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Integraci´on num´erica C´alculo num´erico 10 de mayo, 2011 Uno de los problemas b´asicos en an´alisis num´erico es calcular aproximaciones para la integral Z b f (x) dx (1) I(f ) = a
de una funci´ on continua f : [a, b] → R. Existen diversas situaciones en las cuales el teorema fundamental del c´alculo no es de utilidad para obtener (1) en forma cerrada. Por ejemplo, cuando f no est´a disponible en forma anal´ıtica, es decir cuando solamente podemos obtener valores de f para un n´ umero finito de valores de x; tal es el caso en el que los valores de f se obtienen mediante experimentos de laboratorio, o realizando simulaciones computacionales. Los algoritmos de integraci´on num´erica se basan, pr´acticamente en su mayor´ıa, en hacer particiones finitas del intervalo [a, b]. Entonces la integral (1) se estima como la suma de las aproximaciones en cada subintervalo [xi , xi+1 ] definidas como (xi+1 − xi )fi = hi fi , en donde fi se obtiene mediante f´ormulas o reglas llamadas cuadraturas. Las cuadraturas m´as elementales son la regla del trapecio y la regla del rect´angulo, en donde fi se calcula como sigue (xi+1 + xi ) , 2 f (xi+1 ) + f (xi ) . 2
fiT = f (yi ), fiR =
yi =
Las reglas compuestas asociadas consisten en sumar las aproximaciones en cada subintervalo, por lo tanto R(f ) = T (f ) =
n−1 X
i=0 n−1 X i=0
f (yi )hi , f (xi+1 ) + f (xi ) hi 2
son las reglas compuestas del rect´angulo y del trapecio respectivamente. En esta secci´on vamos a estudiar el error de aproximaci´on de las reglas anteriores. Es decir trataremos de obtener cotas para las cantidades |I(f ) − R(f )|,
|I(f ) − T (f )|. 1
Consideraremos n + 1 nodos en el intervalo [a, b], en donde x0 = a y xn = b. Denotaremos por paneles a los subintervalos de la forma [xi , xi+1 ]. La herramienta de an´alisis ser´a la serie de Taylor de f con centro en yi , el punto medio del panel [xi , xi+1 ], 1 1 (2) f (x) = f (yi ) + (x − yi )f ′ (yi ) + (x − yi )2 f ′′ (yi ) + · · · + (x − yi )4 f iv (yi ) + O(h5i ), 2 4! para lo cual requeriremos que f sea 5 veces continuamente diferenciable en el intervalo [a, b]. De la expresi´on anterior es f´acil observar que la integral de f en el i-´esimo panel est´a dada por Z xi+1 1 1 5 iv f (x) dx = hi f (yi ) + h3i f ′′ (yi ) + h f (yi ) + · · · + O(h6 ), (3) 24 1920 i xi y que por lo tanto que el t´ermino dominante de error en la regla rectangular es de orden c´ ubico. El error total en la regla rectangular es la suma de los errores en cada panel 1 X 3 ′′ hi f (yi ), E= 24 n
(4)
i=1
de donde se puede concluir inmediatamente que |E| = O(h2 ), h = max{hi , i = 0, 1, . . . , n − 1}. Consideremos el an´alisis de la regla trapezoidal, ahora necesitamos los valores de f en xi y xi+1 respectivamente 1 1 1 1 4 iv f (xi ) = f (yi ) − hi f ′ (yi ) + h2i f ′′ (yi ) − h3i (yi )f ′′′ (yi ) + h f (yi ) + · · · 2 8 48 384 i 1 1 1 1 4 iv f (xi+1 ) = f (yi ) + hi f ′ (yi ) + h2i f ′′ (yi ) + h3i (yi )f ′′′ (yi ) + h f (yi ) + · · · 2 8 48 384 i combinando estas expresiones se obtiene 1 1 4 iv f (xi+1 ) + f (xi ) = f (yi ) + h2i f ′′ (yi ) + h f (yi ) + · · · 2 8 384 i Combinando (5) con el desarrollo de la integral (3) tenemos Z xi+1 f (xi+1 ) + f (xi ) 1 1 5 iv f (x) dx = hi − h3i f ′′ (yi ) − hi f (yi ) + · · · 2 12 480 xi
(5)
(6)
Por lo tanto el error en la regla trapezoidal, en cada panel, es de orden c´ ubico. El error total es −2E, es decir dos veces el error obtenido en la regla rectangular. Si definimos la cantidad n−1 1 X 5 iv hi f (yi ) F = 1920 i=0
entonces obtenemos el resultado siguiente I(f ) = R(f ) + E + F + · · · = T (f ) − 2E − 4F + · · · Observa con cuidado que una combinaci´on lineal de la regla trapezoidal y de la regla rectangular permite cancelar el t´ermino E. La regla resultante es conocida como la regla de Simpson. Desde un punto de vista geom´etrico, la regla compuesta de Simpson se puede construir como sigue: 2
• Construir la par´abola pi que pasa por los puntos (xi , f (xi )), • Obtener
(yi , f (yi )), Z
(xi+1 , f (xi+1 )).
xi+1
pi (x) dx.
xi
• Calcular la suma
n−1 X Z xi+1 i=0
pi (x) dx.
xi
Ejercicios 1. Prueba que la expresi´on (4) es correcta. 2. Utiliza (4) para probar que |E| = O(h2 ). 3. Obtener la expresi´on (6) a partir de (3) y de (5). 4. Derivar la regla de Simpson y probar que la f´ormula resultante es igual a la combinaci´on 1 2 S(f ) = R(f ) + T (f ), 3 3 en donde R(f ) y T (f ) son las aproximaciones obtenidas por la regla del rect´angulo y la regla del trapecio respectivamente. 5. Escribe un programa en Matlab que obtenga aproximaciones a π mediante la integral Z 1 4 dx. π= 1 + x2 0 6. Utiliza: a) la regla del rect´angulo; b) la regla del trapecio; c) la regla de Simpson. Compara los resultados obtenidos por las tres reglas cuando el espaciamiento es uniforme h = 1/n. Usa los siguientes valores n = 8, 32, 128.
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