Análisis Numérico Para Ingeniería

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Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 1 Integrantes de la Cátedra Constanza R. Huapaya - Prof. Titular Francisco A. Lizarralde - Prof. Adjunto Carla Mana - J.T.P. Francisco Alvarez - J.T.P. Ezequiel Ayarzábal - Ayte. Graduado Lucas Sánchez Fellay - Ayte. Graduado Belén Posadas - Ayte. Alumno Ignacio Hegoburu - Ayte. Alumno Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 2 Evaluación y Régimen de Promoción Se tomarán 2 (dos) exámenes parciales. Los exámenes parciales serán teórico-prácticos. En la parte práctica se evaluará la habilidad para resolver problemas concretos en computadora. Se deberá presentar un Trabajo Final Integrador por grupo, preferentemente de 3 integrantes. El trabajo final, al igual que los parciales, sólo serán válidos durante la correspondiente cursada. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 3 Software para la asignatura Entorno Integrado de Desarrollo GEANY * Lenguaje FORTRAN (95/08) GFORTRAN * Librerías especializadas BLAS * y LAPACK * Gráficos y visualización de datos GNUPLOT * (*) Software Libre. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 4 GEANY Ing. Francisco A. Lizarralde Integrated Development Environment Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 5 GFORTRAN Compilador y Bibliotecas GFORTRAN Compilador FORTRAN GNU FORTRAN LAPACK Bibliotecas de Funciones Especializadas Linear Algebra Package BLAS Basic Linear Algebra Subprograms Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 6 GNUPLOT Ing. Francisco A. Lizarralde Visualización de Resultados Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 7 Sistemas Operativos Libres Existe una amplia variedad de Sistemas Operativos Libres GNU/Linux. (Se denominan Distribuciones) Ubuntu es una excelente opción, si desean una instalación sencilla. Una vez instalado, le pueden cargar los programas que usamos en la asignatura, Geany, GFortran, GnuPlot, etc. Si no desean instalar nada, pueden usar la distribución SLAX. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 8 Sistema Operativo SLAX SLAX es un Sistema Operativo Libre, derivado de Slackware. No requiere instalación. Adaptado para nuestros requerimientos. Posee todos los programas necesarios para el estudio de nuestra asignatura. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 9 Cómo obtengo dichas herramientas ? Un CD auto-arrancable (LIVE CD) basado en la distribución SLAX, se encuentra a disposición de los alumnos, así como una versión para USB (ver enlaces en la página de novedades de la asignatura). Es de destacar que tanto la copia como la distribución de Software Libre es totalmente legal. Por esta razón, nuestra cátedra se encuentra fuertemente comprometida en el proceso de utilización, difusión y distribución de Software Libre, sobre todo en lo referente a las herramientas necesarias para la resolución de problemas en sus clases prácticas. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 10 Qué significa Software Libre ? NOT FREE AS IN Un Software es Libre, si respeta las 4 Libertades Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 11 Otras fuentes de información En la página de la asignatura http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis encontrarán enlaces con información sobre algunos temas, bibliografía y novedades sobre fechas y horarios de consultas, exámenes, etc. Existe una lista de correo electrónico a la que pueden suscribirse en http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/lista/lista.htm para enviar consultas sobre temas de la asignatura. Consulten la página de FAQs. (Preguntas muy frecuentes) Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 12 Temas a tratar Introducción al Análisis Numérico. Errores Numéricos. Representación de Números en Punto Flotante. Errores en las Operaciones. Introducción a FORTRAN. Estructuras de Decisión y Repetición. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 13 Para qué sirve el Análisis Numérico ? El Análisis Numérico nos permite abordar aquellos problemas que son extremadamente complicados, cuando no imposibles de resolver en forma analítica. El principal objeto de estudio consiste en analizar diferentes métodos de resolución, para elegir el más adecuado para resolver cada problema en particular, y así lograr una solución con la exactitud requerida. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 14 Que se estudia en Análisis Numérico ? En el Análisis Numérico es el estudio de los errores, de representación, de inherentes a los métodos muy importante ya sean estos, modelado ó aplicados. La elección del algoritmo y del modelo matemático tienen gran influencia en el proceso de cálculo y el modo en que debemos interpretar los resultados obtenidos. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 15 Qué son las Soluciones Numéricas ? A diferencia de las soluciones analíticas, no se espera que las soluciones numéricas sean exactas. Sino que podemos elegir la grado de aproximación de la solución, en función de nuestros requerimientos. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 16 Tipos de Error Error de formulación del Modelo Matemático. Error inherente al algoritmo. (Error sistemático) Error de redondeo o truncamiento. Error de representación numérica. Error de las operaciones. (Error de propagación) Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 17 Error Absoluto Dado un número exacto x y un número aproximado X, el cual difiere ligeramente de x, llamamos error absoluto Δ(X) a: Cota Cotade deError ErrorAbsoluto Absoluto   X =∣x− X∣≤ X Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 18 Error Relativo El error relativo de un número aproximado X, es la relación entre el error absoluto Δ(X) del número y el valor absoluto del número “exacto” x , para x ≠ 0. El error relativo permite independizar el error, de la magnitud de los valores. Cota Cotade deError ErrorRelativo Relativo ∣x− X∣ δ ( X )= ≤δ X ∣x∣ Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 19 Truncamiento Truncar un número decimal x en el dígito correspondiente a 10d de su representación decimal consiste en reemplazar todos los dígitos a su derecha por ceros. π=3,14159265358979323846... Valor truncado en el 7mo. decimal  T7 =3,1415926 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 20 Redondeo Redondear un número x>0 en el dígito 10-d consiste en truncar el valor (x + 0.5 10-d). Si x<0 al redondear quedará como –|x| redondeado. =3,14159265358979323846... Valor redondeado en el 7mo. decimal  R7 =3,1415927 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 21 Dígitos Significativos El dígito más significativo de un número real x no nulo, es el dígito no nulo más a la izquierda de su expansión decimal. Todos los dígitos, incluyendo los ceros a la derecha del dígito más significativo, son significativos y el último desplegado se llama dígito menos significativo. Los ceros a la izquierda del dígito más significativo, no son significativos. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 22 Ejemplo de Dígitos Significativos Dígito menos significativo Dígito más significativo 0,00724100 Cifras no significativas Ing. Francisco A. Lizarralde Cifras significativas Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 23 Dígitos Significativos Exactos Definición: Si X es un valor aproximado de un valor exacto x, se dice que X aproxima a x hasta el k-ésimo dígito significativo, si: −k ∣X− x∣ < 5⋅10 ⋅∣x∣ También se dice que X posee k dígitos significativos exactos. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 24 Dígitos Significativos Exactos La exactitud de los dígitos significativos puede expresarse en función de su error relativo. ∣X− x∣ −k < 5⋅10 ∣x∣ O escrito de otra forma: −k δ (x) < 5⋅10 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 25 Dígitos Significativos Exactos Ejemplo: ¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el nro. aproximado 3.1416 con respecto al valor exacto 3.141592654 ? ∣3,14159254−3,1416∣ −6 δ (x)= =2,338⋅10 3,141592654 Por lo tanto, podemos ver que : −6 δ (x) = 2,338⋅10 Ing. Francisco A. Lizarralde −6 < 5⋅10 Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 26 Error de Representación No siempre es posible almacenar en una computadora los valores exactos. La representación aproximada de los valores exactos se suele denominar números de máquina. La diferencia entre el valor exacto y su representación se denomina error inherente a la representación, ó simplemente error de representación. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 27 Error de Representación Representación de los Números Reales ­∞ +∞ 0 Representación Numérica en Computadora Mínimo Negativo Mínimo Positivo 0 Máximo Negativo Ing. Francisco A. Lizarralde Valores Representados Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 Máximo Positivo 28 Error de Representación Una variable de tipo REAL de 4 bytes (32 bits), posee los siguientes rangos: Máximo Positivo: 3.4028235E+38 Máximo Negativo: -3.4028235E+38 Mínimo Positivo: Mínimo Negativo: Ing. Francisco A. Lizarralde 1.1754944E-38 -1.1754944E-38 Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 29 Representación Numérica Los números reales se almacenan en la computadora en forma binaria, como números de punto flotante. ( Signo, Mantisa y Exponente ) Actualmente la mayoría de las computadoras representa los valores numéricos de acuerdo a la definición del IEEE-754 Floating Point Numbers Standard. Un número real de simple precisión ocupa 32 bits, mientras que uno de doble precisión ocupa 64 bits de memoria. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 30 Números en Punto Flotante Un número de máquina consta de 3 partes: SIGNO EXPONENTE MANTISA SIGNO EXPONENTE Ing. Francisco A. Lizarralde MANTISA Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 31 Conversión de Decimal a Binario Conversión de un número decimal con |x| > 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 23 23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1 (10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = (23)10 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 32 Conversión de Decimal a Binario Conversión de un número decimal con |x| < 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 0.125 0.125 x2 0.25 x2 0.5 x2 1.0 (0.001)2 = 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = = 0 + 0 + 0.125 = (0.125)10 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 33 Conversión de Decimal a Binario No siempre un nro. decimal exacto puede convertirse en un nro. binario exacto. Ejemplo: x = 0.1 0.1 x2 0.2 x2 0.4 x2 0.8 X2 1.6 Continúo con la parte fraccionaria Continúo con la parte fraccionaria 0.6 x2 1.2 (0.1)10 = (0.000110011001100......)2 Ing. Francisco A. Lizarralde 0.2 x2 0.4 x2 0.8 x2 1.6 Número Binario Periódico Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 34 Representación en Punto Flotante Representación del valor 0.15625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard (−1) SIGNO ( EXPONENTE−127) ∗(1.MANTISA)2∗2 0 124−127 −1 ∗1.012∗2 −3 1∗1.2510∗2 SIGNO EXPONENTE Ing. Francisco A. Lizarralde 1.25 = =0.15625 8 MANTISA Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 35 Representación en Punto Flotante Representación del valor -118.625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard −1 SIGNO  EXPONENTE−127  ∗1.MANTISA 2∗2 1 −1 ∗1.1101101012∗2 133−127 6 −1∗1.85351562510∗2 =1.853515625∗64=−118,625 SIGNO EXPONENTE Ing. Francisco A. Lizarralde MANTISA Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 36 NaN - Not a Number Existen tres casos de operaciones que generan NaN: Operaciones en las que al menos un operando es un NaN. Indeterminaciones Operaciones con números reales que dan como resultado un valor complejo. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 37 NaN - Indeterminaciones Las divisiones 0/0 y ±∞/±∞ Las multiplicaciones 0×±∞ y ±∞×0 Las sumas ∞ + (−∞), (−∞) + ∞ y las restas equivalentes. El standard, posee además funciones alternativas para el cálculo de potencias: La función pow standard y el exponente entero pown definen 00, 1∞, and ∞0 as 1. La función powr define a las tres formas indeterminadas anteriores como operaciones inválidas y por lo tanto retorna NaN. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 38 NaN - Operaciones con Reales Operaciones con Reales que dan como resultado un valor complejo: La raíz cuadrada de un número negativo. El logaritmo de un número negativo. La inversa del seno o coseno de un número que es menor que −1 o mayor que +1. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 39 Error producido al calcular una Función Se dice que el cálculo del valor de una función f(x) está bien condicionado (o es numéricamente estable), si la exactitud hallada en el valor calculado f(x) es aproximadamente igual a la de x. En el caso contrario, se dice que el cálculo del valor de una función está mal condicionado, o bien que f(x) está mal condicionada. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 40 Condicionamiento de una Función ¿Qué variación porcentual en f(x) = ex resultará de un cambio del 1% en x ? Para x = 0,1; x = 10 y x = -10 x ex 0,01x 0,1 1,1051709 0,001 1,1062766 0,0010005 0,10% 10 22026,466 0,1 24343,009 0,1051709 10,52% -10 4,54E-005 -0,1 4,11E-005 0,0951626 9,52% Ing. Francisco A. Lizarralde ex+0,01x δ(eX) Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 % 41 Nro. de Condición de una Función El error relativo de una función es proporcional al error relativo de la variable: ∣δ f ( X )∣≈C∗∣δ X∣ Siendo el Número de Condición C: ∣X∗f '  X ∣ C= ∣f  X ∣ Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 42 Nro. de Condición de una Función Número de condición de ex (para x = 10): X ∣X⋅f ' ( X )∣ ∣10⋅e ∣ C= = =10 X ∣f ( X )∣ ∣e ∣ Por lo tanto: ∣δ f ( X )∣≈C⋅∣δ X∣=10⋅∣0.01∣=0.1≈10 % de X Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 43 Errores en las Operaciones Adición Insignificante. Cancelación Sustractiva. Amplificación del Error. Redondeo Escondido. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 44 Adición Insignificante La adición insignificante se produce cuando se suman o restan dos números de magnitudes muy diferentes entre sí. Esto produce que el valor resultante sea aproximadamente igual al mayor de los valores, siendo el menor valor, prácticamente despreciado. Por ejemplo, la suma de una serie cuyos términos vayan reduciendo su valor, hará que a medida que la suma crezca, los términos más pequeños no alterarán el resultado. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 46 Cancelación Sustractiva La cancelación sustractiva ó catastrófica, se produce cuando se restan dos valores muy similares entre sí. Esto hace que la diferencia entre los valores exactos, sea muy diferente a la diferencia entre los valores representados, resultando en un error realmente devastador Un ejemplo se presenta al intentar hallar los valores de las raíces de una ecuación de segundo grado. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 47 Amplificación del Error La amplificación del error se produce cuando se multiplica un valor por un número muy grande, ó cuando se lo divide por un número muy pequeño. En ambos casos el error inherente de representación aumenta considerablemente. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 48 Redondeo Escondido Es el error en el k-ésimo dígito significativo de las operaciones de máquina, el mismo se produce aún cuando los valores se hallen redondeados correctamente a ks. La acumulación de este error, en el último dígito significativo, se va produciendo lentamente. Una estrategia para minimizar la propagación de errores es minimizar la cantidad de operaciones. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 49 Programación en FORTRAN FORTRAN FORTRAN Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 50 Lenguaje FORTRAN FORTRAN es un lenguaje de programación de alto nivel de propósito general, procedural e imperativo, que está especialmente adaptado para el cálculo numérico y la computación científica. Su nombre hace referencia al Mathematical Formula Translating System, desarrollado originalmente por IBM en 1957 para el equipo IBM 704. Siendo ampliamente utilizado desde entonces en aplicaciones científicas y de ingeniería. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 51 John Backus John Backus (Filadelfia, 3 de diciembre de 1924 Oregón, 17 de marzo de 2007) dirigió el proyecto de IBM que dió origen al Lenguaje FORTRAN. En 1977 ganó el Turing Award por sus trabajos en sistemas de programación de alto nivel, en especial por su trabajo con FORTRAN. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 52 Tipos de Datos en FORTRAN INTEGER REAL COMPLEX LOGICAL CHARACTER Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 53 INTEGER El tipo de datos INTEGER se utiliza para almacenar valores enteros. Su rango de valores posibles está determinado por la cantidad de bytes establecida. Un INTEGER de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de: –2147483648 a 2147483647 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 54 REAL El tipo de datos REAL se utiliza para almacenar valores reales. Un REAL de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de: -3.4028235E+38 a -1.1754944E–38 y de 1.1754944E–38 a 3.4028235E+38 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 55 LOGICAL El tipo de datos LOGICAL se utiliza para almacenar valores lógicos. Sólo pueden almacenarse dos posibles para realizar valores, .TRUE. y .FALSE. FORTRAN está preparado operaciones lógicas con este tipo de datos, utilizando operadores lógicos, .AND. , .OR. , .NOT., etc. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 56 COMPLEX El tipo de datos COMPLEX se utiliza para almacenar números complejos. El mismo consiste en un par ordenado de números reales. FORTRAN está preparado para realizar operaciones complejas con este tipo de datos en forma totalmente transparente para el programador. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 57 CHARACTER El tipo de datos CHARACTER se utiliza por lo general para almacenar letras ó palabras. Si no se especifica el tamaño asume que se trata de un sólo caracter. Para almacenar palabras ó frases es necesario especificar la cantidad de caracteres, para reservar el espacio de memoria necesario. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 58 Operadores Intrínsecos Los operadores intrínsecos se utilizan para operar sobre los tipos de datos intrínsecos. ARITMETICOS: + - * / ** SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN POTENCIA RELACIONALES: .EQ. .NE. .GT. .GE. .LT. .LE. == /= > >= < <= Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 59 Estructura de un programa FORTRAN [ PROGRAM nombre del programa ] [ sección de especificación] [ sección ejecutable] [ sección de sub-programas internos] END [ PROGRAM programa ] ] Ing. Francisco A. Lizarralde [ nombre Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 de 60 Consejos de Programación SI PROGRAMAN SIN CREAR UN PROYECTO, HAY TABLA. SI NO ESCRIBEN COMENTARIOS EN EL PROGRAMA, HAY TABLA. SI LOS NOMBRES DE LAS VARIABLES NO TIENEN SENTIDO, HAY TABLA. SI LOS NOMBRES DE LAS FUNCIONES NO TIENEN SENTIDO, HAY TABLA. SI NO USAN PARÁMETROS EN SUBRUTINAS Y FUNCIONES, HAY TABLA. SI NO UTILIZAN LAS BIBLIOTECAS BLAS Y LAPACK, HAY TABLA. SI UNA FUNCIÓN NO DEVUELVE AL MENOS UN VALOR, HAY TABLA. SI NO UTILIZAN LOS TIPOS DE DATOS CORRECTOS, HAY TABLA. SI USAN UN PROGRAMA QUE NO ENTIENDEN, HAY TABLA. SI NO USAN SUBRUTINAS Y FUNCIONES, HAY TABLA. SI PROGRAMAN “SPAGHETTI CODE”, HAY TABLA. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 61 IF Ejemplo: IF (a < b ) THEN aux = a a=b b = aux END IF Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 62 IF ELSE Ejemplo: IF (leftCornerX < 0) THEN leftCornerX = 0 ELSE aux = leftCornerX leftCornerX = rightCornerX rightCornerX = aux END IF Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 63 IF ELSE IF Ejemplo: IF (kWatts < 50) THEN costo = 30 ELSE IF (kWatts < 100) THEN costo = 20+ 0.5*kWatts ELSE IF (kWatts < 150) THEN costo = 15+ 0.3*kWatts ELSE IF (kWatts < 200) THEN costo = 5+ 0.2*kWatts ELSE costo = 0.15*kWatts END IF Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 64 SELECT CASE Ejemplo: Ing. Francisco A. Lizarralde SELECT CASE (kWatts) CASE (:49) costo = 30 CASE (50:99) costo = 20 + 0.5*kWatts CASE (100:149) costo = 15 + 0.3*kWatts CASE (150:199) costo = 5 + 0.2*kWatts ELSE costo = 0.15*kWatts END SELECT Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 65 DO Ejemplo: DO fila=1, maxFilas, 2 Ejemplo: DO col=1, maxCols, 3 matriz(fila, col) = fila+2*col END DO END DO Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 66 DO WHILE Ejemplo: Ejemplo: DO WHILE (sigue /= 'n') WRITE (*, 'Desea continuar ?') READ(*,''), sigue END DO Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 67 CUESTIONES PARA INVESTIGAR... ¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el número aproximado 0.0027 con respecto al número exacto 0.00265 ? ¿ Cuál es el número más cercano a 2.0, que puede almacenarse en una variable REAL(8) ? ¿Por qué ? ¿ Qué significan estas sentencias en FORTRAN ? CEILING, CMPLX, CONJG, DBLE, DIGITS, EPSILON, FLOOR, HUGE, INT, PRECISION, REAL, SPACING, TINY. ¿ Por qué la representación de números en punto flotante normalizado es discreta ? Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 68 PREGUNTAS ... Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015 69