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LA LEY DE COULOMB COMO CASO PARTICULAR DE LA LEY DE GAUSS
Una carga eléctrica genera un campo eléctrico cuyas líneas de fuerza son radiales que permiten concluir que el vector de intensidad de campo eléctrico hay desde la propia carga puntual.
r E tiene dirección radial y su magnitud depende de la distancia que
En consecuencia para los puntos a la misma distancia de la carga puntual corresponde una magnitud idéntica del vector de intensidad de campo eléctrico.
Estas dos condiciones que cumple el vector de intensidad de campo eléctrico, aseguran que el Campo de vectores
r E tiene simetría esférica.
Se elige como superficie Gaussiana una esfera de radio R centrada en el origen, (posición de la carga puntual).
r
La diferencial de superficie d S sobre la Esfera Gaussiana, evidentemente tiene dirección radial y por ello es paralela al vector de Intensidad de Campo Eléctrico, en todos los puntos de la Superficie Gaussiana. Es por ello que se obtiene el resultado:
r r r r E ⋅ d S = E d S cos ( 0° ) = E dS En consecuencia, la Integral de Flujo sobre la superficie Gaussiana en este caso cumple:
r r E ∫ ⋅ dS =
esfera radio R
∫E
∫ dS
dS = E
esfera radio R
= E 4π R 2
esfera radio R
Como la carga total encerrada en la esfera Gaussiana es la carga q de la carga puntual, el Teorema de Gauss permite escribir:
∫
r r q E ⋅ dS =
ε0
esfera radio R que evidentemente conduce a:
E 4π ε 0 R 2 =
q
ε0
de donde despejando E, se obtiene la magnitud del vector de Intensidad de campo eléctrico sobre la superficie Gaussiana:
E=
1 4πε 0
q R2
La dirección es evidentemente radial y su magnitud depende de la distancia R desde la carga puntual. En consecuencia, el vector de intensidad de campo eléctrico es obtenido por el producto de su magnitud multiplicada por el vector unitario en dirección radial en coordenadas esféricas
r q 1 E = 4πε 0 R 2
eˆ
r
eˆr :
r r entonces el Vector de intensidad de campo eléctrico es dado por:
Si en el punto donde se desea conocer el vector de intensidad de campo eléctrico es dada su posición por el vector
r E =
1 4πε 0
q rr q 1 = r 2 r 4πε 0 r 3
r r
que coincide con el valor vectorial obtenido en el análisis del campo de una carga puntual. Si en el punto de vector de posición es dada por :
r r , se coloca una carga Q, entonces la fuerza que aparece sobre esa carga
r r F =Q E y en consecuencia, la fuerza sobre la carga Q debida a la presencia de q es dada por:
r 1 qQ F = 4πε 0 r 3
r r
que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la Ley de Coulomb. De manera formal podemos decir que la Ley de Coulomb se obtuvo a partir de la Ley de Gauss considerando el tratamiento de una estructura física dada por una carga puntual única en el espacio. Debido a esta óptica, podemos decir que la Ley de Coulomb pasa a ser un Caso muy particular de la aplicación de la Ley de Gauss.
CAMPO ALREDEDOR DE UNA CARGA "q" DEPOSITADA EN UN CONDUCTOR ESFERICO MACIZO
Recordamos que en un conductor, la carga se almacena en su superficie externa, (recordamos el experimento de la Jaula de Faraday). Por tal motivo, en el interior de ese conductor, aun cuando es macizo, no hay cargas eléctricas depositadas. La carga se distribuye uniformemente en la superficie de ese conductor, por la siguientes razones: Al ser el conductor esférico, no hay una dirección preferencial sobre la cual se vayan repelidas entre sí las partículas portadoras de carga cuantizada. Por ello no hay región preferente para que se depositen.
En consecuencia, el conductor pasa a convertirse en una distribución uniforme de carga eléctrica estática, porque los movimientos de los portadores se detienen cuando ellos llegan a la superficie y alcanzan una situación de equilibrio estático, que sólo se puede conseguir cuando ellas se distribuyen uniformemente sobre la superficie de la esfera, quedando finalmente como se muestra en la siguiente Figura:
r d S Por lo tanto, cada elemento diferencial de superficie contiene exactamente la misma carga de magnitud d q , la cual es dada por σ dS , donde σ es la densidad superficial de carga que evidentemente es uniforme y de valor constante sobre toda la superficie de la esfera metálica. Cada elemento de superficie tiene su simétrico respecto a cualquier eje que pase por el centro de la esfera metálica, por ejemplo, podríamos tomar como eje de simetría al eje de las Y.
En la figura se observan dos elementos colocados simétricamente respecto a ese eje, además por comodidad pero sin pérdida de generalidad, podemos suponer que se busca el campo eléctrico en un punto P sobre ese mismo eje.
Desde luego se supone que el centro de la esfera metálica coincide con el origen del sistema coordenado, el elemento de carga dq y su simétrico dq', generan respectivamente los pequeños campos
r r d E y dE ′ que
r 2 d E cos (θ ) ,
al sumarse vectorialmente dan un vector cuya magnitud tiene el valor
al sumarse (integrarse) las contribuciones de elementos de carga sobre la "cinta" de
integración que representamos en la figura, es evidente que el resultado es un vector paralelo al eje de las Y, finalmente, si se suman todas las "cintas" sobre la esfera, se obtendrá en el punto P un vector también paralelo al eje de las Y. Intuitivamente sin necesidad de integrar nuevamente, la magnitud total del vector de campo eléctrico, en el Punto P sólo dependerá de la distancia entre el origen y el punto P y de la carga depositada en la esfera. Aún cuando cambiemos del punto P al punto P' en dirección distinta al eje de las Y , pero conservando la distancia entre el origen y P, para convertirse en la distancia entre el origen y el punto P', la nueva integración tendrá el mismo valor, esto se puede evidenciar con sólo rotar el eje Y de manera adecuada, de tal manera que la línea uniendo el origen y el punto P' coincida con el eje de las Y. A partir de este argumento, es evidente que el campo vectorial del vector de intensidad de campo eléctrico, tiene simetría esférica porque es radial y constante sobre puntos que equidistan del origen de coordenadas. Esto permite elegir como superficie gaussiana, a una esfera centrada en el centro de la esfera metálica. Nos resta calcular el Vector de Intensidad de Campo Eléctrico en todos puntos dentro, fuera y sobre la superficie de la esfera metálica, para tener todo el campo vectorial que buscamos.
Esto provoca que nuestra superficie gaussiana tenga radio menor que el de la esfera, igual a este o superior a su radio R. La siguiente Figura presenta un corte de las esferas con el plano X-Y:
Analicemos primero el caso en que la esfera gaussiana tiene un radio mayor al de la esfera metálica, es decir cuando el radio "r" de la esfera gaussiana y el de la esfera metálica R complen la relación:
r > R En este caso los vectores de campo eléctrico y de diferencial de superficie se comportan como se representa en la siguiente figura:
r r E y dS son paralelos
y por ello su producto escalar cumple:
r r E ⋅ dS = E dS cos ( 0° ) = E dS Por ello la integral de flujo sobre la superficie gaussiana elegida, con radio "r", es dada por:
r r E ∫ ⋅ dS =
esfera radio r
∫
∫ dS
E dS = E
esfera radio r
= E 4 π r2
esfera radio r
como la carga que se depositó en la esfera metálica es "q" y ésta se encuentra totalmente dentro de la esfera gaussiana, y usando el Teorema de Gauss, podemos escribir la siguiente ecuación:
E 4π r 2 =
q
ε0
de donde despejando E, tenemos la magnitud del Vector de Intensidad de Campo eléctrico a una distancia r mayor que el radio R de la esfera metálica:
E =
1 4πε 0
q r2
y como el campo es radial, entonces se puede escribir:
r E=
1 4πε 0
q r2
r r r
que es la expresión similar a la de un campo eléctrico debido a una carga puntual centrada en el origen del sistema de coordenadas. En consecuencia, podemos asegurar que: Una Esfera metálica uniformemente cargada, produce un campo eléctrico en el exterior de ella, equivalente a una carga puntual en la que se concentra la carga de la esfera metálica y la cual se encuentra en el centro del sistema coordenado que coincide con el centro de la esfera metálica. Este resultado justifica que el manejo de esferas metálicas cargadas para crear distribuciones discretas de cargas eléctricas, es completamente equivalente al manejo de cargas puntuales para crear esas distribuciones, con la salvedad de que el campo se calcula en regiones exteriores a esas esferas. En consecuencia, este resultado valida decir que los experimentos realizados con esferas metálicas (experimentos reales), coinciden perfectamente con experimentos en los cuales se desea trabajar con cargas puntuales ( experimentos ideales). Por ejemplo, el experimento de la Balanza de Torsión que se usa para deducir la ley de Coulomb, es aceptable, debido a que en lugar de usar cargas puntuales, utiliza esferas metálicas cargadas, y el anterior resultado le dá completa validez.
Si ahora, la superficie Gaussiana esférica tiene radio idéntico al de la esfera metálica, r = R, es evidente que la integral de flujo sobre esta nueva superficie gaussiana tiene el mismo valor que el ecalculado anteriormente, ya que el tamaño del radio no es importante, sino sólo que se trata de una esfera. Por ello se tiene:
r r 2 ∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera radio r
ahora debe considerarse cual es la carga neta encerrada por la superficie gaussiana: esa carga es exactamente q ya que esa carga se encuentra en la superficie de la esfera metálica y por ello está contenida por la esfera de integración, por ello de nueva cuenta, tenemos:
E =
q r2
1 4πε 0
y de nueva cuenta, el Vector de Intensidad de Campo Eléctrico es dado por:
r E=
1 4πε 0
q r2
r r r
Y entonces, podemos asegurar que el campo eléctrico alrededor y en la superficie, de una esfera metálica cargada estáticamente, es idéntico al originado por una carga puntual equivalente colocada en el centro de la esfera metálica y con una carga idéntica a aquélla con la que se cargó a la esfera metálica. Finalmente, si la esfera gaussiana es elegida como una esfera cuyo radio es inferior al radio de la esfera cargada, es decir, si r < R, entonces el campo que se calculará es el campo de puntos interiores de la esfera metálica cargada. En este caso, la integral de flujo es evidentemente idéntica, y por ello:
r r 2 ∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera radio r
pero ahora, la carga neta encerrada tiene valor cero, porque la carga se deposita en la superficie de la esfera metálica, y por ello entonces la integral se iguala a cero porque la carga neta encerrada, como ya mencionames es nula, y entonces:
r r 2 ∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera radio r
=
0
ε0
=0
Dada la ecuación anterior, se puede concluir inmediatamente que el valor del campo es cero, es decir, en el interior de una esfera metálica cargada es nulo, es decir:
r r E =0
para todos los puntos dentro de la esfera metálica.
CAMPO ALREDEDOR DE UNA CARGA "q" DEPOSITADA UNIFORMEMENTE EN UN DIELECTRICO ESFERICO MACIZO En el caso de un material dieléctrico, la carga no se desplaza como en el caso de un conductor, en este caso, la carga se deposita en todo el cuerpo del material, por esa razón para el análisis de este caso, imponemos estrictamente que la distribución de la carga eléctrica es uniforme, es decir los portadores se distribuyen uniformemente en todo el cuerpo del dieléctrico, aún siendo una situación ideal, resulta interesante analizar este caso.
En este caso, la distribución de carga es volumétrica, en consecuencia la carga depositada en un elemento de volumen dV, es dada por : dq = ρ dV . Cada elemento de volumen dentro de la esfera tiene su simétrico respecto al eje de las Y cuando la esfera está centrada en el origen. Si el punto donde se desea conocer el campo está colocado sobre el eje de las Y, como se muestra en la figura, se tiene que todo elemento dV tiene su simétrico respecto al eje de las Y dado por el elemento dV', ambos elementos contienen las cargas iguales en magnitud, dq y dq' respectivamente, esos elementos de carga
r r generan los campos eléctricos diferenciales dE y dE ' que al sumarse dan un vector en dirección del eje de las Y y cuya magnitud es
r 2 dE cos (θ )
r r vectores dE y dE ' con el eje de las Y.
donde el ángulo θ es el ángulo que forma cada uno de los
r r al punto P es la misma. En consecuencia, los vectores dE y dE ' tienen la misma magnitud y mismo
Como los elementos dq y dq' están colocados simétricamente al eje de las Y, es facil deducir que su distancia
ángulo de inclinación respecto al eje de las Y.
Es por ello que la magnitud del vector resultante de la suma de los vectores
r r dE y dE'
tiene el
resultado
r 2 dE cos (θ ) así, se puede integrar sobre una "dona" obtenida por efectuar una revolución alrededor del eje de las Y con cualquiera de los elementos dV o dV', como se observa en la figura siguiente:
a partir de esa integración se encuentra que la suma resulta en un vector paralelo al eje de las Y. Ahora si se efectúa la segunda integración de las "donas" sobre la región comprendida entre los círculos de radio r y r+dr, nos encontramos que se obtendrá como suma un vector que es paralelo al eje de las Y, esto indica que el campo vectorial es radial en el punto P. Si se cambiara del punto P a otro P', el campo seguira siendo radial, y si la distancia de P' al origen, es idéntica a la que hay entre P y el mismo origen, entonces se encuentra que los vectores de campo en esos puntos tienen la misma magnitud. No realizamos la integración, pero por las condiciones que presenta el problema, es seguro que se obtenga como resultado la conclusión anterior. Así, podemos decir que el Campo Eléctrico alrededor de nuestra esfera dieléctrica, tiene simetría esférica, y en consecuencia, la superficie gaussiana por elegir, será una esfera centrada en el centro de nuestra esfera dieléctrica cargada uniformemente. En este caso, como en el anterior, elegiremos esferas gaussianas centradas en la esfera dieléctrica con radios menor, igual y mayor al radio R de la esfera dieléctrica, para tener el campo entodos los puntos del espacio. El cálculo de la Integral de Flujo sobre esas esferas Gaussianas es el mismo que en el caso anterior, por esa razón, cuando la superficie Gaussiana tiene radio "r", la integral de flujo tendrá el valor:
r r 2 ∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera radio r
y esta integral será la misma cualquiera que sea el valor de "r", sólo resta encontrar en cada caso, cual es el valor de la carga total encerrada por la superficie gaussiana.
Dentro de la esfera dieléctrica, r R ⎪⎩ 4πε 0 r El primer valor de la función escalonada definida anteriormente, es obtenido fácilmente si se considera que el potencial eléctrico debe ser una función contínua, y por ello debe coincidir con el potencial en la superficie de la esfera conductora, donde ya dijimos que es igual al potencial debido a una carga puntual a una distancia igual al radio de la esfera conductora. En virtud de ello, el valor del potencial dentro y en la superficie de una esfera conductora cargada estáticamente es igual a:
V (r)=
1 4πε 0
q R
Por lo anterior se dice que la esfera conductora "se eleva" al potencial en su superficie, y el valor de ese potencial es
V (r)=
1 4πε 0
q . R
De tal forma que el perfil de la gráfica de la función de potencial eléctrico alrededor de una esfera metálica cargada uniformemente, es dado por:
El potencial eléctrico dentro de la esfera es constante y desciende asintóticamente a cero conforme la distancia r tiende a infinito.
Es interesante analizar el campo eléctrico en la superficie de una esfera metálica cargada, en ese caso, el campo eléctrico tiene el valor:
r E =
r R
1 4πε 0
q R2 R
cuya magnitud es dada por
E = como la superficie de la esfera vale
S=
1 4πε 0
q R2
q , sustituyendo ese valor en la expresión de la magnitud del 4π R 2
vector tenemos:
E=
q Sε 0
pero el cociente
q es la densidad superficial de carga eléctrica σ, por ellos se tiene que el vector de S
intensidad de campo eléctrico es dado por:
E =
σ ε0
resultado muy interesante que se identifica con el valor de la magnitud de vector de intensidad de campo eléctrico muy cerca de la superficie de un conductor cargado: ya que es dado por el cociente de la densidad de carga superficial dividido por la permitividad en el vacío. Resultado que probaremos más adelante para cualquier conductor y cualquier densidad de carga superficial.
UNA DISTRIBUCIÓN ESPECIAL DE ESFERAS CONDUCTORAS CONCENTRICAS CON CARGA ELECTRICA La Figura siguiente presenta gráficamente dos esferas metálicas concéntricas, la exterior es un cascarón esférico con radio interior r1 y radio exterior r2 , mientras que el radio de la esfera maciza interior es R . La carga eléctrica que se distribuye en la esfera interior es Q.
Busquemos ahora el campo eléctrico en todos los puntos de la distribución, es decir, dentro de la esfera interior, en su superficie, en el espacio comprendido entre la esfera interior y el cascarón, dentro del metal del cascarón y finalmente en la superficie externa del cascarón y los puntos exteriores al arreglo.
El arreglo anterior presenta evidentemente una simetría esférica, por ello las superficies gaussianas para estudio de este problema, son esferas centradas en el centro común del arreglo. Como lo hemos calculado en los arreglos ya estudiados, la integral de flujo sobre las esferas gaussianas que utilizaremos, cumple:
r r 2 q ∫ E ⋅ dS = E 4π r =
ε0
esfera radio r
donde la carga "q" es la carga neta encerrada por la superficie gaussiana, y ella tiene radio r.
Por principio de cuentas, analizaremos los puntos internos a la esfera maciza, observamos en la figura siguiente que la esfera gaussiana elegida tiene radio r