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FENÓMENOS DE TRASPORTE EN METALURGIA EXTRACTIVA Clase 01/06 Transporte de Momentum Prof. Leandro Voisin A, MSc., Dr. Academico – Universidad de Chile. Jefe del Laboratorio de Pirometalurgia. Investigador Senior - Tohoku University, Japan. 1
Flujo laminar y ecuación de momentum Balance de momentum
El balance se aplica a un volumen de control de fluido con el objetivo de desarrollar u obtener una ecuación diferencial que represente y describa el comportamiento del mismo. Para la resolución de la ecuación diferencial será necesario imponer restricciones físicas del sistema (condiciones de borde) y de tiempo (condiciones iniciales). La resolución de la ecuación diferencial nos proporciona la distribución de velocidad en el sistema de donde se obtiene además el esfuerzo de corte en la interface fluído-sólida. El planteamiento del comportamiento de fluidos mediante balances de momentum es un tema básico e introductorio del transporte de momentum. 2
Flujo laminar y ecuación de momentum Balance de momentum Para flujo estacionario el balance de momentum queda definido por la ecuación general:
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + F del sistema ∑ =0 entrante saliente Generalidades Los balances se aplican a una delgada “envoltura” de fluido. Se considera flujo rectilíneo en estado estacionario. Las fuerzas que nos interesan son las de presión actuando sobre las superficies y las de gravedad actuando sobre todo el volumen. 3
Flujo laminar y ecuación de momentum Generalidades El momentum que entra o sale del sistema por transferencia de momentum lo hará ya sea por transporte molecular o por transporte convectivo. El balance de momentum, resulta en un balance de fuerzas porque tiene relación con los flujo de momentum que entran y salen del volumen de control. Si el flujo es Newtoniano, podremos relacionarlo con la ec. de viscosidad de Newton para determinar el perfil de distribución de velocidad del sistema. Si el flujo es no-Newtoniano la ec. de viscosidad de Newton no es valida y otros modelos empíricos deberán ser utilizados para determinar el perfil de distribución de velocidad del sistema. 4
Condiciones de borde en el balance de momentum Determinaciones de hecho físicos para valores concretos de la variable independiente utilizadas en la resolución de integración de problemas de fenómenos de transporte. Interfase fluido-sólido: velocidad del fluido = velocidad con que se mueve la superficie de contacto, principio de adherencia. Interfase fluido-gas: densidad de flujo de cantidad de movimiento o esfuerzo de corte, y por consiguiente el gradiente de velocidad en la fase liquida se supone igual a cero. Interfase fluido-fluido: la densidad de flujo de cantidad de movimiento como la velocidad son continuas a través de la interfase. 5
Flujo laminar de un film en descenso Considere el flujo de un líquido en estado estacionario descendiendo por un plano inclinado, el líquido presenta To cte. y por ende ρ y µ permanecen ctes. Considere además un volumen de control de largo L, espesor variable ∆x y ancho perpendicular al plano de la imagen W, el cual se encuentra alejado de las entradas y salidas del sistema de forma tal que no existe influencia sobre vz.
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Flujo laminar de un film en descenso
φij = π ij + ρv i v j = p + τ ij + ρv i v j
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + ∑ F del sistema = 0 entrante saliente Flujo de momentum = FM
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Flujo laminar de un film en descenso FM entrante en la sección transv. a x (por viscosidad)
( LW )(τ xz ) x
FM saliente en la sección transv. a x+∆x (por viscosidad)
( LW )(τ xz ) x + ∆x
FM entrante en la sección transv. a z = 0 (mov. del fluido)
(W∆xv z )( ρv z ) z =0
FM saliente en la sección transv. a z = L (mov. del fluido)
(W∆xv z )( ρv z ) z = L
F. de grav. actuando sobre el fluido
(LW∆x )( ρg cos β ) 8
Flujo laminar de un film en descenso r Flujo de momentum Flujo de momentum − + F = 0 del sistema ∑ entrante saliente
LW τ xz x − LW τ xz
x + ∆x
+ W∆x ρv
2 z z =0
− W∆x ρv
2 z z=L
+ ...
... + LW∆xρg cos β = 0 Los terminos tercero y cuarto se cancelan, y se divide por el volumen de control, permitiendonos hacer el ∆x infinitamente pequeño, obteniendo por definición la primera derivada implicita de τxz respecto a x:
lim ∆x →0
τ xz x + ∆x − τ xz x ∆x
= ρg cos β 9
Flujo laminar de un film en descenso
dτ xz = ρg cos β dx Integrando implícitamente, se obtiene la ec. que describe el flujo de momentum por unidad de área (distribución del esfuerzo de corte):
τ xz = ρgx cos β + C1 Aplicando la C.B.1, (interfase fluido-gas) en x = 0, τxz = 0 tendremos que C1 = 0:
τ xz = ρgx cos β
Como el fluido es Newtoniano aplicamos la ec. de viscosidad de Newton para obtener la distribución de velocidad:
dv z τ xz = − µ dx
dv z ρg cos β =− x dx µ
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Flujo laminar de un film en descenso Integrando implícitamente:
ρg cos β 2 v z = − x + C2 2µ Aplicando la C.B.2, (interfase fluido-sólido) en x = δ, vz = 0 tendremos que C2 = (ρg cosβ / 2µ) δ2: 2 ρgδ cos β x vz = 1 − 2µ δ 2
Resultando en una distribución de velocidad parabólica. 11
Flujo laminar de un film en descenso Otras cantidades importantes pueden ser calculadas: i) Velocidad máxima,
v
max z ,
v max z
en x = 0:
ρgδ 2 cos β = 2µ
Wδ
∫ ∫ v dxdy z
ii) Velocidad promedio,
vz : vz =
0 0 Wδ
∫ ∫ dxdy
=
1
δ
v dx ∫ δ z
0
0 0
δ
δ
2 2 ρgδ cos β ρgδ cos β 1 x v z = ∫ v z dx = 1 − dx = ∫ δ 0 2µ 3µ 0 δ 12
Flujo laminar de un film en descenso iii) Velocidad volumétrica o Caudal, Q: Wδ
ρgWδ 3 cos β Q = ∫ v z dS = ∫ ∫ v z dxdy = v z (Wδ ) = 3µ 0 0 iv) Espesor de la capa límite, ya sea como función de v z , de Q ó la velocidad de flujo de masa por unidad de anchura de pared (Γ = ρδ v z )
δ=
3µ v z 3 µQ 3 µΓ =3 =3 2 ρgcos β ρgWcos β ρ gcos β 13
Flujo laminar de un film en descenso v) Componente-z de la fuerza F del fluido sobre la superficie, se obtiene integrando el esfuerzo de corte sobre la interfase fluidosólido: LW
Fs = ∫ ∫ τ xz
x =δ
dydz
0 0 LW
dv z = ∫ ∫−µ dx 0 0
dydz x =δ
ρgδ cos β = (− LWµ ) − µ = LWρgδ cos β 14
Flujo laminar de un film inmiscible en descenso Ejemplo 5: Describir el comportamiento del flujo laminar de 2 fases inmiscibles fundidas de escoria y metal que descienden en estado estacionario por un plano inclinado. Las fases de escoria y metal presentan espesores δs y δm y viscosidades cinemáticas νs y νm, respectivamente. Ejemplo 5, Solución: Para la escoria, se cumple la CB fluido-gas:
τ xz = ρ s gx cos β
dv z g cos β =− x dx νs
Integrando:
g cos β 2 x + C1 , v z = − 2ν s
δs ≤ x ≤ 0 15
Flujo laminar de un film inmiscible en descenso De igual forma para el metal, tendremos:
d 2 vz g cos β =− 2 dx νm Integrando intrínsicamente 2 veces:
g cos β 2 x + C2 x + C3 , v z = − 2ν m
δ s ≤ x ≤ (δ s + δ m )
Para determinar los valores de C1, C2 y C3, imponemos las 3 CB: C.B. 1: vz = 0 en x = (δs+δm) C.B. 2: vz (metal) = vz (escoria) en x = δs C.B. 3: τxz (metal) = τxz (escoria) en x = δs 16
Flujo laminar de un film inmiscible en descenso Resolviendo el sistema algebraico de 3 condiciones y 3 incógnitas:
C2
( ρ s + ρ m )δ s cos β = µm
( δs + δm ) =
2
C3
g cos β
2ν m
+ C2 (δ s + δ m )
2 g cos β δ m (2δ s + δ m ) δ s C1 = + + C2δ m 2 νm νs
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Flujo laminar estacionario entre placas paralelas Considere el flujo laminar de un líquido en estado estacionario entre 2 placas paralelas, el líquido presenta To cte. y por ende ρ y µ permanecen ctes. Considere además un volumen de control de largo L, espesor variable ∆y y ancho perpendicular al plano de la imagen W, el cual se encuentra alejado de las entradas y salidas del sistema de forma tal que no existe influencia sobre vx.
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Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
φij = π ij + ρv i v j = p + τ ij + ρv i v j
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + F = 0 del sistema ∑ entrante saliente Flujo de momentum = FM 19
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas FM entrante en la sección transv. a y (por viscosidad)
( LW )(τ yx )
FM saliente en la sección transv. a y+∆y (por viscosidad)
( LW )(τ yx )
FM entrante en la sección transv. a x = 0 (mov. del fluido)
(W∆yv x )( ρv x ) x =0
FM saliente en la sección transv. a x = L (mov. del fluido)
(W∆yv x )( ρv x ) x = L
F. de presión actuando en la sección transv. ax=0
y y + ∆y
∆yW [P( x = 0 )] = PO ∆yW
F. de presión actuando en la sección transv. − ∆yW ax=L
[P(x = L )] = −PL ∆yW 20
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + ∑ F del sistema = 0 entrante saliente
LW τ yx − LW τ yx y
y + ∆y
+ (PO − PL )∆yW = 0
Dividiendo por el volumen de control, permitiéndonos hacer el ∆y infinitamente pequeño, obtenemos por definición la primera derivada implícita de τyx respecto a y:
lim ∆
τ yx
y + ∆y
− τ yx
y
∆y
y →0
dτ yx dy
( PO − PL ) = L
( PO − PL ) = L
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Flujo laminar estacionario entre placas paralelas Imponiendo las condiciones de borde en la línea central (y = 0) y en las paredes sólidas (y = δ): C.B. 1: en y = 0, τyx = 0 C.B. 2: en y = δ, vx = 0
τ yx
( PO − PL ) = y L
Como el fluido es Newtoniano aplicamos la ec. de viscosidad de Newton para obtener la distribución de velocidad:
1 2 2 (PO − PL ) vx = δ −y 2µ L
(
)
Resultando en una distribución de velocidad parabólica. 22
Flujo laminar estacionario entre placas paralelas Otras cantidades importantes pueden ser calculadas:
vx
i) Velocidad máxima, en y = 0:
ii) Velocidad promedio:
vx =
1
max
δ
1 2 (PO − PL ) = δ 2µ L
δ
2
v dy = ∫ δ 3µ x
0
iii) Velocidad volumétrica o Caudal:
2 Wδ Q= 3 µ
3
(PO − PL ) L
(PO − PL ) L 23
Flujo laminar estacionario a través de una cañería
Considere el flujo de un líquido en estado estacionario a través de una cañería de largo L y radio R. El líquido presenta To cte. y por ende ρ y µ permanecen ctes. Considere un volumen de control cilíndrico de largo L y espesor variable ∆r, el cual se encuentra alejado de las entradas y salidas del sistema de forma tal que no existe influencia sobre vz. 24
Flujo laminar estacionario a través de una cañería
φij = π ij + ρv i v j = p + τ ij + ρv i v j
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + ∑ F del sistema = 0 entrante saliente Flujo de momentum = FM
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Flujo laminar estacionario a través de una cañería
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + F = 0 del sistema ∑ entrante saliente
(2πrLτ rz ) r − (2πrLτ rz ) r +∆r + ...
... + 2πr∆rLρg + 2πr∆r (PO − PL ) = 0
Es importante notar que todos los términos contienen el factor r, por lo tanto, siendo que r es una variable no deberíamos utilizarlo como común divisor. Luego dividiendo por 2πL∆r y hacemos tender ∆r a cero para obtenemos la primera derivada implícita de rτrz respecto a r:
lim ∆ r →0
rτ rz r + ∆r − rτ rz r
∆r
PO − PL = + ρg r L 27
Flujo laminar estacionario a través de una cañería
d PO − PL (rτ rz ) = + ρg r dr L Integrando los campos, se obtiene la ec. que describe el flujo de momentum (distribución del esfuerzo de corte):
PO − PL r C1 τ rz = + ρg + L 2 r Aplicando la C.B.1, (simetría) en r = 0, τrz = 0 tendremos que C1 = 0:
PO − PL r τ rz = + ρg L 2 28
Flujo laminar estacionario a través de una cañería Como el fluido es Newtoniano aplicamos la ec. de viscosidad de Newton para obtener la distribución de velocidad:
dv z τ rz = − µ dr Aplicando la C.B.2, (interfase fluido-sólido) en r = R, vz = 0 tendremos que: 2 PO − PL R r 1 − vz = + ρg L 4 µ R 2
Resultando en una distribución de velocidad parabólica. 29
Flujo laminar estacionario a través de una cañería Otras cantidades importantes pueden ser calculadas:
PO − PL R = + ρg L 4µ 2
i) Velocidad máxima, en r = 0:
vz
max
ii) Velocidad promedio:
1 vz = 2 πR
2π R
PO − PL R ∫0 ∫0 v z rdrdθ = L + ρg 8 µ
iii) Velocidad volumétrica o Caudal:
2
4 P − P R π O L Q= + ρg L 8µ
La ec. iii) es conocida en fluido-dinámica como la ley Hagen-Poiseuille y es valida para largos iniciales de entrada a 30 cañería de Le = 0.035 DRe asegurando un flujo estacionario.
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
r Flujo de momentum Flujo de momentum − + F = 0 del sistema ∑ entrante saliente
Flujo de 2 fluidos inmiscibles entre 2 laminas planas paralelas debido a un gradiente de presión. 31
Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
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Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
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Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
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Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles
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