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GEOMETR´ IA I Pr´ actico 6 - 2010
1. Justificar porqu´e el cuarto criterio de congruencia no se puede enunciar tomando la congruencia de los ´angulos opuestos a los lados menores. 2.
a) Determinar todas las transformaciones r´ıgidas que dejan estable un paralelogramo no rect´angulo. Analizar por separado el caso en que el paralelogramo es un rombo. b) ¿Cual ser´ıa el resultado si el paralelogramo fuera un rect´angulo no cuadrado?
3. Probar que en todo paralelogramo la base media con respecto a un lado pasa por el centro de simetr´ıa del paralelogramo. 4. Demostrar elTeorema de Varignon: dado un cuadril´atero arbitrario, los cuatro puntos medios de sus lados forman un paralelogramo. 5. Probar que un cuadril´atero convexo tal que una de sus bases medias es congruente a la semisuma de las respectivas bases es un trapecio. Ayuda: Sea abcd un cuadril´atero convexo, sean m y n los puntos medios de ab y cd respectivamente, y sea mn la base media que satisface la hip´otesis del problema. Hacer una construcci´on similar a la hecha en el te´orico, usando la simetr´ıa central Sn , para probar el resultado rec´ıproco al dado. Luego usar un corolario de la desigualdad triangular. 6. Demostrar que un paralelogramo cuyas diagonales son congruentes es un rect´angulo. 7. Demostrar que un cuadril´atero cuyos cuatro ´angulos interiores son congruentes es un rect´angulo. 8. Demostrar que todo segmento pq contenido en la regi´on triangular correspondiente al tri´angulo △abc es menor o igual que el lado mayor del tri´angulo. Para probar este resultado se sugiere considerar los siguientes casos: a) Suponer que el segmento pq esta contenido en un lado del tri´angulo. b) Suponer que el segmento pq tiene uno de sus extremos en un v´ertice del tri´angulo y el otro extremo sobre el lado opuesto a ese v´ertice. c) Suponer que el segmento pq tiene sus extremos sobre los lados del tri´angulo pero no en los v´ertices. d ) Ahora suponer que pq es un segmento arbitrario contenido en la regi´on triangular y reducir este caso a los anteriores . 9. Sea abcd un cuadril´atero convexo, sean m y n los puntos medios de los lados opuestos ab y cd, sean r y s los puntos medios de los lados opuestos bc y ad, y sean p y q los puntos medios de las diagonales ac y bd. Demostrar que los segmentos mn, rs y pq se intersecan en sus puntos medios. Ayuda: Considerar primero el cuadril´atero rmsn . Sabemos, por el ejercicio 5, que este cuadril´atero es un paralelogramo. Luego probar que el cuadril´atero mpnq es un paralelogramo y usarlo para completar la prueba.
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10. Sea abcd un paralelogramo, e y f los puntos medios de los lados opuestos ab y cd. Demostrar que de y f b dividen en tres partes iguales la diagonal ac. Ayuda: Usar congruencia de tri´angulos. 11. Demostrar que las medianas de un tri´angulo se intersecan en un mismo punto, y que ´este divide a cada una de ellas en dos segmentos tales que el que va al v´ertice es el doble del que va al punto medio. Definici´ on: Las medianas de un tri´angulo son los segmentos que unen el punto medio de un lado con el v´ertice opuesto. Ayuda: Considere el tri´angulo △abc y sean m, n y r los puntos medios de los lados ab, bc y ac. Considere, por ejemplo, las medianas an y br y proceda como sigue: a) Probar que las medianas an y br se intersecan en un punto o, que es interior al sector triangular. b) Si p es el punto medio de ao y q es el punto medio de bo, probar que pqnr es un paralelogramo. Usar este resultado para probar que las medianas an y br satisfacen lo que se pide demostrar. c) Lo demostrado en los dos puntos anteriores es v´alido para cualquier par de medianas. Use esta observaci´on para completar el ejercicio. 12. Sobre los lados de un tri´angulo cualquiera △abc se construyen tres tri´angulos equil´ateros △abc′ , △ab′ c y △a′ bc hacia el exterior de △abc. Probar que aa′ ≡ bb′ ≡ cc′ . Ayuda: Considerar los tri´angulos △cac′ , △bab′ , △aba′ y △cbc′ , y usar los criterios de congruencia. 13. Probar la equivalencia de los siguientes enunciados: a) Axioma de las paralelas: Dada una recta y un punto exterior a ella, existe un u ´nica paralela a dicha recta que pasa por el punto dado. b) Quinto postulado de Euclides: Sean A, B y C tres rectas tales que C es secante a A y a B en puntos distintos. Si la suma de un par de ´angulos conjugados internos es menor que dos rectos, entonces A y B se intersecan en el semiplano determinado por C al que pertenecen los ´angulos conjugados considerados.
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