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Inductancia
Figura 1.1 Dos espiras acopladas magnéticamente
Figura 1.2 Dos espiras acopladas magnéticamente.(a) Geometría. (b) Circuito equivalente. La ley de Faraday predice que un voltaje puede inducirse en un circuito estacionario debido al campo B generado por su propia corriente que varia con el tiempo o la corriente que varia en otro circuito. El primero efecto se llama la autoinductancia mientras el segundo es la inductancia mutua. Para modelar estos efectos, considere dos alambres delgados que forman espiras mostradas en las figuras 1.1 y 1.2, C1 y C2 que limitan las superficies S1 y S2 respectivamente, cada una con N1 y N2 vueltas respectivamente. Fuentes de voltaje que varian con el tiempo V1(t) y V2(t) se conectan a cada espira, que resulta en las corrientes I1(t) e I2(t), respectivamente. Si fluye una corriente I1 en C1 se creará un campo magnético B1. Parte del flujo magnético ocasionado por B1 estará ligada a C2, es decir, pasará a través de la superficie S2 limitado por C2. Designemos este flujo mutuo con Φ12. Tenemos 12 =∫ B 1⋅d a 2 S2
(Wb)
(1)
A partir de la ley de Biot-Savart, vemos que B1 es directamente proporcional a I1; por lo tanto, Φ12 tambien es proporcional a I1. Escribimos 12= L12 I 1
(2)
donde la constante de proporcionalidad L12 se denomina inductancia mutua entre las espiras C1 y C2, con unidad en el SI de henry (H). En este caso, C2 tiene N2 vueltas y el flujo ligado Λl 2 debido a Φ12 es 12= N 2 12
(Wb).
(3)
La ecuación (2) se generaliza como 12= L12 I 1
(Wb),
(4)
o L12=
12 N 2 = ∫ B1⋅d a 2 I1 I1 S
(H).
(5)
2
La inductancia mutua entre dos circuitos es el flujo magnético ligado con un circuito por unidad de corriente en el otro. En la ecuación (5) está implícito que la permeabilidad del medio no cambia con I1. En otras palabras, la ecuación (2) y, por consiguiente, la ecuación (5) sólo son aplicables a medios lineales. Una parte del flujo magnético producido por I1 esta ligado únicamente a C1 y no a C2. El flujo total ligado a C1 causado por I1 es 11=N 1 11 N 1 12
(6)
La autoinductancia del circuito C1 se define como el flujo ligado magético por unidad de corriente en el propio circuito, es decir, L11=
11 N 1 = ∫ B 1⋅d a 1 I1 I1 S
(H),
(7)
1
para un medio lineal. La autoinductancia de una espira o de un circuito depende de la forma geométrica y la disposición física del conductor que constituye la espira o el circuito, así como de la permeabilidad del medio. En el caso de un medio lineal, la autoinductancia no depende de la corriente en la espira o en el circuito. Un conductor dispuesto en la forma adecuada (como un alambre conductor enrollado formando una bobina) para proporcionar cierta cantidad de autoinductancia se conoce como inductor. Así como un capacitor puede almacenar energia eléctrica, un inductor puede almacenar energía magnética, como veremos más adelante. A veces se usa con frecuencia el simbolo M para denotar la inductancia mutua. Aquí usaremos L12 ya que hemos empleado M para la magnetización. Cuando tratamos con una sola espira o una bobina no es necesario usar los subindices de la ecuación (7) y la inductancia, sin adjetivo, se considera como autoinductancia. El procedimiento para determinar la autoinductancia de un inductor es el siguiente:
1- Elija un sistema de coordenadas apropiado para la geometría dada. 2- Suponga una corriente I en el alambre conductor. 3- Determine B a partir de I usando la ley circuital de Ampere si existe simetría; en caso contrario deberá usar la ley de Biot-Savart. 4- Encuentre el flujo ligado a cada vuelta, Φ, a partir de B mediante integración: =∫ B⋅d a , S
donde S es el área sobre la cual existe B y que está ligada a la corriente supuesta. 5- Determine el flujo ligado Λ multiplicando Φ por el numero de vueltas. 6- Determine L usando el cociente L = Λ/I. Para determinar la inductancia mutua L12 entre dos circuitos sólo se requiere una ligera modificación de este procedimiento. Tras elegir un sistema de coordenadas apropiado, continúe de la siguiente manera: Suponga I1 Encuentre B1 Encuentre Φ12 integrando B1 sobre la superficie S2 Determine el flujo ligado Λ12 = N2Φ12 Determine L12 = Λ12/I1. Podemos demostrar de manera formal que la inductancia mutua Ll2 entre dos circuitos C1 y C2, obtenida a partir del flujo magético que liga C2 por una unidad de corriente en C1, es igual que la inductancia mutua L21 obtenida a partir del flujo magnético que liga C1 por una unidad de corriente en C2; es decir, L12 = L21. Por lo tanto, como primer paso al trabajar en un problema de determinación de la inductancia mutua, debemos examinar la geometría del problema y aprovechar la más sencilla de las dos formas
Energía magnética Hasta ahora hemos analizado la autoinductancia y la inductancia mutua en terminos estáticos. Sin embargo, sabemos que los inductores sin resistencia aparecen como cortocircuitos para las corrientes estacionarias (continuas); es evidente la necesidad de considerar corrientes alternas cuando nos interesan los efectos de las inductancias sobre circuitos y campos magnéticos. Antes analizamos el hecho de que se requiere trabajo para formar un grupo de cargas y que este trabajo se almacena como energía eléctrica. Es de esperar que también se requiera trabajo para enviar corrientes en espiras conductoras y que éste se almacene como energía magnética. Considere una espira cerrada con autoinductancia L1 en la cual la corriente inicialmente es cero. Se conecta a la espira un generador de corriente que aumenta la corriente i1 de cero a I1. Basándonos en nuestros conocimientos de física sabemos que se inducirá un fuerza electromotriz (fem) en la espira que se opone al cambio en corriente. Hay que realizar cierto trabajo para superar esta fuerza electromotriz. Sea v1 = Lldi1/dt el voltaje en la inductancia. El trabajo requerido es I1
1 W 1=∫ v 1 i 1 dt=L1∫ i 1 d i 1= L1 I 12 2 0
(8)
que se almacena como energía magnética. Considere ahora dos espiras cerradas C1 y C2 por las que circulan corrientes i1 e i2, respectivamente. Las corrientes al principio son cero y se incrementanin a I1 e I2, respectivamente. Para hallar la cantidad de trabajo requerida, primero mantenemos i2 = 0 y aumentamos i1 de cero a I1. Para esto se requiere un trabajo W1 en la espira C1 dado por la ecuación (8); no se realiza ningun trabajo en la espira C2, ya que i2 = 0. Después mantenemos i1 en I1 y aumentamos i2 de cero a I2. Debido al acoplamiento mutuo, parte del flujo magnético ocasionado por i2 estará ligado a la espira C1, dando lugar a una fuerza electromotriz inducida que debe ser superada por un voltaje v 21 =±L 21 di 2 / dt para mantener i1 constante en su valor de I1. El trabajo que esto implica es I2
W 21=∫ v 21 I 1 dt=±L 21 I 1∫ di 2=±L 21 I 1 I 2
(9)
0
El signo positivo es aplicable en la ecuación (9) si I1 e I2 en C1 y C2 son tales que sus campos magnéticos se refuerzan entre sí; se aplica el signa negativo si sus campos magnéticos se oponen uno a otro. Al mismo tiempo hay que efectuar un trabajo W22 en la espira C2 para contrarrestar la fuerza electromagnética inducida al aumentar i2 de 0 a I2. 1 W 22= L 2 I 22 2
(10)
La cantidad total de trabajo que hay que realizar para aumentar de cero a I1 e I2, las corrientes en las espiras C1 y C2, respectivamente, es entonces la suma de W1, W21 y W22: W2
1 1 L1 I 12±L 21 I 1 I 2 L2 I 22 , 2 2
(11)
que es la energía almacenada en el campo magnético de las dos espiras acopladas por las que circulan corrientes. En el caso de una corriente I que fluye por un inductor con inductancia L, la energía magnética almacenada es 1 W m= L I 2 2
(J)
(12)
Energía magnética en términos de cantidades de campo Cuando analizamos la energía electrostática, vimos que era conveniente expresar We en términos de las cantidades de campo E y D. Basándonos en el trabajo que hemos realizado hasta ahora, observamos las siguientes relaciones análogas entre las cantidades en la electrostática y aquellas en la magnetostática:
Electrostatica E D ε
Magnetostatica B H 1/µ
Resulta que podemos escribir la energía magnética Wm en un medio lineal en términos de B y H, usando la analogía. De esta manera, W m=
1 ∫ H⋅B dv 2 V'
(J),
(13)
Si empleamos la relación constitutiva H = B/µ de un medio lineal, podemos escribir W m=
1 B2 ∫ dv 2 V'
(J).
(14)
No incluiremos aquí una derivación formal aparte de las ecuaciones (13) y (14). Veremos de nuevo las energías eléctrica y magnética más adelante, cuando analicemos el flujo de la potencia electromagnética en ondas. Si definimos una densidad de energía magnética, wm, tal que su integral de volumen sea igual a la energía magnética total W m =∫ w m dv
(15)
V'
podemos escribir wm como 1 w m= H⋅B 2
(Jm-3),
(16a)
o w m=
B2 2
(Jm-3).
(16b)
Si usamos la ecuación (12) junto con la ecuación (13) o la ecuación (14), muchas veces podemos determinar la autoinductancia de manera más facil a partir de la energía magnética almacenada, calculada en términos de B o H, en lugar de usar el flujo ligado. Tenemos L=
2W m I2
(H)
(17)
Fuerzas y pares magnéticos Previamente señalamos que una carga q que se mueve con velocidad u en un campo magnético con densidad de flujo B experimenta una fuerza magnetica Fm indicada por la ecuación de la fuerza de Lorentz, la cual se repite a continuacion: F m =q u×B
(N).
(18)
En esta sección analizaremos varios aspectos de las fuerzas y los pares en circuitos que transportan corriente en campos magnéticos estáticos.
Fuerzas y pares sobre conductores por los que circulan corrientes Consideremos un elemento de un conductor dl con sección transversal S. Si hay N portadores de carga (electrones) por unidad de volumen que se mueven a una velocidad u en la dirección de dl, la fuerza magnética sobre el elemento diferencial es, de acuerdo con la ecuación (18), d F m =−NeS∣d l∣u×B =−NeS∣u∣d l ×B
(19)
donde e es la carga electrónica. Las dos expresiones en la ecuación (19) son equivalentes, ya que u y dl tienen la misma dirección. Ahora, puesto que -NeS |u| es igual a la corriente en el conductor, podemos escribir la ecuación (19) como d F m = I d l ×B
(N).
(20)
La fuerza magnética sobre un circuito completo (cerrado) de contorno C por el que circula una corriente I en un campo magnético B es entonces F m=I ∮ d l ×B C
(N).
(21)
Cuando hay dos circuitos por los que circulan corrientes I1 e I2, respectivamente, la situación es análoga a la de un circuito por el que circula una corriente en el campo magnético creado por el otro. En presencia de un flujo magnético B12, ocasionado por la corriente I1 en C1, la fuerza F12 sobre el circuito C2 puede escribirse como F 12=I 2∮ d l 2×B12
(22a)
C2
donde B12 es, a partir de la ley de Biot-Savart, B 12=
0 I 1 d l 1×i R ∮ R2 4 C 12 1
12
(22b)
Al combinar las ecuaciones (22a) y (22b) se obtiene F 12=
d l 2×d l 1×1 R I 2 I 1∮∮ 2 4 R12 C C 12
2
(N),
(23)
1
que es la ley de la fuerza de Ampere entre dos circuitos por los que circulan corrientes. Es una relación proporcional al inverso del cuadrado y debe compararse con la ley de la fuerza de Coulomb de la ecuacón entre dos cargas estacionarias, la ecuación (24) mostrada aquí: F 12=q 2 E 12=112
q1 q 2 2 4 0 R12
(N).
(24)
Vemos que la fórmula de fuerza de dos circuitos por los que circulan corrientes es mucho más complicada que la de dos cargas estacionarias. Para el cálculo práctico conviene dividir la impresionante ecuación (23) en los dos pasos representados por las ecuaciones (22a) y (22b). La fuerza F21 sobre un circuito C1, debida al flujo magnético ocasionado por la corriente I2 en C2, se obtiene también a partir de la ecuación (23) con sólo intercambiar 1 y 2 en los subíndices. La tercera ley de Newton, que rige la acción y la reacción, asegura que F21 = -F12.