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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Magnitudes escalares: son las que quedan perfectamente definidas por el valor de la medida. Magnitudes vectoriales: son las que para definirlas perfectamente es preciso conocer el valor de su medida, la dirección y el sentido en que actúan.
2.- VECTORES. Un vector es un segmento rectilíneo orientado. Su longitud (MÓDULO) indica el valor numérico de la magnitud representada, la dirección (LÍNEA DE ACCIÓN) corresponde a la recta a la que pertenece el segmento, el SENTIDO se indica por la punta de una flecha. Al origen del vector, que en ciertos casos es preciso conocer, se le denomina PUNTO DE APLICACIÓN Módulo Línea de acción Sentido Punto de aplicación
Clasificación de los vectores: a) Iguales: si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. b) Opuestos: si tienen el mismo módulo y dirección pero sentidos contrarios. c) Fijos: si exigen, para su determinación, conocer el punto de aplicación donde actúan. d) Deslizantes: si pueden trasladarse a lo largo de su línea de acción sin que varíe su efecto. a
b
Como puede verse los vectores deslizantes, a y b, únicamente vienen determinados por su magnitud y por su línea de acción. e) Libres: son los que pueden trasladarse paralelamente a sí mismos sin que varíe su efecto. Vienen determinados tan sólo por b su magnitud, lo que es lo mismo, por sus tres componentes cartesianas, es decir por las a c proyecciones del módulo sobre los tres ejes ordenados.
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f) Axiales: se utilizan para representar magnitudes que pueden considerarse como vectoriales, pero a los que por convenio, hay que asignarles un sentido. Por ejemplo la velocidad angular. En este caso el módulo representa el valor de la magnitud rotacional; la dirección es la de la perpendicular al plano de giro, y el sentido viene dado por el avance del sacacorchos cuando éste gira como lo hace el giro. a
a Las superficies, consideradas como límite de separación de dos medios, también pueden representarse mediante vectores axiales. En este caso el módulo representa el área; la dirección es perpendicular al plano definido por ella, y el sentido se fija suponiendo que el vector atraviesa la superficie desde la cara interior (negativa) a la exterior (positiva).
+ -
3.- SUMA Y RESTA DE VECTORES. Se define como sistema de vectores al conjunto de vectores que actúan simultáneamente sobre un mismo punto. Cada uno de ellos se denomina componentes del sistema. Vector resultante de un sistema de vectores es otro vector que por sí sólo realiza el mismo efecto que los componentes. Matemáticamente se expresa así: b
r =a + b + c + ....
b
c
a
a
r
c
En la recta de vectores se suma al primer vector el opuesto al segundo. r’ = a - b + c -b b c
a 2
Para calcular el módulo de la resultante si son dos vectores se utiliza el teorema del coseno, si forman un determinado ángulo: R2 = A2 + B2 – 2ABcos siendo el ángulo que forman los vectores. Si tenemos más de dos vectores lo mejor es situarlos sobre unos ejes de coordenadas y descomponer los que no estén sobre ellos. 4.- DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES. Descomponer un vector en otros varios (componentes) es hallar un sistema de vectores que produzca el mismo efecto que el vector dado. Para resolverlo hay que tener algunos datos como el ángulo formado por los componentes, valor de uno de los componentes, etc. Vamos a ver un caso particular que es la descomposición de un vector en dos o tres componentes que sean perpendiculares entre sí. Para ello se proyecta el vector dado sobre un sistema de ejes de coordenadas, siendo las proyecciones los vectores pedidos. z Az
A
Ax
Ay
y
Ax = Acos Ay = Acos Az = Acos
x 4.- PRODUCTO Y COCIENTE DE UN VECTOR POR UN ESCALAR. El producto (o cociente) de un vector por un escalar es otro vector de la misma dirección y sentido, y cuyo módulo es el producto (o el cociente) del módulo del vector dado por el escalar. a
·4=
4a
Vector unitario. El concepto de producto nos permite considerar a todo vector como múltiplo de otro cualquiera de su misma dirección y sentido. Si este tiene de módulo la unidad, se denomina vector unitario: A = A·a a Vector unitario. A = A/A Vector unitario, es el cociente que resulta de dividir entre su módulo un vector cualquiera.
Vectores i, j y k. Con estas letras se designan los vectores unitarios que actúan respectivamente en las direcciones de los ejes x, y y z y tienen sentido positivo. A = Ax + Ay + Az
A = Axi + Ayj + Azk 3
5.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. Se llama producto escalar de dos vectores a · b a un escalar que se obtiene multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman entre sí. A A · B = |A| ·|B|·cos B Cuando los vectores vienen dados en función de los vectores unitarios, el producto escalar de ambos vendría dado por: A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk A · B = (Axi + Ayj + Azk)·( Bxi + Byj + Bzk) Efectuando las operaciones indicadas y teniendo en cuenta que los productos: i·i = j·j = k·k = 1 i·j = j·k = i·k = 0 quedaría finalmente: A · B = Ax·Bx +Ay·By +Az·Bz
6.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman sus direcciones, su dirección es la de la perpendicular al plano que definen dichos vectores y cuyo sentido viene dado por la regla de Maxwell (avance del sacacorchos) en el supuesto de que el primer vector vaya hacia el segundo por el camino más corto. P = A B |P| = |A|·|B|·sen
P = B A |P| = |B|·|A |·sen
P B
B
A
A P
Cuando los vectores vienen expresados en función de los vectores unitarios: A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
A B = Ax·Bx·ii + Ax·By· ij + Ax·Bz· ik + Ay·Bx·ji + Ay·By· jj + Ay·Bz· jk + Az·Bx·ki + Az·By· kj + Az·Bz· kk
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Los productos ii = jj = kk = 0 . En los demás casos se tiene: ij = k ik = -j ji = -k jk = i ki = j kj = -i k i j = k
j i
A B = (Ay·Bz – Az·By)·i + (Az·Bx – Ax·Bz)·j + (Ax·By – Ay·Bx)·k Expresión que coincide con el módulo de este determinante:
i AB Ax Bx
j Ay By
k Az Ay·Bz·i Az·Bx· j Ax·By·k Ay·Bx·k Ax·Bz· j Az·By·i Bz
A B = (Ay·Bz – Az·By)·i + (Az·Bx – Ax·Bz)·j + (Ax·By – Ay·Bx)·k 7.- MOMENTO DE UN VECTOR. a) Momento de un vector a respecto de un punto O: Consideraremos un vector a cuyo origen respecto al punto O viene determinado por el vector de posición r. Se define como momento de un vector a respecto al punto O al producto vectorial del vector de posición r por el vector a.
M r
O
d
a
Mo = r a
| Mo | = r·a·sen
Para determinar la dirección y sentido de M hay que tener en cuenta que es un producto vectorial. Si desplazamos el vector a a lo largo de la línea de su dirección el momento no varía.
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a
M r
p
O r’ P’
Mo’ = r’a
Si restamos Mo – Mo’ =( r a ) – (r’ a) , que se puede expresar de la siguiente manera Mo – Mo’ =( r – r’) a, como ( r – r’) = pp’ y pp’ a = 0 lo que implica que Mo = Mo’.
b) Momento de un vector respecto a un eje: Se designa así al escalar que se obtiene al proyectar sobre el eje el momento de un vector dado respecto a cualquier punto del eje.
e M Me
r
a
Me = Mo · Ue = Mo · 1 · cos
Ue (vector unitario) 8.- DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO A UN ESCALAR. Sea R un vector que varía en módulo o dirección, o en ambos a la vez, respecto a un escalar t; la derivada de R respecto a t corresponderá al límite a que tiende el cociente R/t cuando t 0:
dR R dt lim t 0 t
Es siempre un vector.
Si R viene expresado en función de i, j, y k, la función derivada vendrá dada por:
dR dRx dRy dRz i j k dt dt dt dt
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Por ejemplo el caso de la velocidad instantánea: z
S dS Vinst lim t dt
S r
r1 r2
t 0
y x Derivada de un polinomio: f ' ( x ) anx n 1
f ( x ) ax n
Derivadas trigonométricas:
f ( x ) senx
f ' ( x ) x' cos x
f ( x ) cos x
f ' ( x ) x' senx
9.- INTEGRACIÓN DE UN POLINOMIO. La integración es como un sumatorio, podríamos decir que es la inversa de la derivada. En el caso de que quisiéramos calcular el espacio recorrido por un cuerpo que no lleva velocidad constante tendríamos: v
t Para intervalos de tiempo muy pequeños podemos considerar la velocidad constante por lo que la suma de todas las áreas de esos rectángulos pequeños me daría el espacio total recorrido. dS1 = V1·t1 dS2 = V2·t2 dS3 = V3·t3 .......... S = V1·t1 + V2·t2 + V3·t3 + ..........
S v(t )dt Integrales: 1 n1 x c n 1
adx ax c
x
cos xdx senx c
senxdx cos x c
n
dx
dx lg x c x
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