Cónicas

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CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Definición : Lugar geométrico de los puntos del plano (P) que equidistan ( R ) de otro punto llamado Centro (C) Ecuaciones: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 1.- Aplicando dist. (P(x,y), C(a,b)) = R; obtenemos 2.- Desarrollando: a= 2 2 x + y + mx + ny + p = 0 donde, m = -2a n = -2b − m 2 b= − n 2 p = a2 + b2 _ R2, es decir: R2 = a2 + b2 - p Ecuación de una circunferencia centrada en el O(0,0): x2 + y2 = 0 Circunferencias concéntricas: x2 + y2+ mx + ny + p1 = 0 ; x2 + y2+ mx + ny + p2 = 0 RECTAS TANGENTES a una circunferencia : 1.-En un punto de ella: el vector que une el centro y dicho punto es perpendicular a la tangente 2.-En un punto exterior: doble solución, poner la recta tangente en la forma pto-pte y la distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es el radio (ver ejemplos clase) ELIPSE Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas suma de distancias a dos punto fijos I llamados focos ( F y F ) ,es constante. (Sustituyendo P=A, se observa que la constante es 2.a ) • • Eje focal: La recta que pasa por los focos. • Eje secundario: mediatriz del segmento que une F y FI • Distancia focal, es la distancia entre los focos, 2c. F(c,0) y FI(-c,0) • Vértices : Los puntos en los que la elipse corta al eje focal y al secundario.A(a,0), AI(-a,0B(b,0) y BI(-b,0) B a I • Eje Mayor: Segmento que une A y A , 2a . Semieje mayor : a I • Eje Menor: Segmento que une B y B , 2b . Semieje menos. b b F F • Centro de la elipse O, es el punto de intersección de los ejes. AI A c I Ecuación: De |PF| +| PF | = 2a , la ecuación de ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN , eje mayor 0X y menor OY. x2 y2 + =1 a2 b2 donde: a2= b2 + c2 ( sustituyendo P=B; |BF|+|BFI|=2.a ; |BF|=b2+c2) EXCENTRICIDAD: e=c/a (siempre será e<1) Cuanto más próxima a 1 sea e la elipse será más achatada, si e=0 será una circunferencia ( ya que si e=0, c=0 y a=b) HIPÉRBOLA Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas diferencia de distancias a dos punto I fijos llamados focos ( F y F ) ,es constante. (Sustituyendo P=A, se deduce que la constante es 2a • Eje focal: La recta que pasa por los focos. (eje real) • Eje secundario: mediatriz del segmento que une F y FI (eje imaginario) • Distancia focal, es la distancia entre los focos, 2c. F(c,0) y FI(-c,0) • Vértices : Los puntos en los que la hipérbola corta al eje focal A y AI • Centro de la hipérbola O, es el punto de intersección de los ejes. • Eje real o mayor, 2.a • Eje imaginario, 2b Ecuación: De |PF| -| PFI| = 2a , la ecuación de HIPÉRBOLA CENTRADA EN EL ORIGEN , eje mayor 0X y menor OY. x2 y2 − =1 a2 b2 2 2 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA Recta que pasa por su centro y es tangente a ella en el infinito Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola centrada en el origen: 2 donde b = c – a Excentricidad Hipérbola: e=c/a Siempre será e>1, pues el semieje menor es siempre mayor que la semidistancia focal y= b x a e y=- HIPÉRBOLA EQUILÁTERA Es una hipérbola cuyo semieje real es igual al semieje imaginario, a = b. Ecuación : x2 - y2 = a2 Asíntotas: y =x y =-x Excentricidad: e = b x a Hipérbola equilátera y=1/x o y.x=1 2 Si cambiamos los ejes a las bisectrices la ecuación será: y= k x con k = a2 2 . Asíntotas, eje x y eje y Nota : La representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa es una hipérbola. PARÁBOLA Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz, y de un punto llamado foco. p • Parámetros de la parábola, p, es la distancia entre entre el foco y la directriz. • Eje de la parábola, es la perpendicular a la directriz que pasa por el foco. • Vértice, es el punto de intersección de la parábola con su foco O Ecuaciones: y2 = 2px PARÁBOLA CON CENTRO (0,0) Y EJE HORIZONTAL, F(P/2,0) X2 = 2py Nota: Las parábola de eje vertical , que no pase por el O(0,0) tienen la expresión y = ax2 + bx + c , son con las que hemos trabajado. Recordar el vértice era xV= - b 2a directriz PARÁBOLA CON CENTRO (0,0) Y EJE VERTICAL, F(P/2,0) ; la y sustituíamos para calcular su valor. Si a>0 era convexa, si a<0 cóncava I.E.S Profesor Máximo Trueba Nota: Las parábola de eje horizontal que no pase por el O(0,0) tiene la ecuación la expresión x = ay2 + by + c El vértice era yV = - b 2a ; la x sustituíamos para calcular su valor. Si a>0 las ramas van hacía la derecha Si a<0 hacía la izquierda a>0 a<0 V Profesora: Rosa Hernández Gila o F(p/2,0)