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X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 123 ALGUNAS APLICACIONES INTERESANTES DE LA TRANSFORMADA FRACCIONARIA DE FOURIER (Several interesting applications of the fractional Fourier transform.) Martínez Héctor, Silvino Rodríguez Email:
[email protected] ,
[email protected] Universidad Nacional Experimental de Guayana. Departamento de Ciencias y Tecnología. Área de Matemática. Línea de investigación: La transformada fraccionaria de Fourier y sus aplicaciones en el campo del análisis de señales, [9] se
INTRODUCCION
En este trabajo abordaremos el tema de las
estudia una señal corrupta con un ruido en el
aplicaciones de la transformada fraccionaria
plano tiempo-frecuencia y se emplea la FRFT
de Fourier (FRFT) continua desde el punto
para trasladarla a un dominio fraccional y así
de vista del cálculo de operadores la cuál es
poder filtrar el ruido de esta señal.
una
Seguidamente se presenta en el tópico de
generalización
de
la
transformada la
procesamiento de imágenes un caso de una
transformada fraccionaria de Fourier es una
imagen con un ruido bidimensional donde se
herramienta de gran utilidad en el campo de
usa la transformada fraccionaria de Fourier
las
la cual facilita el filtrado del ruido de esta
clásica
de
Fourier.
matemáticas
Se
sabe
aplicadas
que
entre
sus
múltiples aplicaciones se encuentran: Redes
imagen corrompida.
neurales y Reconocimiento de patrones [3],
Finalmente se trata la técnica de las marcas
Encriptación de datos [8], Compresión de
de aguas digitales, donde se construye un
señales [9], Tomografía [7], Análisis de
algoritmo para el marcado de agua digital,
señales [9], Procesamiento de imágenes [2]
donde
y Marcas de aguas digitales entre otras[6] .
preponderante en la inserción de la marca de
Nosotros
agua.
analizamos
y
estudiamos
la
FRFT
cumple
un
papel
Por otra parte los experimentos
exhaustivamente las tres últimas aplicaciones
realizados en esta investigación tales como
de la transformada fraccionaria de Fourier,
la construcción de los códigos y problemas
mencionadas anteriormente. Primeramente
Jornadas de Investigación 2012
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 124 tests
fueron
realizados
utilizando
como
herramienta el software del Matlab.
II. Preliminares
hace corresponder
En esta sección se expresarán algunas
expresión:
a f la siguiente
a
definiciones fundamentales las cuales se
F (ξ):=
estarán utilizando en todo el desarrollo del
potencia de la transformada y núcleo está
trabajo, entre las más importantes están:
definido como:
Operador lineal, Transformada fraccionaria
K_a (ξ, x)=Cα
de
Cα =
Fourier,
señal,
filtrado
de
señales,
, donde 'a' es la
, con y para a
.
convolución en el tiempo o frecuencia entre
Además para a
otras.
=
Operador lineal. Sean E y E1 dos espacios
se obtiene que: K_a (ξ, x) =
topológicos lineales, se llama operador lineal E sobre E1 a toda aplicación y=T(x), con x la
, y
T
tal que:
Además se verifica
.
siguiente
condición:
se tiene que: K_a (ξ, x) a
, entonces F (ξ):=f(x) y si a 2+4 , es decir
a
F (ξ):=f (-x). Distribución de Wigner. Sea f una función 1
en L entonces su distribución de Wigner o transformada de Wigner W f está definida como:
Distribución delta.
La distribución delta
está definida de la siguiente manera:
W f(x, ) = Teorema 2. La Distribución de Wigner de una función f y su transformada fraccionaria
Transformada fraccionaria de Fourier. Se
de Fourier
sabe que la definición de la transformada
rotación sobre un ángulo α mediante la
fraccionaria de Fourier viene dada a través
siguiente expresión: W F (x, ) = R
del siguiente teorema:
(x ), donde α=a
Teorema 1: Sea f acotada,
2
L ( ) y f una función α=a
,
entonces
transformada fraccionaria de Fourier de orden ‘a ` es un operador lineal que
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están relacionadas
a
yR
{-a}
por
{-a}
la
(W f)
representa una
rotación en el sentido de las agujas del reloj de las variables (x, ) sobre sobre un ángulo α. Una forma equivalentemente de expresar
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 125 la identidad dada anteriormente es: R a
a
W F (x, )=: W F (
{a}
, )= (W f) (x ).
Filtrado en el dominio frecuencia. y
Sean
las transformadas de Fourier de la
señal f y del filtro h respectivamente, si f es una señal corrompida en el dominio tiempo Función chirp. Una función f se le conoce
y h un filtro,
como función chirp si ella barre una cierta
frecuencia se define a la multiplicación en el
frecuencia de un intervalo [w0,w1], en un
dominio frecuencia de las dos transformadas
cierto intervalo de tiempo [t0,t1], este intervalo
de Fourier
puede ser barrido de distintas formas (lineal,
Señal.
cuadrática, logarítmica entre otras ). Si la rata
variables, desde el punto de vista físico es
de barrido es lineal, ella tiene la forma
esencialmente
y
el filtrado en el dominio
es decir :
Es una función de una o más
cualquier
magnitud
que
podamos medir de alguna forma, la cual
, donde η es la rata de barrido. Filtro. Dado el dominio tiempo l= {s= (sn): sn
contiene
información
sobre
el
} de las señales sn, el operador
comportamiento o la naturaleza de algún
traslación Z sobre el dominio tiempo, se
fenómeno, ejemplos de señales son: una
define
hace
imagen (señal bidimensional), depende de
señal sobre otra señal
sus coordenadas espaciales, el sonido, el
, n
como
el
corresponder una
operador
que
retardada en una unidad de tiempo es decir:
electrocardiograma,
Z: l
señales depende de una única variable el
l, tal que (Zsn)=s {n-1}.
estas
dos
últimas
Filtrado en el dominio tiempo. Sea f una
tiempo, es decir son unidimensionales. Sin
señal que depende del tiempo corrompida
embargo hay señales que no pueden ser
con ruido y h un filtro, el filtrado en el dominio
expresadas explícitamente como una función
tiempo se define
a través de una fórmula, como por ejemplo:
como
la operación de
la voz (o un segmento de voz).
convolución entre h y f esto es: g (t) =f(t)*h(t) =
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.
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III. ANALISIS DE SEÑALES
Multiplicamos por un filtro banda
En análisis de señales [4,9] se usa con
limitada.
mucha frecuencia la técnica de filtrado de
señales
transformada fraccionaria de Fourier (F ).
Ésta consiste en: Dada una señal perturbada,
el filtrado consiste en aplicar un determinado
en varias tasas de barrido α1, α2,…αn, se
procedimiento con la finalidad de eliminar la
aplicaría el procedimiento indicado tantas
perturbación de la señal y así poder obtener
veces como fuera necesario.
Finalmente aplicamos la inversa de la -a
Si el ruido estuviera descompuesto
la señal libre del ruido (filtrada). Los
Observación: Es de hacer notar que la
procedimientos más comunes de filtrado de
transformada fraccionaria de Fourier hace
señales son: el filtrado en el dominio tiempo
corresponder a la función chirp desde en el
(convolución) y en el dominio frecuencia
dominio tiempo (a=0) una función delta en el
(multiplicación) los cuales se definieron en la
a-dominio fraccionario, siendo a la velocidad
sección de los preliminares.
de barrido este orden o fracción ‘a’ se
Primeramente se presenta un algoritmo para
corresponde con la rata (ángulo) de barrido
el proceso de filtrado de una señal
de la función chirp, esto es α=a
corrompida el cual sigue a continuación:
Con el objetivo de aplicar el algoritmo de una
III.1 Algoritmo de filtrado de una señal en
señal en el dominio fraccionario,
el dominio Fraccionario.
presentaremos un caso de una función
Dada una señal con ruido en el a-dominio
Gaussiana f (t) =
fraccionario y conocido el valor de α, el
un ruido tipo chirp representado por la
procedimiento para eliminar dicho ruido de la
función s1 (t) = 0.2
señal es el siguiente:
vamos a utilizar la relación existente entre la
Dada la señal f(t) más una función
.
, perturbada con
. Pero
transformada fraccionaria de Fourier y la
chirp (ruido) con tasa de barrido α, donde
distribución de Wigner dada por la siguiente
α=a
identidad: W F (x, ) = R {-a} (W f) (x ). Esta
a
Se calcula la transformada a
fraccionaria de Fourier (F ) a la señal. Jornadas de Investigación 2012
igualdad expresa que la rotación de un
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representación de la distribución de Wigner
de Wigner de una función f es igual a la
de s(t) con a= -2*0.85 y resulta la figura 1(d)
distribución de Wigner de la transformada
donde se puede eliminar el ruido aplicando
a
fraccionaria de Fourier F .
un filtro de banda acotada como se muestra
Se tiene la señal dada más el ruido esto es:
en la figura 1(e) y finalmente aplicamos la
s(t)=f(t)+s1(t), donde la función s(t) la hemos
inversa de la transformada fraccionaria de
definido sobre
Fourier y retornamos a la representación de
el
intervalo
[0,40]
y la
frecuencia de muestreo es de 100Hz. Ahora
la señal filtrada en el
plano tiempo-
se aplica la distribución de Wigner a la señal
frecuencia, como se muestra en la figura 1(f).
s(t) en el plano tiempo frecuencia cuyo resultado se presenta en la figura 1(a), donde el color más intenso corresponde a la transformada de Wigner de f(t) y el color más difuso a la distribución de Wigner del ruido s1(t). Observamos que el ángulo que forma el ruido con el eje de coordenadas en la figura 1(a) corresponde a α=a tanto
aplicamos
una
=0.85 rotación
, por lo sobre
la
representación de la distribución de Wigner de s(t) con a=-0.85, obteniéndose como resultado la representación de la señal que se muestra en la figura 1(b) y se observa que el ruido se sitúa en forma vertical el cual eliminamos usando un filtro pasabanda el Un segundo caso
resultado de este procedimiento se muestra
del filtrado del
en la figura 1(c), sin embargo el ruido se
ruido de una señal es utilizando directamente
mantiene en el parte derecha de la señal, de
la transformada fraccionaria de Fourier para
nuevo se realiza una rotación sobre la
esto
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vamos
a
usar
la
misma
señal
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 128 presentada en el caso anterior es decir la función
Gaussiana
perturbada
con
f un
(t)
en nuestro caso es con a=2*0.85, una vez
=
ruido
fraccionaria de Fourier correspondiente que
tipo
chirp
ejecutado este paso se tiene la figura 2(d), la cual presenta un pico en la parte izquierda y
representado por la función s1 (t) = 0.2
que se elimina utilizando un filtro pasa banda
.
En la figura 2(a) representamos la función s (t) que resulta de la función
adecuado de aquí se origina la función representada en la figura 2(e) y finalmente la transformada fraccionaria de Fourier F
Gaussiana
f(t) =
, con la adicción
del ruido definido por: s1(t) = 0.2
, donde la
función s(t) la hemos definido sobre el intervalo [0,40] y la frecuencia de muestreo es de 100Hz. Primeramente se tiene que el ángulo que forma el ruido con el eje de las coordenadas (esto se verá mejor en el próximo ejemplo) es de α=a
=0.85
,
por lo tanto aplicamos a s(t) la transformada fraccionaria de Fourier[4]
F
a
con a=-0.85,
obteniéndose la figura 2(b), en la cual se observa un pico pequeño
localizado a la
izquierda que corresponde a la parte del ruido en este dominio de frecuencia, éste se elimina aplicando un filtro de banda acotada, obteniéndose la representación de la función en la figura 2(c). Puesto que el ruido se mantiene ahora en la parte derecha de la figura
2(c),
aplicamos
la
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transformada
-a
con
a=-0.85, como se muestra en la figura 2(f).
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IV. PROCESAMIENTO DE
Esto lo podemos observar en la figura 4 donde se observa una red o malla
IMÁGENES En esta sección trataremos un caso de procesamiento de imágenes [2], a saber se presenta una imagen perturbada con un ruido y se quiere eliminar dicha perturbación, como estamos en el dos dimensiones puesto se está trabajando con una imagen, se tiene que utilizar aunque
la transformada bidimensional,
existe
una
definición
de
la
transformada bidimensional fraccionaria de Fourier no separable, la aplicación más simple es un tipo de producto tensorial de la transformada
fraccionaria
de
Fourier
bidimensional por la aplicación sucesiva de la transformada unidimensional [1,5] sobre las filas y las columnas de la imagen. En nuestro ejemplo superponemos una función chirp como un ruido sobre una imagen (casa), como podemos observar en la figura 3(a). transformada
Después se le aplica una fraccionaria
discreta
unidimensional que nos convenga, sobre las filas y las columnas entonces la función chirp (ruido) se transforma en una función delta que era lo de esperar.
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para las filas y las columnas en un entorno de la función delta. Aunque el ruido apenas se puede ver en la imagen, el pico se levanta claramente y esto identifica cual es la transformación adecuada que nos conviene construir. Después removemos o eliminamos el pico usando el promedio de la señal sobre el entorno de los pixeles, la imagen es devuelta filtrada, es decir la imagen limpia del ruido, la cual se puede observar en la figura 3(b)
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Fig.4
V. MARCAS DE AGUA DIGITALES Una de las aplicaciones más interesantes donde se utiliza la transformada fraccionaria de Fourier discreta bidimensional es en el campo
de
procesamiento
de
señales,
específicamente en el proceso de inserción de una ‘marca de agua digitales’ en un documento multimedia. La Marca de agua digital [6] es un código de información que es incluido en un archivo multimedia de manera
que
sea
preferiblemente
no
perceptible para el humano pero sí fácilmente Jornadas de Investigación 2012
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 131 detectable por un computador. El tipo de
información
coeficientes de Fourier
insertada
en
el
archivo
dependerá de la aplicación que se le dará a
Se
coloca
arreglo de dimensión
la
matriz
S
de
los
como un
S mn
1 mn. .
la marca de agua. Todas las técnicas de Marcas de agua
digitales están formadas por dos procesos: El
el
proceso de inserción o codificación y en el
i 1,2,...mn 1 .
proceso de extracción o identificación. En este trabajo se presenta el proceso de inserción.
S mn ,
utilizando
Si Si 1 ,
con
Se ordena el arreglo criterio
Se determina la capa ó las capas de
la imagen que se le van a insertar la marca de agua.
Nosotros en esta sección proponemos un algoritmo donde se tiene como herramienta
Se determina
L que es el lugar
correcto en la capa (o las capas) donde se
fundamental la transformada fraccionaria de Fourier en la técnica de la inserción de la marca de agua digital, el cual sigue a
V.1 Algoritmo de Marca de Agua Digital
I una imagen (fotografía a
Sea
color) en la cual vamos a insertar la marca de agua digital, donde
I aij mn , aij R.
Se calcula la transformada discreta
fraccionaria de Fourier bidimensional [1] con ángulos adecuados DFRFT
a1 ,a2
2 a2
2
I S ,
1 , 2 ,
donde
.
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M que es
el tamaño ésta, con L, M .
continuación:
va a insertar la marca de agua y
Se genera la marca
K que es un
vector de número complejo de tamaño
M,
donde sus partes real e imaginaria sigue una distribución normal con media 0 y varianza
2 2
.
Se inserta la marca de agua en el
vector
S mn .
es decir:
1 a1
2
y
Se expresa el vector
matriz
de
orden
S mn
m n ,
como una esto
es,
regresamos a un arreglo bidimensional
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 132 donde la matriz
S
ya se le insertó la marca
de agua.
Fourier con ángulos
=
y
=
sobre la primera capa, este resultado se
Finalmente se calcula ( y se obtiene la imagen
))
1
,
I con la marca de
muestra en la figura 5(c), en otras palabras se
obtienen
los
coeficientes
de
la
agua insertada, que es la última fotografía
transformada fraccionaria de Fourier de esa
que se muestra en la figura 5.
capa.
Ahora incluimos la marca de agua
digital de longitud M=1000 y la ubicamos en A continuación se introduce un experimento con la finalidad de ver el funcionamiento de la implementación construida con el software
el lugar número L=196000, después se aplica nuevamente la transformada discreta de Fourier con ángulos
=
y
=
Matlab del algoritmo de las marcas de agua sobre la capa marcada este resultado se digitales. puede observar en la figura 5 (d), donde se La aplicación consiste en insertar una marca aprecia claramente la diferencia entre los de agua digital a un documento dado que en coeficientes de Fourier de la capa sin marca nuestro caso es una fotografía a color y y
la marcada. Finalmente, en las
figuras
concluir que una vez marcada no existe 5(e) y 5(d) se presentan la capa y la imagen diferencia entre la fotografía marcada
y la marcada, que al compararlas con la capa y
original. la
imagen
original
Primeramente seleccionamos una fotografía imperceptibles. a color que en nuestro caso la podemos observar en la figura 5(a), es decir esta es la imagen original, seguidamente escogemos una capa original de esta imagen donde vamos a insertar nuestra marca, que en nuestro caso corresponde al color rojo Puesto que la fotografía es a color, esto se observa en la figura 5(b). Luego se aplica la transformada
discreta
bidimensional
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de
la
diferencias
son
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 133 filtrado y un segundo caso donde en el filtrado de la señal con ruido, nos apoyamos en la relación existente entre la distribución de Wigner y la transformada fraccionaria de Fourier para aplicarla en el proceso de filtrado de la señal perturbada . En el área del procesamiento de imágenes se construye un ejemplo de una imagen (casa) con un ruido tipo chirp en este caso se utilizó un tipo de producto tensorial Fig.5
de la transformada fraccionaria de Fourier bidimensional por la aplicación sucesiva de la
VI. CONCLUSIONES transformada unidimensional sobre las filas y En este artículo abordamos tres interesantes las columnas,
entonces la función chirp
aplicaciones de la transformada fraccionaria (ruido) se transforma en una función delta, de Fourier a saber: Análisis de señales, (ver figura 4). En esta figura se identifica el procesamiento de imágenes y marcas de ruido
y
esta
información
facilita
la
agua digitales donde en cada aplicación se construcción de la transformación adecuada. demostró la potencia de esta transformada. Finalmente removemos
el pico usando el
En el tema del análisis de señales se promedio de la señal sobre el entorno de los construyeron dos casos uno donde se aplica pixeles y la imagen se recupera filtrada del el
filtrado
de
señales
y
aplicamos
la ruido, lo cual se puede apreciar en la figura
transformada fraccionaria de Fourier para 3(b). llevar la señal corrompida a un dominio Finalmente mostramos la técnica de la marca fraccional de una cierta potencia ‘a’, donde de agua como una de las aplicaciones más se facilita la eliminación del ruido es decir noveles de la FRFT, para la ilustración del usamos
esta
transformada
como
una proceso de inserción de marca de agua
herramienta fundamental en el proceso del utilizamos una fotografía a color y no una a Jornadas de Investigación 2012
X JORNADAS DE INVESTIGACION 2012. Universidad Nacional Experimental de Guayana, Martínez Héctor, Aplicaciones interesantes de la FRFT. 134 color gris la cual es la que generalmente
domain, J. Of Network Comp. Appl., 24,
usan en este tipo de trabajo. Por otra parte
(2001) 167- 173.
propusimos un algoritmo y
[7] G. Bur y E. Wolf,
nuestra propia
implementación o código Matlab como una
computed
alternativa en este tipo de investigación.
tomography, J. Opt. Soc. Amer., 18(9),
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
(2001) 2132- 2137.
[1] A. Bultheel y H. Martínez, Computation of
[8] N.K. Nischal, J. Joshep y K. Singh, Fully
the
phase encryption using fractional Fourier
fractional
Fourier
transform,
Appl.
tomography
Relation between and
diffraction
Comput. Harm. Anal., 16(3), (2004)182 - 202.
transform, Optical Engin., 42(6), (2003)
[2] A. K. Jain, Fundamentals of Digital Image
1583 - 1588.
Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
[9] V. K. Ingle y J.G. Proakis, Digital Signal
New Jersey, (1989)
Processing, Brooks/Cole, (2000)
[3] B. Barshan y B. Ayrulu Jain, Fractional Fourier transform pre-processing for neural networks
and
its
application
to
object
recognition, Neural Networks of Digital Image Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, (1989) [4] A. Bultheel, J. Trujillo Transformada
de
y
Fourier:
H. Martínez, Aspectos
computacionales y extensions fraccionaria, Tesis doctoral en matemática, (2010). [5] H.M. Ozaktas, Z. Zalevski y M.A. Kutay, The fractional Fourier transforms and its applications, Wiley Chischester, (2001). [6] I. Djurovic, S. Stancovic y I. Pitas, Digital watwermarking in fractional Fourier transform
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