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Funciones de varias variables: l´ımites y Continuidad Problemas de C´ alculo de I.T.I. 1. Describe el dominio de los siguientes campos escalares: a) f (x, y) =
xy 2 x + y2
c) f (x, y) =
x2 +y 2 +z 2 sen(yz)
e) f (x, y, z) = q
x2 +y 2 −9
h) f (x, y) = ex/y
q
4 − x2 − y 2
k) f (x, y) =
x2 +y 2 −9 x
f) f (x, y) = arcsen(x+y)
4−x2 −y 2 −z 2
g) f (x, y) = x2 + y 2 j) f (x, y) =
x+y+z
b) f (x, y, z) = q
x
d) f (x, y) = q
q
i) f (x, y) = ln(4 − xy)
x+y x−y
l) f (x, y) = arccos
y x
2. Realiza la composici´on de las siguientes funciones: √ a) f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 y g(x) = x b) f (x, y, z) = (2x, x + y, x + z), g(x, y, z) = (x + y, y + z) y h(x, y) = x + y 3. Describe las curvas o superficies de nivel, para los siguientes campos: a) f (x, y) = 25 − x2 − y 2
b) f (x, y) = 2x − y + 5
c) f (x, y, z) = 2x − 3y + 4z
q
d) f (x, y) = xy
f) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2
e) f (x, y) =
4. Calcula, si existen, los siguientes l´ımites: 6x − 2y a) lim (x,y)→(1,3) 9x2 − y 2
c)
1 xy
f)
d)
y(x−1)3 (x,y)→(1,−2) (x−1)2 +(y+2)2
e)
g)
xy 3 (x,y)→(0,0) x2 + y 6
h)
lim
lim
x3 j) lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2 m)
x2 − y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim
Ã
(x3 −1)(y 4 −1) b) lim (x,y)→(1,1) (x−1)(y 2 −1) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 +y 2 ) sen
2x2 y (x,y)→(0,0) x4 + y 2 lim
x3 y k) lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2 n)
y2 (x,y)→(0,0) x + y 2 lim
i)
lim
(x,y)→(1,1)
lim
x2 − 1 y−1 + 2 x−1 y −1 x2 + y 2
q
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2 + 1 − 1
xy (x,y)→(0,0) |xy| lim
Ã
l) o)
lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(1,1)
1 1 x sen + y sen y x
log |1 + x2 y 2 |
5. Estudia si es posible extender las siguientes funciones por continuidad a puntos que no sean de su dominio. a) f (x, y) =
xy + 1 x2 − y
b) f (x, y) = q
x3 x2 + y 2 q
2x + y 2 c) f (x, y) = 2 x + y2
1−
d) f (x, y) = q
x2 + y 2
1 − x2 − y 2
!
!
Test funciones de varias variables: l´ımites y continuidad Problemas de C´ alculo de I.T.I. q
4x2 + y 2 es
1. El dominio de la funci´on f (x, y) = e) IR2
f) {(x, y) ∈ IR2 : y ≥ −2x}
g) IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : 2x ≤ −y}
h) {(x, y) ∈ IR2 : 2x ≥ y}
2. Las curvas de nivel de la funci´on f (x, y) = x2 − 4x + y 2 son a) planos paralelos
b) circunferencias conc´entricas
c) rectas paralelas
d) ninguna de las anteriores
3. Dada la funci´on f (x, y) = a)
lim
(x,y)→(0,0)
c) no existe
5x5 + 4y 3 √ se verifica: 4x4 − 3y 3 4 √ (x,y)→(0,0) − 3 9 √ d) lim f (x, y) = (x,y)→(0,0) 4− 3
f (x, y) = 0 lim
(x,y)→(0,0)
b) f (x, y)
lim
f (x, y) =
4. Sea f (x, y) un campo escalar para el que se verifica µ
¶
µ
¶
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y)
x→0
y→0
y→0
x→0
entonces a) no existe c) si existe,
lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y)
b) µ
¶
f (x, y) = lim lim f (x, y) x→0
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) existe y vale cero
d) ninguna de las anteriores
y→0
5. Sea f (x, y) un campo escalar para el que se verifica
f (x, y) = λ2 entonces
lim x→a y=b+λ(x−a)
a)
lim
(x,y)→(a,b)
c) no existe
f (x, y) = 0 lim
(x,y)→(a,b)
b)
f (x, y)
lim
(x,y)→(a,b)
d) no existe
f (x, y) = λ2 lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y)
6. ¿Cu´al de las siguientes igualdades es falsa? cos x 1 = x y (x,y)→(0,1) e + e 1+e x+y c) lim q =0 (x,y)→(0,0) x2 + y a)
lim
b)
sen(x2 + y 2 ) =1 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim
y2 d) no existe lim (x,y)→(−1,0) (x + 1)2 + y 2
7. Un campo escalar verifica que el lim f (x, y) existe y es el mismo para todo λ ∈ IR. Entonces, x→0 y=λx
a) f es continua en (0, 0)
b) f no es continua en (0, 0)
c) no es posible afirmar si f es o no continua
d)
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0