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INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA TEMA 6. DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CONTENIDO y y CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES (LOOPSHAPING) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA COMPENSACIÓN Ó DINÁMICA Á Suponga el siguiente sistema de control, donde a la planta G(s) se le ha añadido un n compensador en serie Gc(s) ( ) y se tiene retroalimentación unitaria. nitaria DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 2 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA dB dB Ki -20 Ki/Kp 0 0 ω -20 φ φ ω 0 1 T2 a 1 T1 ω ω 0 -45 -90 1 + s K p Ki Ki Kp + = Ki s s φ = −90º + tan −1 K (T2 s + 1) /(T1s + 1) φ = tan −1 ωT2 − tan −1 ωT1 ω a = 20 log T1 / T2 Ki K p (a) Control PI (b) Compensación de atraso de fase DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 3 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 1 T1 ω 1 T2 φ ω φ ω ω K p + K d s = K p (1 + s K d K p ) φ = tan −1 K (T1s + 1) /(T2 s + 1) ω φ = tan −1 ωT1 − tan −1 ωT2 K p Kd (c) Control PD a = 20 log T1 / T2 (d) Compensación de adelanto de fase DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ( ) Control (e) C t l PID a = 20 log (f) Control C t l atraso t - adelanto d l t 1 T2 T = 20 log 1 1 T1 T2 El máximo adelanto de fase y la frecuencia a la cual ocurre se puede mostrar que es ωm = 1 1 T1 T2 φmax = sen −1 (T1 T2 ) − 1 (T1 T2 ) + 1 Estas ecuaciones con un signo negativo para el ángulo también se aplican ppara el atraso de fase. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 70 60 50 φmax 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 T1/T2 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA En base al hecho de que el desempeño de muchos sistemas son dominados por un par de polos complejos conjugados, es apropiado examinar un sistema de segundo orden. ωn2 C ( s) = 2 R ( s ) s + 2ζωn s + ωn2 C id Considerando d la l respuesta t a la l frecuencia f i del d l sistema it C ( jω ) 1 = R ( jω ) ( jω / ωn ) 2 + 2ζ ( jω / ωn ) + 1 M= C = R 1 (1 − ω 2 / ωn2 ) + ( 2ζω / ωn ) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 2 2 7 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Las mediciones claves del desempeño de respuesta en frecuencia se pueden distinguir en la curva típica M Mp 1 0.707 ω p ωb ω 1. Pico resonante (Resonant peak) Mp a la frecuencia de resonancia ωp: Una medida did de d la l estabilidad t bilid d relativa. l ti 2. Ancho de banda (Bandwidth) ωb: Una medida de la velocidad de respuesta, definida como el rango de frecuencias sobre las cuales M es igual al menos 0.707 0 707 (– ( 3 dB) de su valor en ω = 0. 0 Es el rango de frecuencias en las que la respuesta se puede considerar satisfactoria. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA En respuesta transitoria, transitoria ζ y ωn correspondientes a los polos dominantes determinan la velocidad de respuesta y el sobretiro. Las relaciones entre ζ y ωn y los criterios de desempeño de respuesta en frecuencia se pueden expresar como: ωp = 1 − 2ζ 2 ωn Mp = 1 2ζ 1 − ζ 2 ζ ≤ 0.707 El ancho de banda se puede expresar en función de ζ y ωn como sigue: 1/ 2 ωb ⎡ 2 2 2 ⎤ = 1 − 2ζ + 2 − 4ζ (1 − ζ ) ⎥⎦ ωn ⎢⎣ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 2.5 2 Mp 1.5 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ζ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 10 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 1 0.75 ωp ωn 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 ζ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 0.5 0.6 0.7 11 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ESPECIFICACIONES DE DESEMPEÑO EN EL DIAGRAMA DE BODE Mediciones de desempeño de respuesta en frecuencia en lazo abierto El pico de resonancia y el ancho de banda son especificaciones de desempeño para un sistema de lazo cerrado. Sin embargo, tanto las gráficas de Bode como las polares son diagramas de la función de ganancia de lazo. La P Pregunta es: ¿Qué Q é requerimientos i i se deben d b imponer i en estas gráficas áfi para satisfacer las especificaciones en lazo cerrado de ancho de banda ωb y estabilidad relativa ζ o Mp? Para relacionar los criterios de lazo abierto y cerrado, se observa que C/R puede considerarse que se constituye por un sistema con retroalimentación unitaria y una función de ganancia de lazo ωn2 Gc G = s ( s + 2ζωn ) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 12 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA La función de respuesta en frecuencia es Gc G ( jω ) = ωn2 −ω 2 + 2 jζωnω 2ζωn Gc G = − tan −ω −1 ωn2 Gc G = ω 4 + ( 2ζωnω ) 2 De particular importancia para el análisis y diseño es la frecuencia de cruce (crossover frequency) ωc, donde GcG cruza el eje de 0 dB y donde está definido el margen g de fase. Gc G = 1 ωc4 + ( 2ζωnωc ) − ωn4 = 0 2 cuando T Tomando d la l raíz í positiva ii ωc = ωn ( 4ζ + 1 − 2ζ 4 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 2 ) 1/ 2 13 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ωb ωn 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 ωc ωn 1 0.9 ωc ωb 0.8 0.7 0.635 0.6 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ζ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 14 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es interesante notar que la relación de la frecuencia de cruce a la del ancho de banda se puede aproximar por: ωc ≈ 0.635ωb Esto muestra cómo la frecuencia de cruce de la función de ganancia de lazo debe seleccionarse para conseguir la especificación del ancho de banda del sistema en lazo cerrado El margen de fase φm es igual a 180º más el ángulo de fase de GcG en ωc. φm = tan −1 ( 2ζ 4ζ + 1 − 2ζ 4 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 2 ) 1/ 2 15 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA 80 60 φm 40 20 0 0 0.2 0.4 ζ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 0.6 0.8 1 16 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA La relación φm – ζ representa una importante y útil correlación entre la respuesta en frecuencia y la medida de la estabilidad relativa de la respuesta transitoria Una buena transitoria. b ena aproximación apro imación a esta curva c r a puede p ede ser dada por: φm ≈ 100ζ Con esta relación, las gráficas mostradas en las diapositivas 10, 11 y 14, se pueden considerar que son representaciones en función del margen de fase. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 17 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ζ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 φm 0 11 4 11.4 22 6 22.6 33 3 33.3 43 1 43.1 51.8 18 59.2 92 6 2 65.2 69 9 69.9 73.5 3 73.6 36 P.O 100 73 53 37 25 16 9.5 4.6 1.5 ωc/ωb 0.64 0.64 0.64 0.63 0.62 0.62 0.62 0.64 0.67 0.71 0.75 ωc/ωn 0.99 0.96 0.91 0.85 0.79 0.72 0.65 0.59 0.53 0.49 ωb/ωn 1.55 1.54 1.51 1.45 1.37 1.27 1.15 1.01 0.87 0.75 0.64 1 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 18 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Mediciones de desempeño p en el diagrama g de Bode de GcG 1. 2 2. 3. 4. 5. 6. Estabilidad relativa: GcG debe tener adecuado valor de −20 pendiente de no más de -20 dB/dec en o cerca de la frecuencia ωc de cruce ωc. 0 Exactitud de estado estable: Para mejorar la exactitud de estado estable, la asíntota de baja frecuencia debe ser elevada o cambiada su pendiente. −40 Exactitud en el rango de operación: Para asegurar la exactitud ωc especificada sobre un rango normal de frecuencias, frecuencias la gráfica 0 no debe caer por debajo de un nivel mínimo dado en este rango. Para mejorar la exactitud, este nivel debe ser elevado. Frecuencia de cruce y ancho de banda: La frecuencia de cruce −20 ωc es una medida del ancho de banda ωb y por lo tanto de la ωc velocidad de respuesta. ωc ≈ 0.635 ωb. 0 Rechazo al ruido: Para asegurar la atenuación especificada −40 (reducción) de las componentes de ruido en la entrada arriba de cierta frecuencia, frecuencia la gráfica arriba de esa frecuencia debe Gc G estar abajo de un cierto nivel mínimo. 20 ωc Sensibilidad del sistema: Varios aspectos de sensibilidad 0 ωd ωa discutidos en el tema 3 están cercanamente relacionados a las −20 especificaciones 3 y 5 y a la correspondiente figura inferior. inferior DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ Gc G ≈ ω ωc jω φm ≈ 90º Gc G ≈ ωc2 ( jω ) 2 ω φ ≈ 0º m Gc G ≈ ωc jω (1 + jω ωc ) ω φ ≈ 45º m ω Regresar 19 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) ATRASO DE FASE • Contribuye con ángulos de fase negativos a GcG, por lo que tiende a reducir el margen de fase. • Puede ser usado para elevar la magnitud de la gráfica de GcG en bajas frecuencias (incrementando la exactitud para entradas en ese rango) y/o bajarla para altas frecuencias (haciendo que la sección con una pendiente de -20 dB/dec de GcG cruce el eje de 0 dB mejorando la estabilidad relativa). • La ganancia K se elige para satisfacer las especificaciones ifi i d exactitud de i d de d estado d estable. bl • La frecuencia de cruce es ω1. Incluso sin la gráfica del ángulo de fase se observa que el margen de fase es pequeño porque no ocurre en o cerca del rango de pendiente di d -20 de 20 dB/dec. d /d • Para mejorar el margen de fase se debe bajar la gráfica a dB y la frecuencia de cruce quedaría en ωc. • La frecuencia de corte superior de Gc se selecciona un φ f factor d 10 debajo de d b j de d ωc para contribuir ib i sólo ól con un pequeño ángulo de fase en esa frecuencia. • La frecuencia de corte inferior de Gc se puede seleccionar de acuerdo a: a = 20 log T1 T2 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ ωc ω1 φm ω 20 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. Determine la ganancia del controlador K para satisfacer la especificación de estado estable y dibuje la función de ganancia de lazo KG. 2. Determine la frecuencia ωc en la cual el ángulo de fase de G es (–180º + φm + 5º), donde φm es el margen de fase especificado, con un complemento de 5º para el á l con que contribuye ángulo t ib ell compensador d en ωc. Esta E t es la l frecuencia f i de d cruce deseada. 3. Seleccione la frecuencia de corte superior 1/T2 del compensador de atraso de fase una década debajo de ωc. 4. Mida la magnitud a dB de la gráfica construida en el paso 1 en la frecuencia ωc. Esto determina la razón de las frecuencias de corte del compensador de atraso de fase. fase 5. Calcule la frecuencia de corte inferior 1/T1 del compensador de atraso de fase a partir del valor de a, definido en la diapositiva anterior. Alternativamente, se puede encontrar por construcción: GcG es paralelo a KG debajo de 1/T2, y una asíntota de -40 dB/dec comenzando aquí intersecta KG en 1/T1. 6. Dibuje GcG para verificar que se cumple con todas las especificaciones y exprese eel co compensador pe sado co como: o: T s +1 Gc = K 2 T1s + 1 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 21 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Ejemplo 1 Con G = 1/ [s(0.5s + 1)], diseñe un compensador de atraso de fase para satisfacer las siguientes especificaciones: 1. El error de estado estable siguiendo a una rampa unitaria no exceda del 10%. 2. El margen de fase debe ser al menos de 55º. 3. El error en respuesta a una entrada sinusoidal con frecuencias de hasta 0.1 rad/seg no debe exceder del 10%. Para Gc = K la función de ganancia de lazo es: Gc G = K s (0.5s + 1) La especificación 1 requiere al menos K = 10 (ess = 1/K). La especificación 3 también se satisface, if ya que se requiere i d una ganancia de i de d all menos 10 = 20 dB hasta h una frecuencia de 0.1 rad/seg (E/R = 1/(1 + GcG), por lo que │GcG │≥ 10 = 20 dB). Por inspección el margen de fase de 10G es muy inadecuado. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 22 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) dB 60 40 10G 20 GcG ω 0 -20 -40 -60 0.01 0.1 1 10 100 Los ángulos de fase de algunas frecuencias son: φ (1) = −117 117º φ (1.5) = −127 127º φ (2) = −135 135º Por lo que, si la frecuencia de cruce de GcG se selecciona en 1 rad/seg, un complemento de (180 – 117) – 55 = 8º es factible para considerar el ángulo de f fase i t d id por Gc en 1 rad/seg. introducido d/ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 23 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Entonces, se desea bajar la parte de altas frecuencias de 10G de tal manera que cruce 0 dB en 1 rad/seg, rad/seg manteniendo la parte de bajas frecuencias de 10G sin cambio. Lo anterior se puede lograr con un compensador de atraso de fase. La frecuencia de corte superior de Gc se selecciona en 0.1 rad/seg, un factor de 10 debajo de la frecuencia de cruce. cruce Esto también satisface la especificación 3. 3 Por construcción del diagrama de Bode, una asíntota con una pendiente de –40 dB/dec, comenzando en 0.1 rad/seg intersecta la gráfica de 10G en 0.01 rad/seg, punto donde se ubica la frecuencia de corte inferior de Gc. Otra manera de encontrar la frecuencia de corte inferior de Gc es tomando en cuenta la cantidad de dB qque se debe bajar j la ggráfica 10G en la región g de la frecuencia de cruce seleccionada T a = 20 log 1 = 20dB ⇒ T1 = 10T2 T2 Con lo que la función de transferencia del compensador de atraso de fase queda: 1 + s / 0.1 Gc = 10 1 + s / 0.01 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 24 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Ejemplo 2 Sea G= 1 s ( s + 1)(0.5s + 1) Gc = K De tal manera que la función de ganancia de lazo es: Gc G = K s ( s + 1)(0.5 1)(0 5s + 1) Para Gc = K = 0.325 el margen de fase es φm = 63º. Suponga ahora que se especifica que el error de estado estable 1/K no puede exceder de 40% . Entonces se requerirá que K = 2.5. Para Gc = K = 2.5 el diagrama de Bode de la función de ganancia de lazo muestra que la frecuencia de cruce está alrededor de la mitad entre –20 y –60 dB/dec, por lo que el margen de fase probablemente esté cercano a cero. La frecuencia de corte superior del compensador se selecciona 10 veces abajo de la frecuencia de cruce deseada, por lo que 1/T2 = 0.0325. Entonces el compensador d no contribuirá t ib i á con más á de d –5º 5º a la l frecuencia f i de d cruce (0.325), (0 325) por lo tanto no se reducirá el margen de fase más de este valor. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 25 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) El valor de 1/T1 pe puede encontrar gráfica o analíticamente mediante a = 20 log T 2.5 = 20 log 1 0.325 T2 ω 1 1 0.325 = = 0.00422 0 00422 T1 T2 2.5 El compensador deseado es 1 + s / 0.0325 Gc = 2.5 1 + s / 0.00422 Dado que │GcG │> 100 para frecuencias menores de 0.01 rad/seg, los errores con entradas de hasta esta frecuencia no excederán del 1%. Arriba de 2 rad/seg │GcG │ │ │< 0.1,, p por lo qque menos del 10% del ruido en altas frecuencias aparecerá p en la salida. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 26 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) ADELANTO DE FASE • Contribuye con ángulos de fase positivos a GcG, por lo que tiende a incrementar el margen de fase y mejorar j l estabilidad la bilid d relativa. l i • Permite incrementar la frecuencia de cruce y por lo tanta el ancho de banda y la velocidad de respuesta. • Con la compensación de adelanto de fase, la estabilidad bilid d puede d mejorarse j sin i di i i la disminuir l frecuencia de corte y por lo tanto sin pérdida de velocidad de respuesta. • La ganancia K se elige para satisfacer las especificaciones ifi i d exactitud de i d de d estado d estable. bl Por P inspección, el margen de fase es pequeño, dado que la frecuencia de cruce ωa no está cercana al rango de pendiente de –20 dB/dec. • Para P determinar d i l relación la l ió T1/T2 de d las l frecuencias f i de d corte requeridas se necesita hacer que el máximo adelanto de fase φmax (definido en la diapositiva 5), proporcionado por el compensador, sea igual al total d adelanto de d l t de d ángulo á l necesario. i • Lo anterior se satisface satisfactoriamente si la frecuencia donde ocurre φmax, ωm, se hace coincidir con la frecuencia de cruce deseada ωc. Esto es: ωc = ω m = 1 T1T2 60 40 1/T1 20 dB 1/T2 Gc/K a dB 0 -20 ω a ωc GcG -40 KG -60 a dB -45 -90 φ GcG KG -135 φm -180 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 0.1 1 ω 10 100 1000 27 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. Determine la g ganancia del controlador K p para satisfacer la especificación p de estado estable y dibuje la función de ganancia de lazo KG y encuentre el margen de fase. 2. Reste este margen de fase del deseado, definido por la especificación de el porcentaje de sobretiro o la razón de amortiguamiento (ver tabla de diapositiva 18). 3 Agregue 3. A a la l diferencia dif i un complemento l d 7º (20º sii en la de l región ió de d interés i é la l pendiente es de –60 dB/dec.) para tomar en cuenta el ángulo con que contribuye el compensador en ωc. 4 Determine la relación T1/T2 de las frecuencias de corte necesarias para hacer que el 4. máximo adelanto de fase φmax sea igual al calculado en los puntos 2 y 3. 5. Determinar la frecuencia de cruce deseada ωc donde KG es 10 log (T1/T2) abajo del eje de 0 dB. 6. La frecuencias de corte del compensador se pueden encontrar con la relación T1/T2 y ωc = ω m = 1 T1T2 7. Dibuje GcG para verificar que se cumple con todas las especificaciones y exprese el compensador como: Gc = K T1s + 1 T2 s + 1 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 28 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Ejemplo 3 Sea G= 1 s ( s + 2) K = 30 Necesaria para la exactitud del estado estable Entonces KG = 30 15 = s ( s + 2) s (0.5s + 1) La frecuencia de cruce es 5.4 y el margen de fase es de 180 – 159.7 =20.3º Suponga que se especifica que se requiere una razón de amortiguamiento de 0.5 de los polos dominantes. De la tabla presentada en la diapositiva 18 se obtiene que para esa razón de amortiguamiento se requiere un margen de fase de 52 52º. Entonces el compensador debe proveer un adelanto de (52 – 20.3) más un complemento de 7º , igual a 38.7º. La razón T1/T2 de las frecuencias de corte del compensador de adelanto de fase se selecciona que sea de 4.5. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 29 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Lo anterior da un adelanto de fase máximo de 39º. 39º Del punto 5 del procedimiento de diseño, la frecuencia de cruce se selecciona en ωc = 8, donde KG es 10 log 4.5 = 6.5 dB abajo del eje de 0 dB. Con la razón de 4.5 4 5 y la ecuación del punto 6 del procedimiento de diseño se obtienen qque las frecuencias de corte del compensador son 3.8 y 17 60 40 1/T1 20 dB 1/T2 Gc/K a dB 0 -20 ω a ωc GcG -40 -60 KG 0.1 1 ω 10 100 a dB 1000 El compensador deseado es Gc = 30 1 + s / 3.8 1 + s /17.0 /17 0 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 30 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Ejemplo 4 Sea G= 1 s2 K = 1.752 = 3.06 Necesaria para la exactitud del estado estable Entonces KG = 3.06 s2 La gráfica cruza el eje 0 dB en K = 1.75 Suponga que se especifica que se requiere una razón de amortiguamiento de 0.5 de los polos dominantes. De la tabla presentada en la diapositiva 18 se obtiene que para esa razón de amortiguamiento se requiere un margen de fase de 52º. Dado que la fase de G es –180º, el compensador de adelanto debe contribuir con al menos +52º. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 31 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) De la figura presentada en la diapositiva 6, 6 T1/T2 = 10 contribuirá con un adelanto máximo de +55º en una frecuencia 1 ωm = dB T1T2 Como se discutió anteriormente, anteriormente para hacer que ωm coincida con ωc, ésta debe ocurrir donde KG está 10 log (T1/T2) = 10 dB abajo del eje de 0 dB. Se encuentra que ωc es 3.08 rad/seg, por lo que ωc = ωm = 3.08 = 1 1 = T1T2 T2 10 60 40 Gc/K 0.94 = 1/T1 20 -20 20 3.08 0 -20 9.74 = 1/T2 KG -40 GcG -40 -60 0.1 1 ω 10 100 1000 Las frecuencias de corte y la función de transferencia del compensador son entonces 1 = 0.974 T1 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1 = 9.74 T2 Gc = 3.06 1 + s / 0.974 1 + s / 9.74 32 INGENIERÍA DE CONTROL I DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA DISEÑO DE COMPENSADORES ( (LOOPSHAPING) ) Si K no es seleccionada por especificación del error de estado estable, pero en su lugar se especifica el ancho de banda ωb, entonces ωc se estima de la tabla presentada en la diapositiva 18 como ωc = 0.62 ωb, y KG debe pasar 10 dB abajo del eje de 0 dB en esta frecuencia. El valor de ωc = 3.08 corresponde a ωb = 5. Una tercera alternativa es que si se especifica el tiempo de asentamiento, por ejemplo, Ts = 2 segundos. Dado que Ts = 4/(ζωn) y ζ = 0.5, esto requiere que ωn = 4. De la figura presentada en la diapositiva 14 para ζ = 0.5, se obtiene ωc/ωn = 0.77, por lo que Ts = 2 traslada a un requerimiento estimado de ωc = 4 × 0.77 = 3.08. Obsérvese, finalmente, que subiendo o bajando la gráfica del diagrama de B d de Bode d la l diapositiva di iti anterior, t i cambiando bi d ell valor l de d K , se acercaráá la l región ió de d cruce a la sección que tiene una pendiente de –40 dB/dec y por lo tanto se reducirá el margen de fase. Regresar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 33