Aplicaciones De Estadística Circular A Problemas De

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Estadística Direccional: Considera los datos como vectores unidireccionales en el circulo •Vectores unitarios • en el plano • en el espacio 3D círculo esfera Algunos ejemplos circulares: • de vientos predominantes •Migración de aves direcciones • de flujo volcánico, piroclástico, surge • de proveniencia de sedimentos • de esfuerzos horizontales • Corrientes • rumbos de rasgos geológicos • días en el año con tormentas magnéticas • variación anual de precipitaciones Dra Ana María Walther ciclos 1 Representación Determino un punto de inicio y un sentido de giro para marcar cada dato 0 q r=1 Más de un dato en la misma dirección Lo marco con más de un punto Dra Ana María Walther 2 Datos agrupados en clases Histogramas lineales Histogramas circulares 30 25 20 15 10 5 0 0 60 120 180 240 300 360 30 25 20 15 10 5 0 -180 -120 -60 0 60 120 180 240 Dra Ana María Walther 300 360 420 480 540 3 Histograma circular: • área de cada barra proporcional a la frecuencia de la clase •cambio barras por sectores == Diagrama de Rosas • área de cada sector proporcional a la frecuencia de la clase • si las clases tienen anchos iguales, el radio de cada sector es proporcional a f Una manera de hacer la roseta es calcular el intervalo mayor como el 100% y se calculan los Dra Ana María Walther 4 demás con respecto a estos Diagramas de rosas N 100 Con clases de igual ancho cambio sectores por radios en centro de cada clase == representación lineal 50 100 50 El problema de emplear clases es que influye el agrupamiento usado 50 100 50 100 Dra Ana María Walther 5 Distribuciones Distribución unimodal Distribución bimodal Dra Ana Maríamultimodal Walther Distribución 6 Variables Axiales Si cada dirección es equivalente a la opuesta Para todo datos axiales: 0 N q=q+p 0 N 30 60º 30 Duplico ángulos 90º q 2q 120º 180º Dra Ana María Walther 7 Parámetros y Estadísticos Circulares cantidades que sirven para resumir los datos población muestra estadísticos escalares • desenrollar los datos • elegir un punto de corte Dra Ana María Walther 8 Cada dirección en el plano = vector unitario v. Elegimos una dirección inicial (norte =0) y una orientación (horaria) 0 x y • ángulo q , en radianes y con módulo 2p v • v = (cos q, sen q ) Dra Ana María Walther 9 Describir una muestra por características del conjunto • de posición - media - mediana • de concentración (o de dispersión) - Longitud de la resultante Medidas - Varianza - Rango circular • de asimetría • de curtosis Dra Ana María Walther 10 Medidas de posición 0 C R dirección Media q = resultante de la suma vectorial S n C   cosq i i 1 n S   senq i i 1 módulo R2 = C2 + S2     tg 1 S q  1 C tg S + p C Dra Ana María Walther si C  0 si C  0 11 dirección media = dirección del centro de masa de los vi v  (C ; S ) R ; R n C S con C  ; S n n R=0, q no queda definido q minimiza la dispersión Dra Ana María Walther 12 Dirección Media para datos axiales dirección media estará influenciada por la ubicación de los datos respecto al arco de 180° considerado. 0 N 0 N 30 Duplico ángulos q 30 2q Hay diferencias entre la media calculada con 2q y la hallada empleando las direcciones contenidas en el menor arco que abarque todos los datos. ambas medias solo coinciden en distribuciones simétricas, Dra Ana María Walther 13 distribución simétrica = medias coincidentes Distribución de frecuencias y medias calculadas con ángulos o con ángulos duplicados A B C tita 2tita 0 10 20 30 40 grados 50 60 70 Figura 23 distribuciones asimétricas con distintas curtosis las medias(2q) desplazadas hacia las modas Dra Ana María Walther 14 La dirección Mediana •mitad de datos en arco (qmd; qmd +p) Md fig. 3.3 •mayoría de datos +cerca de qmd que de (qmd +p) 50% 50% •n impar, qmd coincide con un dato •n par, qmd =punto medio del arco entre los 2 datos ubicados en la mitad Md + p Dra Ana María Walther 15 Medidas de concentración (o de dispersión) • Longitud de la resultante media R2 = C2 + S2 R/n  1 ... qi bien agrupados R/n  0 ... qi muy dispersos R/n da medida de concentración del conjunto de los datos, pero no es un valor eficaz: datos concentrados en sitios opuestos también dan R/n 0 Dra Ana María Walther 16 Varianza circular V  1 R con 0  V  1 presenta los mismos inconvenientes que R Desviación estándar circular (SD , v) (en radianes) Desviación estándar angular v   2 ln R  1 n D(q )   p  p  q i  q n i 1  dispersión en ángulos alrededor de la media Rango Circular  Longitud del arco mínimo que contenga todas las observaciones. Dra Ana María Walther 17 Medidas de Asimetría (skewness o sesgo) sˆ  R2 . sen(q 2  2q ) 1  R  3 2 R2=resultante media de ángulos 2qi. q2= dirección media de ángulos 2qi. Distribución asimétrica Mo y q no coinciden, la q tiende a situarse corrida respecto de la Mo para el lado de la cola más larga. Medidas de Curtosis (o elevación) R2 . cos(q 2  2q )  R ˆ K 2 1  R  Dra Ana María Walther 4 18 Caracterizar una distribución en el círculo unitario •de cada valor •de un intervalo Frecuencias: f(q) = función de la curva de probabilidad = fdp. fdp F(q) 0 q Dra Ana María Walther 2p 19 fdp Frecuencias: F(q) q 0 •de cada valor •de un intervalo [0;q] 2p F (x)= Prob(0  X  q), con 0 ≤ x ≤ 2p ( depende del punto elegido como 0) Función de distribución acumulada F(q) = Prob(0  X  q), F(x) F(q) 1 con 0  q  2p F(0)=0 0 0 Dra Ana María Walther 2p F(2p)=1 20 Distribución simétrica con media en 180° 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 F(q)= área bajo la curva de probabilidad entre 0 y un punto (q) dado f(q) = la curva representa la función densidad de probabilidad = fdp 0 0 1 0 270 270 90 90 180 Dra Ana María Walther 180 21 Modelos Circulares Distribución Uniforme 1 2p Básica 0 fdp Para Ho 1 2p La fdp de una dist uniforme es 1/2p No hay concentración en ninguna dirección 0.2 1 2p 0.15 fdp 1 f q   2p 0.1 r=0 Dra Ana María Walther 0.05 0 -180 -90 0 90 180 22 Función Distribución Acumulada F x   Pr ob0  q  x  Con, 0 ≤ x ≤ 2p 1 x F x     0 2p 2p   Pr ob(  q   )  2p x para      + 2p Propiedad Aditiva: qi ~ Uc , i=1,...,n Dra Ana María Walther Sn=Sqi ~ Uc 23 Modelos Circulares Distribución von Mises • unimodal Mo • media m  parámetro m • simétrica en m • moda en qm antimoda • antimoda en qm+p • parámetro de concentración k Dra Ana María Walther 24 parámetro de concentración k Distribución von Mises Prob. Mo = exp[2k] Prob. antiMo a > k > agrupamiento k=0 :distribución uniforme. Mo k=4, 99% en (mp/2, m+p/2 k=0 k= 8 k=1 k= 4 k=2 k=4 k=8 k= 2 Serie5 k= 1 -180 -90 0 90 180 Dra Ana María Walther antiMo 25 Distribución von Mises 1 . exp[k . cos(q  m )] fdp: f (q , m , k )  2p .I 0 (k ) I0= función de Bessel modificada de primer tipo y de orden cero fdp Aproximación de Abramowitz yStegun, 1965: 1 k  I 0 (k )    2 r  0 r!  2   0 m Dra Ana María Walther 2r 26 Estimar el parámetro de concentración k Para una distriubción von Mises VM(m,k) aproximaciones  A1 R   5 5 k  2R + R + R 6 3 R<0.53 0.43 k  0.4 + 1.39 R + 1 R 0.53  R<0.85 R>0.85 R>0.90 Mardia y Jupp, 2000 k Fisher 1993 1 21  R   1  R   1  R  2 3 N k 2N  R  1 k 21  R  Dra Ana María Walther 27 Problema 1: En una roca conglomerádica se efectuó un análisis de imbricación de clastos midiéndose 15 direcciones. Calcular: a) la dirección media (en grados) y la longitud de la resultante (R); b) la varianza circular (V) ; c) la desviación estándar circular (v); d) la desviación estándar angular (CSD); e) el rango circular  . 61° 358° 349° 77° 141° 42° 91° 356° 71° 48° 83° Dra Ana María Walther 104° 11° 95° 81° 28 •Calculamos: a) xi=cosqi , yi=senqi C= 5.5624 ; q=60.1°; i=1,...15 S= 9.6780 ; R=0.744 b) varianza circular : V =1-R= 0,256 c) SD : v   2 ln R v= 0,769 .180/p =44.06° Dra Ana María Walther 29 ASD = 36.6° d) desviación estándar angular e) =152°  1 n D(q )   p  p  q i  q n i 1  rango circular =arco (349°, 141°). Dra Ana María Walther 30