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Prueba semanal 2a . Los contenidos correspondientes a esta prueba son los mismos que los de Curso 2010/11
las seis “tareas” que se indican a continuaci´ on.
1. Se sabe que f : C → R es una cierta funci´on continua en un determinado conjunto C ⊂ R2 y tal que m´ın f (C) = 1, m´ax f (C) = 3 y f (x) 6= 2 para todo x ∈ C. ± a) C no puede ser {(x, y) xy > 0, x2 + y 2 < 1} ± b) C puede ser igual a {(x, y) xy ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1} © ± ± ª© ± ª c) C puede ser igual a (x, y) y > 0, (x−4)2 +y 2 ≤ 1}∪{(x, y) y > 0, (x−8)2 +y 2 ≤ 1 ∪ (x, 0) x ∈ [0, +∞] d) No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
2. Se consideran las tres funciones f , g y h (reales de dos variables reales) tales que f (0, 0) = g(0, 0) = h(0, 0) = 0 y para (x, y) 6= (0, 0) definidas como: f (x, y) = a) b) c) d)
x2
x3 , + |y|
g(x, y) =
x2
xy , + |y|
h(x, y) =
x2
y2 , + |y|
f (x, y) no es continua en (0, 0). g(x, y) es continua en (0, 0). h(x, y) no es continua en (0, 0). No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
3. Se sabe que f es una funci´on que admite derivada en (0, 0) seg´ un todo vector u 6= o. Se sabe que f (x, y) = f (y, −x) para todo (x, y) ∈ R2 . Sean los vectores u = (cos α, sen α) y v = (− sen α, cos α). Se verifica que ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) = y =− por lo que = =0 ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) b) = pero estas derivadas parciales no son nulas (en general). ∂v ∂u ∂f (0, 0) ∂f (0, 0) c) =− pero estas derivadas parciales no son nulas (en general). ∂u ∂v
a)
d) No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
4. Sea f : R2 → R una funci´on acotada en todo R2 y no continua en (1, 2). Se consideran las nuevas funciones F (x, y) = f (x, y)(2x − y)2 y G(x, y) = f (x, y)(4x2 − y 2 ). Respecto de Fx0 (1, 2) y G0x (1, 2), a) b) c) d)
Existen Fx0 (1, 2) y G0x (1, 2), siempre (para cualquiera que sea la tal f (x, y)). Fx0 (1, 2) = 0, pero G0x (1, 2) puede no existir. G0x (1, 2) existe siempre, pero Fx0 (1, 2) puede no existir. No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
© ± ª 5. Sea C = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 25, x 6= 0 . Sea f : C → R una funci´on continua en C. Entonces, no es posible que f (C) sea: a) Las otras tres respuestas b) f (C) = {1, 3} son falsas
c) f (C) = ce − 5, 5bd
d) f (C) = ce − 1, −3ce ∪ ce 1, 3ce
x sen y + (1 + arc tg y) ln x + 2 , entonces las derivadas α = fx0 (1, 0) y β = fy0 (1, 0) valen: 2x − ey a) No es cierta ninguna de b) α = −1, β = 1 c) α = 1, β = 3 d) α = −3, β = 3
6. Si f (x, y) =
las otras tres respuestas
1. Respuesta correcta: d). Justificaci´on: ± Si C = {x, y) xy > 0, x2 + y 2 < 1} la funci´on f (x, y) = 1 si (x, y) ∈ C, y x > 0 y f (x, y) = 3 si (x, y) ∈ C y x < 0 prueba que existen funciones continuas en C que cumplen las hip´ otesis del enunciado. Los dos conjuntos restantes son conexos por arcos y por tanto en ellos no puede estar definida una funci´on continua que cumpla las hip´otesis del enunciado. 2. Respuesta correcta: b). Justificaci´on: Las funciones f , g y h son tales que |f (x, y)| < |x| si (x, y) 6= (0, 0), |g(x, y)| < |x| si (x, y) 6= (0, 0) y |h(x, y)| < |y| si (x, y) 6= (0, 0). Por tanto las tres son continuas en (0, 0). 3. Respuesta correcta: a). Justificaci´on: ∂f f (λ cos α, λ sen α) − f (0, 0) f (λ sen α, −λ cos α) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım = λ→0 λ→0 ∂u λ λ f (−λ sen α, λ cos α) − f (0, 0) f (λ(− sen α), λ cos α) − f (0, 0) ∂f = l´ım = l´ım = (0, 0) λ→0 λ→0 −λ λ ∂v ∂f f (λ(− sen α), λ cos α) − f (0, 0) f (λ cos α, λ sen α) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = (0, 0) λ→0 λ→0 ∂v λ λ ∂u ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0 Por tanto ∂u ∂v 4. Respuesta correcta: b). Justificaci´on: F (1 + λ, 2) − F (1, 2) (2 + 2λ − 2)2 f (1 + λ, 2) = l´ım =0 λ→0 λ→0 λ λ G(1 + λ, 2) − G(1, 2) (2 + 2λ − 2)(2 + 2λ + 2)(f (1 + λ, 2) G0x (1, 2) = l´ım = l´ım = λ→0 λ→0 λ λ = l´ım 2(4 + 2λ)f (1 + λ, 2)
Fx0 (1, 2) = l´ım
λ→0
que existir´a s´ı y s´olo si existe l´ım f (1 + λ, 2) lo que depende del tipo de discontinuidad de f en λ→0
(1, 2). 5. Respuesta correcta: a). Justificaci´on: ( * Para f (x, y) =
1, si x < 0 3, si x > 0
es f (C) = {1, 3}
* Para f (x, y) = y, es f (C) = ce − 5, 5bd ( − 2 + sen x, si x < 0 * Para f (x, y) = 2 + sen x, si x > 0
es f (C) = bd−3, −1ce ∪ bd 1, 3ce
6. Respuesta correcta: d). Justificaci´on: h
i
sen y+
¯ 1+arc tg y (2x−ey )−(x sen y+(1+arc tg y) ln x+2) · 2 ¯¯ x ¯
1 · 1−2 · 2 = = −3 ¯ 12 ¯ (1,0) · ¸ ¯ ¯ ln x x cos y+ (2x−ey )−(x sen y+(1+arc tg y) ln x+2)(− ey ) ¯¯ 1+ y 2 1 · 1−2(−1) ∂f (1, 0) ¯ = = =3 ¯ y 2 ∂y (2x−e ) 12 ¯ ¯
∂f (1, 0) = ∂x
(2x−ey )2
(1,0)