Fisica Principios Y Aplicaciones Vol. I

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Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ciencias FISICA: PRINCIPIOS Y APLICACIONES VOL. I Lic. Jesús Alfredo Chacaltana García Lic. Luis Alfaro Herrera Tacna – Perú 2003 INTRODUCCIÓN Entre las ciencias, la física es la más fundamental, se ocupa de la interacción y la estructura de la materia. Los físicos saben bien que la física es excitante y bella. Pero no lo creen así, las demás personas, para ellos el simple hecho de nombrarlo les causa temor, pánico: Este libro mas que solucionar problemas complicados, lo que pretende es mostrar la belleza de la física y la profundidad de sus principios básicos, su aplicaron a la vida diaria y como base del conocimiento científico. Pretende ser legible, interesante y accesible a los estudiantes, darles una comprensión de los principios básicos de la física. En todo el libro se destaca los temas principales: la comprensión del concepto y la resolución de problemas. En este libro se ha dirigido el material en varios capítulos, de tal manera que cada uno de ellos presente un cuerpo unificado de conceptos: mecánica newtoniana, leyes de conservación, sistemas continuos, oscilación y ondas, calor y termodinámica, con esta división ayudamos a que los alumnos organicen sus conocimientos. Así como hincamos cada capitulo como un caso como presentación de los conceptos que se tratan, cada tema dentro del capitulo se pregunta con una descripción conceptual antes de recurrir a las matemáticas. Desde este modo hacemos énfasis en que el trabajo con el concepto es el paso inicial y esencial para resolver un problema. Después usamos con el concepto es el paso inicial y esencial para resolver un problema. Después usamos las matemáticas para llegar a la solución. De igual manera, tratamos de hacer énfasis en el uso de diagramas para ayudar a conceptuar problemas y planear su solución. Pedimos a los alumnos que usen diagramas como auxiliares gráficos para entender los demás, pasar de la presentación verbal al modelo matemático. A diferencia de muchos textos, aquí no solo decimos a los estudiantes que usan diagramas; nosotros mismos siempre lo hacemos. Si bien hacemos tratado de que los ejemplos iniciales sean directos y de asegurar que muestran un aumento gradual de la dificultad dentro de un capitulo o parte, a lo largo del libro hay problemas típicos que muestran la importancia del método para resolver problemas detalladamente y a veces intrincados con la finalidad que evalúen sus conocimientos y su capacidad para utilizar el material. Confiamos en que el material que les estamos presentando le sea de mucha ayuda para los lectores interesados en el tema. Los Autores. CAPITULO ANALISIS I VECTORIAL 1-1.. Vector – Elementos de un vector. 1-2.. Clasificación de los Vectores . 1-3.. Vectores Unitarios. 1-4.. Componentes de un vector. 1-5.. Operaciones con vectores. A. Adición de dos vectores colineales. 1-5.A.1.. Resultante máxima. 1-5.A.2.. Resultante mínima. B. Adición de de dos vectores concurrentes. 1-5.B.1.. Método del triangulo 1-5.B.2.. Método del paralelogramo. 1-5.B.3.. Método del polígono. C. Diferencia de dos vectores concurrentes. D. Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares. E. Multiplicación de vectores. 1-5.E.1.. Producto Escalar. 1-5.E.2.. Producto Vectorial. 1- 1. VECTOR.Es un ente matemático que se representa por un segmento de recta dirigida, que nos permite representar gráficamente dentro del espacio euclidiano tridimensional, una magnitud vectorial. En fisica, el vector sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Así tenemos: Velocidad, Fuerza, Peso, Gravedad, etc. Notación Vectorial (Fig. 1.1) Se denota por: r r A = OP = A ∠ θ r r Fig. 1.1 Los vectores Ax y Ay son los vectores componentes r r rectangulares de A en las direcciones x , y. ( Az = 0 .) ELEMENTOS DE UN VECTOR.Punto de Aplicación.Es el punto donde se supone actúa la magnitud vectorial. Dirección.Es la orientación que tiene el vector en el sistema de coordenadas tridimensionales. En el plano cartesiano se define mediante el ángulo que forma el vector, respecto del eje x positivo. tan θ = Ay Ax = 12 ⇒ θ = 37 0 16 θ = arctan(Ay Ax ) Por lo tanto: (1-1) Sentido.Es la orientación que lleva el vector y que nos indica hacia donde se dirige. Gráficamente se representa por una cabeza de flecha. r A = OP Magnitud o Modulo.Nos indica el valor de la magnitud vectorial. Desde el punto de vista geométrico es el tamaño del vector. Tenemos: r r r r A = Ax + Ay + Az Pero: r r Ax = Ax iˆ = Ax iˆ r r Ay = Ay ˆj = Ay ˆj r r Az = Az kˆ = Az kˆ r A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ el modulo es : r A= ( Ax )2 + (Ay )2 + ( Az )2 (1-2) r A = A= (16)2 + (12)2 + (0)2 = 20 1- 2. CLASIFICACION DE LOS VECTORES a). Vectores Colineales.Vectores que tienen una misma línea de acción o están contenidos en una misma recta. (Fig.1-2 a) b). Vectores Paralelos.Vectores que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas. L1 // L2 (Fig. 1-2 b). c). Vectores Coplanares.- Se denominan coplanares cuando dos o mas vectores están contenidos en un mismo plano. (Fig. 1-2 c). d). Vectores Concurrentes.Cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicación o sus líneas de acción se interceptan en un mismo punto. (Fig. 1-2 d). FIG. 1-2 Clases de Vectores. (a) Colineales, (b) Paralelas, (c) Coplanares, (d) Concurrentes. 1- 3. VECTORES UNITARIOS Un vector unitario o unidad, es un vector sin dimensiones y de longitud unitaria, que se emplea para especificar una dirección dada. Normalmente se usan los símbolos iˆ, ˆj , kˆ para representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones de los ejes x , y , z , respectivamente. Siempre incluiremos un circunflejo ( ∧ ) en el símbolo de un vector unitario para distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud puede o no ser 1. FIG. 1-3 Vectores unitarios en el espacio tridimensional. r Dado un vector no nulo V = ( x, y, z ) , llamaremos vector unitario a un vector Vˆ que tiene la misma dirección del vector r V , como: r V Vˆ = r V (1-3) ⎛ x y z ⎞ Vˆ = ⎜ r , r , r ⎟ ⎜V V V ⎟ ⎝ ⎠ 1- 4. COMPONENTES DEr UN VECTOR Considere un vector A en el plano xy que forma un ángulo θ con el eje x positivo como se muestra en la figura 1-1. r r r r Ax = A cos θ ⇒ Ax = A cos θ r r r r Ay = Asenθ ⇒ Ay = A senθ pero: r r r A = A x + A y = A x iˆ + A y ˆj = A cos θ .iˆ + Asen θ . ˆj r r Cuando representamos dos vectores A y B en términos r de sus componentes, podemos expresar la resultante vectorial R usando vectores unitarios como sigue: r A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ r B = B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ (1-4) r r r R = A+ B r R = ( Ax + B x )iˆ + (Ay + B y ) ˆj + ( Az + B z )kˆ r R = R x iˆ + R y ˆj + R z kˆ (1-5) EJEMPLO 1- 1 r r Siendo A = ( 2 ; - 3 ) y B = ( 1 ; 3 ), Hallar un vector unitario en la dirección del r r r vector V = 5 A − 3B Solucion : r r r V = 5 A − 3B = 5(2;−3) − 3(1;3) = (10;−15) − (3;9) = (10 − 3;−15 − 9) r V = (7;−24) r V ˆ V = r = V (7;−24) (7 ) 2 + (− 24 ) 2 ⎛ 7 − 24 ⎞ ⇒ Vˆ = ⎜ ; ⎟ ⎝ 25 25 ⎠ EJEMPLO 1- 2 r r Dados los vectores A = 3iˆ − 3 ˆj + 2kˆ ; B = −iˆ + 4 ˆj − 5kˆ . Encontrar:(a) la resultante (b) la direccion de su resultante con respecto al eje x e y. Solucion : (a) r r r R = A+ B r R = (3 − 1)iˆ + (− 3 + 4 ) ˆj + (2 − 5)kˆ r R = 2iˆ + ˆj − 3kˆ (b) Con respecto al eje x, tenemos : R cos α = rx R v R = ⇒ (2)2 + (1)2 + (− 3)2 α = arccos(R x R ) r = 14 = 3,74 α = arccos(2 3,74) = 57 0 40 ' Con respecto al eje y , tenemos : β = arccos(R y R ) r β = arccos(1 3,74) = 74 0 29 ' 1- 5. OPERACIONES CON VECTORES 1- 5.A. ADICION DE DOS VECTORES COLINEALES. 1- 5.A.1. Resultante Máxima ( Rmax ) Los vectores están alineados en un mismo sentido y el ángulo formado entre ellos es cero. r r r Rmax = A + B (1-6) 1- 5.A.2. Resultante Mínima ( Rmin ) Los vectores están orientados en sentidos contrarios y forman un ángulo de 180°. r r r r r Rmin = A + (− B) = A − B (1-7) r A r B r −B r A FIG.1-4 (a) Resultante maxima ( Rmax ) y (b) Resultante minima ( Rmin ) 1- 5.B. ADICION DE DOS VECTORES CONCURRENTES Es una operación vectorial que consiste en encontrar un r único vector llamado vector resultante ( R ), capaz de sustituir a un grupo de vectores de una misma especie. Las condiciones para la suma de vectores se expresan en forma mas conveniente por métodos geométricos. Así tenemos: 1- 5.B.1. Método del Triangulo.Es un método geométrico que consiste en trasladar paralelamente un vector y colocarlo a continuación de otro, r de tal suerte que el vector resultante R forma el otro lado del triangulo. (Fig. 1-5). r r r R = A+ B (1-8) 1- 5.B.2. Método del Paralelogramo.r r Cuando los dos vectores A y B parten de un mismo punto y forman un ángulo determinado entre ellos, se puede calcular su resultante a partir de la ley de cosenos. r r r R = A+ B r r r R = A+ B = ( Ar ) + ( Br ) 2 2 r r + 2 A B cosθ A 2 + B 2 + 2 AB cosθ R= (1-9) Llamada también LEY DE COSENOS. Casos Particulares : I .- Si θ < 90° II .- Si θ > cos 90 ° = 0 90° R= , , A 2 + B 2 + 2 AB cosθ R= A2 + B 2 ; III.- R= Si 90° θ < A + B − 2 AB cos(180 − θ ) 2 < 180° , 2 FIG. 1-5 Método del triangulo. FIG. 1-6 Resultante de la suma de dos vectores concurrentes. 1- 5.B.3. Método del Polígono.Cuando se tiene tres o mas vectores se suman todos ellos colocándose unos a continuación del otro, de tal modo que conserven su dirección y sentido, el vector resultante es el que cierra el polígono. No interesa el orden en que se colocan los vectores, ellos cumplen con la ley de asociatividad y conmutatividad. 15.C. DIFERENCIA DE DOS VECTORES CONCURRENTES La diferencia entre dos vectores se obtiene sumando al primero el negativo del segundo, esto es: r r r r r D = A + (− B) = A − B r r r D = A− B r r r D = A− B = pero : ( Ar ) + ( Br ) 2 2 cos ( π − θ ) = - cos θ r r + 2 A B cos(π − θ ) ⇒ D= A 2 + B 2 − 2 AB cosθ (1-10) FIG. 1-7 Diferencia de dos vectores concurrentes. EJEMPLO 1- 3 Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos r r r dados por: r1 = 2.iˆ + ˆj − 2.kˆ ; r2 = −3.iˆ + 3. ˆj − 5.kˆ ; r3 = 4.iˆ − ˆj + 3.kˆ ; en centímetros. Hallar la magnitud de su desplazamiento y su dirección con respecto al eje +x. Solución: r r r r R = r1 + r2 + r3 r R = (2 − 3 + 4 ).iˆ + (1 + 3 − 1). ˆj + (− 2 − 5 + 3).kˆ = 3.iˆ + 3. ˆj − 4.kˆ r R = (3)2 + (3)2 + (− 4)2 = 5,83 cm. θ = arctan(R x R ) r θ = arctan(3 5,83) = 27 O13' 1- 5.D. DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES.Para definir las componentes de un vector (Fig.1-8), se traza un eje en el sistema de coordenadas rectangulares y sobre estos se proyectan los vectores, descomponiendo cada uno de ellos en sus respectivos ejes, uno paralelo al eje x y uno paralelo al r eje y. En símbolos los vectores componentes del vector A es igual a, r r r A = Ax + Ay = Ax .iˆ + Ay . ˆj (1-11) Las componentes Ax y Ay de un vector r A son solo números, no son vectores. Podemos calcular las r componentes de A si conocemos la magnitud de A y su dirección. De la definición de las funciones trigonometricas, tenemos: cosθ = Ax ⇒ Ax = A. cosθ A sen θ = Ay A ⇒ Ay = A. sen θ (1-12) r r Fig.1-8 Los vectores A r y B son los vectores componentes rectangulares de A en las direcciones x , y Donde el ángulo θ es medido desde el eje +x girando hasta el eje +y. r r Si conocemos las componentes de los vectores A y B , y usando la ecuación (1-12) podemos r calcular la magnitud de la resultante R . r 2 2 R = Rx + R y (1-13) Donde R x es la suma de todos los módulos de los vectores que se encuentran en el eje de las x, conservando su signo y R y es la suma de todos los módulos de los vectores que se encuentran en el eje de las y. La dirección de un vector resultante se obtiene de la definición de la tangente de un ángulo. tanθ = Ry Rx y θ = arctan(R y R x ) (1-14) EJEMPLO 1- 4 Hallar la resultante y direccion para el sistema de vectores mostrados en la figura: Solución: ⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎟ = 0,8 N. Rx = ∑ Fx = F2 . cos 53o − F1. cos 45o = 8.⎜ ⎟ − 4 2 .⎜⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 2⎞ 4 ⎟ + 8.⎛⎜ ⎞⎟ − 6 = 4,4 N. R y = ∑ Fy = F1.sen45o + F2 sen53o − F3 = 4 2 .⎜⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 2 ⎠ r R = Rx .iˆ + Ry . ˆj r R = (Rx )2 + (Ry )2 = (0,8)2 + (4,4)2 r R = 4,47 N. La dirección esta dada como: θ = arctan(Ry Rx ) ⇒ ⎛ 4,4 ⎞ ⎟ = 79 o 41' ⎝ 0,8 ⎠ θ = arctan⎜ 1- 5.E.- MULTIPLICACION DE VECTORES.Se pueden también expresar muchas relaciones físicas en forma concisa usando productos de vectores, que por definición se tiene de dos tipos. Uno de ellos llamado producto escalar que al efectuar da un escalar como producto, en cambio el producto vectorial al operar da lugar a un nuevo vector. 1- 5.E.1.- PRODUCTO ESCALAR r r El producto escalar r r de dos rvectores A y B , representado por r el símbolo A • B (leer A multiplicado escalarmente por B ), es una magnitud escalar, denominada producto punto o producto interno. Matemáticamente se obtiene r multiplicando el modulo del vector A por el modulo del r vector B , por el coseno del ángulo formado entre los dos vectores. r r r r A • B = A B . cosθ (1-15) con la condición de que el producto escalar de los vectores unitarios, sea: iˆ • iˆ = ˆj • ˆj = kˆ • kˆ = (1)(1). cos 0 0 = 1 iˆ • ˆj = iˆ • kˆ = ˆj • kˆ = (1)(1). cos 90 0 = 0 El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo, negativo o cero. 1- 5.E.2.- PRODUCTO VECTORIAL r r El producto vectorial de dos vectores A y B , también llamado producto r rexteriorr o producto cruz, se representa por el símbolo A × B (leer A multiplicado vectorialmente por r Se define r como B ). r el vector perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de la mano derecha, cuya magnitud esta dada por: r r r r A × B = A B .senϕ (1-16) → → AX B → B ϕ → A r r Fig. 1-9 Vectores A y B están perpendicular a este plano. Con la condición de que: en un plano r r y A × B es iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 iˆ × ˆj = − ˆj × iˆ = kˆ ˆj × kˆ = − kˆ × ˆj = iˆ kˆ × iˆ = −iˆ × kˆ = ˆj Observación: r r La magnitud del vector A × B es equivalente al área del r r paralelogramo ( S ), determinado por A y B , r r S = A× B y el área del triangulo es: A∆ = 1 (S ) 2 EJEMPLO 1- 5 Determine el ángulo entre los dos vectores: r B = 4iˆ − 2 ˆj + kˆ . r A = 2iˆ − 3 ˆj + kˆ Solución: r r A • B = (2 )(4 )(iˆ • iˆ ) + (− 3)(− 2 )( ˆj • ˆj ) + (1)(1)(kˆ • kˆ ) = 8 + 6 + 1 = 15 r A= (2)2 + (− 3)2 + (1)2 = 14 r B = (4)2 + (− 2)2 + (1)2 = 21 r r A• B 15 cosθ = r r = = 0,875 AB 14 21 θ = arc. cos(0,875) = 28 0 57 ' ≈ 29 0 EJEMPLO 1- 6 y r r r r Sean A = (3;2;-2) y B = (3;-1;5) ; calcular que A × B yr verificar r r r r A • (A × B ) = 0 y es perpendicular tanto a A como a B ( Si r r r B • ( A × B ) = 0 ; entonces son perpendiculares ). Solución: r A = 3iˆ + 2 ˆj − 2kˆ y r B = 3iˆ − ˆj + 5kˆ kˆ 3 2 3 −2 2 −2 .kˆ . ˆj + .iˆ − −2 = 3 −1 3 5 −1 5 3 −1 5 iˆ r r A× B = 3 ˆj 2 r r A × B = (2 )(5) − (− 1)(− 2 ).iˆ − (3)(5) − (3)(− 2 ). ˆj + (3)(− 1) − (2 )(3).kˆ r r A × B = 8.iˆ − 21. ˆj − 9.kˆ para comprobar si es perpendicular, se tiene: r Perpendicular al vector A : r r r A • ( A × B ) = (3.iˆ + 2. ˆj − 2.kˆ ) • (8.iˆ − 21. ˆj − 9.kˆ ) = (3)(8) + (2 )(− 21) + (− 2 )(− 9 ) = 0 r Perpendicular al vector B : r r r B • ( A × B ) = (3.iˆ − . ˆj + 5.kˆ ) • (8.iˆ − 21. ˆj − 9.kˆ ) = (3)(8) + (− 1)(− 21) + (5)(− 9 ) = 0 r r Por lo tanto podemos decir que A y B son perpendiculares a r r A× B CAPITULO II CINEMÁTICA – CAÍDA LIBRE 2.1 CINEMÁTICA 2.2 MOVIMIENTO MECÁNICO : ELEMENTOS 2.3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. 2.4 VELOCIDAD MEDIA. 2.5 VELOCIDAD INSTANTÁNEA. 2.6 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO. 2.7 ACELERACIÓN. 2.8 FORMULAS ADICIONALES DEL MOVIMIENTO VARIADO. 2.8.1. TIEMPO DE ENCUENTRO O SEPARACIÓN. 2.8.2. TIEMPO DE ALCANCE. 2.9 MOVIMIENTO ADICIONALES. DE CAIDA LIBRE: FORMULAS 2.10 MOVIMIENTO COMPUESTO. 2.11 MOVIMIENTO DE PROYECTILES. 2.11.1. CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO. 2.11.1.1. TIEMPO DE VUELO. 2.11.1.2. ALTURA MÁXIMA. 2.11.1.3. ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO. 2.12 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. 2.1.- CINEMÁTICA.Parte de la mecánica que estudia la descripción del movimiento de las partículas independientemente de las causas que lo producen, de su masa y de la interacción con otros cuerpos. 2.2.- MOVIMIENTO MECANICO.Es el desplazamiento de un cuerpo con respecto a un observador en un determinado tiempo ( ∆t ). ELEMENTOS.a) Móvil.- Partícula de masa m que realiza el movimiento. r b) Vector Posición ( r ).- Es la ubicación del móvil en el espacio tridimensional durante su desplazamiento. r c) Desplazamiento ( d ).- Es una magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo o partícula con respecto al sistema de referencia, elegido como fijo. FIG. 2.1 r r r r1 + d = r2 si A (2;5) B(6;2) r r r r d = r2 − r1 = ∆r ⇒ ⇒ ⇒ (2-1) r r1 = 2iˆ + 5 ˆj r r2 = 6iˆ + 2 ˆj r d = 4iˆ − 3 ˆj r d = (4)2 + (− 3)2 =5 d) Espacio.- Es la longitud total recorrida por el móvil durante su trayectoria. e) Trayectoria.- Son las distintas posiciones que va ocupando un cuerpo que se mueve a medida que transcurre el tiempo. La trayectoria o recorrido de un móvil puede ser rectilíneo, curvilíneo, circular o parabólico; sin embargo si la trayectoria es recta, puede llamarse distancia. 2.3.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.Cuando el móvil se mueve a lo largo de una trayectoria recta, se le denomina movimiento unidimensional o rectilíneo. Los espacios recorridos por el móvil son directamente proporcionales a los intervalos de tiempo empleados manteniendo su velocidad constante durante todo el movimiento. De ello podemos decir que el movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta y la posición del objeto esta definido por su desplazamiento medido desde un punto arbitrario. r 2.4.- VELOCIDAD MEDIA ( v m ) El termino velocidad se usa para representar tanto la magnitud (valor numérico) de la rapidez con que se mueve un objeto, como la dirección en la que se mueve. Por lo tanto, la velocidad es un vector y la rapidez es solo una magnitud. El movimiento de una partícula se define por completo si se conoce su posición en el espacio en cualquier instante. Considérese una partícula que se mueve desde el punto P hasta Q para una posición inicial y final. r Entonces, la velocidad media ( v m ) de la partícula se define como la rapidez de cambio de posición a través del tiempo. r r r ∆x x 2 − x1 r vm = = ∆t t 2 − t1 (2-2) El objeto se mueve hacia la derecha ( ∆x >0). El signo del desplazamiento y/o de la velocidad indica la dirección; la velocidad media será positiva si el objeto se mueve hacia la derecha y cuando se mueve hacia la izquierda es negativa. Por lo tanto, la velocidad media se define en términos de desplazamiento y no como distancia totalmente recorrida, esto es: dis tan cia.recorrida (2-3) tiempo.recorrido Esta definición se puederescribir en forma breve como: d r (2vm = ∆t 4) Donde d represente la distancia, ∆t el tiempo transcurrido y r v m la rapidez media. rapidez.media = EJEMPLO 2-1 ¿Cuánta distancia puede recorrer un motociclista en 5,0 horas si su rapidez media es de 13,6 m/s.? Solución: r v m = 13,6 m/s = 48,96 Km/h t = 5,0 h. d = v m .t = (48,96 Km/h).(5,0 h) = 244,8 Km. 2.5.- VELOCIDAD INSTANTANEA.Este concepto es especialmente importante cuando la velocidad media en diferentes intervalos de tiempo no es constante. Para eso necesitamos definir la velocidad instantánea que es la velocidad en cualquier momento, mas exactamente se define como la velocidad media en un intervalo de tiempo infinitamente corto. Se puede formular de la siguiente forma: r v≡ r lim ∆x dx = .iˆ ∆t → 0 ∆t dt (2-5) lim r ) quiere decir que la relación ( ∆x ∆t ) se debe ∆t → 0 evaluar en el limite cuando ( ∆t ) tiende a cero. Si ( ∆t ) r tiende a cero, ( ∆x ) también tiende a cero, pero la relación r ( ∆x ∆t ) tiende a un determinado valor, que es la velocidad instantánea en algún momento. La notación ( La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero. En adelante se usara la palabra velocidad para designar la velocidad instantánea. EJEMPLO 2-2 Si el movimiento de una partícula esta regida por la siguiente ecuación: x = at 2 + 2bt , donde b =16,0 cm y a =5,0 cm/ s 2 . Sean t1 =2 s y t 2 =4 s Determine la velocidad media y la velocidad instantánea para t =4 s. Solución: 2 x1 = 5(2 ) + 2(16)(2 ) = 84 cm Para t1 =2 s Para t 2 =4 s x 2 = 5(4 ) + 2(16)(4 ) = 208 cm. 2 r ∆x ⎛ x 2 − x1 ⎞ ⎛ 208 − 84 ⎞ ˆ r ⎟⎟.iˆ = ⎜ = ⎜⎜ vm = ⎟.i = (62. cm s ).iˆ ∆t ⎝ t 2 − t1 ⎠ ⎝ 4−2 ⎠ r r dx d v= = at 2 + 2bt .iˆ = (2at + 2b ).iˆ dt dt ( Para t = 4 s ) r v = [2(5)(4 ) + 2(16 )].iˆ = (72 cm s ).iˆ 2.6.- MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO.En este tipo de movimiento, la aceleración permanece constante en valor, dirección y sentido. Esto es, la aceleración no varía durante el tiempo y el movimiento es en linea recta. Donde la velocidad cambia en modulo aumentando o disminuyendo progresivamente, por lo cual los espacios recorridos y los tiempos empleados durante el movimiento serán diferentes. r 2.7.- ACELERACIÓN ( a ).Magnitud física vectorial, que nos indica la variación del modulo de la velocidad en un determinado tiempo. La aceleración media se define como la rapidez de cambio de la velocidad por el tiempo que emplea en hacer ese cambio. r r r ∆v v 2 − v1 r (2-6) = am = ∆t t 2 − t1 Para el movimiento lineal, solo necesitamos usar valores numéricos de a , v1 , v 2 y ∆v con signo más o menos para indicar la dirección con respecto a un sistema de referencia previamente r escogidos. La aceleración instantánea ( a ) se puede definir en analogía a la velocidad instantánea, como: r lim ∆v dv r = a= (2-7) ∆t → 0 ∆t dt r Donde ∆v representa la variación de la velocidad durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño ∆t . De las definiciones anteriores podemos decir que la aceleración es la rapidez con la que cambia la velocidad, mientras que la velocidad es la rapidez con que cambia la posición. EJEMPLO 2-3 La velocidad de una partícula se mueve de acuerdo a la siguiente ecuación: r v = 55 − 6t 2 .iˆ. m s Donde t esta en segundos. Calculese la aceleración media en el intervalo de tiempo t = 0 a t = 2,5 s y la aceleración instantánea en t = 3 s. Solución: 2 v1 = 55 − 6(0 ) = 55 m s Para t1 = 0 s ( ) v 2 = 55 − 6(2,5) = 17,5 m s Para t 2 = 2,5 s 2 r r v − v ⎛ 17,5 − 55 ⎞ r am = 2 1 = ⎜ ⎟.iˆ = −(15 m s ).iˆ t 2 − t1 ⎝ 2,5 − 0 ⎠ ( ) r Si v = 55 − 6t 2 .iˆ r r dv r a= = −12t.iˆ ⇒ a = −12t = −12(3) = −36 m s 2 dt Para simplificar las ecuaciones anteriores podemos decir que cuando el tiempo inicial para cualquier caso sea cero: t1 = 0 , t 2 = t tiempo transcurrido, la posición y la velocidad inicial: x1 = x0 y v1 = v0 , y para el tiempo t la posición y la velocidad serán: x 2 = x y v 2 = v . La velocidad media durante el tiempo t será: vm = x − x0 t ⇒ x = x0 + v m .t Y la aceleración (se supone constante en el tiempo). (2-8) v − v0 (2-9) t v = v0 + a.t (2-10) a= v − v0 (2-11) a Como la velocidad aumenta a una tasa constante (aceleración constante), la velocidad media será en realidad una velocidad promedio v p entre las velocidades inicial y final. t= v0 + v = vm (2-12) 2 Combinando las ecuaciones (2-8), (2-10) y (2-12), cuando la aceleración es constante, se tiene: 1 x = x0 + v0 .t + .a.t 2 (2-13) 2 Si sustituimos las ecuaciones (2-11) y (2-12) en (2-8), y despejando v 2 , tenemos: 2 v 2 = v0 + 2.a.( x − x0 ) (2-14) vp = En general podemos decir que las formulas que gobiernan el movimiento uniformemente variado cuando la aceleración es constante, las resumimos a continuación: v = v0 ± a.t (2-15.a) 1 x = x0 + v0 .t ± .a.t 2 (2-15.b) 2 2 v 2 = v0 ± 2.a.(x − x0 ) (2-15.c) v0 + v (2-15.d) 2 Donde podemos observar que la aceleración es positiva cuando la velocidad del móvil aumenta progresivamente y es negativa la aceleración cuando el móvil va disminuyendo su velocidad en el tiempo. vm = 2.8.- FORMULAS ADICIONALES DEL MOVIMIENTO VARIADO.1).- Tiempo de encuentro o separación ( t e ).- te = dA + dB v A + vB (2-16) 2).- Tiempo de alcance ( t a ).- ta = d , v A + vB v A > vB (2-17) 3).- Distancia recorrida en el n-esimo segundo (aceleración constante) 1 d = v0 ± .a.(2n − 1) 2 (2-18) 4).- Velocidad media-promedio.- vm− p = 2v1 .v 2 v1 + v 2 (2-19) EJEMPLO 2-4 ¿Qué distancia recorrerá una partícula durante el quinto segundo de su movimiento, si parte con una velocidad de 2 m/s y una aceleración de 6 m/s2? Solución: v0 = 2 m/s a = 6 m/s2 n = 5 Remplazando en la formula: 1 d = 2 + (6 )[2(5) − 1] = 29 m. 2 2.9.- MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE.En este tipo de movimiento los cuerpos tienen como trayectoria una línea vertical. El ejemplo mas sencillo de movimiento variado con aceleración aproximadamente constante, lo constituyen los cuerpos que caen a tierra prescindiendo de la resistencia del aire (sin rozamiento). Un cuerpo que cae libremente por accion de su peso, es un caso particular de movimiento uniformemente variado, por lo tanto las formulas deducidas para dicho movimiento son las mismas que para caida libre, haciendo las siguientes especificaciones: a (Aceleración) ⇒ g (Aceleración de la gravedad) x (Distancia) ⇒ y (Altura de caida) La aceleración de un cuerpo en caida libre se denomina aceleración debido a la gravedad y se representa por la letra g cuyo valor varia inversamente con la altura, de modo que a mayor altura g es menor. Así tenemos: En los polos: g = 9,83 m/s2 En el ecuador: g = 9,78 m/s2 En promedio: g = 9,80 m/s () = 32,16 pies/s2 Bajo estas consideraciones se tiene las siguientes formulas: v = v0 ± g .t (2-21.a) 1 y = y 0 + v0 .t ± .g .t 2 (2-21.b) 2 2 2 v = v0 ± 2.g.( y − y 0 ) (2-21.c) 1 d = v0 ± .g .(2n − 1) (2-22) 2 De las formulas anteriores vemos que cuando el cuerpo cae la aceleración de la gravedad es positiva, en cambio cuando sube la aceleración de la gravedad es negativa. FORMULAS ADICIONALES a).- Tiempo de encuentro ( t e ) te = y v A + vB (2-23) b).- Tiempo de alcance ( t a ) ta = d , v A − vB v A > vB (2-24) EJEMPLO 2-5 Un cuerpo se deja caer desde cierta altura y en los últimos 6 s recorre los últimos 9/16 avos de su altura ( g = 10 m/s2). Solución: En el tramo AB t AB = t 7 1 7 h = v A .(t ) + .g .t 2 ⇒ h = g.t 2 (1) 16 2 8 En el tramo AC t AC = t + 6 1 2 2 h = v A .(t + 6) + .g .(t + 6 ) ⇒ 2h = (t + 6 ) ……. (2) 2 Dividiendo (1) en (2) 7h gt 2 t2 7 8 = ⇒ = 2h g (t + 6) 2 16 (t + 6) 2 7 + (t 2 + 12t + 36) = 16t 2 7t 2 + 84t + 252 = 16t 2 9t 2 − 84 − 252 = 0 La solución para t es: t = 11.7s Reemplazando en (2) g (t + 6) 2 2 10 h = (11.7) 2 = 5(17.7) 2 = 1566m 2 h= 2.10.- MOVIMIENTO COMPUESTO Es aquel movimiento en el cual existe simultáneamente 2 o mas tipos de movimientos simples. Ejemplo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo variado, movimiento circular uniforme, etc. Como el desplazamiento del móvil resulta de la superposición vectorial de dos o más movimientos, el intervalo de tiempo empleado para ello es el mismo para ambos movimientos. Galileo galilei, enuncio un principio a la luz de la experimentación, como consecuencia de la independencia de los movimientos, de tal forma que “si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada uno de los movimientos se cumple como si los demás no existieran”. Permaneciendo constante la velocidad en el eje horizontal, y la distancia recorrida d = vt en cambio la velocidad en el eje vertical es variable, partiendo desde el reposo v yo = 0 y su altura h se calcula como h = 1 2 gt . 2 2.11.- MOVIMIENTO DE PROYECTILES Se le llama también movimiento balistico. En la descripción del movimiento compuesto (dos direcciones) se han analizados tan solo el desplazamiento y la velocidad pero con frecuencia los cuerpos tienen aceleración. Por lo tanto vamos a estudiarlo como movimiento acelerado al movimiento de un proyectil. Se denomina proyectil a cualquier objeto que se le comunica una velocidad inicial, siguiendo una trayectoria determinada por la fuerza gravitatoria que actua sobre el y por la resistencia del rozamiento de la atmósfera. El movimiento de un proyectil es el de un objeto que se arroja al aire en un Angulo determinado, que tiene como trayectoria una línea curva denominada parabólica, cumpliéndose que la velocidad en el eje x es constante ( vx = cons tan te ) y la velocidad en el eje y es variable en el tiempo ( v y = var iable ). Por comodidad, supondremos que el movimiento se inicia cuando el tiempo ( t = 0 ) en el origen de un sistema de coordenadas, donde x0 = y0 = 0 ; la aceleración de la gravedad “( g )” es constante en todo el recorrido del móvil y esta dirigida hacia abajo. Además, que consideramos la resistencia del aire como despreciable. CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO Componente de la velocidad inicial: r vxo = (v0 cos ϕ )iˆ = vx (Constante) v yo = (v0 senϕ ) ˆj (Variable) (2-25) (2-26) Las coordenadas del proyectil en cualquier instante “ t ” es: vxo = v0 cos ϕ iˆ (2-27) La rapidez () como función del tiempo para el proyectil es: v y = (v yo − gt ) ˆj = (v0 senϕ − gt ) ˆj (2-28) La trayectoria en cualquier instante se puede obtener como: r x = vxotiˆ = (v0 cos ϕ )tiˆ (2-29) 1 r y = (v yot − gt ) ˆj = 2 1 2⎤ ⎡ ⎢(v0 senϕ )t − 2 gt ⎥ ˆj ⎣ ⎦ (2-30) r La rapidez v como función del tiempo para el proyectil es: r r r v = vxiˆ + v y ˆj r v = (vxiˆ) 2 + (v y ) 2 (2-31) La trayectoria en cualquier instante se puede obtener como: vy ⎛ vy ⎞ (2-32) ⇒ θ = arctan⎜⎜ ⎟⎟ tan θ = vx ⎝ vx ⎠ 1.- Tiempo de vuelo ( tV ) El tiempo que demora en subir ( t S ) el proyectil hasta el punto máximo de altura de la trayectoria es equivalente al tiempo que demora en bajar ( t B ) hasta alcanzar la misma altura del cual partió. El tiempo que demora en subir hasta alcanzar el pico es: De (2-28) vy = vyo − gts vO senϕ g 2v senϕ Como: tV = tS + t B = 2ts ⇒ tV = O g vy = 0 ; 0 = v0 senϕ − gt S ⇒ t S = (2-33) (2-34) 2.-Altura máxima ( H ) De la ecuación (2-21.c) y considerando que la rapidez alcanzada en un punto máximo ( vY = 0 ); tenemos: 2 v Y = v 2YO − 2 g ( y − yO ); y0 = 0 0 = v 2O senϕ − 2 gH ⇒ H = v 2 O sen 2ϕ 2g 3.- Alcance horizontal máximo ( R ) Como el movimiento en el eje horizontal es rectilíneo uniforme ( v X = cons tan te ), el alcance máximo recorrido por el proyectil es: De la ecuación (2-4) d =V.t 2 2v senϕ 2v R = v XOtV = (vO cos ϕ )( o ) = O senϕ cos ϕ g g Por trigonometría se sabe que: 2 senϕ cos ϕ = sen2ϕ Entonces: (2-36) 2 R = v0 sen 2 ϕ g Dividiendo las ecuaciones (2-35) y (2-36) tan ϕ = 4H R (2-37) Si elevamos al cuadrado la Ec. (2-34) y lo dividimos por la Ec. (2-35), se tiene: (2-38) H= g 2 tV 8 EJEMPLO 2-6 Desde la superficie terrestre se lanza un proyectil con una velocidad de 49 m/s, formando un ángulo de elevación con la horizontal de (53). Determine: a) la posición, velocidad y dirección del proyectil para t = 2,5 s. b) El tiempo necesario para alcanzar el punto máximo y la altura en ese punto. c) El alcance horizontal y la velocidad vertical en dicho punto. Solución: a) v XO = vO cos ϕ = (49m / s ) cos 53º = 29,4m / s vYO = vO senϕ = ( 49m / s ) sen53º = 39,2m / s x = v XO t = ( 29,4m / s )( 2,5s ) = 73,5m 1 2 1 gt = (39,2m / s )( 2,5s ) − (9,8m / s 2 ) = 67,4m 2 2 = xiˆ + yˆj = 73,5iˆ + 67,4 ˆj y = vYOt − r r r r r r = (73,5) 2 + (67,4) 2 = 99,7 m v X = v XO = 29,4m / s vY = vYO − gt = (39,4) − (9,8)( 2,5) = 14,7 m / s r v = v X iˆ + vY ˆj b) r ˆj m / s) sen53º 4iˆ +ϕ14,7(49 v = 29 v .sen trS = O = = 4.0s 2 / s2 g ,4) 2 + (149,,78)m = 32,9m / s v = ( 29 2 vO senvϕ (49m⎛/ 14 s) 2,7sen ⎞ 53º = 78,4m θH ==tan −1 ( y ) == tan −1 ⎜ ⎟ 2= 26,5º 2 gv X 2(9⎝ ,29 8m,4/ s⎠ ) 2 tV = 2t S = 2(4,0 s ) = 8,0 s c) R = v X tV = (29,4m / s )(8,0 s ) = 235,2m vY = −vYO = −39,2m / s 2.12.- MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Al inicio del capitulo se encontró que el movimiento de una partícula esta completamente definido si se conoce sus coordenadas como función del tiempo, ahora se ampliara este concepto al movimiento de una partícula en el plano xy, sobre una trayectoria curva plana y en el mejor de los casos al espacio tridimensional. El movimiento de una partícula sobre un plano se puede analizar bajo dos criterios, el primero es que si se conoce la fuerza que actúa sobre la partícula a lo largo de cada punto del espacio, se puede hallar la ecuación que rige a su movimiento y en el otro caso conociendo el movimiento de la partícula se puede conocer la velocidad, la aceleración y la fuerza resultante que actúa sobre el. GENERALIZANDO: r a). Vector posición ( r ) r r = xiˆ + yˆj r b).- Velocidad instantánea ( v ) (2-39) r r ∆ r dr r v = lim = dt ∆t → 0 ∆ t r r r v = v X iˆ + vY ˆj (2-40) r r ∆v dv r r c).- Aceleración instantánea ( a ) a = lim = dt ∆t → 0 ∆t 2r r d r a = 2 41) = a X iˆ + aY ˆj dt d) r r r v = v0 + at v X = v XO + a X t v y = vYO + aY t (2- (2-42) 1r r r r e).- r = rO + vOt + at 2 2 r Con rO = O 1r r r r = vO t + at 2 2 (2-44) (2-43) 1 x = v XOt + a X t 2 2 1 y = vYOt + aY t 2 2 NOTA: En el caso del movimiento de la partícula en el espacio tridimensional, solamente agregamos la coordenada correspondiente al eje z y se analiza el movimiento como si fuera en el plano. CAPITULO III CINEMÁTICA CIRCULAR 3.1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 3.2. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR. 3.2.1. DESPLAZAMIENTO ANGULAR. 3.2.2. LONGITUD DE ARCO. 3.2.3. VELOCIDAD ANGULAR. 3.2.4. VELOCIDAD TANGENCIAL. 3.2.5. PERIODO. 3.2.6. FRECUENCIA. 3.2.7. ACELERACIÓN CENTRÍPETA. 3.2.8. ACELERACIÓN ANGULAR. 3.2.9. ACELERACIÓN TANGENCIAL. 3.2.10. ACELERACIÓN TOTAL. 3.3. FORMULAS GENERALES CIRCULAR VARIADO FORMULAS ADICIONALES. PARA EL MOVIMIENTO 3.1.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.Por definición es el movimiento que una partícula describe al girar alrededor de una curva cerrada (una circunferencia) con respecto a un punto de referencia o eje de giro. 3.2.- ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.- r 1.- Desplazamiento angular ( θ ) Es el vector que señala la dirección en que gira el móvil y que el ángulo central formado es el correspondiente al arco descrito durante su movimiento. Su dirección es normal al plano de giro. Se mide en radianes (Rad.) o revoluciones (Rev.) 1 Rev. = 2 π Rad. = 1 vuelta = 360º 2.- Longitud de arco ( l ) Es el espacio recorrido por el móvil cuando pasa de la posición A a la posición B. l = θr 3.- Velocidad angular ( ϖ ) Magnitud física vectorial que indica la rapidez de giro de una partícula en la unidad de tiempo. Su dirección es perpendicular al plano de rotación. r r θ ω= t 1 RPM = 1 rev/min. r 4.- Velocidad tangencial ( vT ) Es una magnitud vectorial que se define como la longitud de arco recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se llama también velocidad lineal. r r l θ rr r r vt = = = ω rr ⇒ t t r vt = ωr 5.Periodo ( T ) Es el tiempo ( T ) que emplea el móvil para realizar una vuelta completa o revolución. t T= n = número de revoluciones n 6.- Frecuencia ( f ) Es el número de revoluciones que da el móvil en la unidad de tiempo. n 1 f = = f =1hertz=1/s t t r 7.- Aceleración centrípeta ( aC ) Llamada también aceleración radial, central o normal. Es una magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio que experimenta la velocidad en dirección y sentido en un determinado tiempo. Se le representa por un vector que apunta en todo instante 2alr centro de circunferencia. r vt r r aC = = ω2rr r (3-4) r 8.- Aceleración angular ( α ) Magnitud vectorial que mide la rapidez con que la velocidad angular de la partícula, varia en el tiempo. (3-5) αv = r r r ∆ω ω − ω O = ∆t t Unidades: ω : rad / s ; α = rad / s 2 ; t = s r 9.- Aceleración tangencial ( at ) Es aquella aceleración que produce cambios en el modulo de la velocidad tangencial. Es un vector tangente a la r r r r trayectoria. v − vO dv r ∆v at = T = = t dt ∆t r ωr r r ∆v r at = T = r = αrr t t (3-6) r 10.- Aceleración total ( aT ) 2 dv r v r r r r aT = at + aC = θ − t r dt r r aT = ( ar ) + ( ar ) 2 t ω = ω0 ± α t PARA EL MOVIMIENTO (3-9) 1 2 θ = θ 0 + ω0 t ± α t 2 ω 2 = ω0 2 ± 2α (θ − θ 0 ) θ ω0 + ω = (3-8) 2 C 3.3.- FORMULAS GENERALES CIRCULAR VARIADO.Tenemos: t (3-7) 2 (3-10) (3-11) (3-12) Donde la aceleración angular ( α ) es positiva cuando la velocidad angular ( ω ) aumenta en el tiempo y será negativa cuando su velocidad angular va disminuyendo progresivamente. FORMULAS ADICIONALES: 1.- Cuando las partículas giran alrededor de un mismo eje de giro (diferentes radios), sus velocidades angulares serán las mismas. r ω1 = ω2 (3-13) 2.- S i dos ruedas están en contacto o conectados por una cuerda, sus velocidades tangenciales son iguales. r r vt ( A) = vt ( B ) (3-14) EJEMPLO 3-1 Un disco que inicialmente esta en reposo, es acelerado a razón de 12 π Rad./s2. Calcular el número de vueltas que da en el sétimo segundo. Solución: En el n-esimo segundo, tenemos: 1 θ n = v0 ± α (2n − 1) 2 1 (12π rad 2 )[2(7) − 1] s 2 θ n = 78πrad . v0 = 0 ⇒ θ n = θ n = 78πrad . 1vuelta ⇒ θ n = 39vueltas 2πrad EJEMPLO 3-2 La luna gira alrededor de la tierra describiendo aproximadamente una circunferencia de radio () = 384 000 km y tarda 27,3 días en dar una vuelta completa. ¿Cual es la aceleración de la luna hacia la tierra? Solución: r = 384000 Km = 384 x106 m T = 27,3días = 23,4 x105 s 2πr 2(3,1416)(384 x106 m) = = 1030 m s T 23,4 x105 s m 2 v 2 (1030 s ) La aceleración es: aC = = = 2,76 x10 − 3 m 2 6 s 384 x10 r v= CAPÍTULO IV ESTÁTICA 4.1.- DEFINICIÓN DE ESTÁTICA 4.2.- EQUILIBRIO 4.3.- FUERZA 4.4.- INTERACCIÓN FUNDAMENTAL 4.4.1.- INTERACCIÓN GRAVITACIONAL 4.4.2.- INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 4.4.3.- INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE 4.4.4.- INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL 4.5 – FUERZAS FUNDAMENTALES 4.5.1.- FUERZAS DE ATRACCIÓN DE LA GRAVEDAD 4.5.2.- FUERZAS DE COULOMB 4.5.3.- FUERZAS DE GRAVEDAD HOMOGÉNEA 4.5.4.- FUERZAS ELÁSTICA 4.5.5.- FUERZAS DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO - ROZAMIENTO ESTÁTICO - ROZAMIENTO ELÁSTICO 4.5.6.- FUERZA DE RESISTENCIA 4.6.- LEYES DE NEWTON 4.6.1.- PRIMERA LEY DE NEWTON 4.6.2.- SEGUNDA LEY DE NEWTON 4.6.3.- TERCERA LEY DE NEWTON 4-1.- DEFINICIÓN DE ESTÁTICA Parte de la mecánica (estudia a los cuerpos en estado de reposo o de movimiento, considerando las causas que provocan dichos estados), que analiza al sistema de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo material en estado de equilibrio. 4-2.- EQUILIBRIO Un cuerpo se considera en estado de equilibrio (con respecto a un sistema de referencia), cuando permanece en reposo o se desplaza con un movimiento rectilíneo uniforme. r 4-3.- FUERZA ( F ) Es una magnitud física vectorial que surge como consecuencia de la interacción de los cuerpos. Esta magnitud hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento o que se deformen. La fuerza en el sistema S.I. se mide en Newton (N) 1 N = 1 Kg. m 2 = 105 dinas s 1 Kilogramo Fuerza (Kg.F) = 9,8 N 4-4.- INTERACCIÓN FUNDAMENTALES Se conoce hay cuatro interacciones fundamentales. Estas interacciones se distinguen por su naturaleza, su intensidad y también por su alcance, lo que puede llamarse su radio de acción. 4-4.1.- INTERACCIÓN GRAVITACIONAL.- Engloba tanto la atracción entre las estrellas y los planetas, como la fuerza de gravedad que actúa sobre todos los objetos que nos rodea. 4-4.2.- INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.-Es la interacción entre cargas eléctricas inmóviles o en movimiento. Se manifiesta las reacciones químicas, es responsable de la cohesión de átomos y de las moléculas, de los cuerpos macroscópicos general. las en los en 4-4.3.- INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE.-Se ejerce entre los constituyentes del núcleo, los nucleones (protones o neutrones). Es la responsable de la cohesión de los núcleos. Esta interacción es la más intensa, pero de corto alcance (alrededor de 2x10-15m). 4-4.4.- INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL.- Responde de la radiactividad beta ( β ) y de ciertas desintegraciones de partículas elementales. Es de corto alcance (aproximadamente 10-18m.). 4-5.- FUERZA FUNDAMENTALES.Las fuerzas fundamentales son los que se encuentran mayormente en base a los fenómenos mecánicos (que dependen de la gravedad) y los eléctricos. Citando las leyes de estas fuerzas, cuando las masas (cargas) en interacción se encuentran en reposo o se mueven con una velocidad menor a la de la luz (no relativista). 4-5.1.- FUERZA DE LA ATRACCIÓN DE LA GRAVEDAD Actúa entre dos puntos materiales. En concordancia con la ley de gravitación universal, esta fuerza es proporcional al producto de las masas de los puntos m1 y m2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r) que los separa, y esta dirigida a lo largo de la recta que une ambos puntos. F =G m1m2 r2 (4-1) Donde G es la constante de gravitación universal 2 G = 6,673x10-11N. m Kg 2 4-5.2.- FUERZA DE COULOMB Es la fuerza que actúa entre las dos cargas puntuales q1 y q2 F=K q1q2 r2 Donde r es la distancia de separación entre las dos cargas y K es la constante dieléctrica de coulomb, que depende del sistema de unidades elegido. Esta fuerza puede ser tanto de atracción como de repulsión, señalándose que la ley de coulomb deja de cumplirse exactamente si las cargas se mueven 4-5.3.- FUERZA DE GRAVEDAD HOMOGÉNEA r r F = mg (4-3) Donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleración de la fuerza de la gravedad (ec. 2-20) (4-4) g = 9,8 m 2 = 32,16 pie 2 s s r Hay que indicar que el peso W es la fuerza, con la cual el cuerpo actúa sobre un apoyo o una suspensión, fija con relación al cuerpo dado. Por ejemplo, si el cuerpo con el apoyo (suspensión) están inmóviles respecto a la tierra, el peso coincide con la fuerza de la gravedad. En caso contrario el peso esta dado como: r r r W = m( g − a ) (4-5) r Donde a es la aceleración del cuerpo con relación a la tierra. 4-5.4 FUERZA ELÁSTICA Es una fuerza proporcional al desplazamiento del móvil de la posición de equilibrio ry está orientada hacia esta posición. r F = − Kr (4-6) r Donde r es el radio vector, que especifica la posición del móvil con respecto a la posición de equilibrio, K es un coeficiente que depende de las propiedades elásticas del material. Por ejemplo la fuerza de deformación elástica durante el estiramiento (comprensión) de un resorte o de una barra, se le conoce como la ley de Hooke, esta fuerza se determina como: F = K∆L (4-7) Donde ∆L es el valor de la deformación (estiramiento o comprensión) elástica sufrida por el resorte. 4-5.5.- FUERZA DE ROZAMIENTO POR DESPLAZAMIENTO Es la fuerza que surge durante el desplazamiento de un cuerpo con respecto a otro r r f = µN (4-8) Donde µ es el coeficiente de rozamiento que depende de la naturaleza yr del estado de las superficies en contacto (de su rugosidad) y N es la fuerza normal que actúa perpendicular a la superficie en contacto durante su desplazamiento. Es una fuerza que se opone al movimiento de un objeto debido a la interacción con otro cuerpo y siempre estará dirigido en sentido contrario a la dirección de su movimiento. Las fuerzas de rozamiento son muy importantes en la vida cotidiana, por ejemplo, las fuerzas de rozamiento nos permite caminar o correr y son necesarios para el moviendo de los vehículos con ruedas. Las fuerzas de rozamiento pueden ser de dos clases: A) ROZAMIENTO ESTÁTICO: Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos en contacto no deslizan. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente. r r f S = µS N Donde µ S : coeficiente de rozamiento estático B) ROZAMIENTO CINÉTICO: Esta fuerza se presenta cuando las superficies en contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es prácticamente constante. r r f K = µK N Donde µ K : coeficiente de rozamiento cinético. TABLA Nº1 MATERIAL µS µK Acero sobre acero Aluminio sobre acero Cobre sobre acero Caucho sobre concreto Madera sobre madera Vidrio sobre vidrio Madera encerada sobre nieve húmeda Madera encerada sobre nieve seca Metal sobre metal (Lubricado) Hielo sobre hielo Teflón sobre teflón Articulaciones sinoviales en humanos 0,74 0,61 0,53 1,0 0,25-0,5 0,94 0,57 0,47 0,36 0,8 0,2 0,4 0,14 0,1 0,15 0,1 0,04 0,04 0,06 0,03 0,04 0,01 0,003 4-5.6.- FUERZA DE RESISTENCIA Es la fuerza que actúa sobre los fluidos (gas o líquido) durante su movimiento de traslación. Esta fuerza depende de la r velocidad del cuerpo v respecto al medio, estando dirigido en sentido inverso al desplazamiento. r r F = − Kv (4-9) Donde K es un coeficiente positivo, característico para el cuerpo y el medio dado. Este coeficiente depende en general de la r velocidad v , sin embargo a velocidades pequeñas se puede considerar en muchos casos prácticamente constante. 4-6.- LEYES DE NEWTON Isaac Newton estableció sus leyes del movimiento teniendo como base el estudio realizado del movimiento de los planetas y debido a las características de su movimiento de un punto material. Si un cuerpo tiene durante su movimiento diferentes aceleraciones, este no podrá cumplir con las leyes de Newton. Así tenemos: 4-6.1.- 1º LEY DE NEWTON “PRINCIPIO DE INERCIA” Todo cuerpo material permanece en reposo relativo o se mueve con velocidad constante en línea recta (movimiento rectilíneo uniforme), a menos que una fuerza neta que actúa sobre él lo obligue a cambiar de estado. 4-6.2.-2º LEY DE NEWTON “LEY DE LA ACELERACIÓN Y LA FUERZA” Todo cuerpo material sometido a la acción de una fuerza resultante diferente de cero, adquiere necesariamente una aceleración en la misma dirección en la misma dirección y sentido de la fuerza resultante. De ello observamos que la aceleración de un cuerpo directamente proporcional a la resultante de las fuerzas aplicadas a dicho material e inversamente proporcionales a la resultante de las fuerzas aplicadas ha dicho material e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. r r r r r F = F1 + F2 + F3 + F4 r r r r r a = FR / m ⇒ FR = ∑ F = ma (4-10) 4-6.3.- 3º LEY DE NEWTON “LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN” Newton póstula la interacción entre dos cuerpos A y B como: “La fuerza con los que dos puntos materiales actúan uno sobre el otro, son siempre de igual módulo y están dirigidas en direcciones contrarias a lo largo de la recta que une estos puntos”. r r F12 = − F21 (4-11) En esta tercera ley de Newton se supone que ambas fuerzas son de igual módulo en cualquier momento de tiempo, independiente del movimiento del punto. EJEMPLO 4-1 Calcule la resultante y la dirección de las fuerzas que están actuando sobre el bote de la figura. Solucion: F1 X = F1 cos 45º = (60)(0,707) = 42,4 N F1Y = F1sen45º = (60)(0,707) = 42.4 N F2 X = F2 cos 37º = (80)( 4 ) = 64 N 5 F2Y = F2 sen37º = (80)( 3 ) = 48 N 5 RX = F1 X + F2 X = 42,4 + 64,0 = 106,4 N RY = F1Y − F2Y = 42,4 − 48,0 = −5,6 N r R = RX iˆ + RY ˆj r R = (106,4iˆ − 5,6 ˆj ) N r 2 2 R = (106,4 ) + (− 5,6 ) ⇒ R = 106,5 N La dirección es: ⎛R R tan θ = Y ⇒ θ = tan −1 ⎜⎜ Y RX ⎝ RX ⎞ ⎛ − 5,6 ⎞ ⎟⎟ = tan −1 ⎜ ⎟ = −3º ⎝ 106,4 ⎠ ⎠ EJEMPLO 4-2 Hallar el alargamiento del resorte, si su constante de elasticidad es K=20N/cm. las esferas pesan 60N y 120N cada uno y se encuentran en equilibrio. Solucion: sen37º = WA WA ⇒R= sen37º R 60 N ⇒ R = 100 N 3 5 R cos 37 º = F R= R cos 37 º = KX ( ) ⎛4⎞ X ⇒ X = 4cm. (100 N )⎜ ⎟ = 20 N cm ⎝5⎠ 4-7.- PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO (EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN) Un punto material (partícula) o cuerpo rígido se encuentra en equilibrio si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero. También podemos decir que la aceleración lineal del centro de masa debe ser cero cuando se observa desde un sistema de referencia inercial. r ∑F = 0 (4-12) En la expresión vectorial dada por la ecuación (4-12) son equivalentes a tres ecuaciones escalares correspondientes a las componentes x, y, z. En consecuencia: ∑F X =0 ∑F Y =0 ∑F Z =0 (4-13) Existen casos de equilibrio en el que se refiere de un cuerpo rígido sujeto a tres fuerzas, que se encuentran en equilibrio y que las líneas de acción de las tres fuerzas se intersecan en un punto común, son las fuerzas concurrentes. → δ F1 → F2 R Q β O P α → F3 De la figura (4-3) la línea de acción de las tres fuerzas pasan por el punto O. se obsérvese que mientras las fuerzas sean concurrentes, de la condición de equilibrio se tiene que → → → F1+ F 2 + F 3 = 0 4.7.1.- TEOREMA DE LAMY (Ley de Senos) Si tres fuerzas coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio tal como se observa en la figura (4-3). El módulo de cad fuerza es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. F1 F2 F3 = = (4-14) Senα Senβ Senδ Caso particular: Si α = β = δ = 120º , todas las fuerzas son iguales F1 = F2 = F3 4.7.2.- DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL) Es un dibujo aislado de un cuerpo perteneciente a un sistema donde se gratifican las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. 45º → → W T 45º W Y → T 45º → R X → W Y 60º X 30º → → R T 30º 60º → W → R → W → 30º T EJEMPLO 4-3 Hallar las relaciones en los puntos A y B de la esfera que esta en contacto con las paredes. Si se considera a la esfera que pesa 260N. SOLUCIÓN: RA RB W = = Sen120º Sen127 º Sen113º RA W 260( Sen60º ) = ⇒ RA = ⇒ RA = 244,61 Sen(180º −120º ) Sen(180º −113º ) Sen67 º RB RA A B W 53º 60º Y RB RA 113º 30º 37º 120º 127 º X → W RB W 260( Sen53º ) = ⇒ RB = ⇒ RB = 225,58 Sen(180º −127 º ) Sen(180º −113º ) Sen67 º EJEMPLO 4-4 Si cada polea pesa 30N. Determine el peso P para que se mantenga en equilibrio el sistema. SOLUCIÓN: 1) Para la polea A: ∑ Fy = 0 2 T − 100 = 0 ⇒ T1 = 50 N 2) Para la polea B ∑ Fy = 0 2 T2 − T1 = 0 ⇒ T2 = 3) Para la polea C T2 = P ⇒ 50 = 25 N 2 P = 25 N C B P A 100 N → 4.8.- MOMENTO DE LA FUERZA (τ ) también llamado Torca → τ → Consideremos una fuerza F aplicada sobre un cuerpo rígido, en → el punto P tal como se observa en la figura (4-5). Si r es el vector posición de dicho punto relativo a P la torca o momento → asociado a la F respecto de O esta dada por: → → → (4-15) Γ = r xF → F → F senϕ ϕ r o p por definición el momento de una fuerza es una magnitud física vectorial que aplicad sobre un cuerpo rígido trata de hacerlo girar alrededor de un punto o de un eje. Por lo tanto es igual al producto de la fuerza por la distancia trazada desde el centro de → → giro o, perpendicular a la línea de acción de la fuerza Γ = r Fsenϕ Γ = rF (4-16) Si ϕ = 90º ; senϕ = 1 F : Newton (N) r = metros (m) τ = N.m Fig. 4.5 Momento de una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido en el punto O El momento es perpendicular al plano de rotación, si gira en sentido antihorario el momento es positiva, en cambio si gira en sentido horario el momento es negativo. → r → r F P P r → F → r Fig 4-6 Momentos de una fuerza, el torque será positiva (antihorario) como se observa en la figura 4-62, en caso contrario el torque será negativo (horario) como en la figura 46b → Si nos acordamos que: r = xiˆ + yˆj + zkˆ → F = Fxiˆ + Fyˆj + Fzkˆ ˆj ⎡ iˆ ⎢ y = r xF = ⎢ x ⎢ Fx Fy ⎣ → → τ → τ → kˆ ⎤ ⎥ z⎥ Fz ⎥⎦ = ( yFz − ZFy )iˆ − ( xFz − ZFx) ˆj + ( xFy − YFx)kˆ Donde → τ =τ x iˆ + τ y ˆj + τ z kˆ → (4-17) → En particular, si tanto r como F se encuentran en el plano xy, z = 0 y Fz=0, entonces: → τ (4-18) = ( xFy − yFx)kˆ 4-9.- SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO (Equilibrio de rotación) La segunda condición es un enunciado del equilibrio rotacional, es decir, la aceleración angular alrededor de cualquier eje debe ser cero, o lo que es mismo decir, que todo cuerpo rígido que se encuentra sometido a la acción de un sistema de fuerzas, este no gira, si la suma de los torques con respecto a cualquier punto es igual a cero. → ∑τ (4-19) =0 Esta magnitud vectorial, es equivalente a tres ecuaciones escalares, para cada una de las direcciones x, y, z. ∑τ x ∑τ =0 y ∑τ =0 z =0 (4- 20) Cuando las fuerzas no se aplican al mimo punto sino que actúan en un cuerpo rígido, se distinguen dos efectos: traslación y rotación. La traslación del cuerpo se determina por el vector suma de las fuerzas. → → → → → R = F 1 + F 2 + F 3 + .... = ∑ F i i ⇒ → → R = ∑ Fi i (4-21) El efecto de rotación sobre el cuerpo se determina por el vector suma de los torques de las fuerzas, todas evaluados sobre el mismo punto. → τ → → → = τ + τ + τ + .... = 3 1 2 → ∑τi ⇒ i → → τ = ∑τ i (4-22) i General mente R y τ no son perpendiculares, por consiguiente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido no pueden reducirse a una sola fuerza o resultante. → → CAPITULO V DINÁMICA 5.1 MASA 5.2 PESO 5.3 RELACIÓN ENTRE FUERZA Y ACELERACIÓN 5.4 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON 5.5 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 5.6 CAMPO GRAVITACIONAL 5.7 VARIACIONES DE LA GRAVEDAD (g) 5.8 LEYES DE KEPLER 5.9 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL 5.10 FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE DOS CUERPOS DINÁMICA En el capítulo anterior se trato sobre la estática, que es la física de los objetos en equilibrio. Este capítulo se estudia la dinámica que es la física que estudia la relación entre movimiento de un cuerpo y las causas (fuerzas) que producen este movimiento. 5.1.-MASA (m) Es una magnitud escalar de módulo constante. Se define como una medida de la inercia de un cuerpo (masa inercial) o como la relación entre la fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo y la aceleración que adquiere debido a su posición (masa gravitacional). Es aditiva. Su unidad de medida en el sistema internacional es el kilogramo (Kg). En el laboratorio la masa de un objeto se mide frecuentemente con balanzas de dos brazos iguales comparando con pesos patrones de masas de ellos tenemos: a) Masa Inercial.- De la segunda ley de Newton, sabemos que la masa m de un objeto es el factor de proporcionalidad → → existente entre la fuerza resultante F RES = m a . De este modo la masa de un objeto es la propiedad del objeto responsable de su resistencia a cambiar de velocidad. Imaginemos un automóvil y un bus es estado de reposo, si quisiéramos moverlo debido a la fuerza física, esta dependerá de la cantidad de masa y la fuerza aplicada, por lo tanto podemos decir que a mayor masa mayor fuerza de igual manera a menor masa menor fuerza: → m= F → (5.1) a b) Masa Gravitacional.- La masa de un objeto también aparece en la ley de Newton de la gravitación universal. El módulo F de la fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto de masa m debida a otro objeto de masa M es GmM (suponemos que ambos objetos pueden ser F= r2 tratados como partículas). En esta expresión la masa de un objeto es la propiedad del objeto responsable de que sea atraído por otro mediante la fuerza gravitatoria. Podemos suponer que nos encontramos cargando una caja con objetos diversos, la fuerza que se debe ejercer para sostener la caja depende de la masa gravitacional de los objetos contenidos en ella. → w (5.2) g El termino <> caracteriza dos propiedades diferentes del objeto. Por una parte es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su velocidad (masa inercial) y por otra parte mide la atracción gravitatoria que actúa sobre un objeto po otro de su entorno (masa gravitacional). Para los propósitos de esta discusión, vamos a distinguir la masa inercial (m1) de la masa gravitacional (mG). m= → ¿Por qué denominamos <>a estas dos propiedades distintos de la materia, la masa inercial y la masa gravitacional? Porque los experimentos demuestran que son propiedades entre sí. Uno de estos experimentos es la medida de la aceleración de objetos diferentes durante su caída libre. En la caída libre todas las fuerzas que actúan sobre el objeto son despreciables a excepción de la fuerza de gravedad ejercida por la tierra. Consideremos una bala en caída libre cerca de la superficie de la tierra y tomamos la dirección positiva y vertical hacia arriba, m m entonces ∑ Fy = −G G 2 T , donde mG es la masa gravitatoria de la RT bola. De la segunda Ley de Newton. −G ⎛ Gm mG mT = m1∂y ⇒ ∂y = −⎜⎜ 2T 2 RT ⎝ RT ⎞⎛ mG ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎠⎝ mI ⎠ ⎛ Gm ⎞ El factor ⎜⎜ 2T ⎟⎟ es independiente del objeto cuyo movimiento ⎝ RT ⎠ estamos describiendo, pero mG y mI dependen de él. Como sabemos, todos los objetos en caída libre experimentan la misma aceleración: ∂y = − g . Si dejamos caer una piedra en vez de la bala, obtendremos también para la piedra que ∂y = − g . Luego ∂y es independiente del objeto esto significa que el coeficiente ⎛ mG ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ debe ser independiente del objeto. En otras palabras, ⎝ mI ⎠ nuestros experimentos demuestran que para cualquier objeto mg es proporcional a m1. Ya que m1 es proporcional a mG podemos elegir nuestras unidades de forma que ambas sean iguales. Esto se hizo tácitamente cuando se evaluó G a partir del experimento de cavendish, por tanto, m1 = mG. La afirmación de que la masa inercial es igual a la masa gravitacional es una afirmación basada en los experimentos. 5.2.- PESO (W) Es una magnitud física vectorial. El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria resultante con que la tierra atrae cuerpos que lo rodean (hacia abajo), hacia el centro de ella y se determina: → → W = m. g (5.3) El peso de un objeto es proporcional a su masa. Por ejemplo, la masa de un hombre adulto típico es 60 Kg, luego el científico italiano, Galileo Galilei afirmaba que los objetos que caen cerca de la superficie terrestre tienen todos la misma aceleración, g, si se desprecia la resistencia del aire. La fuerza que produce esta aceleración se llama fuerza de la gravedad (W: peso) El peso de un cuerpo varía de acuerdo al lugar en que se encuentra; en cambio la masa permanece constante en cualquier lugar. 5.3.- RELACIÓN ENTRE FUERZA Y ACELERACIÓN Si bien Newton era un experimentador nato a la vez que un gran teórico, buscó siempre comprobar cuidadosamente sus ideas con experimentos de laboratorio y observación astronómica. Supongamos una situación en la cual se esta empujando un carrito de masa “m” sobre una superficie horizontal lisa, sin → rozamiento. Cuando se ejerce una fuerza horizontal F , el carrito → se mueve con una aceleración a en la misma dirección de la fuerza aplicada; sis se aplica el doble de la fuerza anterior, la aceleración se duplica. De igual forma si la fuerza aplicada se → incrementa a 3 F , la aceleración se triplicay así sucesivamente. De estas observaciones, se puede concluir que la aceleración de cualquier objeto es directamente proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre él. → → a α F RES (5.4) La aceleración de un objeto también depende de su masa, para ello imaginemos un bloque que se encuentra sobre la superficie → lisa sin rozamiento, este experimentara una aceleración a . Si la masa del bloque se duplica, la misma fuerza producirá una → aceleración que es la mitad de la anterior ( a ). Si la masa se 2 → 1 a de ser la aceleración ( )y triplica, la aceleración disminuirá a 3 3 así sucesivamente. Por lo tanto se concluye que la aceleración producida por una fuerza determinada es inversamente proporcional a su masa. → 1 a α (5.5) m Juntos los dos resultados anteriores, dan la segunda Ley de Newton: La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa. → → F a = RES (5.6) m En la tabla 5-1 se resumen las unidades de fuerza, masa y aceleración. TABLA 5-1: unidades F,m y a Sistema de Unidades SI Kg. Aceleración (a) m/s2 G cm/s2 Masa (m) C.G.S. Sistema Ingles Slug ft/s2 (Convencional) 1 Newton = N = 105dinas = 0,225 Lb. Fuerza (F) N=Kg. m/s2 Dina =g. cm/s2 Lb = Slug. ft/s2 5-4.- APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON 5.4.1) Método para resolver problemas de mecánica.Un problema de mecánica. La segunda ley de Newton proporciona el principio fundamental para resolver un problema, como es una relación vectorial, puede separarse en sus componentes: → ∑F → X = maX → ∑F → Y = m aY → ∑F → Z = m aZ (5.7) Los procedimientos para resolver un problema se puede dividir en tres partes: a) Hacer un dibujo del sistema e identificar las fuerzas que actúan sobre el objeto (u objetos) a los que se aplicará la segunda ley de Newton. b) Dibujar un diagrama de un cuerpo libre que incluya los ejes de coordenadas. Estos ejes deben estar orientados de forma que los cálculos se simplifiquen. c) Escribir las componentes de la segunda Ley de Newton en función de las cantidades conocidas y desconocidas. Resolver las ecuaciones, sustituir los valores numéricos de las cantidades conocidas y calcular cada una de las incognitas. EJEMPLO 5-1 TENSIÓN DE UNA CUERDA Una caja que pesa 500N cuelga de tres cables como se muestra en la figura 5.1. Dos de los cables forman los ángulos 30º y 40º con la horizontal. Si el sistema esta en equilibrio, calcule la tensión en los cables. Solución: De la gráfica vemos que la tensión en el cable vertical T3 que sostiene a la caja, se ve que T3 = W = 500 N (1) Del diagrama de cuerpo libre se sostiene a las tres cuerdas como en la Fig. 5.1 (b), se descompone las fuerzas en sus componentes X y Y como sigue: Para la fuerza T1 T1X = T1 cos40º T1y = T1 sen40 Para la fuerza T2 T2X = T2 cos30º T2y = T2 sen30 De la primera condición de equilibrio se tiene: ∑ FX = T2 X − T1X = 0 ⇒ T2 cos 30º −T1 cos 40º = 0 ⇒ T1 cos 40º = T2 cos 30º (3) ∑ FY = T1Y − T2Y − T3 = 0 ⇒ T1sen40º −T2 sen30º −500 = 0 ⇒ T1sen40º = 500T2 sen30º (4) De (4) y (3) T1sen40º 500 − T2 sen30º = T1cos 40 T2cos30º 500 − T2 sen30º Tan 40º = T2cos30º 500 − T2 (0,5) 0,839 = ⇒ T2 (0,866)(0,839) = 500 − T2 (0,5) T2 (0,866) 0,726 T2 + 0,5 T2 = 500 ⇒ 0,226 T2 = 500 ⇒ T2 = 2212,4 N (5) Calculando T1, reemplazando en (5) y en (3) T cos 30º (2212,4)(0,866) T1 = 2 = = T1 = 2501,2 N (6) cos 40 (0,766) Por lo tanto: T1 = 2501,2 N ; T2 = 2212,4 N ; T3 = 500 N EJEMPLO 5-2 MÁQUINA DE ATWOOD Si dos masas m1 y m2 (m1 > m2) cuelgan verticalmente sobre una polea sin rozamiento tal como se observa en la figura 5.2 más conocida como máquina de Atwood. a) Determine la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. b) Cuando m1 = 15 Kg y m2 = 6 Kg determine la tensión y la aceleración. Solución: T T a m2 a m1 m2 m1 g m2 g (a)En la figura 5.2ª , se muestran las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. m1 De la segunda ley de Newton, con m1 hacia abajo (m1 > m2) y m2 hacia arriba se tiene: (1) ∑ F = ( ∑ m) a m1 g − T + T − m2 g = (m1 + m2 )a (m1 − m2 ) g = (m1 − m2 )a (m1 − m2 ) g (2) m1 + m2 Aplicando la segunda ley de Newton para la masa m1, se tiene: ∑ F = m1a a= ⎡ (m − m2 ) g ⎤ ⎡ m1 (m1 − m2 ) ⎤ m1 g − T = m1 ⎢ 1 ⎥ ⇒ T = ⎢m1 − ⎥g m1 + m2 ⎦ ⎣ m1 + m2 ⎦ ⎣ ⎡ m 2 + m1m2 − m12 + m1m2 ) ⎤ 2(m1m2 ) T =⎢ 1 g (3) ⎥g ⇒ T = m1 + m2 m1 + m2 ⎣ ⎦ b) Si m1 = 15Kg y m2 =6Kg a =¿? T = ¿? Reemplazando en (2) (15 − 6) Kg 9,8 m 2 (m1 − m2 ) g s ⇒ a = 4,2 m = a= s2 (15 + 6) Kg m1 + m2 2(m1m2 ) 2(15 x6) Kg g ⇒T = T = (9,8 m 2 ) ⇒ T = 84 N s m1 + m2 (15 + 6) a= EJEMPLO 5-3 DOS BLOQUES SOBRE UN PLANO INCLINADO Dos bloques de masa m1 = 8 Kg y m2 = 15 Kg, están conectadas por una cuerda de peso despreciable que pasa por una polea ligera lisa y sin rozamiento como se muestra en la fig. 5.3 la masa m2 esta sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 37º con la horizontal. a) Determine la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. b) Si el bloque m2 con el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento µ = 0,4 . Encontrar la aceleración y la tensión en la cuerda. Solución: m2 m1 a T m2 m2 gsen37 º 37 º x m2 g a T m2 g cos 37 º m1 m1 g (a) Como la cuerda conecta ambos bloques (la cuerda se considera inextensible), estas tienen la misma magnitud. En la figura 5.3b se aplica a la 2da ley de Newton sobre todo el sistema. ∑ F = ( ∑ m) a m2 gsen37º −T + T − m1 g = (m1 + m2 )a m gsen37º − m1 g (m sen37º − m1 ) g ⇒a= 2 a= 2 m1 + m2 m1 + m2 ⎡ 3 ⎤ m ⎢15( 5 ) − 8⎥ Kg 9,8 s 2 ⎣ ⎦ a= ⇒ a = 0,43 m 2 s (8 + 15) Kg De la figura 5.3b, encontramos la tensión: ∑ F = m1a T − m1 g = m1a ⇒ T = m1a + m1 g = m1 (a + g ) T = 8 Kg (0,43 + 9,8) m 2 ⇒ T = 81,8 N s b) Si µ = 0,4 entre el bloque m2 y el plano inclinado. Encontrar la aceleración y la tensión en la cuerda. y a T N m2 m2 gsen37 º F x 37º a T m2 g cos 37 º m2 g 37º m1 m1 g Determinando la fuerza de rozamiento para el bloque m2. f =µ N (1) Pero ∑ FY = N − m2 g cos 37 º = 0 N = m2 g cos 37 º Entonces f = µ m2 g cos 37 º (2) da Usando la 2 ley de Newton: ∑ F = ( ∑ m) a m2 gsen37º + f − T + T − m1 g = (m1 + m2 )a Reemplazando (2) en (3) m2 gsen37º + µ m2 g cos 37º − m1 g = (m1 + m2 )a 4 ⎤ ⎡ 3 15( + 0,4 x ) − 8⎥ Kg 9,8 m 2 ⎢ s [m ( sen37º + µ cos 37º ) − m1 ]g ⇒ a = ⎣ 5 5 ⎦ a= 2 (8 + 15)Kg m1 + m2 a = 2,5 m 2 s De la figura, encontramos la tensión: T − m1 g = m1a ⇒ T = m1a + m1 g = m1 (a + g ) T = 8Kg (2,5 + 9,8) m 2 ⇒ T = 98 N s EJEMPLO 5-4 DOS BLOQUES SUSPENDIDOS POR UNA POLEA FIJA Y MÓVIL En la figura 5.5 el bloque A pesa 40 N y B pesa 50 N. Una cuerda continua inextensible pasa por las poleas fija P1 y móvil P2. Hallar las tensiones T1 y T2 y la aceleraciópn de cada bloque. Cada polea pesa 10 N y el peso de las cuerdas es despreciable. Solución.Las aceleraciones de los bloques son: 1 (1) a A = a ; aB = a 2 Por la propiedad de las poleas: T2 = 2T1 (2) da Aplicando la 2 ley de Newton para el bloque A ∑ FA = mAa A ⎛ 40 ⎞ 40 − T1 = ⎜ ⎟a ⎝ 9,8 ⎠ ⎛ 40 ⎞ T1 = 40 − ⎜ ⎟a ⎝ 9,8 ⎠ (3) P1 T1 aA P2 A T1 A 40 N T2 T1B T1 P2 T2 10 N aB T2 B 50 N Aplicando la 2da ley de Newton para el bloque B ∑ FB = mB aB Como la polea pesa 10 N se debe sumar con la masa del bloque B que pesa 50 N ⎛ 50 10 ⎞⎛ a ⎞ + T2 − 50 − 10 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 9,8 9,8 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎛ 30 ⎞ (4) T2 = 60 + ⎜ ⎟a ⎝ 9,8 ⎠ De (3) y (4) en (2) ⎡ ⎛ 30 ⎞ ⎛ 40 ⎞ ⎤ 60 + ⎜ ⎟a = 2⎢40 − ⎜ ⎟a ⎥ ⎝ 9,8 ⎠ ⎝ 9,8 ⎠ ⎦ ⎣ 60 + 3,06a = 80 − 8,16a 3,06a + 8,16a = 80 − 60 20 11,22a = 20 ⇒ a = ⇒ a = 1,78 m 2 s 11,22 Como a = 1,78 m T1 = 40 − s2 40 (1,78) ⇒ T1 = 32,73N 9,8 a A = a = 1,78 m aB = T2 = 2T1 ⇒ T2 = 2(32,73) = 65,46 N EJEMPLO 5-5 s2 a = 0,89 m 2 s 2 DOS BLOQUES EN CONTACTO → Se aplica una fuerza F de 35N sobre dos bloques en contacto cuyos peso para el bloque 1 es de 18N y el bloque 2 es de 26N, tal como se observa en la figura 5.6. Ambos bloques se deslizan sobre una superficie horizontal y lisa (sin rozamiento) sobre una superficie horizontal y lisa (sin rozamiento). Determinar la aceleración del sistema y la fuerza que actúa sobre los dos bloques. Solución: W2 F W1 N1 F P W1 W1 N2 Q W2 W2 Como ambos bloques están en contacto uno contra otro, la aceloeración que tendrá es la misma usando la segunda ley de Newton. F = ma ⎛ w + w2 ⎞ ⎟⎟a F = ⎜⎜ 1 ⎝ g ⎠ ⎛ 18 + 26 ⎞ Reemplazando: 35 = ⎜ ⎟a ⎝ 9,8 ⎠ 35 ⇒ 7,8 m 2 s 4,49 da Del bloque 2, aplicamos la 2 ley de Newton: ⎛w ⎞ ⎛ 26 ⎞ Q = ⎜⎜ 2 ⎟⎟a = ⎜ ⎟(7,8) ⇒ Q = 20,68 N ⎝ 9,8 ⎠ ⎝ g ⎠ 35 = 4,49a ⇒ a = En el caso del bloque 1, se tiene: ⎛w ⎞ F − P = ⎜⎜ 1 ⎟⎟a ⎝ g⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 18 N ⎟ m 35 N − P = ⎜ ⎟7,8 s 2 ⇒ P = (35 − 14,33) N ⎜ 9,8 m 2 ⎟ s ⎠ ⎝ P = 20,68 N De los resultados vemos que P = Q , condición de la tercera ley de Newton. 5.5.- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL En base a las leyes de movimiento estudiadas por Galileo Galilei y por las leyes del movimiento planetario estudiado por J. Kepler, convenció a I. Newton que cada partícula en el universo ejerce una fuerza gravitacional sobre todas las demás. De acuerdo al leyenda la teoría de la gravedad surgió en la mente de Isaac Newton, cuando vio caer una manzana de un árbol en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra) en 1666, mientras descansaba bajo la sombra de un árbol. Esto lo llevó a imaginar que quizás todos los cuerpos en le universo son atraídos unos a otros de la misma forma que la tierra atrae a la manzana. Newton procedió a analizar los datos astronómicos del movimiento de la luna alrededor de la tierra, observando que ambos fenómenos, aparentemente no relacionados son causados por la misma fuerza gravitatoria atractiva de la tierra. Del análisis de estos datos, enunció la ley que gobierna la fuerza de atracción de la tierra sobre el cualquier cuerpo que cae (fig. 5.7) LUNA MANZANA TIERRA La ley de la gravitación universal, establece que: “Cualquier partícula de materia del universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separa”. Esta ley de la gravitación universal fue publicada en 1687 por I. Newton en su famoso libro: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Si las partículas tienen masa m y M y estan separadas por una distancia r, la magnitud de la fuerza gravitacional entre ellos es expresada matemáticamente como: → mM F = G 2 rˆ (5.8) r Donde: G = constante universal o constante gravitacional 2 G = 6,6726x10-11 N . m (S.I) Kg 2 Z M → F → m F Y X r ESPEJO FUENTE DE LUZ m r M m M En 1798, Henry Cavendish (1731-1810) hizo la primera medida de G con una exactitud bastante razonable. El aparato de Cavendish constaba de dos esferas de una barra ligera horizontal suspendida de una libra muy fina, como en la figura 5.9. Dos esferas grandes de masa M cada una, se colocan cerca de las esferas pequeñas. La fuerza de atracción entre las esferas grandes y pequeñas provocan que la barra gire y se tuerce la libra, en el sentido de las manecillas del reloj, vista desde arriba. El ángulo que gira la barra suspendida se mide por la deflexión de un haz de luz reflejado desde un espejo colocado en la suspensión vertical. La deflexión de la luz es una técnica efectiva para ampliar el movimiento. El experimento se repitió varias veces con diferentes masas y con diferentes separaciones. A partir de las medidas de las fuerzas que actúan sobre las esferas permitió calcular las fuerzas gravitatorias. Cavendish describió su experimento como una medida del peso de la tierra, que como es lógico una vez conocido el valor de G se puede determinar la masa de la tierra y de igual manera la masa de los demás astros. 5.6 CAMPO GRAVITACIONAL.Cuando una partícula de masa n se encuentra en un punto → dosnde el campo es g , la partícula experimenta una fuerza → → F = m g . Como la fuerza gravitacional sobre le objeto esta dirigida hacia el centro de la tierra y tiene una magnitud mg. De aquí, vemos que el campo gravitacional que un objeto experimenta en algún punto tiene una magnitud igual a la aceleración de la gravedad en ese punto. Como la fuerza gravitacional sobre un objeto tiene magnitud GM m 2 donde M es r la masa de la tierra, entonces: → → F g= m (5.9) → mM (5.10) rˆ r2 → M (5.11) Entonces: g = −G 2 rˆ r Donde “Galieo estableció que la aceleración debido a la gravedad es igual para todo cuerpo pequeño” Pero: F = −G r = es la distancia entre la partícula y el centro de la tierra rˆ = vector unitario dirigido hacia la partícula 5.7.- VARIACIONES DE g a) CON LA ALTURA: Newton demostró que la atracción gravitatoria que ejerce la tierra sobre los cuerpos se traduce en un movimiento acelerado cuando antes estos son dejados caer libremente, verticalmente, verificándose que la aceleración de la gravedad ( g ) de la caída será menor cuanto más lejos nos encontramos de la superficie terrestre. Es decir que g disminuye al aumentar la altura. En la superficie de la tierra la fuerza es el peso. → → mM W = m g = G 2 rˆ r → → GM Si r = R (radio terrestre) ⇒ g = 2 rˆ ⇒ g R 2 = GMrˆ R (5.13) Consideremos un cuerpo de masa m a una distancia h sobre la superficie de la tierra, donde r = R + h, la fuerza gravitacional es: → GmM GMm F= rˆ = 2 r ( R + h) 2 La aceleración de la gravedad a dicha altura es g ' g'= GM GM r= rˆ 2 ˆ r ( R + h) 2 (5.14) m h mg ' R Reemplazando (5.13) en (5.14) tenemos: 2 ⎛ R ⎞ → (5.15) g'= ⎜ ⎟ g ⎝R+h⎠ De aquí se observa que g ' disminuye conforme aumenta la altura. Como el peso verdadero del cuerpo es mg ' , se puede ver que cuando r → ∞ el peso verdadero se aproxima a cero. b) CON LA LATITUD: El movimiento de rotación de la tierra sobre su eje produce un cambio en el valor de la aceleración de la gravedad, variando según el punto de la superficie de la tierra. Así tenemos que en el polo es mayor la gravedad que en el ecuador debido a que el radio ecuatorial es mayor que el radio polar. Entonces la gravedad al nivel del mar es: g en el polo: g = 9,83 m 2 s g en el ecuador: g = 9,78 m 2 s g promedio (a 45º de latitud) g = 9,80 m 2 s c) CON LA PROFUNDIDAD: Por debajo de la superficie terrestre g va disminuyendo y en el centro de la tierra los cuerpos no pesaran Los experimentos efectuados por Galileo, Newton y los físicos modernos han determinado aceleraciones iguales en cada tipo de objeto tiene una masa gravitacional M G que responde a la atracción y que es distinta a la amasa inercial M I del objeto, que es lo que determina las respuestas a las fuerzas y si se eligen las mismas unidades M G y M I pueden hacerse numéricamente iguales para cada objeto. La comprobación de este hecho diferencia a la gravedad de las demás fuerzas fundamentales y constituye el punto de partida para Einsten en su teoría la gravedad con la estructura del espacio-tiempo. 5.8.- LEYES DE KEPLER El movimiento de los planetas o cualquier otro cuerpo celeste ha sido observado por el hombre desde tiempos inmemorables. En un principio los primeros científicos veían a la tierra como el centro del universo, este modelo llamado Geocéntrico fue planteado por el astrónomo polaco Nicolás Copernico (1473-1543). Sugirió que la tierra y los demás planetas giraban alrededor del sol, describiendo orbitas circulares (teoría heliocéntrica formulada en 1543). Copernico afirmaba que le modelo geocéntrico no satisfacía a la mente. Proponía un sistema que usaba las siguientes hipótesis: (a) La tierra giraba sobre su eje una ves ala día (b) La tierra alrededor del sol , junto al resto de planetas (c) Las estrellas estaban a una distancia de la tierra mucho mayor que el sol y los planetas. Esta teoría fue continuada por el astrónomo Tycho Brahe (1546-1601) realizando mediciones exactas durante 20 años, proporcionando la base científica para que esta teoría sea aceptada en la actualidad. Lo curioso de estas observaciones es que fueron estudiadas utilizando una brújula y un sextante, pues para su época aún no habían inventado el telescopio. Las mediciones astronómicas efectuadas por Brahe, fueron continuadas por el astrónomo alemán Johannes Kepler (15711630) que se dedico por espacio de 16 años al encontrar un modelo matemático que describa el movimiento de los planetas. Después de muchos cálculos encontró la forma de medir el movimiento de revolución de Marte alrededor del sol, pero que estos se movían describiendo una órbita elíptica, con le sol en uno de los focos. Entonces generalizó este análisis para incluir el movimiento de todos los planetas. Estas leyes conocidas como de Kepler son: PRIMERA LEY DE KEPLER.-Todos los planetas se mueven en orbitas elípticas alrededor del sol, considerándose a dicho cuerpo (sol) ubicado en unos de sus puntos locales. SEGUNDA LEY DE KEPLER.-Consideremos un planeta (o cometa) de masa m moviéndose alrededor del sol en una orbita elíptica. La fuerza gravitacional que actúa sobre dicho cuerpo se encuentra dirigida hacia el sol, esta fuerza que esta dirigido siempre hacía un punto fijo se llama fuerza central. La teoría que actúa sobre el planeta es: → → → → → τ = r x F = 0 ; r // F → (5.16) → dL dt De las ecuaciones (5.16) y (5.17) Además τ = (5.17) → dL = 0 ⇒ L = constante dt (5.18) → Donde L es el momento angular del planeta, es una constante de movimiento, pero: → → → → → → → L = r x p = r xm v = m( r x v ) = constante (5.19) → L → → = r xv m (5.20) PLANETA → SOL → → d r = v dt r dA → → De la figura 5.11, el radio vector r barre un área d A en un tiempo dt . Esta área es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores entonces: → r y → → d r = v dt , → → 1→ 1→ → d A = r x d r = r x r dt (5.21) 2 2 Reemplazando (5.20) en (5.21) → → ⎛→ ⎞ → dA L 1⎜ L ⎟ = = constante d A = ⎜ dt ⎟ ⇒ 2m 2⎜ m ⎟ dt ⎠ ⎝ (5.22) → Donde L y m son constantes del movimiento. Entonces se puede concluir que: “El radio vector dibujado desde el sol hasta cualquier planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempos iguales” Esta segunda ley de Kepler es una consecuencia del hecho que la fuerza de la gravedad es una fuerza central, la que implica la conservación del momento angular. Por lo tanto, se aplica esta ley a cualquier evento que involucre fuerzas centrales, que intervengan o no en el reciproco del cuadrado. TERCERA LEY DE KEPLER: Consideremos un planeta de masa m que gira alredor del sol de masa M, describiendo una orbitacircular, como se observa en la fig. 5.12. Para que le planeta se mantenga en movimiento la fuerza gravitacional sobre el planeta es igual a la fuerza centrípeta, como: Mm mv 2 G 2 = (5.23) r r M G = v2 (5.24) r → v SOL → r PLANETA Pero la velocidad orbital del planeta es v = 2π r / T donde T es su periodo, entonces reemplazamos en (5.24) 2 GM ⎛ 2π r ⎞ GM 4π 2 r 2 =⎜ = ⎟ ⇒ r r T2 ⎝ T ⎠ ⎛ 4π 2 ⎞ 3 4π 2 r 3 ⎟⎟r (5.25) ⇒ T 2 = ⎜⎜ GM ⎝ GM ⎠ Como M: masa de la sol = 1,991x1030 2 4π 2 Si Λ = (5.26) = 2,97 x10−19 s 3 m GM La ecuación 5.25 es la tercera ley de Kepler, que dice: “El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo del semeje mayor de la orbita elíptica” T2 = Esta ecuación es válida para cualquier planeta, porque no depende de su masa para calcular el periodo. Kepler introdujo con estas tres leyes una explicación precisa del comportamiento del sistema solar. Además inició una nueva forma de describir los fenómenos naturales, fomentando la creencia de que la ciencia moderna al formular una teoría esta debe estar estrictamente de acuerdo con los datos experimentales. Posteriormente Newton, al introducir las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, proporciono una teoría general que unificaba las leyes de Kepler y la atracción gravitatoria de la tierra. Una de las comprobaciones a las que Newton sometió sus leyes fue la de demostrar que los planetas describían orbitas elípticas y que estas estaban de acuerdo con la primera ley de Kepler. De la segunda ley de Newton y de la ley de la Gravitación universal aplicadas a un planeta en una orbita circular se demuestra la tercera ley de Kepler. Por lo tanto: las tres leyes de Kepler para el movimiento de los planetas pueden obtenerse a partir de la segunda y tercera ley de Newton junto con la ley de la Gravitación Universal de Newton. 5.9.- ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Por definición la energía potencial gravitacional, es la energía asociada con la posición de una partícula. Cuando la partícula esta cerca de la superficie terrestre la energía potencial asociada es Ep=mgy, en cambio la fuerza gravitacional entre las dos 1 partículas varía como 2 y que la energía potencial solo depende r de la separación de las partículas. Verificamos que la fuerza gravitacional es conservativa y que este depende de la → coordenada polar r , o lo que es mismo F(r) rˆ , donde rˆ es un vector unitario dirigido desde el origen de coordenadas hasta la partícula en consideración. Por lo tanto concluimos que el cambio de la energía potencial gravitacional asociada con le desplazamiento de una partícula, es dado como el trabajo negativo hecho por la fuerza gravitacional al desplazarse. rf ∆U = U f − U O = − ∫ F (r )dr (5.27) rO Como la fuerza esta dada como: → GmM rˆ r2 Donde rˆ : vector unitario dirigido desde la tierra hasta la partícula y el signo negativo indica que la fuerza es de atracción. Entonces: rf ⎛ GmM ⎞ U f − UO = −∫ ⎜ − ⎟dr rO r2 ⎠ ⎝ F =− U f − U O = GmM ∫ rf rO r f dr ⎡ 1⎤ = GmM − ⎢ r⎥ r2 ⎣ ⎦ rO rf ⎡1 1⎤ U f − U O = −GmM ⎢ − ⎥ ⎣⎢ rf rO ⎥⎦ rO (5.28) Si consideramos que la partícula se encuentra muy lejos de la tierra, donde la fuerza es cero, es decir para r0 = 0 para U 0 = 0 , se obtiene: GmM (5.29) r Esta expresión se cumple para r > R, donde R es el radio terrestre. Además vemos que la energía potencial gravitacional U (r ) = − varía como 1 y es negativa debido a que la fuerza es de r atracción. Por lo tanto el trabajo neto produce un aumento en la energía potencial total es la suma de todos los pares de partículas, por ejemplo si el sistema contiene tres partículas, su energía es: ⎛mm mm m m ⎞ (5.30) U total = U12 + U13 + U 23 = −G ⎜⎜ 1 2 + 1 3 + 2 3 ⎟⎟ r13 r23 ⎠ ⎝ r12 Donde el valor absoluto de Total representa el trabajo necesario para separar las partículas a una distancia infinita 5.10.-FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE DOS CUERPOS.La ley de gravitación universal dad por la ecuación 5.8, solo es valido si los cuerpos en estadio se consideran como partículas, por lo tanto se puede calcular la fuerza de interacción entre una partícula y un cuerpo que tenga dimensiones finitas. Entonces la energía potencial asociada a un sistema que consta de una masa puntual m y un cuerpo de masa M, se obtiene tomando la energía U como una integral. dM (5.31) U = −Gm ∫ r Donde r es la distancia la partícula hasta el elemento ∆M , de la masa del cuerpo. Una vez que se ha evaluado la energía U, la fuerza se puede calcular tomando la derivada negativa de esta función escalar, Ahora si el cuerpo posee una simetría esférica, la fuerza esta dada como una dependencia de la posición r, → dU (5.32) F =− rˆ dr → dM o también F = −Gm ∫ 2 rˆ (5.33) r Donde rˆ es un vector unitario dirigido desde el elemento dM hasta la partícula. FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE UNA PARTÍCULA Y UNA MASA ESFÉRICA.Consideremos la fuerza gravitacional que interacciona entre una partícula y una masa de simetría esférica. Esta se va a estudiar como una esfera sólida o un cascarón esférico. a) CASCARÓN ESFÉRICO.Tenemos una cascarón de masa M, donde se considera que la masa de dicho cascarón estuviera concentrado en el centro de la esfera hueca este atrae a una partícula de masa m. Si la partícula esta dentro del cascarón esférico, la fuerza sobre está es cero, en cambio si la partícula esta fuera del cascarón la fuerza es diferente de cero, como: → F = 0 ; para r < R (5.34) → GMm (5.35) F = − 2 rˆ ; para r > R r CAPITULO VI TRABAJO – ENERGÍA - POTENCIA 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.1 TRABAJO MECÁNICO TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE ENERGÍA CINÉTICA ENERGÍA POTENCIAL LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA POTENCIA MECÁNICA TRABAJO MECÁNICO Es una magnitud escolar. Por definición el trabajo W realiza → por una fuerza constante F que actúa sobre un objeto que → se desplaza una distancia d , es: W = F. d .Cos θ W = Fd . d Fd = F Cos θ La unidad SI del trabajo es el Newton por metro (N.m) a lo que asignaremos el nombre de Joule (J). Además 1 J = 107 ergios = 0.102 Kgm 1 Kilogrametro = 1 Kgm = 9.8 J CASOS PARTICULARES a. Si las fuerzas están en la misma dirección y sentido del movimiento, realiza un trabajo positivo. En este caso θ =0 W=F.d b. Si la fuerza es perpendicular al movimiento, no realizan trabajo, pero θ = 90° W=0 c. Las fuerzas que tienen igual dirección, pero sentido opuesto al movimiento, realizan trabajo negativo. En este caso θ = 180 W = (F Cos 180°) d = - F . d 6.2 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE El trabajo realizado durante un desplazamiento → → → infinitesimal d r , esa dado por d w = F d r , el trabajo total W se obtiene integrando a los largo de la trayectoria desde el punto inicial i al punto final f. f → → W = ∫ F .d r i Si la fuerza puede depender de las coordenadas (x,y,z), entonces: f W = ∫ (F x d x + F y d y + F z d z ) i Si consideramos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, s tienen que Fy = -m g f W = ∫ ( − mg )d y = − mg ( y f − y i ) i En otras palabras, el trabajo realizando por la fuerza gravitatoria es indispensable de la trayectoria que une i con f. 6.3 ENERGÍA CINÉTICA (k) De la segunda ley de newton, se ve que a medida que un objeto se mueve de Xi a Xf, su velocidad cambia de Vi a Vf de ello se tiene: a x = ∑ Fx / m Vf 2 − Vi 2 = 2ax( Xf − Xi ) ⇒ a x = Vf 2 − Vi 2 2( Xf − Xi ) Comparando: ∑ Fx = Vf 2 − Vi 2 ⇒ ( Fx)( Xf − Xi) = 1 (m)(Vf 2 − Vi 2 ) ∑ m 2( xf − xi) 2 1 1 W total = (∑ Fx)( Xf − Xi ) = mVf 2 − mVi 2 2 2 Se le conoce como el teorema de la energía cinética. Estos definimos 1/2 mV2, como la energía cinética K que posee un objeto de masa M cuando se desplaza con una → velocidad v . Las unidades para la energía cinética son las mismas que para el trabajo. Además; 1eV( electrón Voltio)= 1,6021x 10-19 1MeV= 106 eV Es una magnitud física escalar que sirve para expresar la medida cuantitativa movimientos de los cuerpos o partículas en virtud a su velocidad, con respecto a un sistema de referencia. 6.4 ENERGÍA POTENCIAL (U) La energía potencial es una función de las coordenadas tal que la diferencia entre sus posiciones iniciales y final es igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final. A→ →A → → → → → W = ∫ F d r = F ∫ d r = F(r b − r a ) B B → Si → →∧ F = m g = −m g j y m → rA → ∇r → dr m → rB x → ∧ ∧ → ∧ ∧ r A = X A i + YA j r B = X B i + YB j ⎡ ∧ ∧ ∧ ⎤ W = (− mgj ) • ⎢( X B i + YB j ) − ( X A i + YA j )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ W = −mg (YB − YA ) W = mgYA − mgYB donde mg = U Es la energía gravitatoria Además potencial → → U = − F• r ∂U → ∂U → ∂U → i− j− k ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U Fx = − Fy = − Fz = − ∂x ∂y ∂z y la ley de energía potencial elástica esta expresada como: Ep= 1 / 2 Kx2 K: Constante de elasticidad del resorte X: desplazamiento del resorte F = − ∇U = − 6.5 LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA En cualquier proceso, la energía total ni aumenta ni disminuye la energía se puede transformar de una forma otra y transferir de un cuerpo a otro, permaneciendo la cantidad total constante. Em = K + U + Ep Pero si ala única fuerza que realice trabajo sobre un cuerpo o sistema de cuerpos, es su peso, entonces la energía mecánica del sistema se conserva en el tiempo. K+U=0 Es decir: 1 1 mgy1 + mV 12 = mgy 2 + mV 2 2 2 2 6.6 TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA Si el trabajo realizado por fuerzas diferentes al peso y la fuerza elástica sobre un cuerpo o sistema, es igual a la variación de la energía mecánica. W = ∆ Em Æ W = (Em)final – (Em)inicial POTENCIA MECÁNICA (P) Es una magnitud física escalar que no expresa la medida de la rapidez con que se ha realizado el trabajo. 6.7 → → → dw dr P= =F ⇒ P =F v dt dt La unidad de la potencia en el sistema S. I. es Watt (vatio) que es igual a 1J/s 1 Watt (vatio) Æ 1 caballo fuerza (H.P.) = 1 Watt = 1J/s 745 Watts 1 caballo vapor (C.V.) = 735 Watts Trabajo realizado = potencia x tiempo. Por lo tanto el trabajo realizado durante 1 hora, si la potencia es de un kilovatio, será 1 kilovatio-hora (kw.h) Ejemplo 6-1 Un cuerpo de 8 kg cae libremente desde la parte superior de un edificio desde una altura de 10 m. Calculara la energía cinética de dicho cuerpo cuando llega al suelo y demostrar que es igual a la energía potencial del mismo antes de caer. Solución: V0 = 0 V2 = V0 + 2 g h Æ V2 = 2 (9,8 m/s2) (10 m) Æ v = 14 m/s K =1/2 m v2 = 1/2 (8kg)(196 m2/s2) = 784 J U = mgh = (8 kg) (9,8 m2/s2) (10m) = 784 J Ejemplo 6-2 Calcular la fuerza que ejerce los gases de la polvera sobre un proyectil de 6 kg que tiene una velocidad de 800 m/s al salir del tubo de un cañón de 5 m de longitud. Solución: m = 6 Kg v = 800 m/s F . L = ½ m v2 Æ F = m v2/2L L = 5m F= (6kg )(800m / s ) 2 = 384 000 N 2(5m ) CAPITULO VII CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES 7.1 7.2 7.3 7.4 CANTIDAD DE MOVIMIENTO. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO. IMPULSO. COLISIONES O CHOQUES. 7.4.1 CHOQUES SEGÚN SU LÍNEA DE ACCIÓN. 7.4.1.1 CHOQUE FRONTAL. 7.4.1.2 CHOQUE OBLICUO. 7.4.1.3 COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN. 7.4.1.4 LEY DE REFLEXIÓN EN COLISIONES. 7.4.2 CHOQUE SEGÚN LA DISIPACIÓN DE ENERGÍA. 7.4.2.1 CHOQUE ELÁSTICO. 7.4.2.2 CHOQUE INELÁSTICO. 7.4.2.3 CHOQUE PERFECTAMENTE INELÁSTICOS. CAPITULO VII 7.1 → Cantidad de movimiento ( p ) Es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con el de la velocidad y se define como la masa de la partícula por su velocidad, como: → → p=mv (7-1) De la segunda ley de Newton; → → → → → → d ( p) d v d (m v ) = = = ⇒ = F F m a m ∑ ∑ dt dt dt (7-2) Las unidades de la cantidad de movimiento o momentum lineal en el sistema S.I. es: N.S 7.2 Conservación de la cantidad de movimiento → Si la fuerza neta F sobre el sistema es cero, entonces → → dp = 0 y la cantidad de movimiento total p , no cambia dt en el tiempo. Por lo tanto: la cantidad de movimiento de la partícula permanece constante tanto en magnitud como en dirección, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero: → → ∑ F = 0 ⇒ m v = Constante (7-3) Así por ejemplo en el choque de dos cuerpos de masas m1 y m2 Cantidad de mov. antes del choque = cantidad de mov. después del choque m1u1 + m2u 2 = m1v1 + m2 v2 (7-4) Generalizando: Para los sistemas de partículas el momentum lineal total esta dado como: → → ∑ p = ∑m v i i i i → =P i (7-5) → ∑m v i i → → → = M vc ⇒ P = M vc i (7-6) → donde M es la masa total del sistema y v c la velocidad del centro de masa → → dP = ∑ F N ; si dt → → ∑F N =0 → P = M v c = constante (7-7) 7.3 → Impulso ( I ) Conocido también como impulsión. Es una magnitud física vectorial, que nos expresa la acción casi instantánea que realiza una fuerza externa sobre un cuerpo. Por definición es el producto de la fuerza resultante por el intervalo de tiempo. De la ecuación (7-2) → → d p = F dt (7-8) Integrando esta ecuación tenemos → tf → → p f − pi = ∫ F dt ti Entonces: → tf → → ∆ p = ∫ F dt = I ti (7-9) El impulso de la fuerza resultante que actúa sobre un objeto esta relacionado con el cambio en la cantidad de movimiento. La unidad S.I. del impulso tiene las mismas dimensiones que la cantidad de movimiento: N.S 7.4 Colisiones o choques Son aquellas interacciones mutuas de corta duración que se producen cada vez que dos cuerpos con movimiento relativo interactúan por contacto, generándose entre ellos fuerzas impulsivas variables y muy intensas, las mismas que originan deformaciones y aceleraciones muy grandes en la velocidad de los cuerpos. Durante el choque las fuerzas internas son muy grandes comparadas con las externas, por lo tanto la cantidad de movimiento total de los cuerpos es la misma antes y después de la colisión. 7.4.1 Choques según su línea de acción 7.4.1.1 Choque Frontal.- Llamada también colisión directa o en una sola dimensión y son aquellas en donde los cuerpos se mueven sobre una misma línea de acción antes y después del choque. La cantidad de movimiento nos da: m1v1 + m2 v2 = m1v'1 + m2 v'2 (7-10) y la conservación de la energía cinética, es: 1 1 1 1 2 2 (7m1v1 + m2 v2 = m1v1 '2 + m2 v2 '2 2 2 2 2 11) Las componentes de las velocidades finales pueden obtenerse si se conocen las masas y las componentes de las velocidades iniciales. 7.4.1.2 Choque oblicuo.- Se le conoce como colisiones oblicuas o en dos dimensiones y se caracteriza por que los cuerpos se mueven en direcciones o rectas distintas antes y después del choque. Aunque sepamos que la colisión es elástica nos proporciona únicamente tres ecuaciones, una para a cada una de las componentes de la cantidad de movimiento y otra para la conservación de la energía cinética. Sin embargo cada velocidad final tras las colisiones tiene dos componentes y por tanto hay cuatro incógnitas. La conservación de la cantidad de movimiento, para la dirección x: m1v1 = m1v'1 cos θ1 + m2 v'2 cos θ 2 (7-12) y para la dirección y: 0 = m1v'1 senθ1 − m2 v '2 senθ 2 (7-13) Si la colisión es elástica, la conservación de la energía nos da: 1 1 1 2 m1v1 = m1v1 '2 + m2 v2 '2 2 2 2 (7-14) 7.4.1.3 Coeficiente de restitución δ Es un numero adimensional que por definición relaciona la velocidad relativa de alejamiento después del choque y la velocidad relativa de acercamiento antes del choque. δ= δ= Velocidad alejamiento Velocidad Acercamiento → → → → v'2 − v'1 v1 − v2 (7-15) ; 0 ≤ δ ≤1 7.4.1.4 Ley de reflexión en colisiones Para un cuerpo de masa “m” que interacciona frontalmente con una superficie se suple: ∧ tan . r = ∧ tan . i − µ (1 + δ ) (7-16) donde δ µ : ∧ r : ∧ i : Coeficiente de rozamiento Angulo de incidencia Angulo de incidencia 7.4.2 Choques según la disipación de energía El valor de δ esta íntimamente relacionado con la pérdida de energía cinética, según este el valor de δ pueden clasificar en: 7.4.2.1 Choque elástico δ = 1 Son aquellos donde los cuerpos luego de la colisión conservan la misma energía cinética, no experimentando ninguna deformación permanente, tampoco liberan energía (calor). K(antes) = K(después) (7-17) 7.4.2.2 Choque inelástico 0 < δ < 1 En estos choques los cuerpos presentan deformaciones luego de su separación liberándose energía en forma de calor, lo que conduce a una disminución de la energía cinética total de los cuerpos. K(antes) > K(después) 7.4.2.3 Choque perfectamente inelástico δ = 0 Se le llama también choque plástico. Se caracterizan por que los cuerpos durante la colisión se liberan en forma de calo deformándose permanentemente los cuerpos, avanzando junto los cuerpos del choque con la misma velocidad. La energía cinética total de los cuerpos es menor después del choque. CAPITULO VIII MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR CINEMÁTICA DE LA ROTACIÓN ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL 8.3.1 MOMENTO DE INERCIA 8.3.2 TEOREMA DEL EJE PARALELO DINÁMICA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR CAPITULO VIII 8.1 Velocidad y aceleración angular El modulo de la velocidad angular es el valor absoluto de la rapidez con que cambia la coordenada angular. dθ ω= dt (8-1) → La velocidad angular ω es un vector, cuya dirección viene dado por el sentido de rotación según la regla de la mano derecha cuando el objeto esta en rotación alrededor del eje z. → ∧ ω = ωz k (8-2) dθ ωz = dt (8-3) la aceleración angular es un vector con dirección a lo largo del eje rotación, es decir: → ∧ α = αz k (8-4) dω d 2θ αz = z = 2 dt dt (8-5) Donde α z es positiva cuando ω z esta aumentando y negativa cuando ω z esta disminuyendo. Las unidades S.I. es ω es rad / s 2 . 8.2 Cinemática de la rotación De la ecuación (8-3), integrando obtenemos: θ (t ) = θ o + ω z .t (8-6) Si a la ecuación (8-5) consideramos que la aceleración angular es constante. Integrando tenemos θ (t ) = θ o + ω z = ωoz + α z .t (8-7) dθ = ω z = ωoz + α z .t dt Integrando: 1 θ (t ) = θ o + ω zo .t + α z .t 2 2 (8-8) Eliminando el tiempo de las ecuaciones (8-7) y (8-8), se tienen: ω 2 Z = ω 2 ZO + 2α Z (θ − θ O ) (8-9) 8.3 Energía Cinética rotacional Cuando un cuerpo gira alrededor de un punto de referencia, existe una energía cinética asociada con su rotación. La energía cinética de todas las partículas que los componen, es: 1 2 K = ∑ mi vi i 2 1 ⎛ 2⎞ ⇒ K = ω 2 ⎜ ∑ mi Ri ⎟ 2 ⎝ i ⎠ si vi = Riω (8-10) 1 K = ω2I 2 (8-11) Donde 2 I = ∑ mi Ri I es el momento de inercia. i (812) 8.3.1 Momento de inercia (I) Por definición el momento de inercia puede interpretarse como la suma de los productos de la masa de cada partícula de un cuerpo rígido por el cuadrado de su distancia al eje de giro. Para obtener un momento de inercia de un objeto continuo, como una polea o una rueda, se debe considerar; la masa ∆mi = ρi ∆Vi , donde ρ i es la densidad de masa. I = ∑ ∆mi Ri = ∑ ρi ∆Vi Ri 2 i 2 i I = lim ∆Vi →0 ∑ ρ ∆V R i i i i 2 = ∫ ρR 2 dV V (8-13) Por lo tanto el momento de inercia de un objeto continuo es: I = ρ ∫ R 2 dV V (8-14) En general podemos decir que el momento de inercia varía de una configuración a otra, debido a la simetría, forma y ubicación de su centro de masa. 8.3.2 Teorema del eje paralelo Este teorema Proporciona una relación entre el momento de inercia respecto a un eje que pasa por un punto arbitrario P y el momento de inercia respecto a otro eje paralelo que pasa por el centrote masa del objeto Icm. I p = I cm + Md 2 (8-15) 2 2 I cm = ∑ mi xi + yi ( ) i (8-16) 8.4 Dinámica rotacional de un cuerpo rígido El momento angular L de una partícula respecto al origen “O” esta definido por el producto vectorial de su vector instantáneo de su posición y su momento lineal p. → → → L = r× p (8-17) La mayoría de las partículas de la masa mi es mi vi ri , respecto del origen O. ⎛ 2⎞ Lz = ⎜ ∑ mi ri ⎟.ω ⎝ i ⎠ Lz = Iω (8-18) 8.5 Conservación del momento angular Habíamos encontrado que el momento lineal total de un sistema de partículas permanece constante cuando la fuerza resultante que actúa sobre el sistema es cero. Por lo tanto el momento angular total de un sistema es constante si el momento de una fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema es cero. → → dL ∑ τ ext = dt = 0 (8-23) → ⇒ L = cons tan te (8-24) CAPITULO IX MOVIMIENTO OSCILATORIO - ONDULATORIO 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 MOVIMIENTO OSCILATORIO. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.). 9.2.1 AMPLITUD. 9.2.2 FRECUENCIA ANGULAR. 9.2.3 PERIODO. 9.2.4 FRECUENCIA. 9.2.5 CONSTANTE DE FASE. 9.2.6 ELONGACIÓN. ECUACIONES DEL M.A.S. PÉNDULO SIMPLE. PÉNDULO FÍSICO. OSCILACIONES AMORTIGUADAS. OSCILACIONES ARMÓNICO FORZADO. CAPITULO IX 9.1 Movimiento Oscilatorio Un movimiento será periódico u oscilatorio, si la fuerza que actúa sobre el cuerpo produce un movimiento hacia uno y otro lado de su posición de equilibrio. Por ejemplo las oscilaciones de una masa sujeta a un resorte, el movimiento de un péndulo, los latidos del corazón de un animal, las vibraciones de los átomos en los sólidos, la ondas electromagnéticas, las ondas de radio, del radar, etc. Dos tipos de movimiento que están estrechamente relacionados con el movimiento oscilatorio son el movimiento circular (o parcialmente circular) y el movimiento ondulatorio. En el caso de un movimiento armónico, un cuerpo oscila entre las posiciones espaciales durante un periodo indefinido, sin pérdida rozamiento). de energía mecánica (no hay 9.2 Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Se dice que una partícula en movimiento a lo largo del eje X tiene un M.A.S. cuando su desplazamiento respecto al equilibrio varía con el tiempo según la relación: (9-1) x = A cos ( wt + ϕ o ) donde A, w y ϕ o son constantes del movimiento. Si X = A cos θ pero de la gráfica θ = wt + ϕ o (9-2) (9-3) ⇒ X = A cos ( wt + ϕ o ) ϕo : constante de fase 9.2.1 Amplitud (A) Desplazamiento máximo de la respecto a la posición de equilibrio. 9.2.2 Frecuencia Angular (w) partícula, 2π = 2π f T (9-4) w= 9.2.3 Periodo (T) Es el tiempo que tarda una partícula en → regresar a la misma posición r con la misma → velocidad v m 2π T = = 2π w k (9-5) k: constante del resorte 9.2.4 Frecuencia (f) De una oscilación, es la cantidad de ciclos completos por unidad de tiempo. 1 w f= = T 2π (9-6) f (hertz) = ciclo/s 9.2.5 Constante de fase ( ϕo ) Da a conocer cual fue el desplazamiento en el instante t = 0. 9.2.6 Elongación (X) En un instante dado, es la distancia a la posición de equilibrio en dicho instante. 9.3 Ecuaciones del M.A.S. Las ecuaciones armónicas se pueden analizar de dos puntos de vista: En el primer caso de acuerdo a la ley que los describe y que obedecen a una ley representada por un función cosenoidal y en otro caso por las causas que la produce, por la acción de un fuerza restitutora, es decir, una fuerza dirigida hacia la posición de equilibrio y que aumenta a medida que el cuerpo se aleja de su posición de equilibrio. Dicho de otra manera, si la primera definición utiliza una descripción de las oscilaciones en las coordenadas espacio-tiempo (cinemática), segunda describe la causa (dinámica). la Para el caso de un resorte, el cual la fuerza ejercida por el resorte estirado o comprimido esta dado por: → → F ( x) = − k x (9-7) de la 2º ley de Newton F = − kx = ma (9-8) dv dv m = mv = − kx dt dx m v dv = − kx dx (9-9) 1 1 1 1 integrando: mv 2 + k x 2 = mvo2 + k xo2 = const (C ) 2 2 2 2 1 1 ∴ mv 2 + k x 2 = C 2 2 (9-10) donde el primer término es la k del cuerpo y el segundo término es su energía potencia elástica Ue , por lo tanto la energía total E, es: E = k +Ue (9-11) entonces: 1 1 E = mv 2 + k x 2 2 2 (9-12) de la fig. (2) vemos que cuando v = 0 ⇒ Xmax = A A = X mzx = 2E k (9-13) además: v = 2E − k x2 m (9-14) Desarrollando la ecuación (9-8) se tiene: X = A cos ( wt + ϕ o ) (9-15) m k T = 2π (9-16) m w= k (9-17) Diferenciando la ecuación (9-15), tenemos: Velocidad: v (t ) = − w A sent ( wt + ϕ o ) (9-18) Aceleración: a(t ) = − w2 A cos( wt + ϕ o ) = − w2 x (9-19) los valores máximos: vmax = w A (9-20) amax = w2 A (9-21) Además: Ángulo de fase ( ϕo ) ⎛ vo ⎞ ⎟⎟ ⎝ w xo ⎠ ϕo = tan −1 ⎜⎜ − (9-22) Amplitud (A) A = xo2 + vo2 w2 (9-23) 1 Energía total (E) E = k A2 2 (9-24) v = ± w A2 − x 2 Velocidad (v) (9-25) 9.4 Péndulo Simple Consiste en una masa puntual, suspendida por una cuerda ligera e inextensible. Cuando se separa hacia un lado de su posición de equilibro y se le suelta el péndulo oscila en un plano vertical por la influencia de la gravedad. El movimiento es periódico y oscilatorio. El desplazamiento a lo largo del arco “ x ” esta dado como: x = Lθ ⇒ θ = x L (9-26) La fuerza restauradora, es tangente al arco: F = − m g Senθ (9-27) para ángulos pequeños Sen θ ≈ θ (9-28) d 2x x F = m 2 = − mgθ = − mg dt L (9-29) d 2x ⎛ g ⎞ + ⎜ ⎟x = 0 dt 2 ⎝ L ⎠ (9-30) Su solución es: x = A cos ( wt + ϕ o ) (9-31) g 2π L = ⇒ T = 2π L T g (9-32) donde T es el periodo del péndulo. w= 9.5 Péndulo Físico Llamada también péndulo compuesto. Consta de un cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por su centro de masa. De la figura (4) sabemos que: τ = − (mg ) (d senθ ) = I α (9-33) d 2θ − m g d sen θ = I 2 dt (9-34) para ángulos pequeños Sen θ ≈ θ d 2θ ⎛ mgd ⎞ +⎜ ⎟θ = 0 dt 2 ⎝ I ⎠ (9-35) su solución a la ecuación diferencia es: θ = θ o cos ( wt + ϕ o ) (9-36) Donde w = mgd 2π = ⇒ T = 2π I T I mgd (9-37) Expresándose el periodo del péndulo compuesto en función del momento de Inercia. 9.6 Oscilaciones Amortiguadas Un movimiento oscilatorio del tipo amortiguado, indica que la amplitud de la partícula decrece gradualmente hasta que se detiene, para ello debemos suponer que aparte de la fuerza elástica – kx, también actúa otra fuerza opuesta a la velocidad debido a la viscosidad del medio en el cual tiene lugar el movimiento, esta fuerza es –bv, donde b es una constante y v es la velocidad. La ecuación del movimiento es: F = − kx − bv (9-38) d 2x dx m 2 = − kx − b dt dt 2 d x dx + 2γ + wo2 x = 0 2 dt dt (9-39) b k Si 2γ = y wo2 = m m (9-40) Su solución es de la forma: x = A e r1t + B e r2t (9-41) r1 = − γ + γ 2 − wo2 (9-42) r2 = − γ − γ 2 − wo2 9.7 (9-43) Oscilador Armónico Forzado Es aquel oscilador cuyas vibraciones es el resultado de la aplicación de una fuerza externa a una partícula sometida a una fuerza elástica. En general el movimiento mecánico se describe al especificar la posición de todos los puntos del medio perturbado como una función del tiempo. Todas las ondas transportan energía, dependiendo la cantidad de energía del mecanismo y del medio por el cual se transporta. Sea F la fuerza aplicada (oscilante) y w la frecuencia angular F = Fo cos ( wt + ϕ ) (9-44) Fuerza elástica: Fe = − kx (9-45) Fuerza de amortiguamiento: F = − bv (9-46) F = − kx − bv + Fo cos ( wt + ϕ ) d 2x dx F + 2γ + wo2 x = o cos ( wt + ϕ ) 2 dt dt m (9-47) La solución general de la ecuación es: x = xh (hom ogénea) + x p ( particular ) (9- 48) xh: la solución a la ecuación diferencial homogénea, se logra igualando la primera parte de la ecuación a cero: x h = A e − γ t cos ( w 1 t + θ ) (9-49) xp: la solución a la parte particular es de la forma: Fo m xp = ⋅ cos ( wt + ϕ s ) 2 2 2 ( wo − w ) + 4 γ 2 w2 (9-50) Entonces: x = A e −γ t cos ( w1t + θ ) + Fo 1 ⋅ ⋅ cos ( wt + ϕ s ) 2 2 2 m ( wo − w ) + 4 γ 2 w2 (9-51) donde vemos que la primera parte es la solución transitoria y se extingue exponencialmente con el tiempo y dependiendo de las condiciones iniciales del problema, en cambio la segunda parte es el estado estacionario que no depende de las condiciones iniciales. CAPITULO X MECÁNICA DE FLUIDOS 10.1 Fluidos. 10.2 Clasificación de la mecánica de fluidos. 10.2.1 Hidromecánica 1. Hidrostática 2. Hidrodinámica 10.2.2 Aero mecánica 1. Aerostática 2. Aerodinámica 10.3 Hidrostática 10.4 Conceptos físicos 10.4.1 Densidad 10.4.2 Densidad relativa 10.4.3 Peso específico 10.4.4 Presión 10.4.4.1 Visión molecular y de la presión 10.4.4.2 Principio de Pascal 10.5 Variación de la Presión en un fluido en reposo 10.6 Presión atmosférica 10.7 Fluidos compresibles 10.8 Principios de Arquímedes 10.9 Presión manométrica 10.9.1 Manómetro 10.10 Hidrodinámica 10.10.1 Líneas de flujo 10.10.2 Flujo de fluidos a. Flujo laminar b. Flujo turbulento 10.10.3 Líneas de corriente 10.11 Ecuación de continuidad 10.12 Ecuación de Bernoulli 10.13 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli 10.13.1 Presión a una profundidad “h” 10.13.2 Teorema de Torricelli 10.13.3 Tubo de Venturi 10.13.4 Otras aplicaciones de la ecuación de Bernoulli a. Flujo de aire en una ala b. Potencia de un generador de viento 10.14 Viscosidad. MECÁNICA DE FLUIDOS La materia se puede clasificar en sólidos y fluidos y esta última en líquidos y gases, un sólido es una sustancia rígida que conserva su forma frente a fuerzas externas y distorsión, mientras que un fluido es una sustancia no rígida que no conserva su forma frente a tales fuerzas. En cambio, un fluido fluye siempre que actúan sobre las fuerzas de distorsión. Otra característica entre los sólidos y los fluidos es que los primeros se resisten a los agentes externos a cambiar su forma, en cambio los fluidos prácticamente no se resisten a dichos agentes. Las fuerzas sobre los fluidos se dividen en internas y externas, las primeras son fuerzas relacionadas con la presión, que es una consecuencia natural del movimiento de los fluidos, en cambio dentro de las fuerzas internas tenemos la viscosidad, que aparece al ponerse en contacto las diferentes capas del fluido. 10.1. Fluido. Es toda sustancia que se deforma continuamente baja la acción de una fuerza tangencial describiendo y formulando las leyes que gobiernan el comportamiento de los líquidos y gases. Un fluido no tiene un volumen definido sino que adopta la forma del recipiente que lo contiene, puede pasar de un recipiente a otro. Tanto los líquidos como los gases tienen diferentes propiedades, no tienen forma propia y estos fluyen al aplicarles una fuerza externa. La diferencia está en las fuerzas de cohesión – repulsión, para el caso de los líquidos hay un equilibrio entre ambas fuerzas, pero en los gases predomina la repulsión sobre la cohesión, por lo tanto: Los líquidos son prácticamente incompresibles, y Los gases pueden ser comprimidos, reduciendo su volumen. 10.2. Clasificación de la mecánica de fluidos. Se divide en: 10.2.1 Hidromecánica. Estudia los líquidos y su comportamiento que presenta debido al recipiente que lo contiene, se divide en: 1. Hidrostática. Estudia a los líquidos en reposo relativo 2. Hidrodinámica. Estudia a los líquidos en movimiento, dependiendo de su viscosidad. 10.2.2 Aeromecánica. Estudia las propiedades mecánica de los gases y se divide en: 1. 2. Aerostática. Estudia los fluidos gaseosos en reposo. Aerodinámica. Estudia los gases en movimiento y sus propiedades dinámicas. 10.3. Hidrostática. Parte de la estática de fluidos que estudia a los líquidos en equilibrio. Analiza el comportamiento y los efectos físicos que origina el agua en estado de reposo. 10.4. Conceptos físicos. 10.4.1 Densidad (ρ). La densidad es una propiedad característica de una sustancia, aún cuando la masa y el volumen son directamente proporcionales, la relación de proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Esto explica porque dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa. Por lo tanto:. La densidad es aquella magnitud escalar, molecularmente homogénea que nos expresa la cantidad de masa (m) que tiene un cuerpo por unidad de volumen (V). m (10.1) ρ= V Su unidad en el SI es el [kg/m3] La densidad es la propiedad característica de cada sustancia y estos varían de acuerdo a ciertas condiciones de medida como la temperatura, la presión, etc. Asi tenemos: La densidad del agua a 4 ºC es: ρ agua = 1 g / cm 3 = 10 3 kg / m 3 La densidad del mercurio a 0 ºC es: ρ Hg = 13,6 g / cm 3 = 13,6 × 10 3 kg / m 3 Podemos decir que el usuario es 13,6 veces mas denso que el agua. Las densidades de algunos sólidos, líquidos y gases como vienen dado en la tabla 10.1 Tabla 10.1. Densidades de algunas sustancias comunes a 1 atm (760 mmHg) Sustancia SÓLIDOS Aluminio Oro Cobre Vidrio Granito Hierro Plomo Plata Acero Agua (hielo) Madera de Arce LIQUIDOS Aire (liquido) Sangre Etanol Glicerina Hidrógeno (liq.) Mercurio Oxigeno (liq.) Cloroformo Agua pura Agua de mar GASES Aire Argón CO2 Helio Hidrógeno Nitrógeno Oxigeno Agua (vapor) Sol (centro) Espacio Interestelar Temperatura (ºC) Densidad g/cm3 kg/m3 20 0 20 20 20 20 20 0 20 0 20 2,7 19,3 8,5 2,6 2,7 7,7 11,3 10,5 7,7 0,917 0,7 2700 1930 8500 2600 2700 7700 11300 10500 7700 917 700 -183 37 20 0 -253 0 -183 20 4 15 1,14 1,05 0,791 1,26 0,07 13,6 1,14 1,483 1,0 1,025 1140 1050 791 1260 70 13600 1140 1483 1000 1025 0 10 20 30 0 0 0 0 0 0 100 0,00129 0,00125 0,00120 1,00116 0,00178 0,00198 0,000178 0,0000899 0,00125 0,00143 0,000596 1,29 1,25 1,20 1,16 1,78 1,98 0,178 0,0899 1,25 1,43 0,596 ∼1,6x105 ∼10-27 Para una sustancia homogénea, con una masa y volumen infinitesimal, se puede obtener su masa en forma diferencial como: (10.2) dm = ρ dV 10.4.2 Densidad Relativa (ρR) La Densidad Relativa ρR de una sustancia, es el cociente entre la densidad de un cuerpo ρ con respecto a otra tomada como referencia normalmente en la densidad del agua, es decir: ρR = ρ ρ agua (10.3) Como es la cantidad adimensional, para sustancias líquidas se toma como referencia el agua y para los gases con frecuencia es el aire, en condiciones normales. 10.4.3 Peso específico. Se denomina así a la magnitud física escalar que nos informa de la fuerza con que la tierra atrae a un volumen unidad, para ello se introduljo el concepto de específico γ el cual se define como el peso (w) de la sustancia por unidad de volumen (V), es decir. w γ = (10.4) V Si se reemplaza w = m.g. w m γ = = ⎛⎜ ⎞⎟ × g = ρ g V ⎝V ⎠ (10.5) Donde la unidad de medida es el S.I. es (N/m3) 10.4.4 Presión (P) El concepto de presión tiene especial utilidad en los fluidos. De tal forma que al aplicar una fuerza sobre un cuerpo, los efectos que provoca no solo dependen de su intensidad, sino también de cómo está distribuida sobre dicho cuerpo. La presión de un fluido viene a ser una magnitud física vectorial que nos indica como la intensidad de la fuerza aplicada sobre un fluido se distribuye perpendicularmente sobre una superficie dada. P= F A (10.6) La unidad de presión en el SI. Es el Pascal, se representa por [Pa]. 1 Pa ≡ 1 N / m 2 Otras unidades que se usan a veces son las dinas/cm2; LbF/pulg2 y kgF/cm2, esto es: 1 kgF 9,8 N = = 9,8 × 10 4 N / m 2 2 2 cm cm Existen otras unidades de presión que aún se siguen usando en la actualidad junto con el Pascal, entre ellas se encuentra la atmósfera y el bar. 1 atm(atmosfera) = 1,013250 × 10 5 Pa = 760 mmHg 1 bar = 10 5 Pa = 1,02 KgF / cm 2 Es un hecho experimental que un fluido ejerce una presión en todas direcciones. Esto lo saben muy bien los nadadores y buceadores que sienten la presión del agua en todas las partes de su organismo. En determinado punto en un fluido en reposo, la presión es isotrópica, es la misma en todas las direcciones, si no fuera así, el fluido estaría en movimiento. Se sabe también que cuanto mayor es la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión; de igual manera si el área es menor para una fuerza dad, mayor será la presión obtenida. Si hubiera una fuerza que no es normal a la superficie sobre la cual actúa, entonces se considera la componente perpendicular a la sección transversal y la presión es: F cos ϕ (10.7) P= A La componente F sen ϕ es una fuerza paralela a la superficie, tiende a producir una translación o movimiento entre las distintas cepas del fluido. Como la presión varía en un fluido en equilibrio, de densidad uniforme con la profundidad; para un líquido a una profundidad h, esta se debe al peso de la columna del liquido sobre el punto. Así, la fuerza que actúa sobre el área es F = mg = ρAhg, donde Ah es el volumen de la columna, ρ la densidad del líquido, que se supone constante y g la aceleración de la gravedad. Entonces la presión P es: F ρAhg (10.8) P= = A A P = ρgh (10.9) De donde vemos que la presión depende únicamente de la densidad del líquido y de la profundidad dentro del líquido. Si la densidad es constante y no varía con la profundidad, el fluido es compresible. Por lo tanto, todos los puntos del fluido que se encuentran a la misma profundidad tienen igual presión, no importando la forma del recipiente ni la cantidad de líquido que contiene. 10.4.4.1. Visión molecular de la presión. Las moléculas que componen un fluido siempre se encuentran en movimiento y lo hacen por interacción entre ellos y con las paredes del recipiente que lo contiene, la presión es el resultado de la transferencia de la cantidad de movimientos de esos choques. Observándose con bastante simplicidad en un modelo de gas ideal, que se basa en las siguientes hipótesis. 1. En cualquier volumen pequeño hay una cantidad muy grande de moléculas. 2. Las moléculas se encuentran en movimientos continuos y aleatorios. 3. Se pueden despreciar las fuerzas entre las moléculas, excepto durante un choque. 4. Todos los choques son elásticos Consideremos este modelo para calcular la presión de un gas encerrado dentro de las paredes de una pequeña caja cúbica de lado “a” que contiene N moléculas de gas, de masa m para cada molécula. Por conveniencia despreciamos las colisiones entre las moléculas. Una molécula que se mueve con velocidad vx choca elásticamente con una pared y le transmite una cantidad de movimiento de magnitud 2mvx. Al dejarla libre repetirá el choque después de un tiempo ∆t = 2a/vx, entonces la cantidad de movimiento es: r 2 dp mv x 2mv x = = (10.10) F= dt 2a / v x a de la segunda ley de Newton para todas las moléculas. r 2 2 dp mv x N .m < v x > F =∑ =∑ = ;donde dt a a N N La presión es proporcional a la densidad del gas y a la rapidez promedio de las moléculas elevada al cuadrado. Los líquidos se comportan de manera distinta, debido a que la separación entre las moléculas es comparable a su tamaño y que sus moléculas interaccionan fuertemente. Para tener una idea el comportamiento de las moléculas en un líquido nos podemos imaginar como que están unidos por resortes de longitud “d”, oscilando cada molécula hacia arriba y abajo, los modelos de gas ideal y de líquido incompresible ilustran las propiedades de los fluidos. 10.4.4.2. PRINCIPIO DE PASCAL Debido al hecho de que la presión en un fluido solo depende de la profundidad y que la presión en la superficie se transmite a cualquier punto en un fluido. Esto fue observado por el científico Francés Blaise Pascal (1623-1662) y dice: “Un cambio en la presión aplicada a un fluido incompresible y encerrado se transmite íntegramente a cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente que las contienen”. Una de las aplicaciones mas importantes de este principio es la prensa hidráulica, representada en la Fig.(10.3). Se aplica una fuerza F1, a un pequeño pistón de área A1, la presión se transmite a través del fluido hasta un pistón mas grande de área A2. Debido a que la presión es la misma en ambos lados de la prensa se tiene: F F F1 A (10.15) P= = 2 = 1 A A2 F2 A2 Su aplicación directa es en los frenos hidráulicos con cualquier maquina electromotriz; rampa para subir autos, gatos y herramientas hidráulicas, entre otros equipos que hacen uso de este principio. Por lo tanto, este principio es una consecuencia necesaria de las leyes de la mecánica de fluidos, mas bien que un principio independiente; el principio d Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la presión hidrostática y del carácter incomprensible de los líquidos. 10.5. Variación de la presión en un fluido de reposo Si un fluido esta en reposo, todas las partes del fluido esta en equilibrio. Consideremos un pequeño elemento de fluido sumergido dentro de la masa del fluido, y que por comodidad matemática escogemos un elemento rectangular y que el eje Z es vertical La fuerza sobre las caras verticales del elemento rectangular es: r dF1 = P ( z )dxdykˆ r dF2 = − P ( z + dz )dxdykˆ (10.16) su peso es: (10.17) r r dw = dmg = ρdVg = − ρgdxdydzkˆ En equilibrio, las fuerzas a lo largo de los ejes verticales se compensan: ∑ Fz = P( z )dxdy − P( z + dz )dxdy − ρgdxdydz = 0 P ( z ) − P ( z + dz ) − ρg = 0 dz P ( z + dz ) − P( z ) = − ρg ............(10.18) dz Lim P ( z + dz ) − P( z ) = dP (10.19) dz → 0 dz dz Para obtener la ecuación del equilibrio hidrostático dP (10.20) = − ρg dz Como la derivada de la presión con respecto a la altura es una constante y podemos integrarla directamente la ecuación (10.20) como sigue: P2 dP Z2 ∫P1 dz dz = ∫Z1 − ρgdz P2 − P1 = − ρg ( Z 2 − Z 1 ) Principio fundamental de la Hidrostática. Por lo general se conoce el valor de la presión en determinado lugar Z1 en el fluido y la coordenada Z2 puede ser cualquier punto en el fluido, entonces: P − P1 = − ρg ( Z − Z 1 ) (10.22) P = P1 + ρg ( Z 1 − Z ) Si la parte superior del liquido se encuentra en el límite de la atmósfera y el fluido se iguala P1 = P0 (Presión atmosférica) y la diferencia de las distancias de ambas presiones es representada como la altura: h = Z1 − Z P = P0 + ρgh (10.23) La presión absoluta P a una profundidad h por debajo de la superficie de un líquido abierto a la atmosfera es mayor que la presión atmosférica en una cantidad igual a ρgh. Esto equivale a decir que la presión es la misma para todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad. Ejemplo 10.1 ¿Cuál es la masa aproximada de aire que se encuentra contenida dentro de un recinto de 4m x 3m x 3,5 m? (ρaire=1,29 kg/m3). Solución m ⇒ ρ aire .V V m = (1,29 kg / m 3 )(4m × 3m × 3,5 ) = 54,18 kg ρ= Ejemplo 10.2 ¿Cuál es la presión absoluta y la fuerza total sobre el fondo de una piscina de natación de 8m x 50m, cuya profundidad uniforme es de 2m? (P0=1,013x105 Pa). Solución a. P = P0 + ρgh P = 1.013 x10 5 Pa + (1,0 x10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s s )(2m) = 1,209 x10 5 Pa b. F = P× A F = (1,209 × 10 5 Pa )(8m × 50m ) = 4,84 × 10 7 N Ejemplo 10.3 Una presa de 235 m de ancho está llena de agua hasta una altura de 120 m, tal como se observa en la figura. Encontrar la fuerza total que soporta la presa. Solución La presión a una profundidad h debajo del nivel del agua P = ρgh = ρg (120 − Z ) (*) es: Cómo: dF = PdA = P (235dz ) (**) Reemplazando, (*) en (**). dF = ρg (120 − Z )(235dz ) dF = (1,0 × 10 3 kg / m 3 )(9,8m / s 2 )(120 − Z )(235dz ) dF = 2,3 × 10 6 (120 − Z )dz N 120 120 Z2 ⎤ 6⎡ 6 2 , 3 10 120 2 , 3 10 120 dF Z dz Z = × − = × − ( ) ∫ ∫0 ⎢ 2 ⎥⎦ 0 ⎣ F = 1,65 × 1010 N 10.6. Presión Atmosférica La presión de la atmósfera terrestre, en cualquier fluido, disminuye la profundidad o aumenta la altura. Pero la atmósfera terrestre es algo mas complicado, porque no sólo varía mucho la densidad del aire con la altitud, sino que además no hay una superficie superior definida de la atmósfera a partir del cual se puede medir la altura h, la presión del aire en un determinado lugar varía ligeramente de acuerdo con el clima. En 1643, el evangelista Torricelli (1608 - 1647), ideó un método para medir la presión atmosférica al inventar el barómetro de Hg que consta de un tubo largo de vidrio que se ha llenado de Hg (ver fig. 10.5) y después se ha invertido en un recipiente de Hg. En el punto 2, el espacio vacío que se ha observado en el tubo de vidrio contiene vapor de Hg cuya presión es tan pequeña que puede aproximarse a cero (P2 = 0); en cambio la presión en el punto 1 es equivalente a la presión atmosférica, P1 = P0 = 1 atmósfera, que equivale a la presión que ejerce toda la columna de aire encima de dicho nivel. En el experimento se considera que tiene una temperatura T= 0ºC, al nivel del mar y la diferencia de alturas entre los puntos 1 y 2 es de 760 mm. De la ecuación de presión absoluta entre los puntos 1 y 2, encontramos: P1 = P2 + ρ Hg g∆Z ⇒ P0 = 0 + ρ Hg g∆Z (10.24) P = ρ Hg g∆Z (10.25) Reemplazamos los valores numéricos, tenemos: P0 = (13,6 × 10 3 kg / m 3 )(9,8m / s 2 )(0,76m ) = 1,013 × 10 5 Pa Las equivalencias con otras unidades, es: 1 atm = 1,013 × 10 5 Pa = 10,33 m H 2 O = 14,7 Lb / pu lg 2 Entonces, como la tierra está rodeada por una capa de aire que por tener peso presiona a todos los objetos sumergidos en este gran océano que es la atmósfera. Esta distribución de fuerzas toma el nombre de presión atmosférica. Ejemplo 10.4 Para el sistema mostrado, encontrar la presión hidrostática en los puntos A y B del sistema mostrado en la figura. Solución Presión en el punto A. PA = ρ H 2O gh A PA = (1,0 × 10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )(0,2 m ) PA = (1,96 × 10 3 Pa ) = 1,96 kPa Presión en el punto B. PB = PA + ρ Hg ghB PB = (1,96 × 10 3 Pa ) + (13,6 × 10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )(0,5 m ) PB = (68,6 × 10 3 Pa ) = 68,6 kPa Ejemplo 10.5. Sabiendo que la prensa hidráulica está en equilibrio donde F1=60N, γ1=4cm y D2=20cm ¿Cuál es el peso del bloque w? Solución Del principio de Pascal: P1=P2 F1 F2 = A1 A2 F1 60 N W W = = 2 2 2 πγ 1 D (4 cm) (20 cm) 2 π 2 4 4 60 × 100 N W = = 375 N 16 10.7. Fluidos compresibles. Hasta ahora hemos considerado a la presión atmosférica como una cantidad conocida, pero el comportamiento mismo de la atmosfera es un problema hidrostático con un fluido compresible. El modelo de gas ideal se aplica bastante bien al aire: la presión atmosférica es proporcional a la densidad y al cuadrado promedio de la rapidez de las moléculas. La temperatura del aire, que suponemos constante, determina ese cuadrado promedio. Entonces, la densidad y la presión son directamente proporcionales. ρ P = P0 ρ 0 ρ= ⇒ P ρ 0 .........(10.26) P0 Donde P0 y ρ0 son la presión y la densidad del aire en la superficie de la tierra, que definiremos que está en Z=0. Entonces la ecuación (10.20) pueden escribirse como: dP P = − ρg = ρ 0 g dz P0 1 dP 1 ⎛ dP ⎞ dP dP P pero: = ⇒ = . . ⎜ ⎟ dZ P dZ P dZ dZ ⎝ P ⎠ ρ g 1 ⎛ dP ⎞ 1 [d (ln P )] = − 0 ⎜ ⎟= dZ ⎝ P ⎠ dZ P0 Como la presión depende de la posición (altura), tenemos: Z d Z ρ g 0 ∫0 dZ [ln P(Z )]dZ = −∫0 P0 dZ ρ g ln P( Z ) − LnP (0) = − o ( Z − 0 ) Po Si P(0)=P0 (Presión atmosférica) ln P( z ) − ln P0 = − ρ0 P0 gz P ( z ) = P0 e − ( ρ 0 g / P0 ) z ⇒ ρ ⎛ P( z ) ⎞ ln⎜ ⎟ = − 0 gz P0 ⎝ P0 ⎠ (10.27) La presión disminuye exponencialmente con la altura. Ejemplo 10.6. Encontrar la presión atmosférica en la ciudad de Tacna – Perú, en el paseo cívico, si sabemos que se encuentra a 562 m. Sobre el nivel del mar. ρ 0 = ρ aire (0º C ) = 1,3 kg / m 3 P0 = 1 atm = 1,013 × 10 5 Pa g = 9,72 m / s 2 Solución Reemplazando valores en la ecuación (10.27) P ( z ) = P0 e − ( ρ 0 g / P0 ) z −( 1, 3 kg / m 3 ×9 , 72 m / s 2 1, 013×10 P( z ) = (1,013 × 10 Pa )e P( z ) = 0,944 × 10 5 Pa 5 Por lo tanto: 10.8. 5 )( 562 m ) Pa P(Tacna ) = 93% P0 Principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes se puede enunciar como sigue: “Todo cuerpo sumergido en forma parcial o total en un líquido en reposo relativo, es empujado hacia arriba por una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por r el cuerpo, denominado fuerza de empuje ( E )”. r r E =W r E = mg = ρ f .Vg Donde: ρf : (10.28) (10.29) Densidad del fluido V: Volumen desplazado por el cuerpo sumergido g: Aceleración de la gravedad. El principio de Arquímedes incluye también casos en los que el objeto flota. En estos casos solo parte del objeto está en el fluido y así el volumen del fluido desplazado es igual al volumen del objeto que queda por debajo de la superficie del fluido. En equilibrio la fuerza de empuje es igual al paso del cuerpo. ρ f gVs = ρ c gVc ρ Vs = c Vc ρ f Donde: Vs : Vc : ρc : ρf : (10.30) Volumen sumergido del cuerpo Volumen total del cuerpo Densidad del cuerpo Densidad del fluido Cuando se mezclan dos fluidos inmiscibles con densidades diferentes, el fluido de menor densidad flota 10.9. sobre el de densidad mayor. Por ejemplo el agua, flota sobre el mercurio, por tener menor densidad que el mercurio. Si los dos fluidos son miscibles, el menos denso flotará sobre la superficie del mas denso, si se tiene cuidado de no mezclarlos. En verano, como el agua de la superficie es calentado por el sol, se hace menos denso que el agua fría situada por debajo, por lo tanto flota el agua caliente sobre la fría y evita mezclarse con el agua de los niveles mas bajos. En invierno se hiela el agua de la superficie, donde se observa que el agua en estado sólido (hielo) tiene menor densidad que en estado liquido. Por lo tanto, el hielo flota en la superficie y el agua que queda por debajo del hielo está a una temperatura un poco por encima del punto de congelación. En cambio en el aire de la atmósfera terrestre, ocurre lo contrario, durante el día el sol calienta la superficie de la tierra y esta calienta a su vez el aire de la atmósfera inferior, este aire mas caliente y menos denso asciende a la parte superior y el aire de arriba, mas denso y frío, desciende, existiendo una mezcla continua del aire de la parte inferior y del nivel superior. Presión Manométrica. Por definición la presión manométrica (Pm) es la diferencia entre la presión absoluta (P) de un fluido y la presión atmosférica (P0). Pm = P − P0 (10.31) La presión manométrica se mide fácilmente con un dispositivo conocido como manómetro de aire libre. 10.9.1 Manómetro. Consiste en un tubo en forma de “U”, que contiene un líquido como agua o mercurio, con un extremo libre, abierto a la atmósfera y el otro conectado a un sistema cuya presión se desea medir, tal como se muestra en la figura (10.7). De la figura vemos que la presión en el punto A y B son iguales, ya que están al mismo nivel. PA = PB (10.32) P = P0 + ρ Hg gh Donde P es la presión que se desea medir y ρ Hg es la densidad del mercurio. P − P0 , la diferencia entre presiones atmosféricas y la atmosférica, es la presión manométrica. P − P0 = ρ Hg gh (10.33) Por lo tanto, la presión manométrica del tubo abierto, mide directamente la presión manométrica en función de la densidad del líquido y de la diferencia de alturas h de las columnas del tubo. Ejemplo 10.7. ¿Qué parte del volumen total de un Iceberg está totalmente sumergida en el agua, sabiendo que tiene un volumen de 12500 m3? La densidad del hielo es ρ h = 0,917 g / cm 3 y del agua de mar ρ H 2O mar = 1,025 g / cm 3 Solución. Del de Arquímedes. r principio r E =W E =m s g = ρ H 2O mar .Vs g W = mh g = ρ h V g ρ H O mar Vs g/ = ρ h V g/ Entonces: Vs = 2 ρ hV ρ H O mar 2 = (0,917 g / cm 3 )(12500 m 3 ) = 11183 m 3 (1,025 g / cm 3 ) Por lo tanto el volumen sumergido corresponde al 89,46% del volumen total del Iceberg. Ejemplo 10.8. En el esquema adjunto: ρ1 = 0,791 g / cm 3 ρ 2 = 1,26 × 10 3 kg / m 3 ρ 3 = 1,0 × 10 3 kg / m 3 Determine: a. La presión en el punto A b. La presión en el punto B c. La altura X Solución. a. Presión en el punto A PA = (791 kg / m 3 b. Presión en el punto B PA = ρ1 gh1 )(9,8 m / s 2 )(0,3 m ) = 2325,5 Pa PB = PC PB = PA + ρ 2 gh2 PB = 2325,5 Pa + (1,26 × 10 3 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 )(0,12 m ) PB = 2325,5 Pa + 1481,8 Pa = 3807,3 Pa c. La altura X. Como la presión en el punto B es: P 3807,3 Pa PB = ρ 3 gx ⇒ x= B = = 0,3885 m 3 ρ 3 g (1,0 × 10 kg / m 3 )(9,8 m / s 2 ) x = 38,85 cm 10.10. Hidrodinámica. Los fluidos en movimiento son mucho mas complejos que los fluidos en reposo. En lugar de estudiar el movimiento de cada partícula del fluido como una función del tiempo, en su lugar haremos uso de la segunda Ley de Newton para encontrar las propiedades del fluido en cada punto del sistema, mientras las partículas del sistema fluyen de uno a otro lado. Para descubrir totalmente un fluido en movimiento, necesitamos conocer su velocidad en cada punto, al igual que su presión y su densidad. Para esto se requieren relaciones entre esas variables. La relación entre presión y densidad, proviene de nuestros modelos de líquidos incompresible o de gas ideal. Obtendremos las otras dos relaciones a partir de la conservación de la masa y la energía. 10.10.1. Líneas de flujo. Se denomina así a la trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil, que pasan a través de un elemento de área perpendicular a la velocidad de flujo. Un haz de líneas de flujo forma un tubo de corriente y podríamos imaginarnos que todo el flujo está constituido por muchos tubos cada uno con el tamaño y la forma de un tubo de corriente. En general la velocidad del elemento varía tanto en magnitud como en dirección, a lo largo de su línea de flujo 10.10.2. Flujo de fluidos. Se pueden diferenciar dos tipos de flujo. a. Flujo Laminar. Un flujo es laminar o estacionario si cada particula del fluido sigue un camino uniforme, de tal modo que las capas vecinas del fluido se deslicenentre sí suavemente y los caminos de cada partícula no se cruzan, entonces la velocidad del fluido en cualquier punto permanece constante en el tiempo. b. Flujo Turbulento. El flujo turbulento es un flujo irregular, caracterizado por pequeñas zonas o regiones donde se forman pequeños círculos irregulares semejantes a remolinos, llamadas corrientes parásitas o secundarias. 10.10.3. Líneas de corriente. Se define como aquella curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. Cuando se trata de un flujo estacionario, las líneas de corriente coinciden con las del flujo. 10.11. Ecuación de Continuidad. En el flujo estable, no cambia la cantidad de masa en determinado volumen. Cuando el fluido pasa de manera estable por el tubo de corriente de la figura (10.9), la misma cantidad de fluido que entra al tubo en A1 en cualquier intervalo de tiempo ∆t, sale por A2 durante el mismo intervalo, la velocidad es tangente a la línea de corriente a lo largo de la cual se mueve. Para un intervalo pequeño de tiempo ∆t. ∆X 1 = V1 ∆t (10.34) ∆X 2 = V2 ∆t Como la sección transversal para la región A1, tiene una masa ∆m1 que es proporcional a la masa ∆m2 que pasa por el área A2, tenemos: ∆m1 = ρ1 A1 ∆x1 → ∆m1 = ρ1 A1V1 ∆t (10.35) ∆m1 = ρ1 A1 ∆x1 → ∆m1 = ρ1 A1V1 ∆t (10.36) Como la masa se conserva: ∆m1 = ∆m2 ρ1 A1V1 ∆t = ρ 2 A2V2 ∆t ρ1 A1V1 = ρ 2 A2V2 (10.37) Esta expresión se llama ecuación de continuidad. Como ρ es constante para el fluido incompresible, la ecuación (10.37) se reduce a: A1V1 = A2V2 (10.38) El producto Av representa el gasto volumétrico, que es el volumen (V) del fluido que pasa por determinada sección transversal (A) por segundo. ∆V A ∆x G= = = Av (10.39) ∆t ∆t por lo que tenemos que el gasto volumétrico a lo largo de todos los puntos de la tubería es constante. Av = Cons tan te (10.40) La ecuación (10.40) nos dice que cuando el área de la sección transversal es grande, la velocidad es pequeña y cuando el área es pequeña la velocidad es grande. Ejemplo 10.9. ¿Qué diámetro debe tener un tubo de calefacción si el aire que circula en su interior a 5 m/s, debe sustituir al aire de una habitación de 4450 m3 de volumen, cada 20 minutos?. Considere la densidad del aire en la habitación constante. Solución. t = 20 min = 1200 s. V1 = 5 m/s V2 = 450 m3 D1 = ? A1v1 = A2 v 2 v2 = ; A1v1 = A2 ( A1v1 = Si V2 t ⇒ A1 = πr = 2 1 πD12 4 A1 = ⇒ x2 t x2 ) t V2 450 m 3 = = 0,075 m 2 v1t (5 m / s )(1200 s ) D1 = 2 A1 π =2 0,075 m 2 π = 0,3090 m D1 = 30,90 cm Ejemplo 10.10. En una tubería con un diámetro de 6 cm, fluye agua a razón de 3,5 x 10-4 m3/s. Se abre una pequeña abertura de (1,2 mm x 2,5 mm) y la rapidez del flujo de salida disminuyen 3%. a. ¿Cuál es la rapidez promedio del chorro de agua que sale por la abertura? b. ¿Cuál es la rapidez promedio del agua en la tubería?. Solución. D1 = 6 cm = 6 × 10 −2 m A1 = πr12 = π 4 D12 (3,1416 )(6 × 10 −2 m ) 2 A1 = = 2,83 × 10 −3 m 2 4 Q1 = 3,5 × 10 −4 m 3 / s A2 = 1,2mm × 2,5mm = 3,0mm 2 = 3 × 10 −6 m 2 v1 = 100%v = v v 2 = 97%v = 0,97v De la ecuación de continuidad. Q 3,5 × 10 −4 m 3 / s Q1 = Q2 = A2 v 2 v2 = 1 = = 116,7 m / s A2 3 × 10 −6 m 2 Si v1=v y v2=0,97v v= v2 116,7 = = 120,3 m / s 0,97 0,97 10.12. Ecuación de Bernoulli. Este principio fue desarrollado por Daniel Bernoulli (1700 - 1782) en el siglo XVIII. Esta ecuación establece que donde la presión del fluido es alta y la velocidad del fluido es baja. Por ejemplo, si se miden las presiones en los puntos 1 y 2 en la figura 10.10, se encontrará que la presión es mayor en el punto 1 donde la velocidad es menor que en el punto 2, por lo mismo la presión en el punto 2 debe ser menor que en el punto 1, lo cual permite que el fluido acelere. Bernoulli desarrolló una ecuación que expresa este principio en forma cuantitativa. Para deducirla, supondremos que el fluido es incompresible, no viscoso, con un flujo laminar y estable. Para el caso general, supondremos que el fluido pasa por el tubo de sección transversal no uniforme, que varía de altura sobre un determinado nivel de referencia como en la figura 10.10. Esta ecuación es una aplicación del principio de conservación de energía aplicado a un fluido ideal. Tomaremos en cuenta la cantidad de fluido que aparece sombreada y calcularemos el trabajo efectuado para moverla de la posición en el punto (1) al punto (2). W1 = F1 ∆X 1 = P1 A1 ∆X 1 = P1 ∆V W2 = − P2 A2 ∆X 2 = − P2 ∆V (10.41) (10.42) W = W1 + W2 El trabajo total es: W = ( P1 − P2 )∆V (10.43) La energía cinética y potencial entre los dos puntos es: 1 1 ∆K = (∆m )v 22 − (∆m )v12 2 2 (10.44) ∆U = ∆mgy 2 − ∆mgy1 Usando el teorema del trabajo – energía, en las ecuaciones (10.43) y (10.44) tenemos: W = ∆K + ∆U 1 1 2 2 1 ⎛ ∆m ⎞ 2 1 ⎛ ∆m ⎞ 2 ⎛ ∆m ⎞ ⎛ ∆m ⎞ gy P1 − P2 = ⎜ ⎟v 2 − ⎜ ⎟v1 + ⎜ ⎟ gy 2 − ⎜ ⎟ 1 2 ⎝ ∆V ⎠ 2 ⎝ ∆V ⎠ ⎝ ∆V ⎠ ⎝ ∆V ⎠ ∆m ρ= ∆V 1 2 1 2 P1 − P2 = ρv 2 − ρv1 + ρgy 2 − ρgy1 2 2 1 2 1 2 (10.45) P1 + ρv1 + ρgy1 = P2 + ρv 2 + ρgy 2 2 2 ( P1 − P2 )∆V = (∆m )v 22 − (∆m )v12 + ∆mgy 2 − ∆mgy1 Si Esta ecuación se conoce como Ecuación de Bernoulli, pues fue el quien la estableció originalmente en 1738 en su obra Hidrodinámica. En general la ecuación de Bernoulli se puede formular en todo punto del fluido. 1 P + ρv 2 + ρgy = Cons tan te (10.46) 2 De la ecuación anterior vemos que la energía cinética por unidad de volumen (1/2ρv2) y la energía potencial por unidad de volumen (ρgy) tiene el mismo valor a lo largo de una misma línea de corriente. Y la inclusión del término presión en esta ecuación de la energía es para tener en cuenta el trabajo efectuado por las fuerzas internas. Ejemplo 10.11 Si el agua que se distribuye en una casa de tres pisos, se bombea desde el primer piso a una velocidad de 1.60 m/s, a una presión de 5 atmósfera por un tubo de 4 cm de diámetro. ¿Se desea conocer la velocidad del flujo y la presión que soportará un tubo de 1.2 cm de radio en azotea de la casa a 10m de altura? Solución v1= 1.60 m/s P1= 5 atm = 5,05x105 N/m2 D1= 4 cm r2= 1,2 cm y1= 0 y2= 10m v2= ? P2= ? De la ecuación de continuidad A = π r2 = A1v1 = A2 v 2 π 4 D1 v1 = π r2 v 2 v2 = 2 2 π 4 D2 2 ⇒ v2 = D1 v1 4r2 2 (4cm )2 (1,60m / s ) = 4,4 m / s 2 4(1,2cm ) Para calcular la presión usamos la ecuación de Bernoulli 1 1 2 2 P1 + ρ v1 + ρ gy1 = P2 + ρ v 2 + ρ gy 2 2 2 1 2 2 P2 = P1 + ρ g ( y1 − y 2 ) + ρ (v1 − v 2 ) 2 2 2 N kg m kg ⎡ m m ⎤ 1 P2 = 5,05 × 10 5 2 + ⎛⎜10 3 3 ⎞⎟⎛⎜ 9.8 2 ⎞⎟(0 − 10m ) + ⎛⎜10 3 3 ⎞⎟ ⎢⎛⎜1.60 ⎞⎟ − ⎛⎜ 4.4 ⎞⎟ ⎥ s⎠ ⎝ s⎠ ⎦ 2⎝ m m ⎠⎝ s ⎠ m ⎠ ⎣⎝ ⎝ P2 = 4.15 × 10 5 N = 4.11 atm m2 Ejemplo 10.12 Determinar la presión que soportará un tubo en el punto 2 con 10 cm de diámetro, si en el punto 1 la presión es de 8 atmósferas y tiene un diámetro de 25 cm, para un fluido que circula por un tubo tal como se muestra en la figura sin rozamiento, de peso específico γ = 6664 N/m3 y Q= 0,2 m3/s Solución D2=10cm = 10-1 m D1=25 cm = 25x10-2 m P2=? P1=8 atm= 8.08x105 N/m2 γ =6664 N/m3 Q= 0.2 m3/s Como γ = ρg ⇒ ρ= γ g = 6664 N / m 3 9 .8 m / s 2 ⇒ ρ = 680kg / m 3 De la ecuación de continuidad Q Q 4Q 4(0.2m 3 / s ) Q = A2 v 2 ⇒ v 2 = = = = = 25.46m / s 2 A2 πD2 2 / 4 πD2 2 π (10 −1 m ) 4Q 4(0.2m 3 / s ) Q = = = 4.07 m / s A1 πD1 2 π (25 × 10 − 2 m )2 De la ecuación de Bernoulli 1 1 2 2 P1 + ρ v1 + ρ gy1 = P2 + ρ v 2 + ρ gy 2 2 2 Q = A1v1 ⇒ v1 = 2 ⎛ 8 . 08 × 10 5 N ⎞ + 1 ⎛ 680 kg ⎞ ⎛ 4 . 07 m ⎞ + 0 = P + 1 ⎛ 680 kg ⎞ ⎛ 25 . 46 m ⎞ + ⎛ 680 kg ⎞ ⎛ 9 . 80 m ⎞ (10 m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 s ⎠ s ⎠ 2⎝ m 3 ⎠⎝ m 3 ⎠⎝ s2 ⎠ m2 ⎠ 2 ⎝ m 3 ⎠⎝ ⎝ ⎝ 8.136 × 10 5 = P2 + 2.870 × 10 5 P2 = 5.266 × 10 5 N = 5.21Atm m2 10.13. Aplicaciones De La Ecuación De Bernoulli La ecuación de Bernoulli se puede aplicar en una gran variedad de casos, así tenemos: 10.13.1 Presión a una profundidad “h” Las ecuaciones de la hidrostática son casos especiales de la ecuación de Bernoulli, cuando la velocidad es nula en todos los puntos. cuando el fluido está en reposo. v1 = v 2 = 0 , la ecuación de Bernoulli queda como: P1 + ρgy1 = P2 + ρgy 2 P1 = P2 + ρg ( y 2 − y1 ) Si P1 = P ; P2 = P0 ; y 2 − y1 = h entonces: P = P0 + ρgh (10.47) 10.13.2 Teorema de Torricelli La ecuación de Bernoulli se puede aplicar para calcular la velocidad v1 de un líquido que sale de un agujero en el fondo de un tanque, fig. (10.11). La figura representa un depósito de sección A2 lleno hasta la profundidad y2 de un líquido de densidad ρ. Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande en comparación con el tubo de salida (A1), entonces v2 será casi cero (v2 ≈ 0). Los puntos 1 y 2 están abiertos a la atmósfera por lo tanto la presión en ambos puntos es igual a la presión atmosférica. P1 = P2 = P0 (10.48) reemplazando estos valores en la ecuación (10.45) se tiene: 1 P0 + ρv12 + ρgy1 = P0 + 0 + ρgy 2 2 1 ρv1 2 = ρg ( y 2 − y1 ) 2 v1 = 2 g ( y 2 − y1 ) A este resultado se le llama teorema de Torricelli, aunque se e que es un caso especial de la ecuación de Bernoulli, fue descubierto un siglo antes por Evangelista Torricelli. Es decir la velocidad con que sale el líquido para un tanque abierto es igual a la que adquiere un cuerpo en caída libre, cuando cae desde la misma altura. Esto se debe a que la deducción dela ecuación de Bernoulli se basa en la conservación de la energía. 10.13.3 Tubo De Venturi Es esencialmente un tubo con un angostamiento o garganta, que se puede usar para medir la velocidad de un flujo en fluidos incompresibles. en este caso el fluido se mueve, donde su altura no cambia mucho, es decir y1 = y2. En este caso la ecuación (10.45) se transforma en: 1 1 P1 + ρv12 = P2 + ρv 22 2 2 De la ecuación de continuidad A A1v1 = A2 v 2 ⇒ v1 = 2 v 2 A1 entonces: 1 2 2 P1 − P2 = ρ (v 2 − v1 ) 2 (10.50) (10.51) 2 2 ⎞ 1 ⎛ A ⎞ 1 ⎛ 2 A2 ρ ⎜⎜ v 2 − 2 v 2 2 ⎟⎟ = ρv 2 2 ⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟ 2 ⎝ A1 ⎠ A1 ⎠ 2 ⎝ 2 ρv 2 2 P1 − P2 = 2 2 (A1 − A2 ) 2 A1 P1 − P2 = 2 A1 ( P1 − P2 ) = ρv 2 (A1 − A2 2 v 2 = A1 2 2 2 ) 2( P1 − P2 ) ρ (A1 2 − A2 2 ) (10.52) Ejemplo 10.13 Un gran tanque de agua tiene un orificio de 2 cm2 en uno de sus lados a 2,20 m. debajo de la superficie de agua ¿Cuál es el gasto volumétrico (en kg/s) a través del orificio? Solución A= 2cm2 = 2x10-4 m h= 2.20 m Q= ? (kg/s) De la ecuación de Torricelli v 2 = 2 gh = 2(9.8m / s 2 )(2.20m ) v 2 = 6.57 m / s El gasto volumétrico Q2 = A2 v 2 Q2 = (2 × 10 −4 m 2 )(6.57 m / s ) = 1.31 × 10 −3 m 3 / s Q2 = 1.31 × 10 −3 m 3 10 6 cm 3 1kg × × 3 3 = 1.31kg / s 3 s 1m 10 cm Ejemplo 10.14 Por una tubería horizontal fluye etanol (ρ=791 kg/m3) la presión es 5.2x105 Pa en un punto donde la rapidez es de 3,6 m/s. Encontrar la presión y la rapidez para otro punto donde el área es cinco veces menor que la posición inicial. Solución P1= 5.2x105 Pa v1= 3.6 m/s A1= A A2= A/5 ρetanol = 791 kg/m3 De la ecuación de continuidad: A Q = A1v1 = A2 v 2 ⇒ A(3.6m / s ) = v 2 ⇒ v 2 = 18.0m / s s Reemplazando en la ecuación (10.50) 1 1 P1 + ρv12 = P2 + ρv 22 2 2 2⎝ m ⎠⎝ 5.25×10 = P2 + 1.28×105 2 1 kg m = P2 + ⎛⎜ 791 3 ⎞⎟⎛⎜18 ⎞⎟ 2⎝ s⎠ m ⎠⎝ s ⎠ (5.2 ×105 Pa) + 1 ⎛⎜ 791 kg3 ⎞⎟⎛⎜3.6 m ⎞⎟ 2 5 P2 = 5.25×105 − 1.28×105 ⇒ P2 = 3.97 ×105 Pa 10.13.4 Otras aplicaciones de la ecuación de Bernoulli Muchos fenómenos de la vida cotidiana. se pueden explicar por lo menos en parte con la ecuación de Bernoulli, así tenemos: Flujo de aire por una ala El flujo de aire por una ala de avión se puede considerar como si fuera incompresible, siempre que la velocidad del aire sobre el ala se pequeña en comparación con la velocidad del sonido en el aire. Esto es válido para los aviones pequeños, pero no es una buena aproximación para os aviones de reacción a gran altura. La fuerza de sustentación que sostiene al avión, es una aplicación de la tercera ley de Newton, de tal forma que al moverse en un ala inclinada, este empuja al aire hacia abajo y este a su vez ejerce una fuerza hacia arriba sobre el ala manteniendo al avión en el aire. De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la diferencia de las velocidades se relaciona con una diferencia de presiones; la presión sobre la parte superior del ala Ps es menor que la presión sobre la cara inferior Pi; la diferencia de presiones origina una fuerza ruta F hacia arriba sobre el área del ala (A). F = (Pi - Ps)A (10.53) La magnitud de la fuerza de sustentación que sostiene al avión depende de la desigualdad en las velocidades de flujo entre la cara superior e inferior del ala, que a su vez depende de la diferencia de tamaños de los tubos de corriente; esa diferencia a su vez, depende del grado de inclinación del ala así como de su forma. El grado de inclinación se mide con el ángulo de ataque: α; que es el que forma la cuerda del ala y la dirección no perturbada del flujo de aire. La ecuación de Bernoulli muestra que la diferencia de presión depende de la densidad del aire, de la velocidad del aire, de la forma del ala, por lo tanto la fuerza de sustentación está dada como: 1 (10.54) Fs = C s ρv 2 A 2 donde: Cs: Coeficiente de sustentación (es proporcional a α y el diseño del ala) A: Are del ala Esta fuerza de sustentación aumenta a medida que se incrementa la velocidad del aire, el área del ala, su curvatura, el ángulo de ataque entre el ala y la horizontal. En la práctica , generalmente las alas se inclinan hacia arriba provocando que la masa de aire debajo del ala genere una fuerza adicional hacia arriba. POTENCIA DE UN GENERADOR DE VIENTO La idea de usar el aire como una fuente de energía (energía eólica), no es algo nuevo, existen pruebas de que en Babilonia y China se usaron molinos de viento, hace aproximadamente cuatro milenios. La energía proporcionada por los vientos, tiene algunas desventajas y la más importante de ellas es debido a la variación de la velocidad de los vientos. Se puede calcular la potencia generada por unidad de área. K V (10.55) Potencia = . V t K 1 2 = ρv donde V 2 V = A.v t 1 1 Entonces: P = ⎛⎜ ρv 2 ⎞⎟( A.v ) = ρv 3 A 2 ⎝2 ⎠ P 1 3 = ρv (10.56) A 2 es la potencia disponible por unidad de área. La potencia máxima está dada como: Pmax 8 = ρv 3 A 27 (10.57) 10.14 VISCOSIDAD (η) La fricción existente entre los fluidos se llama viscosidad, que en esencia es una fuerza de rozamiento entre las distintas capas del fluido al moverse entre sí. En los líquidos, la viscosidad se debe a las fuerzas de cohesión entre las moléculas, en cambio en los gases se debe a los choques entre las moléculas. Los diferentes fluidos tienen diversas magnitudes de viscosidad, mientras más viscoso es el fluido mayor será la fuerza requerida para desplazarse. Experimentalmente se encuentra que el modulo de la fuerza F sobre la plataforma móvil depende no sólo del módulo de su velocidad, sino también de su área A y de la distancia d entre las placas. Por lo tanto se define como: Av F =η d F d F η= . ; ≡ esfuerzo de corte A v A La unidad de viscosidad en el sistema: η: Poiseuille ≡ N.s/m2 S.I. η: 1 poise ≡ dina.s/cm2 C.G.S. (10.58) La viscosidad es una propiedad intrínseca de un fluido y no depende de la naturaleza de la superficie a lo largo del cal se mueve el fluido. Un valor grande de η corresponde a un fluido muy viscoso como la glicerina o el aceite, mientras que un valor pequeño corresponde a un fluido ligero como el agua o el éter. Como la viscosidad de algunas líquidos y gases varía con la temperatura, este debe indicarse a la cual ha sido medido la viscosidad. El flujo de un fluido en un tubo redondo depende de la viscosidad del fluido, de la diferencia de presión y de las dimensiones del tubo. Si un fluido no tuviera viscosidad podría pasar por un tubo horizontal sin aplicarle fuerza alguna. El francés J.L. Poiseuille, determinó como las variables afectan la rapidez de flujo de un fluido incompresible en régimen laminar dentro de un tubo cilíndrico, tal como se observa en la figura (10.15). Esto se le conoce como ecuación de Poiseuille: πr 4 ( P1 − P2 ) Q= 8ηL (10.59) donde: r : radio interior del tubo Q : gasto volumétrico P1-P2: diferencia de presiones Esta ley se establece que la cantidad de fluido que circula por una tubería es proporcional a la disminución de la presión a lo largo de la misma y a la cuarta potencia del radio de la tubería. esta ley es solo una aproximación valida cuando la velocidad de flujo v es suficientemente pequeña. Si la velocidad es grande, el flujo ya no es laminar, por el contrario aparece la turbulencia, y ya no es válida la ecuación de Poiseuille. La aparición de la turbulencia se puede caracterizar aproximadamente mediante el llamado “NÚMERO DE REYNOLDS” (Rs): Rs = donde: 2 ρr v η (10.60) v : velocidad del fluido ρ: densidad del fluido r: radio del tubo Experimentalmente se sabe que el flujo es laminar si Rs tiene un valor menor que unos 2000, pero es turbulento si Rs es mayor a ese valor. Cuando un objeto se mueve en relación con un fluido, este ejerce una fuerza semejante a la fricción sobre el objeto, esta fuerza se llama fuerza de retardo y se debe a la viscosidad del fluido y también a grandes velocidades, a la turbulencia formada detrás del objeto. El movimiento de un objeto en relación con un fluido, se puede definir usando el número de Reynolds, ρLv ' Rs = η (10.61) donde ρ es la densidad del fluido. Cuando el número de Reynolds es menor que 1, como el caso de objetos pequeños, el flujo alrededor del objeto es laminar y la fuerza viscosa Fv es directamente proporcional a la velocidad del objeto. Fv = kv (10.62) la magnitud de k depende del tamaño y la forma del objeto y de la viscosidad del fluido para una esfera de radio r y volumen , el valor de k es: k = 6πrη (10.63) la fuerza viscosa sobre una esfera pequeña, cuando el flujo es laminar, está expresada por una ecuación que se conoce como ecuación de stokes: Fv = 6πrηv (10.64) Para números de Reynolds mayores de 1 (entre 1 y 10) habrá turbulencia detrás del cuerpo y la fuerza de retardo será mayor que la obtenida con la ecuación de Stokes para una esfera. Para objetos más aerodinámicos, habrá menos turbulencia y menos retardo. Experimentalmente se ha encontrado que cuando hay turbulencia la fuerza de retardo aumenta directamente con el cuadrado de la velocidad. Un objeto de masa m cayendo dentro de un fluido bajo la acción de la gravedad tiene varias fuerzas actuando sobre el como se observa en la figura (10.16): la fuerza de gravedad: mg; el empuje hidrostático: E y la fuerza viscosa: Fv. pero: De la segunda Ley de Newton: mg - Fv - E = ma (10.65) mg = ρc.V.g Fv = kv E = ρf.V.g Entonces: ρcVg - kv - ρfVg = ma (10.66) (ρc - ρf)Vg - kv = ma (10.67) A medida que el objeto cae, su velocidad aumenta, de igual manera aumenta la fuerza viscosa hasta que su magnitud es igual al peso efectivo del cuerpo, entonces la velocidad se hace constante, por lo tanto la aceleración es nula. Su valor se puede calcular esta velocidad haciendo a=0 en la ecuación (10.67), y (ρ c − ρ f )gV v= k (10.68) para una esfera pequeña: 4 V = πr 3 3 k = 6πrη donde: (ρ c − ρ f )g (4 / 3πr 3 ) v= 6πrη v= 2(ρ c − ρ f )gr 2 9η (10.69) donde: ρc y ρf: densidad del cuerpo y del fluido r : radio de la esfera η : viscosidad del fluido g : aceleración de la gravedad A esta velocidad también se le llama velocidad terminal o velocidad de sedimentación y se puede acelerar el proceso de sedimentación una centrífuga. Ejerciendo una fuerza sobre la partícula, aumentando la aceleración de la gravedad en un valor de w2R en la ecuación (10.68), (ρ c − ρ f )w 2 RV v= (10.70) k donde: w : velocidad angular del rotor R : distancia del objeto al eje de rotación Ejemplo 10.15 Por una delgada tubería de 1.60 mm de diámetro de un motor experimental circula aceite ligero de motor de viscosidad η=0.5 Pa.s. Si la tubería tiene una longitud de 12.3 cm y una diferencia de presiones de 2.2x104 N/m2. Determine el gasto volumétrico en cm3/segundos. Solución D = 1,60 mm = 1,60 × 10 3 m ⇒ r= D = 0,8 × 10 −3 m 2 L = 12,3 cm = 12,3 × 10 −2 m P1 − P2 = 2,2 × 10 4 N / m 2 Q= πr 4 ( P1 − P2 ) 8ηL π (0,8 × 10 −3 m ) (2,2 × 10 4 N / m 2 ) 4 Q= 8(0,5 N .s / m 2 )(12,3 × 10 − 2 m ) Q = 5,75 × 10 −8 = 5,75 × 10 −8 m 3 / s m 10 3 L 10 3 cm × × = 5,75 × 10 − 2 cm 3 / s 3 s 1m 1L CAPÍTULO XI TERMOMETRÍA - DILATACIÓN - CALORIMETRÍA 11.1 Termometría 11.2 Temperatura 11.2.1 Equilibrio térmico 11.2.2 Termómetros 11.2.3 Punto triple del agua 11.2.4 Escalas de temperatura 11.3 Dilatación térmica 11.3.1 Dilatación lineal 11.3.2 Dilatación superficial 11.3.3 Dilatación volumétrica 11.4 Calorimetría 11.4.1 Calor 11.4.2 Equivalente mecánico del calor 11.4.3 Capacidad calorífica 11.4.4 Calor específico 11.4.5 Diferencia entre temperatura, calor y energía interna 11.4.6 Calor latente 11.4.7 Equilibrio térmico o ley cero de la termodinámica 11.5 Cambios de fase 11.6 Transmisión de calor 11.6.1 Conducción 11.6.2 Convección 11.6.3 Radiación 11.1 Termometría Desde el punto de vista macroscópico se ha definido a la materia en dos estados normales como : sólidos y fluidos, sin embargo observando estos estados en su estructura atómica vemos que estos dependen de las fuerzas de cohesión o de repulsión. En un material sólido las fuerzas de cohesión es muy intensa como para que las moléculas o átomos se mantengan en posiciones mas o menos fijas, formando agrupamientos que se conoce como red cristalina, vibrando alrededor de sus posiciones mas o menos fijas especialmente. En los fluidos se tiene dos subestados, en los fluidos líquidos hay una compensación entre las fuerzas de cohesión y repulsión, y en los fluidos gaseosos predomina la fuerza de repulsión, manteniendo las moléculas una separación lo suficientemente alta como para que su interacción no sea muy intensa, y cuando colisionan se mueven en distintas direcciones. Las moléculas de los cuerpos están en constante movimiento lo que hacen de que estas posean cierta energía. Cada cuerpo o conjunto de moléculas poseen cierta energía interna que es igual a la suma total de las energías cinética y potencial de interacción de cada una de sus moléculas. Por lo tanto si podemos calcular estadísticamente el movimiento molecular de un cuerpo, estamos midiendo su temperatura. 11.2 Temperatura El concepto de temperatura, es una magnitud física escalar que mide el grado de agitación molecular que en promedio tiene las moléculas de un cuerpo. La temperatura caracteriza el grado de calentamiento de un cuerpo en términos de caliente o frío, de modo que un cuerpo estará caliente cuando corresponde a una temperatura más alta, que otro cuerpo que está a menor temperatura, está frío. A menudo es conveniente pensar en la temperatura de un cuerpo como una magnitud que está relacionada con el movimiento aleatorio de las moléculas y que el incremento de su temperatura está asociada con el incremento de la velocidad promedio de sus moléculas y de la energía cinética promedio. 11.2.1 Equilibrio Térmico El concepto de temperatura está íntimamente relacionado con el estado de equilibrio térmico entre dos sistemas. Cuando dos o más sistemas se hallan en equilibrio térmico, se dicen que tiene la misma temperatura. Si dos sistemas se ponen en contacto y al hacerlo sus variables comienzas a cambiar, entonces los sistemas no estaban a la misma temperatura; sin embargo, llegaran a estar a una temperatura térmico. común cuando se alcance el equilibrio El termómetro puede ser utilizado junto con la ley cero de la termodinámica para determinar si dos sistemas separados A y B están en equilibrio térmico. Si el termómetro determina que A y B tiene la misma temperatura se dice que ambos sistemas están en equilibrio térmico, pero si los sistemas A y B no tienen la misma temperatura, entonces no están en equilibrio ambos sistemas. 11.2.2 Termómetros Un instrumento que se utiliza para medir la temperatura se llama termómetro. Hay muchos tipos de termómetros, pero su funcionamiento siempre depende de alguna propiedad de la materia, que cambia con la temperatura. Algunas de éstas propiedades físicas son: - Cambio en el volumen de un líquido - Cambio en la longitud de un sólidos - Cambio en la presión de un gas a V constante - Cambio en el volumen de un gas a P constante - Cambio en la resistencia eléctrica de un conductor - Cambio en el calor de cuerpos muy calientes Antiguamente se tomaba como untos fijos de calibración de los termómetros el punto de congelación (0ºC) y el punto de ebullición (100ºC) del agua, pero actualmente la base es el punto triple del agua. Los termómetros más usados en los laboratorios técnicos y de investigación son: a) Par termoeléctrico (termopar) b) Termistor c) Pirómetro óptico d) Termómetro de resistencia de platino e) Termómetro de gas a volumen (V) constante. 11.2.3 Punto Triple del Agua Corresponde al punto donde la temperatura es de 273.16 K y de presión equivalente de 0.61 Kpa, pueden coexistir en equilibrio el agua (líquido), el vapor de agua y el hielo. 11.2.4 Escalas de Temperatura No hay razón física fundamental para preferir una escala determinada de uso tan común en la mayoría de países, o de escoger otra análoga a ella, pero como la escala celsius se basa en el punto de congelación del agua, más fácil de reproducir, se toma como referencia para elaborar las otras escalas. La escala de temperatura que resulta es independiente del termómetro usado, así tenemos: 1) Escala Celsius, de Anders Celsius (1701-1744) 2) Escala Fahrenheit, de Gabriel Fahrenheit (1686-1736) 3) Escala Kelvin, de William Thomson, lord Kelvin (18241907) 4) Escala Rankine Relación entre las escalas: Tc TF − 32 TK − 273.15 TR − 491.67 = = = 5 9 5 9 (11.1) a) Escala Celsius: Tc = TK − 273.15 K 5 TC = (TF − 32º F ) 9 5 TC = (TR − 491.67 º R ) 9 (11.2) b) Escala Fahrenheit (Tf) 9 9 TF = Tc + 32º F TF = (TK − 273.15 ) + 32º F TF = (TR − 491.67 º R ) + 32º F 5 5 (11.3) c) Escala Kelvin (Tk) T K = T C + 273 . 15 K (11.4) Ejemplo 11.1 TK = 5 (T F − 32 ) + 273 . 15 K 9 TK = 5 (T R − 491 . 67 º R ) + 273 . 15 K 9 Un objeto que tiene una temperatura de 80ºC ¿cual es su temperatura en grados Fahrenheit y en grados Kelvin? Solución: 9 TF = Tc + 32º F 5 9 TF = (80 ) + 32 = 144 + 32 ⇒ TF = 176º F 5 TK = TC + 273.15K TK = 80 + 273.15K ⇒ TK = 353.15K Ejemplo 11.2 Si un termómetro tiene entre 32ºF y 212ºF una longitu30 d de 20 cm. ¿a cuántos grados equivale una longitud de 12 cm? Exprese dicho resultado en grados kelvin. Solución: T = 212º F − 32º F = 180º F 180 200 180 × 12 Si = ⇒ x= = 108º F x 12 20 TF = 108º F + 32º F = 140º F Tenemos: TF − 32º F TK − 273.15 K 140º F − 32º F TK − 273.15 K = ⇒ = 9 5 9 5 TK = 60 + 273.15 = 333.15 K Ejemplo 11.3 Si un globo tiene un volumen de 80 cm3 y una temperatura de 65ºC justo antes de reventarse. Exprese dicho resultado en grados Fahrenheit. Solución TC TF − 32º F 65 TF − 32 = ⇒ = 5 9 5 9 TF = 13 × 9 + 32 = 149º F 11.3 Dilatación Térmica Si calentamos o enfriamos un cuerpo, observamos que ellos se dilatan o se contraen respectivamente, esto se explica porque a nivel molecular el cuerpo a alta temperatura aumenta las distancias entre las moléculas y a bajas temperaturas estas distancias disminuyen. 11.3.1 Dilatación Lineal En los resultados experimentales se ha obtenido que para pequeños cambios de temperatura, el aumento de tamaño es proporcional al cambio ∆T de temperatura; puesto que cada molécula se aleja de sus vecinas, el aumento total ∆L en cualquier dimensión lineal L0, también es proporcional a la dimensión original. ∆L = α Lo ∆T (11.5) L-Lo = α Lo (T-To) L = Lo (1+α (T-To)) (11.6) donde: L: Longitud final Lo: Longitud inicial α: coeficiente de dilatación térmica lineal T y To: temperatura final e inicial En la tabla (11.1) se dan los valores de α para algunos materiales, observando que dicho valor varia con la temperatura y esta es la razón por la cual los termómetros fabricados con materiales distintos no concuerdan con exactitud, sin embargo si la variación de temperatura no es muy grande, la variación entre los termómetros se pueden pasar por alto. 11.3.2 Dilatación Superficial El aumento superficial de un cuerpo, debido al aumento de temperatura, está expresada como: ∆S = 2α So ∆T (11.7) S = So [1 + 2α (T − T0 )] (11.8) 11.3.3 Dilatación Volumétrica También podemos describir la expansión de un sólido por el cambio en su volumen, debido al cambio de temperatura. ∆V = β Vo ∆T (11.9) V = Vo [1 + β (T − T0 )] (11.10) donde: Vo: volumen inicial V : volumen final T y To: temperatura final e inicial β : coeficiente de dilatación térmica volumétrica Para sólidos isotrópicos se encuentra que β=3α, mas no así para líquidos y gases, ya que no poseen formas definidas. Tabla 11.1: Coeficientes de expansión térmica a 25ºC Coeficiente de Coeficiente de dilatación térmica dilatación térmica Material volumétrica: β(10-6K-1) lineal: α (10-6K-1) SÓLIDOS Aluminio 25 75 Latón 19 56 Hierro o acero 12 35 Plomo 29 87 Vidrio (Pyrex) 3.2 9 Vidrio ordinario 9 27 Cuarzo 0.4 1 ≈12 ≈36 Concreto Mármol 1.4 - 3.5 4 - 10 Cobre 25 Hielo 51 invar. 36 (Ni-Fe) 1.6 Platino 9 Hule duro 80 Silicio 3 Plata 19 Sodio 70 Estaño 20 Zinc 35 LIQUIDOS Gasolina 950 Mercurio Alcohol Glicerina Agua GASES Aire (y la mayor parte de los demás gases a presión atmosférica) 181 1100 500 260 3400 Ejemplo 11.4 Se tiene un alambre de cobre de 160 m de longitud a 24ºC ¿qué longitud poseerá a 97ºC? Solución L = Lo (1+α (T-To)) L = (160 m) [1+(25x10-6K-1)(370,15-297,15)K] L = 160,29 m Ejemplo 11.5 Una habitación cerrada tiene 800 m3 de volumen. (a)¿Cual es la masa de aire almacenada dentro de ella a 0ºC? (b)Si la temperatura aumenta a 20ºC, ¿cuánta mas de aire se incrementa en la habitación? Solución a) b) m0 kg ⇒ m0 = ρV0 = ⎛⎜1.29 3 ⎞⎟(800m 3 ) ⇒ m0 = 1032kg V0 m ⎠ ⎝ V = Vo [1 + β (T − T0 )] ρ= V = (800m 3 ) [1 + (3400 × 10 −6 K −1 )(293.15 − 273.15 )K ] V = 854.4m 3 kg m = ρV = ⎛⎜1.29 3 ⎞⎟(854.4m 3 ) = 1102.18kg m ⎠ ⎝ ∆m = m − m 0 ∆m = 1102.18 − 1032 = 70.18kg 11.4 Calorimetría Se acostumbra a hablar del flujo de calor, como el calor que fluye de manera espontánea de un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura. De uso común en nuestra vida diaria empleamos la palabra “calor”, como si supiéramos qué es. Pero con frecuencia el término se usa de manera inconsistente, por lo tanto es necesario que expliquemos que es calor, los conceptos relacionados con él y cómo podemos cuantificar el intercambio de calor. 11.4.1 Calor (Q) Es una forma de energía debido al movimiento aleatorio de las moléculas. El calor es una energía no almacenable, que solo existe mientras haya entre los cuerpos en contacto una diferencia de temperatura para que pueda calificarse como calor, la energía emitida o absorbida de un sistema debe haber sido transferida únicamente a causa de una diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno. Para representar el calor usamos el símbolo Q, y como es una transferencia de energía tiene dimensiones de energía. La unidad SI de calor es el Joule (J). 1 J= 0.2389 cal = 9.487x10-4 Btu 1 Btu (unidad térmica británica) = 1055 J = 252 cal Hay otras unidades de calor que son de uso frecuente como: Caloría (cal) Se define como la cantidad de calor necesaria para elevar 1 grado celsius la temperatura de 1 gramo de agua, de 14,5ºC a 15,5ºC. 1 cal = 4,186 J = 0,427 Kgm 1 Kcal = 1000 cal. 11.4.2 Equivalente Mecánico del Calor La idea de que el calor se relaciona con la energía, la trataron de demostrar varios científicos del siglo XIX, Thompson lo sugirió por primera vez al observar el calor liberado durante la perforación de los cañones, sin embargo James Joule (1818-1889) fue el primero en establecer la equivalencia entre las dos formas de energías. Después de muchos experimentos, Joule encontró que determinada cantidad de trabajo siempre era equivalente a determinada cantidad de calor. En forma cuantitativa 4,186 Joules de trabajo equivalen a 1 caloría de calor. 11.4.3 Capacidad Calorífica (c) La capacidad calorífica de cualquier sustancia se define como la cantidad de energía calorífica que se requiere para elevar la temperatura de la sustancia en 1 grado celsius. Q c= ∆T (11.11) donde: Q: calor: Joule (J) ∆T: Variación de temperatura (∆T=T-To): ºC c: capacidad calorífica: J/ºC 11.4.4 Calor Específico (Ce) Es una magnitud escalar propio para sustancia y cuyo valor nos indica la cantidad de calor debe ganar o perder la unidad de masa para elevar o disminuir su temperatura en un grado. Q Ce = m∆T (11.12) donde: Q: calor (J) m: masa (kg) ∆T: variación de temperatura (K) Un cuerpo es un buen conductor del calor cuando su calor específico es bajo y es mal conductor cuando su calor específico es alto. Por lo general los calores específicos se definen para dos procesos: a volumen constante y a presión constante. En las tablas de valores casi siempre se presenta el calor específico a presión constante (Cp), pues es el más fácil de medir. Sin embargo, es más fácil de calcular el calor específico a volumen constante (Cv). Así pues: dQ = mCpdT (11.13) T Q = m ∫ CpdT T0 (11.14) donde el calor cedido a un sistema a presión constante se expresa en J/kg.K en el S.I. El calor específico Cp se define para el caso límite de cambios infinitesimales de temperatura, sin embargo para pequeños cambios de temperatura los calores específicos de muchas sustancias son independientes de esta. Entonces: Q = m. Cp. ∆T (11-15) Tabla Nº 11.2 Calores específicos a 25ºC y 1 atm de presión atmosférica Cp Sustancia J.kg-1K-1 cal.g-1ºC-1 Aluminio 910 0.215 Cobre 386 0.092 Hierro 447 0.107 Plomo 128 0.031 Mercurio 140 0.033 Tungsteno 136 0.032 Helio 5200 1.24 Nitrógeno 1040 0.25 Oxígeno 920 0.22 Carbono (diamante) 509 0.121 Agua 4180 0.998 Hielo (-10ºC) 2100 0.50 Alcohol (etílico) 2500 0.60 Vidrio (crown) 67 0.016 Ejemplo 11.6 Un trozo de metal de calor específico Ce=910 J/kg.K y masa m=400 g recibe 3600 cal de manera que su temperatura aumenta hasta 100ºC ¿cual era la temperatura inicial del metal? Solución m= 400g = 0,4 Kg Q= 3600 cal = 15069,6 J T = 100ºC = 373.15 K To= ? Q = mCe∆T = mCe(T − T0 ) Q T0 = T − mCe 15069.6 J T0 = 373.15 K − (0.4kg )(910 J / kg.K ) T0 = 331.75 K = 58.6º C 11.4.5 Diferencia entre temperatura, calor y energía interna Empleando la teoría cinética, podemos hacer una clara distinción entre temperatura calor y energía interna o térmica. La temperatura, en grados Kelvin, es una medida de la energía cinética media de las moléculas individuales; el calor es una transferencia de energía, como energía térmica, de un objeto a otro debido a una diferencia de temperatura, en cambio la energía interna, es la energía total de todas las moléculas del objeto. Además la dirección del flujo de calor entre dos objetos depende de sus temperaturas y no de cuánta energía térmica tiene cada uno de ellos. 11.4.6 Calor Latente La mayoría de las sustancias pueden coexistir en fase sólida, líquida o gaseosa, así por ejemplo, el agua puede ser hielo, líquido o vapor. Un cambio de estado de uno a otra fase se denomina cambio de fase y la energía absorbida o emitida se denomina calor latente. Por lo tanto el calor requerido para cambiar la fase de cierta masa “m” de una sustancia pura está dada por: Q = m.L (11.16) donde L se llama calor latente (calor oculto) de la sustancia y depende de la naturaleza del cambio de fase, así como de las propiedades de la sustancia. El calor necesario para cambiar una sustancia del estado sólido al líquido se llama calor de fusión o calor de congelación y se representa por Lf. El calor que se necesita para transformar una sustancia líquida a vapor se llama calor de vaporización, calor de ebullición o calor de condensación y se representa como: Lv Los cambios de fase se pueden explicar en términos de un reacomodo de las moléculas cuando se agrega o se quita calor de una sustancia. Por ejemplo considérese el calor requerido para convertir un bloque de hielo de 1.0 g a -30ºC a vapor (vapor del agua)a 120ºC. En la figura (11-A) se muestra los resultados experimentales. Tabla Nº 11.3 Calores latentes a la presión de 1 atm Calor de Calor de Punto de Punto de fusión ebullición Sustancia fusión J/Kg ebullició J/Kg Kcal/k (ºC) n (ºC) (x105 Kcal/kg (x105 g ) ) Oxígeno -218.8 3.3 0.14 -183 51 2.1 Agua 0 79.7 3.33 100 539 22.6 Alcohol etílico Plomo Tungsteno Plata -114 327 3410 961 25 5.9 44 21 1.04 0.25 1.84 0.88 78 1750 5900 2193 204 208 1150 558 11.4.7 Equilibrio térmico o ley cero de la termodinámica Se supone que todas las variables de estado (P,V,T) tienen el mismo valor en todos los puntos del sistema y de este modo se usa un único valor para todo el sistema. Por lo tanto si el sistema permanece constante en el tiempo, se dice que esta en estado de equilibrio. El concepto de temperatura está ligado con el estado de equilibrio térmico entre dos sistemas. Entonces dos sistemas se ponen en contacto y al hacerlo sus variables comienzan a cambiar, esto nos indica que los dos sistemas no estaban a la misma temperatura, sin embargo llegarán a estar a una temperatura común, cuando se alcance el equilibrio térmico. Cuando en un recipiente cerrado y aislado térmicamente son introducidos dos cuerpos uno caliente y el otro frío, se establece un flujo de calor entre los cuerpos, de manera que disminuye la temperatura del cuerpo caliente debido a que pierde calor y el otro aumenta su temperatura debido a que gana calor, hasta que no exista flujo de calor. Del principio de conservación de la energía, se cumple que el calor ganado por el cuerpos frio es igual al calor perdido por el cuerpo caliente. Q(ganado) = - Q(perdido) (11.17) Ejemplo 11.7 ¿cuanto calor debe cederse (a presión atmosférica) a 500 gramos de agua en forma de hielo a 0ºC para convertirlo en vapor a 100ºC? Solución 8.5 8.7 48 23 m= 500 g = 0.5 kg T1= 0ºC = 273.15 K T2= 100ºC = 373,15 K Lf= 3,33x105 J/Kg Lv= 2,26x106 J/kg Ce(H24180 J/Kg.K Q1 = mL f Q2 = mCe(T2 − T1 ) Q3 = mLv Q = Q1 + Q2 + Q3 J ⎞ J ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 6 J ⎞ Q = (0,5kg )⎜ 3,33 × 10 5 ⎟ + (0,5kg )⎜ 4180 ⎟(373.15 − 273.15 )K + (0,5kg )⎜ 2,26 × 10 ⎟ kg ⎠ kg ⎠ kg ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Q = 0,17 × 10 6 J + 0,21 × 10 6 J + 1,1 × 10 6 J Q = 1,5 MJ 11.5 Cambio de Fase. Cuando un cuerpo pasa de una fase (sólida, líquida o gas) a otra, se llama cambio de fase y esto sólo sucede cuando los cuerpos experimentan una ganancia o perdida de calor. En consecuencia durante el cambio de fase la sustancia experimenta un reordenamiento molecular, adoptando nuevas propiedades físicas y perdiendo otras, manteniendo la presión y temperatura constante, cambiando de volumen. Para el agua se cumple: 11.6 Propagación del Calor El proceso de propagación del calor se lleva a cabo mediante tres procesos básicos. 11.6.1 Conducción. La conducción del calor sólo ocurre si hay una diferencia de temperatura entre dos partes del medio conductor y el sentido del flujo calorífico es siempre de los puntos de mayor a menor temperatura. Para un bloque de espesor infinitesimal dx, con una área en la sección transversal A y cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes temperaturas, se puede escribir la ley de conducción del calor como: dQ dT = H = − KA dt dx (11.18) Donde: dQ :Rapidez de la transferencia de calor H≡ dt A : área K : Conductividad térmica del material dT : Gradiente de temperatura dx El signo menos en la ecuación indica que el calor fluye en la dirección decreciente de la temperatura. Cuando la temperatura es constante en el tiempo, entonces dT T1 − T2 , donde L es el espesor de la placa (o longitud = dx L de la barra) T −T H = KA⎛⎜ 2 1 ⎞⎟ ⎝ L ⎠ (11.19) 11.6.2 Convección En la convección de calor este se transmite mediante el movimiento de materia en forma de corriente de convección. Dichas corrientes pueden aparecer espontáneamente en fluidos cuya densidad varía con la temperatura. Así por ejemplo, en el. aire, como consecuencia del campo gravitacional de la tierra, las corrientes de convección tienen lugar de tal forma que el aire con mayor temperatura (menor densidad) asciende y el aire con menor temperatura (mayor densidad) desciende. Este mismo proceso se observa cuando se caliente un cuarto con un calentador cuando se hierve el agua, en el sistema de calefacción por agua caliente, etc. Por lo mismo si la sustancia caliente es obligada a moverse mediante un ventilador o bomba, el proceso se llama de convección forzada y si los fluidos se mueven a causa de diferencia de densidad se denomina convección natural o libre. 11.6.3 Radiación La transmisión de calor por radiación tiene lugar entre superficies mediante la emisión y posterior absorción de radiación electromagnética. A diferencia de la conducción y la convección, la radiación no requiere ningún medio para su propagación y puede tener lugar incluso en el vacío. La energía irradiada (o emitida) por una superficie es proporcional a su temperatura absoluta elevada a la cuarta potencia y depende de las características dela superficie. el flujo de calor emitido por una superficie se expresa mediante la siguiente expresión: P = σ A e T4 (11.20) siendo: P: potencia radiada por el cuerpo (Watts) σ: constante de Steffan Boltzmann σ=5,6696x10-8 W/m2K4 A: área de la superficie (m2) e: constate de emisividad T: temperatura en grados absolutos (K) Cuando la radiación incide sobre un cuerpo , parcialmente absorbida, parcialmente reflejada parcialmente transmitida a través del cuerpo. es y Ejemplo 11.8 Dos placas de cobre y aluminio de espesores L1=12cm y L2=18 cm respectivamente, están en contacto térmico como en la figura. Las temperaturas de las superficies exteriores son T1=60ºC y T2=265ºC. Determine la temperatura en la interface y la rapidez de transferencia de calor a través de las placas en estado estacionario. Solución L1= 12 cm = 12x10-2 m L2= 18 cm = 18x10-2 m A= 100 cm2 = 10-2 m2 k1(Cu) = 401 W/m.k k2(Al) = 237 W/m.k T1= 60ºC = 333.15K T2= 265ºC = 538.15K H1 = H 2 K 1 A(T − T1 ) K 2 A(T2 − T ) = L1 L2 Reemplazando sus valores respectivos: ⎛ 401 w ⎞(T − 333.15 )K ⎛ 237 w ⎞(538,15 − T )K ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ m.K ⎠ m.K ⎠ ⎝ ⎝ = 12 × 10 − 2 m 18 × 10 − 2 m 3(401T − 133593,15 ) = 2(127541,55 − 237T ) 1203T + 474T = 255083,1 + 400779,45 655862,55 T= = 391,09 K 1677 T = 117,9 º C Entonces K A(T − T1 ) (401W / m.K )(10 −2 m 2 )(391,09 − 333,15 )K H1 = 1 = L1 12 × 10 − 2 m H 1 = 1936,2 watts Ejemplo 11.9 Un estudiante sin ropa está en un cuarto a 26ºC si la temperatura de la piel del estudiante es de 38ºC. ¿Cuanto calor pierde su cuerpo en 2 horas, suponiendo que la emisividad de la piel es 0.90. El área de un estudiante adulto es aproximadamente 2.5 m2. Solución P = σv A e T4 pero: = (5.6696x10-8W/m2k4)(2,5m2)(0.90)[(311.15)4Pneta (299.15)4]k4 Pneta = 174.05 W. Q ⇒ Q = P×t t Q = (174,05W )(7200 s ) = 1,25 × 10 6 J Como P = Ejemplo 11.10 Un calorímetro contiene 340 g de agua a 20ºC. Se introducen en el un cilindro de plomo de 800 g y otro de aluminio de 1100 g, mbos a 100ºC. Hallese la temperatura final si no hay p´rdida de calor al medio ambiente. (Ce(Pb) = 128 J/kg.K ; Ce(Al) = 910 J/kg.K) Solución Qgana el H2O = Qpierde(Pb+Al) m H 2O Ce( H 2 O )(Te − T1 ) = m Pb Ce( Pb )(T2 − Te ) + m Al Ce( Al )(T2 − Te ) ⎛ J ⎞ J ⎞ J ⎞ ⎛ ⎛ ⎟(Te − 293.15 ) = (0,80kg )⎜128 ⎟(373,15 − Te ) + (1,1kg )⎜ 910 ⎟(373,15 − kg.K ⎠ kg.K ⎠ kg.K ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 1421,2Te − 416624,78 = 38210,56 − 102,4Te + 373523,15 − 1001Te 2524,6Te = 828358,49 828358,49 Te = = 328,11K = 54,9 º C 2524,6 (0,34kg )⎜ 4180 CAPÍTULO XII TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES 12.1 Ecuación de Estado de un gas ideal 12.2 Procesos térmicos 12.2.1 Ley de Boyle-Mariotte 12.2.2 Ley de Gay-Lussac 12.2.3 Ley de Charles 12.3 Calculo de la presión 12.4 Relación entre la temperatura y la energía interna en un gas ideal 12.5 Equipartición de la energía 12.6 Capacidades caloríficas de los gases ideales TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES Es una rama de la mecánica estadística que nos permite expresar algunas magnitudes macroscópicas en función de promedios tomados sobre movimiento moleculares y obtener así un conocimiento más profundo de las propiedades termodinámicas de un sistema explica el comportamiento de los gases, considerando en el análisis la variación de las variables macroscópicas de P, V y T. 12.1 Ecuación de Estado de un Gas Ideal La ecuación de estado es una ecuación que relaciona las variables de estado: Presión (P), Volumen (V) y Temperatura (T) de un gas ideal en estado de equilibrio, permaneciendo constante en el tiempo (su estado no varía), pero en cambio se tiene en cuenta la masa del gas. PV = nRT (12.1) donde: P: presión (Pascal = N/m2) V: volumen (m3) T: temperatura absoluta (K) n: cantidad de sustancia (moles) m (12.2) n= M m: masa de la sustancia M: Peso molecular de la sustancia R: constante universal de los gases R = 8.31 J/mol.K Podemos calcular el valor R en condiciones normales: Po= 1 atm Vo= 22.4 litros To= 273 K n = 1 mol R= (12.3) R= PV nT atm − Lit (1atm )(22,4 Litros ) = 0,082 (1mol )(273K ) mol.K 12.2 Procesos Térmicos. 12.2.1 Ley De Boyle-Mariotte (Curva Isotérmica) Para n y T constantes, el volumen de una masa gaseosa es inversamente proporcional con la presión que experimenta. P V = constante (12.4) de la gráfica 12-1 (a) P1 V1 = P2 V2 (12.5) 12.2.2 Ley de Gay-Lussac (Curva Isovolumétrica) Para n y V constantes, la presión del gas es directamente proporcional con su temperatura absoluta. P = Cons tan te T (12.6) De la gráfica 12.1 (b) P1 P2 = T1 T2 (12.7) 12.2.3 Ley de Charles (Curva Isobárica) Si n y P son constantes, el volumen de una masa gaseosa es directamente proporcional con su temperatura absoluta. V = Cons tan te T (12.8) De la gráfica 12.1 (c) V1 V2 = T1 T2 (12.9) Todos estos resultados juntos se resumen en la relación: PV PV = Cons tan te ⇒ = Cons tan te nT T (12.10) Ejemplo 12.1 Un gas ideal experimenta un proceso en el que la temperatura se duplica y la presión se triplica. (a)¿en qué factor cambia el volumen del gas? (b) representar los estados inicial y final en un diagrama P-V. Solución a) P1V1 = nRT1 P2V2 = nRT2 → → Reemplazando: PV1 = nRT (3P )V2 = nR (2T ) ⇒ nRT P 2 nRT ⎞ V2 = ⎛⎜ ⎟ 3⎝ P ⎠ V1 = ⇒ 2 V2 = V1 3 b) Ejemplo 12.2 Se tiene un gas de Helio que se encuentra inicialmente en un estado caracterizado por P=0.73 Kpa, V=12L y T=320K. (a) Determinar la cantidad de gas presente. (b) Si el gas se expande isotérmicamente hasta un volumen de 18 L, determinar la presión del helio en este estado. Solución a) P1= 0.73 Kpa = 720.6x10-5 atm V1= 12L T1= 320 K R = 0.082 atm-L/mol.K PV = nRT n= (720,6 × 10 −5 atm )(12 L ) = 3,3 × 10 −3 moles PV = RT (0,082atm − L / mol.K )(320 K ) b) T= constante V2= 18L P2= ? P1V1 = P2V2 (730Pa)(12L) = P2 (18L) P2 = 486.6 Pa 12.3 Calculo de la Presión Sabemos que un gas a presión (P) ejerce sobre una pared de área A una fuerza de módulo F=PA. Desde el punto de vista microscópico esta fuerza se debe a las colisione de las moléculas con la pared. Supongamos que la molécula choca elásticamente con la pared. La componente x de la velocidad de la molécula pasa de ser inicialmente vx a ser vx después de la colisión. la cantidad de movimiento es: ∆P = p x ( final ) − p x (inicial ) = m(− v x ) − m(v x ) = −2mv x (12.11) El impulso que la pared ejerce sobre la molécula I ' x = ∆p x = −2mv x (12.12) Y el impulso de la molécula a la pared es: I x = 2mv x (12.13) El valor promedio del impulso que la molécula transmite a la pared es: m∆t Ix = v x2 ∑ L1 (12.14) la fuerza promedio Fx ejercida sobre esta pared I m Fx = x = ∑ v x2 ∆t L1 (12.15) m∑ v x2 F P= x = ⇒ PV = m∑ v x2 L2 L3 L1 L2 L3 (12.16) Pero el promedio del cuadrado de la velocidad molecular es: v 2 = v x2 + v y2 + v z2 = 3 v x2 (12.17) pero ∑v 2 x =N v 2 x = N v2 3 (12.18) PV = Nm 2 v 3 (12.19) Se encuentra que para un volumen dado, la presión de un gas es proporcional al promedio del cuadrado de la velocidad de las moléculas. Esto nos indica que cuanto más rápido se mueven las moléculas, entonces la presión es más alta. 12.4 Relación entre la Temperatura y la Energía Interna en un Gas Ideal Consideremos un gas ideal monoatómico, en el cual las moléculas constan de un sólo átomo como He, En, Ar, Xe, Kr, Rn, en condiciones normales y que las partículas se comportan como partículas puntuales (despreciándose la energía potencial de interacción entre ellos) la energía interna U es la suma de las energías cinética traslacional de las moléculas es: 1 U = m∑ vi2 2 i (12.20) La energía cinética promedio de una molécula está dada 1 m∑ vi2 ∑i vi2 1 2 1 2 i K = = m = mv N N 2 2 (12.21) La energía interna de un gas ideal monoatómico: 1 U = N K = mN v 2 2 (12.22) donde: PV = 1 2 1 Nm v 2 = ⎛⎜ Nm v 2 ⎞⎟ 3 3⎝2 ⎠ (12.23) 2 PV = U 3 (12.24) como: PV = nRT 2 3 U = nRT ⇒ U = nRT 3 2 (12.25) Encontramos que la energía interna de un gas ideal es proporcional a la temperatura absoluta para el gas ideal monoatómico. Entonces: Para un sistema formado por n moles debe contener N moléculas de tal modo que: N n= NA (12.26) Donde: NA: Número de Avogadro (NA ≡ 6.023x1023 mol-1) U= 3 NRT 2 NA (12.27) K = U 3RT = N 2N A (12.28) 3 K BT 2 K = (12.29) Si KB: constante de Boltzmann R KB = ≡ 1,38 × 10 − 23 J / K NA (12.30) La ecuación (12-29) nos dice que la energía cinética de traslación promedio de las molécula es proporcional a la temperatura. Esta ecuación es perfectamente válido para cualquier gas, y también con razonable exactitud para líquidos y sólidos. Si queremos calcular la velocidad promedio de las moléculas, lo hacemos en función de la velocidad cuadrática media vrms, como: v rms = v 2 (12.31) como: K = 1 3 m v 2 = K BT 2 2 (12.32) v2 = 3K B T m (12.33) v rms = 3K B T m (12.34) 12.5 Equipartición de la energía La energía cinética promedio de las moléculas de un sistema a temperatura T es: K = 1 3 m v 2 = K BT 2 2 (12.35) como existen tres direcciones espaciales en las que la molécula puede moverse, un gas ideal monoatómico tiene tres grados de libertad y la energía mecánica promedio de una molécula, es: 1 E = 3⎛⎜ K B T ⎞⎟ ⎝2 ⎠ (12.36) La generalización de este resultado se conoce como teorema de equipartición de la energía. Así para un sistema molecular a temperatura T en el que cada molécula tiene nα grados de libertad. La energía mecánica molecular promedio viene dado: 1 E = nα ⎛⎜ K B T ⎞⎟ ⎝2 ⎠ (12.37) Para un gas ideal monoatómico tiene 3 grados de libertad, entonces nα=3, en cambio para las moléculas de los gases diatómicos o poliatómicas, tiene más de 3 grados de libertad. En promedio la energía mecánica de cada molécula diatómica a temperatura T será: 1 E = 5⎛⎜ K B T ⎞⎟ ⎝2 ⎠ (12.38) 12.6 Capacidades caloríficas de los gases ideales La cantidad de calor cedido al sistema a volumen constante puede expresarse en función de la capacidad calorífica a volumen constante Cv en la forma: dQ = n Cv dT (12.39) Como dU = dQ y n es el número de moles del sistema 1 dU Cv = . (12.40) n dT La ecuación (12.25) 3 d ⎛⎜ nRT ⎞⎟ 1 3 2 ⎠ Cv = . ⎝ ⇒ Cv = R n dT 2 en cambio el calor a presión constante es: dQ = nCpdT (12.41) (12.42) De la primera ley de la termodinámica: dQ = dU + dW (12.43) nCpdT = nCvdT + PdV (12.44) pero PdV = nR dT (12-45) entonces: nCpdT = nCvdT + nRdT Cp = Cv + R ⇒ Cp − Cv = R 3 5 Cp − R = R ⇒ Cp = R 2 2 (12-46) (12.47) (12.48) Además: γ = Cp 5 = = 1,67 Cv 3 (12.49) Tabla 12-1 Capacidades caloríficas para algunos gases a 1 atm y 20ºC γ = Cp/Cv Gas Cv (J/mol.K) Cp (J/mol.K) He 12.5 20.8 1.67 Ar 12.5 20.8 1.67 H2 20.4 28.8 1.41 O2 21.1 29.4 1.40 N2 20.8 29.1 1.40 Cl2 25.7 34.7 1.35 CO2 28.5 37.0 1.30 NH3 27.8 36.8 1.31 C2H6 43.1 51.7 1.20 Ejemplo 12.3 Cada una de las moléculas de n cierto gas poliatómico a 1850 K tiene tres grados de libertad traslacionales, tres rotacionales y cuatro vibracionales, que contribuyen a su energía mecánica. Determinar: (a)la energía mecánica molecular promedio y (b)la energía interna de 2 moles de este gas. Solución a) nα = 3 + 3 + 4 = 10 Grados de libertad 1 E = nα ⎛⎜ K B T ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 1 E = (10 )⎛⎜ ⎞⎟(1,38 × 10 − 23 J / K )(1850 K ) = 1,28 × 10 −19 J ⎝2⎠ b) La energía interna es: U = N E = nN A E U = (2 moles )(6,02 × 10 23 mol −1 )(1,28 × 10 −19 J ) = 1,54 × 10 5 J CAPITULO XIII TERMODINÁMICA 13.1 Primera ley de la termodinámica 13.2 Calor, Trabajo, energía interna. 13.3 Trabajo efectuado por un gas ideal 13.3.1 A presión constante 13.3.2 A temperatura constante 13.3.3 En un proceso adiabático 13.4 Aplicaciones de la primera Ley de la termodinámica 13.4.1 Proceso Isócoro 13.4.2 Proceso adiabático 13.4.3 Proceso isobárico 13.4.4 Proceso isotérmico 13.4.5 Expansión libre 13.4.6 Proceso cíclico 13.5 Segunda Ley de la Termodinámica 13.6 Ciclos Termodinámicos 13.6.1 Ciclo de Carnot 13.7 Entropía. TERMODINÁMICA La termodinámica es el estudio de la relación entre calor, trabajo y energía, y en particular de la conversión de energía en trabajo. Los orígenes de la termodinámica y sus leyes se encuentran en una serie de inventos prácticos que se llevaron a cabo durante la revolución industrial y en particular en el descubrimiento de la máquina de vapor no fue sino hasta la segunda mitad del siglo pasado cuando quedó ampliamente reconocido que el calor y el trabajo mecánico son formas de transferencia de energía y que la energía es una magnitud que se conserva. Entre los científicos que contribuyeron activamente en el desarrollo paulativo de estas ideas estaban Benjamín Thompson (1753 - 1814) y James Joule (1818 - 1889). Al describir la termodinámica con frecuencia nos referimos a sistemas determinados. Un sistema es cualquier objeto o conjunto de objetos que deseamos considerar. Todo lo demás en el universo, que no pertenece al sistema, se conoce como su medio ambiente. Un sistema cerrado es aquel para el que no entra ni sale masa. En un sistema abierto, puede entrar o salir masa, muchos sistemas idealizados que estudiamos en física son sistemas cerrados, y un sistema cerrado es aislado si no pasa energía en cualquiera de sus formas por sus fronteras, en caso contrario no es aislado. 13.1 Primera ley de la termodinámica. La primera ley de la termodinámica es una ley que descansa en la experimentación tomando como referencia el principio de conservación de la energía. El que la energía transferida sea calor o trabajo va a depender de lo que elijamos como sistema. El trabajo realizado por un sistema no solo depende de los estados inicial y final de dichos sistemas sino también de cómo se lleva a cabo el proceso. Por lo mismo el calor cedido a un sistema depende tambien de cómo se lleva a cabo el proceso, siendo diferente para cada instante del proceso. De acuerdo a un gran número de experimentos, se puede generalizar diciendo que mientras el calor cedido al sistema y el trabajo realizado por este dependen del proceso, su diferencia Q – W no depende del proceso y solo es función de los estados inicial y final del sistema. En consecuencia: “En todo proceso en que se cede un calor Q al sistema y este realiza un trabajo W, la energía total transferida a dicho sistema es igual al cambio en su energía interna ∆U”. Q = ∆U + W (13.1) (13.2) ∆U = U f − U i Donde: U f : Energía interna final U i : Energía interna Inicial. Si Entonces W = PdV dQ = ∆U + PdV (13.3) (13.4) Se ha adoptado el convenio de que Q indica la cantidad de calor agregado al sistema y W el trabajo realizado por él. Por lo tanto, Q es positivo cuando entra calor al sistema (+Q) y (-Q) cuando el sistema pierde calor; W es positivo cuando el sistema hace trabajo y negativo cuando se hace trabajo sobre el sistema. 13.2 Calor, trabajo, Energía Interna. En los capítulos anteriores vimos que el calor es una transferencia de energía de un cuerpo a un segundo cuerpo que está a temperatura mas baja. Por lo tanto el calor es muy semejante al trabajo. Para distinguirlos, se define al calor como una transferencia de energía debido a una diferencia de temperatura, mientras que el trabajo es una transferencia de energía que no se debe a una diferencia de temperatura. En cambio la energía interna de un sistema puede interpretarse a nivel molecular como la suma de las energías cinéticas de las moléculas de dicho sistema. De este modo un aumento de la energía interna de un gas ideal corresponde a un aumento en la energía cinética total de sus moléculas (y un aumento en su temperatura). 13.3 Trabajo efectuado por un gas Ideal. El trabajo es la energía transferida entre un sistema y su entorno por métodos que no dependen de la diferencia de temperatura entre ambos. Como el trabajo mecánico es el producto de una fuerza por un desplazamiento, el trabajo realizado por el sistema (maquina) está siempre ligado con el movimiento de alguna parte de su entorno (parte mecánica movil). Este trabajo es positivo (Ver figura). La fuerza ejercida sobre el embolo por el gas es: Fx = PA (13.5) dW = Fx dx ; dV = Adx (13.6) (13.7) dW = PAdx = PdV Entonces tenemos: dV > 0 ⇒ dW = 0 Existe una expansión (trabajo positivo) dV < 0 ⇒ dW < 0 Es un proceso de comprensión (Trabajo negativo) dV = 0 ⇒ dW = 0 Proceso isovolumétrico (V=cte), (no hay trabajo) En cambio si el sistema cambia desde V1 (Volumen inicial) a V2 (Volumen final), se tiene: V2 w = ∫ PdV V1 (13.8) Para ello consideremos los siguientes procesos que se efectúan en un gas ideal. 13.3.1 A Presión Constante. (P0=cte) V2 W = P0 ∫ dV = P0 (V2 − V1 ) V1 W = P0 ∆V (13.8) (13.10) El trabajo realizado por el sistema es igual al área bajo la curva correspondiente al proceso tal como se observa en la figura (13.2)(a). 13.3.2 A Temperatura constante (T=cte) nRT Como: PV = nRT P= V (13.11) V2 nRT V2 dV (13.12) W =∫ dV = nRT ∫ V2 V V V ⎛V ⎞ (13.13) W = nRT ln⎜ 2 ⎟ ⎝ V1 ⎠ ⎛V ⎞ ln⎜ 2 ⎟ > 0 En este caso el trabajo es ⎝ V1 ⎠ ⎛V ⎞ positivo, pero si V2 < V1 ⇒ ln⎜ 2 ⎟ < 0 y el trabajo es ⎝ V1 ⎠ negativo, o lo que se lo mismo P1V1 = P2V2 = nRT , entonces reemplazando se tiene: ⎛V ⎞ W = P1V1 ln⎜ 2 ⎟ (13.14) ⎝ V1 ⎠ Si V2 > V1 ⇒ Tal como se observa en la figura (13.2)(b) 13.3.3 En el Proceso Adiabático. (No hay transferencia de calor desde/hacia el sistema). A este proceso se le conoce como una expansión libre adiabática, donde el estado inicial y final del gas son idénticas, la curva representada en la figura (13.3), Cp depende del valor de γ = y que cumple con la relación. Cv (13.15) PV γ = const PV γ PV γ = P1V1γ P = 1 γ1 ⇒ (13.16) V El trabajo es: V2 dV P1V1γ dV = P1V1γ ∫ γ V1 V1 V V1 V γ 1 ⎛ 1 1 ⎞ W = P1V1γ ⎜⎜ γ −1 − γ −1 ⎟⎟ 1 − γ ⎝ V2 V1 ⎠ V2 V2 W = ∫ PdV = ∫ Simplificando: PV ⎡ ⎛ V ⎞ W = 1 1 ⎢1 − ⎜ 1 ⎟ γ − 1 ⎢⎣ ⎝ V2 ⎠ γ −1 ⎤ ⎥ ⎥⎦ (13.17) (13.18) (13.19) Ejemplo 13.1. ¿Cuánto calor debe cederse a presión constante a 1,5 moles de hierro para elevar su temperatura desde 280 ºK hasta 320 ºK (MFe=56)? Solución. m ⇒ m = nM M Q = nMC e ( Fe)(T2 − T1 ) Q = (1,5 mol )(56)(447 J / kg º K )(320 − 280)º K Q = 1,50 × 10 6 J = 1,50 MJ Ejemplo 13.2. Un clavo de hierro de 20 gramos esta siendo golpeada por un martillo de 0,45 kg, la velocidad del martillo cuando choca con el clavo es de 9 m/s. Si la mitad de la energía cinética del martillo se convierte en energía térmica del clavo. ¿Cuántas veces debe golpearse para elevar su temperatura 25 ºC?. Solución. N ( K m ) = Qc 2 N ⎛1 2 ⎞ ⎜ mm v m ⎟ = mc C e ( Fe)∆T 2 ⎝2 ⎠ N (0,45 kg )(9 m / s ) 2 = (20 × 10 −3 kg )(447 J / kg º K )(298 º K ) 4 N (9,11) = 2264,12 ⇒ N = 292 veces Q = mC e ( Fe)∆T ; n= 13.4 Aplicaciones de la 1ra Ley de la Termodinámica. La primera ley de la termodinámica describe los cambios de energía en cualquier proceso que lleve a un sistema desde un estado inicial de equilibrio a otro estado de equilibrio final. Esto podemos determinar como: 13.4.1 Proceso Isócoro. (Isovolumétrico) (V=cte). Se tiene que: dW = PdV (13.20) Si dV = 0 ⇒ W = ∫ PdV = 0 (13.21) Q = ∆U + W (13.22) Pero: Q = ∆U (13.23) Entonces De todo el calor cedido es igual al cambio de su energía interna. 13.4.2 Proceso Adiabático (Q=0) Es un proceso en el que no se cede calor al sistema, por tanto: dQ = 0 ⇒ Q=0 (13.24) De la primera ley de la termodinámica aplicada a un proceso adiabático. Q = ∆U + W ⇒ ∆U = −W (13.25) Lográndose evitar que haya transferencia de calor entre un sistema y su entorno al aislar el sistema mediante paredes adiabáticas o bien llevar a cabo el proceso muy rápidamente, de forma que pueda despreciarse la cantidad de calor transferido. 13.4.3 Proceso Isobárico (P=cte) Q = ∆U + PdV (13.26) El calor cedido al sistema puede evaluarse usando los datos de los calores específicos y los calores latentes. 13.4.4 Proceso Isotérmico (T=cte) Este tipo de proceso es aquel en que una sustancia cambia de fase (por ejemplo de sólido a líquido). En este tipo de proceso se sede calor al sistema y este puede realizar un trabajo sobre su entorno, pero la temperatura no cambia. 13.4.5 Expansión Libre Consideremos un recipiente que contiene dos cámaras, una de ellas tiene un gas y la otra se ha hecho un vacío. Si la membrana se separa, se rompe espontáneamente y el gas se expande libremente hasta llenar todo el recipiente, a este proceso se le llama expansión libre, observándose que: P1V1T1U 1 → P2V2T2U 2 (13.27) Debido al aislamiento, el proceso es adiabático (Q=0) y el sistema no realiza trabajo sobre su entorno (W=0), entonces: Q = ∆U + w ⇒ ∆U = 0 (13.28) O lo que es lo mismo: U 1 = U 2 , los estados inicial y final del gas tienen la misma energía interna. En una expansión libre el volumen cambia de V1 hasta V2 y la temperatura de T1 y T2, de modo que: U (V2 , T2 ) = U (V1T1 ) (13.29) Pero en un proceso de expansión libre nos conduce a la conclusión de que la energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura. 13.4.6 Proceso Cíclico. Es un proceso en el cual el sistema regresa al estado inicial del que había partido. Es decir en un proceso cíclico los estados inicial y final son el mismo y la energía interna del sistema debe ser igual a cero. Si W es el trabajo total realizado en el ciclo y Q el calor cedido al sistema donde ∆U = 0. Q = ∆U + w Q=w (13.30) Entonces el trabajo realizado por el sistema en un ciclo es igual al calor neto cedido a dicho sistema. Ejemplo 13.3 Un cilindro contiene He a 310 ºK y está cerrado por un pistón movil. El gas se encuentra inicialmente a una presión de 2 atm (202 kPa), ocupando un volumen de 48 L, se expande isotérmicamente hasta un volumen de 106 L. Luego el gas se comprime isobáricamente volviendo a su volumen inicial de 48 L. Evaluar el trabajo realizado por el gas. a. En la expansión isotérmica. b. En la compresión adiabática y c. En todo el proceso d. ¿Cuál es la temperatura final del gas? Solución. a. P1 .V1 = nRT ⎛V ⎞ W = nRT ln⎜ 2 ⎟ ⎝ V1 ⎠ ⎛V ⎞ W = P1V1 ln⎜ 2 ⎟ ⎝ V1 ⎠ 106 L ⎞ W = (202 KPa )(48 × 10 −3 m 3 )ln⎛⎜ ⎟ = 7,7 KJ ⎝ 48 L ⎠ b. ⇒ W = P2 (V3 − V2 ) P1V1 (202 KPa ) (48L ) (48 × 10 −3 − 106 × 10 −3 ) (V3 − V2 ) = 106 L V W = −5,3KJ W = c. WT = 7,7 + (−5,3) = 2,4 KJ d. P1 P3 = T1 T3 → T3 = T1 P3 (310 K )(91KPa ) = = 140 K P1 202 KPa 13.5 Segunda Ley de la Termodinámica Si la primera ley de la termodinámica se basa ene l principio de conservación de energía, la segunda ley se sustenta en la manera natural que tiene el calor para propagarse en las zonas de alta temperatura hacia los de baja temperatura. Esta ley la enunció R.J. Clausius (18221888). “El calor pasa en forma natural de un objeto caliente a uno frío, nunca pasará espontáneamente de un objeto frío a uno caliente”. Como este enunciado se aplica a un proceso determinado, necesitamos un enunciado más general que incluya los demás procesos, entonces podemos decir que: “Es imposible construir una máquina térmica capaz de convertir todo el calor que se le entrega en trabajo”. Entonces una máquina térmica es cualquier dispositivo mecánico que se encarga de transformar la energía térmica en trabajo mecánico. W N = Q1 − Q2 (13-31) donde: WN : trabajo neto del ciclo Q1 : calor absorbido en el foco caliente Q2 : calor perdido o cedido al foco frío La idea de cualquier máquina térmica es que se pueda obtener energía mecánica cuando se permita el paso del calor de una temperatura alta a una baja, como se observa en la figura (13-5). La eficiencia de una máquina térmica se define como la relación entre el trabajo neto entregado por la máquina y el calor invertido por su funcionamiento. η= W N Q1 − Q2 = Q1 Q1 (13-32) o tambien: η= T1 − T2 T1 (13-33) de igual manera: Q1 Q2 (13-34) = T1 T2 Ejemplo 13-4 ¿Cuál es la máxima eficiencia obtenida para una máquina de vapor entre 600ºC y 320K? Solución T −T T η = 1 2 = 1− 2 T1 T1 T η = 1 − 2 = 1 − 0.37 = 0.63 T1 η = 63% 13.6 Ciclos Termodinámicos Es aquel proceso termodinámico en donde el sistema retorna a su estado inicial por un camino diferente. En todo ciclo termodinámico la variación de la energía es igual a cero. 13.6.1 Ciclo de Carnot Fue escrito por el ingeniero francés Sadi Carnot en 1824. Carnot consideró una máquina térmica ideal que alcanzaría la máxima eficiencia trabajando entre dos temperatura TA y TB, el ciclo correspondiente se denomina ciclo de carnot. Este ciclo consta de cuatro procesos: De: a. 1 Æ 2: expansión isotérmica (T1=const.): El sistema absorbe una cantidad de calor QA. b. 2 Æ 3: expansión adiabática reversible: la temperatura del sistema desciende de TA a TB. c. 3 Æ 4: compresión isotérmica (T2=const.): se extrae una cantidad de calor QB del sistema. d. 4 Æ 1: compresión adiabática, que completa el ciclo: la temperatura del sistema aumenta, volviendo a TA desde TB. La maquina de Carnot es un caso especial de una máquina térmica más general denominada máquina reversible, cuyo ciclo está compuesto en su totalidad por etapas reversibles. La eficiencia para una maquina que desarrolla el ciclo de carnot es: T ηc = 1 − B (13-35) TA Por lo tanto este resultado lo podemos resumir en el Teorema de Carnot: “Todas las máquinas reversibles que operan entre dos temperaturas TA y TB, tienen la misma eficiencia η c , y ninguna máquina que opere entre estas temperaturas puede tener mayor eficiencia que esta”. 13.7 Entropía (S) Si la entropía es una variable de estado, ésta describe el desorden de determinado estado termodinámico sin importar cómo llegó el sistema a ese estado. Por lo tanto el cambio de entropía entre dos estados es independiente de la trayectoria elegida para evaluarlo. Entonces: dQ (13-36) ∆S = ∫ T La entropía también se puede describir desde un punto de vista microscópico. La cantidad de microestados posibles que corresponde al macroestado determina su entropía como no conocemos en qué microestado está el sistema, cuanto más microestados sean posibles, menos información estará disponible y la entropía será mayor. La ecuación exacta de la entropía de un macroestado es: S = k ln Ω (13-37) donde: k: constante de Boltzmann Ω: cantidad de microestado La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía del universo tiende a aumentar. BIBLIOGRAFÍA ¾ SERWAY, R, Física – Tomo I, Ed. McGraw-Hill Interamericana de México 1993. ¾ GETTYS, E; KELLER, F; SKOVE, M; Física Clásica y Moderna Ed. Mc. Graw-Hill Interamerica de España, S.A. España – 1991. ¾ GINCOLI; D; Física, Ed. PRENTICE – MALL HISPONOAMERICA, S.A. MEXICO – 1994. ¾ TARASOV, L; TARASOVA, A; PREGUNTAS Y PROBLEMAS DE FÍSICA, ED. MIR MOSCU, URSS, 1980.