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Caracas, Marzo 2015 Acerca de la guía Esta guía es una recopilación de problemas resueltos de diversos parciales de Cálculo I, además hay otros problemas resueltos que serían de gran importancia que se comprendan. Realmente esta guía fue diseñada con el fin de ayudar a entender la materia para que en un futuro usted sea independiente en asignaturas como Ecuaciones Diferenciales (ultima matemática vista por los ingenieros). Si usted es de nuevo ingreso, debería darle una importancia muy significativa al primer cálculo (Incluso mucho más que a Geometría Descriptiva I, sin menospreciar la importancia de dicha asignatura). El motivo es simple, de Cálculo I depende que usted pueda interpretar muchas cosas a las que se enfrentara en la carrera (Gráficos crecientes, decrecientes, variaciones de distintas fenomenologías y entender que es una variable). Por último, el contenido publicado en esta guía es de dominio público, y según lo estipulado en el artículo 19 de la Declaración Universal de los Derechos Humanos, aprobada el 10 de diciembre de 1948 por la Asamblea General de las Naciones Unidas (Resolución 217 A-III), que señala “Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión; este derecho incluye el de no ser molestado a causa de sus opiniones, el de investigar y recibir informaciones y opiniones, y el de difundirlas, sin limitación de fronteras, por cualquier medio de expresión.”, todo el material podrá ser usado libremente y a juicio de quien lo utilice. Su fin es netamente educativo y de interés académico. Queda prohibida su utilización con fines de lucro.
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ESTA GUÍA ESTA SUJETA A REVISIÓN Y SE ACEPTARAN TODAS LAS SUGERENCIAS Y CORREPCIONES QUE SE PRESENTEN EN UN FUTURO
EJERCICIOS INTRODUCTORIOS Observación: Lo que viene a continuación es una introducción de lo que se considera básico y que todo estudiante debe saber si se cree apto para estudiar ingeniería y comprender lo que le espera en una introducción al Cálculo Diferencial y más adelante al Cálculo Integral (En una sola variable). 1. Demostrar, que para toda ecuación de la forma la condición de que
, su solución será:
con √
√
Demostración: Existen muchas formas de llegar a la solución, una forma muy atractiva es considerando el cambio de variable , sustituyéndolo en la ecuación: (
) (
(
)
)
Una vez hecho el cambio de variable, podríamos transformar la ecuación en la que su solución sea la de un caso conocido, y tomando en cuenta que solo una variable jugara el rol de la variable , que en este caso dicho rol lo jugara la variable . Esto significa que obtendremos la solución de una forma directa, sin embargo para ello necesitamos que
, obteniendo
. Gracias a esto
procedemos a sustituir “ ” en nuestra ecuación y con unas cuantas simplificaciones obtendremos:
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(
)
(
)
Haciendo uso de una propiedad muy famosa del valor absoluto: | | Para todo “ ” que sea “par”, se cumplirá que √ una positiva y una negativa. √
tiene dos raíces,
√
√
Para concluir la demostración, basta con devolver el cambio de variable , donde despejaremos a la variable “ ” para obtener la solución. √ Recordando que
√
, lo sustituimos en la ecuación anterior, obteniendo: √
√
√
Tenga en cuenta las siguientes consideraciones: Si “ ” es par, “ ” tendrá dos raíces y además:
√
Si “ ” es impar, “ ” tendrá una sola raíz sin importar que signo tenga. Adicionalmente a todos estos casos, si se quiere llegar única y exclusivamente a soluciones reales, se tiene que cumplir .
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Si quiere obtener la ecuación de segundo grado convencional, solo haga . El cálculo de la comprobación lo dejo de tarea al lector. (Fin de la demostración)∎ 2. Demostrar el Teorema de Pitágoras: Demostración: Para demostrarlo, tomemos en consideración un cuadrado de lado ,y dentro de este recinto otro cuadrado de lado “ ”, siendo este último el cuadrado de la región sombreada, como lo muestra la figura:
Si el área de un cuadrado, es la longitud de su lado al cuadrado, para un cuadrado de lado “ ” su área será , análogamente ( ) . Para ocurrirá con el de lado , es decir, concluir, basta con restarle 4 veces el área de un triángulo blanco de los que están en la figura, cuyos catetos son “ ” y “ ”. Eso analíticamente se escribe. (
)
Entonces, nuestra relación geométrica ha dado resultado tal como se quería demostrar.
5
(Fin de la demostración)∎
3. Demuestre que √ es un número irracional. Demostración: Para demostrar esto, podemos utilizar el método de “Reductio ad absurdum”. Claro, entiendo que cuando usted lo vea, dirá, se demuestra con un conjuro de Harry Potter, pero no, eso significa, “Método de reducción al absurdo”. Donde una “hipótesis” se supone falsa, de manera que llegaremos a una contradicción dando por resultado que nuestra hipótesis es verdadera y por tanto la tesis de nuestra proposición quedara demostrada. Supongamos que √ es un número racional, de forma tal que se puede representar de la forma √ , entonces de este razonamiento sin pérdida de generalidad, deducimos que “ ” y “ ” son enteros y que además ambos son primos entre sí, cabe destacar que por la propiedad del cociente de los números reales . Gracias a todas estas deducciones tenemos que:
De ser así, , esto implicaría que como es par, entonces, también lo es, y en consecuencia “p” también lo es, pudiéndose escribir de la forma: (
)
Como ambos miembros de la ecuación se simplificaron con 2, significa que guardaban un factor en común, tal que hemos llegado a una contradicción por lo tanto queda demostrado que √ es irracional.
6
(Fin de la demostración)∎
4. Enuncie la función ( ) | | , y determine las diferencias entre ( )y ( ) . Además grafique la función valor absoluto y las |y ( ) | | funciones ( ) | . Solución: La función valor absoluto, siempre es positiva, dando como resultado lo siguiente: | |
{
Las diferencias son las siguientes: Si sumamos “ ” al argumento de la función, esta se trasladara “ ” unidades hacia la izquierda. Si restamos “ ” al argumento de la función, esta se trasladara “c” unidades hacia la derecha. En consecuencia de esto, la función se desplaza horizontalmente sobre el eje de las abscisas. ( ) ( ) Si sumamos “ ” directamente a la función, esta se trasladara “ ” unidades hacia arriba. Si restamos “ ” directamente a la función, esta se trasladara “ ” unidades hacia abajo. En consecuencia de esto, la función ( ) se desplaza verticalmente sobre el eje de las ordenadas. ( )
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Dibujos de las funciones:
5. Halle el conjunto de solución a la siguiente inecuación:
Solución: Hagamos un poco de simplificación y algunas factorizaciones: Recordando, que según la “Regla de Ruffini” las raíces del polinomio deben ser múltiplo del término independiente, entonces factorizamos: (
)(
)(
)(
)
Entonces los puntos críticos de nuestro polinomio son:
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{
}
Obtenido ese resultado aplicamos el método del cementerio. (
]
[
]
[
]
[
]
[
(
)
-
-
-
-
+
(
)
-
-
-
+
+
(
)
-
-
+
+
+
(
)
-
+
+
+
+
+
-
+
-
+
( )
De esta forma, el conjunto de solución será: (
]
[
]
[
)
)
Recuerde que la anterior es notación de intervalo, también se puede representar en notación de conjuntos: {
⁄
}
Gráficamente se representa así:
9
6. Halle el conjunto solución para: |
|
Solución: Antes de proceder a hacer la inecuación, verifique el discriminante de la ecuación de 2do grado. Esto implica que como es menor que 0, y “ ” es positivo, entonces siempre la ecuación de 2do grado es positiva. En conclusión basta con hacer:
El conjunto de solución en las diferentes notaciones: ( ]
{
⁄
} y
Gráficamente se representa así:
7. Halle el conjunto solución para la siguiente inecuación: | Solución: Por propiedades de valor absoluto: |
|
10
|
Ahora escogeremos dos casos y después intersecaremos las soluciones de ambos casos: Caso # 1:
Aplicamos el método del cementerio, y recuerde calcular siempre los puntos críticos. (
( )
)
(
)
(
(
)
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
+
Solución Caso # 1:
(
)
(
)
)
Caso # 2:
Aplicamos, el método del cementerio, y recuerde calcular siempre los puntos críticos. (
)
(
)
(
(
)
+
-
-
+
-
-
+
+
11
)
( )
-
Solución Caso # 2:
+
(
)
-
(
+
)
La solución total será la siguiente: {( (
)
) (
(
)}
{(
)
(
)
Entonces el conjunto de solución en las diferentes notaciones: ( {
)
(
)
⁄
}
Gráficamente se representa así:
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)}
8. Sabiendo que: (
)
Es la fórmula que relaciona los grados Fahrenheit con los grados Centígrados diga: ¿Qué rango en grados Centígrados corresponde a la temperatura en grados Fahrenheit en el rango ? ¿Qué rango en grados Fahrenheit corresponden a la temperatura en grados Centígrados en el rango ? Solución: En la primera pregunta solo despejaremos “ ” y la sustituiremos dentro de los parámetros dados.
Para la segunda pregunta, solo sustituiremos “ ” dentro de los parámetros dados. (
)
9. Demuestre la desigualdad triangular, a partir de la siguiente proposición: | |
| |y | |
| | implica que |
Demostración:
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|
| |
| |
Basta con sumar ambas proposiciones y llegaremos a algo similar a una propiedad de valor absoluto. | |
| |
| |
| |
(| |
Y por la propiedad de que| como: |
| |)
| |
|
| |
entonces, nos queda
|
| |
| |
Ahora hemos concluido la demostración a partir de las dos proposiciones dadas. (Fin de la demostración)∎ 10. Demuestre la fórmula de De Moivre a partir de la siguiente proposición: ( ) (
( ) implica que:
( )
( ))
(
)
(
)
Demostración: Fíjese que a partir de la proposición dada, podríamos concluir lo siguiente. (
)
( (
( )
( )) Hecho esto, por propiedades de potenciación.
( )
( )) Ahora haremos un cambio de variable.
Esto implicaría lo siguiente según la proposición dada: (
( )
( ))
( )
( )
Ahora devolviendo el cambio de variable obtenemos: (
( )
( ))
(
Y hemos demostrado la fórmula de De Moivre.
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)
(
)
(Fin de la demostración)∎
11. Demuestre la desigualdad triangular, para un polígono arbitrario de “ ” lados. Demostración: Este será el último ejercicio que hare, haciendo uso de un recurso muy importante. La “Inducción Matemática”, con este recurso lograre que si una hipótesis es válida para el primer número del conjunto de los números naturales , tomando a este último como ausente del número cero “0” y además es válida para una colección de números “ ” entonces, esta hipótesis es válida para “ ”. Bien entonces, sea la desigualdad triangular, generalizada para un polígono arbitrario de “ ” lados, de la siguiente forma: ∑| |
|∑ |
Si no está familiarizado con la notación “Sigma”, entiéndase por esta la siguiente inecuación: |
|
| |
| |
|
|
Entonces, si es válida para “ ” y es válida para “ ”. Entonces también lo será para “ ”. Validez para “ ”: | | Validez para “ ”: | Validez para “ ”: |
| | |
| |
| | |
| |
De forma análoga en notación “Sigma”:
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| |
|
|
∑| |
|∑ | Validez para “
”:
|(
)
|
(| |
| |
|
|)
|
|
Fíjese en la forma que va tomando la cuestión. Análogamente en notación “Sigma”. |∑
∑| |
|
|∑
|
∑| |
|
|
Entonces, como se cumple la afirmación de validez para “ ”, y también se cumple la de validez para “ ”, entonces también es válida para “ ” por el principio de inducción matemática. (Fin de la demostración)∎
Ejercicios propuestos: 1. Realice las siguientes inecuaciones, y exprese el conjunto de solución en la notación de preferencia: |
(
| )(
| |
√ )
| |
| |
| |
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2. Demuestre que el número √ √ es irracional. Sugerencia: Demuestre que √ es irracional y como ya usted sabe que √ es irracional, basta con que dos irracionales del mismo signo se sumen, y quedara demostrado. 3. Demuestre que la suma de dos números irracionales no siempre es irracional. De un contraejemplo de ello. 4. Si en un circuito eléctrico se conectan dos resistores la resistencia neta “ ” está dada por ¿Qué valores de ( )?
. Si
y
en paralelo, ( ),
dan por resultado una resistencia neta de menos de
5. Demuestre la fórmula de De Moivre utilizando el “Método de Inducción Matemática”. (∗)
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Rectas y curvas cónicas. 1. Demuestre que la pendiente de una recta, se puede interpretar como la tangente del ángulo que forma con el eje de posición “relativa” asociado a las abscisas. Demostración: Suponga un triángulo rectángulo con una “Hipotenusa” que es conocida, mire la figura a continuación:
Entonces, recordando un poco de teoría sabemos que la inclinación de una recta representada en un plano cartesiano viene representada por un cambio en las variables que la conforman, en este caso “ ” e “ ”. Siendo esto analíticamente escrito como:
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Por relaciones trigonométricas, se puede deducir que: ( )
( )
En consecuencia, la tangente será: ( )
( )
( )
( )
Y al realizar la operación tangente, queda corroborado que esta es igual a la pendiente de la recta. (Fin de la demostración)∎ ). 2. Demuestre la ecuación de una recta que pase por un punto ( Tomando como proposición que usted conoce la pendiente de dicha recta. De ser posible también construya una ecuación que relacione el corte de la recta con el eje de las ordenadas. Demostración: Basta con decir que la pendiente es “ ” y que para todo par de puntos ( ) se cumple la condición de que: (
)
Hecho esto, recordando un poco de teoría, manipulamos algebraicamente esta ecuación y deducimos que en un sistema de coordenadas cartesianas, es decir, en se cumple que existirá un único punto perteneciente a la recta tal que corta con el eje de las ordenadas, entonces recuerde que todo punto ubicado estrictamente en el eje de las ordenadas tiene coordenadas ( ), de esta forma tendremos la ecuación:
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Siendo este el famoso punto conocido como “ ” que es el corte con el eje de las ordenadas. Al final la ecuación quedara de la siguiente forma.
(Fin de la demostración)∎
3. Demuestre que el ángulo más pequeño entre dos rectas, cuyas pendientes son:
( )
( )
Este dado por la fórmula: (
)
Demostración: Suponga dos rectas en las posiciones que se le presentan en la figura a continuación:
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Trazando una “línea horizontal” en el punto donde ambas rectas coinciden, podremos llegar a la conclusión de que habrá una diferencia de ángulos representada por el arco naranja. Suponga que la diferencia de ángulos es , hecho esto, existe una relación trigonométrica dada por: ( )
(
)
De acuerdo a esa relación anterior, usted puede utilizar la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, dando como resultado una expresión que relaciona a las pendientes de las rectas: ( Como ( )
( ) ( )
)
( )
( ) ( )
(
)
(
), podemos concluir que la ecuación anterior es . Para concluir la demostración, vale decir que el ángulo
queda despejado si aplicamos la función trigonométrica inversa: (
)
Y con esto hemos terminado. (Fin de la demostración)∎ 4. Demuestre que la distancia entre dos puntos en (
)
√(
)
(
es:
)
Demostración: ) y ( ), entonces podemos asociar la Sean los puntos ( ) la hipotenusa distancia entre ellos con el Teorema de Pitágoras, siendo ( de un triángulo rectángulo. Entonces si ubicamos un ángulo de referencia en el triángulo nuestros catetos adyacentes y opuestos serán: ̅̅̅̅
(
) ∧ ̅̅̅̅
(
)
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Por la fórmula del Teorema de Pitágoras, concluimos que la hipotenusa es: (
√̅̅̅̅
)
̅̅̅̅
(
)
√(
)
(
)
(Fin de la demostración)∎
5. Dadas las rectas: { Calcule el punto donde estas se cortan. Solución: Fíjese que las rectas conforman un sistema de ecuaciones. Igualaremos la primera con la segunda ecuación, y obtendremos por solución a la abscisa del punto donde cortan.
Sustituya el valor de la abscisa en cualquiera de las ecuaciones anteriores y obtendrá el valor de la ordenada. En mi caso lo hare con la primera ecuación: ( ) 6. En las ecuaciones: {
( (
) )
Halle los valores de “ ” y “ ” para que representen rectas que pasan por ) el punto ( Solución:
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Primero que nada sustituimos los valores de ( restas, obteniendo el siguiente sistema: ( )
{
(
( )( )
)( (
) )
) en las ecuaciones de las
{
Sumamos ambas ecuaciones y obtendremos la primera solución:
Sustituya ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones, en mi caso lo hare con la primera ecuación: ( ) 7. Se tiene el triángulo formado por los puntos (
) (
)y (
)
Calcule: Perímetro. Área. Demuestre que el triángulo no es rectángulo. Solución: ), ( ) y En la primera pregunta debemos calcular las distancias ( ( ). Cuando pidan el perímetro solo basta con sumar las tres distancias. (
)
√(
(
)
√(
(
)
√(
)
( )
(
(
) (
) )
( )
)
) (
)
(
)
(
)
(
)
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√
√ √
√
En la segunda pregunta, el área se torna más difícil. Existe una fórmula de la cual omitiré la demostración ya que es de “Algebra Lineal”. El área de un triángulo la denominare por “ ” y será igual al siguiente planteamiento. (
)
Entiéndase por esas coordenadas los vértices del triángulo. (
(
)
)
En la tercera pregunta, basta con que usted recuerde un poco de teoría, y que un triángulo rectángulo tiene dos lados perpendiculares de tal forma que si dos rectas son perpendiculares, cumplen la condición de que . Si esta no se cumple entonces el triángulo no es rectángulo.
Dejo la cuenta en manos de usted, como el producto de las pendientes nunca dará “ ”, quedara demostrado que el triángulo no es rectángulo. ) y radio 8. Dada la circunferencia de centro ( . Determine la ecuación de la circunferencia y también demuestre que el punto ( ) es interior a la circunferencia y que el punto ( ) es exterior a la circunferencia. Solución: La ecuación de la circunferencia es la siguiente: (
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)
(
)
Para demostrar que el punto es interior a la circunferencia. Sustituimos ) en la ecuación, y a continuación, si el valor es los valores del punto ( estrictamente menor que 36, el punto es interior a la circunferencia. (
)
(
)
) en la ecuación, y a De forma similar, sustituimos los valores del punto ( continuación, si el valor es estrictamente mayor que 36, el punto es exterior a la circunferencia. (
)
(
)
9. Determine la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia { ( ) } que pasan por el punto ( ). Solución: Primero que nada utilizare una formula cuya demostración omitiré porque es de “Algebra Lineal”. Distancia entre una recta y un punto:
(
)
|
| √
Dicho eso, sugiero que se haga la suposición de que una recta de la forma ( ) ( ) pasa por el punto exterior a la circunferencia, quedándonos la siguiente ecuación: (
)
(
)
Saquemos la distancia entre esa recta y el centro de la circunferencia que en este caso es el origen. Fíjese que la distancia ya la tenemos, la cual es el radio de la circunferencia. |
|
√
De aquí se concluye una ecuación de segundo, donde las soluciones serán las siguientes:
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Al parecer, lo curioso es que nuestras rectas son perpendiculares. Fíjese en el dibujo a continuación.
10. Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( ) tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen a los puntos fijos (
)y (
) es igual a . Identificar la curva obtenida,
hallar sus elementos y graficarla. Solución: Según el planteamiento del problema, se cumple lo siguiente: (
(
)
)(
)
(
)
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Haciendo simplificaciones y completación de cuadrados nos quedara lo siguiente: ( (
) )
(
(
)
( (
)
)
(
)
(
)
)
Perfecto, esta ecuación ha quedado muy similar a la de una curva que ya conocemos, es una sección cónica llamada “Hipérbola” con eje focal vertical. Para esta ecuación los datos son los siguientes:
√
Se puede calcular la distancia al eje focal haciendo: √
Centro:
Focos:
(
(
Asíntotas:
√
)
)
(
√
)
(
)
√
El dibujo de la curva se muestra a continuación:
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(
)
11. (
Halle la ecuación de la familia de circunferencias cuyo centro es ) y su radio es estrictamente mayor que 6.
Solución: Para que sea una familia de circunferencias con un radio estrictamente mayor que 6, debemos tomar en cuenta que los puntos de la circunferencia dada no van a pertener al conjunto de la familia de circunferencias, ya que si fuera así, estaríamos garantizado que también hay un conjunto de circunferencias de radio menor que 6, lo cual va en contra de la desigualdad que estable el problema. Para expresar la solución analítica bastara con decir que tenemos una circunferencia con el mismo centro pero con un radio estrictamente mayor que 6, quedándonos lo siguiente: ( 12.
)
(
)
Encuentre las ecuaciones de las rectas que tienen pendiente
y
que forman con los ejes coordenados un triángulo de área 24 unidades cuadradas. Solución: Para hacer el problema suponga que tiene una recta de la forma:
Entonces, usted puede concluir que la pendiente es dos puntos en ecuaciones:
tales que (
)y
(
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y que además existen
) forman el siguiente sistema de
{ Perfecto, ahora encontramos la solución que evidentemente es una ecuación de segundo grado: | | De manera similar, es muy evidente que | | Los valores absolutos implican que existen dos valores de “ ” y de “ ”. Si piensa un poco más se fijara que en el plano cartesiano las rectas forman los triángulos en los cuadrantes impares. Las ecuaciones de las rectas son: Para
y
Para
: y
:
Fíjese como queda la situación gráficamente:
13.
Demuestre que los siguientes conjuntos son disjuntos:
{ ( { (
)
} )
(
)
Solución:
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(
)
}
Basta con saber que ambos conjuntos representan circunferencias. Entonces estas representaran a dos conjuntos disjuntos si y solo si, ninguna de ellas toca a la otra dando que . Analíticamente se escribe así:
Haciendo uso del conjunto “
” nos queda:
Al parecer hay una recta que podría señalar que ambas circunferencias se tocan, sin embargo, no lo garantiza del todo. Sustituimos la ecuación de esa recta en cualquiera de los conjuntos “ ” o “ ”, en mi caso lo hare con “ ”: (
)
Dejo la ecuación de 2do grado para usted, fíjese que cuando la resuelva “ ” no tiene solución en los reales ya que . Esto demuestra que las circunferencias no se tocan. Le dejare una ilustración de la situación.
14.
Los vértices de una elipse son los puntos
excentricidad es
(
)y
(
) y su
. Halle la ecuación de la elipse, las coordenadas de
sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y de cada lado recto.
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Solución: Como tenemos los vértices, podemos calcular la longitud del eje focal que a su vez es el eje mayor y también el centro, que será el punto medio entre los vértices: (
)
(
)
(
)
(
)
La longitud del eje focal está asociada al eje de las abscisas y su valor es:
Como tenemos la excentricidad, recuerde que la ecuación de la excentricidad es:
Los focos se ubican en: (
)y
(
)
Ahora tenemos la distancia del origen a los focos, y mediante una relación por el Teorema de Pitágoras, calculamos la distancia del centro a los vértices del eje menor. √
√ La longitud de ese eje es
√
La longitud del lado recto es Finalizando la ecuación de la elipse es: (
)
(
)
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15.
La ecuación de una familia de elipses . Halle las ecuaciones de aquellos elementos de la familia que tienen
una excentricidad
.
Solución: Para comenzar completaremos cuadrados, de tal forma que la ecuación nos quedara de la siguiente forma: (
(
)
)
(
)
Solo falta convertirlo en la ecuación que tenga la forma de una elipse, haciendo esa simplificación nos queda: ( (
) (
(
)
)
(
) (
)
)
Sin embargo se tiene que considerar el caso en el que la elipse no es horizontal, para ello cambiamos las distancias del centro a los ejes: ( (
) (
(
)
)
(
) (
)
)
Ahora, halle las distancias del centro a los focos y utilice este dato en la ecuación de la excentricidad . √
(
)
(
)
√ (
)(
)
√
(
)
(
)
√ (
)(
)
Ahora aplicando la ecuación
:
32
√ (
)(
√ ( √ (
) )
)( (
√
) )
Ahora, solo falta colocar las ecuaciones de las elipse con su respectivo “ ”:
16. Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice se ubica en el centro de la circunferencia y tiene como directriz . (Ejercicio tomado de mi parcial). Solución: Primero hallamos el centro de la circunferencia, para ello completamos cuadrados. (
)
). Ahora fíjese en una cosa, si una parábola tiene El centro es el punto ( “directriz” de la forma , la parábola evidentemente abrirá de forma horizontal y esta abrirá hacia la izquierda o a la derecha dependiendo del “signo” de la variable para que no corte con la directriz. En nuestro caso la parábola abre horizontalmente y hacia la izquierda, siendo su ecuación: (
)
Recuerde que “ ” es la distancia del vértice al foco y también del vértice a la directriz, obteniendo que . Recuerde que como “ ” es una distancia esta siempre es mayor que 0, esta condición se cumple “SIN PEROS”. Ahora la ecuación de la parábola es: (
)
(
)
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17. La ecuación de una familia de parábolas es . Halle la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos ( ) y ( ). Solución: Este problema al igual que el modelo de algunos anteriores, termina en un sistema de ecuaciones: {
( ) ( )
( ) ( )
Aplique el método de reducción y sume las dos ecuaciones de tal forma que obtendrá:
Sustituya el valor de “ ” en cualquiera de las dos ecuaciones y obtendrá:
Teniendo ya el valor de los coeficientes de la familia de parábolas, obtenemos que la ecuación buscada es:
18.
Demuestre la Desigualdad de Cauchy – Schwartz, dada por: √
(∗)
√
Demostración: En su forma más elemental, esta desigualdad es importante, ya que se utilizara cuando avance al curso de Algebra Lineal. Una forma atractiva de demostrar que esto es cierto, es tomando el hecho de que existe un numero arbitrario tal que siempre se cumple el hecho de que . Ahora para llegar a esta conclusión, suponga que el número “ ” se puede escribir de la forma , aquí se desprende algo muy importante que será otra prueba, ya
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que el número “ ” se puede escribir de esa manera, entonces , y de este último diríamos que . Retomando nuestra desigualdad elevemos ambos miembros al cuadrado: ( (
)
)
(
(√
)(
)
) (√ (
)
(
) )
(
)
(
)
(
)
De acuerdo a la forma que va tomando la desigualdad realice unas cuantas simplificaciones y observara lo siguiente: (
)
(
)
(
)(
)
Ahora si hacemos uso del hecho que explique anteriormente, que para un número arbitrario se cumple que , queda demostrada la famosa Desigualdad de Cauchy – Schwartz. (Fin de la demostración)∎
Ejercicios propuestos: 1. Considere la situación hipotética en la que los coeficientes “ ” y “ ” de la ecuación de una elipse son iguales. Explique cuáles son las consecuencias. 2. Demuestre que el ángulo que forma la recta abscisas es de 45°. 3. Calcule el área que encierra la curva:
(
)
con el eje de las (
)
4. Calcule las pendientes de una recta para que forme un ángulo de 60° con la recta ) del plano que 5. Encuentre el lugar geométrico de los puntos ( cumpla la siguiente condición: la distancia de estos al punto ( ) son siempre el doble de sus distancias a la recta de ecuación . Si el
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lugar geométrico es una cónica, dibuje su gráfica y exhiba todos sus elementos. 6. Obviando de momento el concepto de función. Demuestre que la recta ) es la gráfica de la función ( ) que pasa por el punto ( ( ) . 7. Para (
, demostrar que la recta que pasa por los por los puntos )y (
) es la gráfica de la función ( )
8. Demuestre que √( (∗)
)
(
)
√
(
) √
. .
Sugerencia: Eleve ambos miembros al cuadrado y utilice la desigualdad discutida anteriormente en el ejercicio 18.
36
Funciones Antes de comenzar: {
El dominio de una función es
⁄
{
El rango de una función es
( )
⁄
( )
} }
El cálculo de inecuaciones, lo obviare en este documento. 1. Determine el dominio de la función ( )
√
.
Solución: La función ( ) √ está definida cuando su argumento es mayor o igual que cero. Para el caso de nuestra función el número nunca se anula y además siempre es positivo. Basta con resolver la desigualdad para obtener .
{ (
} )
2. Determine el dominio de la función
( )
(
) .
Solución: Esta función de tipo exponencial estará definida si y solo si su argumento es estrictamente mayor que cero. Después interseque el mismo con el dominio de la recta , dando por resultado . (
)
(
)
De la intersección se dará cuenta que el resultado es: {
⁄
}
37
(
)
(
) |
3. Determine el dominio de la función ( ) √
( (
|
).
)
Solución: Huy! Creo que entro en ¡#$%&/()=?. A ver no entre en pánico, primero que nada divida el ejercicio mediante la suma de dos funciones, y calcule el dominio por separado de cada una. ( )
|
( ) √
(
|
(
)
)
Caso # 1: Hagamos que
y también que
resultados obtendrá
. Cuando interseque los dos
)
.
( (
(
) (
)
) (
(
) )
(
)
Caso # 2: Recuerde que los profesores dan dominios y rangos “notables”. Un ejemplo ( ) implica que claro es que el argumento de toda función . De manera similar lo aplicaremos a este caso. |
|
Al resolver esa inecuación la solución es: (
]
[
)
38
Ahora el dominio de la función será: (
]
[
)
4. Determine el dominio de la función: ( )
( )
√
|
( )
|
|
( )
( )|
Tomando en cuenta las siguientes condiciones: y además
.
( ) se toma con el dominio “NO RESTRINGIDO”.
La función Solución:
A ver de manera similar hagamos como en el caso anterior, divida la función en tres funciones: ( )
( )
( )
( )
Si relaciona esto con el mismo orden la función el orden: ( )
√
( )
( )
|
( )
( )
|
( )
( ) , entonces manejaremos
| ( )|
( ) y ( ) no le darán muchos Hecho esto, creo que las funciones problemas ya que ambas son “CONTINUAS”, y si recuerda que estas son funciones elementales, también se dará cuenta que el dominio de ambas es . ( ) fue tomada con un dominio en el Mi problema radica en que la función ( ) no está restringida. Para ello veremos los valores en los que que ( ) tiende hacia el infinito y más allá de donde obtendremos un patrón. La
( ) no está definida para los valores:
39
(
{
)
}
Supongo que como el lector es una pala haciendo relaciones de conjuntos, se dará cuenta que eso equivale a construir un conjunto cualquiera tal que: (
{
)
} ( ) obtendremos que su dominio es:
Entonces para la función ( )
Ahora cuando usted interseque el dominio de las tres funciones obtendrá: ( ) (
)
⋂
(
( )
)
{
} ( ).
Ya calculamos el dominio de la función 5. Dada ( )
)y(
(
)( )
( ) , halle ( ).
Solución: Sustituya ( ) en la variable independiente de la ecuación de ( ), obteniendo )( ). así una igualdad ya conocida que es la función ( (
)( )
(
( ) ( )
)
(
( )
( )
)
( )
Intente despejar la función ( ), utilizando propiedades de logaritmos y pura algebra de preescolar. ( )
( )
( )
( )
( ) (
( )
)
( ) ( )
( )
( )
√
Dejo la comprobación del ejercicio en manos del lector.
40
( )
( ) ( )
6. Si las siguientes funciones están definidas respectivamente por: ( ) ( ) y( )( ) , halle ( ). Solución: ( ), sin embargo, esta a su Para este ejercicio necesitamos tener la función vez tiene un requisito que es conseguir la función explicita ( ). Para ello suponga que existe algún número que cumple la condición . Encontrando el número , podremos obtener la función ( ). (
)
( ) Sustituya este en la ecuación de ( ). encontraremos ( ) y a su vez la función ( )
(
))
(
(
( )
))
( ), y sustituya está en la ecuación de (
Despeje
)( )
.
( )
( ) (
(
( ), para lo cual
)(
( ))
( )
(
( )
)
Dejo la comprobación del ejercicio en manos del lector. 7. Sean las funciones ( )
definidas por (
√
y
. Halle ( ) . (Muy largo, hágalo en su casa)
8. Demuestre que la función (
)( )
( )
|
( )| es par en el intervalo
)
Solución: ( ), y utilice el Utilice la definición de valor absoluto para la función ( ) argumento de que toda función impar, se puede transformar a una función par cuando se utiliza la definición de valor absoluto por la propiedad de que | | | |. Pero antes demuestre que la función ( ) ( ) es impar.
41
(
)
(
(
)
( ( )
)
)
( )
( )
(
( )
)
( )
( Fíjese que se cumple la condición de función impar ya que tal forma que podemos aplicar la definición de valor absoluto. ( )
{
( )
[
( )
(
)
( ) de
) )
Ahora utilice la propiedad de que | | | |. Y con esto llegara a la conclusión ( )| | ( )| | ( )|. La condición de paridad se cumple de que | ( )| | ( )|. Ahora queda demostrado que la función ( ) es ya que | par en el intervalo
(
).
9. Demuestre que la función .
( )
(
)
(
) es periódica
Demostración: Para ello utilizaremos la definición de función periódica que implica que ( ) ( ), donde “ ”. Recordando un poco de teoría, las ( ) y ( ) siempre tienen periodo funciones trigonométricas , ( )y ( ), su entonces para una función trigonométrica de la forma periodo será la forma
y
. Pero como la función periódica es de
) ( ) , llegamos a la conclusión de que y cumplen el la forma ( mismo rol que “ ” ya que ambos pertenecen al mismo conjunto. De lo cual concluimos que: ( ) (
( ) )
( (
Esto demuestra que ( función ( )
) )
( (
) )
( )
( ) es periódica. De manera similar hágalo con la )
42
( )
( )
(
)
( (
) )
( (
) )
( )
( ) es periódica. Y como la suma de dos funciones Esto demuestra que periódicas es periódica para una función cuyo periodo se repite un número ( ) natural de veces, esto demuestra entonces que la función ( ) ( ) es periódica. (Fin de la demostración)∎ 10. (
{
)
Dibuje la región en el plano, dada por el siguiente sistema: (
)
Solución:
43
11.
Calcule el área de la región sombreada a continuación:
Además se conoce la siguiente información: El arco azul, corresponde al de una circunferencia de radio 8 con respecto al origen. La recta menos inclinada tiene pendiente La recta más inclinada tiene pendiente
. .
Ambas rectas pasan por el origen. El ángulo entre las rectas es notable. Solución: En la prepa anterior vimos la demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas, la misma la aplicaremos aquí. Entonces sea el ángulo que forman las rectas, diremos que la relación entre el ángulo y las pendientes de las rectas que lo forman es: ( )
( )
44
( )
( )
( )
( )
Ahora, se sobre entiende que el ángulo
, y que además como el
ángulo es notable, entonces se tiene que cumplir que
,
o
.
Para saber cuál es el ángulo, busque cual cumple la condición de que ( )
. Automáticamente se dará cuenta de que el único es
. De tal
forma que ya hemos hallado el ángulo. Para el cálculo del área hay muchas formas. Una es aplicar la formula
la cual sugiero que demuestre. La
otra es calcular el área de la circunferencia completa y dividirla por el cociente entre 360° y 30°. A gusto del consumidor, usted se dará cuenta que el área es:
12.
Dibuje la región en el plano limitada por las siguientes curvas: √
{
√
Solución:
45
13.
Dibuje la región en el plano limitada por las siguientes curvas: {
Solución:
14.
Dibuje la región en el plano limitada por las siguientes curvas: {
√ | |
Solución:
46
Ejercicios Propuestos: 1. Grafique la región en el plano dada por | |
| |
.
2. Haga la mayor cantidad de ejercicios de la guía del Prof. José Luis Quintero Dávila. ( ) ( ) 3. Demuestre la identidad . Sugerencia: Existe un procedimiento llamado parametrización, para ello recuerde la ecuación de la circunferencia unitaria, entonces, ambas dependerán de un parámetro “ ” mediante el cual obtendrá ( ( ))
( ( ))
.
4. Investigue acerca de las funciones elementales que conforman a la trigonometría hiperbólica:
( )
( )
( ) ( )
47
Origen del limite Recordatorio: Esta parte de la guía estará dedicada a entender la teoría, la próxima, estará dedicada a la resolución de ejercicios. ( )
1. Demuestre que para |( ( )
( ))
( )
y (
entonces:
)|
Demostración: Suponga que por la definición de límite tiene las siguientes desigualdades: |
|
| ( )
|
|
|
| ( )
|
El problema que se nos presenta es escoger un “ ” adecuado para un cierto “ ”. Para ello utilice el hecho de que la incertidumbre es mayor para “ ” de manera que si queremos “ ” más próximo de “ ”, la incertidumbre es menor si utilizamos “ ”. |
|
| ( )
|
|
|
| ( )
|
Como el concepto de límite establece que delta y épsilon deben ser distancias ( ), de esta forma utilizando la muy pequeñas, delta será entonces propiedad de la desigualdad triangular llegaremos a la siguiente relación: |
|
|( ( )
( ))
(
)|
| ( )
|
| ( )
|
Ahora utilizando la propiedad de la transitividad, se cumple lo siguiente:
48
|
|
|( ( )
( ))
(
)|
De esta forma terminamos la demostración. (Fin de la demostración)∎ ( )
2. Demuestre que para si: | ( )
( )
y
|
(
(
| |)
, se cumple que
)
y | ( )
|
(
| |)
Entonces: | ( ) ( )
|
Demostración: Para demostrarlo, necesitaremos utilizar las cotas dadas en el problema. | Utilizaremos a | ( ) en el primer paso. Para el segundo paso | utilizaremos | ( ) . Entonces: (
| |)
| ( )|
||
| ( )
|
Por transitividad se cumple: | ( )|
||
Para poder dar forma a nuestra demostración, podemos decir que | ( ) ( ) | | ( )( ( ) ) ( ( ) )|. El uso de la desigualdad triangular es frecuente para hacer de “ ” una distancia muy pequeña de tal forma que: | ( )( ( )
)
( ( )
)|
| ( )|| ( )
49
|
| || ( )
|
Por la desigualdad dada anteriormente tenemos que | ( )| de esto: | ( ) ( )
(
|
Sin embargo sabemos que como “ | ( ) ( )
| |) | |)
(
(
| | (
| |)
” se cumple que:
| |)
(
|
| |. A partir
| |) | |)
(
( (
| |) | |)
Y de esta forma concluimos que: | ( ) ( )
|
Y de esta forma concluimos la demostración. (Fin de la demostración)∎ ( )
3. Demuestre que para
, se cumple que si:
y | ( ) Entonces ( )
|| || (
|
)
y |
|
( )
Demostración: De manera similar al caso anterior, utilizaremos las cotas que establece el problema en donde dice “
|| ||
(
)”. Haremos uso de la primera y después
50
de la segunda. Para ello utilizaremos la desigualdad triangular y la primera cota: ||
| ( )|
| ( )
||
|
Por la propiedad de la transitividad concluimos: | ( )|
||
Para darle forma a la demostración, se cumple que por obtenemos: | ( )| Ahora por |
( )
( )
y
||
| podemos obtener la siguiente conclusión: |
( )
| ( )| | ( )|| |
|
|| ||
Y haciendo uso de la segunda cota de “ |
( )
(
)” obtenemos:
||
|
| || |
Y de esta forma concluimos la demostración. (Fin de la demostración)∎
51
4. ¿Qué hechos demuestran los aciertos 2, 3 y 4? Solución: La razón por la cual estas demostraciones se relacionan con el concepto de límite, es porque existen tres propiedades importantes que implícitamente fueron demostradas a partir de los aciertos 2, 3 y 4. ( ) El acierto “2” demuestra el hecho de que para y ( ) [ ( ) ( )] , entonces se cumple que . Sería importante que usted demostrara el acierto para la sustracción de límites. El acierto “3” demuestra el hecho de que para ( ) , entonces se cumple que . El acierto “4” demuestra el hecho de que para entonces se cumple que que ( )
y
( )
( ) y [ ( ) ( )]
( )
,
con las condiciones de
.
5. Demuestre que para una función cualquiera ( ) se cumple que si ( ) ( ) y implica que . Para ser más directo, demuestre que el límite es único. Demostración: La demostración sale utilizando el famoso conjuro de Harry Potter de la preparaduría introductoria “Reductio ad absurdum” lo cual implica que conseguiremos una contradicción. Suponga que en verdad la función tiene dos límites, de lo cual obtendremos dos hipótesis: tal que
|
|
| ( )
tal que
|
|
| ( )
52
| |
Según el cuantificador universal, se dice “Para todo y para todo vale para todos los épsilon, entonces es válido decir que .
”. Si se
( ), para lograr con ello la vecindad de “ ” en “ ”. Tomemos a Hecho esto lograremos una condición simultánea para ambas hipótesis. |
tal que
| ( ) { | ( )
|
| |
| | | implica que Suponga que por la propiedad de valor absoluto | | ( ) | | ( )|, y de aquí obtenemos la siguiente relación: |
|
| ( )
|
|
( )|
Por la desigualdad triangular obtendremos: | |
Ahora suponga que |
|
|
|
|
|. Esto implicara que: ( |
|)
|
|
|
|
| no es estrictamente Aquí hemos llegado a una contradicción ya que | menor que si mismo y además no satisface el hecho de que es válido “Para todos los épsilon”, por lo tanto se concluye que , y con esto queda demostrado que el límite es único. (Fin de la demostración)∎ ( ), existe si:
6. Demuestre que el limite ( )
( )
Demostración: Para poder demostrarlo, necesitaremos una vecindad de “ ” en “ ”. Por límites laterales obtendremos:
53
| ( )
Derecha:
| ( )
Izquierda:
| |
Como no sabemos que “ ” es más pequeño establecemos la condición de que ( ). Con esta condición logramos que: |
|
Esto implicara que:
O bien:
De tal forma que hemos escogido un “ ” apropiado para un “ ” en donde: | ( )
|
Y con esto queda demostrada la existencia del límite. (Fin de la demostración)∎ 7. Demuestre el principio de intercalación, dado por la siguiente proposición: Sean ( )
( )
( ) , entonces si ( )
( )
En consecuencia tenemos: ( ) Demostración: Por la definición de límites sabemos que:
54
|
| ( ) { | ( )
|
| |
Entonces, podemos garantizar que existe al menos un entorno o vecindad que cumpla la siguiente condición: ( )
( )
Sin embargo la proposición del principio de intercalación establece la siguiente relación de transitividad dada por: ( )
( )
( )
Entonces, con esa relación podemos garantizar que: ( )
( )
( )
Y con esto concluimos que: | ( )
|
De manera que hemos terminado la demostración. (Fin de la demostración)∎ ( )
8. Demostrar que si
y (
, entonces: )
Demostración: Este ejercicio es sencillo, para ello emplearemos el cambio de variable de donde obtendremos: (
)
,
( )
Sin embargo esto no es una demostración, solo lo hemos comprobado. Utilicemos el criterio épsilon-delta:
55
Sea entonces una distancia
. Tenemos que hay un
| |
y por
definición: ( )
|
tal que
|
( )
|
( )
|
Básicamente en el ejercicio demostramos el límite por el criterio épsilon-delta, tomando en cuenta que delta es una función de épsilon, lo que garantiza la ( )
regla de correspondencia para la función “
”.
Suponga el nuevo caso en que tenemos: ( (
Entonces, sea ( )
)
| |
)
. De ella podemos establecer que en el nuevo límite
tenemos por definición lo siguiente: | ||
|
( )
|
(
)
Ahora si tomamos en cuenta que |
| |
(
)
| , llegaríamos a la conclusión que: |
| |
Y en consecuencia: |
(
)
|
Y de esta forma concluimos la demostración. (Fin de la demostración)∎
56
( )
9. Demuestre que
.
Demostración: Existen dos demostraciones, sin embargo una será a juicio del lector cuando veamos el tema de derivadas. Para demostrar este límite, necesitamos acotar la función
( )
( )
, pero debo decir que lo haremos mediante un
argumento geométrico en una circunferencia que cumple la condición . Entonces suponga la desigualdad transitiva entre las siguientes áreas:
Ahora, debe demostrar por el principio de intercalación que:
Si eso se cumple, entonces por el principio de intercalación afirmamos y demostramos . Pero antes de comenzar deberemos realizar algunas simplificaciones en la desigualdad .
57
( )
( )
( )
Si simplificamos la desigualdad de
( )
, obtendremos lo siguiente: ( )
( )
( ) ( )
Ahora corrobórelo usted haciendo
( )
. Se dará
cuenta de que ambos son iguales a 1. Y por el principio de intercalación: ( ) (Fin de la demostración)∎
10.
Suponga que para un numero (
Si
, se tiene:
)
. Demuestre que: (
)
Demostración: La razón por la cual es cierto, ya está demostrada en el ejercicio 9. Entonces solo faltaría comprobarlo mediante: (
)
Utilice el cambio de variable . Por medio de la tendencia de “ ”, podemos afirmar que , entonces:
58
( ) De esta forma culminamos la demostración. (Fin de la demostración)∎ 11.
tal que ( )
Sea
√ . Encuentre un
para que:
( ) |
Siempre que se cumpla
|
Solución: ( ) Por la definición de límite, la simbología significa que “ ( )” se acerca a “ ” siempre que “ ” se acerque a “ ”. Entonces: tal que
|
|
| ( )
|
Podríamos concluir por la misma simbología lo siguiente: √ Si aplicamos la definición de límite tomaríamos lo siguiente: tal que
|
|
|√
|
De aquí se obtiene una relación importante que es la vecindad de 3 en “ ”. ( ) De aquí se deduce que evidentemente Sin embargo nos piden “ ” de donde obtendremos:
Por conveniencia escoja
y obtendremos:
59
Si acotamos la función nos queda: |√
||√
|
|√
|
|√
|
Como la relación entre delta y épsilon no puede ser función de la variable, al acotar la función un número ideal sería 10 para hacer de delta una distancia pequeña. Entonces obtenemos:
|√
|√
|
|√
|
|
Y de esta forma hemos hallado el “ ” apropiado. 12. Sea ( ) √ . Encuentre la vecindad de “ ” en “ ” para que ( ) este a menos de 0.1 de 1. Solución: Si nos piden la vecindad, significa que quieren un intervalo en el cual podamos escoger “ ” con la condición de que cumpla que ( ) este a menos de 0.1 de 1. Por medio de la simbología de límite podemos establecer lo siguiente: √ Entonces la definición para este “caso particular” establece. tal que
|
|
|√
|
De la misma forma que el caso anterior tendremos que acotar la función y encontrar el “ ” apropiado para el épsilon dado. Entonces: |√ Suponga por conveniencia que “
| |√
√
” y obtendrá:
60
|
Entonces se cumplirá que: |√
|
|√
|
√
Como la relación entre delta y épsilon no puede ser función de la variable independiente, al acotar la función obtenemos que un número ideal sería 2 para hacer de delta una distancia muy pequeña. |√ |√
√
|
|
√
De aquí concluimos que la vecindad de “ ” en “ ” es: |√ 13.
|
√
|√
√
|
Calcule el siguiente límite: (
)
Para ser más específico, demuestre que ese límite se acerca al valor “ ” (∗) Demostración: Para poder demostrar este límite, tendremos que utilizar el “Binomio de Newton” y un poco de números “factoriales”. Suponga entonces que se tiene la sucesión: (
)
Entonces por el Binomio de Newton podemos decir: (
)
∑( )( )
61
( )
Desarrollando la sumatoria de términos, podemos obtener lo siguiente: (
(
)
)
(
)(
)
(∏
)
Entonces para cuando “ ” tiende a valores muy grandes llegaríamos a una nueva relación en la sumatoria de términos que se convierte en la siguiente serie: (
)
∑
Con esta sumatoria obtenemos: (
)
Si usted desarrolla las fracciones llegara a la conclusión de que: (
)
NOTA: (
El límite anterior, equivale a decir
)
Ejercicios propuestos: 1. Sin necesidad de utilizar el criterio épsilon delta. Calcule los siguientes limites que se pueden considerar notables:
( )
( )
62
( )
( ).
(∗)
Sugerencia: En el último limite, realice un cambio de variable hecho de que
(
(
)
) ( )
. Y utilice el
. La propiedad anterior se llama cambio de
base, sería de gran utilidad demostrarla. ( )
2. Compruebe que
(
)
. Sin embargo, demuestre
que ambos límites difieren en la forma de ser calculados. Sugerencia: Utilice el hecho de que uno requiere de utilizar la propiedad del producto de dos límites y el otro sale por cambio de variable. 3. Sea tal que tomar “ ” para:
( )
. Establezca un intervalo en el cual ( )
Siempre que se cumpla
|
4. Demuestre que para condición de que .
| ( ) ( ) ( )
Sugerencia:
63
y
( )
, con la
Suponga una función ( )
( ( ))
( )
. Entonces, haga la composición
( ( ))
. Concluya la demostración utilizando los
ejercicios 3 y 4 de la preparaduría. Observaciones: Los limites no son solamente escribir la abreviatura del operador “ ” y buscar a cuanto tiende, calcular limites realmente se refiere a medir incertidumbres como en los ejercicios 12 y13. Es muy fácil decir, que el límite de una función tiende a 1, pero específicamente que tan cerca está de 1, eso es solo posible medirlo con el criterio de definición épsilon delta. IMPORTANTE: Cuando se habla de limite, y en especial de las propiedades fundamentales suma, resta, multiplicación y división en el límite, es conveniente decir los siguientes comentarios. Suma: Suponga dos funciones, tales que sus limites tienden a valores como el 1 y el 2. Entonces en limite de la suma será igual a 3. Sin embargo, bajo el concepto de limite esto significa que en vecindades muy pequeñas en los límites de las dos funciones, podemos garantizar que por ejemplo el cual es muy cercano a 3, es decir, el limite no implica una igualdad si no una tendencia que significa mucha cercanía al valor que arroja el procedimiento algebraico de resolver un limite analíticamente. Producto: Similarmente escogiendo las mismas dos funciones pero bajo una la operación de la multiplicación, podemos garantizar que el límite del producto seria igual a 2. Y nuevamente en la teoría significa que en una vecindad muy pequeña de los valores 1 y 2 al multiplicar dichos valores por ejemplo , lo cual es coherente al notar que dicho resultado está muy cerca del 2. Resta y división: En estas operaciones, puede probar el mismo acierto, con dos valores en una vecindad muy pequeña de los valores tomados como ejemplo.
64
Limites Recordatorio: Las siguientes factorizaciones son importantes:
(
)(
(
)(
)
(
)(
)
(
)(∑
(
)(∑
1. Calcule
)
) (IMPORTANTE) (
)
(IMPORTANTE)
)
.
Solución: Primero verifique la indeterminación, la cual es . Perfecto ahora procedemos a resolver el límite. Ya que supongo que el lector es una pala factorizando potencias de grado impa, entonces puedo establecer la siguiente factorización: (
)(
) (
)
Fíjese que ahora tenemos el límite acomodado de donde aplicamos directamente: ( 2. Calcule
) (
)
(
)
.
65
Solución: Primero verifique la indeterminación, la cual es . Para resolver el límite utilice el cambio de variable:
Sabiendo la tendencia de “ ” identificamos que nuevo límite: (
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
. Entonces nos queda el
Parece muy largo el desarrollo, sin embargo desarrollados los productos notables, simplifique y se dará cuenta que nos queda: ( ( ( )
3. Calcule
) )
( )
Solución: Utilice el cambio de variable:
Sabiendo la tendencia de “ ” identificamos que obtendremos la siguiente relación: (
)
( )
( )
( )
. Ahora viendo el límite ( )
( )
( )
El desarrollo parece horrible, sin embargo es sencillo ya que usted puede sacar factor común “ ( )” y de esta manera obtenemos:
66
( )[
( )
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Lo que tenemos ahora son límites notables: ( )
( )
( )
Cuando veamos el tema de las derivadas, se dará cuenta que todo límite de la ( )
forma Donde
(
)
( )
denota a la derivada de la función.
4. Calcule
).
(
Solución: Desarrolle el límite por dentro: [
(
Saque factor común “ (
)
[
(
)(
)
]
[
(
)(
)(
)
]
” en el límite y obtendrá lo siguiente: ) (
)
]
(
)
[
( (
) ) (
)
]
) del Fíjese que el polinomio del numerador era lo mismo que el factor ( denominador el cual se tacha con el numerador y obtenemos el límite inmediato. 5. Demuestre que
( )
( )
(
)
(
)
Demostración: Esta fórmula la usaremos en el próximo ejercicio de límites, suponga que:
67
Si utilizamos esa suposición obtendremos: (
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
Si usted resta ambas ecuaciones, obtendrá lo siguiente: ( )
( )
( )
( )
Ahora calculamos las soluciones de “ ” y “ ” en el sistema de ecuaciones:
Obtenemos que:
Y por consecuencia de esto: ( )
( )
(
)
(
)
(Fin de la demostración)∎
68
(
6. Calcule
)
(
)
(∗)
Solución: Este límite es difícil si el lector no ha demostrado la formulita anterior. En caso contrario si usted la ha demostrado tiene una gran ventaja. Ahora bien, como lo anterior es una identidad concluimos que esto es un límite de la forma: (
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
(
Parta el límite en dos productos y multiplique arriba y abajo por
)
(
)
y
) (
)
. Haciendo eso lograra lo siguiente:
(
( )[
(
) (
(
(
) )
)
( ][
)
(
(
)
(
)
)
)
]
Digo “ ” para representar el límite de lo que estamos calculando. Ahora bien, evidentemente se ve que el límite es:
De todas formas si no lo ve, tendrá que hacer dos cambios de variable para que el termino “ ” quede con puros límites notables. (
)
tal que
(
)
tal que
Hecho eso, obtendremos: (
)[
(
)
( )
69
][
(
)
( )
]
Ya lo demás es carpintería y se fijara que: ( ( )
7. Calcule
)
(
)
.
Solución: Este límite es sencillo a pesar de que involucre una función trigonométrica inversa. Utilice un cambio de variable: ( ) Sabiendo la tendencia de “ ” podemos identificar que
.
Para nuestro límite, entonces tendríamos la relación de la forma: ( ) OJO, ese no es un límite notable pero es consecuencia del límite notable ya que ocurre lo siguiente:
( )
( )
8. Calcule
√
( )
√ √
√
Solución: Para resolver ese límite, hay que darle forma, tenemos que acomodarlo, suponga que se suma y se resta “1” arriba y abajo del límite de forma tal que no alteramos el límite: (√ (√
)
(√
)
(√
70
) )
Con ese nuevo límite no hemos cambiado nada. Ahora, necesitaremos multiplicar a cada una de las expresiones entre paréntesis por su conjugada, de donde tendremos lo siguiente: (√ (√
)
(√
)
(√
) )
Donde , , y son las conjugadas de cada radical al que están multiplicando. Como supongo que usted es una pala sacando conjugadas para radicales sabrá que: )
√(
)
√(
)
√(
)
√(
√ )
√(
√
√ Dados los valores de , , y que supongo que usted debe saber, entonces el límite se reduce a lo siguiente:
[
]
[
]
Bien, ahora determine el límite cuando donde obtendremos lo siguiente:
71
[
(
) (
)
de las conjugadas , ,
]
y , de
[
(
) (
)
]
[
(
) (
]
)
[
(
) (
)
]
Hecho ese cálculo, sustituimos los valores de los límites de las conjugadas y obtenemos que: √
√ √
√
9. Calcule Solución: Parta el límite como la resta de dos límites: (
)
(
)
Ahora hecho eso, podemos hacer los siguientes cambios de variable:
De aquí obtendremos: (
)
(
)
Como supongo que todavía no lo ha visto, obtendrá lo siguiente:
(
)
Ahora, también obtengo un límite visto anteriormente:
72
(
)
(
)
En consecuencia del límite notable anterior, se obtiene:
10.
(
Calcule
) . (∗)
Solución: Solo haga el cambio de variable:
Sabiendo la tendencia de “ ” podemos identificar que queda: (
. Entonces nos
)
Aquí ocurre algo interesante, en el pasado no se hablo. Pero para la serie convergente ∑
, existe otra serie que no nombre y que se utiliza como
límite notable. Suponga: ∑ Entonces si “ ” se aproxima a un número muy grande obtendríamos que: ∑ A su vez esa serie en forma de límite se denota de la forma:
73
(
)
Si utilizamos este nuevo límite notable, podemos decir que: ( 11.
( ))
(
Calcule
) .
Solución: Este límite luce difícil, pero en realidad es sencillo. Primero tendremos que sumar y restar 1 en el argumento del Logaritmo Neperiano. También por propiedades de logaritmos
pasará a ser exponente de ( ))
(
(
( )
( )) .
( )
Ahora necesitamos que el límite nos quede notable y sea de la forma: ( Para ello multipliquemos a
) ( )
por
arriba y abajo, de tal forma que
obtendremos lo siguiente: ( (
)(
( )
)
( ) ( )
)
( (
( ) ( )
) )
[(
( )
)
]
El desarrollo de ese límite parece feo pero obtuvimos lo que queríamos límites notables, en el siguiente desarrollo lo demostrare: (
( )
)
(
74
( )
)(
( )
)
Ahora nos queda el producto de dos límites. El primero es sencillo, saque factor común “ ” y obtendrá: (
)
( ))
(
El segundo es más tedioso, suponga el cambio de variable: ( ) Con ese cambio podemos afirmar que
y obtenemos el límite notable:
(
)
Con ese límite notable, obtenemos: ( 12.
( ))
( )
Calcule
Solución: A simple vista es muy fácil ver que el límite no existe, ya que está presente una función racional cuyo valor crítico es el 3: ( ) Si usted calcula el límite de esa función cuándo conclusión: ( ) ( ) Como los limites difieren, entonces:
75
, llegará a la siguiente
( ) En consecuencia de ello tampoco existe el 13.
Calcule
(
(
. )
( ))
Solución: Primero que nada tendremos que darle un poco más de figura al límite utilizando propiedades de logaritmos: (
)
(
)
(
)
Ahora, para tratar el límite de tendremos que hacer un cambio de variable y tendremos que utilizar un límite lateral.
De esta forma nos queda el siguiente límite: (
)
(
(
) )
El siguiente límite es consecuencia de un límite notable, e independientemente de que cero tiende hacia la derecha o a la izquierda no es de relevancia porque sabemos que el límite existe, y por ende nos queda: (
)
Si nos devolvemos a la expresión anterior nos queda: (
(
)
76
( ))
14.
Sea la función
dada por:
( )
| | {
Halle los valores de
y
para que
resulte continua en todo
.
Solución: Este ejercicio es muy sencillo. Primero que nada tenemos que remover la indeterminación de la función
( )
garantizando que la
misma sea continúa: ( )
Es continua en (
). Si y solo sí.
( ) Hecho esto, ahora empezamos a remover la discontinuidad de ( ). Para ello utilice límites laterales y utilice la condición de continuidad para terminar en un sistema de ecuaciones: ( )
( )
( ) ( ) También utilice que: ( )
( )
( ) ( ) Ahora construimos nuestro sistemita de ecuaciones:
77
{ Como yo supongo que usted es una pala resolviendo esa cosa, se dará cuenta que
y que no es mucha molestia deducir que
.
Y la respuesta es:
( )
| | {
La razón de los colores es porque quiero que vean la gráfica de la función:
78
15. Halle los valores de , en todo .
,
y
√ (
( )
para que la función
sea continua
)
{ Solución: Removamos la discontinuidad al igual que la función anterior de manera tal que obtendremos:
( )
(
)
√
{ Ahora si comenzamos a aplicar limites laterales lo cual omitiré porque supongo que lo saben hacer, les daré el sistema de ecuaciones y dos condiciones:
{
( ) ( )
La más sencilla de despejar es “ ” porque nos dan la ecuación que depende solamente de ella, donde obtenemos:
79
La segunda que podemos calcular es “ ” ya que esta depende de “ ”, de tal manera que nos da:
Y por el principio de intercalación ocurre lo siguiente: ( )
( )
Ahora como los limites laterales son iguales, obtenemos que por tanto nos da directamente el valor de “ ”:
De manera similar hagan con “ ”: ( )
( )
De esa forma nos queda:
Y la solución a nuestro ejercicio es:
( ) √ { Les dejo el dibujo para que observen mejor:
80
existe y
16. Demuestre las fórmulas de área y perímetro para un polígono regular de “ ” lados que está INSCRITO en una circunferencia de radio “ ”. ( ) (
)
Demostración: Para poder demostrar ambas fórmulas imagínese la sección circular infinitesimal en donde está inscrito uno de los lados del polígono regular:
81
Ahora para darle más forma, parta la sección por la mitad y obtendrá la sección de arco ̂ . Si el ángulo que abarca cada sección de longitud ̅̅̅̅ es sección circular debe ser
, el de la semi-
como se muestra en la figura anterior. Ahora
supongo que no será difícil encontrar la longitud de los catetos opuestos y adyacentes llamados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , sabiendo que la hipotenusa ̅̅̅̅ . Con esa información se deduce fácilmente lo siguiente: ̅̅̅̅
( )
̅̅̅̅
( )
Si la longitud de un lado completo es ̅̅̅̅ el perímetro es “ ” veces la longitud ̅̅̅̅ . Si denotamos como deducir que:
̅̅̅̅ . Y de este hecho sabemos que
al perímetro del polígono de “ ” lados, podemos
82
( ) Para el área, podríamos calcular primero el área del triángulo inscrito en la sección circular. Denotemos por “Área del triángulo AOB” a la siguiente relación:
De aquí usted puede deducir lo siguiente: ( )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
( )
Por la identidad de ángulo doble del seno obtenemos lo siguiente: (
)
Para un polígono de “ ” lados se cumple que su área la cual denotaremos como es igual a “ ” veces . Dicho esto, concluimos la demostración diciendo: (
)
(Fin de la demostración)∎ 17.
Demuestre que el perímetro de una circunferencia de radio “ ” es:
Aplicación de límites (∗) Demostración: El motivo por el cual demostramos el perímetro es para utilizarlo en esta nueva demostración. En el concepto de límite si recordamos teoría dice que
83
podemos “APROXIMAR TANTO COMO QUERAMOS” un valor cualquiera. En este caso haremos la primera aplicación, para ello imagínese que tratamos de aproximar el perímetro de una circunferencia, metiendo dentro de ella un triángulo, después un cuadrado, después un pentágono y un hexágono y así sucesivamente hasta que lleguemos a un polígono regular de “ ” lados. Como nunca terminaríamos, podemos aplicar el límite de cuando el número de lados tiende a infinito obteniendo la siguiente relación:
En el problema anterior obtuvimos el valor de
de donde podemos concluir: ( )
Para resolver ese límite, suponga el cambio de variable
de donde
podemos identificar que la tendencia de nuestra nueva variable es:
A partir de aquí obtenemos: ( )
( )
De pinga tenemos un límite notable así que por ende obtenemos:
(Fin de la demostración)∎ Aunque no se haya dado cuenta, usted ha calculado una integral de longitud de curva para una función de la forma ( ) √ . Lo veremos más adelante cuando llegue a Calculo II y más a fondo en funciones vectoriales de Calculo III 18.
Demuestre que el área de una circunferencia de radio “ ” es:
84
Aplicación de límites (∗) Demostración: De manera análoga al ejercicio anterior supondremos que tratamos de aproximar el área de la circunferencia metiendo polígonos regulares de números de lados “finitos”. Como nunca terminaremos aproximaremos el número de lados al infinito y más allá utilizado límites:
De aquí tomaremos el valor de obtendremos:
del ejercicio anterior de donde
(
)
Para resolver el límite, tomaremos el siguiente cambio de variable:
Eso implicara que la tendencia de nuestra nueva variable es
.
De aquí el límite nos queda de la forma: ( )
( )
De pinga nos queda un límite notable así que obtenemos:
(Fin de la demostración)∎ Al igual que en el caso anterior aquí también calculó una integral sin que se diera cuenta.
85
19. Un proceso químico se desarrolla de tal forma, que el incremento de la cantidad de substancia en cada intervalo de tiempo , de una ) ) ( ), es sucesión infinita de intervalos ( ( proporcional a la cantidad de substancia existente al comienzo del intervalo y a la duración de dicho intervalo. Suponiendo que en el momento inicial la cantidad de substancia era , determinar la cantidad ( )
que habrá de la misma después de transcurrir un intervalo de tiempo “ ”, si el incremento de la cantidad de substancia se realiza cada eneava parte del intervalo de tiempo
( )
Hallar
(∗)
Solución: Este es el último ejercicio de aplicación de límites, su dificultad va más allá de lo que usted pueda imaginar en un parcial. Cuando usted lee, nos dicen que el “incremento de substancia” es proporcional a la cantidad de substancia “existente” y a la duración del “intervalo de tiempo”. De aquí podemos garantizar que existe una constante de proporcionalidad que la denotaremos como “ ”. Ahora bien, para el primer intervalo de tiempo en un inicio cero, podríamos decir lo siguiente: Intervalo (
) ( )
Para un segundo intervalo de tiempo obtenemos: Intervalo (
) ( )
(
Para un tercer intervalo de tiempo obtenemos:
86
)
Intervalo ( ( )
(
) )
(
)
( )
(
)
Ok, basta ya. Fíjese que la razón de que ( ) tenga superíndice es porque guarda cierta relación con los incrementos de substancia. Por ejemplo:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
Para esto podemos establecer la relación: ( )
(
)
Establecida la relación de ( ) podemos hallar obtendremos la siguiente ecuación: (
( )
, de donde
)
Si se da cuenta, habrá comprobado que estamos en presencia de un límite notable: (
)
De esta forma hemos hallado el límite que demanda el ejercicio.
87
Ejercicios propuestos: 1. Calcule los siguientes límites: (
(
)
(
)
( )
)
(∗) (∗)
(∗)
2. Demuestre que: ( )
( )
(
)
(
)
3. Se sabe que el precio de un artículo “ ” a través del tiempo “ ” (en meses) está dado por la función ( )
, si se sabe que el precio de
este articulo el próximo mes será de desea saber:
$ y el siguiente será de
El precio del artículo para este mes. En qué mes el precio será de
$.
¿Qué ocurre con el precio del artículo a largo plazo?
88
$. Se
4. Se estima que “ ” meses después del inicio de la crisis económica, el porcentaje de la población económicamente activa que se encontrara desempleada estará dado por ( ) . Si se sabe que inicialmente el 4 % de la población económicamente activa está desempleada y al cabo de 5 meses lo estará el 4.58 %. Encuentre los valores de “ ” y “ ”. ¿Qué porcentaje estará desempleado al cabo en un año? ¿Qué porcentaje estará desempleado a largo plazo? Observación: Los ejercicios 3 y 4 son de carácter práctico para entender situaciones reales de límites. Sinceramente no son obligados, pero los ejercicios 1 y 2 si ya que se usaran más adelante en la introducción a las derivadas.
Asíntotas
89
1. Criterio de comportamiento asintótico: Tipo de Asíntota Vertical
Forma
Condición de existencia. ( )
( ) ( )
Horizontal
( )
( ) ̀
( ) Oblicua
( )
( )
( )
NOTA: En este curso se manejan los siguientes criterios. Toda función continua en la recta real no tiene asíntotas. Si una función tiene asíntotas horizontales, la misma carece de asíntotas oblicuas. Si una función tiene asíntotas oblicuas, la misma carece de asíntotas horizontales.
2. Realice un estudio de las asíntotas de la función ( )
90
( )
Solución: Recuerde que la función ( ) funciones exponenciales:
( ) tiene una igualdad basada en puras
( ) Hagamos primero el estudio de las asíntotas verticales. Para obtenerla igualaremos el denominador a cero y obtendremos:
Como
es una función que nunca se anula, podemos hacer:
Para corroborar si eso es cierto tendremos que utilizar limite laterales en cero para ( ). ( ) ( ) Se cumple la condición de asíntota vertical, por tanto verticales. Vamos por las horizontales:
( ) tiene asíntotas
( ) Ese límite lo resolveremos aplicando el siguiente cambio de variable:
De donde obtendremos que
, en consecuencia el límite sea: ( )
91
Falta corroborar si tiene asíntotas horizontales cuando la variable
.
( ) De manera análoga haremos el mismo cambio de variable, pero esta vez notara una diferencia:
Pero como esta vez notara que nuestra nueva variable no tiende a un número muy grande. Como la variable de la exponencial tiende a un número muy pequeño, la misma se va achicando de manera que tiende a 0, así nuestra nueva variable , de donde tenemos: ( ) Como la función tiene asíntotas horizontales, por el criterio de comportamiento asintótico, la misma no tiene asíntotas oblicuas. Y para observarlo mejor, les dejo el dibujo:
92
3. Determine las ecuaciones de las asíntotas de la siguiente curva ( )
.
Solución: Es muy sencillo, para comenzar buscaremos las verticales. Factorizaremos el denominador y fíjese que en dicho limite el numerador y el denominador no guardan factores en común, ya que 5 y 3 son coprimos. Además las raíces del polinomio del numerador son racionales, y las del denominador son enteras, estos cálculos los dejare a curiosidad del lector.
Calcule las raíces de esa ecuación y obtendrá dos candidatos a asíntotas verticales: (
)(
)
Empecemos a sacar límites: ( ) ( ) Tenemos la primera asíntota vertical: ( ) ( ) Tenemos la segunda, por tanto la función tiene dos asíntotas verticales. Antes de ver si la función tiene asíntotas oblicuas podemos decir algo rápido. Como el crecimiento de la función del numerador es más alto, la función tiende a infinito cuando su variable . Esto implica que la función no tiene asíntota horizontal, entonces por el criterio de comportamiento asintótico se supone que la función tiene al menos una asíntota oblicua.
93
(
)
Coloco “ ” porque calculamos una asíntota oblicua, se supone que esta tiene la ecuación de una recta, por tanto debe tener una inclinación (pendiente) y un corte con el eje de las ordenadas:
Tenemos la pendiente, falta el corte con el eje de las ordenadas:
El corte con el eje de las ordenadas es cero, así que la asíntota oblicua pasa por el origen. Las asíntotas verticales son:
La asíntota oblicua es:
Le dejare un dibujo para que vea el comportamiento asintótico de la función ( ):
94
4. A partir de la función a trozos:
( )
{
√( √(
) )
Demuestre que no tiene asíntotas horizontales ni verticales. Sugerencia: Explíquelo literalmente. Demuestre que esa función tiene una asíntota oblicua. Calcúlela. Esboce un dibujo de la función a trozos. Solución: La primera pregunta es muy sencilla, a la cual tendré dos respuestas:
95
Como la función ( ) es una función que no es racional, no habrá una tendencia que implique crecimiento sin límite o decrecimiento sin límite, de tal forma que no tiene asíntotas verticales. Como la función ( ) no es racional, entonces no se pueda expresar mediante el cociente de dos polinomios que tengan el mismo grado, lo cual anula la posibilidad de que tenga una asíntota horizontal. La segunda pregunta requiere de mucha observación. Sabemos que la función está definida desde: (
] [
)
De aquí obtendremos por la condición de asíntota oblicua lo siguiente: )
√(
( )
Mucha atención, como el límite tiene a menos infinito tenemos: (
)
√(
)
(
| |
)
√
| |
Bien, ya tenemos la pendiente, sin embargo esto no demuestra que la función tiene una asíntota oblicua. Esto evidencia que puede haber una asíntota o puede que haya dos. √(
)
Aquí no tenemos que ser tan ortodoxos con el valor absoluto, así que se calcula directo:
96
√ Entonces tenemos lo siguiente:
Como queda demostrado que esa función tiene asíntota oblicua, ahora para terminar, debemos calcular el corte de la ecuación de la recta de esa asíntota con el eje de las ordenadas. Para este caso solo bastara con calcular el corte con una sola ecuación de la función a trozos tomando en consideración la región del dominio para tomar el límite con más infinito o menos infinito, en mi caso tomare la segunda ecuación: ( ) √(
)
(
)
√(
)
Calculamos ese límite: (
)
√(
)
Ese nuevo termino que coloque representa a la conjugada de ) √( obtendríamos: (
.
)
√(
Entonces
.
) (
√(
)
√(
)
√(
97
)
)
Hecho
esto
Ya tenemos el corte con el eje de las ordenadas, ahora si tomamos la pendiente y el corte, obtendremos la ecuación de la asíntota oblicua que será:
Un dibujo de la función es el siguiente:
Comprendo que usted dirá, graficar esa función es muy rudo. Sin embargo esta es una función que nace de otra curva que ya hemos trabajado anteriormente, esa curva es una hipérbola.
98
5. Calcule las asíntotas de la función: ( )
| |
Solución: Esta función es una función a trozos a causa de la definición de valor absoluto, por lo que tendremos a ( ) definida como la siguiente función:
( ) { De acuerdo a la forma que tomo la función a trozos podemos deducir que esa función no tiene asíntotas horizontales por el grado del numerador y el denominador. La función posiblemente tenga un candidato a asíntota vertical y debe tener algunas asíntotas oblicuas. Empecemos por la horizontal vertical, aparentemente en asíntota vertical:
La función tiene asíntota vertical en En este caso tendremos: (
debe haber una
. Vamos con las asíntotas oblicuas.
)
La función tiene asíntota oblicua de pendiente
99
. Ahora calcularemos:
(
)
Determinamos que hay dos asíntotas donde obtuvimos otra con pendiente . Ahora falta calcular sus respectivos cortes con el eje de las ordenadas:
Calcularemos el otro corte:
Listo, sabemos que la función tiene asíntota vertical en dos asíntotas oblicuas. Le dejare un dibujo:
Nota: No dejare ejercicios propuestos.
100
y además tiene
Teorema de los valores intermedios 1. Demuestre que la función: ( )
( )
Tiene al menos una solución real. Solución: La función ( ) es una función continua en . Entonces según la condición del Teorema de los valores intermedios no tenemos restricciones así que podemos escoger un intervalo cualquiera para demostrar que la función corta ] al eje de las abscisas en un punto, tomemos en este caso al intervalo [ ]. Si calculamos los respectivos valores en Entonces ( ) es continua en [ los extremos del intervalo la función cumple: ( )
( )
( )
( )
De esta forma concluimos por el teorema de los valores intermedios tenemos la relación: ( )
( )
Y de esta forma, queda demostrado que existe algún numero ( ) .
tal que
2. Use el teorema del valor intermedio para demostrar que la ecuación:
Tiene una raíz. Además halle una aproximación de esa raíz con un error menor a 0,25.
101
Solución: Suponga la función ( ) . Sabemos que esa función es continua en de manera que podemos escoger un intervalo cualquiera para demostrar ] que existe una raíz. En nuestro caso tomemos el intervalo [ Al igual que el problema anterior tendremos: (
)
(
)
( )
( )
De esta forma concluimos que: (
)
( )
Por el teorema del valor intermedio sabemos que existe un número tal que ( ) . Para encontrar una aproximación de la raíz tenemos que restringir el intervalo que hemos escogido por que ya sabemos que:
Para tener la raíz con una aproximación menor de 0,25 tendríamos un intervalo de longitud . Suponga el intervalo [
] . Entonces: (
De esa forma [
)
] también cumple por el teorema de los valores
intermedios la condición de que exista tal que ( ) . Este intervalo tiene longitud 0,5 lo cual garantiza que el error para encontrar la raíz en los laterales es menor de 0,25 si y solo si el intervalo es abierto, es decir: (
)
3. Una partícula se mueve bajo la ley horaria:
102
( )
( )
( )
Donde “ ” representa a la velocidad de la partícula. [ ] existe un Demuestre que en el intervalo de tiempo tiempo en el que la velocidad de la partícula es nula. Demuestre que la velocidad de la partícula está disminuyendo en [ ] la ese intervalo de tiempo sabiendo que en el intervalo velocidad no se anula. Solución: El problema es sencillo. Tomemos en consideración: ( ) ( ) Por el teorema del valor intermedio concluimos que: ( )
( ) tal que ( )
Esto garantiza que existe algún número
.
La segunda pregunta ya está resuelta implícitamente. Fíjese que la función tiene la siguiente relación: ( )
( )
Esto significa que a medida que pasa el tiempo la función reduce su velocidad. [ ] . Podemos concluir que la Y como la velocidad no se anula en partícula reduce su velocidad continuamente en ese intervalo. Esto demuestra que la velocidad decae en el intervalo . NOTA: No dejare ejercicios propuestos, esta parte de la materia por lo general casi nunca la dan.
103
Derivadas por definición Recordatorio: Esta preparaduría estará dedicada a entender la teoría de derivadas. El motivo de que este diseñada de esta forma, es porque la tendencia en el curso de Calculo I se acostumbra a aprender la tabla de derivadas y no es esa la idea. Puesto que se deriva mucho a lo largo de la carrera, aquí demostraremos las derivadas y es de carácter obligatorio tratar de entender esta parte. 1. Utilizando la definición demuestre que la derivada de una función de la forma ( ) es:
(∗) Demostración: Utilizando la definición de derivada llegaremos a la siguiente relación: (
)
) se En preparadurias anteriores sabemos que un binomio de la forma ( puede desarrollar como Binomio de Newton utilizando la notación sigma: ∑
( )( )
(
)
Si desarrollamos el operador por separado tendríamos la siguiente relación: ∑( )( )
(
(
)
)
(
)
(
)
Como ya sabemos el desarrollo del operador, sustituimos el valor de este en la ecuación de la derivada por definición:
104
(
)
(
)
(
)
El desarrollo parece horrible, sin embargo por la sustracción el término se va y por el límite, concluimos que todos los términos se les restan un exponente por regla de potenciación. Ahora tendremos el siguiente desarrollo: (
)
(
)
(
)
Si el valor de tiende a un número muy pequeño tan cercano a cero, entonces la derivada nos queda como:
(Fin de la demostración)∎ 2. Demuestre la derivada del producto de dos funciones dadas por ( ) utilizando la definición y la notación de “Leibniz”. (∗)
( )y
Demostración: ( )y
Suponga el producto de las funciones ( ) ( ). una función ( )
( ) de manera que tendríamos
Empleando la definición de derivada tendríamos: (
)
( )
Dicho eso, esta notación permite afirmar que: (
) (
)
( ) ( )
Si queremos demostrar la derivada del producto de funciones, podemos utilizar un procedimiento que utilizamos en la demostración del producto de límites donde se tiene:
105
(
)
(
)
Suponga que utilizamos ese procedimiento para la expresión del numerador ) ( ) ( ) ( ). de la derivada ( De esa forma tendríamos: (
)[ (
)
( )]
( )[ (
)
( )]
Si analizamos el desarrollo cuidadosamente podemos partir el límite diciendo lo siguiente: [ (
)
( )]
(
[ (
( )
) )
( )]
Por definición de derivada podemos reconocer ciertas relaciones minúsculas: [ (
)
( )]
[ (
)
( )]
(
)
( )
Y de esta manera concluimos: ( )
( ) (Fin de la demostración)∎
3. Demuestre la derivada de
( )
notación de “Leibniz”. (∗) Demostración:
106
( )
utilizando la definición y la
Utilizando la definición podemos decir: (
)
( )
Nuestra forma notable para obtener la derivada es obteniendo la derivada de la función ( ) de manera que si encontramos su derivada por definición eso bastara para remover la indeterminación del límite. Veamos: ( ) (
(
)[
(
)
( ) ) ( ) ( ) ]
(
) ( )
Por definición sabemos que: (
)
( )
Ahora si aplicamos el límite directo obtendríamos: ( ( )) (Fin de la demostración)∎ 4. Demuestre la derivada del cociente de dos funciones dadas por ( ) utilizando la definición y la notación de “Leibniz”. (∗)
( )y
Sugerencia: Utilice la demostración anterior. Demostración: Nos piden obtener la derivada de una función dada por la siguiente forma: ( ) ( )
( )
107
Si nos piden hallar a
, entonces podríamos suponer la derivada del producto
de dos funciones mediante: ( )
( )
( )
Por la demostración anterior conocemos cual es la derivada de
( )
( )
,
además hemos demostrado la derivada del producto de dos funciones. De esta forma podriamos aplicar directo: ( )
( )
De ser así, podemos asegurar la siguiente relación: ( )
( ( ))
( )
Haciendo simplificaciones tendríamos: ( ( ))
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( )
( ( )) Esa simplificación resulta muy atractiva pero no concluye el hecho que queremos demostrar. Así que podemos tomar una nueva simplificación diciendo: ( )
( ) ( ( ))
De esta manera hemos concluido la demostración de la derivada del cociente entre dos funciones.
108
(Fin de la demostración)∎ 5. Calcule por definición la derivada de la función ( ) Utilice la notación de su agrado. Entiéndase por independiente. (∗)
. √ a la variable
Solución: En la preparaduría 5, se dieron unas factorizaciones importantes que serían útiles para este problema. También es importante destacar el uso de la notación sigma. Suponga que la función se puede reescribir de la forma: ( ) Por la definición de derivada podríamos llegar a la siguiente relación: (
)
Para empezar, creo que podríamos utilizar las conjugadas haciendo uso de: [(
)
]∑ ∑
√( )
√(
)
( )
( )
Suponga la que la notación sigma representa a: ∑ √(
)
( )
) En el factor ( , hay una consecuencia al momento en que se multiplica por su conjugada ya que obtendríamos: ∑
√(
109
)
( )
Esa relación implicaría lo siguiente:
En esa ecuación podríamos obtener la relación: ∑
√( )
Utilizando la propiedad: ∑ De esa forma obtendríamos lo siguiente: √( ) Lo importante de esta solución es que implícitamente demuestra que la regla de derivada de una potencia es válida también para un número que represente al exponente de una función ( ) . 6. En la demostración del ejercicio 3, implícitamente utilizamos algo muy importante que se llama “Regla de la Cadena”. Esto se refiere a derivar funciones compuestas. Ahora suponga la función (
)( )
Demuestre que su derivada es:
(∗) Demostración:
110
( ( ))
En derivadas anteriores suponemos que la variable independiente es “ ”. Sin embargo en una función compuesta la variable independiente “ ” no pertenece directamente al dominio de la función “ ”. La lógica de la función compuesta es que el papel de la variable independiente lo va a representar la función “ ” y de manera similar el papel de la variable independiente de “ ” lo va a representar “ ”. Esto significa que primero se deriva a “ ” con respecto a “ ” y después se deriva a “ ” con respecto a “ ”. En notación se representa como: (
)(
)
(
)( )
Si primero se deriva “ ” con respecto a “ ” y después a “ ” con respecto a “ ”. Sería conveniente obtener la derivada de “ ” con respecto a “ ” para apartar el incremente infinitesimal “ ”. Utilizaremos el artificio: (
)( (
) )
(
)( )
(
)
( )
( )
Por definición esto equivale a decir en la “Notación de Leibniz”:
Aquí termina la demostración. (Fin de la demostración)∎ Alguna información que le concierne saber es que lo anterior carece de rigor y no necesariamente se cumple a causa de cómo ha sido definido. Pues bien usted no sabe si
es continúa cuando
lo cual es más que suficiente
como para destruir el hecho de que la “Regla de la Cadena” es algo tan simple como suponer:
111
7. Demuestre la “Regla de la Cadena” justificando el hecho de que continua cuando
es
. ( ), entonces
Si “ ” es derivable en “ ” y “ ” es derivable en derivable en “( )”. (∗)
( ( )) es
Demostración: Supóngase una función: ( ( (
)) )
(
)
( ( )) ( ) (
{
( )
)
( )
( )
Basta con asegurar que esa función es continua en cero. Entonces para valores ) ( ) es casi cero, y en en los que es casi cero, entonces ( consecuencia función
esta próximo a ser
es igual a
. Si afirmamos que
entonces la
. Toda esa exposición quiere decir que los límites
laterales coinciden en un entorno muy pequeñito en cero y por tanto continua en ese punto. Comencemos diciendo que: ( ( ) Si para todo |
( ( )
)
, existe un
( ( ))
|
)
es
( ( ))
tal que para todo “ ”
(i)
Como la regla de la cadena afirma que “ ” es derivable en “ ” podemos entonces la función es continua en “ ” de donde podemos decir: |
|
| (
)
( )|
(ii)
112
) ( ), este es diferente de cero ya que Ahora si “ ” representa ( . Para concluir tomemos un “ ” cualquiera que cumpla | | (
El apropiado sería
)
(
)
( ) . Por (i) concluimos que: ( ( (
)) )
( ( )) ( )
)
( ( ))
Utilizando “ ” apropiado obtenemos: (
)
( ( )
Tomemos a: ( ( )
)
( ( ))
Evidentemente esto cumple el siguiente hecho: |
( ( )
)
( ( ))
|
Y de esta forma obtenemos: | (
)
|
Esta es una parte de la demostración, lo demás es carpintería ya que: ( ( ( Ahora como hay un concluir que:
)) )
( ( )) ( )
que garantiza que (
113
(
) )
( )
( ) , podemos
(Fin de la demostración)∎ 8. Calcule la derivada por definición de ( )
. (∗)
Solución: Utilizamos la definición de derivada de donde tendremos:
Podríamos sacar factor común de
de manera tal que: (
)
Utilice el cambio de variable . Por la tendencia de “ ” podemos decir que . De esta forma tenemos: (
) (
)
Con ese nuevo límite podemos utilizar una propiedad que di en una sugerencia de la preparaduría # 4, utilizando cambio de base tenemos: ( ) (
) ( )
(
)
Fíjese que las propiedades de límites nos hicieron llegar a un límite notable de donde obtenemos: ( )
114
Esta derivada por definición es importante, de ella podemos demostrar directa la derivada de la función “Exponencial de Euler” haciendo el caso particular en que 9. Calcule la derivada por definición de ( )
( ).
Solución: Por definición se tiene lo siguiente: (
)
( )
Creo que sería conveniente utilizar la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos: ( )
( )
( ) ( )
( )
Si desarrollamos esa expresión un poco tendríamos: ( )
( )
( ) ( )
[ ( )] ( )
( )
( ) con eso lograremos remover la Podríamos sacar factor común ( ). indeterminación ya que “ ” quedara destinado a ( )([
( )] ( )
(
) ( ))
Sería conveniente utilizar la identidad trigonométrica: ( )
( )
Con ello tendríamos: ( )
( ) (
115
( )
( ))
Como tenemos un límite notable y lo demás no son indeterminaciones concluimos que: ( )
( )
( )
Por identidades trigonométricas, sabemos que la derivada de la tangente se puede escribir de esas tres formas. 10.
Calcule la derivada de ( )
( )
Solución: Sabemos que
( )
( )
. Una vez demostrada la definición para derivar
funciones como la que representa la secante, podemos derivar directamente: ( )
( ) ( )
Simplificando: ( )
( )
No requerimos de utilizar la definición ya que demostramos previamente la derivada del cociente de dos funciones. Ciertamente en el cálculo omití algunas ( ) ya que puede ser de tarea para usted derivadas sencillas como la de que ha recibido el entrenamiento previo de la preparaduría # 5. 11.
Calcule la derivada por definición de ( )
Solución: Por definición de derivada tenemos lo siguiente: (
116
)
.
Por propiedades de logaritmo podemos obtener un cociente muy importante entre los argumentos de los logaritmos, que se asemejara mucho a un límite notable: (
)
Ese límite equivale a resolver el cociente y aplicar la propiedad de “Cambio de base” de manera que ocurre lo siguiente: (
) ( )
Ahora bien si separamos límites y pasamos a como exponente del argumento del logaritmo neperiano que depende de “ ” opbtendriamos un límite notable: (
( ) El valor del límite notable es: (
)
Y de esta forma: ( )
117
)
Ejercicios propuestos: 1. Encuentre por definición la derivada de la función:
( )
( )
( )
( )
√ (∗)
( )
√
( )
(∗)
Sugerencia: En las funciones “ ” y “ ” puede omitir el uso de la definición de derivada ya que las formas de calcularlas por definición han sido demostradas en la preparaduría. Algo más, en la función “ ” el punto crucial está en la “Regla de la Cadena”. ( ) en el 2. Halle la ecuación de la recta tangente a la función ( ) punto . Utilice la definición de derivada de manera tal que obtenga la pendiente inmediata. Sugerencia: Utilice una definición análoga a la de derivada, sea la función ( ): ( )
|
118
( )
Derivadas 1. Calcule la derivada de: ( )
( )
Solución: Sabemos que esa función se expresa en base a puras funciones exponenciales: ( ) Saque la constante de la función y comenzamos a derivar: (
)
De ahí concluimos que: ( )
( )
(
)
( )
2. Calcule la derivada de la función: ( ) (∗) Solución: Esta es un clásico, suponga que
( ( ))
( ) , eso luce un poco más
atractivo, de manera que derivaremos esa función y despejaremos a donde se genere a causa del proceso de derivación: ( )
( )
119
de
Fíjese que la función ( ) es conocida, y la incógnita que nos queda es representa a la derivada de la función ( ) con respecto a despeje nos queda: [
( )
que
. Realizando el
]
3. Calcule la derivada de: ( )
(
(
( )) )
Solución: (
(
( )) )
( ))
(
( )
(
( ))
4. Calcule la derivada de:
( )
(
(
) ( )
)
Solución Este ejercicio es de práctica para agarrar el hilo a la “Regla de la Cadena”. ( (
(
( )
( )
)
) )
[ (
(
( )
(
( )
5. Calcule la derivada de: ( )
( (
120
( )
)
) )
))
( )
[
(
( ))
( )]
]
Solución: ( (
) (
( )
( )
)
(
)
( ) (
( )
)
( )
( )
( )
)
6. Calcule la enésima derivada de: ( )
( )
Solución: Estos ejercicios tienen una forma particular de resolverlos. Se deriva cuantas veces sea necesario a la función para percatarnos de un patrón fijo en las derivadas. De manera tal que podamos modelar la derivada para un numero cualquiera “ ”. Observe:
(
)
(
)
Fíjese que ya a la cuarta derivada supongo que estamos convencidos de que en las derivadas “impares” la función tiene coeficiente positivo y en las derivadas “pares” la función tiene negativo, además notara usted que la razón del índice en la notación de Leibniz es importante porque el exponente de la variable coincide con el número de orden de la derivada a calcular. Por último el más difícil de todos los patrones, era darse cuenta que la función sigue una cadena “factorial” notación que he trabajado en preparadurías anteriores. De esta forma podemos concluir que:
121
(
) (
)
7. Calcule la enésima derivada de: ( ) Solución: Comenzando como en el problema anterior, derive cuantas veces sea necesario para que se convenza de que hay algún patrón y lo pueda descartar:
( (
) )(
)
Ok, basta ya. Fíjese que la función no cambia de signo sin importar el número de orden de derivada a calcular, además note que el exponente “ ” siempre se le resta el número de orden de derivada a calcular. También hay que darse cuenta que a medida que vamos derivando, el coeficiente de la función sigue una cadena “factorial”. De esta forma concluimos que la enésima derivada es:
8. Calcule la enésima derivada de: ( ) (∗) Solución: (
122
)
(
)
(
)(
)
Fíjese que la función cambia de signo entre cada derivada par e impar, también vea que el número de orden de derivada a calcular siempre se le resta al exponente “ ”, en la cadena factorial es diferente ya que nuestro factorial ) , sin embargo tenemos un problema ya que la cadena sigue sería ( hasta términos consecutivos más pequeños que “ ”. Lo que quiero decir es lo siguiente: (
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)
A partir del color rojo, estoy simbolizando los términos de la cadena factorial que se cancelan ya que el factorial limite en nuestras derivadas es “ ”. Para ) entre la cadena de contrarrestar ese efecto, podemos dividir ( factoriales roja. De esta forma nuestra derivada enésima queda de la forma: (
) (
) (
(
)
)
9. Utilizando la Ley de Hooke en un “Sistema Masa-Resorte”, se cumple la siguiente condición en una ecuación diferencial de segundo orden homogénea:
( ) es la solución de la ecuación diferencial Compruebe que ( ) sabiendo que la constante de elasticidad del resorte es . Tome en cuenta que , , y son parámetros “dados”. Solución:
123
El problema es muy sencillo, seria de nivel mucho más rudo si dijera “Demuestre” que la solución es la que nos están dando ya que el problema habla de una “Ecuación Diferencial”. Para resolverlo, solo tome la solución y derívela dos veces porque es la condición que tiene la ecuación diferencial. (
) (
)
Sabiendo la segunda derivada, sustituimos la solución y la segunda derivada de la solución en la ecuación diferencial de donde obtendremos: (
)
(
)
Si nos dicen que la constante de elasticidad del resorte vale sustituimos en la ecuación de donde obtendremos: (
)
(
, lo
)
Efectivamente se cumple así que ya se comprobó que ( ) era la solución. 10.
Sean las ecuaciones paramétricas: {
( ) ( )
( ) ( )
Demuestre que:
(
( ))
Solución: Primero derivaremos ambas ecuaciones paramétricas, luego las dividiremos para obtener al operador
.
124
( )
{
( ) ( ) ( ) Si la condición es demostrar la igualdad del operador diferencial
, podemos
establecer la siguiente relación: (
)
De esa relación podemos concluir que derivamos a parámetro y después lo multiplicamos por el cociente (
)
( )[
( )]
( )
(
( )
con respecto al . )
( ))
(
( ) ( ))
(
Para simplificarlo más, fíjese que la igualdad equivale a decir: (
) ( )
Solo falta encontrar
. Es sencillo la que tenemos la igualdad de
( ) Al realizar el producto para tener al operador
125
nos queda:
:
( )
( )
( ))
(
De esta forma hemos concluido el ejercicio. 11.
Calcule la enésima derivada de: ( )
(
)
Solución: Explico, la enésima derivada de esa función equivale a la suma de las enésimas derivadas de cada una de las funciones por separado que componen a ( ). Supongamos: ( ) ( ) {
(
)
( )
Con esas funciones por separado, el problema será más fácil. Las funciones del problema son sencillas de calcularles la enésima derivada ya que no tienen un patrón tan difícil de ver. Comenzare a calcular las derivadas: [
( )]
Haga la prueba usted mismo, se dará cuenta que derivando la función ( )] cuyo exponente coincidirá siempre tendrá la exponencial y el factor [ con el número de orden de la derivada a calcular.
La segunda no es tan fácil, así que lo hare por pasos para que lo vea: (
)
(
126
)
(
)
(
) (
)
El patrón ya está descartado, fíjese que las derivadas impares tienen signo positivo y las pares tienen signo negativo, además el número de orden de ), también hay una derivada a calcular coincide con el exponente de ( cadena factorial, por lo que podemos decir: (
( (
)
) )
La tercera función es la más tediosa. (
) (
( )
) ( ( (
)
) )
(
)
El patrón ya está descartado, fíjese que las derivadas impares tienen signo positivo y las pares signo negativo, además se sigue una cadena factorial y el número de orden de la derivada a calcular coincide con el exponente del numerador “ ”. La enésima derivada nos quedaría de la siguiente forma: ( ) (
127
)
Ya que tenemos las derivadas enésimas de las tres funciones, podemos decir que:
Sustituya los valores de las enésimas derivadas y listo problema resuelto. [
( )]
12. Pruebe que paramétricas:
(
( (
)
) )
( ) (
definida como función de
{
( ) ( )
)
por las ecuaciones
( ) √
√
Es solución de la ecuación diferencial: (
)
Solución: De manera similar al problema 10, calcularemos carpintería. ( )
{ √ ( Calculamos a
√
√
mediante el cociente entre √ (
√
128
y √
( )
)
)
. Lo demás ya es
Solo queda calcular la segunda derivada que pone establece la ecuación diferencial: (
)
Supongo que puedo omitir algunos cálculos así que: [ (
√
√
( )
)
√
√ (
√
( )]
)
( ) Solo falta sustituir en la ecuación diferencial de donde obtendremos: ( )
[ (
√
√
( )
)
√
√ (
√
( )]
)
( ) ( )
√ (
√
√
)
(
( )
√
√
)
Realizando las simplificaciones necesaria nos queda: [ (
√
√
( )
)
√ (
√
√
( )]
)
( ) ( ) (
√
√
( )
)
√ (
√ (
√
√
( ) √
√
)
( ) (
√
√
)
)
Los términos se tachan así que nos queda:
129
( )
(
√
√ (
√
√
) √
)
( )
(
√
√
( )
)
(
( )
√
√
)
Y ya lo demás es carpintería: (
√
√
)
(
√
√
)
Hemos corroborado que la solución a la ecuación diferencial es correcta. 13.
Calcule el valor de ( )
( )
en el punto
(
) de la curva
, sabiendo que: ( ) ( )
Solución: Con la información que nos suministra el problema está todo hecho: ( ) Solo falta despejar al operador
( )
y sustituir por el punto dado en el problema: ( ) ( )
Solo queda sustituir por las coordenadas del punto dado: |
|
130
14. La siguiente función define a la variable “ ” como función implícita de “ ”: ( ) Calcular
(
)
.
Solución: Ejercicio sencillo, solamente derive la función implícitamente y despeje a ( )
(
)
(
En esa ecuación tendremos que despejar [
( )
( ) [
(
[(
)
)
:
]
[
)
.
(
)
( )
]
] ]
Problema resuelto. 15. En los Juegos Olímpicos Beijing 2008 se sabe que la británica Victoria Pandleton fue la ganadora de la prueba de velocidad individual en pista, la bicicleta de la atleta tenía una masa de 20 Kg y el modelo matemático que describía su estado de movimiento era: ( )
( )
( )
131
( )
Con ( )
(
)
Si “ ” representa la masa de la bicicleta y la atleta. Calcule la masa de atleta. Solución: Como la “ ” representa la masa de la bicicleta y la atleta, podemos decir que:
Donde “ ” representa la masa de la ganadora. Ahora para obtener la masa solo necesitamos despejarla de la condición de la ecuación diferencial. Como tenemos la solución hacemos lo siguiente: ( )
( ) Hecho ese arreglo empezamos a derivar: ( )
( )
( )
( )
Ahora sustituimos en la ecuación diferencial: [
( )
]
[
( ) ]
( )
( )
Si despejamos la masa obtendríamos lo siguiente: [
( )]
[
( )] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
132
( )
Como tenemos la masa de la atleta junto con la bicicleta podemos calcular la masa de la atleta con la segunda igualdad de “ ”:
De ahí concluimos que:
La masa de la atleta son 50 kilogramos. 16.
Hallar la ecuación de la recta tangente a √
√
en (
).
Solución: Derive implícitamente la ecuación: √
√
Sustituya las coordenadas del punto en la ecuación y despeje a la pendiente :
Ahora simplemente hallamos la ecuación de la recta: (
Eso implicaría hacer:
133
)(
)
17. Se tiene una cuerda extensible, la cual bajo ciertas condiciones ambientales tiene longitud: ( ) Donde ,
y
son parámetros dados. Calcule:
La variación de la longitud de la cuerda con respecto al tiempo. Calcule la variación cuando el tiempo es Nota: La variación se mide en [
(
)
]
Solución: Parece un problema difícil, pero en realidad es sencillo. Fíjese que la única variable es “ ” que representa al tiempo. Si nos piden la variación de la longitud de la cuerda con respecto al tiempo se refieren a la derivada de la función ( ) con respecto al tiempo, lo cual sería:
Por otra parte nos piden la variación en un tiempo dado, eso equivale a sustituir el tiempo en la ecuación de
: (
|
)
Por propiedades de logaritmo, el exponente se baja y cálculo la ecuación nos queda: | Es evidente que la solución es 1 [
]
134
. Hecho ese
18.
Calcule la derivada número 3857 de la función: ( )
( )
Solución: Huy! Entraron en °!”#$%&/. Creo que entro en pánico. Bueno supongo que no hace falta derivar la función 3857 veces. Fíjese que si derivamos la función ( ), la misma cumple una característica muy especial, esta función trigonométrica cumple un ciclo, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces, con esta característica podemos descartar el número de veces que se cumple este ciclo y si el número de veces a derivar la función no es múltiplo de 4, entonces sabremos que el resto es un numero natural entre [ ]. En nuestro caso, utilicemos el teorema del resto: ( )( ) Donde “ ” es el dividendo, “ ” es el divisor, “ ” es el cociente y “ ” es el resto. Podemos decir que 3857 se escribe de la forma: (
)( )
De aquí concluimos que el cociente representa el número de veces que se ha realizado el ciclo. El producto del cociente y el divisor representa el número de veces que hemos derivado la función, en este caso la hemos derivado 3586 veces. Por último el resto representa el número de veces a derivar la función
135
para llegar al número de derivada a calcular. En nuestro caso el resto fue 1 así que si derivamos la función ( ) una vez llegaremos a la derivada número 3857: ( )
Ejercicios Propuestos: 1. En el circulo
, demuestre que:
| |
| √(
(
) )
|
2. Calcule la enésima derivada de: ( )
(
)
Solución: (
( ))
( ) (
(
( ))
) (
3. Calcule la enésima derivada de: ( )
(
(
Solución:
136
)
)
) (
(
)
)
(
)
(
)
4. Calcule la derivada número 39533 de la función ( )
( ).
5. Encuentra “ ” para que la función ( ) , tenga en , una recta tangente que forme un ángulo de 45° con el eje de las abscisas. 6. Calcule la enésima derivada de ( )
( ).
7. Calcule la derivada número 385734853 del ejercicio anterior. 8. Calcule la enésima derivada de ( )
.
Observación: En el último ejercicio resuelto, era más sencillo darse cuenta que la función se desplaza siempre hacia la izquierda por cada vez que la derivemos, quedándonos
(
).
137
Razones de Cambio 1. Una escalera de 25 reposa sobre una pared vertical. Si la base de la escalera resbala y se aleja de la base de la pared a 3 , ¿cuán rápido baja la parte superior de la escalera cuando la base de la misma está a 7 de la pared? Solución: Imagínese la escalera reposando de una pared, vea la figurita:
Las flechas de azul y morado señalan los sentidos de la velocidad a la que resbala la escalera. Ahora antes de ello existe una relación entre las variables por el Teorema de Pitágoras:
Si el problema dice que la escalera resbala, existe un cambio con respecto al tiempo dado por:
Tenemos la distancia horizontal a la que dista la parte inferior de la escalera de la pared que son 7 . De aquí podemos despejar la altura en la primera ecuación que sería: √
138
Sabemos que la altura vale 24 de la escalera concluimos:
. Y como tenemos la velocidad horizontal de la
De esa ecuación despejamos a
y obtenemos:
2. Un gas escapa de un globo esférico a razón de 2 decrece el área del globo cuando el radio es de 12
. ¿Cuán rápido ?
Solución: Como el globo es esférico, sabemos que su volumen y su área están dados por: ( ) ( ) El cambio que representa el volumen con respecto al tiempo es:
El cambio que representa el área con respecto al tiempo es:
El cambio del radio con respecto al tiempo lo podemos despejar de la razón , de aquí obtenemos:
139
Para calcular cuánto decrece el área del globo sustituimos
en la ecuación del
cambio del área con respecto al tiempo: ( Si el radio del globo vale 12
)
, entonces:
3. Un recipiente rectangular tiene 8 de longitud, 2 de ancho y 4 de profundidad. Si el agua fluye a una razón de 2 , ¿cuán rápido sube a la superficie cuando el agua tiene 1 de profundidad? Solución: El cambio de volumen con respecto al tiempo en un recipiente rectangular está dado por:
Donde “ ” representa el área de la superficie del recipiente y
representa el
cambio de la profundidad con respecto al tiempo. Si bien sabemos que el área de la superficie del recipiente es constante, pero la profundidad varía. Primero calcularemos el área de la superficie y después despejaremos la razón
De aquí concluimos lo siguiente:
140
:
4. El petróleo de un buque cisterna se está fugando en forma de una película circular sobre la superficie del agua. Si el radio del circulo aumenta a una razón de 3 metros por minuto, ¿a qué velocidad se incrementa el área del circulo cuando el radio es de 200 metros? Solución: Tenemos el cambio del radio con respecto al tiempo
. Solo queda derivar el
área de un círculo con respecto al tiempo y sustituir esos datos:
Esto implicaría:
También tenemos el radio así que solo queda calcular (
.
)
5. En un tanque entra agua a razón de 4 . El tanque tiene la forma de cono circular recto con vértice hacia abajo, su altura es de 18 y el radio de la base es de 9 . ¿Con que velocidad sube el nivel del agua en el instante en que la profundidad del agua es de 7 ? Solución: Ilustración de la situación de la situación:
141
Si nos piden la velocidad con que sube el nivel del agua, debemos descartar una relación entre la altura y el radio, esta saldrá mediante semejanza de triángulos donde tendremos:
De ahí obtendremos que . Ahora si tenemos a ecuación del volumen de un cono circular recto, podemos colocarla en función de la altura: (
)
Si la relación de triángulos semejantes se cumple para el triángulo pequeño, se cumple para el grande que tiene radio “ ” y de esta forma: ( ) Solo falta derivar la función con respecto al tiempo y despejar la razón de cambio
.
Sabemos que el agua entra a razón de 4
142
. De esta forma:
( )
6. Una persona camina en línea recta a una velocidad de 4 . En el piso, a 20 de distancia del camino hay un faro que se mantiene dirigido hacia el caminante. ¿A qué velocidad gira el faro, cuando el sujeto se encuentra a 15 del punto del camino más cercano al faro? Solución: Debo decirle que el faro no es lo que parece, vulgarmente es una luz de jardín. Le dejare una ilustración del triángulo que forma:
Lo que nos pide el problema es saber con qué velocidad gira el faro, lo cual está dado por la expresión
la cual se expresa en
. Para ello solo
necesitamos una función que involucre a la variable . Además como conocemos la velocidad del caminante quiere decir que conocemos a la tasa de cambio
.
143
( )
(
)
Si derivamos esa función con respecto al tiempo, obtenemos:
(
)
La distancia “ ” del problema se refiere a los 15 cercano al faro, de esta manera:
(
del punto del camino mas
)
Simplificando un poco la expresión obtendremos:
7. El barco A navega hacia el sur a 16 al sur de A, navega hacia el este a 12
, y el barco B, situado a 32 .
¿A qué razón se acercan o se separan al cabo de 1 hora? ¿Después de 2 horas? ¿Cuándo dejan de acercarse y a que distancia se encuentran en ese momento? Solución: Imagínese una ilustración de la situación:
144
La distancia a la que se alejan o acercan es
. El rango de 32 millas en el que
se mueve el barco A cambia con respecto al tiempo por: ( ) La distancia a la que se mueve el barco B cambia por: ( ) Ahora bien, la distancia ( ) esta dada por el teorema de Pitágoras por: [ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
La ecuación que relaciona las distancias es la que derivaremos y obtendremos:
De esa ecuación despejamos la tasa de cambio deseada:
145
Para la primera pregunta, podemos calcular la distancia ( ), ( ) y ( ) en la primera hora y también las tasas de cambio de e . Si lo sustituimos en la tasa de cambio
obtenemos: (
)
(
)
Se acercan a -5,6 En la segunda pregunta, haremos lo mismo que en la primera solo que con el tiempo igual a 2 horas. (
)
(
)
Se alejan a 12 La tercera pregunta si es de nivel considerable ya que no es de una tasa de cambio, va más a la parte de optimización, esto significa que la distancia de acercamiento entre ellos tiene que ser cero. Si buscamos el instante nos queda:
Eso implica:
La distancia a la que se encuentran sería: (
)
146
Derivada de la función inversa Recordatorio: Teorema de la derivada de la función inversa: Sea ( ) una función derivable en tal que ( ) , entonces si ( ) ( ) y la misma cumple dichas condiciones, ella tiene inversa denotada por es derivable en ( ). De manera tal que: (
) ( ( ))
( )
1. Demuestre que la derivada de la función: ( )
( )
Esta dada por: (
)( )
√
(
)
Demostración: Para poder derivar esta función, se sabe que hay una función: ( )
( )
Ahora si utilizamos el teorema de la derivada de la función inversa, obtenemos: (
)( )
( )
Utilizando un poco de identidades trigonométricas tenemos: (
)( )
√
147
( )
Si utilizamos la condición: ( )
( )
Entonces nos queda: (
)( )
√ (Fin de la demostración)∎
2. Demuestre que la derivada de la función: ( )
( )
Esta dada por: (
)( )
Demostración: Procedemos de manera similar al caso anterior: Sabemos que hay una función: ( )
( )
Si aplicamos el teorema de la derivada de función inversa obtenemos: (
)( )
( )
Utilizando identidades trigonométricas, sabemos que: ( )
( )
Y a partir de esa identidad, concluimos que:
148
(
)( )
( )
Solo falta tomar en cuenta la condición inicial que decía: ( )
( )
De esta manera nos queda: (
)( ) (Fin de la demostración)∎
3. Demuestre que la derivada de la función: ( )
( )
Esta dada por: (
)( )
| |
| |√
Demostración: Aquí también haremos igual que el caso anterior. Suponga que existe una función: ( )
( )
De ella podemos deducir por el teorema de la derivada de la función inversa lo siguiente: (
)( )
( )
Si utilizamos la identidad trigonométrica: ( )
√
Nos queda lo siguiente:
149
( )
( )
(
)( )
( )√
( )
Ahora solo falta utilizar la condición inicial que dice lo siguiente: ( )
( )
Con ella podemos concluir la demostración obteniendo el siguiente resultado: (
)( )
√
Ojo, a efectos de que esa raíz está definida en implica lo siguiente: (
)( )
nos queda
y eso
| |√ (Fin de la demostración)∎
4. Hallar
para: ( ))
(
Solución: Como hemos hecho en ejercicios anteriores, simplemente utilizaremos derivación logarítmica, suponga lo siguiente: ( )
( ))
(
Ahora, derivaremos implícitamente y obtendremos:
( Ahora solo falta despejar
( ))
(
( ))
tomando en cuenta que hay sustituir “ ”:
150
( ))
(
( ))
( ( ))
( 5. Si ( )
) ( ).
hallar (
Solución: Para resolverlo, tenemos que escoger un
apropiado tal que ( )
.
De aquí concluimos que . Ahora por el teorema de la derivada de la función inversa sabemos lo siguiente: )( )
(
( )
Esa relación nos permite hacer: )( )
(
( )
( ) ( ) De aquí terminamos diciendo: (
)( )
6. Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de ( ) si se conoce que ( ) .
en (
(
))
Solución: La recta normal a la inversa de en el punto dado, seria la recta perpendicular a la recta tangente de en ese punto.
151
Primero hallaremos (
)(
). (
Como
( )
)(
)
( )
ya tenemos la pendiente de la recta tangente: (
)(
)
Si queremos la perpendicular, hacemos:
De esta forma obtenemos:
La ecuación de la recta normal sería: (
7. Hallar ( ) ( ), si
)(
)
(
)
es la función inversa de ( )
( )
sabiendo que: ( )
Solución: Tenemos que hallar un
adecuado para que ( )
. Si hacemos el cálculo
se dará cuenta de que un candidato es . Ahora, como sabemos que es la inversa de podemos utilizar el teorema de la derivada de la función inversa: (
)( ) ( )
152
( )
Sustituimos el punto
y tenemos: ( )
( )
De esta forma terminamos diciendo: (
)( )
8. Dada la función inyectiva ( ) ( ) √ , (√ ) √ √ , (√ ) Calcule (
, de la cual se conoce √ , (√ ) √ √ .
√
) (√ )
Solución: De la información dada, podemos concluir que determina el adecuado para calcular ( teorema de la derivada de la función inversa: ( Entonces, calcularemos
) (√ )
(√ )
) (√ ). Ahora si aplicamos el
(√ )
( ): ( )
( ) Ya tenemos todo para calcular ( (
(
√
)
√
) (√ ): ) (√ )
De aquí concluimos:
153
√ . Ese hecho
(√ )
(
) (√ )
√
Ejercicios Propuestos: 1. Demuestre que para: ( )
( )
( )
Se cumple que para todo :
Condición: No utilice la proposición dada y utilice el teorema de la derivada de la función inversa, es decir, primero demuestre la derivada de la función ( ). 2. Demuestre que para: ( )
( )
( )
Se cumple que para todo :
Condición: Al igual que el problema anterior, no utilice la proposición dada y demuestre la ( ). derivada de la función 3. Demuestre que para ( )
( ) | |√
154
Sugerencia: Utilice el teorema de la derivada de la función inversa. 4. Si usted ha demostrado todas las derivadas de las funciones trigonométricas inversas por el teorema de la derivada de la función inversa, entonces tiene derecho a demostrar la derivada de las mismas por derivación implícita.
Sugerencia: Para demostrarlo por derivación implícita, suponga que la función representa a la función trigonométrica, entonces si queremos encontrar la derivada de la función inversa, hacemos . Donde “ ” representa a la función identidad. Entonces por derivación implícita sabemos:
De esa ecuación despeje a
y obtendrá la derivada de la función inversa.
Ejemplo: La derivada de la función
( ):
Suponga: ( ) Sabemos que ( ) representa a la función identidad, y por derivación implícita tenemos lo siguiente: ( ) Si utilizamos una identidad trigonométrica, llegaríamos a lo siguiente:
155
( )
√ Ahora, utilizando la condición inicial de √
Guíese con este ejemplo y haga las demás de tarea:
( )
( )
( )
( )
( )
156
( ), tenemos:
Optimización y trazado de curvas Recordatorio: Esta parte tiene más ejercicios de los que se harán en clase. El motivo es para que tenga varios modelos resueltos y usted mismo desarrolle la habilidad para resolverlos. 1. Construya la gráfica de la función: ( ) Solución: El primero será paso a paso, en los próximos omitiré ciertos cálculos. Para construir la gráfica, hay que decir algunas cosas:
( ) es par.
( )
.
El hecho anterior, garantiza que no tiene asíntotas verticales. El hecho anterior también garantiza que no tiene cortes con el eje de las abscisas. El corte con el eje de las ordenadas es ( ) la función pasa por el origen.
, esto garantiza que
Aparte de todos los comentarios, necesitaremos previamente: (
( ) ( )
(
) )
Al buscar las asíntotas sabemos que no hay verticales, probemos si hay horizontales:
157
( ) ( ) Existe una sola asíntota horizontal, además como hay horizontales no hay oblicuas. Puntos críticos: (
)
( )
( )
Crecimiento y decrecimiento: ( ( )
]
+
(
]
-
( +
]
(
)
-
( )
La tabla demuestra que hay unos posibles candidatos a máximo y mínimo.
( )
de
en
( )
de
en
(
)
de
en
Puntos de inflexión:
√
√
√
√
√
√
√
√
158
Concavidad y convexidad: (
] (
( )
+
-
( )
]
(
]
(
] (
+
-
+
)
Gráfica de la función:
2. Construya la gráfica de la función: ( )
| |
Solución: La función es impar. No es una función continua. Esta grafica equivale a construir dos, de las cuales con saber una sabremos la otra por la condición de imparidad. Pasa por el origen. Cortes con el eje de las abscisas:
{
⁄
No tiene cortes con el eje de las ordenadas. Cálculos previos:
159
}
( )
( ) ( )
{
Lo siguiente será exclusivamente para la región en deducirá por la imparidad de la función: ( )
. Lo demás se
( ) ( )
Asíntotas: No tiene verticales, horizontales ni oblicuas.
Puntos críticos: (
)
Crecimiento y decrecimiento: Utilizando el punto crítico de la primera derivada hacemos la tabla:
( ( )
]
-
(
)
+
( )
(
)
de
en
Puntos de inflexión: No tiene. Concavidad y convexidad: Es evidente que como la función es continua en la región conclusión de que es cóncava .
160
, se llega a la
Gráfica de la función:
La región en
se deduce a partir de la imparidad de la función ya
que: ( )
(
)
3. Construya la gráfica de la función: ( ) Solución: No es continua. La función es impar. No pasa por el origen. Corta con el eje de las abscisas en
{
⁄
}.
No corta al eje de las ordenadas. El hecho anterior determina la posibilidad de una asíntota vertical en .
161
Por la forma que tiene la función, es posible que haya una asíntota oblicua. Cálculos previos: ( ) ( ) Asíntotas: Verticales: ( ) ( ) Existe una asíntota vertical en
.
Horizontales: No tiene ya que la función del numerador crece más rápido y en consecuencia cuando tiende a valores muy grandes o muy pequeños la función tiende hacia el infinito y más allá. Oblicuas: ( )
( )
La pendiente de la asíntota oblicua vale ( )
( )
El corte de la asíntota oblicua con el eje de las ordenadas es Puntos críticos: No tiene.
162
.
Crecimiento y decrecimiento: Observando la primera derivada, es evidente que la función es decreciente para todo en el dominio de la función sin incluir el cero. Punto de inflexión: No tiene. Concavidad y convexidad: Observando la segunda derivada es evidente que a partir de la función es y en la función es . Gráfica de la función:
4. Dividir un numero positivo dado “ ” en dos sumandos, de tal forma que su producto sea el mayor posible. Solución: Suponga que el número a se escribe de la forma:
Ahora, solo falta saber el producto de los dos números de obtendremos: (
)
Donde “ ” representa al producto. Si despejamos obtenemos:
163
de la ecuación de la suma
( ) Ahora solo falta derivar la función y buscar los puntos críticos.
Por la forma que tiene la ecuación ya sabemos que queda: Que el máximo es:
El
será: ( ) 5. Torcer un trozo de alambre de longitud “ ”, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor posible.
Solución: Sabemos que la longitud “ ” está dada por el perímetro del rectángulo que sería: (
)
El área del rectángulo estaría dada por: (
)
Si despejamos a “ ” de la ecuación de la longitud tenemos:
Sustituimos en la ecuación del área y obtenemos: ( )
164
Solo queda derivar la función y buscar los puntos críticos:
Sabemos que el área es máxima si:
En consecuencia sabemos que:
Y además de esto el área es máxima cuando el rectángulo es un “cuadrado”. ( ) 6. Encontrar el cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio dado. Aclaración: Tome siempre las dimensiones de los sólidos como números reales mayores que cero. Solución: Nos piden calcular el cilindro de volumen máximo. Y para ello sabemos que el cilindro es un conjunto acotado superiormente por una frontera, la cual es la superficie de la esfera. Entonces, si ilustramos un poquito la situación y suponemos que la esfera tiene radio “ ” el cual es constante porque nos dicen que el radio es “dado”, el cilindro tiene radio “ ” y semi-altura “ ” en su eje de revolución, tenemos el siguiente dibujo:
165
El volumen del cilindro está dado por: (
)
Nuestro problema es que el volumen depende de dos variables, y para ello relacionamos ambas variables con el Teorema de Pitágoras según el dibujo:
De esa ecuación tenemos el poder para crear la ecuación del volumen en una sola variable: ( )
(
)
( ) Supongo que usted es una pala haciendo derivadas y no le costara decir:
Ahora solo falta encontrar la altura que cumple que el volumen del cilindro sea máximo: √
166
Para contrarrestar el más o menos se toma la solución positiva por la aclaración del problema. También falta el radio del cilindro que sería: √ Y por último: √ 7. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible. Solución: Se utilizan los mismos parámetros del problema anterior, solo que no trabajaremos con la función volumen, para este caso nos piden la superficie lateral que representa el recubrimiento del cilindro. Suponga que usted tiene una lata de refresco sin tapas, si usted le calcula el área, implícitamente está calculando la superficie “lateral”. Hecha esta aclaración, la función de la superficie es: (
)
Tenemos el mismo problema, así que para que la función dependa de una sola variable usaremos (en mi caso): √ De aquí obtenemos: ( )
√(
)
Nuevamente no creo que derivar esa función sea un problema:
167
)
√( Con simplificación nos queda:
√ Ahora si queremos la altura que hace máximo la superficie lateral nos queda: √ También falta el radio que es: √ Y por último:
8. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total? Solución: Para empezar, hay un problema ya que el volumen depende de dos variables y su ecuación está dada por: (
)
Si derivamos esa función con respecto al radio obtenemos:
Si el volumen es “dado” se supone que es constante, y por tanto aquí obtenemos la siguiente regla de correspondencia:
168
. De
Ahora, sabemos que la superficie total está dada por: (
)
Si derivamos con respecto al radio:
(
)
De esa ecuación obtenemos la correspondencia entre el radio y la altura y concluimos:
La superficie total mínima en este caso tendrá dos ecuaciones, una dependiente del radio u otra dependiente de la altura, a gusto del consumidor: ( ) ( ) Observación: Este problema es análogo a uno que sale comúnmente en los parciales disfrazado de la siguiente forma: Una empresa que fabrica latas de refresco, diseña una lata cuyo volumen es dado, calcule la superficie total de la lata de refresco para que la empresa gaste la menor cantidad de material posible.
169
9. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una elipse de ecuación:
Solución: Primero tenemos que calcular la función del área del rectángulo, para ello imaginemos la situación:
Según la figura, el rectángulo coincide en cuatro vértices con la elipse. También hemos de recordar que las distancias horizontales y verticales vienen dadas por las variables de e , claramente en el dibujo el área del rectángulo es: (
)
Y la regla de correspondencia entre
e
esta dado por:
√ Esa ecuación es consecuencia de la ecuación de la elipse. De esta forma tenemos:
170
( )
[ √
]
En mí caso hare unos arreglos y la ecuación nos queda de la forma: ( )
√
Solo queda derivar la función y encontrar el máximo:
√ En simplificación obtendremos el siguiente resultado:
√ La base para que el área sea máxima es: √ La altura para que el área sea máxima es: √ Observación: Fíjese que omití el uso del símbolo ya que nos piden las dimensiones, si fueran las coordenadas de los vértices para que el área del rectángulo sea máxima si utilizaría el símbolo. Por último se tiene:
10. Inscribir un rectángulo de mayor área posible en el segmento de parábola cortado por la recta .
171
Solución: Por los datos del problema se pueden dar los siguientes comentarios: La parábola es horizontal. El área del rectángulo está acotado por la parábola y la recta . Ahora bien, fíjese en cómo queda ilustrada la situación del problema:
En la imagen podemos apreciar que el área del rectángulo seria la función: (
)
(
)
En mi caso para que la función dependa de una sola variable, será con respecto a “ ” para evitar el uso de raíces cuadradas. La regla de correspondencia entre e esta dada por la ecuación de la parábola. De esta forma la función del área queda de la forma: ( )
(
)
Si hacemos unos arreglos nos queda: ( )
172
Supongo que derivar esa función no será muy difícil, así que obtendrá:
Si encontramos la “semi-altura” nos queda: √ La base seria:
Observación: El motivo por el que coloque “Base” ya que “ ” solo denota a la coordenada mas no a la dimensión horizontal que llamamos base. Por último se tiene: √ 11. Un trozo de alambre de 10 de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea mínima? Solución: La suma de los perímetros de ambas figuras debe ser igual a 10 modelar esto suponga:
173
. Para
Donde y representan los perímetros del cuadrado y del triángulo. Para ello fíjese lo siguiente:
Ahora esa variable que acabo de introducir representa la longitud que cortaremos para obtener el área mínima formada por las figuritas. La función a derivar es la suma de las áreas que daré a continuación: ( ) Las áreas de cada figura son: ( ) √ (
)
Ahora la suma de las áreas es la función: ( )
( )
√ (
)
Supongo que derivar esa función tampoco es difícil: √ (
)
Al buscar la longitud del pedacito a cortar, obtenemos: √ √ El alambre debe cortarse en un pedazo de longitud:
174
√ √ La cual es necesaria para hacer un cuadrado de área mínima. El otro pedazo es ) para hacer un triángulo equilátero de área mínima. de longitud ( 12.
Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.
Solución: Se supone que como la esfera es dada, tenemos el radio de la misma que denotaremos por “ ” el cual es una constante. Por otra parte el volumen del cono dependerá de dos variables y estará dado por: (
)
Si ilustramos la situación se entenderá más la ecuación:
Del dibujo podemos deducir algunas ecuaciones:
Donde es una longitud dentro del cono que es consecuencia de la substracción de su altura y el radio de la esfera. Por otra parte:
175
La importancia de estas deducciones es que nos permite relacionar a las variables y obtener la ecuación del volumen del cono en una sola variable que sería: ( )
(
)
Con unos arreglos tendríamos: ( )
(
)
Ahora solo falta derivar la ecuación y buscar la solución adecuada: (
)
Con esa ecuación sabemos lo siguiente del volumen máximo:
De esta ecuación, sabemos que el radio del cono vale: √ Adicionalmente de todo esto sabemos:
13. De un tronco redondo de diámetro “ ”, hay que cortar una viga de sección rectangular. ¿Qué anchura “ ” y altura “ ” deberá tener la sección para que la viga tenga la resistencia máxima posible a la compresión? Observación:
176
La resistencia de una viga a la compresión se dice que es directamente proporcional al área de la sección transversal de la misma. Solución: Con la observación nos dan el dato necesario para construir la función a optimizar. Suponga una imagen de la situación:
Según lo establecido en el problema, se puede concluir la siguiente relación: (
)
(
)
Donde “ ” es la constante de proporcionalidad y sección transversal, la cual viene dada por: (
)
( )
(
√
De esta forma, la función a optimizar queda como: ( )
√
Ahora podemos derivar y sacar el máximo:
√
177
) es el área de la
Si se hacen algunas simplificaciones nos queda:
√ Por ultimo nos quedan los siguientes resultados: √ Por último se tiene:
14. Se dobla la esquina superior derecha de un trozo de papel de 8 pulgadas de ancho por 12 pulgadas de largo para llevarla hasta el borde inferior. ¿Cómo la doblaría de modo que se minimice la longitud del doblez? Solución: Este problema es uno de los más rudos de optimización. La razón de su dificultad está en que aplicaremos ángulo doble viendo muy detalladamente la figura a continuación:
178
Primero tenemos que ver qué ocurre con el ángulo que puse en la figura: (
) ( ) ( )
La parte difícil era darse cuenta que en la imagen, existe una relación entre los ángulos. Ahora, solo falta decir que: (
)
( )
( )
Ahora para elegir un “ ” adecuado para minimizar “ ” tenemos que encontrar en función de , lo cual podemos buscar con la información anterior de donde obtenemos: √ Supongo que el problema deja de convertirse en un problema porque derivamos y obtenemos: ( (
√
) )
Haciendo unos arreglos nos queda: ( (
179
) ) √
Si analizamos los puntos donde la función se anula tenemos y , sin embargo, sabemos que la función no es derivable en por lo cual nuestro único candidato es . Si aplica el criterio de la segunda derivada. Se dará cuenta que existe un mínimo. Ahora para que la longitud del doble de la hoja sea mínimo tenemos que
.
La longitud mínima seria: √ 15. Dos pasillos de anchuras respectivas “ ” y “ ” se encuentran formando un ángulo recto. ¿Qué longitud máxima puede tener una escalera de mano para poderse pasar horizontalmente de uno a otro pasillo? Solución: Supóngase que somos dos obreros cargando la escalera y vamos por un pasillo que tiene forma de letra “L”. Entonces tenemos que pasar la escalera por el pasillo y resulta que la escalera tiene longitud máxima, en ese caso la situación queda de la siguiente forma:
La longitud “ ” de la escalera está dada por:
180
Por la imagen podemos deducir que dichas longitud dependen de la anchura de los pasillos y por supuesto del ángulo que forma la escalera en la perpendicular de los pasillos. (
√
)
√
Por relación de triángulos semejantes podemos decir lo siguiente:
( )
√
(
)
√
Ahora el problema es carpintería, solo falta derivar y buscar el máximo:
√ Si igualamos a cero veremos que solo existe un punto que es: √ De esta manera la longitud máxima es:
√( √
√ (
√
)
181
)
El problema es largo, sin embargo esa respuesta aunque parezca un número feo es la correcta . 16. Se desea construir un envase cilíndrico circular recto sin tapa superior, cuyo volumen sea . Si el precio del material para la superficie lateral es de
y el de la tapa del fondo es
, halle las
dimensiones optimas del envase para obtener el mínimo costo. Solución: El volumen de un cilindro circular recto está dado por: (
)
Si nos dan el volumen del envase podemos hallar la correspondencia entre “ ” y “ ”:
Ahora, la función que tenemos que optimizar es la función “Costo” en función del radio del envase. Según las especificaciones del problema podemos decir: (
)
(
)
(
)
Tenemos la función en dos variables, pero como tenemos la regla de correspondencia nos queda: ( ) Carpintería…
182
La única solución existente es:
De aquí deducimos por la regla de correspondencia que:
Por ultimo:
17. Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de longitud √ se hace girar sobre uno de sus catetos para generar un cono circular recto. Halle el radio y la altura del cono de volumen máximo que se puede generar de esta manera. Solución: Este ejercicio no es gran cosa, sin embargo tiene algo interesante, cuando dice “girar” sobre uno de sus catetos significa que trabajamos con un sólido de revolución que lo veremos más a fondo en Calculo II. Fuera de ello, sabemos que el volumen del cono es: (
)
Si ilustramos un poquito la figura encontraremos lo siguiente:
183
Por la figurita establecemos la siguiente correspondencia:
Con esa información, podemos encontrar el volumen máximo del cono en función de una sola variable. Por comodidad lo hare en función de la altura: ( )
(
)
Lo demás es carpintería: ( Despejando la altura apropiada, obtenemos:
Y por la regla de correspondencia: √ Por último se tiene:
184
)
Nota: No dejare ejercicios propuestos, sin embargo, sería recomendable que consulte otras fuentes y haga la mayor cantidad de ejercicios posibles.
185