender los parámetros de dispersión y su utilidad. 4. Utilizar diagramas de cajas. 5. Comprender cómo se elabora un estudio estadístico. CONTENIDOS Conceptos Tablas de frecuencias. Gráficos estadísticos. Parámetros de centralización. Características. Parámetros de dispersión. Características. Diagramas de barras. Estudio estadístico: aspectos a tener en cuenta. Procedimientos Representación e interpretación de tablas y de gráficos estadísticos. Cálculo de parámetros de centralización y de dispersión. Representación de diagramas de cajas. Elaboración de estudios estadísticos. Actitudes Representación e interpretación de tablas y de gráficos estadísticos. Cálculo de parámetros de centralización y de dispersión. Representación de diagramas de cajas. Elaboración de estudios estadísticos. 48 UNIDAD Nº 14 PROBABILIDAD OBJETIVOS 1. Conocer el concepto de probabilidad de un suceso y sus propiedades. 2. Comprender y aplicar la regla de Laplace. 3. Aplicar la probabilidad a la resolución de problemas de la vida cotidiana. CONTENIDOS Conceptos Probabilidad. La regla de Laplace. Diagramas de árbol y diagramas de probabilidad. Procedimientos Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de probabilidades. Resolución de problemas cotidianos. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad de la probabilidad para resolver problemas de la vida cotidiana. Interés y respeto por las estrategias ajenas para resolver actividades y problemas de probabilidad. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y la presentación de diagramas y de tablas. 49 3. CONTENIDOS MÍNIMOS. Bloque 1. Planteamiento y resolución de problemas Uso de estrategias y técnicas: análisis y comprensión del enunciado, emisión y justificación de hipótesis, representación, el ensayo y error, secuenciación y resolución en problemas más simples, revisión y comprobación de la solución obtenida. Descripción del procedimiento seguido. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas con perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas. Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones e informaciones matemáticas sobre cantidades y medidas, sobre elementos o relaciones espaciales, formulación propia en forma de problemas. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. Uso de estrategias personales para el cálculo mental y para el cálculo aproximado, así como la calculadora y otras herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos y la revisión de los resultados. Uso de hojas de cálculo. Bloque 2. Números y Álgebra Interpretación y utilización de los números y las operaciones en diferentes contextos, eligiendo la notación y precisión más adecuadas en cada caso. Uso de la hoja de cálculo para la organización de cálculos asociados a la resolución de problemas cotidianos y financieros. Proporcionalidad directa e inversa. Aplicación a la resolución de problemas de la vida cotidiana. Los porcentajes en la economía. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes sucesivos. Interés simple y compuesto. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Representación de números en la recta numérica. Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Manejo de expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Bloque 3. Geometría Aplicación de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas. Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana. Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de problemas del mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etcétera 50 Bloque 4. Funciones y gráficas Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis. Bloque 5. Estadística y probabilidad Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico a partir de situaciones concretas cercanas al alumno. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Uso de la hoja de cálculo. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. 51 4. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Identificar elementos matemáticos presentes en la realidad y aplicar los conocimientos matemáticos adquiridos en situaciones cotidianas. Este criterio valora si el alumnado es competente para interpretar la realidad en términos matemáticos, formular sus propios problemas y utilizar el razonamiento para analizar situaciones cotidianas 2. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria. Este criterio valora la competencia para identificar y emplear los números y las operaciones siendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada: mental, escrita o con calculadora, y estimar la coherencia y precisión de los resultados obtenidos. En este nivel adquiere especial importancia observar la capacidad de los alumnos para manejar los números en diversos contextos cercanos a lo cotidiano, así como otros aspectos de los números relacionados con la medida, números muy grandes o muy pequeños 3. Aplicar porcentajes y tasas a la resolución de problemas cotidianos y financieros valorando la oportunidad de utilizar la hoja de cálculo en función de la cantidad y complejidad de los números. Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad para aplicar porcentajes, tasas, aumentos y disminuciones porcentuales a problemas vinculados a situaciones financieras habituales y a valorar la capacidad de utilización de las tecnologías de la información para realizar los cálculos, cuando sea preciso 4. Utilizar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver problemas de la vida cotidiana. Este criterio valora si el alumnado está preparado para aplicar las técnicas de manipulación de expresiones literales para resolver problemas que puedan ser traducidos previamente en forma de ecuaciones y sistemas. La resolución algebraica no se plantea como el único método de resolución y se combina también con otros métodos numéricos y gráficos, mediante el uso adecuado de las tecnologías de la información 5. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas e indirectas en situaciones reales. Este criterio valora el uso de estrategias para calcular magnitudes desconocidas a partir de otras conocidas, utilizar los instrumentos de medida disponibles, aplicar las fórmulas apropiadas y desarrollar las técnicas y destrezas adecuadas para realizar la medición propuesta 52 6. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas. Este criterio valora la competencia para seleccionar a qué tipo de modelo, de entre los estudiados: lineal, cuadrático o exponencial, responde un fenómeno determinado y para extraer conclusiones razonables de la situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías de la información 7. Analizar tablas y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situaciones reales para obtener información sobre su comportamiento. Este criterio valora la competencia, a la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores numéricos de una tabla, para extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado. Para ello será preciso la aproximación e interpretación de las tasas de variación a partir de los datos gráficos o numéricos 8. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales correspondientes a distribuciones discretas y continuas, y valorar cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas. Este criterio valora la competencia para organizar la información estadística en tablas y gráficas y calcular los parámetros que resulten más relevantes, con ayuda de la calculadora o la hoja de cálculo. En este nivel se pretende además que los alumnos tengan en cuenta la representatividad y la validez del procedimiento de elección de la muestra y analicen la pertinencia de la generalización de las conclusiones del estudio a toda la población 9. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana. Este criterio valora la competencia del alumnado para identificar el espacio muestral en experiencias simples y en experiencias compuestas sencillas, en contextos concretos de la vida cotidiana, utilizar la Ley de Laplace, los diagramas de árbol o las tablas de contingencia para calcular probabilidades. Se pretende, además, que los resultados obtenidos se utilicen para la toma de decisiones razonables en el contexto de los problemas planteados 10. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias diversas y útiles para la resolución de problemas y expresar verbalmente con precisión, razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello. Este criterio valora la competencia para planificar el camino hacia la resolución de un problema, comprender las relaciones matemáticas que intervienen y elegir y aplicar estrategias y técnicas de resolución aprendidas en los cursos anteriores, con confianza en su propia capacidad e intuición. Asimismo, se trata de valorar la precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones numéricas y espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema (objetivo 5) 53 11. Emplear de manera autónoma y con sentido crítico los recursos tecnológicos en el trabajo habitual de matemáticas, en particular para realizar investigaciones y resolver problemas. Este criterio valora si el alumnado es competente para: utilizar racionalmente la calculadora científica y distintos programas informáticos adecuados para su nivel, para resolver ecuaciones por tanteo, para el tratamiento de las funciones y sus gráficas, el tratamiento de datos estadísticos y su representación, para realizar autorregulaciones y correcciones. Asimismo se valora si reconocen sus limitaciones e interpretan los resultados que nos proporcionan 12. Demostrar actitudes propias de la actividad matemática y valorar la contribución de esta materia en el desarrollo científico y cultural de la sociedad. Este criterio valora la constancia, la flexibilidad, el rigor y la precisión que el alumnado demuestra en sus tareas y la valoración del papel de las Matemáticas en la sociedad y su visión como un camino en construcción 5. TEMPORALIZACIÓN PRIMERA EVALUACIÓN: Unidades 1, 2, 3 y 4, 5 SEGUNDA EVALUACIÓN: Unidades 6, 7, 8, 9, 10 TERCERA EVALUACIÓN: Unidades 11, 12, 13, 14. 54 CUARTO DE ESO. MATEMÁTICAS B 1. COMPETENCIAS. Las competencias básicas, desde el proceso de enseñanza, son aquellos conocimientos, destrezas y actitudes necesarios para que una persona alcance su desarrollo personal, escolar y social. La competencia la demuestra el alumno cuando es capaz de actuar, de resolver, de producir o de transformar la realidad a través de las tareas que se le proponen. Al finalizar cuarto de ESO, el alumno debe haber alcanzado las siguientes competencias en el modo que se indica: COMPETENCIA MATEMÁTICA - Utilizar el pensamiento matemático para interpretar y describir la realidad, así como para actuar sobre ella. - Aplicar destrezas y desarrollar actitudes para razonar matemáticamente. - Comprender una argumentación matemática. - Expresarse y comunicarse a través del lenguaje matemático. COMPETENCIA EN EL TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL - Manejar herramientas tecnológicas para resolver problemas. Utilizar los lenguajes gráfico y estadístico para interpretar la realidad representada por los medios de comunicación. COMPETENCIA PARA APRENDER A APRENDER - Ser capaz de comunicar de manera eficaz los resultados del propio trabajo. Desarrollar la curiosidad, la concentración, la perseverancia y la reflexión crítica. COMPETENCIA SOCIAL Y CIUDADANA - - Enfocar los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, con el fin de valorar los puntos de vista ajenos en un plano de igualdad con los propios. Aplicar el análisis funcional y la estadística para describir fenómenos sociales, predecir y tomar decisiones 55 COMPETENCIA EN EL CONOCIMIENTO Y LA INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO - Discriminar formas, relaciones y estructuras geométricas. Transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio. Identificar modelos y usarlos para extraer conclusiones. COMPETENCIA EN COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA - Emplear el lenguaje matemático de forma oral y escrita para formalizar el pensamiento. Utilizar las leyes matemáticas para expresar y comunicar ideas de un modo preciso y sintético. COMPETENCIA EN LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL - Aplicar los procesos de resolución de problemas para planificar estrategias, asumir riesgos y controlar los procesos de toma de decisiones. Desarrollar modos de tratamiento de la información y técnicas de indagación. COMPETENCIA CULTURAL Y ARTÍSTICA - Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético. Utilizar la geometría para describir y comprender el mundo que nos rodea EMOCIONAL - Abordar con naturalidad el estudio de los contenidos de la materia. - Demostrar confianza en sí mismo. 56 2 OBJETIVOS Y CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS. BLOQUE 1. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los objetivos y contenidos de este bloque están incluidos dentro del resto de bloques temáticos y desarrollados en sus distintas unidades didácticas ya que la resolución de problemas forma parte tanto del Álgebra como de la Geometría, el Análisis o la probabilidad y abordarlo por separado no tendría sentido. BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA UNIDAD DIDÁCTICA 1: NÚMEROS REALES OBJETIVOS 1. Conocer qué es un número racional. 2. Expresar una fracción en forma decimal, y viceversa. 3. Conocer qué es un número irracional. 4. Conocer el conjunto de los números reales. 5. Representar números reales. 6. Utilizar y representar intervalos. 7. Calcular valores absolutos e intervalos con valores absolutos. 8. Estimar y aproximar números reales. 9. Calcular errores de una aproximación. 10. Utilizar correctamente la calculadora para obtener redondeos y hallar errores. CONTENIDOS Conceptos Números racionales. Expresión decimal de un número racional. Números irracionales. Números reales. Representación gráfica de números reales. Intervalos. Representación en la recta. Valor absoluto de un número real. Estimaciones y aproximaciones. Error y cota de error. Error absoluto y relativo de una aproximación. Cotas de error. Procedimientos Identificación de distintas fracciones como un mismo número racional. Obtención de la expresión decimal de una fracción, y viceversa. Clasificación de expresiones decimales en números racionales o irracionales. Cálculo de operaciones con números racionales expresados en forma decimal. Representación en la recta real de números reales. Representación de intervalos. Identificación de los números que pertenecen al intervalo. Relación de valor absoluto e intervalo. Cálculo de estimaciones y aproximaciones, especialmente redondeos, de un número real 57 Obtención de errores y cotas de errores. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad de los números reales para resolver, representar o interpretar situaciones y problemas de la vida cotidiana. Interés por los cálculos numéricos en un contexto de estimación y aproximación decimal. Valoración crítica del uso de la calculadora en aproximaciones y estimaciones. Perseverancia y flexibilidad para enfrentarse a problemas numéricos. UNIDAD DIDÁCTICA 2: RADICALES OBJETIVOS 1. Entender el significado de una potencia de exponente fraccionario y su relación con los radicales. 2. Realizar simplificaciones de radicales. 3. Operar con radicales. 4. Saber qué es y cómo se realiza una racionalización. 5. Utilizar la calculadora para realizar operaciones en notación científica y operaciones con radicales. CONTENIDOS Conceptos Potencias de exponente fraccionario. Radicales equivalentes. Radicales semejantes. Racionalización. Procedimientos Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa. Obtención de radicales equivalentes. Realización de operaciones con radicales, haciendo uso de la simplificación y de la extracción y/o introducción de factores. Racionalización de cocientes con expresiones radicales en el divisor. Actitudes Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos utilizando los radicales. Interés y respeto por las estrategias diferentes a las propias para resolver problemas y actividades numéricas. Reconocimiento y valoración crítica del uso de la calculadora en expresiones con radicales. 58 UNIDAD DIDÁCTICA 3: POLINOMIOS OBJETIVOS 1. Realizar sumas, restas, productos y potencias de polinomios, por separado y combinadas. 2. Conocer y obtener las identidades notables. 3. Realizar divisiones de polinomios. 4. Conocer y utilizar el teorema del resto. 5. Comprender cómo y cuándo se utiliza la regla de Ruffini. 6. Efectuar descomposiciones factoriales de polinomios. 7. Calcular las raíces enteras de polinomios si se conocen los divisores de su término independiente 8. Conocer las fracciones algebraicas. 9. Operar con fracciones algebraicas. CONTENIDOS Conceptos Sumas, restas, multiplicaciones y potencias de polinomios. Factor común. Identidades notables. División de polinomios. Valor numérico de un polinomio. El teorema del resto. La regla de Ruffini. Raíces enteras de un polinomio. Descomposición factorial. Fracciones algebraicas. Operaciones con fracciones algebraicas. Procedimientos Realización de operaciones con polinomios. Obtención del factor común de los términos de un polinomio. Expresión de un polinomio como una identidad notable. Desarrollo de una identidad notable. Cálculo del valor numérico de un polinomio para su utilización en el teorema del resto. Realización de divisiones mediante la regla de Ruffini. Obtención de las raíces enteras de un polinomio. Descomposición de un polinomio en factores Simplificación y cálculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas. Actitudes Interés por enfrentarse a operaciones con polinomios. Curiosidad por investigar relaciones y aplicaciones de conceptos como teorema del resto, la regla de Ruffini o la descomposición en factores. Respeto por las soluciones distintas de las propias. Gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en actividades con polinomios. 59 UNIDAD DIDÁCTICA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Identificar raíces de polinomios con soluciones de ecuaciones Resolver ecuaciones de grado mayor que dos por descomposición de polinomios. Conocer y resolver ecuaciones racionales. Conocer y resolver ecuaciones bicuadradas e irracionales. Resolver algebraicamente sistemas de ecuaciones lineales. Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones de segundo grado. Utilizar las ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. CONTENIDOS Conceptos Ecuaciones de grado mayor que dos. Ecuaciones racionales. Ecuaciones bicuadradas. Ecuaciones irracionales. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones de segundo grado. Procedimientos Relación entre factorización de polinomios y resolución de ecuaciones de grado mayor que dos. Resolución de ecuaciones racionales. Resolución de ecuaciones bicuadradas. Resolución de ecuaciones irracionales, e identificación de las soluciones válidas. Cálculo algebraico de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Obtención de la solución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales. Cálculo de las soluciones de sistemas de ecuaciones de segundo grado. Aplicación de las ecuaciones para la resolución de problemas. Actitudes Reconocimiento de la utilidad de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias en general. Valoración de la precisión en la búsqueda de soluciones, algebraica o gráfica, de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Perseverancia y flexibilidad para enfrentarse a problemas complejos que requieran el uso de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 60 UNIDAD DIDÁCTICA 5: INECUACIONES OBJETIVOS 1. Comprender qué es una inecuación y para qué sirve. 2. Reconocer y obtener inecuaciones equivalentes a una dada. 3. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. 4. Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita. 5. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 6. Hallar la solución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 7. Aplicar las inecuaciones en la resolución de problemas de la vida real. CONTENIDOS Conceptos Inecuaciones. Inecuaciones equivalentes. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Procedimientos Obtención de inecuaciones equivalentes utilizando las transformaciones adecuadas. Resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, algebraica y gráficamente. Resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita a partir de una tabla de signos. Resolución de algunas inecuaciones de grado superior a 2 y de algunos cocientes a partir de tablas de signos. Resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Actitudes Reconocimiento y valoración de las inecuaciones como vía para plantear y resolver situaciones de la vida real. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y resolverlos por métodos algebraicos y gráficos. Interés y respeto por las estrategias diferentes a las propias en la resolución de problemas mediante inecuaciones y sistemas de inecuaciones. 61 BLOQUE 3. GEOMETRÍA UNIDAD DIDÁCTICA 6: SEMEJANZA OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. Identificar polígonos semejantes y deducir su razón de semejanza. Construir polígonos semejantes a partir de la razón de semejanza. Reconocer triángulos semejantes utilizando los criterios de semejanza. Representar figuras en posición de Tales. Conocer los teoremas del cateto y de la altura. Identificar poliedros y cuerpos de revolución semejantes y deducir su razón de semejanza. 7. Relacionar áreas y perímetros de polígonos semejantes. 8. Relacionar volúmenes de cuerpos semejantes. CONTENIDOS Conceptos Semejanza de polígonos. Razones de semejanza. Criterios de semejanza de triángulos. Teoremas del cateto y de la altura. Semejanza de poliedros y de cuerpos de revolución. Relaciones entre perímetros y áreas de polígonos semejantes. Relaciones entre volúmenes de cuerpos semejantes. Procedimientos Construcción de polígonos semejantes. Obtención de la razón de semejanza entre polígonos semejantes. Resolución de problemas de triángulos semejantes. Aplicación de los teoremas del cateto y de la altura. Construcción de cuerpos semejantes. Cálculo de la relación entre áreas y perímetros de polígonos semejantes y entre volúmenes de cuerpos semejantes. Actitudes Curiosidad e interés por investigar relaciones geométricas. Reconocimiento de la presencia y uso de la semejanza en la vida real. Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos. 62 UNIDAD DIDÁCTICA 7: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Conocer qué es un radián y relacionar radianes y grados sexagesimales. Conocer las razones trigonométricas y sus propiedades en ángulos agudos. Determinar las razones trigonométricas exactas de 30º, 45º y 60º. Determinar las razones trigonométricas de ángulos agudos por métodos gráficos o con calculadora. 5. Conocer las relaciones básicas entre razones trigonométricas y utilizarla para hallar las razones de un ángulo a partir de dada. 6. Obtener la medida de un ángulo conocida una de sus razones por métodos gráficos o con calculadora. 7. Resolver triángulos rectángulos y utilizarlos para la resolución de problemas geométricos reales. CONTENIDOS Conceptos Medida de ángulos: radianes y grados sexagesimales. Razones trigonométricas directas e inversas. Métodos de cálculo de razones trigonométricas. Relaciones trigonométricas. Métodos de cálculo de ángulos. Aplicaciones de la trigonometría. Procedimientos Relación entre medidas en radianes y grados sexagesimales. Cálculo de las razones trigonométricas de ángulos agudos. Aplicación de las relaciones trigonométricas para calcular las razones de un ángulo conocida una de ellas. Cálculo de la medida de un ángulo conocida alguna de sus razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos y de problemas reales y geométricos. Actitudes Reconocimiento y valoración de la trigonometría como herramienta para plantear y resolver situaciones problemáticas contextualizadas en la vida cotidiana de los alumnos. Interés y respeto por las estrategias ajenas para resolver actividades y problemas de trigonometría. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas trigonométricos. 63 UNIDAD DIDÁCTICA 8: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO OBJETIVOS 1. Conocer qué es la circunferencia goniométrica y representar ángulos en ella, reduciéndolos al primer giro si es necesario. 2. Reconocer el cuadrante al que pertenece un ángulo dado, expresado en grados o en radianes. 3. Determinar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 4. Conocer las propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 5. Identificar los signos de las razones trigonométricas en función del cuadrante al que pertenece el ángulo. 6. Relacionar las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, opuestos y ángulos que difieren en 180º. 7. Comprender y aplicar los teoremas del seno y del coseno. 8. Manejar correctamente la calculadora para obtener razones trigonométricas de un ángulo, así como un ángulo a partir de una razón trigonométrica. CONTENIDOS Conceptos La circunferencia goniométrica. Ángulos mayores de 360º y menores de — 360º. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Propiedades. Relación de razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, opuestos y que difieren en 180º. Teorema del seno. Teorema del coseno. Procedimientos Representación de ángulos en la circunferencia goniométrica. Reducción de ángulos al primer giro. Cálculo de razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Representación de ángulos y cálculo de las razones trigonométricas de ángulos relacionados entre sí. Obtención de un ángulo a partir de una razón trigonométrica y del cuadrante al que pertenece. Resolución de triángulos aplicando los teoremas del seno y del coseno. Actitudes Flexibilidad para enfrentarse a actividades trigonométricas desde distintos puntos de vista. Adquisición de hábitos de trabajo adecuados en la realización de actividades con razones trigonométricas. Confianza en las propias capacidades para afrontar actividades y realizar cálculos y operaciones con la calculadora. 64 BLOQUE 4. FUNCIONES Y GRÁFICAS UNIDAD DIDÁCTICA 9: CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. Conocer y distinguir los conceptos de dominio y recorrido de una función. Reconocer funciones continuas, simétricas y periódicas. Obtener los puntos de corte de una gráfica con los ejes. Deducir los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 5. Identificar las asíntotas horizontales y verticales de una función. 6. Comprender el significado de las tasas de variación y de variación media. CONTENIDOS Conceptos Dominio y recorrido de una función. Continuidad de una función. Simetría: función par y función impar. Funciones periódicas. Cortes de una gráfica con los ejes de coordenadas. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Asíntotas horizontales y verticales de una función. Tasas de variación. Procedimientos Obtención del dominio y recorrido de una función. Estudio de la continuidad, simetría y periodicidad de una función. Cálculo de los puntos de corte con los ejes de abscisas y ordenadas. Estudio del crecimiento y decrecimiento de una función, y de sus máximos y mínimos relativos. Cálculo de la tendencia de una función, y en particular de sus asíntotas horizontales y verticales. Interpretación de las tasas de variación de una función. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad del lenguaje gráfico y su relación con el lenguaje numérico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en la representación gráfica de informaciones susceptibles de ser interpretadas a través de funciones. Interés y respeto por las soluciones a actividades gráficas distintas de las propias. 65 UNIDAD DIDÁCTICA 10: FUNCIÓN AFÍN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA OBJETIVOS 1. Conocer la función afín y la relación entre su expresión algebraica y su gráfica. 2. Deducir las principales características y la representación gráfica de una función cuadrática. 3. Obtener la representación gráfica de una parábola y de sus trasladadas. 4. Conocer las funciones definidas por intervalos y su representación. CONTENIDOS Conceptos La función afín: pendiente y ordenada en el origen. Ecuación de la recta. La función cuadrática: vértice y eje de simetría. Cortes con los ejes. Representación gráfica. Traslaciones de parábolas. Funciones definidas por intervalos. Procedimientos Obtención de la expresión algebraica de una recta. Representación de funciones afines. Cálculo de los elementos característicos de una parábola. Representación de una función cuadrática. Obtención de la expresión algebraica y de la gráfica de la traslación de una parábola. Representación de funciones definidas por intervalos. Actitudes Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en la representación gráfica de informaciones susceptibles de ser interpretadas a través de funciones. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de tablas y gráficas. 66 UNIDAD DIDÁCTICA 11: FUNCIÓN INVERSA, EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Conocer qué es una función inversa y las formas de expresarla. Comprender cómo se obtiene la traslación de una hipérbola. Reconocer funciones exponenciales y sus formas de expresión. Comprender qué es un logaritmo y sus propiedades. Identificar funciones logarítmicas y las formas de expresarla. CONTENIDOS Conceptos Función inversa: expresión algebraica y representación gráfica. Hipérbolas trasladadas. Función exponencial: expresión algebraica y representación gráfica. Logaritmos. Propiedades. Función logarítmica: expresión algebraica y representación gráfica. Procedimientos Obtención de la expresión algebraica de una función inversa, exponencial o logarítmica a partir de su gráfica. Representación de una función inversa, exponencial o logarítmica a partir de su expresión algebraica. Estudio de las principales características de una función inversa, exponencial o logarítmica. Relación de una hipérbola y su trasladada. Cálculo de logaritmos aplicando sus propiedades. Actitudes Reconocimiento y valoración crítica del lenguaje gráfico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en la representación gráfica de informaciones susceptibles de ser interpretadas a través de funciones. Interés y respeto por las estrategias diferentes a las propias para resolver problemas por métodos algebraicos y geométricos. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de tablas y gráficas. 67 BLOQUE 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD UNIDAD DIDÁCTICA 12: ESTADÍSTICA OBJETIVOS 1. Utilizar gráficos para representar distribuciones estadísticas. 2. Conocer y comprender los parámetros de centralización, sus características y representatividad. 3. Conocer y comprender los parámetros de dispersión y su utilidad. 4. Distinguir cuándo una distribución es simétrica y asimétrica. 5. Utilizar diagramas de cajas. 6. Comprender cómo se elabora un estudio estadístico. CONTENIDOS Conceptos Gráficos estadísticos. Parámetros de centralización. Características. Parámetros de dispersión. Distribuciones simétricas y asimétricas. Diagramas de cajas. Estudio estadístico: aspectos a tener en cuenta. Procedimientos Representación e interpretación de gráficos estadísticos. Cálculo de parámetros de centralización y de dispersión. Identificación de distribuciones simétricas y asimétricas. Representación de diagramas de cajas. Elaboración de estudios estadísticos. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad del lenguaje estadístico para resolver problemas de la vida cotidiana. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en el tratamiento y representación gráfica de informaciones de diversa índole. Adquisición de hábitos de trabajo adecuados en la realización de problemas estadísticos. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas estadísticos. 68 UNIDAD DIDÁCTICA 13: PROBABILIDAD OBJETIVOS 1. Conocer el concepto de probabilidad de un suceso y sus propiedades. 2. Comprender y aplicar la regla de Laplace. 3. Conocer el concepto de suceso condicionado y hallar la probabilidad de la intersección de sucesos. 4. Distinguir sucesos compatibles e incompatibles. 5. Hallar la probabilidad de la unión de sucesos. 6. Utilizar los diagramas de probabilidad y las tablas de contingencia para hallar probabilidades de una manera sencilla. 7. Aplicar la probabilidad a la resolución de problemas de la vida cotidiana. CONTENIDOS Conceptos Probabilidad. La regla de Laplace. Probabilidad condicionada. Probabilidad de la intersección. Probabilidad de la unión. Diagramas de árbol y diagramas de probabilidad. Tablas de contingencia. Procedimientos Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Cálculo de probabilidades condicionadas y probabilidades de la intersección de sucesos. Identificación de sucesos compatibles e incompatibles. Cálculo de probabilidades de la unión de sucesos. Utilización de diagramas de probabilidad y de tablas de contingencia en el cálculo de probabilidades. Resolución de problemas cotidianos. Actitudes Reconocimiento y valoración de la utilidad de la probabilidad para resolver problemas de la vida cotidiana. Interés y respeto por las estrategias ajenas para resolver actividades y problemas de probabilidad. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de diagramas y tablas. 69 3. CONTENIDOS MÍNIMOS. Bloque 1. Planteamiento y resolución de problemas Uso de estrategias y técnicas: análisis y comprensión del enunciado, emisión y justificación de hipótesis, representación, el ensayo y error, secuenciación y resolución en problemas más simples, revisión y comprobación de la solución obtenida. Descripción del procedimiento seguido. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas, con perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas. Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones e informaciones matemáticas sobre cantidades y medidas o sobre elementos y relaciones espaciales, dando una formulación propia en forma de problemas. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. Uso de estrategias personales para el cálculo mental y para el cálculo aproximado, así como de la calculadora y otras herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos y la revisión de los resultados. Uso de hojas de cálculo. Bloque 2. Números y Álgebra Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción. Números irracionales. Representación de números en la recta real. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y aproximación adecuadas en cada caso. Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación y simplificación de radicales. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos. Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical. Manejo de expresiones literales. Utilización de igualdades notables. Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones. 70 Bloque 3. Geometría Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos. Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas. Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes. Bloque 4. Funciones y gráficas Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales. Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico. Bloque 5. Estadística y probabilidad Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad, en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. 71 4. CRITERIOS DE EVALUACIÓN. 1. Identificar elementos matemáticos presentes en la realidad, y aplicar los conocimientos matemáticos adquiridos en situaciones cotidianas. Este criterio valora si el alumnado es competente para interpretar la realidad en términos matemáticos, formular sus propios problemas y utilizar el razonamiento para analizar situaciones cotidianas . 2. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico. Este criterio valora la competencia para identificar y emplear los distintos tipos de números y las operaciones siendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) y estimar la coherencia y precisión de los resultados obtenidos. En este nivel adquiere especial importancia observar la capacidad de los alumnos para adecuar la solución (exacta o aproximada) a la precisión exigida en el problema, particularmente cuando se trabaja con potencias, radicales o fracciones. 3. Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos y métodos algebraicos para resolver problemas. Este criterio valora el uso del álgebra simbólica para representar y explicar relaciones matemáticas y utilizar sus métodos en la resolución de problemas mediante inecuaciones, ecuaciones y sistemas 4. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas e indirectas en situaciones reales. Este criterio valora la competencia para desarrollar estrategias para calcular magnitudes desconocidas a partir de otras conocidas, utilizar los instrumentos de medida disponibles, aplicar las fórmulas apropiadas y desarrollar las técnicas y destrezas adecuadas para realizar la medición propuesta). 5. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. Este criterio valora la competencia para discernir a qué tipo de modelo, de entre los estudiados: lineal, cuadrático, de proporcionalidad inversa, exponencial o logarítmica, responde a un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías de la información. Además, a la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores numéricos de una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado. Para ello será precisa la aproximación e interpretación de la tasa de variación media a partir de los datos gráficos, numéricos o valores concretos alcanzados por la expresión algebraica 72 6. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas. Este criterio valora la competencia alcanzada en el estudio cualitativo de los datos disponibles y las conclusiones que pueden extraerse del uso conjunto de los parámetros estadísticos. Se pretende, además, que se tenga en cuenta la representatividad y la validez del procedimiento de elección de la muestra y la pertinencia de la generalización de las conclusiones del estudio a toda la población 7. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana. Este criterio valora la competencia para identificar el espacio muestral en experiencias simples y en experiencias compuestas sencillas, en contextos concretos de la vida cotidiana, y utilizar la Ley de Laplace, los diagramas de árbol o las tablas de contingencia para calcular probabilidades. Se pretende, además, que los resultados obtenidos se utilicen para la toma de decisiones razonables en el contexto de los problemas planteados 8. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización, y expresar verbalmente con precisión y rigor razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello. Este criterio valora la competencia para planificar el camino hacia la resolución de un problema, comprender las relaciones matemáticas y aventurar y comprobar hipótesis, confiando en su propia capacidad e intuición. También, valora la precisión y el rigor del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones, numéricas y espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema 9. Emplear de manera autónoma y con sentido crítico los recursos tecnológicos en el trabajo habitual de matemáticas, en particular para realizar investigaciones y resolver problemas. Este criterio valora si el alumnado es competente para: utilizar racionalmente la calculadora científica y distintos programas informáticos adecuados para su nivel, para resolver ecuaciones por tanteo, para el tratamiento de las funciones y sus gráficas, el tratamiento de datos estadísticos y su representación, para realizar autorregulaciones y correcciones. Asimismo se valora si reconocen sus limitaciones e interpretan los resultados que nos proporcionan 10. Demostrar actitudes propias de la actividad matemática y valorar la contribución de esta materia en el desarrollo científico y cultural de la sociedad. Este criterio valora la constancia, la flexibilidad, el rigor y la precisión que el alumnado demuestra en sus tareas y la valoración del papel de las Matemáticas en la sociedad y su visión como un camino en construcción 73 5. TEMPORALIZACIÓN. PRIMERA EVALUACIÓN: Unidades 1, 2, 3, 4, 5 SEGUNDA EVALUACIÓN: Unidades 6, 7, 8, 9. TERCERA EVALUACIÓN: Unidad 10, 11, 12, 13. 74 LA EVALUACIÓN EN LA ESO ACTITUDES Se valoraran en los alumnos las siguientes actitudes: - Participar activamente en clase. Mostrar interés por la materia. Demostrar constancia y esfuerzo. Realizar diariamente las actividades. Presentar los trabajos y cuadernos con orden y limpieza. Respetar las opiniones ajenas. Mostrar actitud de respeto hacia el profesor y sus compañeros, sin interrumpir ni obstaculizar el trabajo del grupo bien por hablar, distraer o molestar con frecuencia. Desarrollar las capacidades de atención, silencio y escucha. Desarrollar una actitud de tolerancia en el trabajo en equipo. Valorar las Matemáticas como fuente de información y de aprendizaje. Valorar las Matemáticas como instrumento para satisfacer las necesidades de comunicación y adquisición de nuevos aprendizajes. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN El proceso de evaluación seguirá siempre un modelo de EVALUACIÓN CONTÍNUA, siendo los instrumentos de recogida de información los siguientes: - Observación sistemática del trabajo en el aula. Revisión de los trabajos y cuadernos de los alumnos. Intercambios orales con los alumnos. Pruebas específicas, tanto orales como escritas. Con dichos procedimientos se evaluarán actitudes, procedimientos, conceptos y competencias. 75 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN Se tendrán en cuenta los siguientes aspectos: Asistencia habitual a clase. Adquisición de los contenidos básicos programados. Adquisición de las actitudes valoradas. Adquisición de las competencias básicas programadas. Dichos criterios se aplicarán de la siguiente forma para los distintos cursos: PRIMERO Y SEGUNDO DE ESO. Se realizará una prueba de evaluación inicial al comienzo del curso, para conocer el nivel de partida de los alumnos. Pruebas escritas: Examen cada una o dos unidades sobre conceptos, procedimientos y competencias, pudiendo ser cada uno de ellos acumulativo de la materia anterior en los distintos bloques. En la 1ª y 2ª evaluación se realizará un examen de recuperación. En Junio, se realizará un examen global de mínimos para aquellos alumnos que tengan alguna evaluación suspensa: • Los alumnos que tengan sólo una evaluación suspensa, se examinarán únicamente de esa evaluación. • Los alumnos que tengan más de una evaluación suspensa realizarán el examen de toda la asignatura. Las pruebas escritas suponen un 70% de la calificación final. Actitudes Las actitudes se valorarán sobre un 30% de la calificación final. Cuaderno y trabajos: 10%. Trabajo en casa: 10%. Actitud y participación en clase: 10% 76 TERCERO Y CUARTO DE ESO. Pruebas escritas: Examen cada una o dos unidades sobre conceptos, procedimientos y competencias, pudiendo ser cada uno de ellos acumulativo de la materia anterior en los distintos bloques. En la 1ª y 2ª evaluación se realizará un examen de recuperación. En Junio, se realizará un examen global de mínimos para aquellos alumnos que tengan alguna evaluación suspensa: • Los alumnos que tengan sólo una evaluación suspensa, se examinarán únicamente de esa evaluación. • Los alumnos que tengan más de una evaluación suspensa realizarán el examen de toda la asignatura. Las pruebas escritas: supondrán un 80% de la calificación final Actitudes: Supondrán un 20 % de la calificación final. Cuaderno y trabajos: 5%. Trabajo en casa: 10%. Actitud y participación en clase: 5% Para obtener calificación positiva en cada una de las evaluaciones, se considerará requisito imprescindible haber obtenido en cada una de las pruebas escritas una puntuación igual o superior a 3 RECUPERACIÓN DE ALUMNOS SUSPENSOS El Departamento dispone de Planes de Trabajo Individualizados (PTI) para los alumnos suspensos, conforme al modelo General establecido por el Claustro. Los alumnos que en Junio suspendan la asignatura tendrán un examen extraordinario en Septiembre elaborado conjuntamente por los miembros del Departamento. FALTAS DE ASISTENCIA En el caso de que un alumno falte a clase sin justificar, el departamento aplicará las medidas recogidas en el Reglamento de Régimen Interno del Centro, siguiendo el protocolo de apercibimientos establecido en el mismo. Es decir, que con un número de faltas sin justificar, igual o mayor al 10%, se pierde el derecho a la evaluación continua, estableciéndose en esos casos un sistema de evaluación extraordinario consistente en un examen global a final de curso, sin que se tengan en cuenta las posibles notas parciales o las partes aprobadas que el alumno pudiera tener. 77 PLAN DE RECUPERACIÓN DE ALUMNOS CON MATEMÁTICAS PENDIENTES DE CURSOS ANTERIORES. En la página web del centro se colgarán colecciones de ejercicios sobre los que versarán las pruebas escritas, pudiendo el alumno plantear dudas a los profesores del departamento, especialmente al profesor del curso en el que se encuentran. Sobre este tipo de problemas se realizaran dos pruebas escritas, en las fechas indicadas que se calificarán de 0 a 10 puntos. Los alumnos que no superen la asignatura con estas pruebas, tendrán que realizar una prueba global. Los calendarios para dichas pruebas que se han hecho públicos serán los siguientes: Bloque I 20 de Enero 2016 9:40 salón de actos 1º ESO 2º ESO 3º ESO - Números Naturales Potencias y raíces Divisibilidad Números enteros Números decimales Sistema métrico decimal - Divisibilidad Números enteros Fracciones Potencias Proporcionalidad y porcentajes - Números enteros Números racionales Radicales. Notación científica Bloque II 13 de Abril 2016 9:40 salón de actos Fracciones Proporcionalidad Porcentajes Expresiones algebraicas Ecuaciones de primer grado con una incógnita - Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas sencillas. - Teorema de Pitágoras. - - Expresiones algebraicas - Ecuaciones de primer grado con una incógnita - Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas. - Teorema de Pitágoras. - Monomios. Polinomios - Ecuaciones de primer y segundo grado - Sistemas de ecuaciones. - Función lineal. - Características de una función, a partir de su gráfica. Los alumnos que no hayan superado la asignatura con la media de estos dos exámenes, podrán hacerlo mediante un examen global de la asignatura el 18 de mayo de 2015. En el caso excepcional de que el alumno apruebe en Junio el curso en que se encuentre y suspenda la materia pendiente de años anteriores, el Departamento acuerda guardar la nota hasta Septiembre. Si en la convocatoria de Septiembre, el alumno suspende o no se presenta a los exámenes de la materia pendiente, suspendería las dos materias. Dichos casos excepcionales deben recogerse en el acta del Departamento del mes de Junio del curso correspondiente con el nombre y curso de los alumnos implicados. 78 SECCIONES EUROPEAS El Departamento participa en el programa de secciones Europeas con 2 grupos de 1º, 2º y 3º de ESO y dos grupos de 4º de ESO de Matemáticas B. OBJETIVOS . Además de los objetivos propios del área para de la ESO nos planteamos los siguientes objetivos: 1. Iniciar a los alumnos en el uso del inglés como lengua de trabajo. Para ello deberán conocer el vocabulario propio de cada unidad didáctica y utilizarlo para realizar actividades en las cuales el contenido tenga una dificultad creciente tanto desde el punto de vista de las Matemáticas como del uso del idioma. 2. Mejorar y potenciar los conocimientos de matemáticas e inglés con una metodología flexible y activa. Que los alumnos al utilizar el inglés como lengua para desarrollar los contenidos de matemáticas, utilicen sus destrezas en la segunda lengua de forma natural para seguir las explicaciones, realizar actividades, entender el enunciado de los problemas e interpretar las soluciones así como para enriquecer su vocabulario en inglés con el propio de las matemáticas 3. Aumentar la confianza en el proceso de aprendizaje y el interés por el aprendizaje de la lengua extranjera Lograr que los alumnos se sientan motivados al ver la utilidad que tiene una segunda lengua, aumentando su interés por aprender y utilizar el inglés, 4. Integrar las TIC, como elemento importante, estimulante y motivador para los alumnos. Al utilizar videos de contenido matemático, páginas web con actividades interactivas, búsqueda de datos e información relacionada con contenidos de matemáticas por Internet las TIC se integran como herramienta importante dentro del aprendizaje. 5. Promover la adquisición y el desarrollo de las competencias lingüísticas de los alumnos en relación con las destrezas de escuchar, hablar, conversar, leer y escribir, mediante el aprendizaje integrado de contenidos y lengua extranjera. 79 COMPETENCIAS Las matemáticas bilingües contribuyen al desarrollo de las siguientes competencias básicas. • Competencia en comunicación lingüística. Pretendemos que nuestros alumnos sean capaces, según su nivel, de comprender al profesor cuando se expresa en la lengua vehicular, que puedan expresarse y comunicarse utilizando conceptos sencillos de matemáticas así como comprender los enunciados de los problemas. También pretendemos que el alumno sea capaz de transvasar conocimientos del inglés a las matemáticas y de las matemáticas al inglés • Competencia matemática. En la asignatura de matemáticas pretendemos que nuestros alumnos puedan plantear, seguir un razonamiento y analizar la solución de problemas en inglés • Competencia de aprender a aprender Al existir un transvase constante entre el inglés y las matemáticas, el alumno desarrolla su capacidad para aprender así como su curiosidad y reflexión crítica. • Competencia en el tratamiento de la información y Competencia digital. Al utilizar TIC como recursos para el aprendizaje de las matemáticas bilingües no solo mejoran este, sino que el alumno desarrolla su competencia en el uso de los mismos. • Competencia social y ciudadana. La mejora de la competencia lingüística permite al alumno acceder de forma más directa a la información lo que le permite, comparando tablas de datos, gráficas relativas a poblaciones, necesidades y recursos adquirir una conciencia ciudadana y solidaria. 80 MATERIALES: El profesor, en colaboración con los otros profesores del Departamento de Matemáticas integrantes del proyecto de Secciones Europeas, y bajo la supervisión de los profesores del departamento de Inglés, elabora fichas en inglés para cada una de las unidades didácticas que se le irán entregando a los alumnos a lo largo del curso. Libros de consulta: • • • • • • “MATHEMATICS BASIC CONCEPTS”. 1º y 2º de ESO. Editorial Anaya. “MATHEMATICS 1º, 2º, 3º, 4º de ESO”. Editorial Educalia. “MATHEMATICS FOR THE INTERNATIONAL STUDENT. Pre-Diploma Studies SL”. Editorial Haese and Harris Publications “MATHEMATICS FOR THE INTERNATIONAL STUDENT. Pre-Diploma SL and HL”. Editorial Haese and Harris Publications FRAMEWORK MATHS year 8 and year 9. Editorial Oxford University Press CORE MATHEMATICS FOR IGCSE. Editorial Holdder Murray Los alumnos tienen el libro de texto en español en su casa, lo que les servirá como libro de consulta. Recursos en la Web: Páginas Web en inglés interactivas en las que los alumnos realizarán actividades sobre los distintos temas como: • • • • • MEP (Mathematic Enhancement Programme). Center for innovation in mathematics Teaching Secundary BBC Maths. List of maths websites for 11-16 year old students, including games and activities. The Math Page. Arithmetic, Algebra and Trigonometric and Calculus, lesson from Lawrence Spector Class Zone. Power Point, Presentation , Workbook with interactive activities. CK-12 Foundation Free online textbooks, flashcards and exercises Videos en la Web: Se proyectarán pequeños videos en inglés con breves explicaciones de algunos contenidos de la materia realizados por profesorado nativo, para que el alumno asimile la pronunciación correcta de los términos matemáticos como: • KHAN ACADEMY MATH. from 6th to 8th grade(U.S)., Arithmetic and prealgebra, Algebra, Geometry ,trigonometry and precalculus, Probability and stadistics • CK-12 Foundation 2014.videos of different units of Math • MATHVIDS. Middle and High School.. Math History 81 METODOLOGÍA La utilización del inglés, teniendo en cuenta que el alumnado no procede de colegios bilingües, se hará de forma progresiva, de modo que, a principios de curso en primero de ESO se limitará a las rutinas de clase y al vocabulario elemental de matemáticas como números y operaciones básicas, para ir aumentando paulatinamente, hasta conseguir que la mayor parte de la sesión, se desarrolle el inglés. Se utilizará el español, siempre y cuando, éste facilite a los alumnos la comprensión de los conceptos matemáticos Se trabajaran algunas sesiones en el aula althia. EVALUACIÓN: Los procedimientos e instrumentos para evaluar actitudes, procedimientos, conceptos y competencias serán iguales a los referidos en “la evaluación en la ESO”. Lo mismo ocurre con los criterios de calificación acordados por el Departamento. Los exámenes, se redactarán en inglés, utilizando el vocabulario adquirido en cada unidad. No se penalizarán los errores en el uso de la lengua extrajera. Respecto a los criterios de evaluación solamente habría que añadir los específicos del proyecto referidos a las competencias lingüísticas: • Utilizar correctamente el vocabulario propio de cada unidad. Con dichos procedimientos se evaluarán actitudes, procedimientos, conceptos y competencias. 82 TEMAS TRANSVERSALES El tratamiento de los temas transversales en el área de Matemáticas se lleva a cabo principalmente en el método de trabajo seguido, en el desarrollo de la clase y en el planteamiento de problemas, cuyo enunciado se puede encaminar en función de dichos temas. Así, la educación para la convivencia estará presente en todo momento a lo largo de cualquier unidad didáctica promoviendo un trabajo en equipo basado en el respeto a los demás compartiendo recursos, fomentando el intercambio de opiniones y conocimientos así como la capacidad de ayuda mutua. En cuanto a la educación del consumidor, se tratará de fomentar en los alumnos el sentido crítico y el análisis razonado y objetivo ante el cúmulo de informaciones matemáticas o pretendidamente matemáticas (ya sean gráficas, estadísticas o probabilísticas) a las que se ven sometidos frente a los medios de comunicación, y en las situaciones cotidianas o relaciones con entidades financieras (promociones "rebajadas" en ventas de artículos, ventajas engañosas en financiaciones, planes de ahorro, etc...) A través de todas estas informaciones se incitará al alumno a un consumo sostenible en un mundo con recursos limitados y grandes desigualdades sociales. Educación para la paz: La historia de las matemáticas, en general, ofrecen ejemplos de cómo las distintas civilizaciones y pueblos del planeta, han aportado a lo largo de su historia, conocimientos valiosos, lo que puede y debe utilizarse para combatir el desprecio a otras culturas, haciendo ver a los alumnos que la comprensión y la paz entre los pueblos y entre los hombres contribuyen al mutuo enriquecimiento. Por otra parte el alumno será consciente de que las desigualdades sociales en la mayoría de los casos son causas de conflictos. Se tratará así mismo, la prevención de la violencia por razón de sexo, de la violencia contra las personas con discapacidad, de la violencia terrorista y de cualquier forma de violencia, racismo o xenofobia. Educación ambiental: algunos ejercicios hacen referencia a actividades en la naturaleza y a la interacción con el mundo físico, esto puede servir para hacer reflexionar a los alumnos sobre la importancia del medio ambiente y la necesidad de cuidarlo, ya que cada uno de nosotros, podemos hacer algo para su conservación. Los problemas medio ambientales y el respeto al medio ambiente estarán presentes en muchas actividades y problemas a lo largo del curso Educación para la salud: a partir de actividades referidas a enfermedades, se puede hacer hincapié en la necesidad de prevención y de desarrollo de hábitos saludables. Además, en las actividades que giran en torno a carreras o el ciclismo, es recomendable insistir en los beneficios relacionados con el deporte, no como competencia, sino como un hábito saludable y, si se trata de deportes de equipo, como forma de solidaridad y compañerismo. 83 MATERIAL Y RECURSOS DIDÁCTICOS • Libro del alumno: - 1º DE ESO: “MATEMÁTICAS 1ºESO” Editorial Edelvives. - 2º DE ESO: “MATEMÁTICAS 1ºESO” Editorial Anaya. - 3º DE ESO:“MATEMÁTICAS 3ESO” Editorial Edelvives. - 4º DE ESO: “MATEMÁTICAS 4º ESO” Ed. Anaya. • Cuaderno de actividades del alumno. • Cuerpos geométricos. • Calculadora científica. • Libros de consulta. • Ordenador. • Programas informáticos. • Otros recursos informáticos 84 MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD La capacidad de aprender no debe entenderse como una capacidad que el individuo ha adquirido por herencia genética, sino como una capacidad que puede modificarse y beneficiarse, dependiendo de los contenidos y procedimientos de los que se acompañe todo el proceso educativo. Así, cada alumno/a presenta capacidades diferentes y, para que el proceso de aprendizaje sea fructífero, debe atenderse esa diversidad. Para atenderla, existen vías distintas que cada profesor puede seguir en el momento que lo crea oportuno, ya que él es quien mejor puede captar esa necesidad de cambio, gracias a su continuo contacto con el alumnado. Entre esas medidas podemos nombrar el seguimiento de diferentes metodologías, la utilización de materiales didácticos variados, cambios de ritmo en el desarrollo de las clases, presentación de actividades variadas con diferentes niveles de dificultad, etc... Por tanto, el propio profesor es el principal protagonista de la atención a la diversidad y quien, movido por las circunstancias reseñadas anteriormente, realizará los ajustes necesarios para prestar la mejor ayuda a su alumnado. En los casos en los que el profesor, en coordinación con el Departamento de Orientación, lo crea conveniente, se realizará una adaptación curricular para atender a esa diversidad, aunque hay que poner de manifiesto el hecho de que llevar a cabo este tipo de adaptaciones dentro de un grupo numeroso de alumnos presenta grandes dificultades 85 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES • En las “Jornadas Culturales”, el Departamento organizará, como en años anteriores algún concurso, de juegos de lógica, resolución de Sudokus..., para mostrar a los alumnos la parte lúdica de las matemáticas. • “Olimpiada Matemática”: los miembros del Departamento, como en cursos anteriores, selecionarán, prepararán y en su caso acompañarán a los alumnos a la Olimpiada Matemática provincial. • Utilización del “aula Althia” para la utilización de páginas web. • Utilización de las aulas con pizarra digital para la proyección de videos didácticos. COORDINACIÓN CON OTROS DEPARTAMENTOS Dado el carácter instrumental de las Matemáticas para otras ciencias, el Departamento establecerá (siempre que nuestras propias programaciones lo permitan) vías de colaboración y coordinación con otros Departamentos, en especial con los de Física y Química y Tecnología y procurará satisfacer las demandas que en este sentido presenten dichos Departamentos. Igualmente estableceremos vías de coordinación con el departamento de Lengua. Los alumnos cometen demasiadas faltas de ortografía y en demasiados casos, tienen algunas dificultades a la hora de entender los enunciados de los problemas. Es muy importante trabajar la comprensión lectora para reforzarla. 86 MATEMÁTICAS EN EL BACHILLERATO 1. METODOLOGÍA Toda programación didáctica trata de tener en cuenta determinados factores para responder a determinadas concepciones de la enseñanza y el aprendizaje. Destacamos a continuación los factores que inspiran nuestra programación: a) El nivel de conocimientos de los alumnos y las alumnas En la actualidad está unánimemente extendida entre la comunidad de educadores que toda enseñanza que pretenda ser significativa debe partir de la valoración de los conocimientos previos de los alumnos y las alumnas. De este modo, partiendo de lo que ya saben, podremos construir nuevos aprendizajes que conectarán con los que ya tienen de cursos anteriores o de lo que aprenden fuera del aula, ampliándolos en cantidad y, sobre todo, en calidad. b) Ritmo de aprendizaje de cada alumno o alumna Cada persona aprende a un ritmo diferente. Los contenidos deben estar explicados de tal manera que permitan extensiones y gradación para su adaptabilidad. c) Preparación básica para un alumnado de Ciencias o Ingeniería Los alumnos y las alumnas de estos bachilleratos requieren una formación conceptual y procedimental básica para un estudiante de Ciencias: un buen bagaje de procedimientos y técnicas matemáticas, una sólida estructura conceptual y una razonable tendencia a buscar cierto rigor en lo que se sabe, en cómo se aprende y en cómo se expresa. d) Atención a las necesidades de otras asignaturas El papel instrumental de las Matemáticas obliga a tener en cuenta el uso que de ellas se puede necesitar en otras asignaturas. Concretamente, las necesidades de la Física imponen que los temas de derivadas e integrales se traten con algo más de profundidad de lo que se haría de no darse ese requerimiento. 87 UNA CONCEPCIÓN CONSTRUCTIVISTA DEL APRENDIZAJE Desde la perspectiva constructivista del aprendizaje en que se basa nuestro currículo oficial y, consecuentemente, este proyecto, la realidad solo adquiere significado en la medida en que la construimos. La construcción del significado implica un proceso activo de formulación interna de hipótesis y la realización de numerosas experiencias para contrastar. Si hay acuerdo entre las hipótesis emitidas y los resultados de las experiencias, “comprendemos”; si no lo hay, formulamos nuevas hipótesis o abandonamos. Las bases sobre las que se asienta esta concepción de los aprendizajes están demostrando que: 1. Los conceptos no están aislados, sino que forman parte de redes conceptuales con cierta coherencia interna. 2. Los alumnos y las alumnas no saben manifestar, la mayoría de las veces, sus ideas. 3. Las ideas previas y los errores conceptuales se han dado y se siguen dando, frecuentemente, en alumnos de la misma edad en otros lugares. 4. Los esquemas conceptuales que traen los alumnos son persistentes y no es fácil modificarlos. Todo ello tiene como consecuencias, que se han de tomar en consideración por el profesorado, al menos, las siguientes: • Que el alumno sea consciente de cuál es su posición de partida. • Que se le haga sentir la necesidad de cambiar sus ideas de partida. • Que se propicie un proceso de reflexión sobre lo que se va aprendiendo y una autoevaluación para que sea consciente de los progresos que va realizando. Así pues, nuestro modelo de aprendizaje, que se basa en el constructivismo, tiene en cuenta: los conocimientos previos de los alumnos, el campo de experiencias en el que se mueven y las estrategias interactivas entre ellos y con el profesorado. 88 CONTENIDOS DEL PROYECTO Y ASPECTOS METODOLÓGICOS De acuerdo con el famoso párrafo 243 del informe Cockcroft que tantas repercusiones está teniendo en los últimos tiempos, deberíamos “equilibrar” las oportunidades para que en una clase de Matemáticas haya: • Explicaciones a cargo del profesor. • Discusiones entre profesor y alumnos y entre los alumnos mismos. • Trabajo práctico apropiado. • Consolidación y práctica de técnicas y rutinas fundamentales. • Resolución de problemas, incluida la aplicación de las Matemáticas a situaciones de la vida diaria. • Trabajos de investigación. • Utilizaremos en cada caso el más adecuado de los procedimientos anteriores para lograr el mejor aprendizaje de los alumnos sobre hechos, algoritmos y técnicas, estructuras conceptuales y estrategias generales. Por otra parte, hay capacidades en Matemáticas que no se desarrollan dominando con soltura algoritmos y técnicas. Se trata de capacidades más necesarias en el momento actual y, con toda seguridad, en el futuro. Nos referimos a resolución de problemas, elaboración y comprobación de conjeturas, abstracción, generalización... Por otra parte, además de ser capacidades alumnos pudieran dar respuestas rápidas que permitieran conocer la situación de partida y permitirles luego contrastar con el resultado final, para que puedan apreciar sus “progresos”. Es esta una manera de ir generando confianza. Una vez elaboradas las primeras hipótesis de trabajo, la discusión con el profesor pondrá de manifiesto lo acertado del pensamiento y la reformulación de las conclusiones, si procede. 89 2. COMPETENCIAS BÁSICAS El desarrollo de esta materia contribuirá a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades: • Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que permitan a los alumnos y a las alumnas avanzar en la propia matemática, en sus conexiones y aplicaciones con otras materias, para poder acceder a estudios posteriores relacionados con la ciencia y la tecnología. • Aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos, en particular, en la interpretación de fenómenos y procesos de las ciencias la tecnología y en las actividades cotidianas. • Utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas, de forma que les permita enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, perseverancia, eficacia y creatividad. • Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos científicotecnológicos utilizando tratamientos matemáticos, y expresar críticamente opiniones, argumentando con precisión y rigor, aceptando la discrepancia y los puntos de vista diferentes. • Utilizar los conocimientos matemáticos adquiridos para interpretar críticamente los mensajes, datos e informaciones que aparecen en los medios de comunicación y otros ámbitos sobre cuestiones científicotecnológicas. • Mostrar hábitos y actitudes propias de la actividad matemática, tales como la explicitación de hipótesis, al formulación de conjeturas, la construcción de ejemplos y contraejemplos, la justificación de las afirmaciones que se formulan, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas, la visión crítica y la apertura a nuevas ideas. • Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas. • Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. • Establecer relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural y científico-tecnológico, apreciando su lugar como parte de nuestra cultura. • Valorar el trabajo en grupo como elemento base de interacción personal en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, comprendiendo la importancia de las ideas y opiniones diversas, de las estrategias y métodos personales de planteamiento y resolución ajenos como fuente de mejora y enriquecimiento del pensamiento propio. 90 3. CURRÍCULO Este apartado estará basado en el DOCM nº 128 de 20 de Junio de 2008 4. ESTRATEGIAS EVALUACIÓN. Y PROCEDIMIENTOS DE ACTITUDES Se valoraran en los alumnos las siguientes actitudes: - Participar activamente en clase. Mostrar interés por la materia. Demostrar constancia y esfuerzo. Realizar diariamente las actividades. Presentar los trabajos y cuadernos con orden y limpieza. Respetar las opiniones ajenas. Mostrar actitud de respeto hacia el profesor y sus compañeros, sin interrumpir ni obstaculizar el trabajo del grupo bien por hablar, distraer o molestar con frecuencia. Desarrollar las capacidades de atención, silencio y escucha. Desarrollar una actitud de tolerancia en el trabajo en equipo. Valorar las Matemáticas como fuente de información y de aprendizaje. Valorar las Matemáticas como instrumento para satisfacer las necesidades de comunicación y adquisición de nuevos aprendizajes. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN El proceso de evaluación seguirá siempre un modelo de EVALUACIÓN CONTÍNUA, siendo los instrumentos de recogida de información los siguientes: - Observación sistemática del trabajo en el aula. Revisión de los trabajos de los alumnos. Intercambios orales con los alumnos. Pruebas específicas, tanto orales como escritas. Con dichos procedimientos se evaluarán actitudes, procedimientos, conceptos y competencias. 91 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN Se tendrán en cuenta los siguientes aspectos: Asistencia habitual a clase. Adquisición de los contenidos básicos programados. Adquisición de las actitudes valoradas. Adquisición de las competencias básicas programadas. Dichos criterios se aplicarán de la siguiente forma para los distintos cursos: Pruebas escritas: Examen cada una o dos unidades sobre conceptos, procedimientos y competencias. Al final de cada evaluación un examen global sobre los contenidos impartidos en la misma. En la 1ª y 2ª evaluación se realizará un examen de recuperación. En Junio, se realizará un examen global de mínimos para aquellos alumnos que tengan alguna evaluación suspensa: • Los alumnos que tengan sólo una evaluación suspensa, se examinarán únicamente de esa evaluación, si la calificación obtenida es menor que 3, el alumno se considerará suspenso, teniendo que recuperar toda la asignatura en Septiembre. • Los alumnos que tengan más de una evaluación suspensa realizarán el examen de toda la asignatura. Las pruebas escritas suponen un 85% de la calificación final. Actitudes Las actitudes se valorarán sobre un 15% de la calificación final. Trabajos: 5%. Trabajo en casa: 5%. Actitud y participación en clase: 5% Para obtener calificación positiva en cada una de las evaluaciones, se considerará requisito imprescindible haber obtenido en cada una de las pruebas escritas una puntuación igual o superior a 3 RECUPERACIÓN DE ALUMNOS SUSPENSOS Los alumnos que en Junio suspendan la asignatura tendrán un examen extraordinario en Septiembre elaborado conjuntamente por los miembros del Departamento. FALTAS DE ASISTENCIA En el caso de que un alumno falte a clase sin justificar, el departamento aplicará las medidas recogidas en el Reglamento de Régimen Interno del Centro, siguiendo el protocolo de apercibimientos establecido en el mismo. Es decir, que con un número de faltas sin justificar, igual o mayor al 10%, se pierde el derecho a la evaluación continua, estableciéndose en esos casos un sistema de evaluación extraordinario consistente en un examen global a final de curso, sin que se tengan en cuenta las posibles notas parciales o las partes aprobadas que el alumno pudiera tener. 92 5. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA Según el citado decreto, esta etapa educativa contribuirá a desarrollar en los alumnos capacidades que les permitirán: a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española y por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa y favorezca la sostenibilidad. b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico, y prever y resolver pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales. c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas con discapacidad. d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal. e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana. f) Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras. g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación. h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus antecedentes históricos y los principales factores de su evolución, y participar de forma solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social. i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida. j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente. k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico. l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural. m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social. n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial. Ñ) Conocer, valorar y respetar el patrimonio natural, cultural e histórico de Castilla-La Mancha, para participar de forma cooperativa y solidaria para su desarrollo y mejora. La aportación de las Matemáticas es esencial para la consecución de los objetivos de la Etapa. Ello se manifiesta en varios aspectos que pasamos a destacar: • Coopera en el desarrollo y consolidación de hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. 93 • Estimula a asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad. • Realiza una eficaz aportación a la consecución de destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Facilita la adquisición de una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. • Impulsa el desarrollo del espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. • Favorece el aprecio a la creación artística y la comprensión del lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación De esta forma, podemos afirmar que las Matemáticas desarrollan una labor fundamental para la evolución de una personalidad formada y equilibrada que integra el estímulo de capacidades del siguiente tipo: • Capacidades cognitivas, al mejorar el pensamiento reflexivo incorporando al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático y reconociendo, planteando y resolviendo, por medio de diferentes estrategias situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos. • Capacidades personales e interpersonales, al estimular al alumno a manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas mostrando confianza en la capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y valorando las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, desde un punto de vista histórico y desde su papel en la sociedad actual, aplicando las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica. 94 6. OBJETIVOS GENERALES DE MATEMÁTICAS I Y II. Las Matemáticas, conforme ha ido avanzando la historia, se han colocado en una posición de privilegio para afrontar la realidad que nos rodea. ¡Quién iba a decir a nuestros antepasados de hace varios miles de años, cuando empezaron a contar, que con ese simple gesto iba a dar comienzo la modelización de nuestro entorno! Actualmente, cualquier intento de describir científicamente un hecho pasa por la construcción de su modelo matemático o, para las disciplinas de humanidades, por el desarrollo de una línea lógico-deductiva de razonamiento. No es concebible, hoy en día, una disciplina humana en la que las Matemáticas, tanto en su aplicación práctica como en su “forma de hacer”, no sean consideradas necesarias. No en vano, el currículo oficial establece estudios matemáticos en cada una de las cuatro modalidades en que se divide el Bachillerato. Por todo ello, los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales del currículo que en este proyecto desarrollamos, no se quedan en una mera presentación matemática, sino que se relacionan con todas las áreas del conocimiento del Bachillerato. En la etapa obligatoria de la enseñanza secundaria se ha hecho un estudio de las Matemáticas que podríamos llamar “poco formal”. Es ahora cuando se acerca el fin de la enseñanza secundaria, y en este momento conviene formalizar y desarrollar todas esas intuiciones que los alumnos y las alumnas adquirieron en etapas precedentes de su educación. En primer término, esa formalización debe crear en el estudiante habilidades para ofrecer explicaciones claras y razonadas de sus propios argumentos; debe hacer que relacione todos los contenidos matemáticos aprendidos hasta ahora; le debe dotar de un lenguaje universalmente aceptado, etc. Y, en segundo lugar, debe preparar a aquellos alumnos y alumnas que deseen seguir estudios técnicos y científicos superiores, para que lleven a buen término sus proyectos futuros. 95 Matemáticas II PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS II ESPECÍFICA DE Para la programación específica de la materia Matemáticas II nos vamos a ceñir exclusivamente al documento de orientación para las pruebas de acceso enviado por la Universidad. 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas. Este criterio valora la destreza para utilizar el lenguaje matricial como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver problemas relacionados con la organización de datos; especialmente, si son capaces de distinguir y aplicar, de forma adecuada al contexto, operaciones elemento a elemento, operaciones con filas y columnas, operaciones con submatrices y operaciones con la matriz como objeto algebraico con identidad propia (objetivo 1). 2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. Este criterio valora el uso del lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones (objetivos 1, 3, 5, 6 y 8). 3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. Este criterio valora la competencia para representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente (objetivos 1, 3, 5, 6 y 8). 4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita. Este criterio valora si el alumnado utiliza los conceptos básicos del análisis y que han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y los aplican adecuadamente al estudio de una función concreta (objetivos 1, 3, 5 y 6). 96 5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización. Este criterio valora la competencia para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio establecido (objetivos 1, 3 y 5). 6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables. Este criterio valora la competencia para medir el área de una región plana mediante el cálculo integral, utilizando técnicas de integración inmediata, integración por partes y cambios de variables sencillos (objetivos 1, 3 y 5). 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. Este criterio valora la madurez del alumnado para enfrentarse a situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación adecuada, usando las destrezas matemáticas adquiridas. Tales situaciones no tienen que estar directamente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido (objetivos 2, 3, 6, 7 y 8). 8. Valorar el papel de las Matemáticas en el análisis de fenómenos científicos y tecnológicos asociados a problemas relevantes del mundo actual. Este criterio valora la competencia del alumnado a la hora de identificar y enjuiciar críticamente el uso de las matemáticas en el desarrollo científico y tecnológico a partir de la consulta e interpretación de distintas fuentes (objetivo 4). COMENTARIOS ACERCA DEL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS II EN RELACION CON LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. La siguiente relación de objetivos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de las Pruebas de Acceso. Esta relación se adapta al currículum oficial de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar, con cierto detalle, algunos aspectos de los apartados del currículum dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría. Al final de cada uno de los puntos de la relación se indican, entre corchetes, los criterios de evaluación, según la lista incluida en el currículum oficial, en los que se encuadra. 97 1. CONTENIDOS GENERALES DE MATEMÁTICAS II ANÁLISIS • Revisión de los tipos de funciones elementales. • Límite, continuidad y derivación en un punto. Cálculo de límites. • Asíntotas: conceptos y determinación. • Continuidad en un punto y en un intervalo. • Derivadas de las familias de funciones conocidas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. • Derivación y continuidad en un punto. • Aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivada, al estudio de propiedades locales de las funciones y a la representación gráfica de funciones elementales. • El problema del área. Cálculo aproximado: método de las sumas. • La integral definida de una función en un intervalo cerrado: concepto, notación y obtención de algunas propiedades sencillas. • Relación entre los procesos de integración y derivación: el teorema fundamental del cálculo. La regla de Barrow. • Métodos de Cálculo de Primitivas. Integración inmediata, por descomposición, cambio de variables y por partes (hasta dos niveles). Integración de funciones racionales sencillas con raíces reales en el denominador. 98 ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA • Vectores en R3: Introducción al concepto y operaciones a partir del estudio de problemas concretos extraídos de las Ciencias de la Naturaleza y la Geometría. • Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión intuitiva. Producto escalar. Vectores unitarios y ortogonales. • Matrices. Ampliación de la noción de vector. Operaciones con matrices: suma, producto por un número y transposición. Producto de matrices. Inversa de una matriz cuadrada (concepto) • Interpretación de las operaciones y propiedades de las matrices en problemas extraídos de contextos reales. • Determinante de una matriz. Cálculo y propiedades elementales. Inversa de una matriz cuadrado (cálculo) • Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial de un sistema. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. • Aplicación de los determinantes a la discusión de sistemas de ecuaciones lineales y al cálculo de productos vectoriales y mixtos para determinar áreas y volúmenes. • Espacio Euclídeo de dimensión 3. Referencia ortonormal. • Ecuaciones de la recta. • Ecuación general de un plano. Haz de planos. • Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicular entre rectas y planos. • Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. 99 BLOQUE 1: ANÁLISIS OBJETIVOS DEL BLOQUE • Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales. • Saber aplicar el concepto de límite de una función en el ±.∞ para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas. • Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: ∞/∞ 0/0 0· ∞ ∞-∞ 1∞ ∞0 00 y técnicas para resolverlas. • Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto. • Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función. • Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto. • Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable. • Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos. • Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. • Conocer la regla de L´Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones. • Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o puntos de inflexión. • Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos. • Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los 100 ejes, asíntotas, regiones de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, regiones de concavidad (f''(x)<0) y convexidad (f''(x)>0 ) y puntos de inflexión. • Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información sobre la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.). • Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra. • Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función. • Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado. • Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales. • Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente. • Conocer la técnica de integración por cambio de variable. • Conocer las propiedades de linealidad de la integral definida respecto al integrando y al intervalo de integración. • Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida respecto al integrando. • Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores). • Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow. • Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas. 101 PROGRAMACIÓN DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS CONTENIDOS DEL BLOQUE TEMA 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. 1.1. Objetivos didácticos • Determinar, si existe, el límite de una sucesión de números reales. • Aplicar la definición de límite de una sucesión a la resolución del límite de una sucesión de números reales. • Determinar el valor del límite de una función en el infinito. • Aplicar la definición de límite de una función en el infinito a la resolución de límites de funciones. • Aplicar las operaciones con límite: suma, diferencia, producto y cociente, en la resolución de límites. • Determinar el límite de una función en un punto y obtener sus límites laterales. • Resolver indeterminaciones de distinto tipo a la hora del cálculo de límites. • Analizar la continuidad de una función en un punto, verificando si los límites laterales son iguales al valor que toma la función en ese punto. • Determinar los puntos de discontinuidad de una función, y el tipo de discontinuidad que presentan. • Aplicar los teoremas de Bolzano y de Weierstrass a la resolución de problemas en los que intervengan funciones continuas. 1.2. Contenidos Conceptos • Límite de una sucesión. • Límite de una función en el infinito. • Operaciones con límites. • Límites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones. • Límites laterales. • Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. • Tipos de discontinuidades. • Teoremas de Bolzano y Weierstrass. 102 Procedimientos • Determinación, si existe, del límite de una sucesión de números reales de la que conocemos su término general. • Determinación, si existe, del límite de una función en un punto de manera aproximada y de forma exacta. • Cálculo del límite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, y del producto de un número por una función. • Límite de funciones potenciales, exponenciales y racionales. • Obtención de los límites laterales de una función en un punto. • Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites. • Análisis de la continuidad de una función en un punto, verificando si se cumple que los dos límites laterales son iguales al valor de la función en ese punto. • Evaluación de la continuidad de una función en un intervalo. • Estudio de las discontinuidades de una función, determinando de qué tipo son. • Aplicación de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass a la resolución de distintos problemas en los que intervengan funciones continuas. Actitudes: Reconocimiento de la utilidad del estudio de los límites y la continuidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo científico. 1.3. Criterios de evaluación • Calcular, si existe, el límite de una sucesión de números reales. • Calcular el límite, si existe, de una función en el infinito. • Aplicar las operaciones con límites para resolver límites de funciones. • Determinar el límite de una función en un punto. • Calcular los límites laterales de una función en un punto. • Resolver indeterminaciones de los tipos: ∞ ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ y 0 . 0 • Estudiar la continuidad de una función en un punto. • Estudiar la continuidad de una función en un intervalo. • Determinar las discontinuidades de una función y estudiar el tipo al que pertenecen. • Aplicar e interpretar geométricamente el teorema de Bolzano para funciones continuas. • Aplicar e interpretar geométricamente el teorema de Weierstrass para funciones continuas. 103 TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 2.1 Objetivos didácticos • Utilizar la tasa de variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana. • Obtener la derivada de una función en un punto y sus derivadas laterales. • Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto. • Analizar la continuidad y derivabilidad de una función en un punto, teniendo en cuenta las relaciones entre ambas. • Calcular derivadas usando las reglas de derivación. • Obtener derivadas de operaciones con funciones. • Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta. • Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera. • Calcular derivadas sucesivas. • Calcular la derivada de las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e implícitas. 2.2 Contenidos Conceptos • Tasa de variación media. • Derivada de una función en un punto. • Función derivada. Interpretación geométrica. • Derivadas laterales. • Continuidad y derivabilidad. • Derivada de la suma y de la diferencia de funciones. • Derivada del producto y cociente de funciones. • Regla de la cadena. • Derivadas de funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas e implícitas. Procedimientos • Obtención de la función derivada y de las derivadas sucesivas de una función. • Cálculo de las derivadas laterales de una función en un punto. 104 • Análisis de la continuidad y derivabilidad de una función en un punto a partir de las relaciones entre ambas. • Deducción y aplicación de las reglas de derivación para obtener la derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones. • Utilización de la regla de la cadena para obtener la función derivada de distintas funciones compuestas. • Deducción y aplicación de las reglas de derivación para obtener funciones derivadas de funciones logarítmicas, exponenciales, potencialesexponenciales, trigonométricas e implícitas. Actitudes • Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo científico. • Valoración del lenguaje gráfico a la hora de tratar la información. • Capacidad para formularse preguntas nuevas explorando al máximo un fenómeno o situación. 2.3 Criterios de evaluación • Hallar la tasa de variación media de una función en un intervalo. • Determinar la derivada de una función en un punto, y sus derivadas laterales. • Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas. • Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto. • Analizar la continuidad y derivabilidad de una función en un punto. • Obtener la función derivada de una función elemental. • Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas. • Calcular derivadas sucesivas de una función. • Obtener la derivada de las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, y de funciones compuestas de éstas. • Calcular la derivada de una función expresada en forma implícita. 105 TEMA 3: APLICACIONES DE LA DERIVADA 2. 3.1 Objetivos didácticos • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. • Obtener los máximos y los mínimos de una función a partir de sus derivadas primera y segunda. • Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una función, así como sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda. • Conocer los pasos que hay que seguir para optimizar una función dada. • Optimizar funciones. • Reconocer los teoremas fundamentales del cálculo diferencial: teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, así como sus aplicaciones en diferentes contextos. • Aplicar los teoremas anteriores a la resolución de problemas. • Determinar la regla de L'Hôpital y su aplicación al cálculo de límites. 3.2 Contenidos Conceptos • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. • Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. • Optimización. • Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy. Aplicaciones. • Regla de L'Hôpital. 106 Procedimientos • Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. • Obtención de los puntos críticos de una función y de sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda. • Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una función, y de sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda. • Resolución de problemas reales de optimización de funciones. • Reconocer los teoremas del cálculo diferencial (teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy) y aplicarlos en la resolución de problemas. • Aplicar la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones derivables. Actitudes • Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real. • Gusto por la presentación clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el cálculo de derivadas. 3.3 Criterios de evaluación • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. • Obtener los puntos críticos, los máximos y los mínimos de una función. • Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función. • Hallar los puntos de inflexión de una función. • Resolver problemas reales de optimización de funciones: maximizar y minimizar. • Comprender y aplicar en problemas reales los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. • Aplicar la regla de L'Hôpital para resolver indeterminaciones en el cálculo de límites de operaciones con funciones derivables. 107 TEMA 4: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 3. 4.1 Objetivos didácticos • Obtener el dominio y puntos de corte con los ejes de una función. • Determinar si una función es simétrica. • Estudiar si una función es periódica y, en caso de que lo sea, calcular su período. • Determinar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. • Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos a partir del estudio de la derivada primera. • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión a partir del estudio de la derivada segunda. • Representar gráficamente una función. 4.2 Contenidos Conceptos • Dominio y puntos de corte con los ejes. • Simetrías periodicidad • Ramas infinitas. Asíntotas. • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. • Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. • Funciones polinómicas, racionales, logarítmicas y definidas a trozos. con radicales, exponenciales, 108 Procedimientos • Obtención del dominio y puntos de corte con los ejes de una función dada. • Estudio de las simetrías de una función. • Determinación del periodo de una función periódica. • Cálculo de las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función. • Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. • Obtención de los puntos críticos de una función y de sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda. • Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una función, y de sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda. • Representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos utilizando todos los elementos anteriores. Actitudes • Reconocimiento de la utilidad del lenguaje gráfico como medio para el estudio y comprensión de fenómenos de la vida real. • Aprecio de los medios tecnológicos como herramienta para analizar la realidad. 4.3 Criterios de evaluación • Hallar el dominio, las simetrías y los puntos de corte con los ejes de una función. • Determinar si una función es periódica. • Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función, y determinar la posición relativa de la gráfica de una función respecto a ellas. • Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. • Obtener los puntos críticos, los máximos y los mínimos de una función. • Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función. • Hallar los puntos de inflexión de una función. • Representar gráficamente una función a partir del estudio de sus propiedades. 109 TEMA 5: INTEGRALES INDEFINIDAS 4. 5.1 Objetivos didácticos • Establecer la relación entre una función y su posible función primitiva, realizando la derivada. • Obtener funciones primitivas de funciones sencillas. • Utilizar las propiedades de la integral indefinida para resolver distintos problemas. • Determinar las integrales inmediatas de las funciones simples y compuestas. • Utilizar el método de integración por partes para resolver integrales. • Resolver integrales de funciones racionales atendiendo al número y el carácter de las raíces del polinomio del denominador. • Resolver integrales aplicando el método de sustitución o cambio de variable. 5.2 Contenidos Conceptos • Primitiva de una función. • Integral de una función. • Integral de funciones elementales. • Integración por partes. • Integración de funciones racionales. • Integración por cambio de variable. Procedimientos • Comprobación, realizando la derivada, de la relación entre una función y su posible función primitiva, y obtención de funciones primitivas de funciones sencillas a partir de las reglas de derivación. • Obtención de las integrales inmediatas de las funciones simples y compuestas más conocidas, aplicando las fórmulas pertinentes en cada caso. • Utilización del método de integración por partes para resolver integrales de un producto, estableciendo los factores de manera correcta para que la integral resultante sea sencilla. 110 • Resolución de integrales de funciones racionales, reduciéndolas a la integral de una función racional con el grado del numerador menor que el grado del denominador, y analizando el tipo de raíces y la multiplicidad de éste. • Resolución de integrales aplicando el método de sustitución o cambio de variable, determinando el cambio más adecuado y obteniendo una integral más sencilla que la de partida. Actitudes • Sensibilidad y gusto por la presentación clara y ordenada de los cálculos numéricos. • Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos. 5.3 Criterios de evaluación • Comprobar, mediante derivación, si una función es o no primitiva de una función dada. • Calcular las funciones primitivas de funciones sencillas a partir de las reglas de derivación. • Obtener integrales inmediatas de funciones sencillas o compuestas. • Resolver integrales utilizando el método de integración por partes. • Resolver integrales de funciones racionales, analizando el grado del numerador y del denominador, y estudiando el tipo de raíces del denominador. • Resolver integrales aplicando el cambio de variable. 111 TEMA 6: INTEGRALES DEFINIDAS 5. 6.1 Objetivos didácticos • Obtener aproximaciones del área encerrada por una curva a través de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos. • Utilizar la integral definida y sus propiedades para resolver distintos problemas. • Relacionar los conceptos de integral definida e indefinida utilizando el teorema del cálculo integral. • Aplicar la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. • Obtener el área de una región limitada por una función, el eje OX y las rectas x = a y x = b, así como el área comprendida entre dos curvas. • Calcular el volumen de un cuerpo de revolución utilizando integrales definidas. 6.2 Contenidos Conceptos • Área bajo una curva. • Integral definida. Propiedades. • Función integral. • Teorema del valor medio del cálculo integral. • Teorema fundamental del cálculo integral. • Regla de Barrow. • Cálculo de áreas por integración. • Área entre dos curvas. • Volumen de un cuerpo de revolución. Procedimientos • Obtención del área de diferentes recintos, mediante aproximaciones sucesivas. • Utilización del concepto de integral definida y de las propiedades de ésta para resolver distintos problemas. • Determinación de la función primitiva de una función dada, eligiéndola entre un conjunto de funciones. • Utilización del teorema del valor medio para resolver problemas. 112 • Utilización del teorema fundamental del cálculo integral en la resolución de problemas. • Aplicación de la regla de Barrow para obtener la integral definida de distintas funciones. • Obtención del área de una región limitada por una función y el eje OX. • Determinación del área comprendida entre dos curvas, entre dos valores. • Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. Actitudes • Valoración de la precisión y utilidad del empleo de la integral definida para representar y resolver problemas de la vida diaria. 6.3 Criterios de evaluación • Obtener el área bajo una curva de una función cualquiera mediante aproximación de la suma de las áreas de rectángulos de igual base. • Utilizar el concepto de integral definida y sus propiedades para resolver diferentes problemas. • Determinar la función primitiva de una función dada, eligiéndola entre un conjunto de funciones. • Verificar el cumplimiento del teorema del valor medio del cálculo integral en distintas funciones. • Utilizar el teorema fundamental del cálculo integral para resolver problemas. • Calcular la integral definida aplicando la regla de Barrow. • Determinar la derivada de una integral definida. • Calcular el área de una región limitada por una curva, el eje OX y dos ordenadas de la curva. • Obtener el área de una región comprendida entre dos curvas. • Calcular el volumen de un cuerpo de revolución. 113 BLOQUE 2: ALGEBRA LINEAL OBJETIVOS DEL BLOQUE • Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices y saber cuándo pueden realizarse y cuando no. Conocer la no conmutatividad del producto. • Conocer la matriz identidad y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 3x3). • Saber calcular determinantes de orden 2 y de orden 3. • Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de estos. • Conocer que tres vectores de R3 son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es cero. • Saber calcular el rango de una matriz. • Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo. • Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados o indeterminados) e incompatibles. • Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo. 114 TEMA 7: MATRICES 6. 1.1 Objetivos didácticos • Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios. • Calcular la matriz suma y la matriz resta de dos o más matrices del mismo orden. • Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o más matrices, así como las potencias de distintos órdenes de una matriz cuadrada. • Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada. • Determinar si una matriz es simétrica o antisimétrica. • Determinar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss • Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definición de matriz inversa y por el método de Gauss-Jordan. 1.2 Contenidos Conceptos • Elementos de una matriz. Clasificación de matrices. • Operaciones con matrices: o Suma y resta de matrices. Propiedades o Producto de una matriz por un número. Propiedades. o Producto de matrices. Propiedades. • Matriz traspuesta. Matriz simétrica y antisimétrica. • Rango de una matriz. Método de Gauss. • Matriz inversa. Método de Gauss – Jordan. Procedimientos • Utilización de los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal, e identificación y utilización de los distintos tipos de matrices. • Determinación de la igualdad de dos matrices y cálculo de la matriz traspuesta y la matriz simétrica de una dada. • Realización de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un número. 115 • Determinación del rango de una matriz analizando la dependencia o independencia lineal de sus filas o columnas. • Cálculo del rango de una matriz utilizando el método de Gauss. • Cálculo de la matriz inversa mediante su definición. • Cálculo de la matriz inversa utilizando el método de Gauss - Jordan. Actitudes • Valoración de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales. • Gusto por la resolución ordenada de operaciones con matrices. • Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los cálculos con matrices. 1.3 Criterios de evaluación • Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal. • Determinar la igualdad de dos matrices. • Identificar los distintos tipos de matrices. • Calcular la matriz traspuesta y la matriz simétrica de una dada. • Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un número. • Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss. • Calcular la matriz inversa de una matriz dada, aplicando la definición o por el método de Gauss-Jordan. 116 TEMA 8: DETERMINANTES 7. 8.1 Objetivos didácticos • Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada. • Obtener los valores numéricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando la regla de Sarrus. • Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su cálculo. • Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. • Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna. • Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. • Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz. • Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla. 8.2 Contenidos Conceptos • Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus. • Menor complementario y adjunto. • Rango de una matriz. • Matriz adjunta de una matriz dada. Procedimientos • Cálculo del valor de un determinante de orden 2. • Aplicación de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3. • Utilización de las propiedades para simplificar el cálculo de determinantes. • Obtención del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. • Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea. • Determinación de todos los menores de un orden dado de una matriz 117 cuadrada. • Cálculo del valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. • Obtención del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo. • Obtención de la matriz adjunta de una matriz. • Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividiéndola por el valor del determinante. Actitudes • Curiosidad e interés por la resolución de problemas que impliquen cálculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos. • Perseverancia y flexibilidad en la resolución de problemas de determinantes. 8.3 Criterios de evaluación • Calcular el valor de un determinante de orden 2. • Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3. • Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos. • Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. • Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea. • Calcular el valor de un determinante de cualquier orden haciendo ceros. • Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. • Obtener el rango de una matriz. • Determinar la matriz adjunta de una matriz dada • Calcular la matriz inversa de una matriz dada. 118 TEMA 9: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 8. 1.1 Objetivos didácticos • Resolver sistemas mediante su transformación en sistemas escalonados. • Analizar, discutir y resolver por el método de Gauss sistemas de ecuaciones lineales y sistemas dependientes de un parámetro. • Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. • Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. • Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones. • Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. • Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parámetros. • Discutir y resolver sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas. 1.2 Contenidos Conceptos • Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados. • Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. • Teorema de Rouché-Fröbenius. • Regla de Cramer. • Sistemas homogéneos. • Sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas. • Sistemas dependientes de un parámetro. Procedimientos • Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado y resolución del mismo. • Aplicación del método de Gauss a la resolución y discusión de sistemas ecuaciones lineales. • Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones que tengan distinto número de ecuaciones que de incógnitas. • Resolución de sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro utilizando el método de Gauss y discusión de sus soluciones en función de los valores de éste. 119 • Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividiéndola por el valor del determinante. • Resolución de sistemas por métodos matriciales, mediante la matriz inversa. • Discusión y clasificación de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. • Utilización de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante distinto de cero. • Discusión y resolución de sistemas lineales homogéneos. • Discusión y resolución de sistemas dependientes de parámetros. Actitudes • Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas. • Valoración de la necesidad de interpretación crítica de las soluciones obtenidas. • Confianza en las propias capacidades para resolver problemas. 1.3 Criterios de evaluación • Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana. • Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. • Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformación en sistemas escalonados. • Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas. • Resolver sistemas de ecuaciones mediante métodos matriciales. • Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. • Utilizar correctamente la regla de Cramer. • Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogéneos. • Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros. 120 BLOQUE 3: GEOMETRÍA OBJETIVOS DEL BLOQUE • Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en R2 y R3. • Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes. • Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas, y pasar de una expresión a otra. • Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.). • Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales. • Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contiene a una recta. • Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwartz. • Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos; simetrías axiales; ángulos entre rectas y planos; vectores normales a un plano; perpendicular común a dos rectas, etc.). • Conocer el producto vectorial de vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos. • Conocer el producto mixto de tres vectores y saber utilizarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo. 121 TEMA 10: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 9. 10.1 Objetivos didácticos • Determinar los elementos de un vector en el espacio. • Utilizar el concepto de combinación lineal de vectores para establecer cuándo un vector depende linealmente de otros. • Analizar cuándo varios vectores en el espacio son linealmente independientes o dependientes. • Encontrar las coordenadas de un vector en una base y determinarlas cuando se cambia de base. • Reconocer y determinar las distintas formas de expresar la ecuación de una recta en el espacio. • Reconocer y determinar las distintas formas de expresar la ecuación de un plano en el espacio. • Analizar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio. • Interpretar y resolver problemas de posiciones relativas de un plano y una recta en el espacio. • Determinar las posiciones relativas de dos o tres planos en el espacio. 10.2 Contenidos Conceptos • Vectores en el espacio. Módulo, dirección y sentido. • Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. • Base y dimensión de un espacio vectorial. • Coordenadas de un vector. • Ecuaciones de la recta en el espacio. • Ecuaciones del plano. • Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. • Posiciones relativas de recta y plano en el espacio. • Posiciones relativas de dos planos en el espacio. • Posiciones relativas de tres planos en el espacio. 122 Procedimientos • Utilización del concepto de vector y cálculo de sus elementos. • Realización de sumas de vectores libres y producto de un número por un vector. • Obtención de combinaciones lineales de vectores, matrices y polinomios. • Cálculo de las coordenadas de un vector en una base cualquiera y en la base canónica. • Obtención de la ecuación de una recta en forma vectorial, paramétrica, continua y cartesiana o implícita, pasando de unas formas a otras. • Obtención de la ecuación del plano en forma vectorial, paramétrica y general, pasando de unas formas a otras. • Análisis de la posición relativa de dos rectas en el espacio, expresadas mediante dos puntos, un punto y un vector director, o mediante ecuaciones paramétricas, continuas o generales. • Determinación de la posición relativa de dos planos en el espacio, mediante el análisis de las matrices asociadas a las ecuaciones generales de los planos. • Determinación de las posiciones relativas de tres planos, obteniendo las matrices del sistema formado por las ecuaciones generales de los planos y aplicando correctamente el teorema de Rouché-Fröbenius. • Estudio de la posición relativa de planos y rectas en el espacio mediante métodos matriciales y algebraicos. Actitudes • Valoración de la presencia de vectores en la realidad. • Comprender el lenguaje geométrico en informaciones de todo tipo. 123 10.3 Criterios de evaluación • Determinar el módulo, dirección y sentido de un vector en el espacio. • Obtener combinaciones lineales de vectores. • Determinar la relación de linealidad entre dos vectores • Calcular las coordenadas de un vector en una base cualquiera y en la base canónica. • Expresar la ecuación de una recta en forma vectorial, paramétrica, continua y cartesiana o implícita, pasando de una forma a otra correctamente. • Obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, eligiendo uno de los puntos y calculando un vector director de la misma. • Expresar la ecuación de un plano en forma vectorial, paramétrica y general, pasando de una forma a otra correctamente. • Estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio, distinguiendo la forma en que están expresadas, así como el procedimiento más adecuado para aplicar en cada caso. • Analizar la posición relativa de planos y rectas en el espacio aplicando métodos matriciales (teorema de Rouché-Fröbenius) y algebraicos (análisis del valor del parámetro). • Determinar la posición relativa de dos planos en el espacio, analizando las matrices asociadas a las ecuaciones de los planos. • Aplicar correctamente el teorema de Rouché-Fröbenius para analizar la posición relativa de tres planos en el espacio. 124 TEMA 11: PRODUCTO ESCALAR 10. 1.1 Objetivos didácticos • Expresar analíticamente el producto escalar de vectores. • Aplicar el producto escalar a la determinación de ángulos entre vectores. • Calcular vectores perpendiculares a uno dado. • Determinar la perpendicularidad entre planos y rectas. • Determinar las ecuaciones de un haz de planos secante y perpendicular a una recta. • Calcular el ángulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano. • Calcular las coordenadas de la proyección ortogonal de un punto sobre una recta o sobre un plano. • Determinar la ecuación de la proyección ortogonal de una recta sobre un plano. • Establecer estrategias para determinar las coordenadas de un punto simétrico de otro respecto de una recta o de un plano. • Determinar distancias entre dos puntos, de un punto a un plano y de un punto a una recta. • Hallar distancias entre planos y entre rectas determinando previamente sus posiciones relativas. 1.2 Contenidos onceptos • Producto escalar de dos vectores: definición, interpretación geométrica, y expresión analítica. • Aplicaciones del producto escalar: ángulo entre dos vectores, cálculo de vectores perpendiculares, vector perpendicular a un plano. • Haces de planos. • Ángulo que forman dos rectas y dos planos. • Ángulo entre una recta y un plano. • Proyección ortogonal de un punto sobre una recta o un plano. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. • Punto simétrico respecto de otro punto, una recta o de un plano. • Distancia entre un punto y otro punto, una recta o un plano. • Distancia entre dos planos y entre dos rectas. 125 Procedimientos • Expresión analítica del producto escalar entre dos vectores, análisis de sus propiedades e interpretación geométrica del módulo del producto escalar. • Obtención del producto escalar entre dos vectores y utilización de sus propiedades para resolver distintos problemas: ángulo entre dos vectores, cálculo de vectores perpendiculares... • Cálculo de las ecuaciones de los haces de planos secantes y perpendiculares a una recta. • Determinación del ángulo que forman dos rectas, dos planos o una recta y un plano. • Obtención de la proyección ortogonal de un punto sobre una recta o un plano, y de una recta sobre un plano. • Obtención del punto simétrico de otro respecto de otro punto, una recta o un plano. • Cálculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a un plano y de un punto a una recta. • Obtención de la distancia entre dos planos paralelos, entre una recta y un plano y entre dos rectas. Actitudes • Valorar la importancia de las representaciones gráficas para obtener y comunicar información. 1.3 Criterios de evaluación • Calcular el producto escalar de dos vectores expresados en coordenadas. • Determinar el ángulo entre dos vectores utilizando el producto escalar. • Determinar el vector normal a un plano. • Calcular rectas o planos perpendiculares a otras rectas u otros planos. • Hallar las ecuaciones de los haces de planos secantes y perpendiculares a una recta. • Calcular el ángulo entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano. • Determinar las coordenadas de la proyección ortogonal de un punto sobre una recta o un plano. • Calcular las ecuaciones de la proyección ortogonal de una recta sobre un plano. • Hallar las coordenadas del punto simétrico de otro respecto de otro punto, una recta o un plano. • Calcular la distancia de un punto a otro punto, una recta o un plano. • Determinar la distancia entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano. 126 TEMA 12: PRODUCTO VECTORIAL Y MIXTO 11. 12.1 Objetivos didácticos • Expresar analíticamente el producto vectorial de vectores. • Aplicar el producto vectorial al cálculo de bases ortonormales y al cálculo del vector director de una recta. • Expresar analíticamente el producto mixto de vectores. • Aplicar el producto mixto al cálculo del volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro definido por tres vectores • Determinar el área un paralelogramo definido por dos vectores. • Calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial. • Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. • Determinar el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplen ciertas propiedades. • Calcular la ecuación de una esfera. • Determinar las posiciones relativas de un plano o una recta con una esfera. • Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a un punto de una esfera. 12.2 Contenidos Conceptos • Producto vectorial de vectores: definición, interpretación geométrica y expresión analítica. • Aplicaciones del producto vectorial: cálculo de bases ortogonales, cálculo del vector director de una recta, áreas de figuras planas en el espacio, distancia entre un punto y una recta…. • Producto mixto de vectores: definición, interpretación geométrica y expresión analítica. • Aplicaciones del producto mixto: volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro, distancia entre dos rectas que se cruzan,… • Lugares geométricos en el espacio. • Esferas. Posiciones relativas entres rectas, planos y esferas. • Recta tangente y normal a un punto de una esfera. Procedimientos • Expresión del producto vectorial entre dos vectores, interpretación 127 geométrica y expresión en coordenadas. • Aplicación del producto vectorial para calcular un vector perpendicular a otros dos. • Aplicación del producto vectorial para hallar el área de un paralelogramo y de un triángulo, conocidas las coordenadas de sus vértices. • Determinación del producto mixto entre dos vectores, interpretación geométrica y expresión en coordenadas. • Cálculo mediante el producto mixto del volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro. • Determinación de la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. • Cálculo del radio y el centro de una superficie esférica. • Determinación de la posición relativa de un plano o de una recta respecto de una superficie esférica. • Determinación de la recta tangente o normal a un punto de una superficie esférica. Actitudes • Valorar la importancia de las representaciones gráficas para obtener y comunicar información. 12.3 Criterios de evaluación • Expresar analíticamente el producto vectorial y mixto de vectores. • Determinar del vector director de una recta utilizando el producto vectorial. • Determinar el área un paralelogramo definido por dos vectores. • Aplicar el producto mixto al cálculo del volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro definido por tres vectores • Calcular la distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial y la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizando el producto mixto. • Determinar el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplen ciertas propiedades. • Calcular el radio y el centro de una esfera. • Determinar las posiciones relativas de un plano o una recta con una esfera comparando distancias y el radio de la esfera. • Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a un punto de una esfera. 128 2. PROCEDIMIENTOS MATEMATICOS Y MÉTODOS Los contenidos de este núcleo tienen un carácter transversal y por consiguiente estarán presentes en el desarrollo de los contenidos de los restantes núcleos. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Como problema entendemos una situación abierta, susceptible de enfoques variados, que permiten formularse preguntas, seleccionar estrategias heurísticas, tomar las decisiones ejecutivas pertinentes y darle sentido a la solución obtenida. La resolución de problemas supone un verdadero reto para los alumnos y alumnas y es un medio eficaz para aprender a pensar. Los contenidos más relevantes en relación a la resolución de problemas son: • Aproximación al problema. o Identificación y definición del problema. o Comprensión, del significado de todos los términos. o Organización de los datos. o Representación: Empleo de figuras, diagramas, grafos, etc. • Exploración del problema. o Elaboración de conjeturas. o Selección de estrategias: Descomposición del problema en otros más sencillos. o Analogía con otro conocido. Búsqueda de regularidades y pautas. Modificación de las condiciones. Análisis de casos particulares. Inducción. Razonamiento por contradicción. o Inversión del proceso. Generalización. • Selección de instrumentos conceptuales y técnicas matemáticas. • Realización del plan de resolución. o Ejecución del plan. • Revisión de la solución y del proceso seguido. o Interpretación de las posibles soluciones y contextualización de los resultados. o Reflexión sobre el proceso. o Revisión y modificación del plan. o Estudio de otras posibles soluciones y procesos alternativos. 129 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Una de las características del conocimiento matemático es su respaldo teórico, no obstante las Matemáticas no se presentarán como un edificio acabado. A lo largo de todos los núcleos se potenciará la teorización tratando de que los alumnos y alumnas desarrollen destrezas suficientes para comprender y utilizar los desarrollos teóricos, así como participar en la construcción de éstos y elaborar una guía personal para según el contexto obtener conclusiones, justificarlas, y en su caso, demostrarlas. Los contenidos más relevantes relativos a la teorización son los siguientes: • Inferencia de leyes, propiedades y relaciones. • Justificación de propiedades conocidas o supuestas. • Distinción entre prueba y demostración. • Razonamientos deductivos: Inducción completa, razonamiento condicional simple y compuesto, reducción al absurdo, búsqueda de contraejemplos, etc. • Descubrimiento de falacias en los razonamientos propios y ajenos, argumentos defectuosos desde el punto de vista lógico, incoherencias y contradicciones, mal uso de la analogía, etc. MATEMATIZACIÓN Las Matemáticas sirven para explicar la realidad y a su vez, permite actuar sobre ella. El alumnado ha de llegar a esta convicción a través del hallazgo de aspectos matematizables en las cuestiones científicas, técnicas y de situaciones cotidianas, y del desarrollo de destrezas para llevar a cabo dicha matematización. Los contenidos más relevantes relativos a la matematización son: • Clasificación. Ordenación. Cuantificación (recuento, medición, cálculo, aproximación, optimización). • Representación. Transformación. Particularización. Generalización. Abstracción. Simbolización. ACTITUDES. El quehacer matemático permite por un lado apreciar la fascinación de las matemáticas: la sensación de orden, el poder de una fórmula, la simplicidad de una generalización, la concisión de una abstracción, la elegancia de una demostración; y, por otro, adoptar actitudes propias de la actividad matemática: usar la imaginación, ser sistemático, tener independencia de pensamiento, trabajar cooperativamente, asegurar las propias habilidades matemáticas, promover y practicar el sentido crítico, asumir riesgos, etc. Los contenidos más relevantes en relación con las actitudes son: • Aprecio por cualidades como armonía, regularidad, pauta, cadencias, orden, simplicidad, concisión, precisión, elegancia, etc., en las Matemáticas. • Curiosidad por investigar. 130 • Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar. • Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperación al trabajar con los demás. • Cuestionamiento de apreciaciones intuitivas y necesidad de verificación. • Visión crítica y mentalidad abierta para moverse en el mundo cambiante. 131 3. CRITERIOS DE MATEMÁTICAS II EVALUACIÓN DE 1. Utilizar el concepto y cálculo de límites y derivadas para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas en forma explícita. Se pretende comprobar con este criterio que los alumnos y las alumnas son capaces de utilizar los conceptos básicos de análisis, han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y desarrollado la destreza en el manejo de las técnicas usuales del cálculo de límites y derivadas. El cálculo de derivadas se limitará a las familias de funciones conocidas y con nomás de dos composiciones. En cuanto a los límites, sólo se considerarán aquellos que correspondan a indeterminaciones sencillas. 2. Aplicar el cálculo de límites, derivadas e integrales al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos, así como a la resolución de problemas de optimización y medida. Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para interpretar y aplicar a situaciones del mundo Natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio analítico de las funciones. Con respecto a este criterio valen las mismas acotaciones incluidas en el criterio anterior en cuanto al cálculo de límites y derivadas. El cálculo de integrales se limitará a los métodos generales de integración, y en todo caso, con cambios de variables simples. 3. Transcribir situaciones de las ciencias de la naturaleza y de la geometría a un lenguaje vectorial, utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas y dar una interpretación de las soluciones. La finalidad es evaluar la capacidad del alumnado para utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. 4. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y, en general, para resolver situaciones diversas. Este criterio va dirigido a comprobar si los alumnos y alumnas son capaces de utilizar el lenguaje matricial como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver problemas relacionados con la organización de datos y con la geometría analítica. 5. Elaborar estrategias para la resolución de problemas concretos, expresándolos en lenguaje algebraico y utilizando determinadas técnicas algebraicas para resolverlos. 132 Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para enfrentarse a la resolución de problemas y va dirigido a comprobar si es capaz de expresar el problema en lenguaje algebraico y de resolverlo aplicando las técnicas algebraicas adecuadas: de resolución de sistemas de ecuaciones, productos escalares vectoriales y mixtos, e interpretar críticamente la solución obtenida. 6. Identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos, analizar sus propiedades métricas y construir dichas formas a partir de ellas, estudiando su aplicación a distintas ramas de la Ciencia y la Tecnología. Mediante este criterio se pretende comprobar que los alumnos y alumnas han adquirido la experiencia y las capacidades necesarias en la utilización de algunas técnicas propias de la geometría analítica, como para aplicarlas al estudio de las cónicas y de algunos otros lugares geométricos muy sencillos. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse con situaciones nuevas utilizando la modelización de situaciones, la reflexión lógico-deductiva, los modos de argumentación propios de las matemáticas y las destrezas matemáticas adquiridas. 4. TEMPORALIZACION 1ª Evaluación: Temas 1, 2, 3, 4, 5. 2ª Evaluación: Temas 6, 7, 8, 9. 3ª Evaluación: Temas 10, 11, 12. 133 Programación Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Y II 1. INTRODUCCIÓN Las matemáticas son un instrumento indispensable como ha quedado patente a lo largo de la historia, para interpretar la realidad, así como para expresar, analizar e interpretar distintos fenómenos sociales, científicos y técnicos En la actualidad la descripción de cualquier fenómeno pasa por la construcción de un modelo matemático o por la aplicación de un proceso lógico-deductivo como forma de interpretación. En definitiva usa las estrategias propias de las matemáticas. En este sentido los contenidos de las matemáticas de las Ciencias Sociales deben estar relacionados con otras áreas del currículo cumpliendo su labor instrumental Es en esta etapa de Bachillerato cuando los alumnos deben formalizar, desarrollar y profundizar en los contenidos matemáticos que adquirieron en la etapa de la Secundaria Obligatoria. Esta formalización debe crear en el alumno habilidades para poder expresar y explicar de forma clara y razonada sus propios argumentos (en diferentes situaciones relacionadas con as ciencias sociales) así como favorecer los hábitos de indagación, reflexión y sentido crítico, ante situaciones susceptibles de tratarse matemáticamente. En las matemáticas de esta modalidad, y sobre todo en el último curso, se debe buscar que el alumno desarrolle un grado de madurez que le permita comprender los problemas que se le presentan, elegir un modelo matemático que se ajuste a él e interpretar adecuadamente las soluciones, dentro del contexto plantado del problema. En consecuencia el proceso enseñanza-aprendizaje debe basarse en que los alumnos construyan los distintos conceptos matemáticos, deduzcan las relaciones que existe entre ello a partir de problemas que a menudo se presentan en su entorno social, y apliquen los procedimientos a la resolución de los mismos. En los contenidos se incluirá el uso adecuado de recursos tecnológicos e informáticos, como calculadoras, programas informáticos, facilitándoles por un lado la comprensión y ejecución de procesos matemáticos así como la adquisición de destrezas en el uso de los mismos. Además de ser una etapa terminal, el desarrollo del currículo debe tener un carácter propedéutico, debe preparar a aquellos alumnos que lo deseen a seguir estudios universitarios o de formación profesional superior para que puedan llevar a buen término sus proyectos futuros. A lo largo de los dos cursos de matemáticas del Bachillerato de Ciencias Sociales se trabajaran dentro de los contenidos temas que permitan un acercamiento a los problemas medioambientales, las desigualdades sociales, la drogodependencia y que potenciarán en los alumnos valores tales como la solidaridad, la resolución pacífica de conflictos, el respeto al medio ambiente y a fomentar un consumo sostenible dentro de un mundo globalizado y con recursos limitados, así como a seguir hábitos saludables de vida. 134 2. COMPETENCIAS BÁSICAS En esta etapa educativa, y como continuación del modelo de currículo establecido en etapas previas, el alumno debe alcanzar competencias generales que favorezcan su maduración intelectual, social y humana del alumno y otras de carácter específico que le permitirán incorporarse a la vida activa o continuar cursando estudios universitarios o de formación profesional de grado superior La contribución de las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales a la consecución de las competencias básicas es esencial. A continuación presentamos su relación con el curriculo. La competencia matemática se encuentra, por su propia naturaleza, íntimamente asociada a los aprendizajes que se abordarán en el proceso de enseñanza/aprendizaje de la materia. El empleo de distintas formas de pensamiento matemático para interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, y la habilidad para utilizar las herramientas matemáticas en la comprensión de distintos fenómenos sociales, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar habilidades, destrezas y actitudes que hacen posible comprender argumentos y expresar y comunicar en el lenguaje matemático. Además incluye actitudes como la disposición para utilizar el pensamiento crítico, para mostrar una actitud flexible y abierta ante otras argumentaciones y opiniones y para utilizar procedimientos rigurosos de verificación y precisión. Competencia social y ciudadana, vinculada a las Matemáticas a través del empleo de las herramientas propias de la materia para estudiar y describir fenómenos sociales del entorno de la comunidad autónoma y del Estado. El uso de tales herramientas mostrará su papel para conocer y valorar problemas de la sociedad actual, fenómenos como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de oportunidades entre los sexos o la convivencia pacífica. La participación, la colaboración, la valoración de la existencia de diferentes puntos de vista y la aceptación del error de manera constructiva constituyen también contenidos de actitud que cooperarán en el desarrollo de esta competencia. Conocimiento e interacción con el mundo físico. Una significativa representación de contenidos matemáticos tienen que ver con ella. Son destacables, en este sentido, la utilización de los porcentajes y las fórmulas de interés simple y compuesto en la resolución de problemas financieros que permiten interpretar determinados parámetros económicos y sociales en el contexto de Castilla-La Mancha y del Estado. También son apreciables las aportaciones de la modelización; ésta requiere identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comportamiento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Los conceptos matemáticos de función, estadística y probabilidad y los económicos de productividad, mercado o división del trabajo, cooperan activamente en el desarrollo de esta competencia. 135 Tratamiento de la información y competencia digital, competencia para aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Estas tres competencias se desarrollan por medio de la utilización de recursos variados trabajados en el desarrollo de la materia. Comunicarse, recabar información, retroalimentarla, simular y visualizar situaciones, obtener y tratar datos, entre otras situaciones de enseñanza aprendizaje, constituyen vías de tratamiento de la información, desde distintos recursos y soportes, que contribuirán a que el alumno desarrolle mayores cotas de autonomía e iniciativa y aprenda a aprender; también la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. Por supuesto, los propios procesos de resolución de problemas realizan una aportación significativa porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Competencia en comunicación lingüística. Las Matemáticas constituyen un ámbito de reflexión y también de comunicación y expresión. Se apoyan y, al tiempo fomentan la comprensión y expresión oral y escrita en la resolución de problemas (procesos realizados y razonamientos seguidos que ayudan a formalizar el pensamiento). El lenguaje matemático es un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para comunicar gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. En las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I de Bachillerato tiene una importancia clave el desarrollo de habilidades y destrezas que permitan expresarse verbalmente y por escrito en diferentes situaciones, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representaciones matemáticas. La competencia en expresión cultural y artística también está vinculada a los procesos de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. Éstas constituyen una expresión de la cultura. La geometría es, además, parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. El cultivo de esta competencia, se ve favorecido por la búsqueda de relaciones entre el arte y las matemáticas en el entorno de Castilla-La Mancha y el Estado. Es importante resaltar el valor formativo de las matemáticas en aspectos como la búsqueda de la belleza y la armonía y el estímulo de la creatividad. Competencia emocional. Para la interpretación de la realidad que le rodea, sus atributos, sus características y relaciones así como para el establecimiento de relaciones con los demás, resulta especialmente relevante la competencia emocional con la que se garantizará la conformación de un autoconcepto que permitirá a los alumnos una mayor seguridad afectiva y emocional para inferir, deducir, relacionar, investigar y disfrutar de sus propios éxitos, desarrollando un actitud constructiva ante las dificultades y fracasos. La materia contribuye a ese equilibrio emocional al permitir un mejor conocimiento de uno mismo y unas pautas de actuación, relacionadas con el esfuerzo, la perseverancia, el rigor y la confianza en sus capacidades que favorecen el equilibrio personal y la relación con los otros. 136 3. CURRÍCULO En este apartado reproducimos el marco legal del currículo de nuestra comunidad autónoma (Decreto 85/2008, de 17 de junio), tal y como ha sido aprobado por su Administración educativa y publicado en su Diario Oficial (20 de junio de 2008). 4. OBJETIVOS GENERALES DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II. Las Matemáticas, conforme ha ido avanzando la historia, se han colocado en una posición de privilegio para afrontar la realidad que nos rodea. ¡Quién iba a decir a nuestros antepasados de hace varios miles de años, cuando empezaron a contar, que con ese simple gesto iba a dar comienzo la modelización de nuestro entorno! Actualmente, cualquier intento de describir científicamente un hecho pasa por la construcción de su modelo matemático o, para las disciplinas de humanidades, por el desarrollo de una línea lógico-deductiva de razonamiento. No es concebible, hoy en día, una disciplina humana en la que las Matemáticas, tanto en su aplicación práctica como en su “forma de hacer”, no sean consideradas necesarias. No en vano, el currículo oficial establece estudios matemáticos en cada una de las cuatro modalidades en que se divide el Bachillerato. Por todo ello, los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales del currículo que en este proyecto desarrollamos, no se quedan en una mera presentación matemática, sino que se relacionan con todas las áreas del conocimiento del Bachillerato. En la etapa obligatoria de la enseñanza secundaria se ha hecho un estudio de las Matemáticas que podríamos llamar “poco formal”. Es ahora cuando se acerca el fin de la enseñanza secundaria, y en este momento conviene formalizar y desarrollar todas esas intuiciones que los alumnos y las alumnas adquirieron en etapas precedentes de su educación. En primer término, esa formalización debe crear en el estudiante habilidades para ofrecer explicaciones claras y razonadas de sus propios argumentos; debe hacer que relacione todos los contenidos matemáticos aprendidos hasta ahora; le debe dotar de un lenguaje universalmente aceptado, etc. Y, en segundo lugar, debe preparar a aquellos alumnos y alumnas que deseen seguir estudios técnicos y científicos superiores, para que lleven a buen término sus proyectos futuros. Esta materia ha de contribuir a que los alumnos y alumnas desarrollen las siguientes capacidades: 1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual. 2. Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al 137 3. 4. 5. 6. 7. 8. contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como un reto. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismo y creatividad. Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas. Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento. Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura. 138 5. MATEMÁTICAS SOCIALES II APLICADAS CIENCIAS 6.1 CONTENIDOS Bloque 1. Álgebra. Las matrices como expresión de tablas y grafos. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones. Bloque 2. Análisis. Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información. Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales. Bloque 3. Estadística y Probabilidad. Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. Implicaciones prácticas de los teoremas. Central del límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números. Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida. 139 6.2 CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos estructurados en forma de tablas o grafos. Este criterio valora la destreza a la hora de utilizar las matrices tanto para organizar la información como para transformarla a través de determinadas operaciones entre ellas (objetivos 1, 2, 6, 7 y 8). 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, ecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Este criterio valora el uso eficaz del lenguaje algebraico tanto para plantear un problema como para resolverlo, aplicando las técnicas adecuadas. No se trata de valorar la destreza a la hora de resolver de forma mecánica ejercicios de aplicación inmediata, sino de medir la competencia para seleccionar las estrategias y herramientas algebraicas; así como la capacidad de interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas (objetivos 1, 2, 3, 4 y 7). 3. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características. Este criterio valora la competencia para traducir al lenguaje de las funciones determinados aspectos de las ciencias sociales y para extraer, de esta interpretación matemática, información que permita analizar con criterios de objetividad el fenómeno estudiado y posibilitar un análisis crítico a partir del estudio de las propiedades globales y locales de la función (objetivos 1, 2, 3, 6 y 7). 4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función y resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social. Este criterio no sólo valora la habilidad del alumnado en complejos cálculos de funciones derivadas, sino valora su capacidad para utilizar la información que proporciona su cálculo y su destreza a la hora de emplear los recursos a su alcance para determinar relaciones y restricciones en forma algebraica, detectar valores extremos, resolver problemas de optimización y extraer conclusiones de fenómenos relacionados con las ciencias sociales (objetivos 1, 2 y 7). 5. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de contingencia. Este criterio valora la competencia para estimar y calcular probabilidades asociadas a diferentes tipos de sucesos como la riqueza de procedimientos a la hora de asignar probabilidades a priori y a posteriori, compuestas o condicionadas. Este criterio evalúa también la capacidad, en el ámbito de las ciencias sociales, para 140 tomar decisiones de tipo probabilístico que no requieran la utilización de cálculos complicados (objetivos 1, 2, 4, 5 y 7). 6. Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar parámetros con una fiabilidad y exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca del comportamiento de la población estudiada. Este criterio valora la competencia para identificar si la población de estudio es normal y medir la competencia para determinar el tipo y tamaño muestral, establecer un intervalo de confianza para µ y p, según que la población sea Normal o Binomial, y determinar si la diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto de un valor determinado, es significativa. Este criterio lleva implícita la valoración de la destreza para utilizar distribuciones de probabilidad y la capacidad para inferir conclusiones a partir de los datos obtenidos (objetivos 3 y 5). 7. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones. Este criterio valora el nivel de autonomía, rigor y sentido crítico alcanzado al analizar la fiabilidad del tratamiento de la información estadística que hacen los medios de comunicación y los mensajes publicitarios, especialmente a través de informes relacionados con fenómenos de especial relevancia social (objetivos 3, 5, 7 y 8). compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del límite, de aproximación de 8. Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento. Este criterio valora si reconoce el papel de las matemáticas como instrumento para la comprensión de la realidad, lo que las convierte en un parte esencial de nuestra cultura, y para utilizar el «modo de hacer matemático» al enfrentarse a situaciones prácticas de la vida real (objetivos 1, 4, 5, 6 y 8). 141 6.3 PROGRAMACIÓN DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS TEMA1. MATRICES 1.1Objetivos • Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios. • Calcular la matriz suma y la matriz resta de dos o más matrices del mismo orden. • Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o más matrices, así como las potencias de distintos órdenes de una matriz cuadrada. • Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada. • Determinar si una matriz es simétrica o antisimétrica. • Determinar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss • Obtener la matriz inversa de una dada a partir de la definición de matriz inversa y por el método de Gauss-Jordan. 1.2. Contenidos Conceptos • Elementos de una matriz. Clasificación de matrices. • Operaciones con matrices: - Suma y resta de matrices. Propiedades - Producto de una matriz por un número. Propiedades. - Producto de matrices. Propiedades. • Rango de una matriz. Método de Gauss. • Matriz inversa. Método de Gauss Procedimientos • Utilización de los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal, e identificación y utilización de los distintos tipos de matrices. • Determinación de la igualdad de dos matrices y cálculo de la matriz traspuesta. • Realización de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un número. • Cálculo del rango de una matriz utilizando el método de Gauss. • Cálculo de la matriz inversa mediante su definición. • Cálculo de la matriz inversa utilizando el método de Gauss. 142 Actitudes • Valoración de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales. • Gusto por la resolución ordenada de operaciones con matrices. • Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los cálculos con matrices. 1.3 Criterios de evaluación • Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal. • Determinar la igualdad de dos matrices. • Identificar los distintos tipos de matrices. • Calcular la matriz traspuesta de una dada. • Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un número. • Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss. • Calcular la matriz inversa de una matriz dada, aplicando el método de GaussJordan. 143 TEMA 2. DETERMINANTES 2.1 Objetivos • Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada. • Obtener los valores numéricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando la regla de Sarrus. • Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su cálculo. • Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. • Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna. • Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz. • Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla. 2.2 Contenidos Conceptos • Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus. • Menor complementario y adjunto. • Rango de una matriz. • Matriz adjunta de una matriz dada. Procedimientos • Cálculo del valor de un determinante de orden 2. • Aplicación de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3. • Utilización de las propiedades para simplificar el cálculo de determinantes. • Obtención del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. • Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea. • Determinación de todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. 144 • Obtención del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo. • Obtención de la matriz adjunta de una matriz. • Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividiéndola por el valor del determinante. Actitudes • Curiosidad e interés por la resolución de problemas que impliquen cálculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos. • Perseverancia y flexibilidad en la resolución de problemas de determinantes. 2.3 Criterios de evaluación • Calcular el valor de un determinante de orden 2. • Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3. • Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos. • Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada. • Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea. • Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada. • Obtener el rango de una matriz. • Determinar la matriz adjunta de una matriz dada • Calcular la matriz inversa de una matriz dada. 145 TEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1 Objetivos • Resolver sistemas mediante su transformación en sistemas escalonados. • Analizar, discutir y resolver por el método de Gauss sistemas de ecuaciones lineales. • Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. • Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. • Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados. • Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. • Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parámetros. • Discutir y resolver sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas. • Plantear y resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales. 3.2 Contenidos Conceptos • Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados. • Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. • Teorema de Rouché-Fröbenius. • Regla de Cramer. • Sistemas homogéneos. • Sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas. • Sistemas dependientes de un parámetro. Procedimientos • Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado y resolución del mismo. • Aplicación del método de Gauss a la resolución y discusión de sistemas ecuaciones lineales. • Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones que tengan distinto número de ecuaciones que de incógnitas. 146 • Resolución de sistemas por métodos matriciales, mediante la matriz inversa. • Discusión y clasificación de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. • Utilización de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante distinto de cero. • Discusión y resolución de sistemas lineales homogéneos. • Discusión y resolución de sistemas dependientes de parámetros. • Resolución de problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales. Actitudes • Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas. • Valoración de la necesidad de interpretación crítica de las soluciones obtenidas. • Confianza en las propias capacidades para resolver problemas. 3.3 Criterios de evaluación • Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana. • Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. • Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformación en sistemas escalonados. • Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas. • Resolver sistemas de ecuaciones mediante métodos matriciales. • Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de RouchéFröbenius. • Utilizar correctamente la regla de Cramer. • Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogéneos. • Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros. • Plantear y resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales. 147 Tema 4. PROGRAMACIÓN LINEAL 4.1 Objetivos • Plantear problemas de programación lineal, definiendo las variables y escribiendo el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones. • Representar gráficamente el recinto de restricciones de un problema y determinar la región factible. • Hallar las soluciones de un problema de programación lineal utilizando métodos algebraicos y gráficos. • Analizar las soluciones de un problema de programación lineal y determinar si existe solución óptima, y si existe, si es única. • Aplicar la programación lineal a la resolución de problemas reales: producción, dieta y transporte. 4.2 Contenidos Conceptos • Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones. • Regiones del plano determinadas por inecuaciones. • Introducción a la programación lineal. • Métodos de resolución. • Tipos de soluciones. • Problema de la producción. • Problema de la dieta. • Problema del transporte. Procedimientos • Resolución de una inecuación lineal o un sistema de inecuaciones lineales con dos variables, representando las regiones asociadas en el plano y determinando la región factible. • Reconocimiento de la presencia de problemas de programación lineal en la realidad, obtención de la correspondiente función objetivo, representación de la región factible y determinación de los vértices de la región factible. • Resolución de problemas de programación mediante el método algebraico, determinando todos los vértices de la región factible y analizando el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. 148 • Resolución de problemas utilizando el método gráfico representando rectas paralelas a la función objetivo y determinando cuál de ellas maximiza o minimiza dicha función. • Análisis de las soluciones de un problema de programación. • Planteamiento y resolución de problemas reales de producción, dieta y transporte mediante programación lineal, utilizando los métodos algebraico y/o gráfico, y analizando las soluciones obtenidas. Actitudes • Curiosidad para abordar matemáticamente situaciones cotidianas. • Valoración de la importancia de las Matemáticas en la resolución de problemas de la vida cotidiana. 4.3 Criterios de evaluación • Representar las regiones del plano determinadas por rectas. • Resolver una inecuación lineal con dos variables. • Resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos variables y determinar su región factible. • Plantear un problema de programación lineal, obtener la función objetivo, determinar las restricciones de las variables, representar la región factible y determinar los puntos extremos. • Resolver un problema de programación lineal algebraicamente mediante el estudio de los vértices de su región factible. • Resolver un problema de programación lineal gráficamente determinando la recta paralela a la función objetivo que maximiza o minimiza el problema. • Verificar que en un problema de programación lineal coincide la solución hallada algebraicamente con la determinada gráficamente. • Analizar las soluciones de un problema de programación lineal con dos variables. • Determinar, si existe o no, la solución óptima de un problema de programación lineal. • Plantear, resolver y analizar varios problemas de la producción, la dieta y el transporte. 149 TEMA 5. LÍMITES Y CONTINUIDAD 5.1 Objetivos • Determinar el valor del límite de una función en el infinito. • Aplicar las operaciones con límite: suma, diferencia, producto y cociente, en la resolución de límites. • Determinar el límite de una función en un punto y obtener sus límites laterales. • Resolver indeterminaciones de distinto tipo a la hora del cálculo de límites. • Analizar la continuidad de una función en un punto, verificando si los límites laterales son iguales al valor que toma la función en ese punto. • Determinar los puntos de discontinuidad de una función, y el tipo de discontinuidad que presentan. 5.2 Contenidos Conceptos • Límite de una función en el infinito. • Operaciones con límites. • Límites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones. • Límites laterales. • Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. • Tipos de discontinuidades. Procedimientos • Determinación, si existe, del límite de una función en un punto de manera aproximada y de forma exacta. • Cálculo del límite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, y del producto de un número por una función. • Límite de funciones potenciales, exponenciales y racionales. • Obtención de los límites laterales de una función en un punto. • Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites. • Análisis de la continuidad de una función en un punto, verificando si se cumple que los dos límites laterales son iguales al valor de la función en ese punto. 150 • Evaluación de la continuidad de una función en un intervalo. • Estudio de las discontinuidades de una función, determinando de qué tipo son. Actitudes • Reconocimiento de la utilidad del estudio de los límites y la continuidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo científico. 5.3 Criterios de evaluación • Calcular el límite, si existe, de una función en el infinito. • Aplicar las operaciones con límites para resolver límites de funciones. • Determinar el límite de una función en un punto. • Calcular los límites laterales de una función en un punto. • Resolver indeterminaciones de los tipos: ∞ ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ y 0 . 0 • Estudiar la continuidad de una función en un punto. • Estudiar la continuidad de una función en un intervalo. • Determinar las discontinuidades de una función y estudiar el tipo al que pertenecen. 151 TEMA 6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 6.1 Objetivos • Utilizar la tasa de variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana. • Obtener la derivada de una función en un punto y sus derivadas laterales. • Analizar la continuidad y derivabilidad de una función en un punto, teniendo en cuenta las relaciones entre ambas. • Calcular derivadas usando las reglas de derivación. • Obtener derivadas de operaciones con funciones. • Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta. • Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera. • Calcular derivadas sucesivas. 6.2 Contenidos Conceptos • Tasa de variación media. • Derivada de una función en un punto. • Derivadas laterales. • Continuidad y derivabilidad. • Derivada de la suma y de la diferencia de funciones. • Derivada del producto y cociente de funciones. • Regla de la cadena. Procedimientos • Obtención de la función derivada y de las derivadas sucesivas de una función. • Cálculo de las derivadas laterales de una función en un punto. • Análisis de la continuidad y derivabilidad de una función en un punto a partir de las relaciones entre ambas. • Deducción y aplicación de las reglas de derivación para obtener la derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones. • Utilización de la regla de la cadena para obtener la función derivada de distintas funciones compuestas. 152 Actitudes • Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo científico. • Valoración del lenguaje gráfico a la hora de tratar la información. • Capacidad para formularse preguntas nuevas explorando al máximo un fenómeno o situación. 6.3 Criterios de evaluación • Hallar la tasa de variación media de una función en un intervalo. • Determinar la derivada de una función en un punto, y sus derivadas laterales. • Analizar la continuidad y derivabilidad de una función en un punto. • Obtener la función derivada de una función elemental. • Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas. • Calcular derivadas sucesivas de una función. 153 TEMA 7. APLICACIONES DE LA DERIVADA 7.1 Objetivos • Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto. • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. • Obtener los máximos y los mínimos de una función a partir de sus derivadas primera y segunda. • Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una función, así como sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda. • Conocer los pasos que hay que seguir para optimizar una función dada. • Optimizar funciones. 7.2 Contenidos Conceptos • Interpretación geométrica de la derivada. • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. • Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. • Optimización. Procedimientos • Interpretación geométrica de la derivada. • Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. • Obtención de los puntos críticos de una función y de sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda. • Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una función, y de sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda. • Resolución de problemas reales de optimización de funciones. Actitudes • Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real. • Gusto por la presentación clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el cálculo de derivadas. 154 7.3 Criterios de evaluación • Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas. • Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto. • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. • Obtener los puntos críticos, los máximos y los mínimos de una función. • Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función. • Hallar los puntos de inflexión de una función. • Resolver problemas reales de optimización de funciones: maximizar y minimizar. TEMA 8. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8.1 Objetivos • Obtener el dominio y puntos de corte con los ejes de una función. • Determinar si una función es simétrica. • Estudiar si una función es periódica y, en caso de que lo sea, calcular su período. • Determinar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. • Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos a partir del estudio de la derivada primera. • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión a partir del estudio de la derivada segunda. • Representar gráficamente una función. 8.2 Contenidos Conceptos • Dominio y puntos de corte con los ejes. • Simetrías periodicidad • Ramas infinitas. Asíntotas. • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. • Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. • Funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos. 155 Procedimientos • Obtención del dominio y puntos de corte con los ejes de una función dada. • Estudio de las simetrías de una función. • Determinación del periodo de una función periódica. • Cálculo de las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función. • Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. • Obtención de los puntos críticos de una función y de sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda. • Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una función, y de sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda. • Representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos utilizando todos los elementos anteriores. Actitudes • Reconocimiento de la utilidad del lenguaje gráfico como medio para el estudio y comprensión de fenómenos de la vida real. • Aprecio de los medios tecnológicos como herramienta para analizar la realidad. 8.3 Criterios de evaluación • Hallar el dominio, las simetrías y los puntos de corte con los ejes de una función. • Determinar si una función es periódica. • Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función, y determinar la posición relativa de la gráfica de una función respecto a ellas. • Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. • Obtener los puntos críticos, los máximos y los mínimos de una función. • Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función. • Hallar los puntos de inflexión de una función. • Representar gráficamente una función a partir del estudio de sus propiedades. 156 TEMA 9. PROBABILIDAD 9.1 Objetivos • Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones. • Identificar en un experimento aleatorio: espacio muestral, suceso, suceso seguro y suceso imposible. • Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades. • Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades. • Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace. • Resolver problemas de probabilidad condicionada. • Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos son dependientes o independientes, y resolverlos. • Determinar la probabilidad de un suceso, aplicando el teorema de probabilidad total. • Aplicar el teorema de Bayes en la resolución de problemas donde aparezcan probabilidades «a posteriori». 9.2 Contenidos Conceptos • Métodos de conteo: variaciones, permutaciones y combinaciones. • Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos. Propiedades. • Probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada. • Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes. • Probabilidad total. Probabilidades «a posteriori». Teorema de Bayes. Procedimientos • Reconocimiento de los contextos problemáticos donde aparezcan variaciones y combinaciones, distinguiendo si son con o sin repetición, y realización de los cálculos oportunos para obtener el número total de grupos que se pueden formar. • Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realización de operaciones con sucesos. • Utilización de la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad. • Resolución de problemas de probabilidad condicionada. 157 • Reconocimiento y resolución de problemas de probabilidad compuesta, y determinación de la dependencia o independencia de dos sucesos. • Obtención de la probabilidad total de un suceso. • Reconocimiento y uso de las probabilidades «a posteriori». • Utilización del teorema de Bayes en la resolución de problemas. compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. Actitudes • Valoración de la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana. • Gusto por la reflexión al resolver problemas de probabilidad. 9.3 Criterios de evaluación • Aplicar el concepto de variación y permutación para realizar cálculos y obtener el número total de grupos que se pueden formar. • Emplear las fórmulas de las combinaciones y los números combinatorios para la resolución de problemas. • Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio. • Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades. • Usar la definición de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad. • Hallar probabilidades de forma experimental. • Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada. • Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta. • Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos. • Calcular la probabilidad total de un suceso, utilizando diagramas de sucesos y diagramas de árbol. • Reconocer y usar las probabilidades «a posteriori». • Utilizar el teorema de Bayes en la resolución de problemas. 158 TEMA 10. MUESTREOS. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 10.1 Objetivos • Distinguir entre población y muestra. • Seleccionar una muestra utilizando un muestreo aleatorio simple o sistemático. • Extraer muestras de una población utilizando un muestreo aleatorio sistemático. • Determinar las muestras en un muestreo aleatorio estratificado con afijación igual o con afijación proporcional. • Aplicar las técnicas de muestreo por conglomerados en una población. • Determinar la función de distribución binomial y reconocer el significado de sus parámetros. • Interpretar el significado de la campana de Gauss y del área limitada por la curva de su función de densidad. • Tipificar un valor de una variable aleatoria que sigue una distribución normal. • Aplicar la tabla N(0, 1) en el cálculo de probabilidades de una variable que sigue una distribución normal. • Asignar probabilidades a sucesos utilizando la distribución binomial y normal. • Aproximar una distribución binomial mediante una normal. • Relacionar la media y la varianza de una población con la media y varianza de la variable de todas las medias muestrales de igual tamaño. • Reconocer las distribuciones de la medias muestrales, de la proporciones muestrales y de la diferencia de medias muestrales. • Aplicar las distribuciones de la medias, de la proporciones y de la diferencia de medias muestrales a la obtención de probabilidades. 10.2 Contenidos Conceptos • Población y muestra. • Tipos de muestreo: aleatorio simple, sistemático, estratificado y por conglomerados. • Distribución binomial. Media y varianza. • Distribución normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1). • Tipificación de la normal. Aproximación de la binomial por la normal. • Teorema central del límite. • Distribución de la medias, de la proporciones y de la diferencia de medias muestrales. 159 Procedimientos • Reconocimiento de los conceptos de población y muestra y de las limitaciones del muestreo, y discusión sobre la validez de una muestra. • Realización de muestreos aleatorios simples. • Obtención de muestras mediante muestreo aleatorio sistemático, a partir de un número origen y del coeficiente de elevación. • Elaboración de muestreos estratificados de afijación igual o de afijación proporcional, determinando cuál es el más adecuado para cada caso. • Realización de muestreos por conglomerados, eligiendo estos y extrayendo en cada uno de ellos la muestra correspondiente. • Cálculo de probabilidades de sucesos utilizando la distribución binomial. • Utilización de la tipificación y de la tabla de la N(0, 1) para calcular distintas probabilidades. • Aproximación de una distribución binomial por una normal, reconociendo los casos en los que es posible y las características de la distribución normal a la que se aproxima. • Conocimiento de la distribución de las medias muestrales y cálculo de distintas probabilidades para los valores de esa distribución. • Conocimiento de la distribución de las proporciones muestrales y obtención de probabilidades para los valores de dicha distribución. • Conocimiento de la distribución de la diferencia de medias muestrales y obtención de probabilidades para los valores de esa diferencia de medias. Actitudes • Valoración de la presencia de distribuciones de probabilidad relacionadas con muestras en la vida real. • Gusto por la reflexión al resolver problemas de muestreo y probabilidad. 10.3 Criterios de evaluación • Entender los conceptos de población y muestra. • Elegir correctamente una muestra válida de una población. • Distinguir entre los distintos tipos de muestreo. • Elegir el tipo de muestreo que mejor se adapta a las características de la población para obtener una muestra significativa. 160 • Realizar muestreos aleatorios simples.. • Obtener muestras mediante un muestreo aleatorio sistemático. • Elaborar muestreos estratificados, de afijación igual o proporcional. • Determinar el tamaño de la muestra al realizar un muestreo estratificado. • Realizar muestreos por conglomerados, extrayendo la muestra correspondiente. • Identificar la distribución binomial y el valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza. • Reconocer la distribución normal y el valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificación. • Ajustar una distribución binomial mediante una normal en distintos casos. • Calcular probabilidades para los valores de las medias muestrales. • Obtener probabilidades para los valores de las proporciones muestrales. • Calcular probabilidades para los valores de las diferencias de medias muestrales. 161 TEMA 11. INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN 11.1 Objetivos • Determinar estimadores puntuales para la media poblacional y la proporción poblacional. • Calcular intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias. • Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante intervalos de confianza. • Realizar contrastes de hipótesis para la media, la proporción y la diferencia de medias. • Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante contrastes de hipótesis. 11.2 Contenidos Conceptos • Estimadores puntuales: media muestral y proporción muestral. • Nivel de confianza, error máximo admisible y tamaño de la muestra en un intervalo de confianza. • Intervalos de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias. • Nivel de significación, hipótesis nula, hipótesis alternativa, zona de aceptación y zona de rechazo en un contraste de hipótesis. • Contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales. • Contrastes de hipótesis para la media, la proporción y la diferencia de medias. Procedimientos • Determinación de estimadores puntuales para la media poblacional y para la proporción poblacional. • Cálculo de intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias. • Utilización de la relación entre error máximo admisible, nivel de confianza y tamaño muestral, para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza. • Realización de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media, determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula. • Elaboración de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la proporción, determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula. • Elaboración de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la diferencia de medias, determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula. Actitudes 162 • Valoración de la inferencia estadística como método de trabajo para extrapolar los resultados obtenidos de una muestra a una población. • Interés por consultar distintas fuentes de información. 11.3 Criterios de evaluación • Realizar estimaciones puntuales para la media poblacional y la proporción poblacional. • Obtener intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias. • Conocer la relación entre error máximo admisible, nivel de confianza y tamaño muestral, para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza. • Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando intervalos de confianza e interpretar correctamente el resultado obtenido. • Realizar contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media, para la proporción, y para la diferencia de medias. • Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando contrastes de hipótesis e interpretar correctamente el resultado obtenido. 6.4 TEMPORALIZACIÓN 1ª Evaluación: Temas 1, 2, 3, 4, 2ª Evaluación: Temas 5, 6, 7, 8 3ª Evaluación: Temas 9, 10, 11 163 MATERIAL Y RECURSOS DIDÁCTICOS • Libros recomendados: - Matemáticas I: “Matemáticas 1” Editorial Santillana. - Matemáticas II: “Matemáticas 2” Editorial SM. - Matemáticas CC.SS. I : “Matemáticas CC.SS. I” Editorial Santillana - Matemáticas CC.SS. II : “Matemáticas CC.SS. II” Editorial SM • Cuaderno de actividades del alumno. • Calculadora científica. • Libros de consulta. • Ordenador. • Programas informáticos. • Otros recursos informáticos. 164 PLAN DE RECUPERACIÓN DE ALUMNOS CON MATEMÁTICAS PENDIENTES DE CURSOS ANTERIORES. En la página web del centro se colgarán colecciones de ejercicios sobre los que versarán las pruebas escritas, pudiendo el alumno plantear dudas a los profesores del departamento, especialmente al profesor del curso en el que se encuentran. Fechas de Exámenes de recuperación para alumnos de Bachillerato que tienen pendiente las Matemáticas del curso anterior. Bloque I 16 de Diciembre 2015 16:30 horas Bloque II 17 de Febrero 2016 16:30 horas Bloque III 6 de Abril 2016 16:30 horas Matemáticas I Matemáticas I CCSS - Números Reales. Radicales - Logaritmos. - Trigonometría y resolución de triángulos - Espacio Vectorial Euclídeo Bidimensional - Geometría plana - Complejos - Números Reales. Radicales - Logaritmos. - Polinomios. Factorización - Fracciones algebraicas - Ecuaciones de segundo grado, racionales y radicales. - Sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Método de Gauss. - Inecuaciones de primer y segundo grado - Sistemas de inecuaciones - Matemáticas financieras - Funciones: características - Representación de funciones elementales - Funciones, límites y Continuidad - Derivadas - Límites de funciones. Continuidad. - Derivadas -Parámetros estadísticos. - Funciones definidas a trozos Los alumnos que no hayan superado la asignatura con la media de estos tres exámenes, podrán hacerlo mediante un examen global de la asignatura. 165 EVALUACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE La evaluación del proceso de enseñanza - aprendizaje y de la actuación del profesorado del Departamento se realizará sistemáticamente en las reuniones de Departamento con periodicidad mensual. Así mismo, se participará con el equipo directivo, de acuerdo con lo establecido en el plan de evaluación interna del centro. La evaluación de la práctica docente por parte del profesor se realiza mediante el siguiente cuestionario. EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA DOCENTE CUESTIONARIO DEL PROFESOR Grupo: _______________ DIMENSIONES: a) La adecuación de los objetivos, contenidos características y necesidades de los alumnos. y criterios de evaluación INDICADORES 1 1 He hecho una prueba para realizar la evaluación inicial. 2 He adaptado los objetivos, contenidos y criterios de evaluación a las características y necesidades de los alumnos después de la evaluación inicial 3 He dado a conocer a los alumnos los criterios de evaluación y calificación, incluidos los de la prueba extraordinaria de septiembre. 4 Realizo adaptaciones curriculares necesarias a los alumnos con necesidades educativas especiales. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente a 4. Siempre las 2 3 4 3 4 Escribe una X en tu b) Los aprendizajes logrados por el alumnado. INDICADORES 1 1 Los resultados alcanzados por el alumnado mejoran los logrados en la evaluación anterior. 2 Como consecuencia de los resultados de la evaluación se modifican las estrategias didácticas para favorecer la motivación del alumnado. 3 Corrijo y explico los trabajos y actividades de los alumnos y doy pautas para la mejora de sus aprendizajes. 4 Uso la revisión de los exámenes con los alumnos para que éstos puedan aprender de sus fallos. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente 4. Siempre 2 Escribe una X en tu 166 c) Las medidas de individualización de la enseñanza con especial atención a las medidas de apoyo y refuerzo utilizadas. INDICADORES 1 1 Analizo individualmente con los alumnos sus niveles de conocimiento y su proceso, dándoles pautas a seguir para superar sus dificultades. 2 Propongo actividades variadas de refuerzo y ampliación que se ajusten a los distintos niveles de conocimiento dentro del aula. 3 Utilizo una metodología con recursos variados y promuevo el uso de estrategias de cooperación entre ellos. 4 Realizo adaptaciones curriculares significativas y no significativas en función de las necesidades individuales de los alumnos. 5 Colaboro con el departamento de Orientación a la hora de realizar adaptaciones significativas y detectar problemas de aprendizaje, etc. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente 4. Siempre 2 3 4 3 4 3 4 Escribe una X en tu d) La programación y su desarrollo y, en particular, las estrategias de enseñanza, los procedimientos de evaluación del alumnado, la organización del aula y el aprovechamiento de los recursos del centro. INDICADORES 1 1 Favorezco la motivación de los alumnos con respecto a la materia que imparto, partiendo de sus experiencias y utilizando diferentes recursos. 2 Compruebo que los alumnos han comprendido la tarea que tiene que realizar: haciendo preguntas o verbalizando el proceso… 3 Las relaciones que establezco con mis alumnos dentro del aula, son correctas, fluidas y no discriminatorias. 4 Estructuro y organizo los contenidos dando una visión general de cada tema (mapas conceptuales, esquemas, etc.) 5 Llevo una idea previa de cómo distribuir espacios y tiempos de la clase. 6 Utilizo recursos didácticos variados (audiovisuales, informáticos, etc.) para la presentación de contenidos. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente 4. Siempre 2 Escribe una X en tu e) La idoneidad de la metodología y de los materiales curriculares. INDICADORES 1 1 Cuando inicio una unidad didáctica la relaciono con los conocimientos anteriores para procurar aprendizajes significativos. 2 Comunico la finalidad de los aprendizajes, su importancia y su aplicación real. 3 Durante la enseñanza expositiva planteo preguntas para ver si han comprendido la información y pongo ejemplos de la vida diaria. 4 Completo la exposición de contenidos con técnicas de investigación que faciliten la autonomía de los alumnos. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente 4. Siempre 2 Escribe una X en tu 167 f) La coordinación con el resto de profesores de cada grupo y en el seno del departamento. INDICADORES 1 1 Me coordino con otros profesores (apoyo, pedagogía terapéutica, etc.) para modificar y/o adaptar contenidos, actividades, metodología, etc; a los diferentes ritmos y posibilidades de aprendizaje. 2 Se reúne el departamento didáctico todas las semanas. 3 Me coordino con los tutores. 4 Tomamos acuerdos fácilmente y los llevamos a la práctica. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente 4. Siempre 2 3 4 3 4 Escribe una X en tu g) Las relaciones con el tutor y, en su caso, con las familias. INDICADORES 1 1 He mantenido entrevistas con los tutores de mis alumnos que precisan seguimiento. 2 He contactado con los padres de mis alumnos. 3 Los padres de mis alumnos han venido a verme voluntariamente. 1. Nunca 2. A veces preferencia. 3. Frecuentemente 4. Siempre 2 Escribe una X en tu 168