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1º INGENIERÍA INFORMÁTICA FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES CURSO 03/04 BOLETINES DE PROBLEMAS FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CODIFICACIÓN BINARIA Problema 1.- Represente posicionalmente la cantidad "dieciséis unidades" en las bases 3, 7, 8 y 16. Problema 2.- Represente los siguientes números decimales en base 2 y compruebe el resultado: a) 17; b) 94. Problema 3.- Represente el nº decimal 23.75 en las bases 2, 5, 6, 8 y 16. Problema 4.- Convierta los siguientes números a base 10: a) 100.111010(2 ; b) 50 (8; c) 101.1(2 ; d) 198F(16 . Problema 5.- Con p bits se pueden representar 2p números distintos; en representación binaria sus valores van desde 0 hasta 2p-1. Construya una tabla que indique estos números para p = 1, 2, ..., 16. Problema 6.- ¿Cuántos bits son necesarios como mínimo para representar cada uno de los siguientes números decimales? 50, 1000, 5000, 100000 y 1000000. Problema 7.- Convierta el nº binario 10110110011.10110 a las bases 4, 8 y 16; el nº 372.105 en base 8 a base 2, 4 y 16 y el nº F0.A en base 16 a base 2, 4 y 8. Problema 8.- Pase los siguientes códigos hexadecimales a código binario, octal y BCD: a) $F2.B5; b) $B02.A; c) $25.FA; d) $71.02. Problema 9.- Represente el 6 en los siguientes casos: a) Código Gray asumiendo que se representan del 0 al 7. b) Código Gray asumiendo que se representan del 0 al 9. c) Código Gray asumiendo que se representan del 0 al 15. d) En código ASCII. e) En código ASCII con paridad par. f) En código ASCII con paridad impar. g) En código "2-out-of-5". Problema 10.- Represente con el mínimo nº de bits posibles los siguientes números decimales en notación binaria, signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2: a) ± 122; b) ± 64; c) ± 15; d) ± 37. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CODIFICACIÓN BINARIA Problema 11.- Considere la palabra 10100110. Interprete, si es posible, la información de esta palabra según sea: nº binario, representación signo-magnitud, representación complemento a 1, representación complemento a 2, código ASCII, código ASCII con paridad par, código ASCII con paridad impar o código BCD. Problema 12.- Determine el rango de valores numéricos que pueden escribirse en palabras de 8, 16 y 32 bits, en las diferentes notaciones de números enteros con signo. Problema 13.- Se dispone de palabras de 10 bits. Sobre ellas se escriben números fraccionarios en punto fijo dedicando 3 bits a la parte fraccionaria. Represente los siguientes números en las notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2, en los dos casos siguientes: a) Redondeando el valor; b) Truncando el valor. Nota: Para los números negativos, obtenga primero el valor de la magnitud, y después, aplique la notación. 1) +27.625 2) -27.625 3) +33.3 4) -33.3 5) +45.67 6) -45.67 7) +45.7 8) -45.7 Problema 14.- Se dispone de 30 bits para escribir números en notación exponencial (normalización fraccionaria). De ellos se destinan 21 a la mantisa y 9 al exponente. Mantisa y exponente se escriben en notación signo-magnitud. a) Determine los rangos de valores decimales (BCD) que se pueden escribir. b) Represente en BCD los siguientes números: 1. Velocidad de la luz en m/s (3x10 8). 2. Carga del electrón en culombios (-1,602x10-19). 3. Masa del electrón en kilogramos (9,109x10-31 ). 4. Aceleración de la gravedad en m/s2 (9,807). 5. Cero. 6. Infinito. Problema 15.- Un registro de 30 bits almacena un número decimal en punto flotante representado en BCD. La mantisa ocupa 21 bits del registro y se asume como un entero normalizado. Los números en la mantisa y el exponente se asumen representados en forma de signo-magnitud. ¿Cuáles son las cantidades mayores y menores que pueden ser representadas (excluyendo el cero)? Repita para representación binaria, con base 2, si se representa con fracción normalizada. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CODIFICACIÓN BINARIA Problema 16.- Represente el número (+31.5)10 con un coeficiente entero normalizado de 13 bits y un exponente de 7 bits como: a) Un número binario (asuma base 2). b) Un número octal binario codificado (asuma base 8). c) Un número hexadecimal binario codificado (asuma base 16). Problema 17.- Represente el número decimal 8620 (a) en BCD, (b) en código exceso 3, (c) en código 2, 4, 2, 1 y (d) como número binario. Problema 18.- Un código binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dígitos decimales. A cada dígito le asigna un código de nueve ceros y un uno. El código binario para el número 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el código binario para los números decimales restantes. Problema 19.- Obtenga un código binario cargado para los dígitos de la base 12 usando las cargas 5421. Problema 20.- Determine el bit de paridad impar generado para cada uno de los 10 dígitos decimales en el código 8, 4, -2, -1. Problema 21.- Obtenga el complemento a 1 y a 2 de los siguientes números binarios: 1010101, 0111000, 0000001, 10000, 00000. Problema 22.- Recientemente se ha rescatado una extrañísima nave espacial que provenía de los confines de la constelación OPHIOCUS. Tras múltiples esfuerzos, nuestros científicos han logrado deducir algunos datos sobre la civilización que la construyó. En vez de dos brazos, sus criaturas poseían uno solo que terminaba en una "mano" con un número B de dedos. En un cuaderno que encontraron en la nave había escrito: " 5 X2 - 50X + 125 = 0 → X1 = 8, X2 = 5 " Suponiendo que tanto el sistema de numeración como las matemáticas extraterrestres hayan tenido una historia similar a las desarrolladas en la Tierra, ¿cuántos dedos (B) poseían? FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS Problema 1.- Demuestre los teoremas booleanos en base a la definición del álgebra. Problema 2.- Demuestre los teoremas booleanos en el álgebra de conmutación comprobando su validez mediante tablas de verdad. Problema 3.- Para elementos del álgebra de conmutación, pruebe la validez de: a) a . b = a . c ⇒ b = c; b) a + b = a + c ⇒ b = c ; c) a . b = a . c y a + b = a + c ⇒ b = c. Problema 4.- Reduzca las siguientes expresiones del álgebra de Boole al nº de literales solicitado al lado de cada una de ellas. a) a b c + a b c + a b c + a b c + a b c (a cinco literales) b) b c + a c + a b+ b c d (a cuatro literales) c) [ cd + a ] + a + cd + ab (a tres literales) d) [(a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b)] (a cuatro literales) Problema 5.- Compruebe las siguientes igualdades: a) x y + x z + y z = x y + x z ley del consenso generalizado b) x (x + y) + z + z y = y + z c) x y + (x y) z = x y + z d) ( w + wx + yz ) = w ( y + z ) e) ( w [ x + y ( z + w ) ] ) = w + xy + xz f) (w + x + y) (w + x + y) (y + z) (w + z) = (w + y) (y + z) Problema 6.- Represente las funciones de los problemas 4 y 5 de la siguiente forma: a) por tablas de verdad y por mapas de Karnaugh todas las que sean funciones de tres o menos variables; b) por mapas de Karnaugh las de 4 o más variables; c) mediante puertas lógicas, la función del problema 5 expresiones original y reducida. Problema 7.- Encuentre los complementos de las siguientes funciones: a) f = (b c + a d) (a b + c d) b) f = b d + a b c + a c d + a b c c) f = [ ( ab) a ] [ ( ab )b ] d) f = a b + c d FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS Problema 8.- Obtenga las formas normales en suma de productos y producto de sumas de las siguientes expresiones: a) f = (a b + a c) (a b) b) f = x y (v + w) [(x + y) v] c) f = x + y z d) f = (a + b + c) (d + a) + b c + a c Problema 9.- Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones: a) f = w y z + x y + w y b) f = (w + x + y) (x + z) (w + x) c) Las funciones del problema anterior. Problema 10.- Determine y exprese en forma de mintérminos y maxtérminos las funciones f1 + f2 y f 1 . f 2, siendo: f1 = ∏ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 14, 15 ) f2 = Repetir para f 1 ⊕ f 2 y la equivalencia: f1 Θ f2. ∑ ( 0, 4, 8, 9, 10, 14, 15) Problema 11.- Obtenga los mapas de las siguientes funciones: a) f = b) f = c) f = ∑ ( 5, 6, 7, 12) + d (1, 3, 8, 10 ) ∏ (10, 13, 14, 15 ) ⋅ d (0, 1, 2, 8, 9 ) ∑ ( 1, 2, 3, 8, 12) + d ( 17 ) Problema 12.- Escriba las siguientes funciones como suma de mintérminos: a) f (a, b, c) = a + b + c b) f ( a, b, c ) = ( ( a + b ) ( b + c )) c) f ( a, b, c, d) = ( ab + bcd) + acd Problema 13.- Exprese las siguientes funciones como producto de maxtérminos: a) f (a, b, c, d) = (a + c) d + b d b) f (x, y, z) = (x y + z) (y + x z) c) f ( a, b, c ) = abc + abc d) f (a, b, c) = (a b + c (a + b)) (b + c) FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS Problema 14.- A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones, obtenga las expresiones algebraicas de dichas funciones y los circuitos lógicos que las realizan: Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 xy f1 xy f2 xy f3 0 0 1 1 1 0 1 0 00 01 10 11 0 1 1 0 00 01 10 11 1 1 1 0 0 1 0 1 Problema 15.- Idem para: Tabla 4 xyz f1 f2 f3 f4 f5 f6 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Problema 16.- Construya las tablas de verdad, mapas de Karnaugh y circuitos lógicos de los problemas anteriores. Problema 17.- Sea el circuito combinacional con cuatro entradas A, B, C y D, tres salidas intermedias P, Q y R y dos salidas T 1 y T2, como se muestra en la figura. Sólo Q y R pueden tener inespecificaciones. Q A B C D G1 T1 G2 T2 P R T1 = T2 ∑ ( 0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15 ) = ∑ ( 2, 3, 6, 7, 11, 15 ) FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS a) Suponiendo que tanto G1 como G2 son puertas AND, obtenga el mapa de la función Pmin (es decir, la función P que tiene el menor número de mintérminos) que permite obtener T1 y T2. b) Obtener los mapas para Q y R correspondientes al Pmin anterior. Indique, explícitamente, las posiciones de las inespecificaciones. c) Suponiendo que G1 y G2 son puertas OR obtenga el mayor Pmax (la función P con mayor número de mintérminos) y sus mapas correspondientes para Q y R. d) ¿Pueden obtenerse Q, P y R si G1 es una puerta AND y G2 una puerta OR? ¿Y si G1 es una puerta OR y G2 una puerta AND? Problema 18.- Demuestre las siguientes cuestiones: (a) Que un número binario fraccionario con nE bits en su parte entera y nF en su parte fraccionaria puede ser transformado en su equivalente en base 16 (binario → hexadecimal) por agrupación de 4 bits en 4 bits. Y viceversa, que el paso hexadecimal a binario se puede hacer por expansión de cada dígito hexadecimal a su correspondiente valor binario de 4 bits. (b) Sea A un número binario fraccionario con 8 bits en la parte entera y 4 en la parte fraccionaria. Determine justificadamente la regla de obtención del Ca2(A). (c) x1 ⊕ x2 ⊕ … ⊕ x n = ( x 1 ⊕ … ⊕ x i ) ◊ ( x i + 1 ⊕ … ⊕ x n ) ; donde a ◊ b = a ⊕ b . Problema 19.- Verifique si se cumplen o no las siguientes igualdades: (a) M (a, b, c) + M (d, e, f) = M (a + d, b + e, c + f) (b) M (a, b, c) . M (d, e, f) = M (a.d, b.e, c.f) (c) M (a, b, M (c, d, e)) = M [M(a, b, c), d, M(a, b, e)] donde M (x, y, z) es la función mayoría de x, y, z: M (x, y, z) = x y + x z + y z FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 1.- Analice los siguientes circuitos combinacionales. Para ello, se deberá encontrar la función algebraica que representan, y su tabla de verdad o su diagrama de Karnaugh. Ponga también la función en suma de productos o producto de sumas y realice el nuevo circuito a partir de estas expresiones. a) ≥1 x & f ≥1 y z 1 b) & x y ≥1 & & f ≥1 z c) & x y =1 f ≥1 z 1 d) ≥1 x y & 1 =1 f FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 2.- Realice un análisis lógico de los circuitos representados en la figura correspondiente. Obtenga las expresiones en forma de suma de productos y producto de sumas. Liste los mintérminos y maxtérminos correspondientes. Determine el coste. a) & x1 x2 & ≥1 x3 & x1 f & x2 x3 & x3 x2 & x1 x2 b) x1 1 & ≥1 1 x2 & f x3 & c) x1 x2 =1 x1 ≥1 1 f2 x3 & x4 ≥1 & 1 f1 FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES d) ≥1 x1 x2 & f & x3 x4 e) ≥1 b2 z f 2& & a2 ≥1 x4 & & ≥1 a1 b1 y Problema 3.- Analice la función que realiza el circuito. Encuentre una expresión reducida en dos niveles. a) x y z w & z & w & x & x 1 1 & & y f FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES b) ≥1 c ≥1 e e ≥1 f ≥1 a ≥1 d ≥1 ≥1 a b Problema 4.- En el circuito de la figura, todas las puertas poseen el mismo retraso de valor ∆. A & & B C & & F 1 & D a) Obtenga el mapa de F(A.B,C,D). b) Considerando el retraso, determine la forma de onda de F si A=B=D=1 y C cambia periódicamente. c) Igual que b, si A=C=D=1 y B cambia periódicamente. d) Igual que b, si B=D=1 y A, C son como las representadas: A C ∆ ∆ ∆ e) Interprete los resultados obtenidos en los apartados b, c y d. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 5.- Responda a las siguientes cuestiones: a) Un código binario de números decimales se dice que es un código pesado cuando la posición de cada bit lleva asociada un peso numérico y se denomina autocomplementable si el complemento a 9 de cada dígito D = d3 d2d1 d0 es Ca9(D) = d3d2 d1d0. El código BCD natural es un ejemplo de código decimal pesado pero no autocomplementable. El código exceso-3 es un ejemplo de código decimal no pesado pero es autocomplementable. Muestre que el siguiente código es ambas cosas: pesado y autocomplementable y determine el peso de cada bit. 0 = 0000 1 = 0001 2 = 0011 3 = 0100 4 = 1000 5 = 0111 6 = 1011 7 = 1100 8 = 1110 9 = 1111 b) El circuito de la figura contiene una puerta de 5 entradas que puede ser una NAND5 , una NOR5 o una XNOR5. ¿Cuál es el test más simple que se podría aplicar para averiguar a qué puerta corresponde? ? c) Sea la función z(x 1, x2, ..., x n) que se define como: z(x 1, x2 , ..., xn) = 1 si y sólo si xi ≠ xj para algún valor de (i, j). - Si consideramos esta función como un operador de n variables, ¿podríamos decir que es funcionalmente completo? - Dé una expresión algebraica para z. Problema 6.- Sea el siguiente circuito: S L & F >1 K G Indique razonadamente qué le sobra o le falta a cada uno de los 5 circuitos siguientes (a, b, c, d y e) para implementar la misma función que el circuito dado. Nota: Sólo hay que hacer un cambio o ninguno, en cada circuito. Ese cambio puede ser añadir o quitar una puerta o sustituir una puerta por otra distinta. >1 G K S & >1 >1 F L G K =1 S L & >1 (a) (b) F FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 S L K ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES & & S >1 F & & F L & & & G G (c) S G L K K & (d) & >1 F (e) Problema 7.- Utilizando el mapa de Karnaugh, determine las relaciones mínimas en suma de productos y producto de sumas de las siguientes funciones. Implemente igualmente, un circuito mínimo en dos niveles. ∑ (3, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14 ) b) f ( x, y, z, u ) = ∑ ( 0, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14 ) c) f ( a, b, c, d) = ∏ ( 3, 5, 7, 11, 13, 15 ) d) f ( x, y, z, u ) = ∑ ( 0, 1, 3, 6, 9, 11, 12, 13, 15 ) e) f ( x, y, z, u ) = ∑ ( 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 15 ) f) f = ∏ ( 0, 3, 4, 6, 7, 11, 13, 14, 15 ) g) f = ∑ ( 0, 2, 5, 7, 13, 15, 16, 18, 26, 29, 31) a) f ( x, y, z, u ) = Problema 8.- Determine una expresión mínima en suma de productos equivalente a cada una de las siguientes expresiones. a) f ( a, b, c , d , e ) = ( c e + ce ) ( a + b )d + ( a + b )dce b) f ( w, x, y, z ) = [ ( w + z ) + ( x + z ) + ( y + z ) ] FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 9.- Simplifique: a) f = b) f = ∑ ( 1, 2, 7, 8, 19, 20, 25) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 27, 28 ) ∑ ( 1, 2, 5, 6, 9) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15 ) Problema 10.- Dada la función de la figura, obtenga la mínima expresión en forma de suma de productos. edc ab 000 001 011 010 110 111 101 100 00 0 0 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 1 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 F Problema 11.- Diseñe de forma óptima, un circuito que genere la función f y cuya realización sea en dos niveles. ∑ ( 0, 1, 5, 6, 9) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15 ) b) f = ∑ ( 0, 2, 5, 7, 13, 15, 18, 26, 29, 31) + d ( 20, 24, 28 ) c) f = ∑ ( 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 31) + d ( 1, 2, 12, 24 ) d) f = ∑ ( 0, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 18, 22, 26, 28, 30, 31 ) a) f = e) f = v x y z + v w x y + v w y z + v w x y + v w x y + v w x y + v x y z + v w x y Problema 12.- Dada la función de la figura, obtenga la mínima expresión en la forma de suma de productos edc ab 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 0 0 1 0 0 0 1 01 1 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 1 0 0 1 F FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 13.- Las normas de seguridad de los modernos aviones exigen que para señales de vital importancia para la seguridad del aparato, los circuitos deben estar triplicados para que el fallo de uno de ellos no produzca una catástrofe. En caso de que los tres circuitos no produzcan la misma salida, ésta se escogerá mediante votación. Diseñe el circuito “votador” que ha de utilizarse para obtener como resultado el valor mayoritario de las tres entradas. Problema 14.- En las últimas escaramuzas de la "Guerra de los Balcanes", los cascos azules han apresado a cuatro espias: un croata, un serbio, un serbo-bosnio y un bosnio-musulmán. La prisión donde serán encarcelados dispone actualmente de dos celdas vacías con capacidad máxima de tres reclusos. Tras un estudio psicológico se ha llegado a la conclusión de que es peligroso encerrar al bosnio-musulmán y al serbo-bosnio si no está el serbio. Por otra parte, es peligroso encerrar al croata y al serbo-bosnio si no está el serbio. En dicho informe se aconseja, por motivos sentimentales, cambiar semanalmente la distribucción de los presos. Encuentre una expresión que pueda utilizar el director para saber cuando ha elegido una agrupación correcta. (Los cuatro en la misma celda será una inespecificación para la función). Problema 15.- Sea F una función de un dígito BCD y de una entrada de control X. F vale “1” en los siguientes casos: 1) Si X=1 y el nº BCD es múltiplo de 3. 2) Si X=0 y el nº BCD tiene un nº impar de unos. Implemente F como un circuito en dos niveles utilizando puertas NAND. Problema 16.- Se pretende diseñar un circuito combinacional que tenga como entrada un nº BCD natural y como salida la parte entera del cociente de su división por tres. Se pide: a) exprese las funciones mínimas de salida como suma de productos y como productos de sumas; b) obtenga las expresiones correspondientes a cada una de las anteriores, realizadas con un sólo tipo de puertas y represente el circuito correspondiente a la mínima de estas expresiones. Problema 17.- Se desea diseñar un circuito lógico que tenga 4 entradas y1, y0 , x1 , x0. Los pares de bits (y1 ,y0) y (x1 ,x0) representan números binarios de dos bits con y 1 y x1 como los bits más significativos. La única salida del circuito, z, debe ser 1, si y sólo si, el número x1x 0 es mayor o igual que el número binario y1 y0. Determine una expresión mínima de suma de productos para z. Diséñese también el circuito lógico que realiza la función pedida. Problema 18.- Realice la función f con puertas: a) NAND, b) NOR f = abcd + abce + acde + abce + abce + abce + abcd + abec FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 19.- Rediseñe el circuito de la figura sólamente con puertas NAND . x & >Š1 y f Š>1 z Problema 20.- A partir de puertas de tres entradas, cómo podremos realizar operaciones de 5 variables, AND, OR, NAND, NOR, si: a) sólo disponemos de puertas OR; b) sólo disponemos de puertas NAND; c) sólo disponemos de puertas NOR. Problema 21.- Suponga que los números entre 0 y 15 están representados en binario con cuatro bits: x3, x2 , x1, x0, donde x3 es el bit más significativo. Diseñe un circuito que de salida z=1 si y sólo si el número x3 x2 x1 x0 es un número primo. Base su diseño en la obtención de una expresión mínima en dos niveles para z. Problema 22.- Las cuatro líneas de entrada de un circuito combinacional corresponden a un número natural codificado en binario natural. Diseñe un circuito en dos niveles que sirva para detectar cuándo un número es una potencia de dos. Problema 23.- Razone si una OR de dos entradas con inhibición puede ser funcionalmente completa si disponemos del “0” y del “1”. Las variables se encuentran en único raíl. Implemente f=m1 +m3 +m4+m6 usando este tipo de puertas. Problema 24.- Diseñe un circuito combinacional que acepte un número de tres bits y genere un número binario de salida igual al cuadrado del número de entrada. Problema 25.- Se desea diseñar un circuito que, en función de una entrada de control C, permita sumar (C=1) o multiplicar (C=0) números binarios de dos bits. Diséñese con un único tipo de puertas. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 26.- El horario laboral de una factoría es de 8 horas diarias, divididas en tres turnos: de 8 a 11 (primer turno), de 11 a 13 (segundo turno), de 13 a 16 (descanso) y de 16 a 19 (tercer turno). Se pretende diseñar un circuito que tenga como entradas la representación binaria de la hora actual menos ocho y que proporcione a la salida el número de turno que está trabajando (si procede) o “0” si es hora de descanso. Se pide: a) Exprese las funciones mínimas de salida como suma de productos y como producto de sumas. b) Obtenga las expresiones correspondientes a cada una de las anteriores funciones realizadas con un sólo tipo de puertas y representar el circuito correspondiente a la mínima de estas expresiones. Problema 27.- Diseñe un circuito combinacional que detecte un error en la representación de un dígito decimal en BCD. Problema 28.- Diseñe un circuito combinacional que multiplique por cinco una entrada de dígito decimal representada en BCD. La salida debe ser también en BCD. Demuestre que las salidas pueden obtenerse de las líneas de entrada sin usar ninguna puerta lógica. Problema 29.- Diseñe un circuito combinacional cuya entrada es un número de cuatro bits y cuya salida es el complemento a 2 del número de entrada. Problema 30.- Se pretende diseñar un circuito comparador de 2 números de 2 bits, A=(a1,a0 ) y B=(b1,b0 ). Dicho circuito deberá tener tres salidas M, I, m, de tal forma que: * M = 1 sii A>B * I = 1 sii A=B * m = 1 sii A1 f f3 Problema 49.- En la figura se muestra una tabla de implicantes primas para f(a,b,c,d) en la que se desconocen algunos de los encabezamientos de las filas y columnas. Se sabe que todos los mintérminos y las implicantes primas de la función están en la tabla. a) Determine los mintérminos e implicantes primas que corresponden a las filas y columnas desconocidas. ¿Es única la solución? b) Escriba los maxtérminos de f y obtenga la expresión óptima para f. A=b d B= ? C=bcd D=? E=? F=? 0 x 7 8 x 10 x 15 x c1 c2 x x x x x x x Problema 50.- En la figura se representa una función de 4 variables incompletamente especificada. Asigne valores a las inespecificaciones para conseguir especificar completamente la función de la forma que se indica en cada uno de los casos siguientes. a) z pasa a depender de sólo dos variables. ab cd 00 01 11 10 00 1 d d d 01 d d 0 0 11 0 d 0 0 10 d d 0 1 z b) z tiene únicamente cinco mintérminos sin implicantes superiores. c) z tiene exactamente cuatro implicantes primas. d) z tiene una implicante prima no esencial. e) z tiene el mismo número de implicantes primas que de implicadas primas. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 1.- El circuito integrado 74138 es un circuito integrado comercial consistente en un decodificador 3:8 con salidas activas en nivel bajo. Dicho dispositivo dispone también de tres entradas de habilitación, dos de ellas activas en nivel bajo E1 y E 2 y una tercera activa en alto E3. Represente la tabla de verdad del decodificador en función de las entradas de datos y de habilitación. Dé una expresión algebraica para cada una de las salidas en función de las variables de datos y de las de habilitación. Problema 2.- Realice la función f= Σ(0,3,6) de las siguientes formas distintas: a) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel alto y puertas OR. b) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel bajo y puertas AND. c) Utilizando un decodificador con salidas activas en bajo y puertas NAND. d) Con un decodificador con salidas activas en alto y puertas NOR. Problema 3.- Realice las siguientes funciones haciendo uso de los dispositivos que se dan en cada uno de los apartados: a) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel alto y puertas OR. b) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel bajo y puertas AND. c) Utilizando un decodificador con salidas activas en bajo y puertas NAND. d) Utilizando un decodificador con salidas activas en alto y puertas NOR. F= Σ(0,9,11,15) + d(1,2,3) F = Π (0,3,5) . d(1,2) F = Π (1,3,4,6,9,11) . d(7,12,14) F = Π (1,2,3,7,8,9) Problema 4.- Encuentre un diseño mínimo para cada una de las siguientes funciones si sólo disponemos de un decodificador 3:8 y de puertas de dos entradas. a) F= Σ(0,9,11,15) + d(1,2,3) b) F = Π (0,3,5) . d(1,2) c) F = Π (1,3,4,6,9,11) . d(7,12,14) d) F = Π (1,2,3,7,8,9) Problema 5.- Se dispone de un decodificador 3:8 con salidas activas en bajo, puertas NOR de 2 entradas y una puerta NAND de 6 entradas. Sabiendo que las entradas están en único raíl, realizar la función siguiente: f = Π (0,3,5,6,7,8,9,10,11,14) . d(1,15) Problema 6.- Un circuito tiene como entradas dos números binarios de dos bits cada uno: Y= y1y0 ; X= x1 x0 .Se desea que tenga salidas 11 si Y=X, 10 si Y>X y 01 si Yb, y en otra si se ha producido una entrada ilegal (con el bit de paridad mal). El circuito deberá realizarse con multiplexores de dos entradas de selección y una ROM de 8 posiciones de memoria. Problema 36.- Una llamada de teléfono puede dirigirse a cuatro secretarias. (Nunca hay más de una llamada simultáneamente). La recepcionista distribuirá las llamadas según el siguiente criterio: Si la llamada procede de empresas de alimentación o de ropa se pasa a la secretaria no 4. Si procede de una empresa de venta de ordenadores o de un banco se pasará a la tercera secretaria. Si se trata de una llamada procedente de una empresa de viajes o del aeropuerto deberá sonar el teléfono de la segunda secretaria. En cualquier otro caso se enviará a la primera. Diseñe un circuito que indique el número de la secretaria que deberá recibir la llamada, utilizando un único codificador 8:3, una NOR de 2 entradas y una NOR de 6 entradas. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 37.- Una puerta umbral (ver figura 1) activa su salida, Z = 1, si el valor de sus entradas, tomadas como número binario A(10 = an-1...a1 a0(2, es mayor o igual al umbral interno "i". a) Diseñe una puerta umbral de n entradas utilizando subsistemas combinacionales y puertas lógicas. b) En la figura 2 aparece un circuito formado, únicamente, por puertas umbrales. Analice dicho circuito. c) Rediseñe el circuito de la figura 2 utilizando exclusivamente MUXs de 4 canales. a n-1 A n-1 i a1 a0 1 0 1 si A > i Z a b 1 c d 1 e d 1 0 0 2 2 1 0 1 5 F Z= 0 si A < i Figura 1 0 3 Figura 2 Problema 38.- Se desea obtener el número de unos que hay en cinco señales A, B, C, D y E en raíl simple. Diseñe el circuito si sólo dispone de dos MUX4:1, un decodificador 3:8 con salidas activas en baja, 4 puertas NAND de 6 entradas, dos inversores y cuatro puertas XOR. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 39.- Realice la función F=Σ (1,2,3,4,6,7,8,9,14), mediante la PAL de la figura . & & & >1 & 1 1 & & & >1 & 1 1 & & & >1 & 1 1 FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 40.- Se desea realizar un convertidor de código, de entrada 2-entre-5 y de salida BCD. Además, este circuito deberá poseer otra salida que detecte un error en la entrada. En el caso de que ocurra tal error, las salidas BCD se pondrán en alta impedancia. a) Realice el detector de error usando un MUX 8:1 y puertas. b) Realice el convertidor 2-entre-5 a BCD usando un PLA de no más de 10 términos producto (AND). c) Dibuje el circuito completo. Problema 41.- Un desplazador a la derecha de n bits, es un circuito combinacional que tiene como entrada un número A de n bits, m señales de control sm-1,..s0 que indican el número de posiciones que se desplazará a la derecha el número de entrada A, y genera la salida Z de n bits, correspondientes al número A desplazado. Así por ejemplo, para un desplazador de 8 bits, cuya entrada sea 10010101 y las señales de control s2s1 s0 = 010, se genera un desplazamiento de 2 posiciones a la derecha, dando como resultado la salida XX100101. Si s2 s1s0 = 000 no hay desplazamiento. a) Diseñe un desplazador a la derecha de n=4 bits y m=2 bits, utilizando 4 MUX’s de 4 canales. Suponga que los bits más significativos del resultado se llenan con 0‘s.Para el ejemplo anterior, la salida sería 00100101. b) Dibuje las formas de onda de las salidas, cuando A3 A2A1A0=1011 y las señales s1s 0 cambian según la secuencia "00,01,00,11,00,10" con una frecuencia de 1kHz. c) Indique una aplicación aritmética para el desplazador. Problema 42.- Sean A y B dos números de 5 bits en notación complemento a 1. a) Diseñe un comparador (A>B, A=B, A1 f D1 D0 y 0 1 0 0 1 x POS 0 1 2 3 4 5 6 7 CONT F 3 8 0 0 0 5 7 FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 50.- Analice el circuito de la figura a b c >1 e1 b 0 1 2 c e e2 d f 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 f 1 0 0 1s a Problema 51.- Interprete la utilidad del sistema mostrado en la figura. a A3 A2 A1 A0 D4 D3 D2 D1 D0 ROM conv BCD/ 7 seg convertidor binario a a b c d e f g f b g e c d a BCD conv BCD/ 7 seg a b c d e f g f b g c e d Problema 52.- Describa con palabras el funcionamiento del circuito x1 x0 y1 y0 x>y G x=y E x1 y1 1 210 0 1 2 3 4 5 6 7 >1 f FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 53.- Rediseñe en dos niveles el cicuito de la figura ROM x y z D4 D3 D2 D1 D0 A2 A1 A0 >1 A 2A 1A 0 D4 D3 D2 D1 D0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 3 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 X X 1 0 X 0 X 0 1 0 1 0 1 0 0 f u v 0 0 0 1 0 0 0 1 Problema 54.- Represente las salidas del siguiente circuito como suma de productos ROM b a c A2 A1 A0 D3 D2 D1 D0 0 1 2 3 s1s 0 >1 f1 f2 POS 0 1 2 3 4 5 6 7 CONT A D 2 B C 7 3 7 FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 55.- Para el circuito de la figura se pide: a) Analizarlo b) Rediseñarlo utilizando MUX de 8 canales. X0 X1 & X2 X3 >1 0 1s ROM E X0 X1 0 1 D0 A0 A1 A2 A3 0 1 2 3 DEC >1 D1 D2 D3 POS CONT(HEX) POS CONT(HEX) 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 C D E 7 0 1 2 3 4 5 6 7 F 1 F 8 9 A B 12 13 14 15 Problema 56.- Analice el circuito de la figura y x 0 1s 0 1 u E y x 1 0 0 1 2 3 0 1 s d0 d1 d2 d3 0 1s x 0 0 1 s u f FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 57.- Rediseñe el circuito de la figura utilizando MUX de 4 canales. x pos 0 1 2 3 0 1s y E z y 1 0 ROM & D3 0 1 2 3 >1 A1 A0 cont B 0 F C >1 D2 D1 f >1 D0 Problema 58.- Analice el circuito de la figura describiendo con palabras la función que realiza. ¿Puede diseñarse con una ROM un circuito que realice la misma tarea? En caso afirmativo, indicar cómo se haría, así como el contenido de la ROM para los siguientes valores en hexadecimal de X e Y. XY: 10, 11, 12, 67, 84, AA ,DF y3 x3 y3 y2 y1 y0 A3 A2 A1 A0 x3 x2 x1 x0 B3 B2 B1 B0 A>B y2 x2 A=B y1 x1 0 1 s & 0 1s & 0 1s & 0 1s & z2 z1 AB, A=B, A 4 donde xi ={0,1} para i={1,2,..,6} y las operaciones de adición y multiplicación indicadas son aritméticas. Problema 68.- Diseñe un circuito combinacional que tenga como entradas tres números sin signo A, B y C de n bits cada uno, y una salida Z que indique cuál de los números B o C es más próximo al número A. Haga un diseño con subsistemas combinacionales. Suponga que A≠B, A≠C y C≠B. Problema 69.- Determinado proceso químico es controlado por dos sistemas idénticos S1 y S2 . Cada sistema mide dos parámetros: valor de ajuste (A 1 y A2 , cada uno de dos bits) y valor base (B 1 y B2 , cada uno de cuatro bits). La operación es de la siguiente forma: - Si los valores base medidos por ambos sistemas difieren en menos de tres unidades, el valor de salida corresponderá a la base medida por S1. - Si los valores base de S1 y S2 difieren en tres o más unidades, el valor de salida corresponderá a la resta "valor base menos valor de ajuste" del sistema que haya medido mayor valor base. Muestre un diagrama de bloques y realice un diseño utilizando subsistemas combinacionales. FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 70.- Sea el bloque lógico A que compara la magnitud de dos números de tres bits, X3 = x1x 2x3 e Y3 = y1y2 y3 donde x3 e y3 son los bits menos significativos. El bloque A tiene dos salidas G3 y S3 tales que G3 = 1 si y sólo si X3>Y3; S3 = 1 si y sólo si X3 1), pero si semisumadores (HA), sumadores completos(FA) y puertas. b) Repita para (A * 40). Problema 17.- Se dispone de circuitos lógicos ITE. Estos circuitos poseen tres entradas y una salida, y realiza la siguiente función de conmutación ITE(f,g,h)=f .g + f.h. Realice la etapa típica de una unidad lógica que responde a la siguiente tabla, según la organización indicada en la figura y utilizando, exclusivamente, MUX 4:1 en el C.C. . Las entradas se disponen en raíl doble. S2 0 0 0 0 1 1 1 1 S1 0 0 1 1 0 0 1 1 S0 0 1 0 1 0 1 0 1 Fi Ai Bi AiBi A i+B i A iBi A i+B i Exor(A i,B i) Nexor(Ai,B i) Ai Bi f S2 C.C. g S1 h I T E Fi S0 Problema 18.- Sean dos números A y B sin signo, de dos bits cada uno. Realice un circuito que calcule A-B y presente el resultado en notación signo-magnitud. Utilice sólo puertas NAND (variables en doble raíl). Modifique el circuito anterior si las puertas sólo tienen 3 entradas. Problema 19.- Describa verbalmente la operación que realiza el circuito de la figura identificando la función de las cuatro salidas. Cada módulo HA es un semisumador. D Xi HA Wi Yi HA Zi HA C HA Ai Bi HA Ci+1 Si HA B A