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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on Diversos procesos naturales e industriales de inter´es f´ısico; biologico, etc. son fen´omenos de advecci´on, difusi´on y reacci´on transitorios. Este es el caso, por ejemplo, del funcionamiento de los reactores qu´ımicos;la densidad de poblaci´on de una especie natural o el estudio de la propagaci´on de sustancias contaminantes en diferentes medios. La soluci´on de dicha ecuaci´on representa la concentraci´on de la sustancia que se dispersa y es una informaci´on muy importante en el estudio de diversos problemas de interes ecol´ogico como son: estimaci´on del impacto ambiental por derrames de petroleo, ubicaci´on optima de nuevas plantas industriales,determinaci´on del sitio de una explosi´on nuclear y control de emisiones industriales. Debido a la complejidad de estos problemas no es posible en general obtener una soluci´on anal´ıtica para la ecuaci´on de difusi´on-advecci´on-reacci´on, por lo que es necesario usar t´ecnicas num´ericas para hallar una soluci´on aproximada. La modelizaci´on num´erica de estas aplicaciones tecnol´ogicas requiere del uso t´ecnicas adecuadas para la resoluci´on aducuada de las dificultades num´ericas que se presentan debido a la propia naturaleza del problema traducido en la ecuaci´on as´ı como de los problemas que surgen en el tratamiento num´erico. Justificaci´ on del uso de M´ etodos Num´ ericos en la Soluci´ on de las EDP Los m´etodos de aproximaci´on anal´tica a la soluci´on de EDP, proporcionan frecuentemente informaci´on u ´til acerca del comportamiento de la soluci´on en 5
6 valores cr´ıticos de la variable dependiente, pero tienden a ser m´as dif´ıciles de aplicar que los m´etodos num´ericos. Entre las consideraciones que justifican el uso de m´etodos num´ericos para solucionar ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales se encuentran: 1) Los datos de los problemas reales presentan siempre errores de medici´on, y el trabajo aritm´etico para la soluci´on est´a limitado a un n´ umero finito de cifras significativas que resultan en errores de redondeo. Por lo tanto, incluso los m´etodos anal´ıticos proporcionan resultados que son aproximaciones num´ericas; 2) La evaluaci´on num´erica de las soluciones anal´ıticas es a menudo una tarea laboriosa y computacionalmente ineficiente, mientras que los m´etodos num´ericos generalmente proporcionan soluciones num´ericas adecuadas, de manera m´as simple y eficiente (Smith, G. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford University Press, New York.1999.)
1. Introducci´ on
1.1.
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Objetivos
Se plantea la resoluci´on de la ecuaci´on de advecci´on difusi´on longitudinal;(se pueden usar para resolver problemas de adveccion difusion en 2D como en 3D );aplicando esquemas explicitos e implicitos en diferencias finitas. Presentar criterios de estabilidad sencillos, los cuales garantizan la estabilidad de los esquemas en diferencias finitas para resolver la ecuaci´on de advecci´on dispersi´on longitudinal; los criterios obtenidos deben garantizar la estabilidad y convergencia, como funci´on de los num´eros de Couran y P´eclet, con todo esto se tiene a disposici´on m´etodos sencillos que son num´ericamente estables y convergentes y a´si no se considera necesario recurrir a m´etodos m´as complicados para resolver la ecuaci´on de advecci´on dispersi´on para el caso unidimensional.
1.2.
Extructura del trabajo
En el capitulo I hacemos un resumen de algunas definiciones y propiedades del an´alisis funcional as´ı como del m´etodo de diferencias finitas para ser aplicados a problemas de advecci´on difusi´on para el caso unidimensional. En el capitulo II presentamos el modelo matem´atico a estudiar as´ı como a manera de motivaci´on algunas aplicaciones diversas y luego vemos la existencia y unicidad de la soluci´on de nuestra ecuaci´on modelo. En el capitulo III Presentamos a la ecuaci´on Advecci´on difusi´on transitoria y realizamos su correspondiente an´alisis num´erico, nos ocupamos de la estabilidad la consistencia y la convergencia para los esquemas explicito e implicito de Crank Nicolson respectivamente, necesarios para realizar la implementaci´on computacional y ver algunos experimentos. En el capitulo IV hacemos referencia a la resoluci´on num´erica de los grandes sistemas de ecuaciones lineales y revisamos los m´etodos iterativos m´as importantes para tratar sistemas de ecuaciones lineales, en especial los sistemas sim´etricos y definidos positivos que surgen en el tratamiento num´erico de las ecuaciones diferenciales, en nuestro caso la ecuaci´on de advecci´on difusi´on unidimensional. En el capitulo V damos algunos ejemplos num´ericos sobre la ecuaci´on de advecci´on difusi´on teniendo en cuenta el correspondiente an´alisis num´erico hecho en el capitulo III dode nos ocupamos de la estabilidad la consistencia
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1.3. Preliminares
y la convergencia para los esquemas explicito e implicito de Crank Nicolson respectivamente.
1.3. 1.3.1.
Preliminares Definiciones
Soporte Compacto sea Ω ⊂ 0 y un entero m > 0 (dependiendo de K en general ), tales que |(f, u)| ≤ ckukK,m para todo u en Ck∞ (Ω) y kukK,m = max|Dp u(x)|; x ∈ K, |p| ≤ m Convergencia Puntual en D0 (Ω) Una suceci´on (fm )m∈N de D0 (Ω) converge para la distribuci´on f cuando para todo ϕ ∈ C0∞ (Ω) se verifica l´ım (fm , ϕ) = (f, ϕ)
m→∞
1. Introducci´ on
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Cuando este es el caso escribiremos l´ım fm = f en D0 (Ω)
m→∞
Espacios Lp (Ω) sea Ω ⊂ 0 y k > 0,consideremos los desarrollos en series: 3 3 4 4 2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+ h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )+... ∂x2 ∂x ∂x
(1.1)
3 4 3 4 2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )− h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )−... ∂x2 ∂x ∂x
(1.2)
3 4 3 4 2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+ k6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ k24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )+... ∂y 2 ∂y ∂y
(1.3)
3 3 4 4 2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )− k6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ k24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )... ∂y 2 ∂y ∂y
(1.4)
∂ u(x∗ +h,y ∗ )=u(x∗ ,y ∗ )+h ∂x u(x∗ ,y ∗ )+ h2
∂ u(x∗ −h,y ∗ )=u(x∗ ,y ∗ )−h ∂x u(x∗ ,y ∗ )+ h2
∂ u(x∗ ,y ∗ +k)=u(x∗ ,y ∗ )+k ∂y u(x∗ ,y ∗ )+ k2
∂ u(x∗ ,y ∗ −k)=u(x∗ ,y ∗ )−k ∂y u(x∗ ,y ∗ )+ k2
2 ∂2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+hk ∂x∂y u(x∗ ,y ∗ )+ ∂x2 3 3 2 3 2 k2 ∂ 2 ∂3 u(x∗ ,y ∗ )+ h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h2 k ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+ hk2 u(x∗ ,y ∗ )+ 2 ∂y 2 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2
∂ ∂ u(x∗ +h,y ∗ +k)=u(x∗ ,y ∗ )+h ∂x u(x∗ ,y ∗ )+k ∂y u(x∗ ,y ∗ )+ h2
+
∂3 ∗ ∗ + k63 ∂y 3 u(x ,y )+···
(1.5)
2 ∂2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )−hk ∂x∂y u(x∗ ,y ∗ )+ ∂x2 2 2 3 3 2 3 2 3 k ∂ ∂ u(x∗ ,y ∗ )+ h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )− h2 k ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+ hk2 u(x∗ ,y ∗ )− 2 ∂y 2 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2
∂ ∂ u(x∗ +h,y ∗ −k)=u(x∗ ,y ∗ )+h ∂x u(x∗ ,y ∗ )−k ∂y u(x∗ ,y ∗ )+ h2
+
∂3 ∗ ∗ − k63 ∂y 3 u(x ,y )+···
(1.6)
1. Introducci´ on
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2 ∂2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )−hk ∂x∂y u(x∗ ,y ∗ )+ ∂x2 2 2 3 3 2 3 2 3 k ∂ ∂ u(x∗ ,y ∗ )− h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h2 k ∂2 u(x∗ ,y ∗ )− hk2 u(x∗ ,y ∗ )+ 2 ∂y 2 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2
∂ ∂ u(x∗ ,y ∗ )+k ∂y u(x∗ ,y ∗ )+ h2 u(x∗ −h,y ∗ +k)=u(x∗ ,y ∗ )−h ∂x
+
∂3 ∗ ∗ + k63 ∂y 3 u(x ,y )+···
(1.7)
2 ∂2 ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+hk ∂x∂y u(x∗ ,y ∗ )+ ∂x2 3 2 3 3 2 k2 ∂ 2 ∂3 u(x∗ ,y ∗ )− h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )− h2 k ∂3 u(x∗ ,y ∗ )− hk2 u(x∗ ,y ∗ )− 2 ∂y 2 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2
∂ ∂ u(x∗ −h,y ∗ −k)=u(x∗ ,y ∗ )−h ∂x u(x∗ ,y ∗ )−k ∂y u(x∗ ,y ∗ )+ h2
+
3
− k63 partial ∂y 3
(1.8)
u(x∗ ,y ∗ )+···
Con los ocho desarrollos anteriores podemos obtener diferentes formas de aproximar las derivadas parciales (de primer y segundo orden ) de la funci´on u en el punto (x∗ , y ∗ ) . En efecto de (1) puede despejarse la primera derivada parcial de u respecto a x obtenindose u(x∗ + h, y ∗ ) − u(x∗ , y ∗ ) h ∂ 2 h2 ∂ 3 ∂ ∗ ∗ u(x∗ , y ∗ ) = − u(x , y ) − − ··· ∂x h 2 ∂x2 6 ∂x3 Es decir:
∂u u(x∗ + h, y ∗ ) − u(x∗ , y ∗ ) ≈ (1.9) ∂x h Es una f´ormula en diferencias finitas progresiva, aproxima la derivada parcial respecto a x de la funci´on u en (x∗ , y ∗ ) con error de truncatura: Etr = 0(h) De (2) tenemos : u(x∗ , y ∗ ) − u(x∗ − h, y ∗ ) ∂u ≈ ∂x h
(1.10)
Es una f´ormula de diferencias finitas progresiva, con un error de truncatura: Etr = (h) Restando (2) de (1) obtendramos la f´ormula centrada
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1.3. Preliminares
u(x∗ + h, y ∗ ) − u(x∗ − h, y ∗ ) ∂u ≈ ∂x 2h Con error de truncatura Etr = o(h2 )
(1.11)
De(3)y (4) se tiene para aproximar la primera derivada parcial respecto a y las f´ormulas y errores. Progresiva ∂u u(x∗ , y ∗ + k) − u(x∗ , y ∗ ) ≈ (1.12) ∂y k Etr = 0(k) Regresiva ∂u u(x∗ , y ∗ ) − u(x∗ , y ∗ − k) ≈ ∂y h
(1.13)
Etr = 0(k) Centrada
u(x∗ , y ∗ + k) − u(x∗ , y ∗ − k) ∂u ≈ ∂y h
(1.14)
Etr = 0(k 2 ) Para aproximar la segunda derivada parcial de u respecto a x en el punto (x , y ∗ ) podr´ıa, sumarse (11) con (12) lo que nos conducira a la f´ormula. Centrada ∂u2 u(x∗ − h, y ∗ ) − 2u(x∗ , y ∗ ) + u(x∗ + h, y ∗ ) ≈ (1.15) ∂x2 h2 ∗
Etr = 0(h2 ) Y sumando (3) con (4) se obtendr´a. u(x∗ , y ∗ − k) − 2u(x∗ , y ∗ ) + u(x∗ , y ∗ + k) ∂u2 ≈ ∂y 2 k
(1.16)
Etr = 0(k 2 ) Para aproximar la segunda derivada cruzada podran sumarse (5) y (8) y a esto restarle (6) y (7) y tendremos:
1. Introducci´ on
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∂2u u(x∗ + h, y ∗ + k) − u(x∗ − h, y ∗ + k) − u(x∗ + h, y ∗ − k) + u(x∗ − h, y ∗ − k) ≈ ∂x∂y 4hk (1.17) k3 h3 2 Etr = 0( , h , hk, k 2 , ) k h GENERALIDADES SOBRE EL TRATAMIENTO DE UN PRO´ BLEMA DE EVOLUCION El tratamiento num´erico mediante diferencias finitas de este tipo de problemas se fundamenta en dos pasos: en primer lugar se produce a realizar una discretizaci´on temporal del problema y tras ello se realiza una discretizaci´on espacial, mediante un esquema de diferencias finitas como los esquemas planteados. Siendo sencilla la idea sobre la que se sustenta los esquemas num´ericos en diferencias finitas para la resolucin aproximada de problemas evolutivos como el antes planteado, aparecen nuevas cuestiones que ser´a necesario analizar tales como, ¿Qu´e relaci´on debe haber entre el tama˜ no de paso temporal y los tama˜ nos de discretizaci´on espacial para garantizar la convergencia ?; ¿Qu´e error es de esperar que tengan las soluciones obtenidas mediante este este esquema num´erico ? ¿c´ ual es la diferencia entre la soluci´on exacta unj sobre los puntos de la malla y la soluci´on aproximada Ujn ? etc. ´ (ERROR DE TRUNCAMIENTO DEFINICION
τ
)
Dado el problema Lu = f L : Operador diferencial, complementado con ciertas condiciones del problema lleva a Lh U = fh Lh :Aproximaci´on al operador diferencial. Definimos error de truncatura como Lh u − fh = τ El cu´al es la cantidad por la que solucion exacta no satisface el esquema num´erico (Es lo que hay que eliminar a la EDP para para obtener las ecuaciones discretas)
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1.3. Preliminares
´ (CONSISTENCIA) DEFINICION Un m´etodo es consistente con el problema en una cierta norma discreta de