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F´ısica General I − A˜ no 2014 Trabajo Pr´ actico 3
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1. Una part´ıcula tiene un vector posici´on dado por ~r(t) = (10 m + 2 m/s t2 )ˇı+ 8 m/s t4 ˇ. a) Determinar los vectores velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo. ¿Es ´este un movimiento uniformemente acelerado? b) Hallar y graficar la curva que describe la trayectoria de la part´ıcula en el plano xy. 2. El vector posici´on de una part´ıcula viene dado por ~r(t) = A t ˇı +(B t+C) ˇ, donde A = 5 m/s, B = 10 m/s y C = 2 m. a) Graficar la trayectoria de la part´ıcula. b) Hallar m´odulo y direcci´on del vector velocidad ~v de la part´ıcula, mostrando que ´este es paralelo a la trayectoria. c) Graficar las componentes x(t) e y(t) del vector posici´on ~r(t). 3. Un cuerpo se mueve en el plano xy con aceleraci´on constante a = 10 m/s2 en la direcci´on ˇı. Si en t = 1 s el cuerpo se encuentra en ~r(t = 1s) = 8 mˇı + (−1) mˇ y tiene una velocidad ~v (t = 1s) = 13 m/s ˇı − 1 m/s ˇ, a) calcular la posici´on del cuerpo en funci´on del tiempo y b) hallar y graficar la curva que describe la trayectoria del cuerpo en el plano xy. 4. (?) Una part´ıcula que se mueve en el plano xy tiene una aceleraci´on constante ~a con ax = 6 m/s2 y ay = 4 m/s2 . En el instante t = 0 la part´ıcula est´a en reposo en la posici´on ~r0 = 100 mˇı. a) Hallar los vectores posici´on y velocidad en un instante cualquiera t. b) Hallar la ecuaci´on de la trayectoria en el plano xy y representarla gr´aficamente. Comparar con la curva obtenida en el problema anterior. Explicar. 5. (?) Una part´ıcula se mueve en el plano xy con aceleraci´on constante. Para t = 0 la part´ıcula se encuentra en la posici´on ~r0 = 4 mˇı+ 3 mˇ. Para t = 2 s la part´ıcula se ha desplazado a la posici´on ~r1 = 10 mˇı− 2 mˇ y su velocidad ha cambiado en ∆~v = 5 m/sˇı− 6 m/sˇ. a) Calcular la aceleraci´on de la part´ıcula. b) Hallar la velocidad de la part´ıcula en funci´on del tiempo, ~v (t). c) Hallar la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo, ~r(t). (Atenci´on: s´olo si la acaleraci´on es constante, aceleraci´on instant´anea y aceleraci´on media coinciden). 6. Si una piedra es arrojada desde un altura H con un vector velocidad inicial que forma un ´angulo θ con el eje horizontal. Al momento de chocar la piedra contra el suelo, ¿depende el m´odulo del vector velocidad del ´angulo θ? 7. (?) Un ca˜ n´on ajustado con un ´angulo de tiro de 45◦ dispara balas con velocidad inicial de 150 m/s. a) ¿A qu´e altura m´axima llegar´an estas balas? b) ¿Cu´anto tiempo estar´an en el aire antes de chocar contra el suelo? c) ¿Cu´al es el alcance horizontal del ca˜ n´on? (Despreciar la altura del ca˜ n´on). 8. a) Demostrar que el alcance de un proyectil que tiene una velocidad inicial cuyo m´odulo es v0 y un ´angulo v2 de elevaci´on θ es D = g0 sen(2θ), ¿para qu´e ´angulo de elevaci´on es m´aximo? b) ¿Qu´e relaci´on hay entre los alcances y entre los tiempos de impacto para ´angulos de elevaci´on π4 + α y π 4 − α? 2
. c) Demostrar que la altura m´axima del proyectil es yM = (v0 sen(θ)) 2g d) Determinar cu´al es el ´angulo de elevaci´on de un ca˜ n´on para que el alcance y la altura m´axima de un proyectil sean iguales.
9. Una moto debe cruzar una zanja. Para que pueda pasar por sobre ella, se ha construido una rampa con una inclinaci´on de 10◦ . Si la distancia horizontal que debe atravesar la moto para alcanzar el otro lado es de 7 m, ¿con qu´e velocidad debe abandonar la rampa? (Suponer que la altura a la que abandona la rampa es la misma a la que llega del otro lado de la zanja). 10. Un fusil dispara balas que salen del arma con una velocidad de 250 m/s. Para que una bala choque contra un blanco situado a 100 m de distancia y al mismo nivel que la boca del arma, el fusil debe apuntar a un punto situado por encima del blanco. Determinar la altura sobre el blanco a donde debe apuntar. (Despreciar la resistencia del aire). 11. Un cazador apunta a una ardilla que se encuentra en la rama de un ´arbol. En el momento que dispara su rifle la ardilla se asusta, dej´andose caer de la rama. Demostrar que, desafortunadamente para la ardilla, el cazador da en el blanco.
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12. (?) Un muchacho que est´a a 4 m de una pared vertical lanza contra ella una pelota. La pelota sale de su mano a 2 m por encima del suelo con una velocidad inicial ~v = (10ˇı + 10ˇ) m/s. Cuando la pelota choca con la pared se invierte la componente horizontal de su velocidad, mientras que no cambia su componente vertical. ¿A qu´e distancia de la pared chocar´a la pelota contra el suelo? 13. Un ca˜ n´on est´a colocado para que dispare sus proyectiles, con una velocidad inicial cuyo m´odulo es v0 , directamente hacia una colina que tiene un ´angulo de elevaci´on α, como se muestra en la Figura 1. ¿Cu´al ser´a el ´angulo con respecto a la horizontal con el que debe apuntar el ca˜ n´on para obtener el mayor alcance R posible a lo largo de la colina? 14. Se desea hacer pasar una pelota sobre un larguero ubicado a una altura H y a una distancia D del punto donde se patea la misma. Sea θ el ´angulo que forma el vector velocidad inicial de la pelota con la horizontal. Demostrar que hay un ´angulo m´ınimo θmin tal que si la pelota es pateada con un ´angulo de elevaci´on menor que θmin , no importa cuan grande sea su velocidad inicial, la pelota no pasar´a por encima del larguero. 15. Un bal´on de f´ utbol americano se patea con una velocidad inicial de 20 m/s y con un ´angulo de elevaci´on de 45◦ . Un jugador que est´a en la l´ınea de meta a 55 m de distancia y en la direcci´on y sentido de vuelo del bal´on, empieza a correr, con velocidad constante, en ese instante para recogerlo; ¿cu´al deber´a ser el m´ınimo m´odulo de su velocidad para que alcance al bal´on antes de que ´este llegue al suelo? 16. Un aeroplano est´a volando horizontalmente a una altura h con una velocidad v. En el instante en que el aeroplano est´a directamente sobre un ca˜ n´on antia´ereo, el ca˜ n´on dispara al aeroplano. Calcular la velocidad m´ınima v0 y el ´angulo de apunte α que requiere el proyectil para darle al aeroplano. 17. Un aeroplano vuela horizontalmente a una altura de 1 km y con una velocidad de 200 km/h. Deja caer una bomba que debe dar en una barco que viaja en la misma direcci´on y sentido a una velocidad de 20 km/h. Demostrar que la bomba debe dejarse caer cuando la distancia horizontal entre el aeroplano y el barco es aproximadamente 715 m. Resolver el mismo problema para el caso en el cual el barco se est´a moviendo en sentido opuesto. 18. Un ca˜ no´n antitanques est´a ubicado en el borde de una meseta a una altura de 60 m sobre la llanura que la rodea (Figura 2). La cuadrilla del ca˜ n´on avista un tanque enemigo situado en la llanura a una distancia de 2200 m del ca˜ n´on. En el mismo instante, la tripulaci´on del tanque ve el ca˜ n´on y comienza a escapar en l´ınea recta con una aceleraci´on de 0.9 m/s2 . Si el ca˜ n´on dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s y un ´angulo de elevaci´on de 30◦ sobre la horizontal, ¿cu´anto tiempo despu´es de que el tanque empieza a moverse deben disparar los operarios del ca˜ n´on para darle al tanque? 19. Una part´ıcula se est´a moviendo a lo largo de una par´abola de la forma y = x2 de modo que en cualquier instante vx = 4 m/s. Calcular el m´odulo y la direcci´on del vector velocidad y del vector aceleraci´on en el punto x = 2 m. 20. a) Calcular la velocidad angular en rad/s de la aguja del reloj que marca las horas. b) Determinar el ´angulo que forman las agujas del reloj a las doce y cuarto. c) Las agujas del reloj son colineales a las 12 hs. Calcular cu´anto tiempo transcurre hasta que vuelvan a ser colineales y tengan igual sentido. 21. ? Un muchacho hace girar una pelota atada a una cuerda en una circunferencia horizontal de 75 cm de radio. ¿A cu´antas revoluciones por minuto deber´a girar la pelota para que su aceleraci´on centr´ıpeta sea 9 m/s2 ? 22. Un piloto de avi´on se lanza hacia abajo para describir un rizo siguiendo un arco de circunferencia cuyo radio es de 300 m en la parte inferior de la trayectoria, donde su velocidad es de 180 km/h. Calcular su aceleraci´on centr´ıpeta en ese instante. 23. La posici´on de una part´ıcula viene dada por el vector ~r = −10 m cos(ωt) ˇı + 10 m sen(ωt) ˇ, donde ω = 2 rad/s. a) Demostrar que el movimiento es circular, y hallar el radio de la circunferencia correspondiente. Indicar si la part´ıcula se mueve en sentido horario o antihorario. b) Demostrar que el m´odulo de la velocidad de la part´ıcula es constante, y calcular su magnitud. ¿Cu´anto tarda la part´ıcula en dar una revoluci´ on completa? d) Calcular las componentes radial y tangencial de la aceleraci´on en funci´on del tiempo t. Nota: La derivada de la funci´on f (t) = sen(ωt) es f 0 (t) = ω cos(ωt), y de g(t) = cos(ωt) es g 0 (t) = −ω sen(ωt).
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24. Una part´ıcula se mueve en sentido antihorario sobre una circunferencia de radio 2 m con su centro en (x, y) = (0, 2 m). En t = 0 la part´ıcula se encuentra en reposo en el origen de coordenadas, y se desplaza con aceleraci´on angular uniforme de 1.5 rad/s2 . a) ¿Cu´anto tardar´a la part´ıcula en recorrer la mitad de la circunferencia? b) Calcular su velocidad (m´odulo y direcci´on) en ese instante. c) Calcular su aceleraci´on (m´odulo y direcci´on) en ese instante. 25. Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad angular aumenta uniformemente a 200 revoluciones por minuto en 6 segundos. Despu´es de haber estado girando por alg´ un tiempo a esta velocidad, se aplican los frenos, y la rueda toma 5 minutos en detenerse. Si el n´ umero total de revoluciones de la rueda es de 3100, calcular el tiempo total de rotaci´on. 26. La rueda A (Figura 3) cuyo radio tiene 30 cm parte del reposo y aumenta su velocidad angular uniformemente a raz´on de 0.4π rad/s. La rueda transmite su movimiento a la rueda B mediante la correa C. Obtener una relaci´on entre las aceleraciones angulares y los radios de las dos ruedas. Encontrar el tiempo necesario para que la rueda B alcance una velocidad angular de 10π rad/s. (?) Opcionales
Figura 1
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