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Integración Numérica • La idea es utilizar una aproximación de la función a integrar para aproximar la integral ∫ xM x0 f ( x)dx ≈ ∫ donde p ( x) ≈ f ( x) xM x0 p( x)dx p( xi ) = f ( xi ) 1 Definición Supongamos que a = x0 < x1 < .... < xM = b Una fórmula del tipo M Q[ f ] = ∑ wk f ( xk ) = w0 f ( x0 ) + w1 f ( x1 ) + ... + wM f ( xM ) k =0 de manera que ∫ b a f ( x)dx = Q[ f ] + E[ f ] se llama fórmula deintegración o de cuadratura Formulas de cuadraturas cerradas Newton-Cotes x1 h ∫ f ( x)dx ≈ 2 ( f 0 + f1 ) (trapecio) 0 + 4 f1 + f 2 ) ( Simpson) x0 x2 h ∫ f ( x)dx ≈ 3 ( f x0 x3 ∫ f ( x)dx ≈ x0 x4 3h ( f 0 + 3 f1 + 3 f 2 + f3 ) 8 2h ∫ f ( x)dx ≈ 45 (7 f 0 3 ( Simpson ) 8 + 32 f1 + 12 f 2 + 32 f3 + 7 f 4 ) ( Boole) x0 2 x1 ∫ f ( x) dx = h h3 (2) ( f 0 + f1 ) − f (c ) 2 12 f ( x)dx = h h5 (4) ( f 0 + 4 f1 + f 2 ) − f (c ) 3 90 f ( x) dx = 3h 3h5 (4) ( f 0 + 3 f1 + 3 f 2 + f 3 ) − f (c ) 8 8 x0 x2 ∫ x0 x3 ∫ x0 x4 ∫ x0 2h 8h 7 (6) f ( x)dx = (7 f 0 + 32 f1 + 12 f 2 + 32 f3 + 7 f 4 ) − f (c ) 45 945 Reglas compuestas • Las fórmula anteriores están definidas solo para el menor conjunto de nodos. Si se aplica en toda la partición de [a,b] se habla de las reglas compuestas 3 Trapecio compuesta x4 x1 x2 x3 x4 x0 x0 x1 x2 x3 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx h h h h ( f 0 + f1 ) + ( f1 + f 2 ) + ( f 2 + f 3 ) + ( f3 + f 4 ) 2 2 2 2 h = ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 + 2 f3 + f 4 ) 2 ≈ Simpson compuesta x4 x2 x4 x0 x0 x2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx h h ( f 0 + 4 f1 + f 2 ) + ( f 2 + 4 f3 + f 4 ) 3 3 h = ( f 0 + 4 f1 + 2 f 2 + 4 f3 + f 4 ) 3 ≈ 4