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AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS EXAMEN 2/SEPTIEMBRE/06 NOTA: La nota obtenida en esta parte se corresponde con el 75% de la nota final correspondiente a la asignatura de Ampliación de Matemáticas. Para aprobar es preciso tener una nota mayor o igual que 4 en cada una de las partes.
PRIMER EJERCICIO 1.
(a)
Representar gráficamente los siguientes conjuntos de números complejos: A : { z / Im( z + 2i ) ≥ Re( z − 3)} B : { z / 2 Im( z ) ≥ z − 2i
(b) (c)
2
}
¿Para qué valores de z es real cos(z)?. Justificar la respuesta. Si z= 1+i, hallar : e1/ z y eiz .
(d)
2.
Demostrar que si f(z) = u(x,y)+iv(x,y) es una función entera, entonces: ∂u ∂v ∂u ∂v ⋅ + ⋅ =0 ∂x ∂x ∂y ∂y (3.5 puntos) (a) Enunciar el teorema de convolución para la transformada de Fourier. (b) Resolver la siguiente ecuación integral utilizando la teoría de la transformada de Fourier:
∫
∞
−∞
g ( y) ⋅ e
− t− y
dy + g (t ) = e
−t
Nota:
2a −a t ⎡⎣e ⎤⎦ = 2 a + ω2 (3 puntos) 3. Representar gráficamente en el intervalo [-2π, 2π] la extensión periódica de periodo 2π de f(x) : fT(x): ⎧⎪π ⋅ x − x 2 , x ∈ [0, π ) f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − π ⋅ x , x ∈ [π , 2π ) ∞ ∞ a Sea ϕ ( x) = 0 + ∑ an cos(nx) + ∑ bn sen(nx) el desarrollo en serie de Fourier de fT(x). 2 n =1 n =1 Calcular la serie de cosenos que forma parte de ϕ(x). A partir de este resultado calcular la siguiente serie numérica: ∞ 1 S =∑ 2 n = 0 (2n + 1) Nota: cos(ax) x ⋅ sen(ax) 2 x ⋅ cos(ax) (a 2 ⋅ x 2 − 2) ⋅ sen(ax) 2 ; ∫ x ⋅ cos(ax)dx = + ∫ x ⋅ cos(ax)dx = a 2 + a a2 a3 sen(ax) x ⋅ cos(ax) 2 x ⋅ sen(ax) (a 2 ⋅ x 2 − 2) ⋅ cos(ax) 2 x ⋅ sen ( ax ) dx = − ; x ⋅ sen ( ax ) dx = − ∫ ∫ a2 a a2 a3 (3.5 puntos) Tiempo : 1 h.15m.
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS EXAMEN 2/SEPTIEMBRE/06
SEGUNDO EJERCICIO 1.
(a)
(b) (c) 2.
Calcular, utilizando la teoría de residuos, la siguiente integral: 2π ⎛π ⎞ I = ∫ sen 2 ⎜ + 4eiθ ⎟dθ 0 ⎝6 ⎠ Enunciar el teorema de Gauss. Comprobar el resultado del apdo. (a) mediante el teorema de Gauss.
(6 puntos) Sean f(z) y g(z) funciones analíticas en z0 , siendo z0 un cero de orden 2 de f(z), y un ⎡ f ''( z ) ⎤ , z0 ⎥ en términos de los coeficientes de cero de orden 3 de g(z). Calcular Re s ⎢ ⎣ g '( z ) ⎦ los desarrollos de f(z) y g(z) en potencias de (z- z0) : ∞
∞
n=0
n =0
f ( z ) = ∑ an ( z − z0 ) n y g ( z ) = ∑ bn ( z − z0 ) n (4 puntos) Tiempo : 1 h.
TERCER EJERCICIO 1.
Demostrar que el Re s [ f ( z ), z0 ] es igual al coeficiente de (z-z0)-1 en el desarrollo en serie de Laurent de f(z). (2 puntos)
2.
3.
dz . C ( z − z )( z − z ) 1 2 Deducir, utilizando la teoría de residuos, que el valor de la integral es independiente de z1 y z2. Obtener dicho valor. (3 puntos) Sea F(z) una función entera y C la curva : z = R . Sea z0 tal que z0 < R , F(z0)=a,
Sea C una curva cerrada que contiene en su interior a z1 y z2, e I = v∫
F(-z0)=b y F’(0)=c. Obtener en términos de a, b y c, y utilizando la teoría de residuos, F ( z) dz en los siguientes casos: el valor de I = v∫ 2 C z −z 2 0 a) z0=0, b) F(z) par, c) F(z) impar, d) F(z) ni par ni impar. (5 puntos) Tiempo : 1 h.