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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
UNIDAD CURRICULAR FÍSICA I PROF. FIDIAS GONZALEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO DEPATAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA I PROF. FIDIAS GONZALEZ
UNIDAD II. VECTORES
Vectores 1. Conceptos básicos – 1.1 Magnitudes escalares y vectoriales – 1.2 Notación – 1.3 Tipos de vectores – 1.4 Componentes de un vector – 1.5 Cosenos directores 2. Operaciones con vectores – 2.1 Suma de vectores • 2.1.1 Método analítico para la suma y diferencia de vectores • 2.1.2 Método del paralelogramo • 2.1.3 Método del triángulo – 2.2 Producto de un vector por un escalar – 2.3 Producto escalar – 2.4 Producto vectorial – 2.5 Ángulo entre dos vectores – 2.6 Derivada de un vector
1.1 MAGNITUDES VECTORIALES
Y ESCALARES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ej.: La masa, el tiempo, la temperatura. 2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ej.: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, entre otro
3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ej.: El esfuerzo normal y cortante, la presión
VECTOR Vector Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el origen al extremo.
B
Extremo
AB Origen
A
•Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado AB *Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima
Elementos de un vector El módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB]
B
AB A
SE REPRESENTA
AB
Elementos de un vector Dirección de un vector: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Es al ángulo que forma el vector con el eje horizontal positivo “x” para el plano
Todos estos vectores tienen la misma dirección.
Elementos de un vector Sentido de un vector • Dos vectores con la misma dirección pueden tener el mismo sentido o distinto sentido. Según se realice el recorrido desde el punto origen al extremo del vector. Vectores con el mismo sentido
Vectores con distinto sentido
“El sentido del vector lo indica la punta de la flecha”
Elementos de un vector
r A
y
SENTIDO
Ѳ DIRECCIÍON x
1.3 Clase o tipos de vectores 1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.
u
v
2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.
1.3 Clase o tipos de vectores 3. Vectores fijos: Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación
F4
F3
F2 F1 r A 4. Vectores unitarios: vectores de módulo la U= eˆA = r A unidad.
1.3 Clase o tipos de vectores 5. Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
6. Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, la misma dirección pero sentido contrario. A
-A
1.3 Clase o tipos de vectores 7. Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
8. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano). A
A
1.3 Clase o tipos de vectores 9. Vectores equipolentes: Dos vectores A y B son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e idéntico sentido.
r A
r B
10. Vectores iguales: Dos vectores A y B son iguales si tienen igual módulo y dirección, idéntico sentido y el mismo punto de aplicación.
r A
r B
•Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo •Tanto en equipolencia como en igualdad entre los vectores dados r r la representación es A = B
1.3 Clase o tipos de vectores 11. Versor: de un vector no nulo es el vector unitario con la misma dirección y sentido que este.
r A u Ar = eˆ A
r r A = A eˆA
12. Vector nulo: Todos los segmentos nulos definen un único vector llamado vector nulo y se representa por O
1.4 Componentes de un vector Proyeción de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos. Definimos sobre cada eje un vector cuya longitud es 1 (vector unitario). Cada proyección puede ser representada en función del vector unitario respectivo. Vectores unitarios en el plano
y ˆj
ˆi
ˆi
Vector unitario en la dirección del eje x+
ˆj
Vector unitario en la dirección del eje y+
x
1.4 Componentes de un vector Representación de un vector en el plano
r A = Ax ˆi + Ay ˆj r Ay = A Senθ r Ax = A Cosθ
r A
y
Ay
ˆj
θ ˆi
x
Ax
Módulo del Vector A
r A = A = Ax2 + Ay2
r r A = A (Cosθˆi + Senθˆj ) Dirección del vector
θ = arctan g
Ay Ax
1.4 Componentes de un vector Vectores unitarios en el espacio z
kˆ ˆj
ˆi
y
ˆi Vector unitario en la dirección del eje x
+
x
ˆj
Vector unitario en la dirección del eje y+
kˆ Vector unitario en la dirección del eje Z+
1.4 Componentes de un vector Representación de un vector en el espacio Z
Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.
Az →
A
En la figura 0X = Axi
Ay 0
Ax X
0Y = Ayj 0Z = Azk
Y
De modo que A puede ser representado como una suma:
r A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ
1.4 Componentes de un vector Donde las compontes del vector A en el sistema cartesiano viene dado por: z
Ax = ACosφSenθ Ay = ASenφSenθ
Az = ACosθ
Az
φ Ax
Módulo del vector A
r A = A = Ax2 + Ay2 + Az2
x
θθ
A Ay
y
φ r A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ
r A= A >0
1.5 Cosenos- ángulos directores En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector r A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ ,a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base. z
φ r A
Ay Ax , Cosβ = r Cosθ = r A A
β θ x
y
Az Cosφ = r A
1.5 Cosenos- ángulos directores r Si: A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ r r r r Entones: A = A Cosθˆi + A Cosβˆj + A Cosφkˆ
r r Pero también: A = A e ˆA Por tanto se deduce que: En consecuencia:
eˆ = Cosθˆi + Cosβˆj + Cosφkˆ
eˆ = 1 = Cos 2θ + Cos 2 β + Cos 2 φ
2. Operaciones con vectores 2.1 Algebra vectorial Suma de vectores. Método analítico Dados vectores A y B en el espacio se define la suma de A+B como un nuevo vector definido mediante:
r r r r A = a x i + a y j + az k
r r r r B = bx i + by j + bz k
r r r r r A + B = ( ax + bx )i + ( ay + by ) j + ( az + bz )k Resta de vectores La resta de A con B se define como la suma de A con el opuesto de B
[ ( )]
r r r r r r r A − B = A + − B = (ax − bx )i + (ay − by ) j + (az − bz )k
2. Operaciones con vectores Suma de vectores. Propiedades
r r r r Conmutativa: A + B = B + A r r r r r r Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Elemento neutro:
r r r r A +O =O + A
r r r r r Elemento opuesto: A + ( − A ) = ( − A ) + A = O Observación:
r r r r A − B = −( B − A )
2. Operaciones con vectores Suma de vectores. Método grafico Método del paralelogramo Se representa los vectores(A,B) como puntos en el plano y en los cuales sus orígenes generalmente coincidan en el punto(0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector A, se grafica una paralela al vector B y en el extremo del vector B se grafica una paralela del vector A. La diagonal del paralelogramo que se forma es el vector suma o la respuesta.
r A
Dados los vectores
r B
y
r A
r B x
y
r A
r r A+B
r B
x
2. Operaciones con vectores Suma de vectores. Método grafico Método del triángulo
Se pone gráficamente el vector A como continuación del vector B, es decir, el origen del vector B coincide con la cabeza o extremo final del vector A. Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos. Dados los vectores
r A
r B
r B
Entonces A+B es:
r B
r A
r r A+B
2. Operaciones con vectores Suma de vectores. Método grafico Método del polígono Dados los vectores:
r B
r A
r C
La suma se define como:
r A r r r r S = A +B +C
r C r B
2. Operaciones con vectores Método grafico La diferencia entre los vectores U y V es igual a la suma de U con el opuesto de V
( )
u−v = u+ −v
( )
−v
u + −v O
u
−v
A
u+v
u−v u
O
v
u+v −v
v B
A
C
u
B
2. Operaciones con vectores 2.2. Producto de un escalar por un vector El producto de un vector por un escalar es otro vector. Decimos que este producto es una operación externa. El producto de un vector A por un escalar λ es otro vector que tiene la misma dirección que A, igual sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y cuyo módulo es el producto del módulo de A por el valor absoluto de λ r r dirección λA ≡ dirección A r sentido A sentido λA ≡ opuesto sent . A λA = λ ⋅ A
si λ ≥ 0 si λ ≤ 0
r A
r 2A
r −A
2. Operaciones con vectores 2.3. Producto de un escalar entre vectores El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B r r denotado por A • B y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.
r A r r r r A • B = A . B Cos θ
θ
r B
2. Operaciones con vectores Propiedades del Producto de un escalar 1.
r r r r r r Si u = 0 ó v = 0 ⇒ u ⋅ v = 0
2.
r r Si u ⊥ v
3.
r r r r r r r r Si u ⋅ v = 0 y u ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ u ⊥ v
4.
r r r r r r u ⋅ v = v ⋅ u , ∀u, v ∈ V2
5.
r r r r r r a u ⋅ v = au ⋅ v , ∀u, v ∈ V2 , ∀ a ∈ R
6.
r r uur r r r uur r ur uur u ⋅ v + w = u ⋅ v + u ⋅ w , ∀u, v,w ∈ V2
(
r r ⇒ u⋅v = 0
(El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0
Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0)
Propiedad conmutativa
) ( )
(
)
Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares
Propiedad “asociativa”
Propiedad distributiva
2. Operaciones con vectores Expresión analítica del producto de un escalar Dados los vectores A y B
r A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ
r B = Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ
Se define el producto punto como:
r r A • B = ( Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ ) • ( Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ ) r r A • B = ( Ax .Bx + Ay By + Az Bz ) EL PRODUCTO ESCALAR ENTRE DOS VECTORES ES IGUAL A UN ESCALAR
2. Operaciones con vectores Expresión analítica del producto de un escalar
r r A • B = ( Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ ) • ( Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ ) r r A • B = Ax Bx ( ˆi .ˆi ) + Ax By ( ˆi .ˆj ) + Ax Bz ( ˆi .kˆ ) + Ay Bx ( ˆj .ˆi ) + Ay By ( ˆj .ˆj ) + Ay Bz ( ˆj .kˆ ) +
Az Bx ( kˆ .ˆi ) + Az By ( kˆ .ˆj ) + Az Bz ( kˆ .kˆ )
2. Operaciones con vectores Expresión analítica del producto de un escalar
r r r r A • B = A . B Cos θ Analizando el producto escalar de los vectores unitarios
ˆj • ˆj = 1
ˆi • ˆj = 0 ˆi • kˆ = 0
ˆj • ˆi = 0 kˆ • ˆj = 0
kˆ • kˆ = 1
ˆj • kˆ = 0
kˆ • ˆi = 0
ˆi • ˆi = 1
r r A • B = ( Ax .Bx + Ay By + Az Bz )
2. Operaciones con vectores 2.2. Producto vectorial o producto cruz entre vectores El producto vectorial “(x)” entre los vectores A y B , da como resultado un tercer vector C perpendicular a los vectores A y B Se define el módulo del producto vectorial mediante
r r r C = AxB
r B
r r r r r C = A x B = A . B Sen θ Donde::
r r C⊥A
r r C ⊥B
θ
r A
2. Operaciones con vectores Expresión analítica del producto vectorial
r r AxB = ( Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ ) x ( Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ ) r r AxB = Ax Bx ( ˆi xˆi ) + Ax By ( ˆi xˆj ) + Ax Bz ( ˆi xkˆ ) +
Ay Bx ( ˆjxˆi ) + Ay By ( ˆjxˆj ) + Ay Bz ( ˆjxkˆ ) + Az Bx ( kˆxˆi ) + Az By ( kˆxˆj ) + Az Bz ( kˆxkˆ )
2. Operaciones con vectores Expresión analítica del producto Vectorial
kˆ r r r r A x B = A . B Sen θ
ˆi
+ ˆj
Analizando el producto escalar de los vectores unitarios
r ˆi xˆi = 0
r ˆjxˆj = 0 r kˆxkˆ = 0
ˆi xˆj = kˆ ˆi xkˆ = − ˆj
ˆjxˆi = −kˆ kˆxˆj = −ˆi
ˆjxkˆ = ˆi
kˆxˆi = ˆj
2. Operaciones con vectores Expresión analítica del producto de un escalar
r r AxB = ( Ay Bz − Az By )ˆi + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆj + ( Ax By − Ay Bx )kˆ
r i
r j
r k
r r A × B = Ax Ay Az B x B y Bz
2. Operaciones con vectores Propiedades del Producto vectorial 1. El producto vectorial no es conmutativo
r r r r AxB = −( BxA )
2. El producto vectorial es distributivo
r r r r r r r A x ( B + C ) = A x B + A xC 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
r r r r r r dAxB = d ( AxB ) = AxdB
4. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.
r r r r r AxB = O entonces AII B
2. Operaciones con vectores Propiedades del Producto vectorial 6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B
r r Area = AxB = A( Bsenθ ) = A(h)
2. Operaciones con vectores 2.5 Ángulo entre dos vectores Dados los vectores A y B
r A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ
r B = Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ
El ángulo que se forma entre ellos es:
r r A•B Cosθ = r r A B
r A θ
r B
2. Operaciones con vectores 2.6 Derivada de un vector Una magnitud vectorial es derivable respecto a un parámetro escalar, por ejemplo, el tiempo:
d r dx r dy r dz r r r= i+ j+ k =v dt dt dt dt Hemos obtenido una denominada VELOCIDAD.
nueva
magnitud
vectorial
2. Operaciones con vectores 2.6 Derivada de un vector Sea P la magnitud escalar, entonces la variación direccional de P se expresará como:
dP r dP r dP r i+ j+ k dx dy dz Es, evidentemente, una magnitud vectorial. Se denomina GRADIENTE de P. “Factorizando” el operador de derivación direccional, escribiremos finalmemente:
d r d r d r grad P = i + j + k P dy dz dx
2. Operaciones con vectores 2.6 Derivada de un vector Por otro lado, si deseamos conocer como varía la magnitud de un vector A con la dirección, escribiremos:
r r r dA r dA r dA r i+ j+ k dx dy dz
Si recordamos que:
r r r r A = Ax i + Ay j + Az k vemos que cada término es un producto escalar, y que la operación da como resultado un escalar.
2. Operaciones con vectores 2.6 Derivada de un vector
Esta operación se denomina DIVERGENCIA del vector A, y se escribe:
r d r d r d r r div A = i + j + k . A dy dz dx Puede apreciarse que se ha realizado una operación de producto escalar entre el operador de variación direccional y la magnitud vectorial analizada.
2. Operaciones con vectores 2.6 Derivada de un vector Finalmente, si el vector A gira, incluye el giro en su desplazamiento en en el espacio, la operación que nos permite conocer la variación de las componentes de A al girar se denomina rotor o rotacional de A, y se escribe:
r d r d r d v r rot A = i + j + k × A dy dz dx Es una operación de producto vectorial, y para calcularla se aplica a definición del producto vectorial
2. Operaciones con vectores 2.6 Derivada de un vector Resumiendo, si denotamos mediante ∇ (nabla) el operador de variación direccional, las tres operaciones de derivación direccional pueden reescribirse:
d r d r d r j + k P ∇P = grad P = i + dy dz dx r r d r d r d r r ∇.A = div A = i + j + k • A dy dz dx r r d r d r d r r ∇ × A = rot A = i + j + k × A dy dz dx