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´ C ALCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
E.E.I.
Curso 2011-12
Clase 1 (31 ene. 2012)
Integrales Dobles 1.– Motivaci´on y Definici´on de integrales dobles. 2.– Preguntas que se deber´ıa plantear el estudiante. 3.– M´etodo de las secciones planas para el c´alculo de integrales dobles. 4.– C´alculo de la funci´on “´area de la secci´on” y expresi´on de la integral doble mediante integrales iteradas. 5.– Ejemplo 1: integral de 1 x 2 y 2 sobre el cuadrado 0 x 1, 0 y 1. 6.– Ejemplo 2: integral de 1 x 2 y 2 sobre el cuarto de c´ırculo 0 x 2 + y 2 1, 0 x, 0 y. 7.– Cambio del orden de integraci´on en las integrales iteradas.
1 Motivaci´on y Definici´on de integrales dobles. Dada una funci´on real de variable real, f (x), y un intervalo [a, b], ya sabemos que la expresi´on Z
Dada una funci´on real de dos variables reales, f (x, y), y una regi´on R del plano, la expresi´on ZZ f (x, y) d A
b
f (x) dx
R
a
significa:
significa:
(a) Geom´etricamente: el volumen bajo la gr´afica de f (x, y) o sea, bajo la superficie de ecuaci´on z = f (x, y) en la regi´on R.
(a) Geom´etricamente: el a´ rea bajo la gr´afica de f (x) o sea, bajo la curva de ecuaci´on y = f (x) en el intervalo [a, b]. y ! f !x"
a
b
(b) Anal´ıticamente: Pn El valor l´ımite de las sumas de Riemann i=1 f (xi )1xi en subdivisiones m´as y m´as finas de [a, b].
(b) Anal´ıticamente: Pn El valor l´ımite de las sumas de Riemann i=1 f (xi , yi )1Ai en subdivisiones m´as y m´as finas de la regi´on R.
2 Preguntas que se deber´ıa plantear el estudiante. 1. 2. 3. 4.
¿C´omo hay que realizar las subdivisiones de la regi´on R? ¿Es lo mismo cualquier m´etodo que se use para hacer las subdivisiones? ¿Qu´e significa exactamente que una subdivisi´on sea m´as fina que otra? En un intervalo est´a claro como comparar dos subintervalos: Por sus longitudes. En una regi´on plana, ¿c´omo se comparan dos trocitos o elementos de una subdivisi´on? ¿Por su a´ rea? ¿Es eso suficiente?.
3 M´etodo de las secciones planas para el c´alculo de integrales dobles. Imaginemos la secci´on plana obtenida al cortar el s´olido representado por nuestra integral doble, mediante un plano perpendicular al eje x. Cuando este plano se mueve paralelamente a s´ı mismo, la forma y tama˜no de la secci´on cambia.
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Integrales Dobles
La posici´on del plano est´a determinada por la coordenada x del punto en el que corta al eje x (que es igual a la coordenada x de cualquier punto del plano. ¿Por qu´e?). Sea S(x) al a´ rea de la secci´on plana obtenida cuando el plano est´a en la posici´on de abscisa x, y sean xmin y xmax son las abscisas de las posiciones extremas del plano de corte, entonces el volumen representado por nuestra integral doble es: ZZ Z xmax f (x, y) d A = S(x) dx R
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1.0
0.5
1.0 0.5 0.0 0.0 0.5
xmin
1.0
4 C´alculo de la funci´on “´area de la secci´on” y expresi´on de la integral doble mediante integrales iteradas. Seg´un se acaba de ver, una integral doble puede calcularse con una simple integral definida de una funci´on de una variable, supuesto que somos capaces de averiguar cu´al es esa funci´on S(x). Para fijar ideas vamos a darle un valor concreto a x, por ejemplo x = x0 y vamos a intentar hallar el valor de S(x0 ). Consideremos la intersecci´on de nuestro plano de corte con la regi´on de integraci´on R. Supongamos por sencillez que esta intersecci´on es un segmento (en general puede ser una uni´on de segmentos, pero podremos aplicar a cada uno de ellos el razonamiento que vamos a hacer para un segmento). Entonces S(x0 ) es el a´ rea bajo la gr´afica (en el plano de corte) de la funci´on g(y) = f (x0 , y) con y dentro del segmento mencionado.
ymax !x0 " R
ymin !x0 "
x0
En consecuencia, si la coordenada y de los extremos de este segmento es, respectivamente, ymin (x0 ) e ymax (x0 ), tenR ymax (x0 ) R ymax (x0 ) dremos: S(x0 ) = ymin (x0 ) g(y) dy = ymin (x0 ) f (x 0 , y) dy. y para un x arbitrario: Z ymax (x) S(x) = f (x, y) dy.
z ! f !x0 , y"
z
ymin (x)
y la integral doble queda expresada de la siguiente forma: ZZ Z xmax Z ymax (x) f (x, y) d A = f (x, y) dy dx , R
xmin
ymin !x0 "
ymax !x0 "
y
ymin (x)
que es conocida como una integral iterada porque implica realizar una integraci´on sencilla tras otra.
5 Ejemplo 1: integral de 1 1, 0 y 1.
x2
y 2 sobre el cuadrado 0 x 1.0
Vamos a uasr la f´ormula anterior en un ejemplo concreto. Sea f (x, y) = 1 x 2 y 2 y sea R la regi´on determinada por el cuadrado del plano x y definido por 0 x 1, 0 y 1. RR Para calcular la integral R f (x, y) d A lo primero que necesitamos hacer es averiguar el intervalo de recorrido en el eje x del plano de corte. La clave para ello est´a en la regi´on de integraci´on, la cual se ve inmediatamente (este ejemplo es realmente muy sencillo) que est´a comprendiada entre xmin = 0 y xmax = 1. Con esto ya podemos escribir: ZZ Z 1 f (x, y) d A = S(x) dx. R
0
2
0.5
0.5
0.0 0.0 0.0
0.5 1.0
1.0
z
z ! f !x0 , y"
y 0
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Integrales Dobles
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Adem´as, para cualquier valor de x entre esos extremos el plano de corte interseca a la regi´on R en el intervalo ymin (x) = 0 e ymax (x) = 1, con lo cual ZZ
Z 1Z
f (x, y) d A =
R
0
1
x2
1
y 2 dy dx.
0
Comenzamos el c´alculo por la integral interior (donde x debe ser tratada como una constante): S(x) =
Z
1
1
x
2
y
2
0
dy =
"
y3 3
2
1
x y
#1 0
1 , 3
x2
=1
y ahora, ZZ
R
f (x, y) d A =
Z
1
1
x
2
0
"
1 3
x3 3
dx = x
6 Ejemplo 2: integral de 1 x 2 x 2 + y 2 1, 0 x, 0 y.
x 3
#1 0
x 2 + y2 1 x 0, y 0
1
x
y
2
1.0
1 x2
1
dA =
1
0
x
2
y
2
ZZ
x 2 + y2 1
x
0, y
x2
1
0
0.5
0.0 0.0 0.0
y2 d A =
Z
1
0
2 1 3
x2
1.0
1.0
z z ! f !x0 , y"
dy dx.
3/2
0.5
0.5
0
La integral interior (donde x debe ser tratada como una constante): p " # 1 x2 Z p1 x 2 3 y 1 x 2 y 2 dy = 1 x 2 y 3 0 0 p p 1 2 = 1 x 1 x2 y ahora,
1 1 = . 3 3
y 2 sobre el cuarto de c´ırculo 0
En este ejemplo tenemos la misma funci´on que antes pero cambia la regi´on de integraci´on. De nuevo comenzamos por averiguar el intervalo de recorrido en el eje x del plano de corte. En esto no hay cambio respecto al ejemplo anterior, pues la nueva regi´on sigue comprendida entre xmin = 0 y xmax = 1. Pero ahora, para un valor dado de x entre esos extremos, el plano de corte interseca a la regi´on R en el intervalo dado por los extremo ymin (x) = 0 e ymax (x) = p 1 x 2 . As´ı pues, nuestra integral doble es: ZZ Z Z p 2
1 3
=1
y 0
x2
3
=
3
dx =
2 3
Z
1
1
2 1 3 x2
1
x2
3/2
3/2
dx.
,
0
La integral que nos queda podemos encontrarla en una tabla de integrales o hacerla mediante una sustituci´on trigonom´etrica: Si ponemos x = sen ✓, entonces dx = cos ✓ d✓ y Z
1
0
1
x2
3/2
dx =
Z
⇡/2
cos2 ✓
0
3/2
cos ✓ d✓ =
Z
⇡/2
cos4 ✓ d✓.
0
1 + cos 2✓ para poner el integrando en la forma: 2 ✓ ◆2 1 + cos 2✓ 1 1⇣ 1 + cos 4✓ ⌘ 4 cos ✓ = = 1 + 2 cos 2✓ + cos2 2✓ = 1 + 2 cos 2✓ + 2 4 4 2
ahora usamos cos2 ✓ =
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Integrales Dobles
y calcular finalmente: Z 1 Z 3/2 1 x2 dx = 0
⇡/2
0
de donde:
ZZ
x 2 + y2 1
x
0, y
1
x
2
1 4
Z
2 dA = 3
Z
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1 + cos 4✓ ⌘ d✓ 2 0 " #⇡/2 ✓ + 14 sen 4✓ 1 = ✓ + sen 2✓ + 4 2 0 ✓ ◆ ✓ ◆ ⇡ + 0 1 ⇡ 1 3⇡ 3⇡ = +0+ 2 = 0 = . 4 2 2 4 4 16
cos4 ✓ d✓ =
y
2
0
⇡/2 ⇣
1 + 2 cos 2✓ +
1
x2
1
3/2
0
dx =
2 3⇡ ⇡ ⇥ = . 3 16 8
7 Cambio del orden de integraci´on en las integrales iteradas. El orden de integraci´on en los ejemplos anteriores (primero, en la integral interior, integramos respecto a y, y luego, en la exterior, respecto a x) es consecuencia de haber elegido planos perpendiculares al eje x para hallar las secciones del volumen representado por la integral doble. Pero, en principio, no hay ninguna raz´on (a menos que sea por sencillez) en preferir el eje x al eje y e igualmente pod´ıamos haber elegido planos perpendiculares al eje y y habr´ıamos llegado a la siguiente f´ormula de integrales iteradas: ZZ Z ymax Z xmax (y) f (y, x) d A = f (x, y) dx dy . R
ymin
xmin (y)
La elecci´on de un m´etodo u otro es una cuesti´on de comodidad o sencillez de c´alculo ya que en muchas ocasiones el c´alculo se hace mucho m´as dificil por un m´etodo que por el otro. Veremos a continuaci´on un ejemplo en el que, de hecho, el c´alculo es muy sencillo por uno de los dos m´etodos pero se hace imposible por el otro. Supongamos que se nos plantea calcular la siguiente integral iterada: Z 1 Z px y e dy dx . y 0 x y
Para calcular la integral interior necesitamos una primitiva de la funci´on g(y) = ey . Si buscamos esta primitiva en una tabla de integrales elementales no la encontraremos porque esta primitiva no es una funci´on elemental1 . Es una funci´on denotada Ei(x) y llamada la exponencial integral. La u´ nica forma en que podemos calcular dicha integral por m´etodos elementales es intercambiar el orden de integraci´on. Para intercambiar el orden de integraci´on en una integral doble es necesario tener muy clara a regi´on de integraci´on ya que vamos a tener que pasar de seccionarla en una direcci´on a seccionarla en la otra. En nuestro ejemplo se trata de la regi´on descrita por p R : 0 x 1 , x y x. Esta descripci´on resulta de seccionar la regi´on mediante rectas verticales (paralelas al eje y). Si dibujamos esta regi´on y tratamos de seccionarla mediante rectas horizontales (paralelas al eje x) obtenemos la siguiente descripci´on: p R : 0 y 1 , y2 x y y por tanto tenemos: Z 1 Z px 0
x
ey dy dx = y
Z
0
1Z y y2
ey dx dy = y
Z
0
1 ey
y
y
x y2
dy =
Z
1
ey
e y y dy ,
0
R con lo cual Rla integral queda reducida a una integral inmediata ( e y dy = e y ) y una que se hace f´acilmente R por partes ( ye y dy = uv v du con u = y, dv = e y dy). 1 Las funciones elementales son las que se pueden expresar en t´erminos de operaciones aritm´eticas, exponencial, logaritmo y funciones trigonom´etricas y sus inversas.
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