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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No existe un número real x que satisfaga la ecuación x2 +1=0 Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario introducir el concepto de número complejo. Un número complejo es una expresión del tipo: a+bi , donde a y b son números reales y la letra i se le conoce como la unidad imaginaria. Con la propiedad de que i2 =-1 , por lo tanto
i = −1 siendo z=a+bi, se le conoce a a como la parte real de z y b la parte imaginaria de z, conocido como Re(z) e Im(z), respectivamente. A z se le conoce como variable compleja y puede representar elemento del conjunto de los números complejos. Propiedades de los números complejos a. Dos números complejos a+bi y c+di son iguales si y solo si a=b, y c=d Se podría considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, esto es cuando b=0 Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y –3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi b. Conjugado Complejo, o conjugado simplemente de un número a+ bi es el número a-bi Siendo z un número complejo, su conjugado se representa como:
z
z*
Operaciones fundamentales entre números Complejos: a. Adición (Suma)
(a+bi) + (c+di)= (a+c) + (b+d)i
b. Sustracción (Resta)
c. Multiplicación (ad+bc)I
(a+bi) - (c+di)= (a-c) + (b-d)i
(a+bi) * (c+di)= a * (c+di) + bi * (c+di)= ac + adi + bci + bdi2 = (ac-bd) +
d. División a + bi a + bi c − di ac − adi + bci − bdi 2 ac + bd + (bc − ad )i ac + bd bc − ad = * = = = 2 + i c + di c + di c − di c 2 − d 2i 2 c2 + d 2 c + d 2 c2 + d 2
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VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o módulo de un número complejo a+bi está definido por:
a + bi = a 2 + b 2
Si z1 , z2 , z3 son números complejos, entonces son válidas las siguientes propiedades.
z1 z2 K z m = z1 z 2 L z m
z z1 = 1 z2 z2
Para
z2 ≠0
z1 + z 2 + K z m ≤ z1 + z2 + K + zm z1 − z 2 ≥ z1 − z 2 O bien,
z1 + z 2 ≥ z1 − z 2
Podemos considerar un número complejo como un par ordenado (a,b) de números reales a y b Podemos manejar definiciones de tal manera que: 1. Igualdad (a , b) = (c , d) ⇔ a = c, b = d 2. Suma
(a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)
3. Producto (a , b) . (c , d) = (a c – b d , a d + b c) Y
m(a,b)= ma, mb
De lo cual se puede demostrar que (a,b)=a(1,0) + b(0,1) y asociando esto con a + bi donde i es realmente el símbolo (0,1) con la propiedad de que i2 = (0,1)(0,1)=(-1,0), el cual se puede
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considerar equivalente al número real -1 y (1,0) se pude considerar equivalente al número real 1. La pareja ordenada (0,0) corresponde al número real 0 CONJUGADO Siendo z=a+bi, el conjugado denominado ß =a-bi Propiedades básicas:
c=c
c+d =c+d cd = c * d c es un número real ⇔ c = c
cc
es un número real no negativo y c c = 0 ⇔ c=0
Al plano complejo se le conoce como plano Z, donde el eje x, es el eje real, y el eje y el eje imaginario. A cada número complejo le corresponde un solo número en el plano, y viceversa. Siendo: Z1 =x1 +iy1
Z2 =x2 +iy2
La distancia entre dos puntos está definida por
z1 − z2 =
(x1 − x2 )2 + ( y1 − y 2 )2
FORMA TRIGONOMETRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Si P es un punto en el plano complejo (también llamado Diagrama de Argand), (x,y) o x+iy . R es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los catetos x y y x = r cos θ y =r sen θ donde : r = x 2 + y 2 = x + iy
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a r se le conoce como módulo o valor absoluto denotado por mod z o |z| , y θ es la amplitud o argumento de z = x + iy denotado por arg z es el ángulo que forma el vector formado por el punto del número complejo y el origen. De lo anterior se deduce que z= x + iy = r (cos θ +isen θ), Llamada la forma trigonométrica o polar de número complejo, r y θ se conocen como las coordenadas polares. En algunas ocasiones se abrevia r cis θ Para cualquier número complejo z ≠ 0 corresponde un solo valor de θ en 0< θ <2π
y P(x,y)
r σ x
TEOREMA DE D’MOIVRE Si z1 = x1 + iy1 =r1 (cos θ1 +isen θ1 ) y z2 = x2 + iy2 =r2 (cos θ2 +isen θ2 ) z1 z2 =r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 ) z1 /z2 =(r1 /r2 )(cos (θ1 - θ2 ) + i sen(θ1 - θ2 )) si z1 = z2 =z3 = z4 … zn generalizando: n
n
z = (r (cos θ+isen θ)) = (r n (cos nθ+isen nθ)) a lo que se conoce como el teorema de D’Moivre
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RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO n
Un número w es llamado raíz n-ésima de un número complejo Z si w = Z y se escribe como 1/n w=z Del teorema de D´Moivre podríamos demostrar que si n es un entero positivo 1/n
z
1/n
= (r (cos θ+isen θ))
= r
1/n
(cos (θ+2πk)/n+isen (θ+2πk)n)
para k=0,1,2,.., n-1 1/n
de lo cual se deduce que hay n valores diferentes para z
es decir n diferentes raíces n-ésimas de z, si z es diferente de 0 FORMULA DE EULER En base a la serie infinita ex = 1 + x +
x 2 x3 x 4 x5 x 6 xn + + + + + .... 2! 3! 4! 5! 6! n!
Sustituyendo x=iσ Serie de cosenos:
σ2 σ4 σ6 1− + − + ... 2! 4! 6!
Serie de senos:
i (σ −
Se puede llegar al resultado de
σ3 σ5 + + ....) 3! 5! e iσ = cos σ + isen σ
donde e=2.71828
Llamada fórmula de Euler.. En general se define:
e z = e x +iy = e x eiyz = e x (cos y + iseny )
También podemos observar que ( eiσ )n = e iσn Ecuaciones Polinómicas: Frecuentemente necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma: a n z n + an −1z n −1 + an− 2 z n − 2... + a1z + a0 = 0
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Donde a0 ≠0 y a1 , a2 …an son números complejos dados y n es un entero positivo llamado el grado de la ecuación Tales soluciones se llaman ceros del polinomio o raíces de la ecuación. Teorema sobre ceros racionales de un polinomio: Si el polinomio
f ( x ) = an z n + an −1z n−1 + an − 2 z n − 2... + a1z + a0
Tiene coeficientes enteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factor primo común, entonces: 1) El numerador c del cero es un factor del término constante ao 2) El denominador d del cero es un factor del coeficiente inicial an Recordar el siguiente cociente: Posibles ceros racionales es igual a los factores del término constante ao entre los factores del coeficiente inicial an El teorema sobre ceros racionales se puede aplicar a ecuaciones con coeficientes racionales multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCDn de todos los coeficientes para obtener una ecuación con coeficientes enteros.
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