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EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA SIMPLE EN ESTÁTICA, UTILIZANDO
LAS
ECUACIONES
DE
MAXWELL
EN
FORMA
DIFERENCIAL: NIVEL INTERMEDIO.
Problema 3. Se tiene un sistema de cargas constituido por una densidad de carga volumétrica ρv (x) = ρ0 (x / 2) en el volumen x ≤ 2 , y < ∞, z < ∞, y una densidad de carga superficial constante η0 en la superficie x = 2, y < ∞, z < ∞. a) Explicar qué tipo de simetría debe tener el campo producido por la densidad de carga volumétrica. b) Explicar qué tipo de simetría debe tener el campo producido por la densidad de carga superficial. c) Determinar el campo eléctrico producido por estas cargas en todo el espacio, aplicando superposición. Solución. a) Simetría del campo producido por la densidad de carga volumétrica. Para determinar esta simetría debe considerarse que la densidad de carga volumétrica de este problema es una función impar de la coordenada x , y que el campo producido por estas cargas es de la forma E = 1x E x (x) , por la geometría y la variación espacial de las cargas. Considérense los volúmenes V1 y V2 de la figura 1 de la siguiente página. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
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y
V1
−b
−2
−a
a 0
2 V2
b
QV =0
x
QV =0
ρV(x) Fig. 1: Volúmenes usados para estudiar la simetría del campo eléctrico producido por la densidad de carga volumétrica.
Estos volúmenes son simétricos respecto a la coordenada x , en ambos la carga neta encerrada es cero por la simetría impar de la densidad de carga. Por Ley de Gauss en forma integral para el campo eléctrico, el flujo eléctrico neto a través de la superficie que limita ambos volúmenes también es cero, lo que implica que Ex (–b) = Ex (b) y que Ex (–a) = Ex (a), es decir, que el campo eléctrico tiene simetría par. b) Simetría del campo producido por la densidad de carga superficial. Un observador ubicado a cierta distancia X de x = 2 y mirando hacia las cargas observa el mismo sistema, no importa de qué lado se ubique, por lo que debería medir el mismo campo con relación a su sistema de referencia. Como los sistemas de referencia de ambos observadores tienen simetría impar, el campo eléctrico también tiene simetría impar respecto a x = 2.
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c) Cálculo del campo eléctrico utilizando superposición. El campo eléctrico se calcula aplicando Ley de Gauss en forma diferencial para el campo eléctrico, y la condición de frontera correspondiente. Para aplicar superposición, se calcula por separado el campo eléctrico producido por cada sistema de cargas, y luego se suman vectorialmente los resultados. CAMPO PRODUCIDO POR LA DENSIDAD VOLUMÉTRICA DE CARGAS. Al aplicar la Ley de Gauss en forma diferencial para el campo eléctrico dentro del volumen de las cargas, se tiene: ∇ ⋅ ε 0 E(x) = ρ V (x) ⇒ ε 0
∂E x = ρ0 ( x / 2 ) ∂x
Integrando, se tiene: E x (x) =
∫
ρ0 x 2 ρ0 + C1 (x / 2) dx + C1 = ε0 ε0 4
Para x > 2 no hay cargas, por lo que se tiene:
∇ ⋅ ε 0 E(x) = 0 ⇒ E x = C 2 Aplicando la propiedad de simetría, para x < 2 se tiene también que
E x = C2 . Para sitios muy alejados del sistema, como la carga neta del mismo es nula, el campo eléctrico debe ser nulo, por lo que C 2 = 0 , lo que implica que el campo eléctrico es nulo fuera del sistema de cargas. Aplicando la condición de frontera de la Ley de Gauss en forma diferencial en x = 2 ó en x = −2, dado que no hay cargas superficiales, se Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
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concluye que el campo eléctrico dentro del sistema de cargas es: 2 ρ0 ρ0 ρ0 x 0= + C1 ⇒ C1 = − ⇒ Ex ( x ) = − 1 − 4 ε0 ε0 ε0
CAMPO PRODUCIDO POR LA DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGAS Como el campo eléctrico producido por estas cargas es de la forma
E = 1x E x (x) (por la geometría de las cargas) y tiene simetría impar, basta con calcularlo de un solo lado. Aplicando la Ley de Gauss para el campo eléctrico en forma diferencial, se tiene, para x > 2:
∇ ⋅ ε 0 E(x) = 0 ⇒ E x = C 3 Por la condición de simetría impar, para x < 2 resulta que E x = −C 3 . Aplicando la condición de frontera de la Ley de Gauss para el campo eléctrico en la superficie x = 2, se tiene:
[
]
1x ⋅ ε 0 E − ε 0 E x=2− = η x=2 = η 0 x=2 + Sustituyendo los campos, se tiene finalmente que: C3 =
η0 2ε 0
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CÁLCULO DEL CAMPO TOTAL. Aplicando superposición, el campo total es: η0 − 1x 2ε , si x ≤ −2, y < ∞, z < ∞ 0 η ρ 0 x 2 0 E = − 1x + 1− , si -2 ≤ x < 2, y < ∞, z < ∞ 4 2ε 0 ε 0 η 1x 0 , si x > 2, y < ∞, z < ∞ 2ε 0
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