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Historia y Filosof´ıa de la L´ogica Ejercicios sobre el Tema 2 Pablo Cobreros
[email protected] September 10, 2012
1. El argumento: “{Todos los hombres son mortales, S´ocrates es hombre} S´ ocrates es mortal” es v´alido. Explique por qu´e la validez de este argumento se puede recoger en un lenguaje de primer orden pero no en uno proposicional. 2. Qu´e es un lenguaje de primer orden, ¿por qu´e se dice que es “de primer orden”? 3. Formalizar en lenguajes de primer orden: (a) Los alumnos sabios leen a Plat´on. Hay un alumno que es sabio y estudia mucho. Por lo tanto, hay un alumno que estudia mucho y lee a Plat´ on. (b) Mar´ıa se porta bien s´olo con aquellos que son amables. Luis es grosero y maleducado. Los groseros y maleducados no son amables. Por tanto, Mar´ıa no se porta bien con Luis. (c) Los alumnos inteligentes van a lo esencial. Cualquiera que vaya a lo esencial aprueba todas las asignaturas. Pedro no ha aprobado una asignatura. Por lo tanto, Pedro no va a lo esencial. (d) Nadie ama a aqu´el que no ama a nadie, pero no hay nadie que no sea amado por alguien. Por lo tanto, no hay nadie que no ame a alguien. 4. Complete las cl´ ausulas de la extensi´on de la noci´on de interpretaci´on para →, ∧, ∨, ∀. 5. Sea L el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extral´ogico consta de dos predicados mon´ adicos P y Q y una constante individual c. Sea A la estructura para L tal que A = {1, 2, 3, 4}, PA = {1, 2}, QA = {2, 3} y cA = 1. Determine el valor en A de cada una de las siguientes oraciones:
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(a) ∀x(P x ∨ Qx) (b) ∃x(P x ∧ ¬Qx) (c) ∃x∃y(¬P x ∧ ¬Qy) (d) ∀x(P x → Qx) (e) ∀xP x → ∀xQx (f) ∃xP x → ∀yP y (g) ∀x(P x → ∀yP y) 6. Una vez formalizados los argumentos del ejercicio tercero, diga cu´al es v´ alido y cu´ al no (para mostrar que un argumento no es v´alido deber´a proporcionar un contraejemplo). 7. Explique en qu´e se parecen y en qu´e se distinguen la definici´on de consecuencia l´ ogica para lenguajes de primer orden de la definici´on para el lenguaje proposicional. 8. Mostrar la correcci´ on de las siguientes afirmaciones: (a) {∀x(M x → ¬P x), ∃x(Sx ∧ M x)} ∃x(Sx ∧ ¬P x) (b) {∀xP x} ∃xP x (c) {∀x∀yRxy} ∀xRxx (d) {t ≈ u, P t} P u (e) {∀x∃yRxy} 2 ∀x∃yRyx (f) {∃x∀yRxy} 2 ∃x∀yRyx 9. Sea A una estructura para un lenguaje de primer orden L. Muestre que para toda f´ ormula B de L, si A y A∗ son f´ormulas de L tales que IA (A) = IA (A∗ ), y B ∗ es la f´ormula de L que obtenemos al reemplazar cada instancia de A en B con una instancia de A∗ , entonces IA (B) = IA (B ∗ ). (Por inducci´on sobre f´ormulas). 10. Muestre que si A A∗ y B ∗ es el resultado de reemplazar todas las ocurrencias de A en B con instancias de B ∗ entonces B B ∗ . (Se trata de un corolario del ejercicio anterior; emplee la definici´on de equivalencia l´ ogica).
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