Cap´ıtulo 1

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Cap´ıtulo 1 EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE ´ HISTORICO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Ver parte I 1 Cap´ıtulo 2 INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL Ver parte I 2 Cap´ıtulo 3 ´ DE CONCEPTOS HACIA LA TEOR´IA DE LA EVOLUCION RELATIVIDAD Ver parte II 3 Cap´ıtulo 4 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEOR´IA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Ver parte II 4 Cap´ıtulo 5 ´ EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DINAMICA 5.1. Nuevo concepto de masa En la f´ısica cl´asica se define el momento de un cuerpo en movimiento como el producto de su masa por la velocidad que lleve. La masa se considera una propiedad constante de la materia. Sin embargo, para la Teor´ıa Especial de la Relatividad la masa de una part´ıcula no es una constante, sino que es funci´on de la velocidad. Estudiemos la colisi´on el´astica de dos part´ıculas A y B con igual masa y rapidez como se ve en la figura 5.1 a). Para el observador O en reposo con respecto al punto de colisi´on, la componente de la velocidad de cada part´ıcula, paralela al eje x de su sistema de referencia, conserva la magnitud, la direcci´on y el sentido despu´es del choque, mientras que la componente paralela al eje y invierte su sentido. El observador O’ en movimiento relativo respecto al primero registrar´a el mismo fen´omeno con velocidades primadas (figura 5.1 b)). Definamos el momento, tanto de A como de B, de la forma p = m(v) .v, siendo m(v) el valor de la masa de cada part´ıcula en funci´on de su rapidez v. Como en el eje x no se notan cambios para el movimiento de cada part´ıcula, el cambio de momento de A y B s´olo se dan en el eje y . Espec´ıficamente, O’ registra los siguientes cambios de momentum: ∆pB = m(vB0 ) .vB0 y − (−m(vB0 ) .vB0 y ) = 2m(vB0 ) .vB0 y para la part´ıcula B, y ∆pA = −m(vA0 ) .vA0 y − m(vA0 ) .vA0 y ) = −2m(vA0 ) .vA0 y para la part´ıcula A. La ley de la conservaci´on del momento establece que el momento vertical perdido por una de las part´ıculas es igual al ganado por la otra, de manera que ∆pB + ∆pA = 0. Por lo tanto, 2m(vB0 ) .vB0 y + (−2m(vA0 ) .vA0 y ) = 0 ⇒ m(vA0 ) .vA0 y = m(vB0 ) .vB0 y 5 Figura 5.1: Conservaci´on del momento m(vA0 ) = m(vB0 ) vB0 y (5.1) vA0 y Expresemos ahora las componentes de las velocidades de A y B registradas por O’ en funci´on de las verificadas por O de acuerdo a las ecuaci´ones (??) y (??) despu´ es del choque el´ astico, , como lo sugiere la figura 5.1 b), esto es q −vA0 x = (−vx )−V V (−vx ) 1− 2 c vB0 x = vx −V 1− V v2x c = −vx −V 1+ V v2x , y tambi´en −vA0 y = c y as´ı mismo, vB0 y = q 2 1− V 2 c 1− V v2x q 2 1− V 2 c V (−vx ) 1− c2 (−vy ) = −vy 2 1− V 2 c 1+ V v2x c vy c Los resultados q en las siguientes f´ormulas obtenidas por an´alisis vecq anteriores se reemplazan 0 0 0 0 torial: vA = (vAx )2 + (vAy )2 , y, vB = (vB0 x )2 + (vB0 y )2 as´ı: v q q u V2 u 2 + (v )2 (1 − V 2 ) 1 − (v + V ) x y 2 v + V t c c2 x vA0 = ( )2 + (vy )2 = V vx V vx V vx 1 + c2 1 + c2 1 + c2 q s 2 2 (1 − V 2 ) (vx − V )2 + (vy )2 (1 − Vc2 ) (v ) v − V y 2 x c vB0 = ( )2 + = 1 − Vcv2x (1 − Vcv2x )2 1 − Vcv2x Como los efectos relativistas se manifiestan en la direcci´on en que se da el movimiento relativo entre los observadores O y O’ (eje x en este caso), podemos tomar vy −→ 0, lo que conduce a que: 6 vA0 −→ vx + V 1 + Vcv2x vB0 −→ vx − V 1 − Vcv2x Ahora bien, de todos los observadores inerciales es l´ıcito seleccionar O’ como aquel cuya velocidad sea V = |vBx | = |vAx | = vx = v con respecto a O, es decir , que O’ se mueve con velocidad igual a la componente positiva de vB en el eje x. Bajo estas condiciones, las ecuaciones anteriores se reducen a: vA0 −→ q vB0 y vA0 y = 2v =u 1 + v 2 /c2 vB0 −→ 0 (5.2) (5.3) 2 1− V 2 vy q 2 1− V 2 c 1− V v2x c vy c 1+ V v2x = 1 + v 2 /c2 = 1 − v 2 /c2 1 1−v 2 /c2 1+v 2 /c2 1 1 q =q = = 1−v 2 /c2 2 1−2v 2 /c2 +v 4 /c4 ( 1+v2 /c2 ) (1+v 2 /c2 )2 c 1 q (1+v 2 /c2 )2 −4v 2 /c2 (1+v 2 /c2 )2 vB0 1 1 1 =q =p = 0y =q 2v/c 2v/c vAy 2 2 1 − u2 /c2 1 − ( 1+v 1 − ( 1+v 2 /c2 ) 2 /c2 ) con u la velocidad obtenida de la ecuaci´on (5.2). Finalmente la ecuaci´on (5.1) se transforma en: 1 m(u) = m(0) p 1 − u2 /c2 (5.4) Esta es la ecuaci´ on m´ as importante de la mec´ anica en la Teor´ıa de la Relatividad Especial. La masa de una part´ıcula no es una constante, sino que es una funci´on de la velocidad u de la part´ıcula; para u = 0 la masa se denomina ”masa en reposo” y se representa por m(0) o en forma m´as sencilla por m0 . He aqu´ı la modificaci´on esencial del concepto de masa: este t´ermino no designa u ´nicamente a la cantidad de materia que conforma a cada m´ovil, sino tambi´en a su inercia, la cual aumenta en virtud de su movimiento. 7 Figura 5.2: Momentos en la f´ısica cl´asica y en la f´ısica relativista La versi´ on newtoniana tiene la marca n y la einsteniana tiene la marca e 5.2. 5.2.1. Nuevas cantidades din´ amicas Momento o cantidad de movimiento Como ya se dijo, se define como m0 u ρ = m(u) u ⇒ ρ = p 1 − u2 /c2 para un m´ovil que, a la velociudad u, tiene una masa m(u). La figura (5.2) compara las definiciones cl´asica (Newton) y relativ´ıstica (Einstein) de la masa y el momentum. N´otese la coincidencia de ambas definiciones para bajas velocidades en comparaci´on con c, y en particular, la coincidencia de la masa newtoniana con la masa relativista en reposo. 5.2.2. Fuerza Manteniendo la validez del principio de inercia, que implica que los cambios de momentum de un m´ovil se deben a la acci´on de fuerzas sobre ´el, podemos establecer el siguiente razonamiento, involucrando la anterior definici´on relativ´ıstica del mometum: dm(u) u dm(u) dρ du F = ⇒F = = m(u) +u dt dt dt dt Por consiguiente: dm(u) F = m(u) a + u dt Aplicando regla de la cadena en el segundo t´ermino: dm/dt = dm du = a(dm/du) du dt As´ı: F = a(m + udm/du) 8 Entonces, la diferencia se debe al incremento de la masa relativ´ıstica con la velocidad, lo cual respalda la idea de que la masa relativ´ıstica establece la inercia del m´ovil a la velocidad u: Mientras mayor sea la velocidad, la fuerza que hay que aplicar para cambiar el momentum es mayor. 5.2.3. Trabajo Siguiendo la definici´on de trabajo W realizadoRpor una Rfuerza F Rsobre un Rm´ovil, a lo largo de su trayectoria de movimiento, se obtiene W = F dr = dρ dr = dρ dr = d(m(u) u)u dt dt R R Diferenciando, W = (m(u) du + udm(u) )u = (m(u) udu + u2 dm(u) ) Para hallar el valor del par´entesis procedemos de la siguiente forma: m(u) = m = √ m0 1−u2 /c2 ⇒ m2 (1 − u2 /c2 ) = m20 ⇒ m2 − m2 u2 /c2 − m20 = 0 Diferenciando,2mdm − d(m2 u2 )/c2 − 0 = 0 ⇒ 2mdm − 2mdm − 2m2 udu c2 − 2mu2 dm c2 = 0 ⇒ dm − mu du c2 − u2 dm c2 1 (m2 du2 c2 + u2 dm2 ) = 0 =0 Amplificando por c2 y reorganizando se obtiene: mudu + u2 dm = c2 dm ´ Este es el valor del par´entesis que est´abamos buscando de la integral anterior. Por lo tanto: W = R c2 dm ⇒ W =c 2 Z dm (5.5) ´ Esta f´ormula establece una nueva interpretaci´on del trabajo: en Teor´ıa de la Relatividad el trabajo est´ a asociado al cambio de masa relativista que experimenta un cuerpo en virtud del movimiento Manteniendo el principio de inercia, el trabajo es ejercido por una fuerza al ser aplicada sobre un m´ovil a lo largo de su trayectoria. Esto hace del trabajo una cantidad .externa”. Pero su resultado es el cambio de energ´ıa del m´ovil, que significa un cambio de su estado mec´anico. Por lo que este cambio es una respuesta ”propia”del m´ovil. As´ı, en la ecuaci´on de trabajo tenemos una relaci´on de causa-efecto. Ahora bien, cl´asicamente ese cambio de estado se manifiesta en un cambio de velocidad (energ´ıa cin´etica), porque la masa es un atributo invariante, al menos en el caso de part´ıculas. Pero en el caso relativ´ıstico, un cambio de energ´ıa se manifiesta como cambio de inercia, es decir, de masa relativ´ıstica. Representando dicho cambio de energ´ıa por K resulta: Z m 2 K=c dm = mc2 − m0 c2 ⇒ K + m0 c2 = mc2 m0 9 Figura 5.3: Variaciones de la energ´ıa desde la f´ısica cl´asica y la f´ısica relativista La versi´ on newtoniana tiene la marca n y la einsteniana tiene la marca e La energ´ıa mec´anica total de la part´ıcula, que representamos mediante la letra E, es la suma K + m0 c2 . Luego: E = K + m0 c2 E = mc2 m0 c2 E=p 1 − u2 /c2 (5.6) (5.7) (5.8) La figura 5.3 establece un paralelo entre las versiones cl´asica y relativista para las energ´ıas cin´etica y mec´anica de un cuerpo en movimiento. Seg´ un la f´ısica cl´asica, no hay l´ımite para los valores de u y por lo tanto, tampoco lo hay para la energ´ıa cin´etica o mec´anica, puesto que seg´ un Newton, K = E = 21 mu2 . En contraste, en la mec´anica relativ´ıstica de Einstein se tiene que K = (m − m0 )c2 , con la condici´on de que K es una cantidad real y finita, lo cual como es de esperar, impone que m tambi´en lo sea. En consecuencia, u < c es una condici´on necesaria para asegurar esta expresi´on. Es decir, m´oviles con masa en reposo no-nula y masa relativista finita se deber´an mover con velocidades menores que la de la luz. En efecto, su curva de energ´ıa vs velocidad presentar´a un comportamiento asint´otico hacia la as´ıntota vertical u = c, creciendo indefinidamente cuando u tiende a c. En otras palabras, para llevar un objeto masivo desde el reposo hasta que adquiera la velocidad de la luz, es necesario a˜ nadirle una cantidad infinita de energ´ıa. Como es imposible acumular y usar una cantidad infinita de energ´ıa, concluimos que ning´ un objeto masivo se puede llevar hasta la velocidad de la luz; la velocidad relativa entre dos observadores inerciales es siempre menor que c. Por otra parte, de la gr´afica de E(vs)u, la energ´ıa mec´anica newtoniana es cero cuando u = 0, es decir, para ´el un cuerpo en reposo carece de energ´ıa cin´etica. Por lo tanto, su energ´ıa mec´anica total igualar´a a la energ´ıa potencial, cuyo valor es arbitrario, es decir, puede tomarse como nulo sin afectar el estado mec´anico de reposo. En contraste, seg´ un la ecuaci´on (5.8), la energ´ıa mec´anica relativ´ıstica total en estado de reposo no es nula sino igual a mo c2 , cantidad 10 denominada energ´ıa mec´anica de reposo, la cual est´a determinada por la masa en reposo del m´ovil y es una cantidad significativa en virtud del factor c2 . Energ´ıa relativ´ıstica del campo electromagn´ etico La teor´ıa corpuscular einsteniana sobre la luz establece que ´esta se encuentra conformada por part´ıculas m´oviles denominados fotones. Los fotones se hallan siempre en movimiento a la velocidad c de la luz; poseen energ´ıa que corresponde, seg´ un Max Planck, al producto de la frecuencia f por la constante h de Planck (E = h × f ). Einstein demostr´o que la energ´ıa y la masa eran equivalentes (E = mc2 ). As´ı pues, la energ´ıa en reposo cero de un fot´on debe actuar como una masa en reposo cero Mo medible por Mo = Eo /c2 = hf /c2 . Cuando una masa se mueve adquiere un momento. Como un fot´on circula a la velocidad de la luz, su momento debe ser el producto de c por Mo , es decir, ρf oton = c × hf /c2 = hf /c = Eo /c De hecho, a ra´ız de esta masa Mo , la luz sufre de ca´ıda libre en campos de gravitaci´on intensos, como cualquier cuerpo m´asico, es decir, puede interactuar gravitacionalmente, y adem´as puede transferir momentum a trav´es de colisiones. 5.2.4. Aceleraci´ on Ya vimos que la fuerza en la Teor´ıa de la Relatividad Especial se define como: F = m(u) dm(u) du +u dt dt (5.9) y de la ecuaci´on (5.7) se sigue: m = E/c2 ⇒ dm/dt = 1 dE c2 dt = 1 d (m0 c2 c2 dt + K) , esto es 1 dK dm = 2 dt c dt (5.10) La variaci´on de energ´ıa cin´etica relativ´ıstica dK es el resultado de un trabajo diferencial F dr. Por lo tanto, 1 dr 1 dm/dt = 2 F. = 2 F.u (5.11) c dt c Al reemplazar este resultado en la ecuaci´on (5.9) queda: F = ma + u F.u F F.u ⇒a= −u 2 2 c m mc F (1 − u2 /c2 ) ⇒ m F a= (1 − u2 /c2 )3/2 mo a= 11 (5.12) Figura 5.4: Aceleraci´on como funci´on de la raz´on de velocidades v/c Cuando la velocidad v se aproxima a la velocidad de la luz c, la aceleraci´on se anula. Si v es despreciable frente a c, la aceleraci´ on se resume a la segunda ley de Newton, es decir, a = F/mo si u es mucho menor que c, la fuerza relativista se aproxima a la definici´on newtoniana a = F/mo La figura 5.4 describe la reducci´on de la aceleraci´on conforme la raz´on v/c se incrementa hacia la unidad, caso en el cual la aceleraci´on se hace cero y el movimiento se vuelve entonces uniforme a la velocidad de la luz. Conforme v/c se hace tan peque˜ na, en las proximidades de cero, la aceleraci´on obedece la segunda ley de Newton; esto nos indica las limitaciones de las leyes de Newton a muy altas velocidades. Dela ecuaci´on (5.12) se desprende F = amo (1 − u2 /c2 )3/2 Seg´ un la mec´anica de Newton, el m´ovil responde a la acci´on de la fuerza aceler´andose. Esta es una manifestaci´on de su inercia. A velocidades relativ´ısticas, la inercia crece significativamente, hasta el punto de que una fuerza finita no causa reacci´on sobre el m´ovil. Para obtener una reacci´on visible en el m´ovil, la fuerza deber´a tambi´en crecer. Por eso la luz ¸cae”si el campo gravitacional es tan intenso como el de un agujero negro. 12 5.3. La masa en la Teor´ıa Relativista 1 La masa de un cuerpo no es sino la medida de su inercia, o sea la resistencia que la masa a todo cambio de movimiento. De acuerdo a la Din´amica cl´asica, la relaci´on entre dos masas se puede medir por medio de las aceleraciones que una misma fuerza les comunica. De esta manera la inercia de un cuerpo, o lo que es su masa, puede ser medida mediante la aceleraci´on que le imprime cierta y determinada fuerza, pero cabe preguntarnos ¿qu´e es una aceleraci´on?. Es la variaci´on de la velocidad en la unidad de tiempo. De acuerdo a ello, en la medici´on de la magnitud de una masa, entra como elemento decisivo, el valor del tiempo, pero como lo indica el concepto de tiempo propio, el segundo de un sistema que se halla en movimiento es m´as largo que el de uno que se encuentra en reposo; por consiguiente, la magnitud de la masa que se determina mediante la unidad de tiempo variable, tampoco puede ser absoluta y constante sino variable irremediablemente. Para la ciencia tradicional, la masa era una invariante, es decir, una cantidad fija, o como dicen los matem´aticos, una magnitud absoluta, constante, que permanec´ıa id´entica a s´ı misma aunque cambiara de sistema de referencia. Por eso, para la F´ısica cl´asica, la masa en reposo y la masa en movimiento eran exactamente iguales. De la identidad de la masa en reposo y en movimiento de acuerdo a la concepci´on newtoniana, se derivaba una consecuencia l´ogica: la fuerza necesaria para producir cierta aceleraci´on de un cuerpo era igual, cualquiera que fuese la velocidad de ese movimiento. La teor´ıa de la relatividad, en cambio, llega a conclusiones completamente opuestas: la masa es una magnitud variable que aumenta con el movimiento; por eso la masa de un cuerpo en movimiento es mayor que la masa del mismo cuerpo en reposo, de donde se desprende una conclusi´on muy evidente: si la masa aumenta con el movimiento, la fuerza requerida con el fin de producir una determinada aceleraci´on ser´a variable, aumentando con el aumento de la velocidad. ¿C´omo es posible demostrar el aumento de las masas de objetos en movimiento? Dentro de un tubo, en el que se ha practicado el vac´ıo y se provoca por la acci´on de la corriente una descarga, el polo negativo (c´atodo) arroja enormes cantidades de electrones los que se dirigen al polo positivo (´anodo); estos electrones ”volando” libremente en el vac´ıo son tanto m´as r´apidos cuanto m´as grande es la diferencia de potencial entre los polos; estamos pues en condiciones de acelerar o retardar dichos electrones. Si el tubo de rayos cat´odicos se rodea de un campo el´ectrico, coloc´andolo entre dos placas cargadas, la carga positiva atraer´a a los electrones y como consecuencia el haz de electrones se desviar´a de su trayectoria rectil´ınea. El valor de la desviaci´on del haz electr´onico depender´a tanto de su velocidad como de su masa; cuanto m´as grandes sean la velocidad y la masa, tanto m´as peque˜ na ser´a la desviaci´on. Las experiencias m´as c´elebres con respecto a la desviaci´on que un haz electr´onico experimenta bajo las acciones de campos el´ectricos y magn´eticos fueron llevadas a cabo por los f´ısicos suizos GUYE y LAVANCHY. Cuando los electrones alcanzaban una velocidad cercana a los 165.000 1 Aparte tomado de Jorge Quiroga en su obre F´ısica, Primera Parte (1975), p 108-110. Editorial Bedout S. A.; Medell´ın-Colombia. 13 kil´ometros por segundo, su masa experimentaba un aumento del 15 por ciento, en comparaci´on con la que ten´ıa en reposo. Una consecuencia de trascendental importancia derivada de la observaci´on del acrecentamiento de la masa con el aumento de velocidad, ha sido el conocimiento de las relaciones entre la energ´ıa y la masa. Un cuerpo en reposo no posee energ´ıa cin´etica, la adquiere cuando se pone en movimiento. Puesto que la masa del cuerpo crece si su velocidad aumenta, el acrecentamiento de su energ´ıa acontece simult´aneamente con el de su masa. Por el contrario, si la energ´ıa disminuye, disminuye tambi´en la masa. El hecho de que la masa y la energ´ıa experimenten variaciones que se producen paralelamente llev´o a Einstein a afirmar que, energ´ıa y masa son dos aspectos de una misma entidad f´ısica y avanzando en el estudio de estas relaciones sostuvo que la energ´ıa no es sino masa rarificada y la masa energ´ıa condensada. Como s´ıntesis de sus estudios leg´o a la humanidad una importante f´ormula por medio de la cual es posible determinar cuantitativamente la energ´ıa que pueda obtenerse de una determinada masa, la f´ormula muy conocida en la ´epoca actual tiene como expresi´on anal´ıtica: E = m.c2 5.4. Experimento mental para la deducci´ on de la famosa ecuaci´ on de Einstein que relaciona energ´ıa y masa 2 En 1946, Einstein escribi´o una demostraci´on de tal f´ormula para el Technion Journal que no hac´ıa uso de la teor´ıa de la relatividad, sino tan s´olo de unas premisas b´asicas. Examinemos el m´etodo empleado. Supongamos, como Einstein sugiere, que aceptemos ´estos cuatro principios: - Que el principio de relatividad especial es correcto, es decir, que todos los marcos de referencia no acelerados son equivalentes. Ning´ un marco de referencia se halla en el ”verdadero” reposo y s´olo los movimientos relativos tienen significado f´ısico. - Que el momento se conserva; al fin y al cabo, este principio es un art´ıculo de fe incluso en la f´ısica cl´asica. Para la materia ordinaria, el momento es igual a la masa multiplicada por la velocidad. La conservaci´on del momento significa que si, por ejemplo, sumamos todos los momentos de todas las bolas en una mesa de billar inmediatamente antes de que choquen unas con otras y repetimos el mismo c´alculo tras la colisi´on, el resultado ser´a el mismo. - Que la radiaci´on posee un momento; se trata de un hecho verificado experimentalmente y aceptado desde hace mucho. (Es sabido por ejemplo, que lo que empuja hacia el exterior la cola de los cometas es la luz del sol). 2 Aparte tomado y complementado de Graham Farmelo de su obra F` ormulas Elegantes (2004), p 71-74. Editorial TusQuets; Barcelona-Espa˜ na. 14 - Que un observador en movimiento ve una fuente de luz como si esta sufriera un cambio en su a´ngulo aparente (”aberraci´on estelar”). En otras palabras, se conoc´ıa desde hac´ıa mucho que un observador en la Tierra, por ejemplo, ve la luz de las estrellas como si procediera de un punto desplazado un peque˜ no a´ngulo ø respecto a la posici´on verdadera de la estrella en el cielo. Ese a´ngulo depend´ıa de la velocidad de la tierra, V , y se aceptaba generalmente que, para velocidades peque˜ nas comparadas con la de la luz (c), ø ≈ V/c (5.13) Sup´ongase, dec´ıa Einstein, que en el espacio profundo tenemos un marco de referencia (el ”marco en reposo” ), el cual podr´ıamos imaginar como un trasbordador espacial con los motores apagados, muy lejos de cualquier objeto como una estrella o un planeta que pudiera ejercer una fuerza gravitatoria significativa sobre ´el (ver figura 5.5). En ´este marco e reposo, un libro flota inm´ovil en medio del transbordador, antes de que dos l´amparas de flash, ubicadas a id´entica distancia en los extremos, env´ıen cada una un destello luminoso de energ´ıa E/2 directamente hacia el libro. (E es la energ´ıa total que aportan las dos l´amparas). La luz procedente de ambos flashes es absorbida entonces por el libro, que ve incrementada su energ´ıa en una cantidad E. Figura 5.5: Un trasbordador en las profundidades del espacio actuando como un sistema de referencia en reposo absoluto ”ideal”; una nave rusa se mueve con respecto a ´el Ahora, continuaba Einstein, observemos el mismo proceso desde un marco de referencia ”en movimiento” (por ejemplo, una nave espacial rusa) que se desplazar´a uniformemente hacia ”abajo” con velocidad v; observarla en la misma figura anterior. Vista desde este marco, la escena resulta ligeramente distinta. Contemplado desde la nave espacial rusa, antes de ser alcanzado por la luz de las dos l´amparas, nuestro valioso libro se ve´ıa movi´endose hacia arriba con una velocidad v; recordemos que el movimiento es relativo; (si un punto A se aleja del punto B en reposo es porque B se aleja de A en sentido contrario). Esto quiere decir que, en el nuevo marco de referencia, antes de que los haces alcancen el libro, de masa inercial en reposo M, el momento del citado libro vale M.v. La teor´ıa cl´asica de la luz nos dice que el momento de cada destello de luz vale exactamente E/2c. Verifiqu´emolo en forma sencilla: Por f´ısica cl´asica, el momento se define como ρ = m.∆v = f.∆t, ya que f = m.a = m.∆v/∆t 15 Pero f.∆t = (f.∆d).∆t/∆d, siendo ∆d el cambio de desplazamiento. Cuando el movimiento es uniforme la aceleraci´on se requiere hasta tanto el cuerpo adquiere la velocidad final, instante en el cual cesa la fuerza y y la velocidad permanece constante. Si el cuerpo parte del reposo, los valores iniciales son cero y los incrementos se reducen a los valores finales. Por consiguiente, en ´este caso, ρ = m.(f.∆d).∆t/∆d = m.(f.d).t/d Llamando E 0 = f.d , entonces el momento se redefine como ρ = E 0 × t/d = E 0 × 1/(d/t) = E 0 × 1/v = E 0 /v Esta expresi´on nos est´a diciendo que el valor del momento es igual a la energ´ıa requerida para alcanzar la velocidad final, dividida por el valor de dicha velocidad. Para el caso de un destello luminoso E 0 = E/2 (cada destello aporta la mitad de la energ´ıa total) y v = c. Resulta, pues, que el momento de cada destello de luz ser´a ρ = (E/2),1/c = E/2c. Por otra parte, en el marco de la nave rusa la luz procedente de los flashes parece no viajar horizontalmente, sino que (por efecto de la aberraci´on) parte con un peque˜ no a´ngulo, ø ≈ v/c, respecto a la horizontal. V´ease la figura 5.6. Figura 5.6: Movimiento relativo entre los marcos de referencia del trasbordador y la nave rusa Desde la nave rusa el libro no se ve en reposo sino en movimiento en virtud del movimiento relativo entre ambos sistemas. Los haces de luz no viajar´ an horizontalmente sino en forma oblicua. En el marco de la nave espacial rusa, el momento del libro tras ser alcanzado por la luz de los flashes es igual a la suma del momento original ascendente (M.v) m´as el momento que el libro recibe del impacto de los dos haces de luz, que en este marco de referencia llega con un ”´angulo de aberraci´on”. En consecuencia, los haces de luz contribuyen con un momento de magnitud Ev/c2 al momento inicial del libro que ya val´ıa M.v. Comprob´emolo tambi´en en t´erminos simples (figura 5.7): 16 Figura 5.7: Los dos rayos luz contribuyen con un momento de magnitud Ev/c2 Momento resultante vertical de los dos haces de luz: ρy = (E/2c)senø + (E/2c)senø = 2(E/2c)senø = (E/c)senø Los momentos horizontales se anulan por quedar en sentidos contrarios. El valor de ø es muy peque˜ no y por teor´ıa de l´ımites, l´ım sin ø = ø ø→0 Momento resultante vertical de los haces de luz es ρy = (E/c).ø Ahora, de la ecuaci´on 5.13 resulta ρy = (E/c).v/c. Momento resultante de los dos haces de luz ρy = E.v/c2 Tras la absorci´on de la luz, el momento total del libro en el marco de referencia de la nave rusa es igual al momento inicial m´as el momento aportado por los haces de luz: M.v + Ev/c2 . Aunque el momento del libro se ha incrementado, su velocidad final hacia ”arriba” sigue siendo v, la misma, en valor absoluto, de la nave rusa. (La velocidad del libro en el marco de referencia de la nave rusa ha de continuar siendo v necesariamente: en el marco del trasbordador espacial, los haces de luz inciden en direcciones opuestas, con lo que el libro sigue estacionario; as´ı pues, tras la absorci´on, el libro sigue movi´endose a velocidad v respecto a la nave rusa. Por lo tanto, seg´ un Einstein, la absorci´on de energ´ıa ha tenido qu´e incrementar la masa del libro; puesto que la velocidad del libro no aumenta, es la u ´nica manera de justificar que el momento sea mayor. Si llamamos M’ a la masa final del libro, desde el marco de referencia de la nave rusa obtenemos: Momento final del libro ρ = M.v + E.v/c2 = M 0 .v Dividiendo la ecuaci´on anterior por v y restando M a ambos lados resulta: M + E/c2 = M 0 ⇒ M + E/c2 − M = M 0 − M ⇒ E/c2 = M 0 − M Despejando luego el valor de E resulta: E = (M 0 − M ).c2 Si expresamos abreviadamente M 0 − M (diferencia entre la masa del libro antes y despu´es de la llegada de los destellos de luz) como m, masa adquirida, llegamos al objeto de nuestros 17 deseos: E = m.c2 Ahora bien, dado que toda forma de energ´ıa siempre puede ser convertida en otra, el resultado no es solamente aplicable a los haces de luz. Por el contrario, significa que cualquier forma de energ´ıa se a˜ nade a la masa inercial: una bola de billar caliente tiene m´as masa que una fr´ıa y un planeta en rotaci´on es m´as masivo que uno que estuviera inm´ovil. De hecho, si a la masa se le permite convertirse en energ´ıa, lo har´a. ¿Qu´e es lo que pone l´ımite a estos cambios? Las leyes de conservaci´on: una ley de conservaci´on es una afirmaci´on de que ciertas magnitudes no cambian en un sistema cerrado; por ejemplo, no podemos crear una carga el´ectrica de la nada. El momento (la tendencia de un cuerpo a moverse en l´ınea recta una vez se ha puesto en marcha) permanece constante, salvo que apliquemos una fuerza. Debido a ´estas leyes de conservaci´on, en la teor´ıa de la relatividad un u ´nico electr´on no puede desvanecerse, transform´andose en pura energ´ıa, ya que esto alterar´ıa la carga el´ectrica del universo. Ahora bien, si un electr´on choca con un anti-electr´on (que tiene la carga opuesta), la historia es muy diferente. En este caso, la suma de las cargas es cero; para la masa conjunta del electr´on y el positr´on s´ı resulta posible la transformaci´on total de energ´ıa. En sentido inverso respetando siempre las leyes de conservaci´on, la energ´ıa pura tambi´en puede convertirse en masa (por ejemplo, en un electr´on m´as un positr´on). 18 Cap´ıtulo 6 ´ DIDACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Ver parte IV 19 Cap´ıtulo 7 DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Ver parte V CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS: Ver parte V ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: Ver parte V 20 ´Indice de figuras 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. Conservaci´on del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentos en la f´ısica cl´asica y en la f´ısica relativista . . . . . . . . . . . . . . . Variaciones de la energ´ıa desde la f´ısica cl´asica y la f´ısica relativista . . . . . . . Aceleraci´on como funci´on de la raz´on de velocidades v/c . . . . . . . . . . . . . Un trasbordador en las profundidades del espacio actuando como un sistema de referencia en reposo absoluto ”ideal”; una nave rusa se mueve con respecto a ´el 5.6. Movimiento relativo entre los marcos de referencia del trasbordador y la nave rusa 5.7. Los dos rayos luz contribuyen con un momento de magnitud Ev/c2 . . . . . . . 21 6 8 10 12 15 16 17 ´Indice general ´ 1. EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE HISTORICO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 1 2. INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL 2 ´ DE CONCEPTOS HACIA LA TEOR´IA DE LA 3. EVOLUCION RELATIVIDAD 3 4. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEOR´ IA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 4 ´ 5. EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DINAMICA 5 5.1. Nuevo concepto de masa . . . . . . . . . . 5.2. Nuevas cantidades din´amicas . . . . . . . . 5.2.1. Momento o cantidad de movimiento 5.2.2. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . 5.3. La masa en la Teor´ıa Relativista . . . . . . 5.4. Experimento mental para la deducci´on de relaciona energ´ıa y masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la famosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ecuaci´on de . . . . . . . ´ 6. DIDACTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . que . . . 5 8 8 8 9 11 13 14 19 7. DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 20 CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 20 ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 20 22