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LIBRO DE PRACTICAS DEL PRIMER SEMESTRE ESTADISTICA II CURSO 2004
CONTENIDO PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA.......................................................................................... 2 PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE........................................... 18 PRACTICA 3: SERIES DE TIEMPO ......................................................................................................... 23 PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES............................................................................................................................... 27 PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS..................................................................... 32 PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS .............................. 40 PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES .................................................................... 46 PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES ............................................................ 59
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA EJERCICIO 1 (Novales 1.1) Diga si son datos de sección cruzada o de series temporales los siguientes: a) La cuantía que del impuesto sobre la renta han pagado las familias españolas en 1995. b) El valor, en pesetas, de los bienes exportados por España durante cada uno de los meses de 1995. c) El dinero que se gastó en consumo un conjunto de 100 familias españolas, escogido al azar, de entre todo el país en el período 1990-1995. EJERCICIO 2 La siguiente tabla muestra los años que un conjunto de 30 trabajadores encuestados ha estado en su actual empresa: 4 9
8 11
11 13
3 14
6 7
10 12
1 14
5 18
21 9
4 4
7 11
8 17
2 9
2 2
6 13
a) Construya su distribución de frecuencias absolutas. b) Obtenga las frecuencias relativas para cada clase y represéntelas gráficamente. c) ¿Qué porcentaje de trabajadores ha estado en su actual empresa más de 8 años? ¿Y menos de 13? d) Dibuje el gráfico acumulativo de frecuencias. e) Repita los pasos anteriores utilizando ahora intervalos de clase con 1 como límite inferior del primer intervalo de clase, y longitud de cada intervalo igual a 4.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 3 (Primera revisión 1997) El gráfico adjunto corresponde a la función de distribución empírica acumulada de la cantidad de automóviles diarios vendidos en una automotora, observada en un mes de trabajo. F X (x ) 1 0 .9
0 .5
0 .2 x 1
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Se pide: 1. Explicitar la función de distribución empírica acumulada. 2. Determinar la distribución de frecuencias relativas y graficarla. 3. ¿Qué porcentaje de días se vende en la automotora un automóvil o más? Fundamente su respuesta. EJERCICIO 4 Una empresa tiene 200 administrativos que reciben U$S 500 mensuales y 800 obreros que reciben U$S 200 por mes. En tiempo de depresión temporal, todos los salarios se rebajan un 20% y 600 obreros son mandados a seguro de paro. Sin embargo el departamento de relaciones públicas da a conocer una declaración en el sentido de que el salario promedio aumentó. Explique por qué sucede esto. EJERCICIO 5 (Novales 1.8) Pruebe que la suma de las desviaciones entre n datos y su media muestral, es siempre igual a cero. EJERCICIO 6 (Novales 1.13) Suponga que dispone de m observaciones de la variable X, con las que calcula su media x y de n observaciones de la variable Y, con las que calcula su media y . Pruebe que el promedio z de los m + n datos, tomados todos conjuntamente, puede escribirse:
z=
m n x+ y n+m n+m 3
PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 7 (Primera Revisión 2000) A partir de una muestra de 10 datos se obtuvieron los siguientes resultados: Media aritmética = 4
Mediana = 5
Realizados los cálculos se descubre que la observación con valor más pequeño estaba equivocada y en lugar de 2 era 1. a) ¿Cuál es el valor correcto de la media aritmética? Fundamente su respuesta. b) ¿Cuál es el valor correcto de la mediana? Fundamente su respuesta. EJERCICIO 8 Una empresa de transporte lleva estadísticas, desde hace varios años, del rendimiento de dos marcas de llantas. De las mismas se han sacado los siguientes resultados (en Km.) LLANTA MEDIANA MEDIA A 25.000 27.000 B 27.000 25.000 Suponga que las dos llantas se venden al mismo precio. ¿Qué marca recomendaría usted al negocio de transportes? ¿Por qué? EJERCICIO 9 (Examen Febrero 2001) Una encuesta dirigida a 1.000 parejas con 10 o más años de convivencia se realizó para investigar el número de hijos varones e hijas mujeres de las parejas, obteniéndose los resultados que se presentan en el siguiente cuadro.
VARONES 0 1 2 3 4 Total
0 200 100 70 50 20 440
1 100 150 30 20 10 310
MUJERES 2 3 80 50 40 20 20 10 10 10 0 0 150 90
4 10 0 0 0 0 10
Total 440 310 130 90 30 1.000
Se pide: Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso que la afirmación sea falsa, justificar la respuesta. 1. En la población de parejas con 10 o más años de convivencia no hay parejas con 7 descendientes o más. 2. Si se considera la variable aleatoria “Número de descendientes”, el modo es 2. 3. Los resultados son coherentes con la teoría de que en los nacimientos hay un leve predominio de los varones sobre las mujeres. 4. El número medio de descendientes por pareja en la muestra es 2.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 10 (Primer control 2000) Una encuesta realizada a los 1000 hogares de una ciudad relevó información sobre dos variables: a) el ingreso mensual en $U de cada hogar (agrupados en tres tramos) b) el nivel educativo máximo alcanzado por el/la jefe/a del hogar. Se sabe adicionalmente que: 1. Los hogares comprendidos en el primer tramo de ingresos, de 0 a 10000 presenta la siguiente composición por nivel educativo del/la jefe/a: Hasta primaria completa, 40% del total de hogares encuestados. Hasta secundaria completa, 14% del total de hogares encuestados. Con algo de universidad, 1% del total de hogares encuestados. 2. El último tramo de ingresos, de 20000 a 40000, comprende al 10% de los hogares encuestados. Indicar, justificando brevemente, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) La mediana aproximada de la distribucion del ingreso es de 5500. (b) El 9° decil es 25000. (c) La media aproximada del ingreso es 10250. EJERCICIO 11 (Primer control 2000) El porcentaje de insectos muertos luego de una aplicación de insecticida se registra en la siguiente tabla: Tiempo en minutos 5 10 30 45 60
Porcentaje de insectos muertos 50 75 85 95 100
Indicar, justificando brevemente, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El tiempo de vida aproximado más frecuente desde la aplicación del insecticida es de 2 minutos 30 segundos. (b) Sólo el 15% sobrevive más de 30 minutos. (c) El 10% de las muertes se produce aproximadamente luego del primer minuto. (d) El tiempo medio aproximado de vida luego de la aplicación es de 11 minutos y medio.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 12 Diga usted que medidas de posición serían más útiles en cada uno de los siguientes casos. En cada uno de los casos justifique su respuesta. 1. El gerente de producción de una fábrica de envases de vidrio quiere saber cuál es el
tamaño de envase que debe fabricar en mayor cantidad. Tiene a mano un buen número de datos de los tamaños de envases ordenados por los clientes. 2. El gerente de ventas de una compañía que produce mobiliario de lujo desea seleccionar
regiones para establecer salas de exhibición. ¿En qué medida del ingreso familiar estará más interesado? EJERCICIO 13 (Múltiple opción seleccionada de los exámenes de Marzo y Mayo de 2001) 1. En una muestra de hogares la mediana de los ingresos de los varones (Xmed) es 4000 y la mediana de los ingresos de las mujeres (Ymed) es 3500. Entonces, a)
FX* ( 4000 ) < FY* ( 4000 )
b) c)
FX* ( 4000 ) = FY* ( 4000 ) FX* ( 4000 ) > FY* ( 4000 )
2. Para comparar la dispersión entre la distribución del ingreso de los hogares de Maldonado y la distribución del recorrido hasta la escuela rural de los alumnos de Lavalleja, el indicador más apropiado es: a) La varianza b) La desviación estandar c) El coeficiente de variación EJERCICIO 14 (Verdadero o Falso seleccionado del examen de Marzo de 2000) Comente las siguientes afirmaciones fundamentando su veracidad o falsedad: 1. La mediana es una medida de posición que es invariante a alteraciones en los valores extremos. 2. Cuando se tienen datos agrupados es imposible calcular exactamente los valores de la media y la varianza de los datos originales sin agrupar. 3. El coeficiente de variación no es tan bueno para medir la dispersión de una variable como el desvío estándar porque aquel depende de la unidad de medida de la variable.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 15 (Examen de Marzo de 2002) La Escuela Rural Nº 32 de Soriano tiene 436 niños. Sea X el tiempo en minutos que demora un niño en ir de su casa a la escuela. Se conoce la siguiente información: F*(x) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3
1. 2. 3.
5
7
9
11
13
15 x
¿Cuál es el tiempo promedio que un niño emplea en llegar a la Escuela? ¿Cuánto vale la mediana? Interprete el resultado en este caso. Grafique el histograma
EJERCICIO 16 (Examen de Marzo de 2000) PARTE A A continuación se presenta un cuadro aparecido en un análisis de concentración a partir del Censo de Establecimientos Industriales. NUMERO DE EMPLEADOS
1-4 5-9 10-19 20-49 50-99 100-249 250-499 500-999 1000-2499 2500 – 4000
PORCENTAJE PORCENTAJE ACUMULADO ACUMULADO DE VALOR AGREGADO POR EL DE FABRICANTE ESTABLECIMIENTOS 36,5 1,1 52,3 2,7 67,6 5,9 80,5 13,3 83,0 21,5 96,2 36,5 98,4 49,8 99,4 63 99,8 78,2 100,0 100,0
1. ¿ El 80.5 % de los establecimientos representan el 21.5 % del valor agregado? Justifique su respuesta. 2. Qué porcentaje de los establecimientos tienen 2500 empleados o más.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
3. ¿Qué participación tienen en el total del valor agregado industrial los establecimientos que tienen 2500 empleados o más? 4. Si sabemos que el total de 100000 establecimientos del país tienen en conjunto un valor agregado total de 400 millones. 4.1) ¿Cuál es el valor agregado generado en establecimientos que tienen hasta 49 empleados? 4.2) ¿Cuántos empleados hay trabajando en establecimientos que tienen hasta 49 empleados? PARTE B 1. Complete el siguiente cuadro, a partir del cuadro presentado en la PARTE A. Utilice como definición de los intervalos: [ ) NUMERO DE EMPLEADOS 1-5 5-10 10-50 50-250 250-4000
FRECUENCIA RELATIVA DE ESTABLECIMIENTOS
LAS SIGUIENTES PREGUNTAS DEBEN RESPONDERSE EN BASE AL CUADRO CALCULADO EN B.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
¿Cuál es la mediana del número de empleados? El 50 % de los establecimientos tienen hasta ___________ empleados. El primer cuartil es ___________ El tercer cuartil es ___________ El 50 % central de las observaciones se encuentra en un intervalo de amplitud _______ ¿Cuál es la cantidad media de empleados por establecimiento?. ¿Cuántos empleados hay en el total del país? 8. ¿Cuál es el intervalo modal de la cantidad de personal ocupado? EJERCICIO 17 La siguiente es la distribución de los ingresos de los hogares a partir de la muestra de la Encuesta Nacional de Hogares de un mes [ y’i-1 1000 2000 3000 5000 7000 10000 -
y’i ) 2000 3000 5000 7000 10000 15000
ni 100 120 150 100 80 50
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
Se pide: 1. Calcular la distribución de frecuencias y representarla gráficamente. 2. Calcular la función de distribución acumulada de frecuencias relativas y representarla gráficamente. 3. Calcular las medidas de posición e interpretar su significado. 4. Calcular las medidas de dispersión. 5. Calcular las medidas de simetría y apuntamiento. EJERCICIO 18 (Exámen de Setiembre de 1997) Parte A En una muestra de 100 datos se obtuvieron los siguientes resultados: X = 5.55
x0.5 = xmediana = 5.15
s2 = 16
Realizados los cálculos se descubre que una observación con valor 10 estaba equivocada y correspondía el valor 15. ¿Cuál es el valor correcto de la media, la mediana y la varianza de la muestra? Parte B El año pasado en esta época, los datos de préstamos personales de EFECTIVO-YA mostraron una media de $ 650 y una desviación estándar de $ 300. Recientemente se calculó la media en $ 1.000 y la desviación estándar en $ 350. Se pide: ¿mostraron mayor o menor variación relativa los préstamos del año pasado respecto al año actual? Parte C ¿Porqué se elevan al cuadrado las desviaciones respecto a la media al calcular la desviación estándar? EJERCICIO 19 (Primera Revisión de 2001) PARTE A En la siguiente tabla se presentan los salarios anuales (en miles de dólares de los directores ejecutivos de 100 grandes empresas. Frecuencia absoluta 90 , 790 40 790 , 1490 36 1490 , 2190 14 2190 , 2540 10 TOTAL 100 xi' −1 , xi'
Utilice las columnas libres del cuadro para efectuar los cálculos que considere necesarios.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
a) b) c) d)
Calcule la media. Interprete su significado. Calcule la mediana. Interprete su significado. Calcule el recorrido intercuartil. Interprete su significado. Calcule la varianza y la desviación estándar.
PARTE B En la siguiente tabla se presentan las edades de los ejecutivos de la Parte A. En base a ella se calcularon algunas medidas de resumen. xi' −1 , xi' 50 , 60 60 , 70 70 , 80 TOTAL
x = 61.6 (61 años y 7 meses) Mediana = 61.6 (61 años y 7 meses) Primera cuartila = 55.95 (55 años y 11 meses) Tercera cuartila = 66.6 (66 años y 7 meses) Varianza = 38.44 años 2 Desviación estándar = 6.2 años
Frecuencia absoluta 42 50 8 100
Se desea comparar la dispersión de los salarios y las edades de los directores ejecutivos. a) En su opinión, ¿cuál es el indicador más apropiado para comparar la dispersión en este caso? Fundamente su respuesta. b) Calcule el indicador apropiado y comente el resultado obtenido. c) Dado que la mediana para las edades es 61.6 (61 años y 7 meses), ¿se puede afirmar que los ejecutivos menores de 61 años y 7 meses ganan hasta el valor de la mediana de los salarios hallado en la Parte A? Fundamente su respuesta. EJERCICIO 20 (Examen de Setiembre de 1996) Una empresa comercializa diferentes productos cuyos precios oscilan en el mes de abril entre $10 y $14. Una muestra de las ventas del mes de abril arrojó los siguientes resultados: Precio 10 11 12 13 14
Cantidad de productos 50 150 100 80 20
Se pide: a) Calcular media y varianza de la distribución de la muestra de precios de abril. b) Los precios de la tabla no incluyen el IVA. Hallar, aplicando las propiedades correspondientes, la media y la varianza de los precios con IVA (23%). c) Para el mes siguiente (mayo), los precios sin IVA se incrementarán en $ 1. Hallar media, mediana, modo y varianza de la distribución de los precios (sin IVA) del mes de mayo, suponiendo que las cantidades de productos en la muestra permanecen inalterados.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 21 Los sueldos que paga una empresa a sus empleados, vienen dados por: [ y’i-1 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000
-
y’i ) 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000
Ni 5 7 8 6 5 4 3 2
La empresa propone al personal dos posibles arreglos de negociación: Arreglo 1: yi = 0.8 ui - 2000 Arreglo 2: ti = 1.2 yi + 3000 Se pide: a) ¿Cuál es el sueldo promedio que paga la empresa? b) ¿Cuál es el nuevo sueldo promedio U, según el Arreglo 1? c) ¿Cuál es la mediana del sueldo según el Arreglo 2? d) ¿Sobre qué sueldo yi , están el 20% de los sueldos superiores? e) ¿Qué porcentaje del dinero destinado a pagar sueldos representan los sueldos de las personas que ganan más de yi = $ 18.000? f) ¿Cuál es la varianza de los sueldos U, según el Arreglo 1? g) ¿Cuál es el coeficiente de variación de los sueldos U, según el Arreglo 1? h) ¿Cuál es el coeficiente de variación de los sueldos T, según el Arreglo 2? EJERCICIO 22 Con la finalidad de conocer la calidad de producción de una fábrica (Fábrica A), se extraen al azar 100 lotes de un conjunto de “n” lotes de igual tamaño, de un cierto artículo. El examen de los 100 lotes elegidos proporciona los siguientes resultados: Cantidad de piezas defectuosas de cada lote 0 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad de lotes Observados 10 11 14 20 13 14 11 7
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
Se pide: 1. 2. 3. 4. 5.
Calcular la distribución de frecuencias y representarla gráficamente. Calcular la función de distribución acumulada de frecuencias relativas y representarla. Calcular las medidas de posición. Calcular las medidas de dispersión. Calcular las medidas de forma (simetría y apuntamiento).
Para conocer la calidad de producción de otra fábrica competidora de la anterior (Fábrica B), también se extraen al azar 100 lotes de un conjunto de “n” lotes de igual tamaño, de un cierto artículo. El examen de los 100 lotes elegidos proporciona los siguientes resultados: Cantidad de piezas defectuosas de cada lote 0 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad de lotes Observados 5 8 7 23 18 10 19 10
Calcular las medidas de posición, dispersión, simetría y apuntamiento para la Fábrica B y compararlas con las calculadas para la Fábrica A. EJERCICIO 23 (Novales 1.7) Demuestre que si se efectúa un cambio de variable: Y = aX + b , entonces la media aritmética de Y es: y = a x + b , y su varianza: S y2 = a 2 S x2 . Probar asimismo que la mediana y la moda experimentarán la misma transformación que la media. Suponga a > 0. EJERCICIO 24 (Novales 1.11) ¿Qué efecto tiene sobre los coeficientes de asimetría y curtosis si multiplicamos cada uno de los n datos disponibles por una misma constante?
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 25 Los siguientes datos corresponden a la tasa de alfabetización de 21 países donde opera una empresa hotelera. País Haití Guatemala Nicaragua El Salvador Honduras Bolivia Brasil Dominicana R. Perú Colombia México Ecuador Panamá Venezuela Paraguay Chile Costa Rica Cuba Argentina Uruguay Barbados
Tasa de alfabetización 53 55 57 73 73 78 81 83 85 87 87 88 88 88 90 93 93 94 95 96 99
Se pide: 1. Clasifique la variable tasa de alfabetización en, cualitativa (nominal u ordinal) o cuantitativa (discreta o continua). Justifique su respuesta. 2. Construir un gráfico de tallos y hojas, con hojas de un dígito. 3. Determinar los cuartiles. 4. Construir un diagrama de cajas . 5. En base al diagrama de cajas construido identificar los países atípicos. Justifique su respuesta.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 26 A continuación se presentan datos del PBI por persona en dólares anuales de países de Asia País
Bangladesh Afganistán Vietnam Camboya India China Pakistán Indonesia Filipinas Corea del Norte Tailandia Malasia Corea del Sur Taiwan Hong Kong Singapur Japón
PBI (por persona en dólares anuales) 202 205 230 260 275 377 406 681 867 1000 1800 2995 6627 7055 14641 14990 19860
Se pide: 1. Clasifique la variable PBI en, cualitativa (nominal u ordinal) o cuantitativa (discreta o continua). Justifique su respuesta. 2. Construir un gráfico de tallos y hojas, con hojas de tres dígitos. 3. Determinar los cuartiles. 4. Calcular el recorrido intercuartílico e interpretar su resultado. 5. Construir un diagrama de cajas . 6. En base al diagrama de cajas construido identificar los países atípicos. Justifique su respuesta. EJERCICIO 27 Una compañía dispone de la siguiente tabla que vincula el uso de su producto líder en el mercado y la opinión del producto de responsables de la limpieza del hogar.
USO ESCASO/OCASIONAL FRECUENTE MUY FRECUENTE
REGULAR 64 131 209
OPINIÓN BUENO 123 256 171
EXCELENTE 137 129 45 14
PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
Se pide: 1. Obtener la distribución conjunta de frecuencias relativas. 2. Calcular las distribuciones marginales de frecuencias relativas de ambas variables. 3. Hallar la distribución de la variable OPINIÓN condicionada por cada valor de la variable USO. 4. Hallar la distribución de la variable USO condicionada por cada valor de la variable OPINIÓN. EJERCICIO 28 La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable CRED que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona y la variable COMP que refleja el número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito.
N°Tarjetas 1 2 3
No de compras por semana 0 1 0,08 0,13 0,03 0,08 0,01 0,03
2 0,09 0,08 0,06
3 0,06 0,09 0,08
4 0,03 0,07 0,08
Se pide: 1. Hallar la distribución marginal de la variable COMP. ¿Cuál es el numeró medio y la desviación típica del número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito? Obtener la distribución del número de tarjetas de crédito que poseen las personas de dicho estudio. ¿Cuál es el número más frecuente de tarjetas de crédito que posee una de estas personas? 2. Calcular la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas. ¿Cuál es la media de esta distribución? 3. ¿Qué conclusiones pueden extraerse a partir de la distribución conjunta sobre la relación entre ambas variables? 4. Si se sabe que en el estudio ha participado 300 personas, hallar la distribución conjunta de frecuencias absolutas. EJERCICIO 29 A continuación se presenta el puntaje otorgado por los clientes a un nuevo sistema de gerenciamiento de las relaciones con los clientes (CRM). Cuanto mayor el puntaje, se considera mejor la opinión acerca del sistema.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
OPINIÓN 1 2 3 4 TOTAL
EDAD [20,40) 70 40 50 40 200
[40,60) 20 50 70 60 200
[60,80) 20 30 50 100 200
TOTAL 110 120 170 200 600
Se pide: 1. Determinar la distribución conjunta de frecuencias relativas (trabaje con dos dígitos decimales). 2. Determinar la distribución marginal de frecuencias relativas de la variable EDAD. 3. Determinar la distribución marginal de frecuencias relativas de la variable OPINION. 4. Determinar el promedio de edades en la muestra. 5. Determinar la distribución de frecuencias relativas de la edad condicionada por OPINION=1. 6. Determinar la distribución de frecuencias relativas de la edad condicionada por cada uno de los valores de opinión. 7. Determinar el promedio de la variable edad condicionado por OPINION=1. 8. Determinar el promedio de la variable edad condicionado por cada uno de los valores de opinión. 9. Comente el vínculo entre ambas variables, en base a los promedios condicionales calculados. EJERCICIO 30 En la siguiente tabla se dan las alturas, medidas en metros, de 12 padres y sus hijos mayores: Altura del padre (X) Altura del hijo (Y)
1.65 1.60 1.70 1.63 1.73 1.57 1.78 1.68 1.73 1.70 1.75 1.80 1.73 1.68 1.73 1.65 1.75 1.68 1.73 1.65 1.80 1.70 1.73 1.78
Se pide: a) Construir el diagrama de dispersión. b) Calcular la covarianza entre X e Y. c) Calcular el coeficiente de correlación lineal. EJERCICIO 31 (Novales 1.14) Pruebe que si las dos variables que estudia, X e Y, están relacionadas mediante: Y = aX + b, entonces su coeficiente de correlación es 1 si a > 0 y es igual a -1 si a < 0.
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PRACTICA 1: ESTADISTICA DESCRIPTIV
EJERCICIO 32 (Novales 1.12) ¿Cómo afecta al coeficiente de correlación entre dos variables X e Y que multipliquemos las observaciones correspondientes a X por una constante α, y a las observaciones correspondientes a Y por una constante β, ambas positivas? ¿Y si sumamos o restamos una constante a cada variable? ¿Depende del signo de dicha constante?
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PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE EJERCICIO 1 De las siguientes afirmaciones indicar aquellas que son verdaderas justificando su respuesta: a) La mediana nunca es mayor que la mediala b) El valor absoluto del Índice de Gini (IG) es siempre menor que 2. c) Si el eje de las Y representa F* y el eje de las X representa T, entonces la gráfica de la curva de Lorenz tiene concavidad negativa. d) El valor cero del IG indica que no hay concentración. EJERCICIO 2 Se tienen los datos de la Encuesta Continua de Hogares de 1988, relativos a la distribución del ingreso per cápita ( en S.M.N.) del hogar de estudiantes universitarios: 0 2 4 6 8 10
-
2 4 6 8 10 30
5578 2804 680 219 103 86
a) b) c) d) e)
Hallar la función de distribución acumulada. Hallar la función de distribución del ingreso acumulado, T(x). Hallar la mediala e interpretar el valor obtenido. Representar gráficamente T(x) en función de F*(x). Hacer un estudio de la concentración: 1. relacionando t(x) con h(x). 2. relacionando T(x) con F*(x). 3. calculando los índices de concentración. f) Sabiendo que el ingreso per cápita de un hogar se calcula sumando los ingresos de todos los integrantes del hogar y luego dividiéndolo entre el número de integrantes del mismo, ¿existirá realmente concentración o Ud. cree que podría haber otro tipo de causas que influyen para que exista concentración? Especifique cuáles le parece que son las causas.
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PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 3 (Examen de Diciembre de 2001) Si en una población de 100 hogares 90 de ellos tienen un ingreso de $1000 y los 10 restantes tienen un ingreso de $11000 cada uno, entonces el índice sintético de Gini es: a) b) c) d)
G = 0.6 G = 0.55 G = 0.45 Ninguna de las anteriores.
EJERCICIO 4 (Examen de Marzo de 2001) El 80% de los hogares más pobres detenta el 20% del ingreso total, mientras que el 20% de los hogares más ricos detenta el 80% del ingreso total. Entonces, a) El índice sintético de Gini es 0.16. b) El índice sintético de Gini es 0.40. c) El índice sintético de Gini es 0.60. EJERCICIO 5 La población rural de un país está distribuida en 2414 poblados, el poblado más chico tiene 100 habitantes y el más grande tiene 20.000. La siguiente es la clasificación de los poblados por número de habitantes en miles de personas: menos de 3 entre 3 y 5 entre 5 y 7 entre 7 y 9 entre 9 y 15 más de 15
342 964 553 289 120 146
a) Estudie si existe concentración de la población rural en ese país. b) Sabiendo que para un país vecino el Índice de Gini es igual a 0.67, ¿qué puede decir de la concentración en cada uno de los países? EJERCICIO 6 Una cooperativa de ahorro y crédito desea instalar sucursales en dos localidades diferentes (ciudad A y ciudad B). Dado que el costo de instalación y puesta en funcionamiento de cada sucursal es elevado, se ha tomado como resolución instalar primero una sucursal en una de las ciudades y al año siguiente instalarla en la otra. Se ha decidido instalar primero la sucursal en la ciudad donde se observe el mayor potencial de ahorro y donde se espera obtener cuentas de ahorro con mayor monto depositado. Para ello se ha tomado una muestra de 1.000 habitantes en cada una de las ciudades y se los clasificó según su potencial de ahorro (en U$S) y se obtuvo que:
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PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
Ciudad A [X’i-1 - X’i) 0 - 100 100 – 200 200 – 300 300 – 500 500 – 1000
ni 150 200 300 200 150
Ciudad B Realizados los cálculos se obtuvieron las siguientes medidas de resumen: x = 280 x0.50 = 257.14 sx2 = 24.350 IG = 0.2883 xmed = 329.16 Se pide: En qué ciudad aconseja usted instalar la sucursal si utiliza como criterio de decisión las siguientes medidas: a) media b) mediana c) Índice sintético de concentración d) media y coeficiente de variación e) media, mediana y coeficiente de simetría. f) mediana y mediala Para cada uno de los casos fundamente claramente su respuesta y aclare además cuáles son los problemas que representa restringir nuestro criterio de decisión a un número limitado de medidas para tomar una resolución, de acuerdo al siguiente ejemplo: En la cuidad A el modo es igual a 233.33 y en la ciudad B es igual a 242.85. Dado que el modo es el valor de la variable que más veces se repite en la muestra, entonces en la cuidad B, la posibilidad de ahorro más común es de U$S 242.85 por lo cual se aconsejaría instalar la sucursal en la ciudad B . El problema de decidir sólo usando el modo es que no sabemos como se distribuye la variable alrededor del modo, por ejemplo en la ciudad A hay como máximo 650 casos que están por encima del modo, y si en la cuidad B, hubiera menor cantidad de casos, nuestra elección hubiera sido incorrecta. Otra objeción a nuestra elección sería si justo en la ciudad B el modo es el máximo valor que toma la variable. EJERCICIO 7 (Examen de Mayo de 2001) Sabiendo que en el punto F * = 0.7 el índice analítico de Gini es δ j = 5.4 entonces, el 30% más rico de la muestra detenta: a) b) c)
El 60% del ingreso total. El 70% del ingreso total. El 80% del ingreso total.
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PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 8 Dados los siguientes índices de producción industrial (1992 = 100): 1985 1986 1990 1992 1993 1994 1995 75 81 96 100 93 105 105 1. 2. 3. 4.
Interprete el valor del Índice del año 1993 Desplazar la base a 1985 = 100 ¿En qué año se produjo el mayor aumento del índice respecto al año anterior? Se sabe que el valor del índice de producción industrial en 1990 con base 1970 = 100, es 315. Presentar la serie anterior con base 1970 = 100.
EJERCICIO 9 Usted desea calcular y publicar cada año un índice de uso especial, que planea denominar Índice de Actividad Empresarial. Tres series parecen promisorias como bases para el índice, y son el precio de la lana, el número de automóviles nuevos vendidos y la velocidad de circulación del dinero ( publicada por el Banco Central). Su jefe (economista de gran jerarquía) decide que el movimiento de dinero debe tener una ponderación de 60%; el número de automóviles nuevos vendidos, de 30% ; el precio de la lana, de 10%. Se pide: a) Elaborar el Índice de Actividad Empresarial para 1981 ( el período base) y 1990.
Año 1981 Año 1990
Precio de la lana (por kilo) U$S 0.20 U$S 0.50
Número de automóviles vendidos 100.000 80.000
Velocidad de circulación del dinero (un índice) 80 120
b) Interprete los índices. EJERCICIO 10 Se va a elaborar un índice de precios de ropa para 1989 con base en 1982. Los precios de 1982 y 1989 y las cantidades consumidas en dichos años, se muestran a continuación: Artículos Vestidos ( unidad) Zapatos ( par)
Precio Cantidad Precio En 1982 Vendida en 1982 en 1989 U$S 35 500 U$S 65 U$S 40 1200 U$S 90
Cantidad Vendida en 1989 400 980
Se pide: 1. Hallar el índice de precio ponderado de Laspeyres para 1989 usando 1982 como base. 2. Interpretar el resultado.
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PRACTICA 2: CURVAS DE CONCENTRACION Y NUMEROS INDICE
EJERCICIO 11 (Primera Revisión de 2001) Indique cuál de las afirmaciones es correcta para cada uno de los ítems siguientes, sabiendo que sólo una de ellas es correcta. Fundamente su respuesta. 1. Un índice de valor se puede obtener: 1.a. Multiplicando un índice de precios de Paasche por un índice de cantidades de Laspeyres, o multiplicando un índice de precios de Laspeyres por un índice de cantidades de Paasche. 1.b. Solamente multiplicando índice de precios de Laspeyres por un índice de cantidades de Paasche. 1.c. Solamente multiplicando índice de precios de Paasche por un índice de cantidades de Laspeyres. 1.d. Ninguna de las anteriores 2. Si el Indice de Gini sintético en dos ciudades distintas es 0.35 2.a. La curva de Lorenz es la misma en ambas ciudades. 2.b. La distribución del ingreso es menos equitativa en una tercer ciudad con IG= 0,3. 2.c. El ingreso medio es el mismo en las dos ciudades. 2.d. Ninguna de las anteriores EJERCICIO 12 Las siguientes son las cantidades vendidas y los precios de tres productos en los años 1988,1989 y 1990, comercializados por una empresa. Año 1988 p q Producto A 80 300 Producto B 150 30 Producto C 300 120
Año 1989 p q 100 400 160 50 320 100
Año 1990 p q 150 350 200 60 400 120
1. Calcular los índices de precios de Laspeyres con base 1988 = 100. 2. Calcular los índices de cantidades de Paasche con igual base. 3. Calcular los índices de valor con base 1988 = 100. EJERCICIO 13 (Novales 3.1) Pruebe que los índices de Laspeyres y de Paasche de cantidades están relacionados por: Lt / 0 = 1 P0 / t
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PRACTICA 3: SERIES DE TIEMPO
PRACTICA 3: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO 1 (Novales 2.1) Considere la expresión Pt = P0 e gt , y aproxime linealmente por un desarrollo en serie de Taylor la función exponencial para valores pequeños de g. Muestre que, si g es próximo a P − P0 cero, se tiene: t = gt y explique que esta expresión refleja un crecimiento que es P0 lineal en Pt para valores de g próximos a cero. a) Suponga que una variable responde al proceso: Pt = P0 e gt , con P0 , g conocidos, y escribimos: Pt = P0 (1 + π ) t (1) para una constante π calculada como:
π = e g − 1 . Pruebe, a partir de (1), que
•
Pt / Pt = g . Es decir, siempre que exista una determinada relación entre los parámetros π y g, ambos procesos de crecimiento generan exactamente el mismo comportamiento temporal. b) Recíprocamente, suponga que una variable responde al proceso: Pt = P0 (1 + π ) t para una constante π conocida, pero escribimos: Pt = P0 e gt (2) con un parámetro g calculado a partir de g = ln(1 + π ) . Pruebe, a partir de (2), que: Pt − Pt −1 =π Pt −1 EJERCICIO 2 (Novales 2.3) Suponga que el valor del índice mensual de producción de un determinado sector industrial es, en diciembre de 1994, de 185, y que la producción en dicho sector experimenta tasas sucesivas de incremento, durante los seis primeros meses de 1995, de 0.74%, 0.24%, 0.53%, 0.64%, 0.83% y 0.44%. obtenga el valor numérico del índice en junio de 1995. Aproxime las tasas de crecimiento intermensual a un solo decimal, y utilícelas para calcular el valor numérico del índice en junio. ¿Cuánto diría que ha crecido el índice durante el semestre de acuerdo con ambas estimaciones? ¿Cuáles serían las tasas anualizadas correspondientes en ambos casos?
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PRACTICA 3: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 3 Se considera la serie de datos de ventas de una empresa durante 11 años (medida en millones de pesos constantes). Año Ventas
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 0,2 0,4 0,5 0,9 1,1 1,5 1,3 1,1 1,7 1,9 2,3
Se pide: 1. 2. 3. 4. 5.
Representar gráficamente la serie. Determine la tendencia mediante una recta. Determine la tendencia utilizando promedios móviles de 3 años. Determine la tendencia utilizando promedios móviles de 4 años. Represente sobre el gráfico de la parte 1 las tendencias obtenidas en las partes 2 a 4.
EJERCICIO 4 (Primera Revisión de 2000) Se considera la serie de datos del valor de la Unidad Reajustable U.R. (yi ) durante 22 meses (desde Setiembre de 1998 hasta Junio de 2000). MES (xi ) U.R. (yi ) 1 180.82 2 181.84 3 183.22 4 183.79 5 185.01 6 186.00 22
∑ xi = 253 i =1
22
MES (xi ) U.R. (yi ) 7 189.35 8 189.68 9 190.60 10 191.18 11 191.72 12 191.96
∑ yi = 4202.57 i =1
22
∑ xi2 = 3795 i =1
MES (xi ) U.R. (yi ) 13 193.46 14 193.87 15 194.87 16 194.93 17 195.17 18 195.62 22
∑ yi2 = 803415.808 i =1
MES (xi ) U.R. (yi ) 19 197.00 20 197.00 21 197.62 22 198.26
22
∑x y i
i
= 49051.78
i =1
Se pide: a) Determine la recta de tendencia. b) Determine el valor del coeficiente de correlación de la muestra. Fundamente su respuesta. c) ¿Considera adecuado un resumen lineal de la relación entre el mes y el valor de la unidad reajustable? Fundamente su respuesta.
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PRACTICA 3: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 5 Se considera la serie de ingresos netos de una empresa (medidos en miles de dólares). Trimestre 1995 1996 1997 1998 1999 9 10 13 11 14 I 16 15 22 17 18 II 18 18 17 25 25 III 21 20 24 21 26 IV Considerando un modelo aditivo: 1. Determine la tendencia considerando que es lineal. 2. Determine el componente estacional. 3. Interprete los resultados.
EJERCICIO 6 (Control 2000) Los datos trimestrales de ventas de circuitos integrados en LaPilaAlegre durante los últimos 3 años se presentan en la siguiente tabla. Trimestre / Año I II III IV
2015 9 16 18 21
2016 10 15 18 20
2017 13 22 17 24
Los valores obtenidos para los parámetros de la recta de Tendencia son lo siguientes:
Intercepción ( βˆ0 ) Variable t
( βˆ1 )
Coeficientes 12.48 0.68
Sabiendo que 1. t = 1 para el primer trimestre del año 2015, t = 2 para el segundo trimestre del año 2015, etc. 2. Tˆ2 = 13.85 , Tˆ6 = 16.58 y Tˆ10 = 19.30 , Se pide: a) Calcule el valor de la estacionalidad del segundo trimestre, Eˆ 2 . b) Calcule el subíndice correspondiente y el valor de la Tendencia del segundo trimestre del año 2017.
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PRACTICA 3: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 7 (Primera Revisión de 2001) La cantidad de unidades vendidas (en miles de unidades) por una empresa es: CUATRIMESTRE I
AÑO
t
1999
1
UNIDADES VENDIDAS 19
II
1999
2
24
III
1999
3
28
I
2000
4
20
II
2000
5
25
III
2000
6
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Utilice las columnas libres del cuadro anterior para efectuar los cálculos que considere necesarios. Efectúe los cálculos con 2 dígitos decimales. Considerando un modelo aditivo: a) Determine los coeficientes estacionales, sabiendo que la tendencia (considerando que es t=1,...,6 lineal) se puede representar por Tt= 19,667+1,2857 . t b) Interprete los coeficientes de estacionalidad obtenidos. c) Determine la tendencia (para el año 2000) de la serie de ventas utilizando promedios móviles centrados de período 3. EJERCICIO 8 Considerando un modelo aditivo y que la tendencia se ajusta a través de una recta, determine tendencia y estacionalidad de la siguiente serie. Represente gráficamente los resultados. Cuatrimestre 1995 1996 1997 1998 1999 500 450 350 550 550 I 350 350 200 350 400 II 250 200 150 250 350 III EJERCICIO 9 1. Considerando un modelo multiplicativo y determinando la tendencia por el método de promedios móviles de 3 períodos, determine los componentes de tendencia y estacionalidad de la serie presentada en el ejercicio 5. 2. Represente gráficamente los resultados. 3. En base a los resultados obtenidos determine cuál modelo considera más adecuado para representar la serie.
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PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES EJERCICIO 1 Calcular media y varianza de las siguientes variables aleatorias. Uniforme discreta px(x, n) = 1/n
x = 1,2,3,…….,n
Bernoulli px(x, p) = px (1-p)1-x
x = 0,1
0
0; -∞ 0, λ > 0 para cualquier otro valor
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PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
Beta f ( x ; α ,β ) =
Γ( α + β ) α −1 x ( 1 − x )β −1 Γ( α )Γ( β )
α, α>0; β, β>0; 0 0, a , λ > 0 f ( x; a , λ ) = Γ(a ) 0 para cualquier otro valor Weibull
[
αλα x α −1 exp − (λx )α f ( x; α , λ ) = 0
]
x > 0; α , λ > 0 para cualquier otro valor
Pareto f X ( x , α, θ ) =
α.θ α x α +1
si x > 0, α > 1
Cauchy f X ( x ,µ ) =
1 π
1 1 + ( x − µ )2
-∞< x<∞
EJERCICIO 2 (Novales 5.1) a) Considere la distribución de probabilidad discreta: x = 1, 2, 4, 8, 16,……, con probabilidades: 1/2, 1/4, 1/8 1/16,….. y pruebe que su esperanza matemática no existe. b) Considere la variable aleatoria continua con función de densidad: 1 f X ( x ) = x2 0
si x ∈ [1, ∞ ) en el resto
y muestre que su esperanza matemática no existe. c) Considere la distribución de probabilidad discreta: x = 1, 2, 3, 4, 5,… , con probabilidades: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…. y pruebe que su esperanza matemática es igual a 2.
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PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 3 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que existen todos sus momentos ordinarios. Se pide: 1. Demostrar que para k = 1, 2, 3,... ∂k M( t ) ∂k M( t ) k E( X ) = t = 0 siendo t = 0 la derivada de orden k de la función ∂t k ∂t k generatriz de momentos de X evaluada en cero. 2. Sea Y = aX +b con a y b ∈ ℜ. Demostrar que la función generatriz de momentos de Y, M Y ( t ) = e bt M X ( at ) EJERCICIO 4 Obtener la función generatriz de momentos para las variables del ejercicio 1, exceptuando la Weibull, la Pareto y la Cauchy. EJERCICIO 5 (Novales 5.4) Demuestre que, en una distribución de probabilidad simétrica de una variable absolutamente continua, la mediana coincide con la esperanza matemática si ésta existe. EJERCICIO 6 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que al menos existen sus dos primeros momentos ordinarios y g(x) creciente y no negativa ∀ x ∈ ℜ. Se pide: 1. Demostrar que ∀ε > 0 se tiene que P (g(X) ≥ ε )≤
E[g(X)] . ε
2. Usando la parte anterior demostrar que: P ( X − E(X) > ε ) ≤
V(X) . ε2
EJERCICIO 7 Sea X una variable aleatoria con iguales probabilidades en x = − 3 ,− 2 ,− 1 ,0 ,1 ,2 ,3 . a) Hallar la cuantía de Y = X2. b) Hallar la cuantía de Z =2X-3 z + 3 c) Verificar que FZ ( z ) = FX 2
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PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 8 Sea FX(x) la función de distribución de una variable aleatoria X absolutamente continua. Se pide: Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria U, definida de la siguiente manera: U = FX(X). EJERCICIO 9 (Examen de Diciembre de 2001) Sea la variable X tal que: 1 f X ( x ) = 2 x 0
si x ∈ (0 ,1) en otro caso
y sea la transformación Y = 10 X , se pide: a) Hallar la densidad de Y, su recorrido y reconocerla. b) Calcular E X . c) El contenido (en toneladas) de los containers que se cargan en el puerto tiene distribución Y. Si se elige un contenedor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su contenido supere [E (Y ) + 2σ Y ] ?
( )
EJERCICIO 10 Sea X uniforme continua en el [0, 1] a) b) c) d)
Calcular FX (x) Plantear la función de distribución acumulativa de Y = -2LX en función de FX (x) Hallar la densidad de Y. Calcular E(Y) de dos maneras distintas.
EJERCICIO 11 Sea una variable aleatoria X y g una función continua, con derivada continua y estrictamente monótona, tal que Y = g(X) es también una variable aleatoria. Utilizando la relación FY(y) = P(Y≤y) = P (g(X)≤y): a) Explicar la fórmula general para pasar de f X (x) a f Y(y) para funciones monótonas. b) Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por: 2 si x > 0 2 xe − x fX ( x ) = 0 en otro caso 2 Hallar la función de densidad de Y= X .
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PRACTICA 4: VARIABLE ALEATORIA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES
EJERCICIO 12
(Examen febrero de 1997)
La variable X = proporción de asientos contables erróneos en un conjunto muy amplio de asientos tiene una distribución cuya función de densidad puede modelarse adecuadamente por 1−θθ x si 0 < x < 1 fX ( x)= θ en otro caso 0 Se pide: 1. Determinar el espacio paramétrico para θ. 2. Siendo Y = - Ln (X), plantear la función de distribución de Y en función de X. Hallar la distribución de Y. EJERCICIO 13 Sea X ~ Exp ( λ ), hallar la distribución de probabilidad de Y = [ X ] (Parte entera de X). EJERCICIO 14 Sea X ~ Exp ( 1 ), hallar la densidad de Y = bX 1/c donde b > 0 y c > 0. EJERCICIO 15 Sea X ~ N ( 0,1), hallar la densidad de Y = X2.
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 1 (CANAVOS 4.6) Supóngase que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamble es de 0.05. Si el número de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades dos se encuentren defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, dos como límite se encuentren defectuosas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? EJERCICIO 2
(CANAVOS 4.10)
Supóngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. El examen se aprueba contestando correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad de cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen? EJERCICIO 3
(CANAVOS 4.16)
El número de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿ cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes? ¿Puede esperarse que la frecuencia de llegada de los clientes al banco sea constante en un día cualquiera? EJERCICIO 4
(CANAVOS 4.32)
Un contador recientemente graduado pretende realizar el examen CPA. Si el número de veces que se toma el examen constituye un conjunto de eventos independientes con una probabilidad de aprobar igual a 0.6, ¿cuál es la probabilidad de que no se necesiten más de cuatro intentos para aprobar el examen? ¿Son válidas las suposiciones de independencia y probabilidad constante? EJERCICIO 5 (CANAVOS 4.33) En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0.05. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa? b) Supóngase que la decimoquinta unidad inspeccionada es la segunda que se encuentra defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de este hecho bajo las condiciones determinadas?
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 6 (Primera Revisión 2000) En una distribución geométrica donde X mide la cantidad de fracasos antes del primer éxito, se sabe que P(X ≥ 2) = 0.81. a) Determinar el recorrido de la variable aleatoria X. b) Determinar la cuantía de la variable aleatoria X y hallar el valor de su parámetro. EJERCICIO 7 Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si es falso, señale la respuesta correcta. 1. Para elaborar una distribución probabilística binomial, debe conocerse el número de ensayos y la probabilidad de éxito. 2. La distribución probabilística de Poisson es una distribución continua. 3. Tanto la distribución Binomial como la de Poisson se ocupan de experimentos que sólo tienen dos posibles resultados, un éxito o un fracaso 4. Si 20% de un grupo de personas son miopes, y se selecciona un gran número de muestras aleatorias de 20 personas, es razonable esperar que poco más de la mitad de las muestras no contenga alguna o exactamente una persona corta de vista. 5. Si 0,1% (0.001) de las lámparas eléctricas producidas por una máquina son defectuosas, la probabilidad de no encontrar una lámpara defectuosa en una muestra de 100 es aproximadamente 0,90. 6. Si el número de ensayos permanece constante, la forma de una distribución binomial tiende a volverse más simétrica conforme p aumenta. 7. Se sabe que las llegadas de camiones con basura a la usina de descarga siguen una distribución de Poisson. Por lo tanto, los kg. de basura que traen dichos camiones tienen distribución de Poisson. 8. La variable aleatoria Binomial cuenta el número de ensayos necesarios para observar “k” éxitos y la variable aleatoria Binomial Negativa cuenta el número de éxitos observados en n ensayos. 9. La cuantía Binomial Negativa puede escribirse como el producto de una Binomial donde se obtuvieron (k-1) éxitos por la probabilidad de obtener un éxito. 10. Si no leyó el tema y adivinó la respuesta a cada una de estas 10 preguntas de verdadero o falso, la probabilidad que haya adivinado las 10 en forma correcta es 1 en 1000. EJERCICIO 8 Sea X ~ Geom(p). Se pide: a) Calcular la probabilidad de que X tome como valor un número par. b) Demostrar que se verifica P(X≥k)=(1-p)k, k∈N. c) Demostrar que P(X≥k+x/X≥k) = P(X≥x) x∈Rec(X), k∈N.
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 9 Si X ~ Binomial Negativa (r,p) e Y ~ Binomial(r+x,p) demostrar que se cumple: a) P(X≤x) = P(Y≥r) r .P(Y=r) b) P(X=x) = x + r EJERCICIO 10 (Primera Revisión 1994) Un astillero vende un único modelo de barco, cuyo precio es P. Los compradores nunca adquieren más de un barco y la llegada de clientes compradores al local de ventas puede modelizarse adecuadamente a través de la distribución de Poisson con tasa λ. El mantenimiento del local de ventas implica una función de costos cuadrática de forma: c(t) = bt2
b>0
donde t = tiempo que el local de ventas permanece abierto.
Sea B(t) los beneficios de la empresa (calculados como los ingresos por ventas menos los costos de mantenimiento). Se pide: 1. ¿Cuánto tiempo deberá mantener abierto, el astillero, el local de ventas para maximizar los beneficios esperados? 2. Se sabe que el riesgo se cuantifica a través de la varianza de los beneficios. ¿Cuál es la duración del negocio que minimiza el riesgo? Interprete el resultado. 3. Si P = 20, λ = 2 y b = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una empresa, maximizadora de beneficios esperados, obtenga beneficios positivos? (Sugerencia: Utilizar la aproximación normal, es decir que una v.a. Poisson(α) se aproxima por una N(α,α)) 4. En el caso 3. ¿cuál es la probabilidad de pagar más de 100 de costo antes de que venga el primer cliente? EJERCICIO 11 (Primer Control 1995) Juan Quiniela tiene $ 2 y Pedro Tómbola tiene $ 1. Juegan lanzando una moneda de la siguiente manera: si sale cara, Juan le paga a Pedro $ 1; si sale número, Pedro le paga a Juan $ 1. El juego termina cuando uno de ellos queda sin dinero. Sea X = el número de tiradas necesarias para terminar el juego. Se pide:
a) Hallar el recorrido de X. b) Calcular P(X=1), P(X=2), P(X=3). c) Deducir la cuantía de X.
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 12
(CANAVOS 4.12)
El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por experiencia, que el 15% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservaciones pero solamente dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? EJERCICIO 13
(CANAVOS 4.27)
Una compañía recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan diez unidades de manera aleatoria, y se inspeccionan. Si ninguna se encuentra defectuosa, el lote se acepta; de otro modo, se rechaza. Si el lote contiene un 5% de unidades defectuosas: a) Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribución hipergeométrica. b) Aproximar la respuesta de la parte a) mediante el empleo de la distribución Binomial c) Aproximar la respuesta de la parte b) mediante el empleo de la distribución Poisson. EJERCICIO 14 (Primera Revisión 2001) De nueve personas que tienen un teléfono celular con sistema prepago, 4 lo poseen de la empresa A y 5 de la empresa B. PARTE 1 Se seleccionan sin reposición tres de las nueve personas. a) Determine la probabilidad de que sólo una de ellas posea un celular de la empresa A. b) Sea X = número de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A. Determinar E(X). c) Determinar V(X) . PARTE 2 Se seleccionan con reposición tres de las nueve personas. a) Determine la probabilidad de que sólo una de ellas posea un celular de la empresa A. b) Sea Y = número de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A. Plantear la función generatriz de momentos Y. c) Determinar E(Y) a partir de la función generatriz de momentos de Y. d) Determinar V(Y) a partir de la función generatriz de momentos de Y. EJERCICIO 15
(CANAVOS 4.21)
Mediante estudios recientes se ha determinado que la probabilidad de morir por causa de cierta vacuna contra la gripe es de 0.00002. Si se administra la vacuna a 100 mil personas y se supone que éstas constituyen un conjunto independiente de ensayos, ¿cuál es la probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna?
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 16 (Primera Revisión 1993) Los científicos de un centro espacial deciden investigar la superficie de Marte. Envían un robot de 4 metros de ancho para revisar el suelo marciano. El robot camina hacia adelante sin parar y sin doblar y tiene combustible para marchar 5 kms. Se sabe que en un km. cuadrado hay promedialmente 20 pequeños cráteres y que si el robot toca uno de ellos no funciona más. Los científicos necesitan conocer la probabilidad de que el robot recorra los cinco kms. sin tocar ningún cráter. Sea X el número de cráteres en la faja que barre el robot. (Observar que esa faja es de 4*5000 = 20000 m2 es decir 0,02 km2) Se pide: 1. ¿Qué supuestos, en este caso específico, serán necesarios para que X se distribuya según Poisson? 2. Suponiendo que se dan los supuestos del punto anterior, escribir la cuantía de X. 3. Calcular la probabilidad que preocupa a los científicos. 4. Los científicos arreglan el robot para que pueda saltar el primer cráter con que se encuentra y siga caminando, calcular la probabilidad de que culmine con éxito su caminata de cinco kms. 5. En el caso 4 ¿cuál es la probabilidad de que pueda recorrer por lo menos k kms. (k = 1,2,3,4)? EJERCICIO 17 (Primera Revisión 1996) La cantidad de vehículos (N) que se reparan por hora en un taller mecánico es una variable aleatoria cuya función de cuantía es: P(N = n) = 0,1(0,9)n
n = 0,1,2,3,….
Cada vehículo reparado le produce al taller mecánico una ganancia de $250. El costo fijo mensual es de $400.000. El taller funciona 8 horas por día, 25 días al mes. Se pide: 1. Analizar si con la cantidad esperada de vehículos reparados por mes se logrará cubrir el costo fijo 2. Del total de vehículos que se reparan por hora (N), una parte (también aleatoria) son reparaciones eléctricas. Sea X = “Número de reparaciones eléctricas por hora” de la cual se sabe que (X / N = n)~B(n;0,2). a) Hallar la cuantía conjunta del par (X, N), con su recorrido. b) Demostrar que la cuantía marginal de X es geométrica de razón p y hallar el valor de p. Sugerencia: recordar que
+∞
∑(
k −1+ n n
)q n p k = 1 .
n=0
c) Si el costo fijo mensual de la sección electricidad del taller mecánico es de $100.000. ¿Es dicha sección rentable para el taller?
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 18 (Examen de Mayo de 1995) En un Banco se presentan diariamente cheques a cobrar, cuyas firmas son sometidas a un control de verificación. Los cheques llegan a razón de 300 por día a través de un proceso de Poisson. Además, la probabilidad de que un cheque presentado para su cobro tenga una firma falsa es 0.008. Puede suponerse que los cheques se presentan por distintas personas, en forma independiente. Se pide: 1. Plantear (sin calcular) la probabilidad de que en un día determinado se reciban para su cobro exactamente 350 cheques 2. Sabiendo que en un día llegaron exactamente 300 cheques, calcular la probabilidad de encontrar a lo sumo tres cheques con firmas falsas. 3. Plantear (sin calcular) la probabilidad que en un día determinado se presenten exactamente tres cheques con firmas falsas. EJERCICIO 19 (Primera Revisión 1996) Un restorán está especializado en el jabalí asado. Tras larga experiencia se sabe que el peso de los jabalíes tiene una distribución normal donde el 33% de los jabalíes pesa menos de 27,8 kg. y sólo el 7,5% sobrepasan los 37,2 kg. El encargado de compras del restorán rechaza todo jabalí que pese menos de 26 kg. Si en un mes se adquieren 250 jabalíes, ¿qué cantidad se espera que sean rechazados con el criterio del encargado de compras? ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que se rechacen por lo menos 50 jabalíes? EJERCICIO 20 (Primera Revisión 1994) Para un viaje diario entre dos ciudades una compañía de aviación dispone de capacidad para 300 pasajeros. La demanda frecuentemente supera la capacidad del avión. Luego de adquirido el pasaje, la decisión de viajar o no es tomada independientemente por cada pasajero. La probabilidad que una persona que ha comprado el pasaje desista de viajar es constante e igual a 0.20 para cada comprador de pasajes. Sea n el número de pasajes comprados en un día y sea la variable aleatoria Xi definida así: 1 si el comprador i decide viajar Xi = 0 si el comprador i decide no viajar Se pide: 1. Definir, en función de n y de las Xi una variable aleatoria Y que indique el número de pasajeros que diariamente deciden viajar 2. ¿Cuál es la distribución exacta de Y? Justificar. 3. Plantear la distribución aproximada de Y indicando por qué dicha aproximación vale en este caso.
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
4. Usando la aproximación anterior determinar cuántos pasajes como máximo puede vender la compañía diariamente para que, con probabilidad de 0,95 no quede ningún pasajero sin asiento. 5. Si la decisión de viajar no se tomara independientemente por cada pasajero (por ejemplo, la gente viaja en pareja o con su familia), ¿este hecho afectaría los resultados obtenidos? Fundamentar. EJERCICIO 21 El número de automóviles que circulan por una autopista, durante una hora, sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. Cada automóvil que circula por esta autopista tiene una probabilidad p de sufrir un accidente. Los accidentes, para cada automóvil que circula, son sucesos independientes. Hallar la distribución de la variable Y = número de accidentes ocurridos en la autopista durante una hora. EJERCICIO 22 (Primera Revisión 2000) A un aeropuerto pequeño llegan, a través de un proceso de Poisson, un promedio de tres aviones por hora. a) A partir de un momento dado, ¿cuál es la probabilidad de tener que esperar más de media hora hasta la próxima llegada de un avión? b) Calcular la probabilidad de que la demora entre dos llegadas consecutivas sea inferior a 15 minutos. c) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 15 minutos no llegue ningún avión al aeropuerto, si se sabe que en los 15 minutos anteriores no hubo ninguna llegada? Fundamentar. d) Considere los siguientes sucesos: A = “al aeropuerto llegan seis aviones en tres horas” y B = “al aeropuerto llegan tres aviones en la primera hora, dos aviones en la segunda hora y un avión en la tercer hora”. ¿Cuál de los dos sucesos tiene mayor probabilidad de ocurrencia? Fundamente su respuesta. EJERCICIO 23 (Examen de Marzo de 2002) Un fabricante de telas, el Sr. Desmán Telar, desea conocer más acerca de la calidad de sus productos. Telar sabe que en 4 metros de tela se encuentra una falla en promedio y que el número de fallas, X, se distribuye Poisson. Telar vende la tela en cortes de 6 metros. Se pide: 1. Hallar la probabilidad de encontrar a lo sumo 2 fallas en un corte. 2. ¿Cuántas fallas en promedio se espera encontrar en un corte de tela? Justifique su respuesta. 3. Sea T el metraje de tela entre 2 fallas consecutivas. Hallar P(T=2). 4. ¿Cuánto vale la E(T) y qué significa en este caso? Justifique su respuesta.
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PRACTICA 5: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
EJERCICIO 24 (Primera Revisión 1996) La Tienda Italiana tiene dos sucursales (A y B). La llegada de clientes a cada una de las sucursales es un proceso aleatorio con promedio λ1 llegadas por hora en la sucursal A y promedio λ2 llegadas cada dos horas en la sucursal B. Cada sucursal permanece abierta 8 horas por día. Sean las variables aleatorias X1 = ”número de clientes que llegan a la sucursal A en un día determinado (de 8 horas)” X2 = ”número de clientes que llegan a la sucursal B en un día determinado (de 8 horas)” Se pide: 1. Explicite los supuestos necesarios para que X1 y X2 tengan ambas distribución de Poisson. Especificar los respectivos parámetros. 2. Si se supone que X1 y X2 son independientes, demostrar que la variable T = “número total de clientes que llegan a las dos sucursales”, tiene distribución de Poisson. Hallar el parámetro de la distribución de T. (Sugerencia: utilizar la función generatriz de momentos). 3. Sabiendo que λ1 = 0.25 y λ2 = 0.25, a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen en total 6 clientes a las dos sucursales? b) Sabiendo que en un día determinado llegaron en total 6 clientes a las dos sucursales, calcular la probabilidad de que 4 de ellos hayan llegado a la sucursal A. EJERCICIO 25 Un sistema electrónico contiene n componentes que funcionan independientemente entre sí. Los componentes están conectados en serie y por lo tanto el sistema funcionará si todos los componentes funcionan a la vez. Cada componente funciona bien durante un cierto número de períodos de tiempo hasta que se estropea. Suponer que para i = 1, 2, ..., n el número de períodos en los que la componente i funciona bien es una variable aleatoria discreta con distribución Geom(pi). Determinar la distribución del número de períodos en los que el sistema funciona bien.
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PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 1
(CANAVOS 5.19)
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b). a) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre a una desviación estándar de la media? b) ¿Puede tomar X un valor que se encuentre a dos desviaciones estándar de la media? EJERCICIO 2
(CANAVOS 5.21)
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b). Si E (X) = 10 y VAR (X) = 12, encontrar los valores de a y de b. EJERCICIO 3
(CANAVOS 5.9)
La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media de 200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B también tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacén 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes. ¿Cuál es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse independencia entre ambos eventos. EJERCICIO 4
(CANAVOS 5.10)
El peso de cereal que contiene una caja se aproxima a una distribución normal con una media de 600 gramos. El proceso de llenado de las cajas está diseñado para que, de entre 100 cajas, el peso de una se encuentre fuera del intervalo 590 – 610 gramos. ¿Cuál es el valor máximo de la desviación estándar para alcanzar este requerimiento? EJERCICIO 5 En la central telefónica de La Paloma, al estudiar la duración (T) de las llamadas telefónicas, se ha encontrado que la misma es, aproximadamente, una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: 0 si t ≤ 0 f T (t) = β -kt si t < 0 (k > 0) e
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PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
Se pide: a) Determinar β para que fT(t) sea una función de densidad. b) Suponiendo que k = 0,5 minutos, calcular la probabilidad de que una conversación dure más de dos minutos. c) Calcular la probabilidad de que la conversación dure entre 3 y 6 minutos. EJERCICIO 6 (CANAVOS 5.29) Sea X una variable aleatoria con distribución gama con a = 2 y λ = 0.02. a) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media? b) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor de dos desviaciones estándar con respecto a la media? c) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al de su moda? EJERCICIO 7 (CANAVOS 5.31) La edad a la que un hombre contrae matrimonio por primera vez es una variable aleatoria con distribución gama. Si la edad promedio es de 30 años y lo más común es que el hombre se case a los 22 años, encontrar los valores de los parámetros a y λ para esta distribución. EJERCICIO 8 (CANAVOS 5.26) La proporción de unidades defectuosas en un proceso de fabricación es una variable aleatoria que se encuentra aproximada por una distribución beta con α= 1 y β= 20. a) ¿Cuál es el valor de la media y de la desviación estándar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos sea mayor que un 10%? y ¿Mayor que un 15%? EJERCICIO 9 (CANAVOS 5.36) Sea X una variable aleatoria con distribución de Weibull y parámetros a = 2 y λ = 0.05. a) Graficar la función de densidad de probabilidad. b) Obtener la probabilidad de que X tome un valor mayor que la media. c) Obtener la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo de amplitud igual a una desviación estándar desde la media, y después en un intervalo de amplitud igual a dos desviaciones estándar desde la media. EJERCICIO 10 (Primera Revisión 2000) k ( x + 1 ) si 0 < x < 2 La función de densidad de la variable aleatoria X es f X ( x ) = en otro caso 0 Se pide: a) Calcular el valor de la constante k. b) Determinar media y desviación típica de la variable aleatoria X. 41
PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
c) Determinar la mediana de la variable aleatoria X. d) Determinar la media de la variable aleatoria Y = X2 + 1 sin utilizar la función de densidad ni la función generatriz de Y. e) Determinar la función de densidad de la variable Y = X2 + 1. f) Verificar el valor obtenido para la media de la variable aleatoria Y (en la parte d) utilizando la función de densidad de la variable aleatoria Y. EJERCICIO 11 Una linterna es alimentada por 5 pilas que funcionan de forma independiente, y cuyo tiempo de vida, para cada pila medido en horas, es una variable aleatoria exponencial con λ= 0.001. La linterna deja de se útil cuando dejan de funcionar 3 o más pilas. ¿Cuál es la probabilidad de que la linterna funcione durante más de 1000 horas? EJERCICIO 12 PARTE A Si X ~Exp(λ). Demostar que para los números a y b, con a>0 y b>0, se cumple: P(X>a+b/X>a)=P(X>b). PARTE B Un sistema consta de n componentes, que funcionan de forma independiente. El tiempo de vida de la componente i es una v.a. Xi ~Exp(λ) i = 1, 2, ..., n 1) Hallar el tiempo medio transcurrido hasta que falla la componente que se rompe primero. 2) Hallar el tiempo medio hasta que fallan k componentes. (k ≤ n). EJERCICIO 13 La empresa MORDISCON, administradora de un servicio de telefonía celular, factura sus servicios de acuerdo a la duración de las llamadas. Se sabe que la duración de una llamada (medida en minutos) se puede modelar aproximadamente por medio de una v.a. X con función de densidad: λ e − λx si x > 0 ( λ > 0) f X ( x) = en otro caso 0 Se pide: a) ¿Qué significado tiene λ en este problema? b) Si el precio de cada minuto es de $3 (más IVA), ¿Cuál es el costo esperado por llamado? c) Si la empresa cambia su modo de facturar, pasando a cobrar el número de minutos que dura una llamada por exceso (o sea si dura 2.3 minutos cobra 3, si dura 3.5 cobra 4). Hallar el costo esperado por llamado (Considerar λ = 1/10, 1/2, 1, 2, 10). d) Calcular el beneficio medio suplementario obtenido por modificar el sistema de cobro (Utilizar los mismos valores de λ del punto anterior).
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PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 14 En un hormiguero conviven 1000 hormigas. Todos los días 550 de ellas salen a buscar alimento. Cada una trae, en promedio, el doble del alimento que necesita para sobrevivir un día. Todas las hormigas tienen diariamente las mismas necesidades de alimento. Si la unidad representa el alimento necesario diario, la comida que trae cada hormiga es un variable aleatoria X que se distribuye N(2,2). Se sabe que la cantidad de alimento que consigue una hormiga es independiente de la que consiguen las demás. Se pide: 1. Deducir (fundamentando) la distribución del alimento total diario que traen las 550 hormigas. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el alimento total diario alcance para las necesidades de toda la población? 3. Un día aparece un oso hormiguero y se come exactamente 100 de las 550 hormigas que habían salido a buscar alimento. ¿Cuál es la probabilidad de que el alimento, que traen las demás, alcance para las necesidades de la población resultante? 4. Ante la presencia del oso hormiguero las hormigas deciden organizarse de otra manera. En primer lugar, con certeza, toda hormiga que sale a buscar alimento, debe volver con una carga que exactamente duplique lo necesario para su sustento diario. En segundo lugar, al salir del hormiguero se habrán de dispersar de tal forma que la probabilidad de que una hormiga sea atrapada por el oso sea exactamente 0.15. En tercer lugar, cada día habrán de salir exactamente la cantidad mínima de hormigas necesarias (n) para cubrir la demanda de alimento diario (K) con probabilidad no menor que 0.99. Se trata de ayudar al hormiguero a calcular la cantidad de hormigas que deben salir en busca de alimento el día que han quedado 900 sobrevivientes. a) Sea W = “número de hormigas que se come el oso ese día”, plantear la distribución de W en función de n. b) Interpretar la expresión 2(n – W). c) Determinar n. EJERCICIO 15 Sea X ~Gamma(α,λ), entonces su función de distribución será: si x < 0 0 λx FX ( x ) = 1 a −1 −u si x > 0 (a > 0 , λ > 0) Γ(a ) ∫ u e du 0 Se pide: a) Comprobar que si α ∈E+, entonces 1 1 (λx )2 + ... + (λx )a -1 e-λx para x > 0 F X (x) = 1 - 1 + λx + 2! (a - 1)! b) Sea Y una v.a tal que: Y = "Número de eventos de Poisson que ocurren en un intervalo de amplitud x". Si el número promedio de eventos es (λ), demostrar que P(Y≤α-1) = P(X>x) donde X~Gamma(α,λ). (Observar que se cumple sólo si α ∈ E+). c) ¿Cuál es la interpretación de 1/λ?
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PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
EJERCICIO 16 Sea:
kx e −2kx f : f ( x) = 0
si x ≥ 0 si x < 0
Se pide: 1. Hallar k > 0 para que f sea una función de densidad de la variable aleatoria X. 2. Hallar el modo de la variable X y la E(X). 3. Sea Y = “Número de piezas defectuosas en un lote”. Su distribución de probabilidad puede aproximarse por la de X aplicando las correcciones de continuidad: 1 1 P(Y = y ) = P( y − ≤ X ≤ y + ) 2 2 Hallar P(Y>10). Aproximando a dos cifras decimales. 4. Se observa una M.A.S. c/r de 50 lotes. Hallar el número esperado de lotes que contienen más de 10 piezas defectuosas. 5. ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas en la muestra de 50 lotes? Usar la aproximación dada por (1). EJERCICIO 17 (Primera Revisión 1995) La demanda semanal (en kg.) de cierto producto se puede modelar aproximadamente por la siguiente función de densidad: e − x si x > 0 f X ( x) = en otro caso 0 A principios de cada semana se hace un aprovisionamiento de k kilogramos del producto. Por semana la demanda de kg. del producto produce una ganancia de ax unidades monetarias y el sobrante (que no es reutilizable) una pérdida de b(k-x) unidades monetarias. 1. Planear la función de beneficio neto semanal en función de x y k. (Recordar que si no hay sobrante no hay pérdida y como máximo se pueden vender k kilogramos, aún cuando la demanda supere ese valor). 2. Hallar el valor de k que maximize el beneficio, neto semanal, esperado. EJERCICIO 18 (Examen Febrero de 1997) En el camino a ″Paso de los Potros″ hay una sola estación de servicio con un surtidor de nafta. Don Margarito, quien la atiende, se entretiene anotando la hora en que llega cada vehículo a cargar nafta así como los litros que carga. De las anotaciones de Margarito se deduce que el número de vehículos que llegan a su estación es una variable (X) que puede modelarse adecuadamente por Poisson con media de 1 por hora. A su vez la cantidad de nafta que carga cada uno es una variable (Y) modelable por una N(15,400). X e Y son independientes y además los litros de nafta que carga un vehículo se suponen independientes de los que carga cualquier otro.
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PRACTICA 6: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS
Se pide: 1. Calcular la probabilidad de que en una mañana de trabajo (4 horas) lleguen más de 3 vehículos. 2. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehículo que llegan carguen más de 20 litros de nafta cada uno. Justifique. 3. Al comenzar la jornada de trabajo (de 12 horas), Margarito mide el contenido del depósito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese día llegan exactamente 40 vehículos, ¿Cuál es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer completamente a todos? Fundamentar cada paso. 4. Suponiendo que ese día en lugar de llegar 40 vehículos, llegan exactamente k vehículos, plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en función de k y determinar el máximo k natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.2. (Sugerencia: para resolver la inecuación, hacer el cambio de variables k = u ) 5. ¿Cuánta nafta debería tener el depósito de la estación al iniciar la jornada de manera que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el día en que llegan un número de vehículos exactamente igual al máximo valor de k hallado en el punto anterior? EJERCICIO 19 (Examen Febrero 1998) Una compañía de aviación realiza diariamente los siguientes vuelos: 08:00 – Montevideo – Punta del Este 0900 – Punta del Este – Montevideo 20:00 – Montevideo – Punta del Este 21:00 – Punta del Este – Montevideo El avión tiene una capacidad máxima de 250 pasajeros. Estos, al tomar la decisión de viajar, lo hacen independientemente de otros pasajeros, lo que permite suponer que la demanda de pasajes se distribuye binomial. También puede suponerse que son independientes las cantidades de pasajes demandados por tipo de viaje. Se dispone de la siguiente información: Distribución de la Tipo de viaje Precio Demanda Demanda 08:00 – Montevideo – Punta del Este U$S 30 X1 B(275,0.80) 0900 – Punta del Este – Montevideo U$S 25 X2 B(250,0.80) 20:00 – Montevideo – Punta del Este U$S 20 X3 B(200,0.80) 21:00 – Punta del Este – Montevideo U$S 25 X4 B(250,0.80) Se pide: 1. Hallar aproximadamente la probabilidad de que en el vuelo de las 8:00 la demanda supere la capacidad máxima. ¿Qué puede decirse de los restantes vuelos? 2. Demostrar que la demanda total de pasajes diaria se distribuye también binomial, especificando los parámetros de la distribución. 3. Sea Y el valor en U$S de las ventas diarias de pasajes. Expresar Y en función de las Xi. 4. Deducir, justificando, la distribución aproximada de Y. 5. Planear en función de X2, X3 y X4 (sin calcular) la probabilidad de que las ventas superen los U$X 20.000, si la demanda en el vuelo de las 8:00 es de 200 pasajeros.
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES EJERCICIO 1
(CANAVOS 6.5)
Sean X y Y dos variables aleatorias discretas. Los posibles valores que éstas pueden tomar son –1, 0 y 1. En la siguiente tabla se dan las probabilidades conjuntas para todos los posibles valores de X y Y.
Y= -1 Y= 0 Y= 1 a) b) c) d)
X= -1 1/16 3/16 1/16
X= 0 X= 1 3/16 1/16 0 3/16 3/16 1/16
Obtener las funciones de probabilidad marginal px(x) y py(y). ¿Las variables aleatorias X y Y son estadísticamente independientes? Obtener COV (X,Y). Obtener las dos cuantías condicionadas. Calcule E(Y/X) y E(X/Y).
EJERCICIO 2 (Examen de Setiembre de 1998) Sea X ∼ Bernoulli (p), Y ∼ Bernoulli (1-p) y X,Y independientes. Se pide : 1. Hallar la distribución de T = X – Y 2. Hallar la distribución de U = T + 1 y reconocerla EJERCICIO 3 (Examen Febrero 1997) Sean X e Y dos variables aleatorias discretas independientes con cuantías dadas por: 1 4 p X ( x) = 1 4 1 2
si x = −1 si x = 0 si x = 1
2 3 pY ( y ) = 13
si y = −1 si y = 1
Se pide: a) Determinar las cuantías de W = X + Y y de T = XY, b) ¿Son W y T independientes? Justificar la respuesta. EJERCICIO 4 (NOVALES 7.13) Demuestre que la función de dos variables: x + y si x = 1 , 2 , 3 y y = 1 , 2 p X ,Y ( x, y ) = 21 0 en otro caso 46
PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
es una función de probabilidad bivariante, y obtenga las funciones de probabilidad marginales de las dos variables X e Y, así como sus esperanzas y varianzas. ¿Son independientes ambas variables? Obtenga la distribución de Y condicional en un valor de X, y calcule la esperanza matemática y la varianza de Y condicionales en X = 3. EJERCICIO 5 (CANAVOS 6.3 y 6.6) Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con una función de densidad conjunta de probabilidad dada por : 3x − y f X ,Y ( x , y ) = 5 0
1< x < 2 , 1< y < 3 para cualquier otro valor
1. Obtener la función de distribución conjunta acumulativa. 2. ¿ Cuál es la probabilidad conjunta de que X < 3/2 y Y < 2 ? 3. Mediante el empleo de sus respuestas a la parte a), obtener las distribuciones acumulativas marginales de X y de Y. 4. Obtener las funciones de densidad marginal de X y de Y. 5. Obtener COV(X,Y) y ρ(X,Y). EJERCICIO 6 Sea fXY (x,y) = kxy una función de densidad conjunta definida sobre el rectángulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. 1. 2. 3. 4.
Hallar el valor de la constante k. Encontrar las funciones de densidad marginales de X e Y. Hallar la E(X/Y). ¿ Son X e Y independientes?
EJERCICIO 7 (Examen de Mayo de 1998) Sea X la variable aleatoria que mide la propensión de las familias a viajar en Semana de Carnaval y sea Y la variable aleatoria que mide la propensión de las familias a viajar en Semana de Turismo. La distribución conjunta del par (X, Y) es :
2( x 3 + y 3 ) si 0 < x < 1 , 0 < y < 1 f X , Y ( x, y ) = 0 en otro caso Se pide : 1. Plantear y calcular la probabilidad de encontrar una familia cuya propensión a viajar en las dos semanas supere 0,5 en ambos casos. 2. Hallar ρ(X,Y) sabiendo que X e Y están idénticamente distribuidas. ¿Cómo se interpreta este resultado en este problema ?
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 8 (Examen Febrero 2001) Sea la siguiente función de densidad conjunta: 3 f X ,Y ( x , y ) = x x + cy 4 Se pide:
si
0 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ y ≤1
1. Hallar c para que f X ,Y ( x , y ) sea una función de densidad conjunta. 2. Hallar la función de distribución conjunta de X e Y ( F X ,Y ( x , y ) ) ∀ ( x , y )∈ ℜ2 . 3. ¿Son X y Y independientes ? Justifique. 4. Hallar la probabilidad de que conjuntamente X sea menor que 0.3 e Y menor que 1.4. 5. Hallar la regresión de X sobre Y. EJERCICIO 9 (Primera revisión de 1996) Sea (X, Y) un vector bidimensional aleatorio continuo con esperanza finita. Demostrar la siguiente igualdad: E[E(Y / X)] = E(Y). EJERCICIO 10 (NOVALES 7.8 y 7.9) Demuestre que para toda distribución bidimesional, se tiene: a ) C [X , E( Y / X )] = C( X ,Y ) b ) V ( X ) = EY [V ( X / Y )] + VY [E( X / Y )] c ) E [g ( X )Y / X ] = g( X )E( Y / X ) d ) E [g ( X )( Y − E( Y / X ) / X ] = 0
e ) V ( Y / x ) = E( Y 2 / x ) − [E( Y / x )] 2
EJERCICIO 11 (Examen de Mayo de 2001) Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes y sean Y1= X1 - X2 y Y2= X1 + X2. Hallar la condición que deben cumplir X1 y X2 para que Y1 y Y2 sean incorrelacionadas. EJERCICIO 12 (Primera Revisión 1995) 1 n X 1 + X 2 + ... + X n . Xi= ∑ n i=1 n Sabiendo que los primeros dos momentos, centrados en el origen, existen y son finitos tal que E(Xi) = µi y E(Xi2) = σi2 + µi2, calcular ρ(Xi, X ) si las {Xi} son: Sean las variables aleatorias X1, X2, ..., Xn y sea X =
a) idénticamente distribuidas e independientes. b) Idénticamente distribuidas e incorrelacionadas.
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 13 (Examen Diciembre de 1996) Una automotora comercializa dos marcas: FIEL y FORO. Las ventas diarias de ambas marcas tiene la siguiente distribución conjunta: pX1, X2 (x1, x2) =
50 X1 X2 0,3 p 91
REC(X1, X2) = {(0,0); (0,1); (1,0); (1,1)}
Donde X1 = Ventas diarias de autos FIEL X2 = Ventas diarias de autos FORO Se pide: Hallar p para que pX1, X2 sea una cuantía conjunta. Hallar las distribuciones marginales de X1, y X2 y reconocerlas. ¿Son X1, y X2 independientes?. Fundamentar. ¿Cuál es la distribución de X1, sabiendo que ese día no se vendió ningún auto FORO? Hallar la distribución de la variable Y = “Nº de autos vendidos por día en la automotora”. 6. ¿Son X1, e Y independientes?. Fundamentar.
1. 2. 3. 4. 5.
EJERCICIO 14 (Examen de Marzo de 2001) Una empresa de electrónica vende un solo tipo de alarmas para hogares en las siguientes condiciones: • Alarmas con colocación incluida; U$S 700 • Alarmas sin colocación: U$S 500 La demanda mensual tiene la siguiente distribución:
P( X 1 = x1 , X 2 = x 2 ) = C x601 C x502 0,6 x1 + x2 .0,4110− x1 − x2
con Rec( X 1 , X 2 ) = { x1 = 0 ,1,2 ,....,60 ; x 2 = 0 ,1,2 ,....,50 } Donde:
X1 = ”demanda mensual de alarmas con colocación” X2 = ”demanda mensual de alarmas sin colocación”
Se pide: 1. Deducir las distribuciones marginales de X1 y X2 y reconocerlas. 2. ¿Son X1 y X2 independientes? Fundamentar la respuesta. 3. La empresa realiza las compras de alarmas una vez por mes. ¿Cuántas alarmas debe comprar en un mes si el stock remanente del mes anterior es de 10 alarmas y se pretende satisfacer la demanda con una probabilidad del 99%? 4. Sea la variable Y = “recaudación mensual en U$S por venta de alarmas (con o sin colocación)”. Hallar la distribución aproximada de Y fundamentando la respuesta. 5. Calcular la probabilidad de que la recaudación mensual supere los U$S 50.000.
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 15 Se tiran dos dados, uno a continuación del otro. Sean X1 = “resultado de la cara superior del primer dado” y X2 = “resultado de la cara superior del segundo dado”. Sean Y1 = Máx {X1,X2} y Y2 = Mín {X1,X2}. Hallar la distribución conjunta del par (Y1,Y2). EJERCICIO 16 (Examen de Marzo de 1996) Sean dos variables aleatorias X e Y tales que X ∼ Poisson (λ ) y (Y/X = x) ∼ B(x, p) Se pide : e − λ [ (1 − p ).λ] x p X ,Y ( x , y ) = (x − y )! y!
y
p y deducir el Rec (X ,Y). 1. Probar que . p 1 − +∞ qn = qk eq 2. Utilizando el resultado anterior y recordando que ∑ − k )! n = k (n Deducir la cuantía marginal de Y y reconocerla. 3. ¿Son X e Y independientes? Fundamentar la respuesta. 4. En el proceso de producción de telas se presentan ciertas fallas que solo pueden detectarse mediante inspección visual. La aparición de fallas sigue un proceso de Poisson a razón de una falla cada dos metros. La producción de telas se corta en piezas de 10 metros que son entregadas a los inspectores de calidad para la detección de fallas. Al analizar una pieza de 10 metros, la probabilidad de que una falla sea detectada por un inspector es 0,95 y es constante e independiente en la detección de las fallas que pudieran aparecer en la pieza. Sea X = Número de fallas en una pieza de 10 metros e Y = Número de fallas detectadas por el inspector en una pieza de 10 metros. a) Verificar que el par ( X , Y ) tiene una distribución conjunta como en el punto 1). b) Si un inspector revisa 15 piezas. ¿Qué distribuciones siguen las siguientes variables? : T1 = Total de fallas en las 15 piezas T2 = Total de fallas detectadas por el inspector en las 15 piezas c) Hallar el número esperado de fallas no detectadas por el inspector en las 15 piezas revisadas.
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 17 En una urna hay N bolillas, de las cuales N1 son blancas y N2 = N - N1 son negras. Se extraen 2 bolillas sin reposición. Sean las variables aleatorias: 1 si en la pimer extracción sale un bolilla blanca X1 = 0 si en la primer extracción sale una bolilla negra 1 si en la segunda extracción sale un bolilla blanca X2 = 0 si en la segunda extracción sale una bolilla negra Demostrar que X1 y X2 son idénticamente distribuidas. EJERCICIO 18 Supongamos que unos artículos con probabilidad p de ser aceptables se someten a inspección, de manera que la probabilidad de que un artículo sea inspeccionado es p'. Tenemos cuatro clases "aceptable e inspeccionado", "aceptable pero no inspeccionado", etc. con probabilidades correspondientes pp', pq', p'q, qq', donde q = 1-p y q'=1-p'. Sea N el número de artículos que pasan por el escritorio de inspección (tanto inspeccionados como no inspeccionados) antes de que se encuentre el primer defectuoso y sea K el número (no descubierto) de artículos defectuosos entre ellos. Se pide: Encontrar la distribución conjunta de N y K y sus correspondientes distribuciones marginales. EJERCICIO 19
(CANAVOS 6.4)
Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con una función de densidad conjunta de probabilidad dada por : x exp[− x( y + 1)] si x > 0 , y > 0 f X , Y ( x, y ) = en otro caso 0
1. 2. 3. 4. 5.
Demostrar que f(x,y) es una función de densidad conjunta de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de que X < 2 y Y < 1 ? Obtener las funciones de densidad marginal de X y de Y. ¿Son X y Y estadísticamente independientes ? Hallar fX/Y(x/y) y E(X/Y).
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 20 Con
8 xy f X ,Y ( x, y ) = 0
0 < x <1 , 0 < y < x en el resto
Calcular: 1. 2. 3. 4.
Las densidades marginales de X e Y. FX(x) y P(X<1/2). FY(y) y P(Y<1/2). FXY(x,y) y P(X<1/2,Y<1/2).
EJERCICIO 21 (Examen Diciembre de 1998) Dada la función de densidad del vector aleatorio (X,Y) k f X ,Y ( x, y ) = (1 + x + y ) n 0
si x > 0 , y > 0 , n > 2 en otro caso
Se pide: a) Calcular k en función de n b) ¿Son independientes las variables X e Y? EJERCICIO 22 (Primer control de 1995) Sean las v.a. X e Y con función de densidad conjunta:
6 y 2 f X , Y ( x, y ) = 0
si − x ≤ y ≤ x , 0 ≤ x ≤ 1 en otro caso
Se pide : a) Calcular E (Y/X = x) b) Calcular E (X/Y = y) EJERCICIO 23 (Primera Revisión de 1995) Si se compran y venden artículos de acuerdo al juego libre del mercado se deben esperar fluctuaciones tanto en la cantidad que se debe pagar por un artículo como en la cantidad en que se podrá venderlo. Se supone que un comerciante paga una cantidad X (en unidades normalizadas de forma adecuada ) por un artículo que luego debe vender en una cantidad Y. La distribución conjunta del vector (X, Y) es la siguiente:
kx 2 y 2 f X , Y ( x, y ) = 0
si 0 < x ≤ y ≤ 1 en otro caso
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
Se pide : 1. Suponiendo que no tenga costos fijos que deba cargar en el precio de venta de este artículo, ¿ cuál es la utilidad esperada por artículo? 2. ¿ Cuál es la utilidad esperada por artículo para un nivel x0 de precios? EJERCICIO 24 Se elige un punto al azar en S = {(x,y)/ x2 + y2 < 1} a) Definir fX,Y(x,y) b) ¿Son X e Y independientes? EJERCICIO 25 (CANAVOS 6.10) Sea X una variable aleatoria continua e Y una variable aleatoria discreta. −2 x y!
si x > 0 e y = 0,1,2,... a) Si f X ,Y ( x, y ) = x e Obtener la función de probabilidad marginal de Y. b) Obtener la función de probabilidad condicional de X para Y = 2. c) Obtener E( X / Y = 2 ) y V ( X / Y = 2 ) . y
EJERCICIO 26 Suponga que la v.a. X está uniformemente distribuida en el intervalo (0,1). Asumiendo que la distribución condicional de Y dado X=x tiene la siguiente función de cuantía: P( Y = y / X = x ) = C yn x y ( 1 − x )n − y con y = 0 ,1,2 ,...., n Encontrar: a) La distribución de Y. b) La esperanza de Y. EJERCICIO 27 (Primera Revisión 1995) El sistema de autorizaciones de crédito a clientes de la tarjeta “Coca más Pizza” funciona de la siguiente manera: desde diferentes lugares se envían pedidos de autorizaciones de crédito, éstas son recibidas por un computador que las reparte (al azar) entre las terminales de las encargadas de autorizaciones (cada una de las encargadas tarda el mismo tiempo en procesar la respuesta). Si la terminal donde cayó el pedido no está libre, el computador vuelve a enviarla (siempre eligiendo al azar, o sea que el pedido podría de nuevo caer en la misma terminal anterior) hasta que consigue una terminal libre, allí el pedido se procesa y se envía la respuesta al lugar correspondiente. Sea N el número de intentos que realiza el computador antes de conseguir una terminal libre y sea T el tiempo que tarda la autorización desde que se envía la solicitud hasta que se recibe la respuesta. El vector (N,T)´ tiene la siguiente función de probabilidad:
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
λe −( λ +β )t ( β t )n f N ,T ( n ,t ) = n! 0
n = 0,1,2,..... , t > 0 , λ > 0 , β > 0 en el resto
Se pide: 1. ¿Cuál es el número esperado de intentos antes que se encuentre una terminal disponible? 2. Para agilizar los trámites, se harán k intentos, donde k es el número de intentos que se esperaría hacer si la respuesta demorara t0 minutos, pasado ese número de intentos se envía automáticamente la autorización del crédito independientemente del historial del cliente. ¿Cuál es el número k de veces que se tiene que intentar antes de autorizar automáticamente el crédito si: a) t0 es igual a 5 minutos? b) t0 es el tiempo promedio que se tarda en recibir respuesta. ¿Por qué este valor es igual al hallado en el punto 1)? Fundamente. EJERCICIO 28 Sea una variable aleatoria Y que tiene la siguiente distribución de probabilidad: P(Y=-1) = 1/3 P(Y=1)=2/3 y una variable aleatoria X que sigue una distribución uniforme sobre el intervalo [0,2] si Y=-1 y una distribución uniforme sobre el intervalo (1, 5) si Y = 1. Se pide: a) Obtener la distribución de probabilidad de X condicionada por la variable Y. b) Obtener la distribución de probabilidad de la esperanza condicional E(X/Y). c) Obtener la distribución marginal de X. d) Comprobar que la esperanza de X, coincide con la de la variable aleatoria E(X/Y). EJERCICIO 29 (Examen de Julio de 1997) En una panadería las ventas diarias de “pan flauta” (X) y de “pan chico” (Y), medidas en kilogramos, siguen una distribución normal bivariante dada por la expresión: X 100 625 β ~ N ; α β 100 Y Se pide: 1. Sabiendo que ρ(X,Y) = 0, deducir el valor de β. 2. Sabiendo que la probabilidad que en un día se venda más de 150 Kg. de plan (flauta mas chico) es 0,10, deducir el valor de α (redondear con un decimal). 3. Calcular la probabilidad que en un día la diferencia entre los Kg. vendidos de pan flauta y los Kg. vendidos de pan chico sea mayor que 100. 54
PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
4. La panadería tiene la estrategia de producir todos los días 125 Kg. de pan flauta y 25 Kg. de pan chico (porque con el eventual sobrante elabora pan rallado). Se dice que hay demanda insatisfecha si un día la demanda supera los 125 Kg. de pan flauta y/o los 25 Kg. de pan chico. Hallar la probabilidad que un día haya demanda insatisfecha. EJERCICIO 30 Un examen consta de tres partes que se califican por separado. Los puntajes de cada parte, X1, X2, X3, siguen una distribución conjunta normal multivariada con vector de medias µ y matriz de varianzas y covarianzas Σ: 60 81 18 3 µ = 65 Σ = 18 64 3 40 3 3 81 Se pide: 1. Si se exige para aprobar cada parte por lo menos 50 puntos, calcular las probabilidades de aprobar cada parte. 2. Si para aprobar el examen es suficiente obtener 50 puntos de media entre las tres partes, calcular la probabilidad de aprobar el examen total. 3. Hallar la distribución de (X2 , X3). 4. Hallar el coeficiente de correlación lineal entre X2 y X3, interpretar el resultado. 0.5 X 1 + X 2 + 1.5 X 3 5. Sea: Y = Hallar la distribución de Y. 3 6. Se perdieron las partes 1 y 2 del examen de uno de los alumnos, ¿cuál sería el valor esperado del puntaje de las partes 1 y 2 si se sabe que el alumno obtuvo 50 puntos en la parte 3? EJERCICIO 31 (Examen de Diciembre de 2000) Los alumnos de un curso realizan tres pruebas en el año lectivo. Sean: X1 = “Puntaje de la primera prueba de un alumno” X2 = “Puntaje de la segunda prueba del mismo alumno” X3 = “Puntaje de la tercera prueba del mismo alumno” La distribución conjunta de las tres variables puede modelarse adecuadamente por: X| 20 64 10 20 X 2 ∼ N 25 ; 10 100 α 30 20 α 144 X3 Se pide: 1. De acuerdo con los datos de este problema, ¿qué signo debería tener α? Fundamentar. 2. Sabiendo que COV ( X 1 + X 2 , X 3 ) = 50 , hallar α. 3. Un alumno aprueba el curso con Sobresaliente si obtiene 90 puntos o más como suma de las tres pruebas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe con sobresaliente? 55
PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 32 El vector aleatorio (X,Y) tiene la siguiente función de densidad: 1 − 12 ( x 2 + y 2 ) e f X ,Y ( x , y ) = π 0
en { x > 0, y ≤ 0 } ∪ { x ≤ 0, y > 0 } en el resto
1. Demostrar que las variables marginales X e Y siguen una distribución N(0,1). 2. ¿X e Y son variables aleatorias independientes? 3. ¿Es normal bivariante la distribución conjunta de (X,Y)? ¿Qué deduce de estas conclusiones? EJERCICIO 33 (CANAVOS 6.1) Se seleccionaron, aleatoriamente 60 personas y se les preguntó su preferencia con respecto a tres marcas A, B y C. Estas fueron de 27, 18 y 15 respectivamente. ¿Qué tan probable es este resultado si no existen otras marcas en el mercado y la preferencia se comparte por igual entre las tres? EJERCICIO 34 (CANAVOS 6.2) Supóngase que de un proceso de producción se seleccionan, de manera aleatoria, 25 artículos. Este proceso de producción por lo general produce un 90 % de artículos listos para venderse y un 7 % reprocesables. ¿Cuál es la probabilidad de que 22 de los 25 artículos estén listos para venderse y que 2 sean reprocesables? EJERCICIO 35 Tres monedas son lanzadas al mismo tiempo, este experimento se repite n veces. Sean: X = “número de tiradas en las que no aparece ninguna cara” Y = “número de tiradas donde aparece una sola cara” Z = “número de tiradas donde aparecen dos caras” Se pide:
a) Encontrar la cuantía conjunta de (X,Y,Z). b) Encontrar la cuantía de (X,Z/Y=y)
EJERCICIO 36 (Primera Revisión 2001) El Sr. Allegre Gallo, gerente de producción de la avícola “Pío Pío”, está estudiando la calidad de los pollos que cría. El peso de un pollo, U, ( en kilogramos ) es la suma del peso de la carne X1 , más el peso de los huesos X2 , más el peso de otros restos ( piel, menudos, etc. ) X3 . La distribución del vector (X1, X2, X3 ) sigue una distribución normal multivariante con vector de medias ( 1,6 ; 0,7 ; 0,1 ) y matriz de varianzas y covarianzas: 56
PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
0 ,0070 0 ,050 C 0 ,030 0 ,0050 C 0 ,007 0 ,005 0 ,0016 Cada pollo se clasifica en: baja calidad ( si el pollo pesa menos de 1,5 kg. ), calidad media ( si el pollo pesa entre 1,5 kg. y 2,75 kg. ) y alta calidad ( si el pollo pesa más de 2,75 ). Se pide: 1. El Sr. Allegre sabe que el valor de C en la matriz de varianzas y covarianzas es 0,045 ó 0,035. ¿ Por cuál valor debe decidirse el Sr. Allegre?. Fundamente su respuesta. 2. En una muestra de 6 pollos con reposición se obtienen 3 pollos de alta calidad; ¿ cuál es la probabilidad de que en dicha muestra haya 1 solo pollo de baja calidad ?. 3. Para exportar pollos a Nueva Zelanda, los pollos deben cumplir dos condiciones: Condición A = “el peso de los huesos más el peso de otros restos del pollo debe ser menor a 0,5 kg.”. Condición B = “el peso de la carne debe ser mayor a 2,0 kg.”. 3.a. Hallar la distribución conjunta bivariada del vector (X1 , X2 + X3 ). 3.b. Si en un pollo el peso de los huesos más el peso de otros restos (piel, menudos) es 0,49 kg. (se cumple la condición A) ¿ cuál es la probabilidad de que se cumpla también la condición B ?. EJERCICIO 37 Dadas U1 ~ U ( 0, 1) y U2 ~ U ( 0, 1) independientes entre si, hallar las distribuciones conjuntas y marginales en los siguientes casos: X U + U 2 a) = 1 Y U 1 − U 2 X U 1 .U 2 b) = Y U 1 / U 2 X sen(2πU 1 ) − 2 ln U 2 c) = Y cos(2πU 1) − 2 ln U 2
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PRACTICA 7: VARIABLES ALEATORIAS MULTIPLES
EJERCICIO 38 Sean las variables aleatorias X e Y con distribución conjunta dada por 1 x a −1 y b −1e − x e − y si x > 0 , y > 0 f X ,Y ( x , y ) = Γ( a )Γ( b ) 0 en otro caso X Hallar la distribución de U = . X +Y EJERCICIO 39 Dadas X1, X2, ….. , Xn iid con distribución FX(x), hallar las densidades de: U = max { X1, X2, ….. , Xn } V = min { X1, X2, ….. , Xn } EJERCICIO 40 Dadas las variables aleatorias X e Y independientes ambas con distribución Geométrica(p), hallar la cuantía de U = min { X ,Y } y de V = X – Y. Demostrar que U y V son independientes.
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES EJERCICIO 1 Sea X1, X2, ... , Xn una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con X1 ~ U ( 0 , 1). Sea Yn = max { X1, X2, ...Xn } 1. Hallar Fn(t) la función de distribución de Yn en función de n. 2. Hallar lim Fn (t ) n →∞
EJERCICIO 2 Sean X1, X2, ...Xn una secuencia de variables aleatorias iid con X1 ~ Exp (θ). Sea Yn = min { X1, X2, ...Xn } 1. Hallar Fn(t) la función de distribución de Yn en función de n. 2. Hallar lim Fn (t ) n →∞
EJERCICIO 3 Sea Xn una v.a discreta tal que REC(Xn) = { 1/n , 2/n , ..... , (n-1)/n , 1 }. Siendo P ( X n ≤ t ) = Fn (t ) hallar lim Fn (t ) n →∞
EJERCICIO 4 Sea Y ~ Binomial ( n , p ) ∧
1. Probar que la variable aleatoria p = ∧
∧
Y P p → n
P
2. Probar que p (1 − p ) → p (1 − p ) ∧
3. Probar que
p− p ∧
∧
d Z ~ N ( 0,1 ) →
p( 1 − p ) / n
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
EJERCICIO 5 Dada X1, X2, ... , Xn una MAS c/r de X con E(X 2) < ∞, demostrar que X converge en probabilidad a µ y que S 2 y s 2 convergen en probabilidad a σ 2 . EJERCICIO 6 (CANAVOS 7.16) Un contratista piensa comprar una gran cantidad de lámparas de alta intensidad a cierto fabricante. Este asegura al contratista que la duración promedio de las lámparas es de 1000 horas con una desviación estándar igual a 80 horas. El contratista decide comprar las lámparas sólo si una muestra aleatoria de 64 de éstas da como resultado una vida promedio de por lo menos 1000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el contratista adquiera las lámparas? EJERCICIO 7 (CANAVOS 7.18) En la fabricación de cojinetes para motores, se sabe que el diámetro promedio es de 5 cm con una desviación estándar igual a 0.005 cm. El proceso es vigilado en forma periódica mediante la selección aleatoria de 64 cojinetes, midiendo sus correspondientes diámetros. El proceso no se detiene mientras la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos límites especificados sea de 0.95. Determinar el valor de estos límites. EJERCICIO 8 Sea X1, X2, ... , Xn una MAS c/r de X, obtener la distribución exacta en el muestreo de i=n 1 i =n Y = ∑ X i y de X = ∑ X i en los siguientes casos: n i =1 i =1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
X X X X X X X
~ Bernoulli (p) ~ Binomial (m, p) ~ Geométrica (p) ~ Poisson ( λ ) ~ Exponencial ( λ ) ~ Gamma (a, λ ) ~ Normal ( µ , σ 2 ) Si se tiene que X ~ FX ( x ) desconocida con E( X ) = µ y V(X) = σ 2 < ∞ , ¿cuál es la distribución aproximada de Y y X ?
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
EJERCICIO 9 (Múltiple opción seleccionado de los exámenes de Marzo y Setiembre de 2001 y de la Segunda Revisión de 2001) 1. La dispersión de la distribución en el muestreo de X depende de: a) El tamaño de la muestra y la dispersión de la variable X. b) La dispersión de la variable X y el verdadero valor de µ. c) El tamaño de la muestra y el verdadero valor de µ. 2. Si X tiene distribución Bernoulli(p) , entonces X − p : a) Tiene distribución exacta Cuasi-Binomial. p( 1 − p ) b) Tiene distribución exacta N 0 , . n p( 1 − p ) c) Tiene distribución aproximada N 0 , . n d) Ninguna de las anteriores. 3. Sea X una variable aleatoria discreta, simétrica, con esperanza y varianza finitas. Se selecciona una muestra aleatoria con reposición de X de tamaño n = 50. Entonces: a) La función de distribución empírica es una función continua para todo x ∈ REC (X). b) La media de la muestra es siempre mayor que el modo. c) Si se ordenan las observaciones de la muestra, entonces min( X i ) = min{REC( X )}. V(X) 1 i =50 d Xi Y ~ N E(X), → . ∑ 50 50 i =1 e) Ninguna de las anteriores.
d)
4. Se tiene una MAS c/r de tamaño n = 10. Entonces la distribución de X : a) b) c) d)
No se puede conocer en ningún caso. Es gamma si X es exponencial. Sólo se puede conocer en el caso que X sea normal. Ninguna de las anteriores.
EJERCICIO 10 Sean X ~ N (µX , σX2 ) y Y ~ N (µY , σY2 ) variables aleatorias independientes y sean a y b constantes dadas, no nulas 1. Hallar la función generatriz de momentos del estadístico T = aX + bY y reconocerla. 2. Para µX = 2, σX2 = 100 , µY = 4 y σY2 = 144, hallar P(2X + 3Y > 18).
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
EJERCICIO 11 (CANAVOS 7.25) Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, en una de sus marcas, es de 0.6 mg por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de esta marca y encuentra que el promedio y la desviación estándar muestral es de 0.75 mg y 0.175 mg, respectivamente, de nicotina. Si se supone que la cantidad de nicotina en estos cigarrillos es una variable normal, ¿qué tan probable es el resultado muestral dado el dato proporcionado por el fabricante? EJERCICIO 12 Si en la distribución gamma se hace a = n/2 y λ = 1/2 , la distribución resultante se denomina chi-cuadrado con n grados de libertad. Hallar su función generatriz de momentos, y calcular su media y varianza. EJERCICIO 13 Dada una v.a. X que se distribuye N (0,1), hallar la distribución de Y = X2 y reconocerla especificando los valores de sus parámetros. EJERCICIO 14 (Control 2001) ( X − 2 )2 Sea X ~ N (2,9) y sea Y = . 9 a) Indicar la distribución de Y, y utilizarla para calcular P(Y ≤ 3,84). b) Calcular P(Y ≤ 3,84) utilizando la tabla normal. EJERCICIO 15 (Examen Octubre de 1997) Sea X ~ N (0,9) 1. Hallar E(X2). 2. Recordando que si X ~ N ⇒ γ2 = 0 ( siendo γ2 el coeficiente de apuntamiento), probar que V(X2) = 162. 3. Sea X1, X2, X3, X4, X5, X6 una MAS c/r de X ~ N (0,9). Sean las variables aleatorias U y J tales que: 2 6 6 X U = ∑ i J = ∑ X i2 i =1 3 i =1 a) b) c) d)
Hallar la distribución de U. Calcular P(J ≤ 113.4). Hallar el valor de c, tal que P(J > c) = 0.1 Probar que E(U) = 6 y V(U) = 12. Fundamentar.
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
EJERCICIO 16 (Segunda Revisión 2000) Se sabe que los tasadores de inmuebles tienden a subestimar o sobreestimar el verdadero valor de los inmuebles. Si el verdadero valor de un inmueble es µ, entonces las tasaciones (Xi) siguen una distribución N(µ, 30002). Para seleccionar un tasador de un conjunto de candidatos, se los someterá a la siguiente prueba. La empresa dispone del verdadero valor de 20 inmuebles, y les solicitará a los candidatos que los tasen. La empresa seleccionará al candidato que obtenga el menor valor en la siguiente expresión: 2 20 X i − µi Y = ∑ i =1 3000 donde: Xi = tasación del inmueble i por parte de un tasador µi = verdadero valor del inmueble i Se pide: 1. De acuerdo con los datos del problema, ¿es Y un estadístico? Fundamentar. 2. Si las 20 tasaciones de un tasador pueden considerarse variables independientes, ¿qué distribución sigue la expresión Y? Fundamentar. 3. Calcular P(Y > 12,4). EJERCICIO 17 (Examen Diciembre de 1994) A un aeropuerto deben llegar, después de medianoche, dos vuelos de una misma compañía. Sean X e Y las v.a. que miden el momento de arribo (en minutos, después de medianoche) del primer y segundo vuelos respectivamente. Se sabe que X e Y son independientes y que sus distribuciones están adecuadamente modeladas por: X ~ N (µ , σ2 ) , Y ~ N (µ + 5 , σ2). Es decir que µ es el momento esperado de arribo del primer vuelo y 5 minutos más tarde se espera la llegada del segundo vuelo. La dirección del aeropuerto decide cobrar una multa de M unidades monetarias por las diferencias entre el momento esperado de arribo y la llegada efectiva de los vuelos según la siguiente fórmula: M = 100(X - µ)2 + 100(Y - µ - 5)2 1. Hallar la distribución de M/100σ2 2. Para σ2 = 2.31 calcular la probabilidad de que la multa no supere las 640 unidades monetarias. EJERCICIO 18 (CANAVOS 7.22) Para un gerente de planta es muy importante controlar la variación en el espesor de un material plástico. Se sabe que la distribución del espesor del material es normal con un desviación estándar de 0.01 cm. Una muestra aleatoria de 25 piezas de este material da como resultado una desviación estándar muestral de 0.015 cm. Si la varianza de la población es (0.01)2 cm2 ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea igual o mayor que (0.015)2 cm2?. Por lo tanto, ¿qué puede concluir con respecto a la variación de este proceso?
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
EJERCICIO 19 Sea X ~ N (0,1) y X1, X2, ... , X10 una MAS c/r de tamaño 10 de X, se define el estadístico: 10
J = ∑ X i2 i =1
1. Calcular las siguientes probabilidades P(J > 18,3) ; P(J ≤ 9.34) ; P(3.25 < J < 16) 2. Siendo S2 la varianza muestral para las 10 observaciones anteriores, calcular P( S 2 > 1.14 ) EJERCICIO 20 (Examen Diciembre de 1994) Sean X, Y y W tres variables aleatorias independientes tales que: X ~ N (µ1 , σ12 ) Calcular P(T < 2.065) siendo T =
Y ~ N (µ2 , σ22 )
W ~ N (0,1)
W 2
X − µ1 Y − µ 2 + σ1 σ 2
2
Sugerencia: hallar la distribución de T ´= 2T . EJERCICIO 21 Sea X1, X2, ... , X12 una MAS c/r de tamaño 12 de X ~ N(8, σ2), se define el estadístico: T=
(
11 X − 8 S2
)
dónde S2 es la varianza muestral. Calcular P(T > 2,2)
EJERCICIO 22 (Examen) La fabrica de bebidas "La Sequía" lanzó al mercado su nuevo refresco "Rain Rain". Para darle publicidad la empresa organiza un concurso que consiste en determinar en quién toma más litros de "Rain Rain" en una hora. Un conocedor de estadística afirma que el número de litros que puede tomar una persona en una hora es una variable aleatoria L dada por: L = U 2 + V 2 + Z 2 donde U, V y Z son variables aleatorias N (0, σ2) independientes. Se pide: sabiendo que el número de litros que toma un participante es independiente de los que toma cualquier otro, calcular la probabilidad de que el participante A tome en una hora más que el triple del participante B.
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PRACTICA 8: MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
EJERCICIO 23 Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con distribuciones dadas por X ~ N (µX , 9) y Y ~ N (µY , 16 ) y sean X1, X2, ... , X10 y Y1, Y2, … , Y8 muestras aleatorias simples con reposición de X y de Y respectivamente y SX2 y SY2 las S2 correspondientes varianzas muestrales, se define el estadístico: W = X2 . SY 1 Calcular P(W > 2,1291) y P > 5.6864 . W
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