Transcript
8. Mareas y procesos costeros Las mareas han fascinado al hombre desde tiempos inmemoriables. No obstante, fue la teoria de gravitación de Newton la que fundo la teoria moderna de las mareas al permitir calcular las fuerzas de atracción entre cuerpos celestes, sumada a las ecuaciones de movimiento de un fluido desarrolladas por Eurler. Laplace combino ambos elementos y desarrollo una teoria matemática para el estudio de las mareas en 1778-1779. Laplace asimismo calculo las fuerzas que generan las mareas en una forma adecuada para realizar los cálculos. La fuerza generadora de mareas se define como aquella parte de la fuerza atractiva de los cuerpos celestes que no afectan el movimiento orbital de la Tierra, o sea, es la fuerza gravitatoria sobre los elementos de fluido en la superficie menos la fuerza gravitatoria en el centro de masa de la Tierra. El efecto es simetrico con respecto a la línea que une el centro de la Tierra con el objeto de atracción (Luna o Sol) y tiende a causar que el oceano forme un elipsoide con el eje mayor a lo largo de la linea que une los cuerpos. Esta línea se mueve relativo a la Tierra debido a la rotación terrestre y al movimiento relativo de la luna y el sol. No obstante, el oceano no adquiere la forma elipsoidal que la gravedad tiende a generar pues su respuesta está limitada por la velocidad (~200 m/s) a la cual se propagan las ondas de gravedad. Estas ondas tomarian cerca de 2 dias para dar la vuelta a la Tierra y propagar así la información, pero en la práctica su movimiento está restringido por la forma complicada de los océanos. El hecho de que: a) el tiempo para que las ondas viajen alrededor de la tierra es comparable con el período de rotación, y que b) las cuencas oceánicas tienen forma complicada, son las razones por las cuales el estudio de las mareas no es sencillo. A continuación veremos primero la teoría de equilibrio de las mareas en el cual se asume una Tierra sin continentes donde el oceano adquiere la forma elipsoidal generada por la atracción de la luna y el sol. Luego se verá la teoría dinámica de las mareas donde se utilizarán las ecuaciones de aguas someras para estudiar la propagación. 8.1 Teoría de equilibrio [Falta incluir notas de la marea de equilibrio] La distribución del potencial de mareas sobre la superficie terrestre puede ser entonces expresado como una expansion en harmónicos esféricos, y cuyos coeficientes pueden ser expandidos en series de Fourier con frecuencias que son combinaciones lineales de las frecuencias básicas del sistema solar. Los períodos de mas interes para las mareas son el día (2π/Ω), el mes lunar (2π/Ωm=27.321 dias), y el año tropical (2π/Ωyr=365.242 días). En la práctica se usa la frecuencia l=−m yr en lugar de la frecuencia diaria Ω, donde 2π/Ωl es el día lunar (24.8 hrs). Así, el principal componente de mareas, la marea smidiurna lunar M2, tiene un período de 12.4 horas. Los ocho componentes que contribuyen mas del 10% a la marea
de equilibrio se muestran en la tabla 8.1. Doodson realizó un desarrollo muy detallado considerando no sólamente los 3 principales periodos anteriores, sino también otros mas largos (entre ellos 2π/Ωlp=8.85 años para el perigeo lunar, y 21000 años para el perigeo solar) resultando en 390 componentes de mareas. Los coeficientes enteros en la tabla 8.1 (coeficientes de Doodson) para cada constituyente mareal se incluyen en la tabla 8.1 y representan la expresión de la frecuentica de cada constituyente en términos de las frecuencias fundamentales (Ωm, Ωl , etc). 8.2 Teoría dinámica La ecuacion de momento con la fuerza generadora de mareas incluída queda de la forma du −1 2 ∧u= ∇ p−g−∇ T dt T = j− 0j No obstante, dado que la escala horizontal del forzante de mareas es muy grande comparada con la profundidad ΦT varía muy poco con la profundidad oceánica y es posible usar la aproximación de aguas someras. Como las mareas son un fenómeno global a la escala global parecería inadecuada usar la aproximación plano-f para su estudio. No obstante, las mareas diurnas y semi-diurnas tienen frecuencias comparables a f (puesto que todas estas frecuencias están relacionadas con la rotación terrestre) y a estas frecuencias diferencias de escala producen diferencias cuantitativas pero no en el comportamiento fundamental. Por lo tanto gran parte de la dinámica de mareas puede ser comprendida en términos de soluciones del modelo de aguas someras con f constante, y con un forzante adicional de mareas ∂u ∂u ∂u ∂ u v − fv=−g −e ∂t ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂v ∂ u v fu=−g −e ∂t ∂x ∂y ∂y − T es la marea de equilibrio encontrada en la sección anterior, y g representa la elevación de la superficie oceánica si no existieran efectos dinámicos (u=v=0). La ecuación de continuidad en este caso queda de la forma donde
e=
∂ ∂ ∂ [ Hu ] [ H v]=0 ∂t ∂ x ∂y donde H(x,y) es la profundidad del océano. Notemos que estas ecuaciones asumen que las corrientes son independientes de la profundidad, o sea que las mareas son barotrópicas. En la práctica también existen mareas baroclínicas generadas por la interacción de las corrientes con el fondo oceánico, por lo que el uso de estas ecuaciones asume que las mareas barotrópicas no son afectadas por esta interacción. Otro efecto que tiende a generar baroclinicidad es la
fricción con el fondo lo que puede ser importante en el caso de fuertes mareas en mares someros. No obstante, en general se ignoran las variaciones en profundidad, o lo que es equivalente, se consideran los flujos promediados en toda la columna oceánica. Los términos no lineales en las ecuaciones de momento son en general despreciables aún en mares someros donde los efectos no lineales aparecen por fricción y de los términos no lineales de la ecuación de continuidad. Al calcular las mareas es importante considerar la elasticidad de la corteza terrestre. Esta respuesta es rápida de tal forma que se puede asumir que la corteza está siempre en equilibrio con las fuerzas. La respuesta directa de la corteza al potencial de mareas produce una elevación de hΦT/g donde h es una constate de valor cercano a 0.6. Para tomar este efecto en consideración es necesario reemplazar -ηe por (1-h)ΦT/g. Además existe otro efecto que debe ser tomado en cuenta y el potencial gravitacional adicional debido a la deformación de la corteza terrestre. Este efecto tiene un valor de kΦT, donde k es una constante con un valor aproximado de 0.3. La inclusión de estos efectos no altera la forma de las ecuaciones de momento anteriores si η es considerada como la elevación relativa a la corteza terrestre y ηe se redefine como e=−1k−h
T ~−0.7 T g g
Por lo tanto el efecto de la respuesta de la corteza terrestre es reducir las mareas en un 30%. Las constantes k y h se denominan números de Love. Las mareas son muy afectadas por la presencia de fronteras, ya sea en golfos o en las cuencas oceánicas. Por ello destinaremos una sección al efecto de las fronteras sobre la dinámica de un océano barotrópico representado por las ecuaciones del modelo de aguas someras anteriores. 8.3 Efectos de las fronteras La característica fundamental de los fluidos rotantes es el proceso de ajuste geostrófico descrito anteriormente. En el balance geostrófico el flujo en cualquier nivel es a lo largo de las isóbaras. Si se inserta una frontera que cruza las isóbaras debe existir otro proceso de ajuste pues no puede existir flujo a través de la frontera. Por lo tanto, las fronteras afectan el flujo cerca de las mismas, en particular a distancias menores del radio de deformación de Rossby. La presencia de las fronteras implica que la componente paralela a la costa de la aceleración de Coriolis debe ser nula de tal forma que el ajuste entre la velocidad y el campo de presiones a lo largo de la frontera es similar a la de un fluido no rotante. Esto es particularmente valido en el caso de que las fronteras esteń muy cercanas entre sí, como por ejemplo en un golfo o estuario. En este caso los efectos de la rotación son despreciables pues el movimiento es sobre todo a lo largo del golfo y la componente de la aceleración de Coriolis en esta dirección es despreciable. La aproximación de canal estrecho puede ser aplicada
para el estudio de mareas y seiches en golfos, estuarios y lagos, y aún a las mareas en el océano Atlántico. Cuando las fronteras están mas alejadas entre sí que el radio de deformación de Rossby la solución cerca de las fronteras toma la forma de ondas de Kelvin (figura 8.1). En el océano Pacífico estas ondas juegan un papel funadamental en la descripción de las mareas.
L Figura 8.1 – Esquema de propagación de mareas para el caso en que las fronteras de un golfo están distanciadas (L>2R). 8.3.1 Mareas y seiches en canales y golfos muy estrechos Para canales o golfos suficientemente estrechos es posible despreciar completamente los efectos de la rotación. Sea x la distancia a lo largo del canal y consideremos movimientos para los cuales la elevación de la superficie no varía a través del canal pero depende solamente de x y t. Asumamos un canal de ancho W (W<2R) y profundidad constante H (figura 8.2).
W x=0
x=L
Figura 8.2 – Esquema de canal estrecho Por lo tanto las ecuaciones de aguas someras en este caso se reducen a ∂u ∂ =−g ∂t ∂x ∂ ∂u H =0 ∂t ∂x Combinando las ecuaciones resulta en 2
2
∂ 2∂ =c ∂ t2 ∂ x2 c2=gH
La solución que satisface la condición de flujo=0 a través del lado cerrado del canal tiene la forma de una onda estacionaria, o una superposición de ellas. Recordemos que una onda estacionaria se puede considerar como la suma de dos ondas propagándose en direcciones opuestas. Por ejemplo =0 [coskx−wt coskxwt]=20 coskx coswt Eligiendo que x=0 en la frontera cerrada, la solución es entonces de la forma =0 coskx coswt 1 u= c 0 sinkxsin wt H w=kc En el lado abierto del canal x=L se deben aplicar otras condiciones de borde. Primero, se debe aplicar continuidad de presiones para que no resulte en una aceleración infinita; entonces p(x=L)=ρgη. A su vez, el flujo de masa ρHWu hacia fuera del canal debe ser igual que el flujo en el oceano abierto. Para que la condición en la frontera no dependa de la amplitud de la onda se impone que la impedancia Z del canal sea igual a la del mar abierto. Z es definida como el cociente entre la presión y el flujo de masa. Entonces en x=L debe valer Z=
g 1 g = WHu W H
1/ 2
cotgkLcotg wt
Como Z->0 a medida que H o W aumentan, la impedancia del mar abierto se considera nula. Por lo tanto se impone que la impedancia del canal también sea nula, y entonces 1 kL=n 2
n=0,1,2,...
o en forma equivalente, de acuerdo a la relación de dispersión, 1 wL=n c 2
n=0,1,2,. ..
la cual define las frecuencias de los modos naturales de oscilación del canal y son conocidas como seiches. 3 3 4L kL= k = = , o sea que 2 2L 3 tiene una longitud de onda 4/3 veces la longitud del golfo. Esta onda tiene un nodo en x=L/3. La onda estacionaria para n=1 es tal que
Las oscilaciones en canales, golfos, estuarios, y lagos pueden ser forzadas por los
vientos, presión atmosférica, y por las fuerzas generadoras de mareas. Las oscilaciones mas grandes no son generalmente producidas por forzantes locales sino que son la respuesta a oscilaciones en el mar abierto. En este límite las mareas suben y bajan el nivel del mar en forma uniforme a medida que entra la onda en el canal (figura 8.3).
Figura 8.3 – Esquema marea en canal estrecho A medida que la onda progresa en el canal se encuentra con la reflección de la marea previa lo cual da lugar a la posibilidad de ondas estacionarias. Si, por ejemplo, la acción de las fuerzas de mareas resulta en una oscilación de frecuencia w cuya amplitud en la boca del canal es ηL entonces la amplitud en el L otro extremo del canal es 0= . coskL El aumento en amplitud es muy grande cuando la frecuencia del forzante es cercana a una de las frecuencias de los modos naturales (resonancia) pues el denominador tiende a cero. Esto da lugar a mareas de amplitud muy grande, como por ejemplo las encontradas en la Bahia de Fundy (figura 8.4). En canales estrechos la onda de la marea toma tiempo en llegar hasta el final (figura 8.5).
Figura 8.4 – Amplitud mareas en la Bahia de Fundy.
Figura 8.5 – Horas después de la pleamar en Boston.
8.3.2 Representación de mareas El método usual para mostrar variaciones del nivel del mar debido a las mareas es en términos de la amplitud A y fase δ, o sea = A sinwt− Los contornos de A se denominan lineas de igual rango. Los contornos de δ se denominan líneas cotidales y la fase se da en grados o como el tiempo de la marea alta en horas. Para un golfo ancho se tiene el siguiente esquema (figura 8.6, no nos preocupemos por los vértices). costa
R
dirección perpendicular a la costa
Figura 8.6 – Líneas cotidales (solidas) y de rango (punteadas) para una marea progresando en un golfo ancho (>R) en el H.N.
Las líneas cotidales muestran la progresión de la onda de Kelvin alrededor del golfo manteniendo la costa a la derecha. Las líneas de igual rango muestran el decaimiento exponencial de la onda de Kelvin en la dirección perpendicular a la costa con una escala del radio de deformación de Rossby R. Para un golfo de 40 m de profundidad en 45 N, R es cerca de 400km. Por lo tanto el golfo debe mas ancho que esa distancia para sentir los efecto de la rotación. Para un golfo muy estrecho supongamos que la marea M2 genera una onda 4L estacionaria para el modo n=1. Entonces = , se tiene un nodo en x=L/3, y 3 la amplitud máxima es en x=0 y x=2L/3 (figura 8.7). En este caso la región del golfo a la izquierda del nodo (x=L/3) experimenta marea alta al mismo tiempo. A la derecha del nodo la región experimenta marea alta 6.125 horas (6 horas lunares) despues.
x=L/3
x=L
Figura 8.7 - Líneas cotidales (solidas) y de rango (punteadas) para una marea progresando en un golfo angosto (x0. Un valor medio de R=250 km, lo cual resulta en W/R~0.5. La solución para esta geometría es (Gill 1981) 1 nr = x 0 / x 1/2 0 cos ln x/ x 0 sinln x / x 0 cos wt 2 3/ 2 x unr =w / x 0 0 0 sin ln x / x 0 sinwt x 1 w2 2 = 4 g Para w=1.4 *10-4 1/s y g=10 m/s2, α=1.67. La figura 8.8 muestra las líneas cotidales observadas para el Adriático norte y las simuladas por este modelo calculadas a partir de ~nr x , t −
1 f u x ,t y g nr
usando la solución anterior. Este es el caso intermedio entre el golfo ancho y el golfo angosto, y la solución tiene características de los dos. En las fronteras la marea será muy parecida a una onda de Kelvin. La onda proveniente del océano tenderá a amplificarse hacia la costa de la derecha en el H.N. y lo mismo tenderá a hacer la onda que se va del golfo sobre la otra costa. Por otro lado, el comportamiento en el eje central del canal se parecerá mucho al caso de una onda estacionaria en un golfo esctrecho. La línea nodal que va de una costa a otra cuando la rotación no es
importante se convertirá en un punto nodal en el centro del canal alrededor del cual progresa la onda (punto anfidrómico).
Figura 8.8 – (a) Lineas cotidales para el Adriático norte, (b) Lineas cotidales para un modelo simple con profundidad aumentando cuadráticamente con la distancia al final del Mar. La diferencia de fase entre lineas cotidales es 30°, excepto las punteadas que difieren en 10°. 8.3.4 Mareas en un canal zonal global El problema de las mareas es similar al de un oscilador lineal forzado. Así, la respuesta en este tipo de sistema depende de si la frecuencia del forzante es cercana a las frecuencias naturales dando lugar al fenómeno de resonancia. Existe evidencia que apunta a que modos naturales de oscilación en el océano tienen frecuencias cercanas a la de las mareas semidiurnas lo cual implica que la marea semidiurna es sensible a los detalles de la topografía y la línea de la costa. Para ilustrar algunos aspectos del problema consideremos la marea semidiurna en un canal estrecho de profundidad H y, despreciando los efectos de la rotacion, obtenemos
∂−e ∂u =−g ∂t ∂x ∂ ∂u H =0 ∂t ∂x En un canal zonal la marea de equilibrio tiene forma e= Asin2kx−2 l t donde 2Ωl es la frecuencia de la marea semidiurna y k=2π/L es el número de onda de la marea semidiurna en el canal. L es la mitad de la circumferencia de la tierra en la latitud del canal pues la marea semidiruna tiene número de onda dos alrededor del globo. La respuesta es de la forma =0 sin2kx−2 l t y sustituyendo en las ecuaciones obtenemos 0=
A 1−2l /c2 k 2
c2 =gH
Esta ecuación muestra la dependencia de la respuesta con la relación entre la velocidad de propagación de la marea de equilibrio Ωl/k y la velocidad de propagación de las ondas de gravedad largas c. Si la marea de equilibrio se mueve despacio comparado con las ondas largas (como por ejemplo en el caso de la marea Mf de 13.66 días de período) entonces η0 ~ A y la respuesta está cercana al equilibrio. Las mareas diurna y semidiurna se mueven alrededor de la tierra una vez por día dando una velocidad de 330 m/s a una latitud de 45°, lo cual es mucho más rápido que la velocidad c (cercana a 200 m/s). En este caso el denominador en la ecuación anterior es negativo y la marea semidiurna en un canal zonal tiene el sentido opuesto a la marea de equilibrio. El cálculo de los modos de oscilacion libres (resonantes) de los océanos ha sido realizado, y se mostró que existen modos con frecuencias naturales cercanas a la frecuencia semi-diurna. La figura 8.9 muestra un ejemplo de un modo natural comparado con una solución numérica de la marea M2 (figura 8.10) donde se pueden ver muchas similitudes. En la práctica la amplitud de las resonancias están limitadas por la fricción que es particularmente importante en los mares y regiones someras. Esto representa una transferencia de energá de las mareas por la luna y por lo tanto causa cambios muy pequeños en la órbita de la luna.
Figura 8.9 – Modo natural de oscilación de 12.5 hrs. Lineas cotidales son lineas solidas, y lineas de igual amplitud están en lineas punteadas.
Figura 8.10 - Lineas cotidales (líneas que unen puntos con igual pleamar simultánea) y amplitud de la marea M2. La amplitud se indica por los colores, y las lineas blancas son lineas cotidales que difieren en 1 hora. Los arcos curvos alrededor de los puntos anfidromicos (cero amplitud de la marea) muestran la direccion de las mareas, cada uno indicando un periodo de 6 horas. Bibliografía principal - Atmosphere-Ocean Dynamics. A. Gill